LISTA DE FIGURAS - cruzeirodosul.edu.br · sala de aula e a construção do conhecimento LUCIANO ANDRÉ CARVALHO REIS ... Ao escolher um caminho, na verdade, escolhi dois. Para estar

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

DOUTORADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Trigonometria no triângulo retângulo: as interações em

sala de aula e a construção do conhecimento

LUCIANO ANDRÉ CARVALHO REIS

Orientadora: Prof.a Dr.a Norma Suely Gomes Allevato

Tese apresentada ao Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências e Matemática.

SÃO PAULO

2013

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

R311t

Reis, Luciano André Carvalho. Trigonometria no triângulo retângulo: as interações em sala de

aula e a construção do conhecimento / Luciano André Carvalho Reis. -- São Paulo; SP: [s.n], 2013.

148 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Norma Suely Gomes Allevato. Tese (doutorado) - Programa de Pós-Graduação em Ensino de

Ciências e Matemárica, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Educação matemática 2. Trigonometria – Ensino médio 3.

Construção do conhecimento - Educacão I. Allevato, Norma Suely Gomes. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51:37(043.2)

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

Trigonometria no triângulo retângulo: as interações em

sala de aula e a construção do conhecimento

Luciano André Carvalho Reis

Tese de doutorado defendida e aprovada

pela Banca Examinadora em 11/11/2013.

BANCA EXAMINADORA:

Prof.a Dr.a Norma Suely Gomes Allevato

Universidade Cruzeiro do Sul

Presidente

Prof. a Dr.a Cintia Aparecida Bento dos Santos

Universidade Cruzeiro do Sul

Prof. Dr. Marcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos

Universidade Cruzeiro do Sul

Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro

Universidade Federal do ABC

Prof. Dr. Carlos Henriques Barroqueiro

Instituto Federal de São Paulo

Finda mais uma etapa da minha história! Uma etapa que

compartilho com todos que acreditaram e me

incentivaram a transformar meus sonhos em realidade.

Dedico essa vitória aos meus pais (Alaôr Carvalho Reis –

in memorian e Nilce Constantino); aos meus avós (Maria

José Constantino e Mauro Mazagão); aos meus irmãos

(Alaôr Carvalho Reis Júnior e Almir Carvalho dos Reis);

ao meu amigo (Francisco Franklim Leal de Andrade); ao

meu cão (Fred); aos meus alunos e, também, aos amigos

que conquistei ao longo da vida.

AGRADECIMENTOS

Ao escolher um caminho, na verdade, escolhi dois. Para estar presente num projeto, me ausentei de outros e, por isso, tenho muito que agradecer:

A Deus por ter me concedido força, paz, proteção, saúde e confiança, para transformar um sonho em realidade.

À minha mãe Nilce Constantino e à minha avó Maria José Constantino, que entenderam toda a minha ausência, nos momentos mais difíceis das suas vidas.

Aos meus irmãos Alaôr Carvalho Reis Júnior e Almir Carvalho dos Reis, que me entenderam e puderam, de certa forma, suprir minha ausência.

Ao Francisco Franklim Leal de Andrade (amigo, irmão, companheiro) e ao Fred (fiel escudeiro), que sempre me deram injeções de ânimo e coragem.

Aos professores participantes da Banca examinadora, pelas valiosas contribuições no momento da qualificação e que ajudaram de forma clara e objetiva a delimitar e ampliar minhas ideias para estruturar este trabalho.

Ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, que me proporcionou um afastamento para concluir meus estudos.

À minha amiga, irmã, filha e mãe, Wanda Silva Rodrigues, que me apoiou nas mais difíceis situações de vida.

Ao meu amigo e irmão, Carlos Henriques Barroqueiro, que abriu muitas portas para que eu pudesse entrar.

Aos amigos de curso, Maria Regina Laginha Barreiros Rolim, Octavio Cavalari Junior e Marcelo Souza Motta, que estiveram comigo nos momentos de estudo.

Ao amigo Valter Luís Minhão, que me recebeu de portas abertas em sua morada.

À amiga Elaine Saggiani que, na minha ausência, cuidou do meu fiel escudeiro.

A todos vocês meus eternos agradecimentos...

AGRADECIMENTO ESPECIAL

À AMIGA E ORIENTADORA Prof.a Dr.a NORMA SUELY GOMES ALLEVATO

Chega ao fim mais um trabalho acadêmico e o que vejo agora é um filme

sobre tudo que aconteceu na minha trajetória pessoal, profissional e escolar. Neste

filme, recheado de momentos de angústia, tensão, desespero, expectativa, trabalho,

estudo e concentração, os protagonistas foram as pessoas que me cercaram e que,

de certa forma, tornaram a minha caminhada menos árdua e mais produtiva.

No entanto, a maior das protagonistas foi aquela que me recebeu, como

orientando, órfão de outra orientadora, e decidiu embarcar comigo nesse sonho.

Professora Norma merece esse agradecimento especial por todo o apoio e carinho

que dedicou a mim, nesta luta.

Desde o primeiro contato, nas aulas de Planejamento e Metodologia do

Trabalho Científico em Ensino, ela chamou minha atenção. Calma, precisa, pontual,

leve e dinâmica, ela fez nascer em mim, uma admiração especial. Depois, com o

aceite em ser minha orientadora nesse trabalho, tal admiração só cresceu. Ela fazia

questão que nossas orientações fossem na sua casa por ser um ambiente propício

para a concentração e o debate de ideias. Lá, estávamos cercados de todo o

material que seria necessário para a minha pesquisa. Não posso esquecer que

muitas vezes eu chegava cheio de ideias e dúvidas e saía carregado de livros e

tarefas. Hummmm, e a secretária da professora Norma? A Cida. Não posso deixar

de agradecer por tudo que ela me oferecia na chegada e na saída dos encontros. O

cafezinho e o delicioso almoço, com aquele feijão que me provoca água na boca, até

nesse momento da escrita.

Bem, por vezes eu desabafei, com os problemas da minha mãezinha,

chegando até a chorar, e ela, professora Norma, me ouvia e me acalmava com sua

voz serena e tranquila. Sem falar da suavização que ela dava às frases fortes que

eu, às vezes, escrevia. Eu volto a afirmar, como afirmou outrora nosso amigo

Manoel dos Santos Costa, que professores como ela nunca morrem, pois vivem em

nossa memória para sempre. Ela foi um anjo que Deus me enviou para guiar meus

passos nessa caminhada. Professora Norma, muito OBRIGADO!!!

VOU DEIXAR

Vou deixar a vida me levar, pra onde ela quiser Estou no meu lugar, você já sabe onde é

É , não conte o tempo por nós dois Pois, a qualquer hora posso estar de volta

Depois que a noite terminar

Vou deixar a vida me levar, pra onde ela quiser Seguir a direção, de uma estrela qualquer

É, não quero hora pra voltar, não Conheço bem a solidão, me solta

E deixa a sorte me buscar

Eu já estou na sua estrada Sozinho não enxergo nada

Mas vou ficar aqui até que o dia amanheça Vou me esquecer de mim

E você, se puder, não me esqueça

Vou deixar o coração bater na madrugada sem fim Deixar o sol te ver

Ajoelhada por mim, sim Não tenho hora pra voltar, não

Eu agradeço tanto a sua escolta Mas deixa a noite terminar

Eu já estou na sua estrada Sozinho não enxergo nada

Mas vou ficar aqui até que o dia amanheça Vou me esquecer de mim

E você, se puder, não me esqueça

Não, não, não quero hora pra voltar, não Conheço bem a solidão, me solta

E deixa a sorte me buscar

Não,não, não tenho hora pra voltar, não Eu agradeço tanto a sua escolta

Mas deixa a noite terminar

SAMUEL ROSA - CHICO AMARAL

REIS, L. A. C. Trigonometria no triângulo retângulo: as interações em sala de aula e a construção do conhecimento. 2013. 148 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.

RESUMO

O presente trabalho teve como objetivo conhecer e analisar as interações que

ocorrem em sala de aula, entre os sujeitos do processo educativo durante a

construção do conhecimento, quando o assunto é Trigonometria no triângulo

retângulo. Esta pesquisa, de abordagem qualitativa, é um estudo de caso e foi

realizada com estudantes do 1o ano do Ensino Técnico Integrado ao Médio, do

Campus Cubatão, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São

Paulo (IFSP). Para realizá-la, observei as atividades, em sala de aula, dos 37 (trinta

e sete) alunos e do professor da turma. Os dados foram colhidos por meio de

gravação das falas dos alunos e do professor e registrados num diário de campo, e

também por dois questionários aplicados aos alunos a fim de investigar, inicialmente,

o perfil dos mesmos e, depois, a forma como lhes foi possibilitada a construção do

conhecimento. As análises foram feitas com base na Teoria das Situações Didáticas

(TSD) a partir das concepções de Brousseau e apoiados nas concepções de alguns

pesquisadores que se debruçaram sobre essa teoria. Este trabalho pretende apontar

para a importância de dar voz aos alunos, elencando as estratégias por eles

utilizadas, dentro e fora do ambiente escolar, na busca do conhecimento, baseados

nas interações mediadas pelo professor e pelo diálogo entre as partes. Os

resultados mostram que as experiências e conhecimentos adquiridos a partir das

múltiplas e complexas interações que trouxeram da família, dos grupos nos quais

estão inseridos e das etapas anteriores de sua escolarização foram importantes

alicerces para a construção do conhecimento. Verificou-se, também, que o diálogo

foi determinante na natureza das interações realizadas e que as etapas de

devolução, ação, formulação, validação e institucionalização, elementos das

situações didáticas, ocorrem de maneira desigual nas atividades de sala de aula,

devendo ser cuidadas para que efetivamente ocorra a construção do conhecimento.

Palavras-chave: Educação matemática, Ensino médio, Trigonometria, Teoria das

situações didáticas.

REIS, L. A. C. Trigonometry in right triangle: the interactions in the classroom and knowledge building. 2013. 148 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.

ABSTRACT

The purpose of the present work is to learn and analyze the classroom interactions

involving the subjects of educational process while knowledge is built regarding

Trigonometry in rectangular triangle. This qualitative approach research is a case

study and it was conducted with first year students of Campus Cubatão Technical

School connected to senior high school, from Instituto Federal de Educação, Ciência

e Tecnologia de São Paulo (IFSP). The research was developed by watching

classroom activities of thirty seven students and their teacher. The data were

collected by recording the students’ and the teacher’s statements and registering

them in a field diary, and also by applying two questionnaires to the students in order

to first investigate their profile and how they were enabled to build knowledge. The

analyses were based on the Theory of Didactical Situations (TSD) from Brousseau’s

conceptions and supported by the conceptions of some researchers who devoted to

that theory. The present work aims to point out the importance of giving voice to the

students, enlisting the strategies developed by them in and out of school

environment, in search of knowledge, based on the interactions mediated by the

teacher and on their dialogues. The results show that the experience and knowledge

built from the multiple and complex interactions they brought from family and the

groups they belong to and from their former school stages were important

foundations for building knowledge. It was also observed that the dialogue was

critical in the nature of the interactions, and that the stages of devolution, action,

formulation, validation and institutionalization, elements of didactical situations,

happen differently in classroom activities, so they must be watched in order that

knowledge can be actually built.

Keywords: Mathematical education, Senior high school, Trigonometry, Theory of

didactical situations.

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

CEB Conselho da Educação Básica

CEFET-PB Centro Federal de Ensino Tecnológico da Paraíba

DCNEM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

ENEM Exame Nacional do Ensino Médio

EJA Educação de Jovens e Adultos

ETFSE Escola Técnica Federal de Sergipe

ICMI International Commission on Mathematical Instruction

IFSP Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São

Paulo

IUFM Instituts Universitaires de Formation des Maîtres

LDBEN Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

PNLD Programa Nacional do Livro Didático

PROEJA Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com

a Educação Básica na modalidade de jovens e adultos

PROUNI Programa Universidade para Todos

PUC-SP Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

TAC Teoria da Antropologia Cognitiva

TICs Tecnologias da Informação e Comunicação

TSD Teoria das Situações Didáticas

UFAM Universidade Federal do Amazonas

UFPR Universidade Federal do Paraná

UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul

USP Universidade de São Paulo

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12

Trajetória pessoal: origem da investigação .......................................................... 12

Questões da pesquisa ............................................................................................ 19

Organização da Tese .............................................................................................. 19

CAPÍTULO 1

1 O ENSINO MÉDIO BRASILEIRO ................................................................ 21

1.1 Um panorama histórico .............................................................................. 21

1.2 A Reforma ................................................................................................... 24

1.3 O ensino da Matemática ............................................................................. 30

CAPÍTULO 2

2 A TRIGONOMETRIA .................................................................................... 35

2.1 A história da Trigonometria ....................................................................... 35

2.1.1 As origens ................................................................................................... 35

2.1.2 As aplicações .............................................................................................. 38

2.2 O ensino da Trigonometria ........................................................................ 40

2.3 As pesquisas, em Trigonometria, no Banco de Teses da CAPES ......... 42

CAPÍTULO 3

3 UM CAMINHO PARA A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO ................ 55

3.1 A Teoria das Situações Didáticas (TSD) ................................................... 55

3.1.1 Os saberes: científico, a ensinar e ensinado ........................................... 57

3.1.1.1 O saber matemático ................................................................................... 60

3.1.2 A relação saber /professor/aluno .............................................................. 62

3.1.3 As interações em sala de aula: situações didáticas e a-didáticas ......... 64

3.2 Os recursos de ensino e de aprendizagem .............................................. 71

CAPÍTULO 4

4 METODOLOGIA DE PESQUISA ........................................................................... 75

4.1 A pesquisa científica .................................................................................. 75

4.1.1 Os referenciais metodológicos de investigação ...................................... 76

4.2 Pesquisa qualitativa ................................................................................... 77

4.3 Fase exploratória ........................................................................................ 79

4.4 Pesquisa de campo .................................................................................... 80

4.4.1 Estudo de caso ........................................................................................... 80

4.4.1.1 Coleta de dados para um estudo de caso ................................................ 82

4.4.1.2 O questionário ............................................................................................ 84

4.4.1.3 A observação .............................................................................................. 85

CAPÍTULO 5

5 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ..................................................... 87

5.1 Levantamento sobre o perfil dos pesquisados........................................ 87

5.2 Observações em sala de aula .................................................................... 89

5.2.1 Relato do primeiro encontro ...................................................................... 90

5.2.2 Relato do segundo encontro ................................................................... 102

5.2.3 Relato do terceiro encontro ..................................................................... 110

5.2.4 Reflexões adicionais sobre os encontros .............................................. 116

5.2.5 Levantamento das impressões dos alunos ........................................... 118

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 121

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 127

APÊNDICES ........................................................................................................... 137

ANEXOS ................................................................................................................. 145

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INTRODUÇÃO

A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas pensar o que ninguém ainda pensou

sobre aquilo que todo mundo vê.

Arthur Schopenhauer

Nesta introdução, resgato alguns fatos e episódios da minha trajetória

profissional a fim de justificar parcialmente a investigação que será relatada na

presente tese. Em seguida, complemento esta justificativa destacando as

recomendações oficiais relativas à Educação Matemática, ao Ensino Médio e à

Trigonometria. Também explico de que modo a presente investigação acrescenta

novos conhecimentos aos estudos já realizados nessa linha. Então, destaco a

questão norteadora da pesquisa e concluo apresentando a estrutura deste relatório

de pesquisa.

Trajetória pessoal: origem da investigação

Meu interesse pelo magistério surgiu nos primeiros anos de minha

escolarização. Tinha facilidade em chamar a atenção dos outros alunos da classe,

principalmente, quando era questionado pelo professor. Por várias vezes era

chamado pelos professores para explicar algo sobre minha tarefa ou sobre a forma

como eu entendia determinado assunto. Os outros alunos, meus amigos de classe,

se entreolhavam e pareciam entender o que eu estava querendo explicar. Não raro,

esses amigos me procuravam para ajudá-los com conteúdos que não conseguiam

entender nas aulas e, gostavam de minhas explicações.

Esses e outros fatos foram suficientes para fazer nascer, em mim, uma

vontade: a de ser professor.

A Matemática, por outro lado, não se inseriu, na minha vida, de maneira tão

clara e óbvia, pois havia uma pressão familiar para se ter um médico na família. Em

virtude disso, no antigo colegial, decidi ingressar no Setor Primário, que era voltado

às áreas da Saúde. Mas, embora houvesse muita Citologia, Genética e outras partes

da Biologia, o que mais me chamava a atenção era a Matemática e, principalmente,

o meu mestre de Matemática. Eu admirava o modo como ele cativava a turma e,

13

mesmo sendo num curso não voltado para as Ciências Exatas, esta respondia à

altura.

Findo o colegial, chegou a hora de optar por uma profissão e, nesse

momento, eu já sabia que seria professor de Matemática. Já dava aulas particulares

para outros jovens e adolescentes, principalmente às vésperas dos exames finais, e

pude ajudar vários deles a alcançar a próxima série. Eu via (e ainda vejo) a

Matemática como um jogo, em que as regras se avolumam, e eu tinha a

necessidade de passar para o próximo nível, sempre, com louvor.

Então, prestei vestibular para Licenciatura em Matemática e fui atrás de

concretizar um sonho: descobrir e explicar o porquê de muitas coisas que me eram

passadas, pelos professores, e que não satisfaziam a minha curiosidade!

Além disso, nessa época, as condições financeiras em que minha família se

encontrava não me deixavam outra escolha. O curso de Licenciatura em Matemática

era um curso acessível ao meu poder aquisitivo e, com certeza, me daria uma

emancipação pessoal, social e financeira.

