Lista zadań 5

Zadania z fizyki

Wydział PPT

5 Zasady dynamiki

Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, alerównież obowiązkowe.

Zad. 1(c). Kręcimy kamieniem na sznurku w płaszczyźnie pionowej. Wpewnym momencie przecinamy sznurek. Naszkicować dalszy ruch kamie-nia, jeśli przecięcie sznurka nastąpiło w jednym z momentów zaznaczo-nych na rysunku obok.

Zad. 2(c). Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona siła, z jaką sanie działają na konia jest równaco do wartości sile, z jaką koń działa na sanie. Dlaczego więc sanie zawsze podążają za koniem, anie odwrotnie?

Zad. 3(c). Zidentyfikować siły zewnętrzne działające na samochód jadący prosto ze stałą pręd-kością. Jaki jest kierunek siły tarcia pomiędzy oponami a nawierzchnią drogi w tym przypadku?

Zad. 4(c). Dwaj dorośli i dziecko próbują pchnąć wózek na kółkach wkierunku osi x (rysunek obok). Dorośli działają na wózek z siłami F1 iF2 pokazanymi na rysunku. (a) Znajdź wartość i kierunek najmniejszejsiły, jaką musi do wózka przyłożyć dziecko. (b) Jeśli zadziała ono z takąsiłą i wózek nabierze przyspieszenia 2,00 m/s, to jaka jest masa wózka?Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 5. Balon o łącznej masie M (z załogą, ładunkiem i balastem) opada z przyspieszeniem a.Jaką masę balastu należy z niego wyrzucić, aby zaczął się wznosić z takim samym co do wartościprzyspieszeniem? Wskazówka: na balon działa siła ciężkości i stała siła wyporu powietrza.

Zad. 6(c). Ładunek powieszono na stalowym kablu zawieszonym nadwóch linach jak na rysunku. (a) rozrysuj siły działające na węzeł łą-czący kabel z linami. Która z lin jest poddana większemu naprężeniu?(b) Wytrzymałość lin wynosi 5000 N. Jaki największy ciężar utrzyma tourządzenie? Można pominąć ciężary kabla i lin.Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

1

Zad. 7. Indiana Jones pokonuje przepaśćwe właściwy sobie sposób pokazany na ry-sunku. Na środku liny zatrzymuje się naodpoczynek. Wytrzymałość liny równa jest2,50 ·104 N, a masa bohatera wynosi 90,0 kg.(a) Znajdź naprężenie liny dla kąta θ = 10,0◦.(b) Jaka jest najmniejsza wartość tego kąta,przy jakiej lina się nie zerwie? Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 8. Alpinista zjeżdża po linie z pionowej ściany skalnej w taki sposób, że wisząc na linieopiera się nogami prostopadle o skałę. Lina, zaczepiona w górnej części ściany, tworzy z nią kątα = 15◦. Znaleźć naprężenie liny i nacisk nóg alpinisty na ścianę.

Zad. 9*. Koralik może przemieszczać się po torze w kształcie paraboli y = αx2. Współczynniktarcia wynosi µs. Na jakiej największej wysokości koralik może pozostawać w spoczynku?

Zad. 10(c). Dwa klocki o masach mA i mB leżące na pozio-mym stole (rysunek) pchane są poziomą siłą F . Znaleźć przy-spieszenie układu i siłę nacisku pomiędzy klockami w przy-padku (a) idealnie gładkiego stołu; (b) tarcia kinetycznego owspółczynniku µk pomiędzy klockami a stołem. (c) Jaka jestnajmniejsza wartość siły, przy której klocki ruszą z miejsca,jeśli współczynnik tarcia statycznego wynosi µs? (d) Jakie bę-dzie wtedy przyspieszenie klocków?

Zad. 11. Tramwaj składa się z dwóch wagonów o masach m1 i m2, z których tylko pierwszy masilnik. Siła tarcia działająca na koła pierwszego wagonu wynosi T . Z jaką siłą ciągnie on drugiwagon?