Vieram, então, 2 (dois) anos de Licenciatura Curta, em Ciências, e outros 2

(dois) anos de Licenciatura Plena, em Matemática. O tempo passava e eu parecia

estar descobrindo o mundo matemático. Não via a hora de mostrar, para os alunos,

o que tinha aprendido. Me lembro, como se fosse hoje, das aulas de Estágio

Supervisionado, em que eu era assistente do professor e me sentia muito importante

como tal.

O diploma foi um importante passo para regulamentar a minha trajetória como

professor. Era o passaporte para que eu pudesse tentar desmistificar a Matemática

que muitos odiavam e temiam.

Assim que fui admitido como professor numa escola pública, lecionei para 2

turmas num curso Supletivo: uma de Ciências e outra de Matemática. A Matemática,

na qual eu tinha segurança sobre os conteúdos, não me causava muitos

aborrecimentos; a preparação das aulas era rápida e sem grandes dificuldades. Mas

para as aulas de Ciências tal fato não acontecia. Eu não tinha segurança sobre os

conteúdos e isso me impulsionava a estudar muito, a preparar muitas atividades,

14

muitos jogos, muitos questionários, muitas experiências de laboratório, o que me

tomava muito tempo. Essa situação, de lecionar duas disciplinas diferentes, foi

importantíssima para a sequência da minha vida como professor de Matemática. A

mesma turma que, num determinado semestre, havia tido aulas de Ciências comigo,

no semestre posterior teve aulas de Matemática. Na ocasião, uma aluna me disse

que, embora entendesse o que eu ensinava nas aulas de Matemática, gostava muito

mais da forma como eu ensinava Ciências: com mais exemplos, fazendo com que os

alunos fossem parte da aula e nos permitindo dialogar. E, na Matemática, ela não

sentia o mesmo comprometimento.

Foi nesse momento que decidi investir na minha formação profissional e na

minha capacitação como docente. Percebi que eu ainda não era capaz de

compartilhar com meu aluno as descobertas e os ensinamentos que eu aprendi. Eu

precisava saber mais, estudar e refletir mais e, isso seria adquirido com o passar do

tempo e com a dedicação.

Fui admitido, então, numa instituição particular que me fez crescer como

professor. Crescer em conhecimento do conteúdo, em conhecimento de

metodologias e de formas de conduzir e dinamizar as aulas. Lembro-me de quando

preparei uma aula teste para a 3a série do 2o Grau1, sobre Números Complexos e,

ao final, fui contratado para lecionar para alunos da 5a série do 1o Grau. Foi um

choque e uma benção! O coordenador enxergou em mim um potencial, mas que não

me habilitava para ministrar aulas em turmas que me exigiriam mais do que eu podia

oferecer naquele momento. Eu fui preparado, a partir dali. E tudo aconteceu

conforme esse coordenador planejou. No primeiro ano, lecionei para a 5a série do 1o

Grau; no segundo ano, para a 8a série; no terceiro ano, para a 1a e a 2a séries do 2o

Grau e, no quarto ano de contrato, para a 3a série do 2o Grau e o Curso Pré-

Vestibular.

1 A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB 934/96) estabeleceu as diretrizes e bases da Educação Brasileira, dividindo-a em dois níveis: a Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio) e a Educação Superior. Segundo esta Lei, os antigos 1

o e 2

o Graus

passaram a se denominar, respectivamente, Ensino Fundamental e Ensino Médio. O Ensino Fundamental tinha duração mínima de 8 anos e o Ensino Médio, de 3 anos. A Lei 11.274 de 2006 estabeleceu a mudança da duração mínima do Ensino Fundamental, de 8 para 9 anos.

15

Minha vontade de aprender e ensinar crescia a cada dia. Eu procurava novas

formas de ensino, questões desafiadoras para propor aos alunos e brincadeiras que

aguçassem a curiosidade em descobrir os segredos da Matemática.

No primeiro ano nesta Instituição, paralelamente, eu lecionava também no

Ensino Público e, numa turma de 5a série, aconteceu um fato que foi preponderante

para a minha pesquisa atual. Num determinado momento da aula, envolvido na

apresentação de uma explicação longa e detalhada, uma aluna pediu a palavra e

perguntou:

- Professor, quando o senhor vai parar de explicar e nos deixar seguir com a

tarefa?

Tal questionamento me fez perceber que a aula não era minha. Ou, pelo

menos, não deveria ser. Deveria haver um contrato que eu precisava fazer com a

classe, deveria haver um diálogo. Nós deveríamos formar uma equipe em que, como

no futebol, um passava a bola para o outro em direção ao gol.

Nesse momento, em que relato esse episódio, me lembrei que

[...] o diálogo é o encontro no qual a reflexão e a ação, inseparáveis daqueles que dialogam, orientam-se para o mundo que é preciso transformar e humanizar, este diálogo não pode reduzir-se a depositar ideias em outro. (FREIRE, 1980, p. 83)

Minha trajetória profissional seguiu seu rumo, o tempo foi passando e, com

ele, adquiri a experiência que me ajudou a me tornar um profissional mais

questionador e motivador. Me preocupei em encontrar formas para que os alunos se

sentissem mais motivados, pois respostas prontas não os satisfaziam. Eles queriam

descobrir, como eu um dia quis, o porquê das coisas, o porquê da Matemática.

Profissionalmente passei a dedicar a maioria das minhas aulas aos alunos

concluintes do Ensino Médio e aos do curso Pré-Vestibular. Percebia que eles

tinham pressa e necessidade de aprender, motivados, talvez, pelas novas

oportunidades que lhes surgiam, com o aparecimento de um Exame Nacional do

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Ensino Médio - ENEM2, que os possibilitaria, através de um programa do Governo

Federal, o PROUNI3, ingressar nas melhores universidades do país.

O ENEM, que surgiu como um exame que pretendia avaliar as habilidades e

competências que o aluno do Ensino Médio adquiriu ao longo de sua formação

escolar, parece ter trazido à tona os problemas e angústias que a academia, os

professores e os alunos vêm enfrentando com essa etapa da escolarização. Essas

preocupações suscitaram, em mim, uma necessidade de aprofundar esse tema tão

importante para a Educação Brasileira.

O norte da pesquisa

Como o Ensino Médio vem sendo motivo de discussões e questionamentos

por parte da sociedade, aproveitei o ENEM, para desenvolver uma pesquisa de

mestrado, na modalidade Estado da Arte. Tal estudo revelou o foco em que os

pesquisadores têm colocado seus estudos, ou seja, desvelou determinados

aspectos desse exame. Quatro (04) aspectos do exame foram privilegiados pelos

pesquisadores: o ENEM como instrumento (re)orientador de práticas pedagógicas; o

ENEM como instrumento aferidor de competências e habilidades dos educandos; o

ENEM como instrumento propulsor das escolhas futuras e o ENEM como

instrumento de avaliação da gestão de políticas educacionais. Foram analisados os

resumos das dissertações de mestrado e teses de doutorado, disponíveis no Banco

de Teses da CAPES4, dos anos de 1999 a 2007. Foram encontradas 54 (cinquenta e

quatro) pesquisas sendo que as práticas pedagógicas foram abordadas por 19

2 ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. Criado em 1998, o Enem teve por princípio avaliar anualmente o aprendizado dos alunos do Ensino Médio em todo o país para auxiliar o ministério na elaboração de políticas pontuais e estruturais de melhoria do ensino brasileiro. Em 2009, o Ministério da Educação apresentou uma proposta de reformulação do Exame e sua utilização como forma de seleção unificada nos processos seletivos das universidades públicas federais. A proposta teve como principais objetivos democratizar as oportunidades de acesso às vagas federais de ensino superior, possibilitar a mobilidade acadêmica e induzir a reestruturação dos currículos do ensino médio. (BRASIL, 2013)

3 PROUNI - Programa Universidade para Todos. Criado em 2004, pela Lei nº 11.096/2005, tem como finalidade a concessão de bolsas de estudos integrais e parciais a estudantes de cursos de graduação e de cursos sequenciais de formação específica, em instituições privadas de educação superior. As instituições que aderem ao programa recebem isenção de tributos. (BRASIL, 2013)

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(dezenove) pesquisadores, o mesmo acontecendo com o foco nas competências e

habilidades dos educandos. As escolhas futuras e a gestão de políticas

educacionais foram focadas, exatamente, por 08 (oito) pesquisadores, cada uma.

Considerando a importância que os pesquisadores deram às competências e

habilidades dos educandos, manifestadas no ENEM, e o argumento indicativo de

que os processos de ensino e aprendizagem deveriam fazer a interação entre o

professor e o aluno, buscando a construção de um conhecimento embasado nas

experiências adquiridas anteriormente e na troca entre ambos, fui à procura de

novas compreensões. No doutorado, decidi me enveredar numa pesquisa que

pretende identificar como ocorrem as interações em sala de aula, durante

construção de conhecimento matemático, com relação a conteúdos do Ensino

Médio. Fiz a opção de pesquisar a Trigonometria no triângulo retângulo por ser um

tema que exige uma grande dedicação dos educandos e dos professores e faz uma

ligação com outras disciplinas da grade curricular, em particular, a Física.

Com a intenção de mapear a produção acadêmica nesse conteúdo curricular

e aprofundar a discussão sobre o tema, busquei descobrir quais aspectos e

dimensões vêm sendo destacados e privilegiados pelos pesquisadores, e que

lacunas poderiam ser preenchidas pela minha pesquisa. Decidi, então, acessar os

resumos de dissertações de mestrado e teses de doutorado no Banco de Teses da

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e, tomei

por base os anos de 1987 a 2009, período que estava disponibilizado para consulta

pública.

Esse levantamento foi relatado e discutido em dois artigos produzidos por

Reis e Allevato (2011a, 2011b) e algumas análises serão apresentadas a seguir.

Foram encontradas 22 (vinte e duas) dissertações e 03 (três) teses, sendo

que a primeira dissertação foi produzida em 1994 e a primeira tese em 1998. As

instituições privadas tiveram uma quantidade maior de produção, 14 (quatorze), que

as instituições públicas, 11 (onze).

4 CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - A CAPES desempenha papel fundamental na expansão e consolidação da pós-graduação stricto sensu (mestrado e doutorado) em todos os estados da Federação. (BRASIL, 2013)

18

Verificou-se que, quanto à distribuição geográfica, a Região Sudeste foi

responsável por quase 70% da produção. A distribuição guarda relação com a

distribuição geográfica das instituições de educação superior brasileiras, que se

acham mais concentradas nas regiões sudeste e sul. Scarlato (2008) aponta a

região sudeste como pólo de concentração de renda – maior índice de Renda Per

Capita e maior produção industrial nacional – apresentando, também, as mais

elevadas taxas de urbanização e, consequentemente, a maior concentração

populacional do País. A minha pesquisa é mais uma que vem reforçar a questão da

produção nacional ter a maior concentração na Região Sudeste.

Tal estudo revelou que a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-

SP) foi a instituição que mais produziu pesquisas no tema aqui proposto, com 07

(sete) trabalhos.

Relativamente à análise dos resumos das dissertações e teses consultadas,

verifiquei que houve a predominância de estudos que focam a Resolução de

Problemas, com 07 das 25 pesquisas. Os títulos e resumos consultados voltam-se à

forma como as situações-problema podem levar educandos e professores a um

melhor entendimento do tema. Em segundo lugar, empatadas, aparecem estudos

com foco nas TICs (Tecnologias da Informação e Comunicação) e na abordagem

histórica (06 trabalhos cada um). Tratam principalmente do que diz respeito à

introdução das TICs e ao recurso às informações históricas como ferramentas

auxiliadoras nos processos de ensino e aprendizagem de Trigonometria. Em terceiro

lugar, encontram-se os estudos que focalizam a reflexão sobre a prática docente

(04), como os professores estão se preparando e se (re)adaptando para as

mudanças no mundo contemporâneo com relação às formas de ensinar e aprender

Trigonometria. Os estudos que focam a modelagem matemática foram 02 (dois).

Este mapeamento permitiu construir um panorama das pesquisas realizadas

em nível de mestrado e doutorado, envolvendo Trigonometria no triângulo retângulo.

A partir dele identifiquei que uma grande parte das pesquisas se preocupou em

discutir, compreender e analisar questões relativas à metodologia utilizada pelo

professor com a finalidade de propiciar, ao aluno, a construção do conhecimento.

Notei, pelas reflexões e angústias a partir da minha vivência e pelo levantamento

que fiz no Banco de Teses da CAPES, que discussões sobre como ocorrem as

19

interações entre professor e alunos e entre alunos, durante a construção do

conhecimento, precisavam ser aprofundadas e, dessa forma, encontrei uma lacuna

que a minha pesquisa pretende preencher.

Questões da pesquisa

Apresento, então, as questões (geral e específicas) que pretendo responder

com minha pesquisa.

Questão geral

Como ocorrem as interações em sala de aula, de alunos do Ensino Médio,

durante a construção do conhecimento quando o assunto é Trigonometria no

triângulo retângulo?

Questões específicas

- Quais são os caminhos, utilizados por estes alunos, para a construção do

conhecimento matemático?

- Que atitudes estes alunos mostram diante das interações que se

desenrolam em sala de aula?

- Como as relações professor-aluno-saber ocorrem nessas interações?

Organização da Tese

Esta tese encontra-se organizada em cinco capítulos, além das referências,

apêndices, anexos e desta introdução.

No primeiro capítulo são trazidas as discussões referentes à estrutura e aos

objetivos do Ensino Médio, da sua reforma aos dias atuais, e ao papel do ensino da

Matemática, neste contexto.

No segundo capítulo abordo a Trigonometria, trazendo elementos da sua

história, das suas aplicações e do seu ensino. Apresento, ainda, três quadros e uma

análise das pesquisas já produzidas sobre o tema, encontradas no banco de teses

20

da CAPES e que me possibilitaram encontrar uma lacuna, onde se insere minha

pesquisa.

No terceiro capítulo faço discussões e análises sobre um caminho para a

construção do conhecimento. Me apóio na Teoria das Situações Didáticas (TSD), de

Guy Brousseau, que representa uma referência para os processos de ensino e de

aprendigem matemática em sala de aula, e possibilita compreender as interações

entre professor, aluno e o saber. Discuto os saberes científico, a ensinar e ensinado,

ressaltando o saber matemático, nas concepções do platonismo, formalismo e

construtivismo. Enfatizo o papel do professor e dos alunos, nas situações didáticas e

a-didáticas, e a importância das situações de devolução, ação, formulação,

validação e institucionalização do saber. Trago elementos sobre o contrato didático e

os recursos de apoio aos processos de ensino e aprendizagem

No quarto capítulo trato da pesquisa científica e de sua relevância no

ambiente educacional. Abordo a metodologia de pesquisa adotada neste trabalho

investigativo, que é de natureza qualitativa. Por fim, detalho os métodos de

investigação que foram utilizados para a realização da coleta dos dados.

No quinto capítulo apresento o relato e a análise dos dados colhidos durante

três encontros e nos questionários aplicados, com o propósito de responder as

questões que nortearam minha pesquisa.

Finalizo este relatório com as considerações finais, apresentando, também,

algumas sugestões para o desenvolvimento de novos trabalhos.

21

CAPÍTULO 1

“Quando a escola progride, tudo progride.” Martinho Lutero

1 O ENSINO MÉDIO BRASILEIRO

Neste capítulo faço um relato sobre a trajetória do Ensino Médio Brasileiro

destacando a dualidade dos seus objetivos, a reforma nos anos 1990, suas

implicações nos dias atuais, e o papel do ensino da Matemática, neste contexto.

1.1 Um panorama histórico

Em 1961, o Governo Federal, por intermédio do Ministério da Educação e do

Desporto, aprovou a Lei 4024 de 20 de dezembro, a primeira Lei de Diretrizes e

Bases da Educação Brasileira, organizando a educação nacional, em três níveis: a

Educação de Grau Primário; a Educação de Grau Médio e a Educação de Grau

Superior. De acordo com essa Lei, o atual Ensino Médio estava incluído na

Educação de Grau Médio, que era estruturado em dois ciclos (ginasial e o colegial),

e abrangia, entre outros, o curso secundário, os cursos técnicos e o curso de

formação de professores para o ensino primário e pré-primário5. No texto da Lei,

enquanto a Educação de Grau Primário tinha por finalidade o desenvolvimento do

raciocínio e das atividades de expressão da criança, e sua integração no meio físico

e social, a Educação de Grau Médio destinava-se à formação do adolescente. Não

havia nenhuma especificação sobre que tipo de formação era essa.

O Ensino de 1o e 2o graus foi regulamentado, em 1971, pela Lei no 5692/716,

produzindo, então, alterações na educação nacional:

Art. 1º O ensino de 1o e 2

o graus tem por objetivo geral proporcionar ao

educando a formação necessária ao desenvolvimento de suas potencialidades como elemento de auto-realização, qualificação para o trabalho e preparo para o exercício consciente da cidadania.

5 Lei n

o 4024/61, de 20 de dezembro de 1961, fixa as Diretrizes e Bases da Educação Nacional.

(BRASIL,1961) 6 Lei n

o 5692/71, de 11 de agosto de 1971, fixa Diretrizes e Bases para o Ensino de 1

o e 2

o graus e dá

outras providências. (BRASIL,1971)

22

§ 1º Para efeito do que dispõe os artigos 176 e 178 da Constituição, entende-se por Ensino Primário a educação correspondente ao Ensino de primeiro grau e por Ensino Médio, o de segundo grau. (BRASIL, 1971)

Com relação aos currículos, o texto da Lei deixa explícito que os currículos de

Ensino de 1o e 2o graus terão um núcleo comum e uma parte diversificada

atendendo, conforme as necessidades e possibilidades concretas, as peculiaridades

locais, os planos dos estabelecimentos e as diferenças individuais dos alunos. Para

o Ensino de 2o grau, a Lei enfatiza o mínimo a ser exigido em cada habilitação

profissional ou conjunto de habilitações afins.

Fica evidente, no Art. 5o, a preocupação com a educação geral, nas séries

iniciais, e com a formação especial, nas finais. Segundo tal artigo,

a parte de formação especial de currículo:

a) terá o objetivo de sondagem de aptidões e iniciação para o trabalho, no Ensino de 1º grau e de habilitação profissional, no Ensino de 2

o grau.

b) será fixada, quando se destine a iniciação e habilitação profissional, em consonância com as necessidades do mercado de trabalho local ou regional, à vista de levantamentos periodicamente renovados. (BRASIL, 1971)

Tal lei foi responsável pelo rompimento de uma tradição secular que não

vinculava o Ensino Médio estritamente ao mundo do trabalho profissional e tornou

obrigatória a aquisição de uma profissão pelo estudante, mesmo àquele que

buscava o 2o grau apenas como caminho para o Ensino Superior. Foi o primeiro e

importante passo para a integração do mundo do trabalho à formação obtida na

escola de Grau Médio. Segundo Nascimento e Collares (2005, p. 76), a lei

reconheceu “a integração completa do ensino profissionalizante ao sistema regular

de ensino, estabelecendo a plena equivalência entre os cursos profissionalizantes e

o propedêutico, para fins de prosseguimento nos estudos”.

Em 1982, a ênfase na formação profissional é mitigada quando a Lei no

7044/827 altera dispositivos na Lei 5692, referentes à profissionalização do Ensino

de 2o grau.

7Lei n

o 7044/82, de 18 de outubro de 1982, altera dispositivos da Lei n

o 5692, referentes à

profissionalização do ensino de 2o grau. (BRASIL, 1982)

23

Art. 1º - O Ensino de 1o e 2

o graus tem por objetivo geral proporcionar ao

educando a formação necessária ao desenvolvimento de suas potencialidades como elemento de auto-realização, preparação para o trabalho e para o exercício consciente da cidadania.(BRASIL, 1982) (grifo nosso)

A expressão qualificação para o trabalho é substituída por preparação para o

trabalho, o que revela, mais uma vez, a preocupação com a formação técnica.

Concordo com Scheibe (1992)8, quando afirma que a formação técnica dos jovens “é

preocupação central para a reorganização do Ensino Médio, desde que se tome o

entendimento desta formação não num sentido tecnológico e restritivo, de formação

profissional estreita e limitada”.

No contexto do conjunto de reformas empreendidas pelo estado brasileiro na

década de 1990, sinalizando que o progresso social e a inserção do país na

economia globalizada dependem dos jovens e do sistema que os educa, o Governo

Federal aprovou, em 1996, a Lei no 9394/96, Lei de Diretrizes de Bases da

Educação Nacional (LDBEN)9, que regulamenta a educação escolar, da Educação

Infantil à Superior, dividindo-a em dois níveis: Educação Básica e Educação

Superior. A Educação Básica é composta pela Educação Infantil, Ensino

Fundamental e Ensino Médio.

Quanto ao Ensino Médio, destacamos que suas finalidades relacionadas na

Lei acentuam a formação geral, diluindo seus traços profissionalizantes com o

reforço dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental, com a preparação

para o trabalho vinculada à formação para a cidadania e à capacidade de continuar

aprendendo, além do aprimoramento do estudante como pessoa. É interessante

notar o modo como, no texto da Lei, a preparação para o trabalho perpassa a

formação geral: primeiro, ao associar a preparação para o trabalho à formação

cidadã e, segundo, no vínculo entre teoria e prática no ensino de cada disciplina

para promover a compreensão dos fundamentos científicos e tecnológicos dos

processos produtivos.

Camargo (2007, p. 6) reforça as ideias preconizadas na lei afirmando que “o

sentido de função social do Ensino Médio refere-se ao compromisso do Estado em

8 Alguns textos foram localizados nos sites da internet e, portanto, as páginas não estavam

numeradas.

24

relação a uma oferta educacional que atenda aos interesses da sociedade,

propiciando uma efetiva atuação cidadã”.

Entendo que a sociedade se modernizou, por conta das novas demandas

sociais e tecnológicas, mas mesmo diante do que já indicava a lei, a oferta ainda

deixa lacunas e, essa formação para a efetiva atuação cidadã, parece que o Ensino

Médio ainda não foi capaz de suprir.

O Ensino Médio, estando situado entre os dois outros níveis de ensino, o

Fundamental e o Superior, parece carecer de uma identidade própria, conforme

argumentam Domingues et al. (2000, p. 68), “especialmente pelo caráter

homogeneizador causado pelo vestibular, ou melhor, pelo processo seletivo para

ingresso no Ensino Superior.”

Esta dualidade de objetivos é analisada também por Saviani (1988, p.

89), quando afirma que a escola média é vítima de “um movimento pendular: ora

concebida como ensino propedêutico, preparatório ao Ensino Superior, dando

continuidade ao modelo que caracteriza o primeiro grau de ensino; ora pensada

como ensino profissionalizante [...].” Tais preocupações, embora trazidas à tona em

1988, ainda se fazem presentes, nos ambientes atuais do Ensino Médio.

Desse modo, observamos dois desafios que o novo Ensino Médio passa a

enfrentar simultaneamente, além de toda a dificuldade para a sua atualização: o

Ensino Médio como via de acesso ao Ensino Superior e como etapa de preparação

para o trabalho, diferenciado do até então realizado.

1.2 A Reforma

Em 1997, o Governo Federal começou outra reforma no Ensino Médio, por

meio de leis, decretos, resoluções, pareceres e diretrizes, dos quais destaco alguns

itens apresentando um painel da orientação vigente com o intuito de ampliar a

compreensão desse nível de ensino e, também, do exame moldado para

acompanhar a implantação de sua reforma.

9 Lei n

o 9394, de 20 de dezembro de 1996, estabelece as diretrizes e bases da educação nacional.

(BRASIL, 1996)

25

A Lei 9394/96, em seu artigo 40, desvinculou a Educação Profissional do

Sistema de Educação Nacional, possibilitando a articulação e não mais a integração,

conforme ocorria anteriormente. Com o intuito de regulamentar a Educação

Profissional, em 1998, o Decreto Federal no 2208/9710, estabelece que:

Art.1o - A Educação profissional tem por objetivos, entre outros:

I – promover a transição entre a escola e o mundo do trabalho, capacitando jovens e adultos com conhecimentos e habilidades gerais e específicas para o exercício de atividades produtivas;

II – proporcionar a formação de profissionais, aptos a exercerem atividades específicas no trabalho, com escolaridade correspondente aos níveis médio, superior e de pós-graduação;

III – qualificar, reprofissionalizar e atualizar jovens e adultos trabalhadores, com qualquer nível de escolaridade, visando a sua inserção e melhor desempenho no exercício do trabalho. (BRASIL, 1997)

De acordo com o Decreto, a Educação Profissional foi dividida em três níveis

de ensino: básico (destinado à qualificação e reprofissionalização de trabalhadores

independente de escolaridade prévia); técnico (destinado a proporcionar habilitação

profissional a alunos matriculados ou egressos do Ensino Médio) e tecnológico

(correspondente a cursos de nível superior na área tecnológica, destinados a

egressos do Ensino Médio e Técnico). No artigo 5o é ressaltada que “a organização

curricular deve ser própria e independente do Ensino Médio, podendo ser oferecida

de forma concomitante ou sequencial a este”.

O Decreto, separando o Ensino Médio e a Educação Profissional, consagra

essa dualidade, na esfera legal. Para cumprir a dupla função de aprofundar os

conhecimentos do Ensino Fundamental e preparar o jovem para o trabalho e para o

exercício da cidadania, entendemos que o Ensino Médio deve buscar sua integração

com a Educação Profissional técnica de nível médio e para isto é fundamental,

segundo Moura (2006, p. 2), “a ampliação desse nível de ensino, de forma gratuita,

laica e com qualidade nos sistemas públicos de educação”.

Ainda, sobre as mudanças, fica evidente que a função do Ensino Médio

[...] é estimular o desenvolvimento das habilidades, das qualidades e das capacidades individuais dos jovens que, uma vez inseridos no mercado de

10

Decreto Federal no 2208, de 17 de abril de 1997, regulamenta a educação profissional. (BRASIL,

1997)

26

trabalho, fornecerão a força motriz necessária para ajudar no desenvolvimento social e econômico do país. O discurso oficial argumenta que, através do desenvolvimento de habilidades e competências gerais, o jovem poderá preparar-se para a vida e para inserir-se no mercado de trabalho. (ZANCHET, 2005, p. 168)

No mesmo ano, o Parecer CEB no 15/9811 e a Resolução CEB no 3/98,

instituíram as Diretrizes Curriculares Nacionais do Ensino Médio – DCNEM,

fundamentando e orientando nova reforma do Ensino Médio. As Diretrizes, de

acordo com a Resolução,

[...] se constituem num conjunto de definições doutrinárias sobre princípios, fundamentos e procedimentos a serem observados na organização pedagógica e curricular de cada unidade escolar integrante dos diversos sistemas de ensino, em atendimento ao que manda a lei, tendo em vista vincular a educação com o mundo do trabalho e a prática social, consolidando a preparação para o exercício da cidadania e propiciando preparação básica para o trabalho. (BRASIL, 1998, p. 101)

Ainda nesse documento, o artigo 5o deixa clara a forma como as escolas

deverão organizar seus currículos buscando cumprir as finalidades do Ensino Médio.

No texto, é ressaltado, entre outros pontos, que:

I - os conteúdos curriculares não são fins em si mesmos, mas meios básicos para constituir competências cognitivas ou sociais, priorizando-as sobre as informações;

II – as linguagens são indispensáveis para a constituição de conhecimentos e competências;

III – as metodologias de ensino devem ser diversificadas, estimulando a reconstrução do conhecimento e mobilizando o raciocínio, a experimentação, a solução de problemas e outras competências cognitivas superiores.

IV- reconhecer que as situações de aprendizagem provocam também sentimentos e requerem trabalhar a afetividade do aluno. (BRASIL, 1998, p. 102)

Assim, advindo da necessidade de adequar o Ensino Médio às mudanças

causadas pela ruptura tecnológica (o computador como ferramenta auxiliar do

ensino), bem como pelas novas dinâmicas sociais e culturais, a reforma foi

necessária e se tornou uma das prioridades de política educacional do Governo

Federal.

11

Parecer CEB no 15/98, de 01 de junho de 1988 sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio. (BRASIL, 1998, p. 101)

27

Um ano depois, para completar a reforma, o Ministério da Educação e do

Desporto publica os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

(PCNEM)12. Os PCNEM, segundo Martins,

[...] ratificam em sua primeira parte, denominada Bases Legais, a concepção encontrada de forma menos elaborada nos documentos preliminares do Ministério e na Resolução n. 3/98, de que a educação constitui um processo intrinsecamente relacionado ao mundo produtivo e de que o conhecimento conquista, definitivamente, uma instrumentalidade conferida pelos novos paradigmas econômicos, sociais e culturais. (MARTINS, 2000, p. 15)

Nos PCNEM recomenda-se que o aluno deixe de ser encarado como um

espectador passivo e passe a ser concebido como o produtor de uma aprendizagem

significativa em direção ao conhecimento abstrato.

Concordo com Camargo (2007, p. 11) quando sinaliza ser necessário o

deslocamento da “transmissão do conhecimento intelectual para a construção do

conhecimento de forma empírica, ficando implícita a necessidade de reestruturar as

escolas em relação aos recursos físicos e humanos”.

Vale ressaltar que os movimentos desencadeados por essas reformas fazem

crescer a consciência de que o conhecimento, diferentemente de outrora, deixa de

ser transmitido e passa a ser construído. Dessa forma, as instituições escolares

assumem papel fundamental de criar um espaço de atividades de convivência para

que o educando, de maneira ativa, desenvolva competências, conhecimentos e

atitudes que traduzam as finalidades do Ensino Médio.

Verifico, então, que o Ensino Médio foi se remodelando a partir de leis,

decretos, pareceres, planos e diretrizes, mas sua reforma parece ter oficializado um

modelo que, para a maior parte da sociedade brasileira e, principalmente, para as

classes sociais menos favorecidas, ainda carece de significado ou não altera seu

sentido, pois se apresenta, quando muito, como uma ponte entre o Ensino

Fundamental e o Ensino Superior.

Nesse quadro, o Ensino Médio tem de assumir a tarefa de preparar cidadãos

para uma sociedade cada vez mais exigente em termos de qualificação profissional

12

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio são o resultado de meses de trabalho e de discussão realizados por especialistas e educadores de todo o país. Foram feitos para auxiliar as equipes escolares na execução de seus trabalhos. Servirão de estímulo e apoio à reflexão sobre a prática diária, ao planejamento de aulas e sobretudo ao desenvolvimento do currículo da escola, contribuindo ainda para a atualização profissional. (BRASIL, 1999)

28

específica, permeada por novas tecnologias, e de possibilitar o ingresso de parcelas

significativas de seus cidadãos a patamares mais elaborados do saber.

Embora existam programas do Governo Federal que propiciem aos cidadãos

acessar o Ensino Superior, percebe-se que há ainda uma parcela destes que

preferem investir seus esforços na busca por um trabalho que não exija tais

conhecimentos.

De fato, essa questão se apresenta, ainda hoje, bastante complexa. Com a

ênfase no ensino profissionalizante, em maio/junho de 2006, o Ministério da

Educação divulgou uma proposta pedagógica para o Ensino Integrado, segundo a

qual,

[...] a oferta do Ensino Médio integrado à Educação Profissional deverá contribuir com a melhoria da qualidade dessa etapa final da educação básica. Em termos curriculares, essa modalidade reunirá conteúdos do Ensino Médio e da formação profissional que deverão ser trabalhados de forma concomitante, durante todo o curso, assegurando o imprescindível diálogo entre teoria e prática. Aos alunos será dada a oportunidade de concluir o Ensino Médio e, ao mesmo tempo, adquirir uma formação específica para sua inclusão no mundo do trabalho. (BRASIL, 2006, p. 4)

A proposta tem como finalidade proporcionar, aos jovens e adultos do Ensino

Médio Integrado ao Técnico, melhores condições de trabalho, de inclusão social e

de cidadania, em busca de uma qualificação e de novas perspectivas para suas

vidas.

No intuito de possibilitar essa qualificação, o Governo Federal criou, em 2011,

o Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego (PRONATEC), que

tem por objetivos, entre outros:

- expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de educação profissional técnica de nível médio e de cursos de formação inicial e continuada ou qualificação profissional presencial e a distância;

- aumentar a quantidade de recursos pedagógicos para apoiar a oferta de educação profissional e tecnológica;

- melhorar a qualidade do Ensino Médio. (BRASIL, 2011)

Para a efetivação do PRONATEC o Governo Federal estabeleceu algumas

metas: expandir a Rede Federal; ampliar a oferta e fortalecer a Educação

Profissional e Tecnológica integrada ao Ensino Médio nas redes estaduais

(Programa Brasil Profissionalizado); oferecer, gratuitamente, cursos técnicos e de

29

formação inicial e continuada ou de qualificação profissional, na modalidade a

distância (Rede e-TecBrasil).

Saldanha (2012), afirma que

o Ensino Médio integrado à Educação Profissional considera a realidade brasileira e a necessidade de milhões de jovens brasileiros em se profissionalizarem durante o Ensino Médio. Para tanto, a formação mais completa para estes jovens implica em uma formação geral propiciada pelo Ensino Médio mediante a compreensão de conhecimentos científico-tecnológicos e socioculturais para a realização de uma leitura crítica do mundo, integrada a uma formação profissional que lhes permita garantir suas sobrevivências. Considera-se que a educação, enquanto processo de formação humana, possui a dupla dimensão de transformação e a de reprodução. (SALDANHA, 2012)

Entendo que a escola média deve ser uma instituição que atenda jovens e

adolescentes como aprendizes de conteúdos específicos e também como pessoas

que desempenham diversos papéis e atuam em diferentes campos da sociedade,

exercendo, portanto, sua cidadania. Desse modo, a profissionalização, no Ensino

Médio, se faz necessária para que os estudantes possam garantir suas

sobrevivências. O Governo sinaliza, com oportunidades e condições, que os jovens

sejam atendidos reforçando a função da escola como instância na qual se

desenvolve os processos de ensino e aprendizagem.

No complexo processo anteriormente referido, a escola, e mais precisamente

a sala de aula, constitui-se em um cenário no qual se estabelecem inter-relações

entre o professor, o educando e os saberes disciplinares.

Estas inter-relações possibilitam, também, que o aluno desenvolva sua

autonomia política e intelectual. Configura-se, então, a importância do ensino da

Matemática. Segundo Lopes (2006, p. 8), “ao se examinar o ensino da Matemática

com certa profundidade de reflexão, nota-se o quanto ela é capaz de contribuir à

formação social e profissional dos alunos, proporcionando-lhes desenvolvimento”.

Atendendo às iniciativas do Governo Federal, o Instituto Federal de

Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo (IFSP), Campus Cubatão, reformulou

o Ensino Médio por ele ofertado e, em 2009, passou a oferecer o Ensino Médio

Integrado ao Técnico, na modalidade de Informática. Pela organização didática, o

antigo Ensino Médio era dividido em 3 (três) séries anuais, e o novo Ensino Médio

Integrado ao Técnico, em 4 (quatro) séries anuais. Por conta da inserção de

30

disciplinas específicas de Informática, a grade curricular foi modificada, e a disciplina

de Matemática, que antes era contemplada com 4 (quatro) aulas semanais em todas

as séries, passou a ter 3 (três) aulas semanais nas 3 (três) primeiras séries e 2

(duas) aulas semanais na 4a série. Nota-se, então, que da disciplina de Matemática

foi suprimida 1 (uma) aula e o conteúdo programático teve que ser redimensionado

para proporcionar um ensino de qualidade.