Zad. 12. Z jakim przyspieszeniem musi się poruszać pojazd, by klocek przylegający do jegopionowej przedniej powierzchni nie spadł? Współczynnik tarcia statycznego wynosi µs.

Zad. 13(c). Na ciało o masie m leżące na płaskiej poziomej powierzchni zaczęła w chwili t = 0działać siła zależna od czasu według wzoru F = bt, gdzie b jest stałą. Kierunek siły stale tworzykąt α z poziomem. Jaką prędkość będzie mieć ciało w momencie oderwania się od powierzchni wprzypadku (a) braku tarcia; (b) tarcia kinetycznego o współczynniku µs, na tyle małym, że ciałobędzie się poruszać?

Zad. 14*. Dwa klocki o masach m1 i m2 są połączone swobodną sprężyną i leżą na poziomejpowierzchni. Współczynnik tarcia pomiędzy klockami a powierzchnią jest równy µs = µk = µ.Jaką najmniejszą poziomą siłę należy przyłożyć do klocka o masie m1, aby klocek o masie m2ruszył się z miejsca?

Zad. 15(c). Na stalowej równi pochyłej leży aluminiowa skrzynia. Współczynniki tarcia sta-tycznego i kinetycznego dla tych dwóch materiałów wynoszą, odpowiednio, 0,61 i 0,47. Znaleźćprzedział kątów nachylenia równi, dla których skrzynia może zarówno spoczywać, jak i zsuwać siępo równi.

2

Zad. 16(c). W sytuacji na rysunku ciała mają identyczne masy m =1 kg, natomiast wykonane są z różnych materiałów, co powoduje, żewspółczynnik tarcia pomiędzy nimi, a równią wynosi µ1 = 0,2 dla ciałana górze i µ2 = 0,1 dla ciała na dole. Kąt nachylenia równi wynosiα = 60◦. Jaką wartość ma naprężenie nici?

��

���

���

����

SS��SS

SS��SS

����

mµ1

mµ2

α

Zad. 17. Dwie skrzynie związane nicią znajdują się na rów-niach pochyłych jak na rysunku obok. Znajdź przyspiesze-nie układu i naprężenie nici w przypadku (a) braku tarcia;(b) jednakowego, słabego tarcia o współczynniku µk = 0,20.(c)* Przeanalizuj wszystkie możliwe przypadki stanu układuoraz naprężenie nici w przypadku wystąpienia tarcia pomię-dzy skrzyniami a równią, przy czym współczynniki tarcia mo-gą być różne.Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 18. Ciało o masie m zostało wprawione w ruch pod górę po równi pochyłej nachylonej podkątem α do poziomu. Początkowa prędkość ciała wynosi v0, a współczynnik tarcia µ. Jaką drogęprzebędzie ciało do chwili zatrzymania się?

Zad. 19(c). Spadkownica Atwooda. W sytuacji na rysunku rozrysujsiły działające na obciążnik i na platformę z cegłami. Znajdź przyspie-szenie platformy i naprężenie liny. Bloczek i lina są bardzo lekkie.Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 20. Załóżmy, że w sytuacji jak na rysunku obok bloczek nie jestzamocowany, lecz przyłożono do niego siłę nadającą mu przyspieszenie owartości a = g/2 w górę. Znajdź naprężenie liny i przyspieszenie platfor-my z cegłami w takim przypadku.

Zad. 21. Na końcach nieważkiej nici przerzuconej przez nieważki bloczek zawieszono ciężarki omasach m i αm, gdzie α > 1. Obliczyć α, jeśli wiadomo, że przyspieszenie układu wynosi 12g. Wukładzie nie występuje tarcie.