1.3 O ensino da Matemática

A Matemática, através do desenvolvimento de técnicas intelectuais, capacita

o aluno a enfrentar situações e problemas novos, modelando adequadamente uma

situação real para, assim, chegar a uma solução. Para D’Ambrosio (1986), a

capacidade de explicar, aprender, compreender e enfrentar situações novas, chama-

se aprendizagem de excelência.

Essa aprendizagem de excelência está enraizada nos propósitos da

Educação Matemática. Na Matemática, enquanto conhecimento acumulado e

organizado, é indispensável que o aluno estabeleça, gradualmente, a diferença entre

os vários procedimentos de descoberta, invenção e validação. Em particular, é

interessante que ele compreenda a distinção entre uma prova lógico-dedutiva e uma

verificação empírica, seja essa baseada na visualização de desenhos, na construção

de modelos materiais ou na medição de grandezas. Dessa forma, o Ensino Médio

pode cumprir seu papel de ampliação, aprofundamento e organização dos

conhecimentos matemáticos adquiridos no Ensino Fundamental, fase em que

predominam, na abordagem da Matemática, os procedimentos indutivos, informais,

nem sempre rigorosos (do ponto de vista da linguagem matemática).

No que se refere ao Ensino da Matemática, os PCNEM (BRASIL, 1999)

articulam, de forma complexa e indissociável, dois aspectos. O primeiro, é o das

aplicações a várias atividades humanas, que têm sido origem de muitos dos

modelos abstratos da ciência. Outro, é o de uma ciência pura, voltada para

problemas gerados no próprio edifício da Matemática e que, em muitos casos,

revelaram-se fonte de surpreendentes aplicações. Além desses aspectos, a

dimensão estética está presente em muitas das construções matemáticas. Podem

31

ser lembradas, ainda, as ligações existentes, há milênios, entre a Matemática e as

atividades lúdicas das pessoas.

Nesse contexto, os PCNEM (1999) apontam que o ensino da Matemática

pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à

representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à

contextualização sociocultural.

Há de se ressaltar que encontramos, na maioria das atividades humanas,

problemas que remetem aos atos de codificar, quantificar, analisar, contar,

interpretar, ordenar, generalizar e estabelecer relações. Os últimos anos foram

caracterizados por profundas e aceleradas mudanças nos meios de produção e

circulação de bens e mercadorias, de intercâmbio e informações, e de ampliação

rápida e gradativa do conhecimento científico. As práticas sociais – venda, compra,

empréstimo, crediário, seguros, contas bancárias – e as práticas científicas ou

tecnológicas, estão cada vez mais utilizando a Matemática. Especialmente no dia a

dia do cidadão, ficam evidentes as repercussões dos recursos tecnológicos. Além

disso, as pessoas estão expostas a muitas informações que, para serem entendidas,

exigem a leitura e interpretação de tabelas e gráficos, o que demanda o

conhecimento de noções básicas de Estatística e Probabilidades, por exemplo.

Cada vez mais, é requisitada a capacidade de resolver problemas e enfrentar

situações complexas, expondo e compreendendo ideias. Tais argumentos mostram

a importância do Ensino da Matemática.

Referendando tal importância, em 2011, o Ministério da Educação publicou o

Guia de Livros Didáticos para a Matemática, documento que faz parte do PNLD

201213, elencando capacidades que o ensino da Matemática deve propiciar aos

estudantes, entre outras:

[...]

- planejar ações e projetar soluções para problemas novos, que exijam iniciativa e criatividade;

13

O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) tem como principal objetivo subsidiar o trabalho pedagógico dos professores por meio da distribuição de coleções de livros didáticos aos alunos da Educação Básica. Após a avaliação das obras, o Ministério da Educação (MEC) publica o Guia de Livros Didáticos com resenhas das coleções consideradas aprovadas. O guia é encaminhado às escolas, que escolhem, entre os títulos disponíveis, aqueles que melhor atendem ao seu projeto político pedagógico. (BRASIL, 2013)

32

- compreender e transmitir ideias matemáticas, por escrito ou oralmente, desenvolvendo a capacidade de argumentação;

- interpretar matematicamente situações do dia a dia ou do mundo tecnológico e científico e saber utilizar a Matemática para resolver situações-problema nesses contextos;

- avaliar os resultados obtidos na solução de situações-problema;

- fazer estimativas mentais de resultados ou cálculos aproximados;

- saber empregar os conceitos e procedimentos algébricos, incluindo o uso do conceito de função e de suas várias representações (gráficos, tabelas, fórmulas, etc.) e a utilização das equações;

- estabelecer relações entre os conhecimentos nos campos de números e operações, funções, equações algébricas, geometria analítica, geometria, estatística e probabilidades, para resolver problemas, passando de um desses quadros para outro, a fim de enriquecer a interpretação do problema, encarando-o sob vários pontos de vista. (BRASIL, 2012, p. 9)

Tais capacidades, intrínsecas do conhecimento matemático, credenciam a

Matemática como uma ciência com linguagem essencial para a interpretação e

compreensão do meio em que estamos inseridos.

No Ensino Médio, se faz necessário que a escolha dos conteúdos leve em

consideração os diferentes propósitos da formação matemática na Educação Básica.

Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio,

[...] ao final dessa etapa de ensino, espera-se que os alunos: saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano e para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento; compreendam que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído; saibam apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico. (BRASIL, 2006, p. 69)

O documento sinaliza que os conteúdos devem ser trabalhados buscando

agregar um valor formativo no que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento

matemático. Deve-se, então, valorizar o raciocínio matemático nesse processo de

aprendizagem. Deve-se possibilitar que o educando formule questões, pergunte

sobre a existência de solução, estabeleça hipóteses e tire conclusões, apresente

exemplos e contraexemplos, generalize situações, abstraia regularidades, crie

modelos e argumente com fundamentação lógico-dedutiva.

Tratando o ensino da Matemática, como uma atividade intelectual intensa de

caráter explicativo, D’Amore (2007, p. 18) afirma que este se “sustenta no apreço

33

pela beleza formal, nas noções de prova e argumentação, e que se expressa por

meio de uma grande variedade de ações, termos, símbolos, técnicas, atitudes e

recursos”.

Os processos de ensino devem valorizar tanto a apresentação de

propriedades matemáticas acompanhadas de explicação, quanto a de fórmulas

acompanhadas de dedução, e justificar o uso da Matemática para a resolução de

problemas interessantes, quer sejam de aplicação ou de natureza simplesmente

teórica.

Creio no princípio de que as situações de ensino devam propiciar o

desenvolvimento de habilidades que caracterizem o “pensar matematicamente”.

Nesse sentido, deve-se priorizar a qualidade do processo e não a quantidade de

conteúdos a serem trabalhados. Os conteúdos devem ser escolhidos com cuidado e

segundo critérios que propiciem ao educando um fazer matemático por meio de um

processo investigativo que o auxilie na construção de conhecimento. Nas DCNEM é

salientada a necessidade de algumas vezes, de forma intencional,

[...] serem retomados assuntos já tratados no Ensino Fundamental – é o momento de consolidar certos conceitos e ideias da matemática escolar que dependem de explicações cuja compreensão exige uma maior maturidade. Sugestões quanto à forma de trabalhar os conteúdos acompanham o detalhamento sempre que possível, destacando-se o valor formativo agregado e descartando-se as exigências de memorização, as apresentações de “regras” desprovidas de explicações, a resolução de exercícios repetitivos de “fixação” ou a aplicação direta de fórmulas. (BRASIL, 2006, p. 70)

Neste documento, os conteúdos básicos estão organizados em quatro blocos:

Números e operações; Funções; Geometria; e Análise de dados e probabilidade.

Sinaliza-se que os conteúdos, embora divididos em blocos, não devam ser

trabalhados de forma estanque, buscando, constantemente, a articulação entre eles.

Nota-se, ainda, que na organização dos conteúdos matemáticos, a Trigonometria

está inserida como tópico da Geometria Plana.

Tal inserção é ratificada por Lima (1997, p. 85) afirmando que o objeto inicial

da Trigonometria era o “tradicional problema da resolução de triângulos, que

consiste em determinar os seis elementos dessa figura (três lados e três ângulos)

quando se conhecem três deles, sendo pelo menos um deles um lado”.

34

Os caminhos pelos quais passa o Ensino Médio brasileiro, assim como os

objetivos do Ensino da Matemática, me ajudaram a estabelecer um paralelo entre o

que foi observado em sala de aula e o que preconizam os documentos e as

orientações curriculares.

Por conta desta pesquisa o foco do próximo capítulo é o Ensino de

Trigonometria e, mais precisamente, a Trigonometria no triângulo retângulo.

35

CAPÍTULO 2

Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação.

E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. Amoroso Costa

2 A TRIGONOMETRIA

Neste capítulo o assunto é a Trigonometria. Trago elementos da sua história,

das suas aplicações e do seu ensino. São apresentados, ainda, três quadros e uma

análise sobre as pesquisas já produzidas, incluídas no banco de teses da CAPES.

2.1 A história da Trigonometria

2.1.1 As origens

A Trigonometria tem origem incerta. Alguns documentos revelam que, por

volta do século IV ou V a.C., egípcios e babilônios tentavam resolver problemas

gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações e iniciou-se, então, a

Trigonometria. Foram encontrados, também, problemas envolvendo a cotangente no

Papiro Rhind14 e uma tábua de valores de secantes na tábula cuneiforme

babilônica Plimpton 32215.

14

Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao desgaste do tempo por mais de três milênios e meio. O mais extenso dos de natureza matemática é um rolo de papiro com cerca de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, que está agora no British Museum, exceto uns poucos fragmentos que estão no Brooklin Museum. Foi comprado em 1858 numa cidade à beira do Nilo, por um antiquário escocês, Henry Rhind, que lhe emprestou o nome. Às vezes, é chamado Papiro Ahmes em honra ao escriba que o copiou por volta de 1650 a.C. O escriba conta que o material provém de um protótipo do Reino do Meio, de cerca de 2000 a 1800 a.C., e é possível que parte desse conhecimento tenha provindo de Imhotep, o quase lendário arquiteto e médico do Faró Zoser, que superintendeu a construção de sua pirâmide há cerca de 5000 anos. De qualquer modo, a matemática egípcia parece ter ficado estagnada por cerca de 2000 anos, após um início bastante auspicioso. (BOYER, 1974) 15

Talvez a mais notável das tabulas matemáticas babilônias já analisadas. O nome indica tratar-se da tabula da coleção G.A. Plimpton da Universidade de Colúmbia, catalogada sob o número 322. A tabula foi escrita no período Babilônico Antigo – aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C. – e os primeiros a descrever seu conteúdo foram Negebauer e Sacs, em 1945. (EVES, 1997)

36

A Trigonometria, palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos

(ângulos) e metron (medir), tem por objetivo o cálculo das medidas dos lados e

ângulos de um triângulo. Os gregos fizeram um estudo sistemático das relações

existentes entre ângulos (arcos) numa circunferência e os comprimentos de suas

cordas, e há indicações de que o conceito de medida de ângulo surgiu com eles,

adotando as frações sexagesimais, talvez, por contato com a civilização babilônica.

Na segunda metade do século II a.C., o astrônomo Hiparco de Nicéia passou

a ser chamado "o pai da Trigonometria", pois fez um tratado em doze livros em que

se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica,

incluindo uma tábua de cordas. Um texto denominado História da Trigonometria, da

Universidade de São Paulo - USP, revela que Hiparco era um astrônomo e,

evidentemente, fez esses cálculos para usá-los nos estudos dessa área. O

documento revela que

Hiparco era uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu

16. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a

Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios.(USP, 2013)

O estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda foi a base da

Trigonometria. Surgiram, então, os conceitos de seno, cosseno e tangente de um

ângulo. Os dois primeiros se originaram nos problemas relativos à Astronomia

enquanto que o último veio da necessidade de calcular alturas e distâncias.

Algumas obras foram escritas sobre a Trigonometria, no entanto, a mais

influente e significativa obra trigonométrica da Antiguidade foi a Syntaxis

mathematica ou Almajesto, obra contendo 13 livros, escrita por Ptolomeu de

Alexandria. O texto afirma que ele

dividiu a circunferência em 360 partes e o diâmetro em 120 partes. Usou 377/120 como aproximação para o número π. Embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas das cordas, utilizou o que pode ser

16

Cláudio Ptolomeu foi um sábio grego do séc. II, estudioso e pesquisador de matemática, geografia e astronomia, nascido em Ptolemaida. Com base em observações astronômicas por ele anotadas, sabe-se que trabalhou em Alexandria, no Egito, entre 127 e 151 d.C., ficando assim conhecido como Ptolomeu de Alexandria. Sua maior obra consiste em 13 livros sobre Astronomia, Geometria e Trigonomotria, e a Megale Syntax, em grego, ou Almajesto, em árabe. Ptolomeu também escreveu um tratado de três volumes sobre música, conhecido como Harmônica, que contém a teoria matemática dos sons empregados na música grega. (USP, 2013)

37

considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental sen

2x+cos

2x=1.(USP, 2013)

O Almajesto representou, durante seis séculos, a mais importante fonte de

consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém, no século VIII, as atenções

dos cientistas foram voltadas para as obras trigonométricas de um povo, que sempre

surpreendera o mundo com sua Matemática original e criativa, os Hindus.

Foi na Índia que se deu o descobrimento da mais antiga tábua de

senos. Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de

cordas que são, agora, tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. No trabalho

de Brahmagupta, em 628, tal tabela foi reproduzida e, em 1150, um método

detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado

por Bhaskara17.

O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade.

Muito se acredita que este nome se deve ao fato de o gráfico da função

correspondente ser bastante sinuoso. Mas, o conceito matemático de seno não tem

nada a ver com sinus, tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra,

bolso ou prega de uma vestimenta. É uma tradução defeituosa que persiste nos dias

atuais. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em

latim, eles traduziram jaib na palavra sinus.

Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao

desenvolvimento da notação. A função tangente, entretanto, tinha ideias associadas

a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. O tamanho da sombra

era modificado pela variação na elevação do Sol, que causava uma variação no

ângulo que os raios solares formavam com a vara.

Desse modo, o caminho que trouxe a tangente e a cotangente foi diferente

daquele das cordas que geraram o seno. Os conceitos foram desenvolvidos juntos e

não foram primeiramente associados a ângulos, sendo importantes para calcular o

comprimento da sombra que é produzida por um objeto. Segundo o texto, “o

comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou

os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides através da

semelhança de triângulos.” (USP, 2013).

17

Bhaskara nasceu em 1114, na cidade de Vijayapura, na Índia (USP, 2013)

38

Os conceitos de secante e cossecante não foram usadas pelos antigos

astrônomos ou agrimensores. Eles surgiram quando os navegadores, por volta do

século XV, começaram a preparar tabelas.

2.1.2 As aplicações

Inicialmente, a Trigonometria foi estudada por suas aplicações na

Astronomia. Ptolomeu a levou para a Cartografia, quando a usou para determinar a

latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas. Os

portugueses da Escola de Sagres encontraram aplicações de grande valor

econômico na navegação oceânica e, segundo um texto denominado Aplicações

Clássicas da Trigonometria, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul –

UFRGS,

[..] todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante se observar que, por volta de 1600 dC, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no Ensino Médio. (UFRGS, 2013)

O físico Snell, conhecido pela lei da refração, introduziu a ideia de

triangulação, com o propósito de determinar coordenadas dos pontos de uma região

na superfície da Terra. Basicamente tal ideia consistia em: cobrir uma região,

normalmente escolhida em topos de montanhas, torres de igrejas e outros pontos de

fácil visualização, com uma cadeia de triângulos de vértices A, B, C; medir o

comprimento do lado AB, que deve estar, de preferência sobre um terreno plano,

para facilitar as medidas; medir os ângulos dos triângulos da cadeia; calcular o

comprimento de todos os lados do triângulos da cadeia; calcular as coordenadas

(latitude e longitude) de um dos vértices, usando a Astronomia.

Vieram, então, as triangulações usadas pela Topografia e Geodésia. O texto

da UFRGS revela que

se a região tiver um diâmetro de até cerca de 20 Km, podemos considerar os triângulos da cadeia como planos, e dizemos que temos uma triangulação topográfica. Para regiões maiores precisamos levar em conta a esfericidade da Terra, tratando os triângulos da cadeia como triângulos esféricos e dizemos que temos uma triangulação geodésica. (UFRGS, 2013)

39

No entanto, as técnicas usadas não eram suficientes para evitar erros de

medidas, o que comprometia a qualidade dos mapas de diâmetro maior que 20 km.

Então, em 1820, o matemático Gauss18 introduziu o tratamento dos erros de

observação na Geodésia e na Topografia. Embora conhecido como matemático

puro, Gauss ganhava seu sustento com as aplicações que fazia nessas áreas. O

texto da UFRGS (2013) afirma que

Gauss acabou desenvolvendo uma série de resultados matemáticos (teoremas sobre a distribuição normal ou gaussiana, o método da regressão linear, etc) para poder controlar o efeito dos erros de observação nos levantamentos geodésicos, bem como renovou (com cuidados relevantes às necessidades de alta exatidão em Geodésia) as técnicas de resolução dos triângulos e os métodos geodésicos tradicionais. Por exemplo, boa parte da determinação das coordenadas geográficas de marcos do interior do Brasil, pelo Serviço Geográfico do Exército, foram feitas usando o Método de Cálculo da Latitude de Gauss. (UFRGS, 2013)

A Trigonometria plana, que estuda as figuras contidas num plano, só veio

depois, mais exatamente na construção civil. Teve como principal aplicação o

problema da medição da altura de edifícios. O que se quer representar é

redesenhado de forma proporcional, em um plano 2D. Um texto apresentado no site

do Colégio Catanduvas aponta que

a trigonometria, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Por esse motivo, a Trigonometria foi considerada em sua origem, como uma extensão da Geometria. (COLÉGIO CATANDUVAS, 2013)

Quanto à Geometria, vale ressaltar a importância do Teorema de Pitágoras19,

pois é através dele que se desenvolvem fórmulas teóricas comumente usadas nos

cálculos relacionados a situações práticas cotidianas Há, ainda, aplicações na

Eletricidade, na Mecânica, na Acústica, na Medicina e até na Música.