Zad. 22. „Z małpą”. Małpa o masie 20 kg wspina się po linie przerzu-conej przez bardzo lekki bloczek, usiłując dostać się do kiści bananów otakiej samej masie, zawieszonej na drugim końcu liny (rysunek). (a) jakprzemieszczają się banany, gdy małpa się wspina? (b) Jak zmienia sięwtedy odległość pomiędzy małpą a bananami? (c) w pewnym momenciemałpa puszcza linę. Jak zmienia się jej odległość od bananów w czasiejej spadku (pomiń opór powietrza)? (d) Nim małpa spadła na ziemię,ponownie złapała linę. Co się wtedy dzieje z bananami?Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

3

Zad. 23*. Dwa ciała o masach 5,00 kg i 2,00 kg wiszą na jednakowej wysokości 0,600 m nadpodłogą na końcach liny o długości 6,00 m przerzuconej przez lekki bloczek. Oba ciała początkowospoczywają. Znajdź największą wysokość osiągniętą przez lżejsze cialo.

Zad. 24(c). Wielokrążek potęgowy. Z jaką siłą musi działać robot-nik na swobodny koniec liny w urządzeniu pokazanym obok, by umieśćprzedmiot o ciężarze Q? Bloczek i lina są bardzo lekkie.Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 25. Wielokrążek zwykły. Z jaką siłą musi działać robotnik naswobodny koniec liny w urządzeniu pokazanym obok, by umieść przed-miot o ciężarze Q? Bloczek i lina są bardzo lekkie. Rozważ uproszczonyprzypadek, w którym wszystkie liny przebiegają pionowo (to jest dobreprzybliżenie, jeśli odcinki lin są długie – dlaczego?). Czy ułożenie lin narysunku jest poprawne, jeśli ruch ładunku odbywa się w pionie?Źródło grafiki: Wikipedia, http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielokrążek

Zad. 26(c). Znaleźć przyspieszenie obu mas i naprężenie linyw układzie na rysunku obok, gdy (a) nie występuje tarcie;(b) współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy klockiem astołem ma niedużą wartość µk.Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 27*. Klocek o masie m umieszczono na równi pochyłej o masie M i kącie nachylenia α,która może się ślizgać po podłożu. Opisz ruch układu (a) bez tarcia; (b) dla różnych wartościwspółczynników tarcie pomiędzy klockiem a równią i pomiędzy równią a podłożem. Przeanalizujprzypadki graniczne, w których jeden ze współczynników tarcia jest bardzo duży. Dla uproszczeniaprzyjmij, że współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego są równe. W obu przypadkach (a) i (b)znajdź tor ruchu klocka w układzie odniesienia spoczywającego (względem podłoża) obserwatora.

Zad. 28(c). Dla rzutu ukośnego (nad poziomą powierzchnią) z początkową prędkością v0 skie-rowaną pd kątem θ do poziomu znaleźć ogólne wyrażenia na (a) czas lotu; (b) czas, po jakimosiągnięty zostanie najwyższy punkt toru; (c) wysokość toru w najwyższym punkcie; (d) zasięg.

Zad. 29(c). Dla jakiego kąta rzutu zasięg jest największy przy ustalonej wartości prędkości po-czątkowej?

4

Zad. 30. W którym momencie ruchu w przypadku rzutu ukośnego przyspieszenie normalne jestnajwiększe? A przyspieszenie styczne? (Wskazówka: zadanie najłatwiej jest rozwiązać graficznie,rozkładając przyspieszenie na składowe styczną i normalną w różnych punktach trajektorii).

Zad. 31*. Wyznacz zależność wartości prędkości oraz przyspieszenia stycznego i normalnego odczasu dla rzutu ukośnego.

Zad. 32. Pracownik ogrodu zoologicznego strzela pociskiem usypiającym do małpy wiszącej nagałęzi. Małpa puszcza gałąź w momencie wystrzału. Udowodnij, że jeśli strzelba w momenciestrzału wycelowana jest w małpę, to pocisk trafi w nią, o ile tylko zdąży ją dosięgnąć, nim małpawyląduje na ziemi. Pomiń opór powietrza.

Zad. 33(c). Kaskader na motocyklu skacze z krawędzi urwiska. Jego początkowa prędkość wynosi9,0 m/s i jest skierowana poziomo. Znaleźć położenie motocykla, jego odległość od krawędzi klifuoraz jego prędkość po 0,50 s lotu. Przyjąć g = 9,8 m/s2.

Zad. 34. Pływak skacze z rozbiegu do wody z urwiska, wybijającsię poziomo (rysunek). Jaka musi być jego minimalna prędkośćna szczycie klifu, by minął położoną o 9,00 m niżej półkę o sze-rokości 1,75 m?Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 35.Wewnątrz statku kosmicznego spoczywającego na ziemi piłka stacza się z blatu poziome-go stołu i ląduje w odległości d od jego podstawy. Po wylądowaniu na niezbadanej dotąd PlanecieX kapitan statku zrzuca tę samą piłkę z tego samego stołu z taką samą prędkością początkową istwierdza, że ląduje ona w odległości 2,76d od podstawy stołu. Jakie jest przyspieszenie spadkuswobodnego na Planecie X?

Zad. 36. Profesor fizyki w wolnych chwilach ćwiczy wy-czyny kaskaderskie na motocyklu. Próbuje ona przesko-czyć płynącą kanionem rzekę, której brzeg tworzy skarpę,jak pokazano na rysunku obok. Nachylenie skarpy wynosi53,0◦, rzeka ma 40,0 m szerokości, kanion jest głęboki na100 m, a drugi brzeg jest 15,0 m poniżej krawędzi skarpy.Można pominąć opór powietrza. (a) Jaka musi być pręd-kość profesor na skraju skarpy, aby dotarła ona do krawędzidrugiego brzegu? (b) Jeżeli jej prędkość była o połowę niż-sza od wartości znalezionej się w części (a), to gdzie onawyląduje?Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 37. Cząstka porusza się w płaszczyźnie xy z prędkością v = αı̂+βx̂, gdzie α i β są stałymi.W chwili t = 0 cząstka znajduje się w punkcie x = y = 0. Znaleźć (a) równanie toru cząstki y(x);(b) zależność promienia krzywizny toru od x.

Zad. 38*. (Rzut poziomy na stoku). (a) Łucznik na stoku o nachyleniu 30◦ w górę mierzydo celu znajdującego się 60 m dalej na pochyłości. Strzała w łuku i środek tarczy znajdują się natakiej samej wysokości 1,50 m nad ziemią. Prędkość początkowa strzały tuż po opuszczeniu łukuma wartość 32,0 m/s. Pod jakim kątem od poziomu powinien strzelać łucznik, by trafić w tarczę?

5

Jeśli są dwa takie kąty, to znajdź mniejszy. Być może będziesz musiał rozwiązać równanie na kątmetodą prób i błędów albo przy pomocy komputera. Jak ma się znaleziony kąt do wymaganegow przypadku, gdy teren jest poziomy? (b) Rozwiąż analogiczne zagadnienie w przypadku terenunachylonego pod kątem 30◦ w dół.

Zad. 39*. Znajdź największy kąt rzutu ukośnego (względem poziomu), dla którego tor ma tęwłasność, że odległość poruszającego się obiektu od punktu początkowego zawsze rośnie. Pomińopór powietrza.