Diante desse breve estudo histórico retratando como os conceitos da

Trigometria se desenvolveram ao longo do tempo, fica uma questão relacionada ao

seu ensino: Como a Trigonometria é enfatizada e encarada nas propostas de ensino

de Matemática nas escolas e nos livros didáticos?

18

Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática, astronomia e óptica. 19

Pitágoras de Samos foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 571 a.C. e 570 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 497 a.C. ou 496 a.C.. Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica.

40

2.2 O ensino da Trigonometria

Quanto ao ensino da Trigonometria, nas escolas, é preciso ressaltar algumas

questões que se constituíram no principal alvo das discussões de vários educadores

matemáticos durante a primeira metade do século XX: Pode a trigonometria ser

tratada como um tópico matemático independente nas propostas curriculares

(conteúdo programático de Matemática) dos ensinos Fundamental ou Médio? Existe

conexão entre a Trigonometria e outras partes da Matemática, ou talvez, entre esta e

as outras disciplinas das propostas curriculares da Educação Básica?

Euclides Roxo (1937), professor de matemática e autor de vários livros

didáticos voltados aos atualmente chamados Ensinos Fundamental e Médio, foi um

dos que mais se destacou na discussão sobre o ensino da Trigonometria. Para ele,

constituía-se num erro muito grave tentar estabelecer a separação entre a

Trigonometria e a Geometria e, principalmente, considerá-la uma parte independente

no currículo da Matemática ensinada nas escolas secundárias (nível médio). Mendes

(2013) ressalta a afirmação de Roxo:

[...] não havia na época, justificativa para que, tanto no domínio do conhecimento escolar quanto do conhecimento científico, o estudo da trigonometria, se configurasse como um ramo especial da matemática, visto que os diversos assuntos que geralmente são abordados sob a denominação de Trigonometria devem ser ligados às partes da geometria e da álgebra, com os quais se relacionam. (MENDES, 2013)

Roxo (1937) discute aspectos relacionados à abordagem dos tópicos

matemáticos abordados nos livros didáticos utilizados no Ensino Médio afirmando

que eram fragmentados e apresentavam separações estanques entre os vários

ramos da Matemática. Ressalte-se que essa fragmentação ainda hoje se faz

presente. Essa fragmentação, certamente, ocasionaria obstáculos para que os

estudantes pudessem vivenciar seu ensino de modo a construir conhecimento sobre

poderosos métodos de Trigonometria elementar. Rey Pastor20 considera que as

noções básicas da Trigonometria são responsáveis, muitas vezes, por encaminhar a

resolução de questões da Geometria. Felix Klein21 defende o princípio unificador

20

Julio Rey era um matemático e historiador da ciência, espanhol. 21

Felix Christian Klein era um matemático alemão cuja visão unificada da geometria como o estudo das propriedades de um espaço que são invariáveis sob um dado conjunto de transformação influenciou, profundamente, desenvolvimentos matemáticos.

41

como concepção integradora dos diversos ramos da matemática. E, segundo Roxo

(1937),

[...] a unidade da ciência matemática implicava na fusão de tópicos a serem abordados nos programas de ensino, de modo que os estudantes pudessem perceber a integração intradisciplinar

22 de tais tópicos, na

solução aplicativa de problemas matemáticos ou de outras disciplinas do currículo escolar. (ROXO, 1937, p. 45)

Na busca de defender essa unificação, Roxo (1937) se apoiou nas ideias de

Laisant23(1907), o qual afirmava serem as divisões e subdivisões do conhecimento

matemático em especificidades e/ou especialidades, resumos mais artificiais do que

naturais.

Ainda, para Roxo (1937), há uma interconexão dialogal e integrativa nas

ciências matemáticas: a Álgebra, a Geometria, etc. Nessa perspectiva é possível

afirmar que tais ramificações se apoiam umas nas outras e, em certos pontos se

confundem. Ele se contrapõe à inclusão da Trigonometria como um quarto ramo da

Matemática, admitindo que ela deveria ser ensinada no nível secundário, sob uma

perspectiva utilitária na qual os conceitos básicos desse tópico matemático surgem

naturalmente no desenvolvimento das teorias e, à medida que seus símbolos são

reconhecidos, devem ser incorporados a fórmulas, inserindo-se, assim, ao

vocabulário da Álgebra. Roxo (1937) afirma que

[...] tanto a Álgebra como a Trigonometria, lucrariam com essa integração (fusão), quer nos temas abordados pela segunda em benefício da primeira, quer na eliminação do formalismo excessivo da primeira ao apresentar a segunda. Dessa forma, a única parte que poderia ser considerada Trigonometria diz respeito à resolução de triângulos, pois o restante todo poderia enquadrar-se na Àlgebra ou na Geometria. (ROXO, 1937, p. 52).

Existe, então, uma discussão histórica acerca de onde se insere a

Trigonometria em relação às áreas já constituídas da Matemática. Reflexões são

importantes no sentido de possibilitar que se assuma, conscientemente, abordagens

específicas para o seu ensino, nas aulas de Matemática.

22

Essa integração é considerada intradisciplinar por tratar da integração de conceitos abordados dentro da própria disciplina em si. Essa discussão de Roxo buscava enfatizar, já naquela época, a importância da utilização de elementos referentes a diferentes tópicos da matemática, na abordagem de determinado problema matemático. Por exemplo: o uso da linguagem algébrica na solução de problemas da geometria ou mesmo da trigonometria é um deles. (MENDES, 2013) 23

Charles Angelo Laisant era um matemático francês. Ele desempenhou um papel importante na comunidade de matemáticos e também na de professores.

42

Em 2006, a Secretaria da Educação Básica ratificou a inclusão da

Trigonometria como tópico da Geometria e publicou as Orientações Curriculares

para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) ressaltando, no volume 2 (Ciências da

Natureza, Matemática e suas Tecnologias), que

o estudo das funções trigonométricas deve anteceder a abordagem das funções seno, co-seno e tangente, priorizando as relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno e do co-seno como ferramentas essenciais a serem adquiridas pelos alunos do Ensino Médio.(BRASIL, 2006, p.73)

[...] A apresentação das leis dos senos e dos co-senos pode ser motivada com questões relativas à determinação das medidas de elementos de um triângulo. (BRASIL, 2006, p.74)

[...] Também é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela sua importância na resolução de diversos tipos de problemas. Problemas de cálculos de distâncias inacessíveis são interessantes aplicações da trigonometria, e esse é um assunto que merece ser priorizado na escola. [...] O Estudo da Geometria apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a geometria para o cálculo de comprimento, áreas e volumes. (BRASIL, 2006, p. 75)

Assim, na busca por entender como a Trigonometria tem sido considerada em

estudos recentes e com o intuito de encontrar subsídios que justificassem minha

pesquisa, recorri ao Banco de Teses da CAPES. Descrevo, na próxima sessão, o

enfoque abordado pelos pesquisadores nos trabalhos por eles desenvolvidos.

2.3 As pesquisas, em Trigonometria, no Banco de Teses da CAPES

O levantamento das teses e dissertações associado à análise de seus

resumos insere-se como parte de uma modalidade de pesquisa denominada, por

Ferreira (2002), como um estado da arte ou estado do conhecimento:

Nos últimos quinze anos, no Brasil e em outros países, tem-se produzido um conjunto significativo de pesquisas conhecidas pela denominação “estado da arte” ou “estado do conhecimento”. Definidas como de caráter bibliográfico, elas parecem trazer em comum o desafio de mapear e de discutir uma certa produção acadêmica em diferentes campos do conhecimento, tentando responder que aspectos e dimensões vêm sendo destacados e privilegiados em diferentes épocas e lugares, de que formas e em que condições têm sido produzidas certas dissertações de mestrado, teses de doutorado, publicações em periódicos e comunicações em anais de congressos e de seminários. (FERREIRA, 2002, p. 257)

De certo modo, esse tipo de estudo encontra paralelo nas considerações de

Saviani (1991), a respeito do que denomina monografia de base:

43

A ideia era pensar as dissertações como incidindo sobre temas relevantes ainda não suficientemente explorados, cabendo ao mestrando a tarefa de realizar um levantamento, o mais completo possível, das informações disponíveis, organizá-las segundo critérios lógico-metodológicos adequados e redigir o texto correspondente que permitiria o acesso ágil ao assunto tratado. A existência dessas monografias de base possibilitaria ao estudante de doutorado ou a um pesquisador mais experiente realizar, a partir das informações primárias já devidamente organizadas, sínteses de amplo alcance que seriam inviáveis ou demandariam um tempo excessivo sem esse trabalho preliminar consubstanciado nas assim chamadas monografias de base. (SAVIANI, 1991, p. 160)

O motivo de minha escolha pelo banco de dados da CAPES é justificado pela

fala de Brejo (2007). Segundo a autora, o Banco

[...] é capaz de oferecer informações precisas, completas e abrangentes acerca dos estudos acadêmicos realizados em todo o território nacional e em diferentes áreas do conhecimento. (BREJO, 2007, p. 15).

Decidi pesquisar o tema do ano de 1987 até 2009, disponibilizado no site da

CAPES. Nesta pesquisa encontrei 22 (vinte e duas) dissertações e 03 (três) teses.

Apresento a seguir, organizado de forma cronológica, 3 (três) quadros que retratam

a produção sobre o tema, de 1987 a 2009, com ênfase: no autor e no ano da

publicação; no título da pesquisa; nos objetivos; nas atividades propostas; no

referencial teórico e nos resultados.

44

QUADRO 1 - DESTAQUES DOS RESUMOS –TÍTULO e OBJETIVOS

Autor (Ano)

Título Objetivos

BRIGUENTI (1994)

Ensino e Aprendizagem da Trigonometria: novas Perspectivas da Educação Matemática

Propor estratégias para o ensino da Trigonometria.

MENDES (1997)

Ensino de Trigonometria através de atividades históricas

Elaborar um material para que o aluno possa compreender as propriedades, teoremas e aplicações da trigonometria na solução de problemas que exijam algum conhecimento desse assunto.

COSTA (1997)

Funções Seno e Cosseno: Uma Sequência de Ensino a partir dos Contextos do 'Mundo Experimental' e do Computador

Investigar a influência de dois contextos diferentes - computador e mundo experimental - no processo ensino-aprendizagem da Trigonometria.

BRIGUENTI (1998)

Alterando o Ensino da Trigonometria em escolas públicas de nível médio: a representação de algumas professoras

Verificar a possibilidade de apropriação, no dia-a-dia, de uma proposta alternativa para o ensino e aprendizagem de Trigonometria em diferentes situações de ensino.

BIRAL (2000)

Trigonometria: uma abordagem histórica e uma análise de livros didáticos

Fazer uma abordagem histórica da Trigonometria, tendo em vista dois caminhos.

LINDEGGE (2000)

Construindo os conceitos básicos da Trigonometria no Triângulo-Retângulo: uma proposta a partir da manipulação de Modelos

Investigar uma abordagem para o ensino da Trigonometria no triângulo retângulo, onde se pretendeu introduzir os conceitos das razões trigonométricas seno, co-seno e tangente a partir da manipulação de modelos.

ESTEPHAN (2000)

Perspectivas e limites do uso de material didático manipulável na visão de professores de matemática do ensino médio

Investigar como professores de matemática do ensino médio se manifestam a respeito do uso de materiais didáticos manipuláveis.

MENDES (2001)

Ensino da Matemática por atividades: uma aliança entre o construtivismo e a história da Matemática

Tecer um painel matizado por relações teórico-práticas entre a Matemática, a história da Matemática e a Educação Matemática.

45

AMARAL (2002)

Ensino da Trigonometria via Resolução de Problemas mediado por dinâmicas de grupo, analogias e recursos informáticos.

Contribuir para a melhoria do ensino e da aprendizagem da trigonometria, no âmbito da educação básica, através, principalmente dos recursos da Resolução de Problema.

FONSECA (2002)

Aprendizagem em Trigonometria: o olhar da Educação Matemática

Estudar a Aprendizagem da Trigonometria, à luz da Educação Matemática, tomando como universo de pesquisa a Escola Técnica Federal de Sergipe (ETFSE).

NUNES (2003)

A Matemática no Ensino Médio a partir da sua História: uma Experiência com a Trigonometria

Focalizar a aplicação da História da Matemática como auxiliar na compreensão de conceitos de trigonometria

CONTRERA (2003)

A abordagem de história da matemática na formação de professores: o caso de Trigonometria

Observar alguns aspectos da formação do professor acerca da história da matemática e se ele a usa como abordagem metodológica da aprendizagem.

MARTINS (2003)

Atribuindo significado ao Seno e Cosseno utilizando o Software Cabri-Géomètre

Introduzir o conceito de seno e cosseno de forma coordenada, partindo do triângulo retângulo, passando pelo ciclo trigonométrico e finalizando com os gráficos das funções correspondentes, para propiciar aos alunos condições para atribuir significado a tais conceitos.

CAMARGO (2004)

Ensino com Enfoque na Pesquisa: Repercussões na Aprendizagem de Trigonometria.

Relatar a repercussão de uma metodologia de ensino com enfoque na pesquisa, no estudo e na aprendizagem de Trigonometria e investigar sobre a importância das relações interpessoais para um aprendizado mais efetivo.

NASCIMENTO (2005)

Uma sequência de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica.

Investigar a apropriação do significado dos conceitos das razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente, no triângulo retângulo, por estudantes do 1º ano do Ensino Médio.

SILVA (2005)

Trigonometria no triângulo retângulo: construindo uma aprendizagem significativa.

Investigar uma abordagem de ensino da trigonometria no triângulo retângulo, em que se pretendeu introduzir as razões trigonométricas seno, co-seno e tangente.

LINS (2005)

A Trigonometria no Ensino Médio do CEFET - PB.

Fazer um levantamento e analisar a forma como a Trigonometria é desenvolvida pelos professores do Ensino Médio do Centro Federal de Ensino Tecnológico da Paraíba - CEFET-PB.

46

HUANCA (2006)

A Resolução de Problemas no processo Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática na e além da Sala de Aula.

Verificar se a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas constitui-se num bom caminho alternativo para a construção de conceitos e conteúdos trigonométricos pelos alunos do E.M.

PREUSSLER (2006)

O processo de formação dos conceitos das funções trigonométricas seno e cosseno usando os softwares Cabri-Géomètre II e Graphmatica.

Investigar o processo de formação dos conceitos das funções trigonométricas seno e cosseno no ciclo trigonométrico e suas representações gráficas usando os softwares Cabri-Géomètre II e Graphmatica.

SOUZA (2007)

Jogos pedagógicos em Matemática no Ensino Médio: mais que motivação, metodologia.

Mostrar que a utilização do jogo pedagógico como metodologia e não como elemento meramente motivador, no Ensino Médio, de forma específica para a Trigonometria, é eficaz no processo de ensino/aprendizagem da Matemática.

SAMPAIO (2008)

Uma abordagem histórico-filosófica na Educação Matemática: contribuições ao processo de aprendizagem de Trigonometria no Ensino Médio

Investigar o processo de construção de uma abordagem histórico-filosófica por meio de uma reconstrução histórica da Trigonometria.

SILVA (2008)

A mobilização de saberes matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de aprendizagem no Ensino Médio.

Identificar e analisar quais saberes matemáticos são mobilizados, produzidos e/ou (re)significados por alunos da EJA em contextos de resolução de problemas em um ambiente de aprendizagem que favoreça o dialogo.

BARBOSA (2009)

Trajetórias hipotéticas de aprendizagem relacionadas às razões e às funções trigonométricas, visando uma perspectiva construtivista.

Analisar a possibilidade de compatibilizar perspectivas de aprendizagem com a planificação de ensino relacionada às razões e às funções trigonométricas e verificar a atuação do professor de Matemática numa proposta construtivista.

FONSECA (2009)

Ambiente de Aprendizagem na Escola Noturna: Ensinando e Aprendendo Matemática com Tecnologias da Informação e Comunicação.

Trabalhar com os saberes coletivos na escola pública estadual com a utilização das novas tecnologias aplicadas ao ensino, no conteúdo de Trigonometria.

KLEIN (2009)

O Ensino da Trigonometria subsidiado pelas Teorias da Aprendizagem Significativa e dos Campos Conceituais.

Propor uma metodologia de ensino que possa contribuir para uma construção significativa dos conceitos envolvidos no campo conceitual da Trigonometria.

47

QUADRO 2 - DESTAQUES DOS RESUMOS – ATIVIDADES PROPOSTAS e REFERENCIAL/TEÓRICOS

Autor (Ano)

Atividades propostas Referencial/Teóricos

BRIGUENTI (1994)

Realização de atividades trigonométricas que propiciem o desenvolvimento do pensamento reflexivo, a construção e a elaboração dos conceitos envolvidos.

Piaget, Bruner e Ausubel.

MENDES (1997)

Elaboração de material e execução de atividades voltadas à construção de noções básicas de Trigonometria, utilizando a história.

Não apresenta.

COSTA (1997)

Preparação e aplicação de uma sequência didática a 3 grupos de alunos. Um grupo iniciou pelo contexto do 'mundo experimental' seguido pelo contexto do computador; um segundo grupo teve a ordem da sequência invertida e, num terceiro grupo, o assunto foi introduzido através da sala de aula.

Não apresenta.

BRIGUENTI (1998)

Entrevistas com três professoras de Matemática de escolas da rede pública estadual sobre: as concepções sobre o ensino da Trigonometria; a visão sobre a influência da metodologia proposta.

Não apresenta.

BIRAL (2000)

Apresentação da história da Trigonometria, desde seu surgimento até o século XVII, enfatizando as produções nessa área e seus respectivos autores, procurando abranger todos os países onde ela se desenvolveu.

Não apresenta.

48

LINDEGGE (2000)

Trabalho com dois grupos da 8ª série do Ensino Fundamental, sendo um grupo de referência (GR) e um grupo experimental (GE). No GE foi aplicada a sequência de ensino e, no GR, a abordagem da trigonometria se deu na forma considerada tradicional.

Vygotsky, Vergnaud e Brousseau.

ESTEPHAN (2000)

Atividades envolvendo manipulação, construção e análise de materiais manipulativos.

Piaget e Vergnaud.

MENDES (2001)

Foi proposta uma abordagem metodológica para a Matemática no Ensino Médio, baseada em uma experiência de ensino de Trigonometria através de atividades construtivistas informadas pela história da Matemática.

Teorias do construtivismo.

AMARAL (2002)

Ensino articulando a dinâmica de grupos, as analogias e a linguagem computacional LOGO, ferramentas ao ensino da trigonometria via Resolução de Problemas.

Não apresenta.

FONSECA (2002)

Apresentações antecipadas à experiência das tendências da Educação Matemática e, depois, aplicação de dez atividades para desenvolver uma Aprendizagem em Trigonometria mais significativa com alunos do 1º M.F.

Não apresenta.

NUNES (2003)

Atividades envolvendo uma metodologia baseada na História da Matemática.

Não apresenta.

CONTRERA (2003)

Estudo sobre a presença da história da Matemática nos livros didáticos e nos currículos de licenciatura, assim como uma retrospectiva histórica da Trigonometria.

Não apresenta.

49

MARTINS (2003)

Elaboração e aplicação de uma sequência didática composta de sete atividade a alunos do 2º ano do E.M, com auxílio do software Cabri-Géomètre, envolvendo a construção dos gráficos das funções seno e cosseno

CAMARGO (2004)

Realização de atividades para o estudo de Trigonometria e, no final, entrevistas individuais com o objetivo de buscar informações sobre o trabalho realizado.

NASCIMENTO (2005)

Construção de uma tabela trigonométrica, com base em levantamentos históricos dos trabalhos de Ptolomeu e outros matemáticos.

SILVA (2005)

Analisou-se as concepções dos alunos durante a aplicação de atividades.

LINS (2005)

Estudo da prática docente dos 04 (quatro) professores que lecionam este conteúdo nas turmas de 2ª. Série do CEFET-PB.

HUANCA (2006)

Elaboração e aplicação de atividades focadas na Resolução de Problemas.

PREUSSLER (2006)

Elaboração e aplicação de uma proposta pedagógica composta de uma sequência de atividades que levaram os sujeitos a interações com os softwares.

SOUZA (2007)

Elaboração e aplicação de atividades focadas em jogos.

SAMPAIO (2008)

Aplicação de sequência didática fundamentada na reconstrução histórico-filosófica do conteúdo de Trigonometria, pela utilização da Engenharia Didática, junto a alunos do Ensino Médio de uma escola pública.

50

QUADRO 3 - DESTAQUES DOS RESUMOS – RESULTADOS

SILVA (2008)

Aplicação de atividades de resolução de problemas a um grupo de alunos do EJA.

Não apresenta.

BARBOSA (2009)

Observação das aulas com professores e alunos de três diferentes turmas de 2º ano do Ensino Médio da rede pública do Ensino Oficial do Estado de São Paulo.

Não apresenta.

FONSECA (2009)

Atividades utilizando os objetos de aprendizagem produzidos por universidades públicas e voltadas para auxílio dos professores ao ensino.

Não apresenta.

KLEIN (2009)

Aplicação de atividades envolvendo situações nas quais os alunos, de forma individual ou em pequenos grupos, poderiam explicitar e construir novos conhecimentos.

Ausubel e Vergnaud.

Autor (Ano)

Resultados

BRIGUENTI (1994)

A pesquisa apontou a falta de significado do conteúdo para os alunos.

MENDES (1997)

As informações históricas foram um grande atrativo e se adequaram plenamente aos alunos.

COSTA (1997)

Os contextos alternativos foram mais eficazes e a ordem da sequência interferiu na aprendizagem.

51

BRIGUENTI (1998)

A proposta investigada oferece benefícios afetivos, cognitivos e sociais; facilita o processo de ensino desencadeado pelas professoras nos diferentes períodos escolares; possibilita mudanças tanto no ensino como nas aprendizagens dos alunos; desencadeia um início de desenvolvimento profissional mais reflexivo das professoras ao analisarem suas práticas e ao se esforçarem para modificá-las; proporciona uma aula movimentada, totalmente diferente do que se tem feito nas escolas; motiva os alunos e lhes oferece oportunidades de construir o próprio conhecimento, além de lhes possibilitar a troca de experiências vivenciadas cotidianamente.

BIRAL (2000)

A análise dos livros didáticos permitiu estabelecer a evolução da apresentação da Trigonometria escolar.

LINDEGGER (2000)

O GE apresentou um resultado satisfatório e superior ao GR. O estudo ofereceu pistas significativas sobre o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo. A mais valiosa delas foi a de que o processo de construção dos conceitos básicos da Trigonometria, a exemplo da história, ganha força quando inicia-se a partir da resolução de problemas concretos, advindos da realidade, dirigindo-se para os problemas formais, quando os conceitos ganham significado mais abstratos e abrangentes.

ESTEPHAN (2000)

O uso e a manipulação de materiais não provocaram avanços na compreensão dos conteúdos matemáticos e suas relações, pois os sujeitos da pesquisa já os dominavam. Porém, no estudo piloto, percebeu-se que o uso e manipulação desses materiais podem provocar, no professor, a aprendizagem de relações entre diferentes representações das funções seno e coseno.

MENDES (2001)

Pelos resultados positivos dessa experiência, concluiu-se que esta abordagem metodológica também pode ser usada efetivamente em cursos de formação de professores de Matemática.

AMARAL (2002)

A dinâmica, a analogia e a linguagem LOGO devidamente articuladas com a Resolução de Problemas contribuem para tornar a Trigonometria melhor compreendida.

FONSECA (2002)

A presença nas aulas de Matemática deu-se de forma mais prolongada. A postura dos alunos, que manifestaram não gostar de Matemática, foi modificada e a busca pela aquisição do conhecimento foi resgatada.

NUNES (2003)

Os estudantes foram capazes de perceber a diferença entre as aulas tradicionais e aquelas em que foi aplicada a metodologia baseada na História da Matemática e tiveram seu interesse despertado pela disciplina, o que veio a cooperar para o aprendizado dos tópicos apresentados.

52

CONTRERA (2003)

Os currículos de licenciatura de Matemática precisam de melhorias, para que a formação sobre história da matemática se dê na universidade, não dependendo apenas de informações contidas nos livros didáticos e ou paradidáticos.

MARTINS (2003)

Verificou-se que o software Cabri-Géomètres se mostrou bastante eficaz, auxiliando os alunos a associar os conceitos já estudados no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico, com as funções seno e cosseno.

CAMARGO (2004)

A metodologia utilizada teve uma repercussão satisfatória no estudo e aprendizagem de Trigonometria, diminuindo consideravelmente as dificuldades até então percebidas em alunos do 2º ano do Ensino Médio.

NASCIMENTO (2005)

A experimentação mostrou um ensino da Trigonometria do triângulo retângulo gerador de motivações com atividades diversificadas, com situações problematizadoras, e que estimulem o pensar, a investigação e o realizar, que contribuiu para a construção do significado das razões trigonométricas, favoreceu a argumentação e modificou as concepções errôneas.

SILVA (2005)

Houve evolução conceitual dos alunos das relações trigonométricas.

LINS (2005)

Os princípios decorrentes da Teoria da Aprendizagem significativa são pouco ou nada utilizados, a exceção de um dos professores que utiliza materiais manipulativos e recursos tecnológicos, seguindo os princípios da teoria ausubeliana quanto ao uso de motivadores iniciais, da construção de subsunçores e da aprendizagem significativa por descoberta.

HUANCA (2006)

Constatou-se que, ao trabalhar com esta metodologia, em sala de aula houve um aumento na motivação, tanto da professora em ensinar quanto dos alunos em aprender. Além disso, em muitas oportunidades, foi possível observar os alunos relacionando suas atividades com alguns tópicos já trabalhados anteriormente.

PREUSSLER (2006)

O uso de softwares trouxe contribuições importantes, contudo exige dos professores novas habilidades e posturas diante da aprendizagem; habilidades para o manuseio de suas ferramentas, as quais possam produzir diferentes estratégias de aprendizagem, e novas posturas.

SOUZA (2007)

A pesquisa mostrou que as atividades focadas em jogos podem ser utilizadas como metodologia e não como elemento meramente motivador.

SAMPAIO (2008)

A abordagem construída mostrou-se eficaz para aprendizagem de trigonometria, possibilitando a manifestação dos valores cognitivos da matemática na sequência didática e sua incorporação ao conhecimento do aluno..

53

SILVA (2008)

A análise permitiu identificar a importância de um ambiente de aprendizagem diferenciado nas aulas da EJA, favorecendo o dialogo dos alunos e provocando um novo olhar destes sobre a Educação e a Matemática escolar.

BARBOSA (2009)

Não basta uma boa sequência de ensino, a interação e a participação entre alunos e professores são os principais instrumentos para que se efetive uma aprendizagem significativa numa perspectiva construtivista.

FONSECA (2009)

Se os alunos não tiverem acesso às tecnologias em seu ensino regular, podem estar sujeitos a não terem outra oportunidade, e isto vai de alguma maneira, influenciá-lo em seu futuro trabalho.

KLEIN (2009)

As concepções prévias que os alunos trazem na sua bagagem de conhecimentos e o papel do professor, como mediador nos processos de ensino e de aprendizagem, são importantes elementos para a construção significativa dos conceitos envolvidos no campo conceitual da Trigonometria.

54

Pude perceber, pela análise dos resumos, que a maioria dos pesquisadores

se preocupou em propor estratégias para verificar o aprendizado dos alunos. Tais

estratégias foram baseadas na aplicação de sequencias didáticas que envolveram

atividades com jogos, testes, materiais manipuláveis, programas computacionais e

outros objetos de aprendizagem.

Quanto aos referenciais teóricos, entre os que foram indicados nos resumos,

constatei que as teorias de aprendizagem foram bastante variadas, passando por

Piaget (epistemologia genética), Vygotsky (perspectiva histórico-cultural), Ausubel

(aprendizagem significativa), Bruner (teoria cognitiva), Vergnaud (campos

conceituais), Parzysz (teoria das geometrias), Regine Douady (dialética-ferramenta-

objeto), Raymond Duval (registros de representação semiótica). Porém, a didática

francesa de Brousseau, que será utilizada nesta tese, foi citada apenas no trabalho

de Lindegger (2000), o qual trata de uma proposta a partir da manipulação de

modelos e aplica testes aos alunos.

Assim, não há nesse cenário, pesquisa que procure entender como as

interações em sala de aula, entre alunos e professores e também entre alunos,

contribuem para a construção do conhecimento matemático, no que se refere à

Trigonometria.

Diante disso resolvi me enveredar por este caminho, pretendendo

compreender como ocorrem essas interações numa sala de aula, num curso de

Ensino Médio, durante a construção do conhecimento no que se refere à

Trigonometria, à luz da Teoria das Situações Didáticas (TSD), criada por Guy

Brousseau e discutida nos estudos de alguns pesquisadores que se debruçaram

sobre essa teoria.

As discussões trazidas neste capítulo me ajudarão a entender o

posicionamento da professora, ao apresentar o conteúdo Trigonometria no triângulo

retângulo, e estabelecer as relações que este tem com outras áreas da Matemática.

55

CAPÍTULO 3

Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar possibilidades para a sua produção ou sua construção.

Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender. Paulo Freire

3 UM CAMINHO PARA A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO

Neste capítulo faço discussões e análises sobre um caminho para a

construção do conhecimento. Me apóio na Teoria da Situações Didáticas (TSD), de

Guy Brousseau24, que representa uma referência para os processos de ensino e de

aprendigem matemática em sala de aula, e possibilita compreender as interações

entre saber, professor e aluno. Discuto os saberes científico, a ensinar e ensinado,

ressaltando o saber matemático, nas concepções do platonismo, formalismo e

construtivismo. Enfatizo o papel do professor e dos alunos, nas situações didáticas e

a-didáticas, e a importância das situações de devolução, ação, formulação,

validação e institucionalização do saber. Trago elementos sobre o contrato didático e

os recursos de apoio aos processos de ensino e aprendizagem.

3.1 A Teoria das Situações Didáticas (TSD)

Até meados de 1986, Piaget25, dentre outros, ressaltava a visão cognitivista

no campo da Educação. Ele evidenciava o papel central da ação no

desenvolvimento do raciocínio, a originalidade do pensamento matemático e as

etapas de seu desenvolvimento nas crianças, mas não considerava a estrutura

formal da Matemática e a função da lógica como fundamentais para a construção do

conhecimento.

24

Guy Brousseau, um dos pioneiros da Didática da Matemática Francesa, é professor aposentado do IUFM (Instituts Universitaires de Formation des Maîtres), em Aquitaine e da Universidade Bordeaux, situados na França. Ele ganhou A “Felix Klein Medal” da Educação Matemática em 2003, da International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), em reconhecimento a contribuição que tem proporcionado ao desenvolvimento da educação matemática como um campo de investigação científica, no campo teórico, estendendo suas investigações a estudantes e professores. 25

Jean Piaget era um pensador suíço, autor da conhecida concepção construtivista da formação da inteligência, denominada Teoria de Epistemologia Genética ou Teoria Psicogenética, que explicava como o indivíduo, desde o seu nascimento, constrói o conhecimento.

56

Nesse contexto, o francês Brousseau se dedicou a um estudo aprofundado,

com a finalidade de compreender as condições que levariam um sujeito a usar seus

conhecimentos para tomar decisões, e estudar as razões dessa tomada de decisão.

Criou, então, a Teoria das Situações Didáticas, um modelo, que procurava entender

as diferentes condições e a forma como o conteúdo matemático pode ser

apreendido pelo aluno. Tal teoria se faz importante pelo fato, entre outros, de

abordar aspectos específicos do saber matemático, procurando promover uma

educação matemática com mais significado para o aluno. Segundo Freitas (1999, p.

66), “esse significado consiste basicamente em proporcionar ao aluno um

conhecimento que esteja realmente vinculado ao processo de sua promoção

existencial”. Para o aluno, o significado do saber matemático tem forte influência da

forma como o conteúdo lhe é apresentado.

A estruturação das atividades de aprendizagem é uma das responsáveis pelo

comprometimento do aluno no processo de construção de conhecimento e

denomina-se situação didática. Brousseau (1996a) a define assim:

Uma situação didática é um conjunto de relações estabelecidas explicitamente ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, num certo meio, compreendendo eventualmente instrumentos e objetos, e um sistema educativo (o professor) com a finalidade de possibilitar a estes alunos um saber constituído ou em vias de constituição. (BROUSSEAU, 1996a, p. 36)

As situações didáticas envolvem uma diversidade de elementos, também

analisados por outros teóricos, além de Brousseau, entre as quais destaco: contrato

didático, obstáculos epistemológicos, dialética ferramenta-objeto, transposição

didática entre outras. O contrato didático, por exemplo, que ganhará destaque nesta

tese, é um conjunto de obrigações implícitas ou explícitas relativas a um saber que

se estabelece entre o professor e os alunos.

Freitas (1999, p. 67), considera que “através da análise das situações

didáticas é possível investigar toda a problemática da aprendizagem matemática e

desvelar aspectos que ocorrem durante a resolução de problemas e a elaboração de

conceitos pelos alunos”. Assim, na situação didática são identificadas as interações

entre o saber, o professor e o aluno.

57

Desse modo, na próxima subseção faço um estudo sobre os tipos saberes,

elencando e explicitando suas diferenças.

3.1.1 Os saberes: científico, a ensinar e ensinado

No que se refere à construção do conhecimento, mais especificamente no

ensino da Matemática, Brousseau (1988) estabelece as diferenças entre saber e

conhecimento. Para ele, o saber está associado ao problema da validação do

conhecimento que, na Matemática, se refere ao raciocínio lógico-dedutivo. O

conhecimento, por outro lado, está vinculado ao aspecto experimental e envolve

algum tipo de ação com a qual o sujeito tenha um contato mais pessoal.

Nesse sentido, Pais (2008) afirma:

Na linguagem usada no meio científico, o saber é quase sempre caracterizado por ser relativamente descontextualizado, despersonalizado e mais associado a um contexto científico histórico e cultural. Assim, por exemplo, quando se fala em saber matemático se refere a uma ciência que tem sua concepção estruturada num contexto próprio. Por outro lado, o conhecimento sempre diz respeito ao contexto mais individual e subjetivo, revelando algum aspecto com o qual o sujeito tem uma experiência direta e pessoal. Nessa concepção o conhecimento está mais associado a um caráter experimental. (PAIS, 2008, p. 14).

No processo da construção do conhecimento, os saberes têm um importante

papel. É através dos saberes que os processos de ensino e aprendizagem se

concretizam. Nesse contexto, Pais (2008, p. 21) ressalta três saberes que compõem

tal processo: o saber científico, o saber a ensinar e o saber ensinado.