Zad. 40*. Rakieta przeznaczona do umieszczania małych ładunków na orbicie wynoszona jestna wysokość 12,0 km npm przez przebudowany odpowiednio samolot pasażerski. Gdy samolotleci w linii prostej ze stałą prędkością 850 km/h, upuszcza rakietę. Następnie samolot zachowujetę samą wysokość i prędkość i kontynuuje lot w linii prostej. Rakieta spada przez krótki czas,po którym włącza się jej silnik rakietowy. Po włączeniu silnika łączny efekt sił ciągu i ciężkościnadają rakiecie stałe przyspieszenie o wartości 3,00g, skierowane pod kątem 30,0◦ od poziomu. Zewzględów bezpieczeństwa, rakieta powinna przelecieć co najmniej 1,00 km przed samolotem, gdyosiąga jego wysokość. Twoje zadanie polega na określeniu minimalnego czasu, przez jaki rakietamusi opadać, zanim uruchomi się jej silnik. Można zaniedbać opór powietrza. Odpowiedź powinnazawierać (i) diagram ukazujący tory rakiety i samolotu, opisany w kilku punktach wektoramiprędkości i przyspieszeń; (ii) wykres x(t) pokazujący ruchy rakiety i samolotu; oraz (iii) wykresy(t) pokazujący ruchy rakiety i samolotu. Na diagramie i wykresach wskaż, chwile, w których:rakieta zostaje upuszczona, włącza się jej silnik, osiąga ona wysokość samolotu.

Zad. 41*. Kulka została rzucona z wysokości h z początkową prędkością o wartości v, skierowanąpoziomo. Przy każdym uderzeniu o podłoże kulka traci część swojej prędkości: stosunek składo-wych pionowych prędkości po i przed zderzeniem wynosi −α. Nie występuje tarcie, więc składowapozioma prędkości nie zmienia się. W jakiej odległości (w kierunku poziomym) od miejsca wyrzu-cenia kulki ustaną jej podskoki?

Zad. 42(c). Model samochodu o masie 0,800 kg porusza się ze stałą co do wartości prędkościąpo torze biegnącym wewnątrz pionowej pętli o promieniu 5,00 m. (a) Jeśli siła reakcji toru wnajwyższym punkcie wynosi 6,00 N, to jaka jest siła reakcji toru w najniższym punkcie? (b) Zjaką najmniejszą prędkością musi się poruszać ten model samochodu, by nie oderwał się od toruw żadnym punkcie?

Zad. 43(c). Droga w małym miasteczku ma łagodną krzywiznę o promieniu 100 m. Dopuszczal-na prędkość wynosi tam 40 km/h. Po małym opadzie śniegu zakręt stał się śliski. Czy samochódjadący z maksymalną dozwoloną prędkością wpadnie w poślizg, jeśli (a) współczynnik tarcia opono nawierzchnię równy jest 0,20, a zakręt nie jest nachylony; (b) współczynnik tarcia wynosi 0,10,a droga na zakręcie ma poprzeczne nachylenie o kącie 10◦?

6

Zad. 44. Mały koralik może przesuwać się bez tarcia po okrągłejobręczy o promieniu 0,100 m, leżącej w płaszczyźnie pionowej. Ob-ręcz obraca się ze stałą szybkością 4,00 obr/s wokół pionowej osi(rysunek). (a) Znajdź kąt β, przy którym koralik jest w równowa-dze względem obręczy (oczywiście ma on nadal przyspieszenie wkierunku osi). (b) Czy jest możliwe, by koralik zataczał obroty nawysokości środka obręczy? (c) Co się stanie, jeśli obręcz będzie sięobracać z szybkością 1,00 obr/s?Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.

Zad. 45*. Kierowca jadący we mgle po poziomej powierzchni zauważa nagle ścianę położonąprostopadle do kierunku jazdy. Jaki manewr powinien wykonać w celu uniknięcia zderzenia: ha-mować, czy zakręcać? Przyjmij, że maksymalna wartość siły tarcia pomiędzy oponami a podłożemnie zależy od kierunku.

Zad. 46*. Efekt Coriolisa. Wykaż, że punkt materialny poruszający się wzdłuż południkaobracającej się Ziemi ze stałą względem powierzchni Ziemi prędkością ma składową przyspieszeniaprostopadłą do kierunku prędkości i do osi obrotu. Jaka jest jej wartość? Znajdź prostopadłą siłę,z jaką pociąg o masie 2000 ton i jadący na północ naciska na tory.

7