O saber científico se relaciona à vida acadêmica, embora acredita-se que

nem tudo que se produz academicamente represente um saber científico. Tal saber

está mais vinculado e é desenvolvido nas universidades ou nos institutos de

pesquisa, e não está diretamente ligado ao Ensino Médio e ao Ensino Fundamental.

Vincula-se à áreas como a economia, a política e a tecnologia. Sobre esses

vínculos, Pais (2008, p. 22) afirma que “na sociedade, o saber científico e,

sobretudo, a tecnologia estabeleceram laços de profundas ligações mútuas, a ponto

de todo o conforto do mundo contemporâneo estar submetido a esse

comprometimento”.

58

Belo (2004) afirma que o saber científico “é o conhecimento racional,

sistemático, exato e verificável da realidade. Sua origem está nos procedimentos de

verificação baseados na metodologia científica”.

No que tange ao aspecto educativo, é evidente que o saber científico deveria

contribuir, também, para o desenvolvimento crítico do educando, priorizando os

valores éticos da educação. Pais (2008) sinaliza que

[...] apesar de não parecer evidente que o saber científico não pode ser ensinado nos textos técnicos, essa questão se constitui num obstáculo que deve ser considerado no processo de aprendizagem. Essa é a questão da formalização precipitada da linguagem científica. (PAIS, 2008, p. 23).

Parece claro que o saber científico não pode ser ensinado na forma que se

encontra redigido nos textos técnicos. A finalidade educacional desse saber

científico deve estar voltada para questões mais essenciais do plano social. Se faz

necessário, então, um trabalho didático que vise a prática educativa, procedendo

uma reformulação na mesma e viabilizando a passagem do saber científico para o

saber escolar. É necessário recorrer à elaboração de uma forma didática; destaca-

se, então, a importância de uma metodologia fundamentada numa proposta

pedagógica.

Tal proposta pedagógica nos remete ao saber a ensinar ou saber a ser

ensinado. Nesse saber existe uma gama de aspectos cuja análise é essencial à

questão educacional. Este saber está ligado a uma forma didática que serve para

apresentar, ao aluno, o saber. É necessária, então, uma mudança considerável, não

só no conteúdo em si como também nos objetivos de sua utilização. Pais (2008, p.

24) afirma que “na passagem do saber científico ao saber a ser ensinado ocorre a

criação de um verdadeiro modelo teórico que ultrapassa os próprios limites do saber

matemático”.

Enquanto o saber científico é apresentado à comunidade científica através de

artigos, teses, livros especializados e relatórios, o saber a ensinar limita-se quase

sempre aos livros didáticos, programas e outros materiais de apoio. Tais materiais

surgem, então, para fornecer o essencial da intenção de ensino, fincados em teorias

didáticas cuja finalidade está voltada ao trabalho do professor.

59

Esse processo da didática é fortemente influenciado por elementos internos e

externos ao ambiente educacional. Esses elementos são compostos de diferentes

conjuntos de regras, representados, por exemplo, pela força do mercado (livros

didáticos e/ou paradidáticos); pelas forças políticas (programas e currículos de

secretarias de Educação); pelas forças institucionais da pesquisa e pela própria

instituição escolar (tipo de escola, objetivos, projeto pedagógico).

Também, em função da diversidade dos gêneros discursivos e dos

interlocutores, há uma transformação de saberes que ocorre nas diferentes práticas

sociais. Sobre isso, Polidoro e Stigar (2010) afirmam que

[...] esse processo de transformação do saber se dá porque os funcionamentos didático e científico não são os mesmos. Eles se inter-relacionam, mas não se sobrepõem. Assim, para que um determinado saber seja ensinado, em situação acadêmico-científica ou escolar, necessita passar por transformação, uma vez que não foi criado com o objetivo primeiro de ser ensinado. (POLIDORO; STIGAR, 2010, p. 155)

Assim, o trabalho do professor envolve mais uma simulação de descoberta do

saber, e o saber acadêmico se vincula à descoberta da ciência.

O saber a ensinar, segundo Almouloud (2011, p. 197) “é o que o professor

acha que deve ensinar a partir da leitura de livros didáticos, do livro do professor, ou

a partir de práticas tidas anteriormente. O texto do saber a ensinar não está

completamente escrito em lugar algum”.

O processo do ensino resulta, então, no saber ensinado, que não

necessariamente coincide com a intenção prevista nos objetivos programados no

nível do saber que o professor intervém.

Deve-se atentar para o fato de que o saber ensinado, na prática educativa,

não pode ser concebido como uma simplificação do saber científico. Desse modo,

pode-se chegar a informações bem distantes do saber científico e, nos casos

extremos, permanecem apenas alguns vestígios do significado principal.

Segundo Chevallard (1991, p. 110), “para chegar à escola o saber científico

sofre transformações que o simplificam a fim de convertê-lo em objeto de estudo

escolar”. É preciso evitar que, ao simplificá-lo, perca-se o foco do conteúdo,

incidindo em erros conceituais e informações incorretas. De fato, teorias complexas,

60

sem perder suas propriedades e características, precisam ser transformadas para

serem assimiladas pelos alunos.

Assim, se de um lado, há uma metodologia científica, com toda a sua

especificidade, do outro, há uma metodologia de ensino, essencialmente diferente e

conduzida pelos objetivos educacionais.

Entende-se, então, que para que ensino e aprendizagem atinjam seus

objetivos, se faz necessário um processo de uma transformação dos saberes. Tal

processo se denomina Transposição Didática, constituindo como um conjunto de

ações transformadoras que tornam um saber científico em saber ensinável. Essa

transposição fica mais evidente quando consideramos a especificidade do

conhecimento matemático. Dessa forma, na subseção seguinte, conforme

pressupostos de Brousseau, faço uma análise do saber matemático, bem como do

trabalho do matemático, do trabalho do professor de Matemática e da atividade

intelectual do aluno na aprendizagem matemática.

3.1.1.1 O saber matemático

Por realizar uma pesquisa voltada para o ensino de Matemática e preocupada

com as interações que ocorrem em sala de aula, para a construção do conhecimento

matemático há de se fazer uma análise do saber matemático.

Segundo Pais (2008):

A caracterização do saber matemático é na realidade o resultado do tipo de trabalho desenvolvido pelo matemático diante do seu objeto

26 de pesquisa.

Esse objeto, que é constituído pelas noções matemáticas, inter-relaciona os trabalhos do matemático, do professor de matemática e do aluno. Entretanto, como não há uma única forma de conceber as ideias matemáticas, é possível falar de abordagens distintas tanto na prática científica como na educativa. (PAIS, 2008, p. 25)

26

Objeto, aqui, citado por Pais, é definido do ponto de vista da Teoria da Antropologia Cognitiva (TAC). Segundo a TAC, qualquer coisa pode ser um objeto. Um objeto existe a partir do momento que uma pessoa X ou uma instituição I o reconhece como existente (para ela). Mais precisamente, podemos dizer que o objeto O existe para X (respectivamente, para I) se existir uma relação pessoal R de X com O , representada por R(X,O). Por outras palavras, o objeto O existe se existir pelo menos para uma pessoa X ou para uma instituição I, isto é, se pelo menos uma pessoas ou instituição tiver uma relação com esse objeto. (CHEVALLARD, 1996, p. 127)

61

Diante da concepção do que é objeto, é possível considerá-lo a partir de três

tendências filosóficas observadas por Davis e Hersh (1985): o platonismo, o

formalismo e o construtivismo.

Na visão do platonismo, os objetos matemáticos são ideias puras e acabadas,

que existem num mundo não material e distante daquele que nos é dado pela

realidade imediata. Esses objetos têm uma existência objetiva e independente do

conhecimento que temos sobre eles. Com base nessa tendência, os conceitos já

existiriam a priori de qualquer tipo de esforço intelectual do matemático e, portanto,

não poderiam ser inventados. Se falaria, então, na descoberta das noções

matemáticas.

De outro modo, na concepção dada pelo formalismo, essa existência a priori,

dos objetos matemáticos, não é considerada. Se falaria na Matemática como um

certo jogo formal de símbolos envolvendo axiomas, teoremas, definições e

propriedades. As regras para esse jogo são bem definidas e o conjunto delas

permite deduzir determinadas sequências lógicas, representativas do essencial da

atividade matemática. Os significados desses elementos existem, então, a partir do

momento em que as fórmulas podem ser aplicadas aos problemas do mundo real.

Por outra perspectiva, o construtivismo, segundo Davis e Hersh (1985), tem

uma concepção totalmente inexpressiva para o platonismo e ao formalismo. Para

Davis e Hersh (1985, p. 359) “os construtivistas consideram matemática genuína

apenas a que pode ser obtida por uma construção finita”. Logo, todas as teorias que

envolvem a construção dos números reais ou das séries matemáticas, por exemplo,

não são evidentemente aceitas por esse tipo de visão da matemática.

Entendo, então, que formalismo e platonismo estão em posições extremas, e

que o grande desafio do ponto de vista da educação, é cultivar uma prática que

busque a superação através da dialética27. Qualquer tentativa de adotar

exclusivamente uma dessas concepções não seria viável para a educação

matemática. O trabalho do matemático segundo Davis e Hersh (1985, p. 362) é

conduzido por uma postura “predominantemente platônica, sem, no entanto, deixar

de ser formalista. Assim a atividade científica do matemático apoia-se não

62

exatamente em uma, mas sim em duas concepções que, em suas raízes, são até

mesmo contraditórias”.

Diante dessas reflexões pode-se perceber que nas salas de aula de

Matemática ainda existem práticas norteadas por uma forte reprodução das

interpretações originais do matemático quanto à sua ciência. O matemático trabalha

com toda a complexidade do processo de descoberta da Matemática. entretanto,

Pais (2008) afirma:

Apesar dessa elaboração do saber matemático visar noções que sejam absolutamente objetivas, abstratas e gerais, não há como negar a intermediação de uma dimensão puramente subjetiva, pessoal e particular. Do ponto de vista pedagógico, dizemos que a construção do aspecto objetivo da ciência passa necessariamente pela intermediação do subjetivo, ou seja, a especificidade didática passa por essa consideração. (PAIS, 2008, p. 27)

É certo que, num primeiro momento, a descoberta da Matemática passa por

uma etapa de síntese do novo conhecimento e, a seguir, recebe uma formalização

através da redação de uma demonstração. Mas, em muitos casos, a demonstração

obtida pelo matemático não retrata, com exatidão, o problema pesquisado. Deve-se,

então, para não perder a demonstração encontrada, redefinir o problema original. Ou

seja, a atividade científica da Matemática não se volta apenas para a solução de um

problema, mas também para a criação ou reformulação de novos desafios.

Concluindo, o matemático procura apresentar o trabalho científico na maior

generalidade possível, determinando, assim, uma prática pedagógica escolar que

muitas vezes também apresenta o conteúdo da forma mais geral possível. No

entanto, não se pode esquecer que, para finalidades educacionais, essa construção

da generalidade do conhecimento matemático não se inicia e não se constitui por ela

mesma. Ela encontra desdobramentos e redescobertas, na relação entre saber

professor e aluno.

3.1.2 A relação saber /professor/aluno

27

Utiliza-se para dar uma aparência de racionalidade aos modos de explicação e demonstração confusos e aproximados. (JAPIASSÚ; MARCONDES, 1996, p. 70)

63

Com o propósito de modelar as situações de ensino, Brousseau (1988)

propôs o triângulo didático (Figura 1), que comporta três elementos: o saber, o

professor e o aluno.

Tais elementos são as partes que constituem uma relação dinâmica e

complexa – a relação didática. A relação didática leva em consideração as

interações entre professor e alunos, mediadas pelo saber.

Segundo Menezes, Lessa e Menezes (2006), em relação ao saber, o

professor e o aluno têm uma relação assimétrica. Espera-se, então, que a relação

didática possibilite uma mudança na posição do aluno frente ao saber. Através de

situações de ensino propícias, cabe ao professor o papel de incitar o aluno por

novos saberes.

Para aprender, o aluno deve assumir um papel ativo diante de uma situação,

comparado ao ato de produzir de um matemático. Nesse sentido Brousseau (1996b)

afirma que “a resposta inicial que o aluno pensa frente à pergunta formulada não

[deve ser] a que desejamos ensinar-lhe: se fosse necessário possuir o conhecimento

a ser ensinado para poder responder, não se trataria de uma situação de

aprendizagem”. (BROUSSEAU, 1996b, p. 49)

Desse modo, quando o aluno alicerça sua resposta em conhecimentos

anteriores, ocorre um desequilíbrio que o impulsiona a buscar mudanças na

64

estratégia inicial, acomodando seu sistema de conhecimentos. Tais mudanças

provocadas pela situação didática serão, então, o motor de sua aprendizagem.

Há um avanço, em relação à aprendizagem, quando o aluno se encontra

numa situação didática em que é incitado a explicar seus métodos e procedimentos

para a resolução de um problema. Segundo Echeita e Martin (1995), “para o aluno

que assume o papel social de explicar, o avanço cognitivo provém do fato de ter que

organizar seu pensamento para dar as instruções apropriadas”.

Entende-se, então, que os processos de ensino e de aprendizagem são

fortemente condicionados pelo perfil e pela forma de atuar, tanto do aluno como do

professor. Para que o aluno transforme o saber em conhecimento, é necessário que

o professor providencie situações que lhe sejam favoráveis. Segundo Brousseau

(1996b), para viabilizar tal situação, o professor deve fazer um duplo papel cíclico:

- procurar situações que possibilitem, aos alunos, dar sentido ao

conhecimento, através da contextualização e personalização do saber, num

movimento de vivenciar o conhecimento pelo aluno.

- ajudar seus alunos, de forma inversa, despersonalizando e

descontextualizando os conhecimentos, do mesmo modo como fazem os

matemáticos, de modo a tornar as produções dos alunos fatos universais e

reutilizáveis.

Se torna necessário, então, que o professor crie situações didáticas

favoráveis valendo-se das interações em sala de aula para efetivar a construção do

conhecimento matemático.

3.1.3 As interações em sala de aula: situações didáticas e a-didáticas

Na busca pela construção do conhecimento, no dia a dia da sala de aula,

acontecem interações entre os alunos e o professor e entre os próprios alunos. Para

que a aprendizagem seja concretizada, nesse processo interativo, o professor

precisa ser o mediador, e os alunos, protagonistas na construção do próprio

conhecimento.

65

Em linhas gerais, o professor terá como trabalho inicial “propor ao aluno uma

situação de aprendizagem para que [este] elabore seus conhecimentos como

resposta pessoal a uma pergunta, e os faça funcionar ou os modifique como

resposta às exigências do meio e não a um desejo do professor” (BROUSSEAU,

1996b, p. 49)

Ressalto que um dos fatores apontados por Brousseau (1988) quando

evidencia a necessidade de planejamento para a situação didática é evitar que os

alunos rapidamente identifiquem a situação com seu contexto matemático, que

poderia ocasionar desgaste da situação didática e prejuízo à construção do

conhecimento.

Propõe-se, então, por esse modelo, que se rompa com o padrão de aula em

que todos os papéis estão bem definidos, com o professor sendo o tutor da didática

e do ato de ensinar e o aluno seja o sujeito passivo da aprendizagem proposta pelo

professor.

Numa situação didática, o papel do conhecimento é permitir a antecipação (o

aluno aplica suas estratégias na busca das soluções), e o papel do professor é dar

autonomia ao aluno para que ele atue sobre a situação, sem interferência explícita,

nem condução. Para Brousseau (1996, p. 54), “se uma situação leva o aluno à

solução como um trem em seus trilhos, qual é a sua liberdade de construir seu

conhecimento? Nenhuma”.

Embora a didática tenha o papel de oferecer um conjunto de situações de

ensino, na busca do aperfeiçoamento das aulas, é importante ressaltar, segundo

Brousseau, que nem sempre é necessária a elaboração prévia de situações

didáticas para um determinado assunto. As situações didáticas são, muitas vezes,

sedimentadas num sistema antagonista, sem intenção didática explícita e exterior ao

aluno, abrangendo as situações-problema, os jogos, os conhecimentos dos colegas

e do professor. Tal sistema indica o meio a-didático, que Brousseau denomina

‘milieu’”.

O ‘milieu’ deve possibilitar a interação autônoma do aluno em relação às

situações com as quais interage e em relação ao professor. Essa ideia indica que o

‘milieu’ deve ser organizado para que a aprendizagem seja feita de interações,

66

desequilíbrios, assimilações e acomodações. Desta forma, o aluno pode refletir

sobre seu “fazer e desfazer”, impondo restrições através de regras que devem ser

respeitadas.

É sabido que o aluno é um ser dotado de experiências anteriores adquiridas

em sua trajetória escolar, no convívio com a família e com os grupos sociais nos

quais ele está inserido. Chevallard (1991) afirma que um novo conhecimento se

constrói a partir de conhecimentos antigos e, também, contra esses. Isto permite a

constituição de saberes matemáticos, através da mobilização de outros

conhecimentos como ferramentas.

Deste modo, o educando se adapta a um contexto onde ocorre um conjunto

“de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como faz a sociedade

humana. Este saber, fruto da adaptação do aluno, manifesta-se através de

respostas novas, que são a prova da aprendizagem” (BROUSSEAU, 1996a, p. 49).

No Brasil, esses aspectos são registrados nas orientações oficiais vigentes.

Segundo os PCNEM (BRASIL, 2000),

[...] todo conhecimento é socialmente comprometido e não há conhecimento que possa ser aprendido e recriado se não se parte das preocupações que as pessoas detêm. O distanciamento entre os conteúdos programáticos e a experiência dos alunos certamente responde pelo desinteresse e até mesmo pela deserção que constatamos em nossas escolas. [...] A aprendizagem significativa pressupõe a existência de um referencial que permita aos alunos identificar e se identificar com as questões propostas.[...] toda aprendizagem significativa implica uma relação sujeito-objeto e para que esta se concretize, é necessário oferecer as condições para que os dois pólos do processo interajam. (BRASIL, 2000, p. 22)

O papel do conhecimento que os alunos já possuem no momento de resolver

uma situação didática é encaminhar (ou não) a resolução de um problema - aliás, é

para validar ou refutar as ideias deles que as situações didáticas são propostas.

Inicialmente, cada um dá um passo utilizando o que sabe para formular hipóteses de

resolução do problema. Quando não dá certo, o estudante elimina os conhecimentos

inadequados para aquela situação e começa a pensar em outras possibilidades.

Gálvez (1996) observa que nas situações didáticas estão inclusos os estudos de

situações que sejam exitosas ou fracassadas, pois o erro constitui fonte de

informação para a elaboração de boas questões ou situações-problema.

67

Para Brousseau (1996a), o erro é considerado necessário para desencadear

o processo de aprendizagem do aluno. É importante ressaltar a valorização do erro

para a construção do conhecimento. O erro leva o educando a pensar, a reformular,

a discutir e a dialogar. Tais ações dos alunos pressupõem algumas etapas que se

estabelecem nas relações de ensino e aprendizagem.

Nessas relações aparecem, também, outras regras que funcionam como

cláusulas de um contrato. O conjunto das cláusulas que estabelecem essas regras é

chamado contrato didático, o qual configura as formas de interação em sala de aula.

Para Brousseau (1996a),

[...] chama-se contrato didático o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos dos alunos que são esperados pelo professor. [...] Esse contrato é o conjunto de regras que determinam uma pequena parte explicitamente, mas sobretudo implicitamente, do que cada parceiro da relação didática deverá gerir e daquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro. (BROUSSEAU, 1996a, p. 38)

Alguns elementos são de fundamental importância para que o contrato

didático cumpra o papel de organizar as relações do saber, do professor e do

ensino. As estratégias de ensino, as escolhas pedagógicas, os objetivos do curso e

as condições de avaliação são alguns destes elementos. É preciso estabelecer que

tipo de relação didática se quer construir:

[...] se a relação didática desenvolve-se num ambiente em que o professor dá aulas expositivas, em que predominam as definições, os exemplos e as listas de exercícios para os alunos resolverem, aí o conjunto de regras, explícitas ou implícitas, que regem o gerenciamento da atividade será muito diferente daquele que direciona uma prática pedagógica em que os alunos trabalham realizando atividades propostas e, no final, o professor, em uma sessão coletiva, procura institucionalizar o conceito trabalhado e propõe exercícios de fixação e/ou verificação do aprendizado. (SILVA, 2008, p. 51)

É muito comum, em Matemática, a prática pedagógica em que o professor

cumpre seu contrato ministrando aulas expositivas e propondo exercícios aos

educandos e, estes, cumprem seu contrato, compreendendo ou não a aula e

conseguindo resolver, corretamente ou não, os exercícios.

Mas, o contrato didático se torna diferente quando o professor propõe uma

estratégia de ensino focada num trabalho individual ou em duplas, seguindo roteiros

e regras pré-estabelecidas por ele, e institucionaliza o saber através de sessões

coletivas. Para Silva (2008, p. 53), nesse contexto “o professor apoia-se nas

68

produções pessoais ou coletivas dos alunos (resultados de atividades propostas

através de um problema) para fazer progredir o aprendizado de toda classe”.

Na verdade, a participação e a colaboração, do aluno e do professor, na

construção e no pacto do contrato didático são fundamentais para que ações deste

processo sejam cumpridas continuamente de forma bilateral e atinjam suas

expectativas. Quanto a isso, Chaves (2013, p. 6) sinaliza que “embora no contrato

didático não exista um documento formalmente assinado pelo professor e pelos

alunos, não significa que ambos não tenham expectativas contratuais um para os

outros, e vice-versa”.

O contrato didático é, portanto, o regulador das intenções do aluno e do

professor diante da situação didática. Aluno e professor aceitam o contrato didático

quando o primeiro se mobiliza para enfrentar o problema e o segundo se

conscientiza que não deve intervir na transmissão explícita e precipitada de

conhecimentos.

Entretanto, embora na maior parte das relações, em sala de aula, exista uma

vontade de ambos os atores em cumprir fielmente tal contrato didático, às vezes, tal

acordo se rompe. Para Silva, em muitos casos, é preciso que

[...] haja a ruptura e a renegociação do mesmo para o avanço do aprendizado. Um exemplo bastante elucidativo de ruptura do contrato didático, nessa situação, é o caso em que o professor pretende introduzir um conceito novo através, não de uma aula expositiva (definição, propriedades, exemplos, lista de exercícios), mas por meio de atividades em que os alunos resolvem questões trabalhando individualmente ou em dupla e estes, quando devem trabalhar, reagem através de questões do tipo “não sei fazer”, “como começa?”, “a teoria não foi dada”, “você não vai explicar o enunciado?”, “não entendi o que é para fazer” e assim por diante. (SILVA, 2008, p. 54)

O contrato didático existe em função do aprendizado dos alunos e, a cada

nova etapa da construção do conhecimento, ele é renovado e renegociado. O

professor elabora uma situação didática que fornece condições para o aluno

executá-la, sem que o mesmo (professor) faça uma intervenção didática.

Dessa forma, o aluno:

[...] só terá verdadeiramente adquirido conhecimento quando for capaz de aplicá-lo por si próprio às situações com que se depara fora do contexto do

69

ensino, e na ausência de qualquer indicação intencional. Tal situação é chamada situação a-didática. (BROUSSEAU, 1996a, p. 38)

Segundo Brousseau, a situação a-didática faz parte de uma situação mais

vasta, em que o professor se envolve numa espécie de ‘jogo’ com as interações dos

alunos. Tal ‘jogo’ evidencia uma situação a-didática pois, sem ter a intenção de atuar

didaticamente, ele pode mudar a estratégia do jogador, na busca de um

conhecimento específico.

De fato, há uma certa ambiguidade no uso dessa expressão quando ela é

compreendida como definindo uma etapa na qual a intenção de ensinar não tem

nenhuma influência. Ambiguidade porque ela representa um fenômeno que se

encontra fora do controle didático, mas não deixa de ser uma noção de grande

importância para a didática.

Segundo Freitas (1999):

As situações a-didáticas representam os momentos mais importantes da aprendizagem, pois o sucesso do aluno nas mesmas significa que ele, por seu próprio mérito, conseguiu sintetizar um conhecimento. Neste sentido não podem ser confundidas com as chamadas situações não didáticas, que são aquelas que não foram planejadas visando uma aprendizagem. Nesse caso o problema surge de forma eventual na vivência pessoal do sujeito. (FREITAS, 1999, p. 70)

Concluo, então, que a escolha do problema pelo professor é uma parte

importante de uma situação mais ampla, que é pedagogicamente planejada e nela,

pode ocorrer uma ou mais situações a-didáticas. Assim, os sujeitos dos processos

de ensino e aprendizagem (professor e aluno) se inserem num conjunto de relações,

que envolvem uma diversidade de conceitos, em busca da síntese de um

determinado conhecimento. Dessa forma, fica claro que toda a atividade pedagógica

deveria ser planejada, pelo professor, com fases bem definidas, com a intenção de

direcionar o aluno a uma situação a-didática.

Brousseau afirma que nas situações a-didáticas configuram-se etapas ou

fases: devolução, ação, formulação, validação e institucionalização.

Na primeira fase, denominada situação de devolução, o professor assume a

função de ceder ao aluno uma parte da responsabilidade pela aprendizagem,

incluindo-o no jogo e assumindo os riscos por tal postura.

70

Na segunda fase, denominação situação de ação, o aluno faz reflexões,

simulações e tentativas. Nessa etapa o aluno adota um procedimento de resolução,

dentro de um esquema de adaptação, através da interação com o jogo, e toma as

decisões que faltam para organizar a resolução do problema.

De acordo com Brousseau (1996a), na terceira fase, denominada situação de

formulação, ocorre uma troca de informação entre o aluno e o ‘milieu’, utilizando uma

linguagem mais adequada, sem o uso obrigatório da linguagem matemática formal.

Desse modo, podem ocorrer: ambiguidades, redundâncias, uso de metáforas,

criação de termos semiológicos novos, falta de pertinência e de eficácia de

mensagem, dentro de retroações contínuas. Os alunos, então, tentam modificar a

linguagem habitual, adequando-a às informações que devem comunicar.

A quarta etapa, situação de validação, é caracterizada pelo momento em que

os alunos tentam convencer os interlocutores da veracidade das afirmações,

fazendo uso, então, de uma linguagem matemática apropriada, recheada de

demonstrações e provas.

Concluo, então, que nas quatro situações descritas anteriormente, o professor

assume o papel de mediador, permitindo que o aluno trilhe os caminhos da

descoberta e não revelando sua intenção didática. Essas fases caracterizam passos

psicológicos favoráveis ao aluno, pois o engajam na busca do conhecimento,

fazendo-o co-autor do seu processo de aprendizagem.

Por fim, há a situação de institucionalização do saber. Nessa fase, a intenção

do professor é revelada e estabelecem-se as convenções sociais. O professor

retoma a parte da responsabilidade, outrora cedida aos alunos, e confere o estatuto

de saber ou descarta algumas produções dos alunos, definindo os objetos de estudo

através da formalização e generalização.

É na institucionalização que o papel explícito do professor se manifesta, o

objeto é oficialmente aprendido pelo aluno e o professor reconhece tal

aprendizagem. Brousseau pondera que:

[...] o papel da institucionalização é prover sentido de um conhecimento, que pode ser encontrado pelo próprio aluno nas: - situações de ação: do trama de raciocínios e de de reformulações - situações de formulação: de modelos implícitos associados a ele e das relações mais ou menos assumidas entre

71

estes componentes - situações de validação: do trama de provas e de formalizações - situações de institucionalização: onde o saber é identificado, sistematizado e reconhecido. (BROUSSEAU, 1996a, p. 47)

Neste sentido, o professor deve assumir uma epistemologia e ter um bom

controle de suas concepções epistemológicas28, pois, ao mesmo tempo que ensina

um saber, o professor recomenda como usá-lo. Para Brousseau (1996b, p. 59)

“manifesta-se assim uma posição epistemológica que o aluno adota muito mais

rapidamente porque a mensagem permanece implícita ou ainda inconsciente”. Tal

posição torna-se difícil de ser assumida, controlada e identificada e, por outro lado,

parece desempenhar importante papel na qualidade dos conhecimentos adquiridos.

3.2 Os recursos de ensino e de aprendizagem

Para que as situações didáticas sejam planejadas e aplicadas de forma a

levar o aluno ao êxito no processo de aprendizagem e ajudar o professor no

processo de ensino, entram em cena alguns materiais de apoio (os livros didáticos e

os sites disponíveis na internet).

O livro didático, auxiliar no processo de formação do educando como ser

crítico, capaz de criar, construir e descobrir o conhecimento pode ser um recurso

auxiliar nos processos de ensino e aprendizagem.

Polidoro e Stigar (2010) consideram que o papel do livro didático é

[...] propiciar um bom trabalho pedagógico quanto à linguagem científica adequada à faixa etária do educando; às atividades integradas aos conteúdos, para o desenvolvimento de diversas competências; à problematização de questões a estudar e pesquisar, adequadas à capacidade cognitiva dos alunos e aos conceitos a construir, por meio de interlocução, observação, investigação, análise, síntese e avaliação. (POLIDORO; STIGAR, 2010, p. 157)

Entendo que o livro didático pode ser um dos suportes do processo de

aprendizagem e referencial para as atividades extraclasse, tendo um papel

significativo na dinâmica escolar. O livro didático pode ser um elemento facilitador

para que professores e alunos argumentem, interajam, participem, contribuam e

invistam no desenvolvimento das próprias competências pessoais e profissionais,

28

Na Didática da Matemática, a concepção epistemológica “é um conjunto de convicções, conhecimentos e saberes científicos, os quais tendem a dizer o que são os conhecimentos dos

72

procurando emancipação em face da realidade estabelecida e, com isso,

construindo um senso crítico a fim de superar a fragmentação do conhecimento e a

alienação.

É sabido que, talvez, por conta das necessidades políticas e, principalmente

econômicas, muitas vezes o livro didático não consegue ou não cumpre o principal

objetivo que é o de possibilitar o acesso à informação de forma clara, concisa e

matematicamente correta. Por vezes, encontramos erros de conceito e formalização,

que comprometem os processos de ensino e aprendizagem.

De qualquer modo, é certo que as possibilidades de acesso à informação vão

além do professor e do livro didático. Atualmente, com o advento da internet, a

informação chega aos patamares de ensino de forma rápida e processada.

Pode-se dizer que a internet é uma grande biblioteca. Nela encontramos

artigos técnicos, enciclopédias, dicionários, livros e vídeos educativos além de uma

variedade de sites e blogs. Se no passado era necessário irmos a uma biblioteca

para obter as informações que nos interessam, hoje as temos em excesso.

Localizar, organizar e usufruir de tudo isso é um desafio para os professores e

alunos. A informação que chega via internet deve ser processada, revisada e

adequada aos objetivos que se deseja para que se concretizem os processos de

ensino e de aprendizagem. Cabe ao professor fazer esse filtro e possibilitar a

construção do conhecimento.

Mas, na busca pela construção do conhecimento há, ainda, um fator

fundamental para as relações didáticas: o diálogo. As atitudes e procedimentos,

baseados no diálogo, são alicerces para os processos de ensino e aprendizagem.

Reconhecer os direitos e os respectivos deveres na convivência com o outro,

através de discussão oral, é um passo importante para a educação.

Acrescente-se que as situações didáticas são constituídas a partir do diálogo.

Esta relação possibilita, ao aluno, descobrir novos conceitos, desenvolver seu

raciocínio e assumir e expressar posicionamentos. O aluno deve assumir-se como

corresponsável por sua formação; antes de tudo, deve estar predisposto a aprender

indivíduos ou de grupos de pessoas, como funcionam, os modos de estabelecer sua validade e então de ensiná-los e aprendê-los” (D’AMORE, 2007, p. 3).

73

para, então, pôr em prática a busca pelo autoconhecimento e pelo desenvolvimento

da autoestima, constituindo, assim, sua identidade e autonomia intelectual. É no

diálogo que aflora, também, o conflito, ativando, assim, as discussões e a presença

participativa dos alunos. E não só no diálogo entre aluno e professor, mas também

entre aluno e aluno. Para Coll e Colomina (1996):

Nos processos de construção de significados compartilhados com relação aos conteúdos escolares, passou-se a considerar a possibilidade de que os próprios alunos podem exercer, em algumas circunstâncias, uma influência educativa sobre os colegas, isto é, podem desempenhar o papel de mediador entre o outro aluno e o saber, o que, antes, era reservado exclusivamente ao professor (COLL; COLOMINA, 1996).

Entendo que os processos de ensino e aprendizagem são favorecidos tanto

pelas interações entre alunos e professor como entre os alunos. A interação entre

alunos é particularmente interessante, talvez por estes terem uma linguagem mais

adequada aos colegas ou por estarem mais próximos, durante um tempo maior.

Desse modo, o diálogo se apresenta de forma mais fluida e o entendimento é

facilitado.

Concluindo, posso afirmar que pela análise das situações didáticas é possível

investigar a aprendizagem matemática e entender aspectos sobre a resolução de

problemas e a elaboração de conceitos pelos alunos.

Quanto aos saberes, verifica-se que é através da transposição destes, que se

dá a construção do conhecimento. Quando o saber chega à escola, se faz

necessário que a tríade saber/professor/aluno se correlacione e interaja com a

finalidade de concretizar os processos de ensino e de aprendizagem.

Quanto ao saber matemático, convém lembrar que a construção das ideias

matemáticas não se faz por simples acréscimos ou reformulação do conhecimento, o

papel do conhecimento prévio é fundamental para a concretização do novo

conhecimento. Dessa forma, encarar o ensino como a transferência ao aluno da

responsabilidade do uso e da construção do saber, pode dar origem a uma situação

paradoxal. O professor deve considerar todo o conhecimento que o aluno adquiriu

anteriormente e, a partir da sua intermediação, levá-lo à construção de um novo

conhecimento.

74

As situações didáticas e a-didáticas incitam o professor e o aluno a realizarem

um movimento em busca da construção do conhecimento. O planejamento, as

estratégias de ensino, o contrato didático, o diálogo e os materiais de apoio se

tornam, então, indispensáveis nesse processo.

Entendo, também, que a Teoria das Situações Didáticas, juntamente com

outras concepções da Didática da Matemática, pode ser considerada como favorável

a abarcar a multiplicidade de aspectos necessários para a concretização e a

evolução da aprendizagem do aluno.

Conforme já anunciado anteriormente, esta pesquisa fundamenta-se na

Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1988, 1996a, 1996b) que permite

entender e analisar como as interações entre os envolvidos nos processos de ensino

e aprendizagem podem levar à construção do conhecimento.

Desta forma, essa teoria subsidiou as análises e reflexões desenvolvidas a

partir dos dados e dentro do contexto da minha pesquisa, de modo que destaco

alguns aspectos que se fizeram presentes de modo mais particular e especial: (1) a

dinâmica entre os envolvidos nos processos de ensino e aprendizagem, fornecendo

elementos que possibilitam romper contratos anteriormente estabelecidos e apontar

os desdobramentos ocorridos com este rompimento; (2) a forma como as situações

de devolução, ação, formulação, validação e institucionalização foram desenvolvidas

em sala de aula para otimizar o aprendizado do aluno e prepará-lo para as situações

adidáticas.

Com base nos fundamentos teóricos apresentados neste e no capítulo

anterior é que foram analisados os dados coletados na investigação relatada nesta

tese, cuja metodologia será explicitada no próximo capítulo.

75

CAPÍTULO 4

Pesquisar é ver o que outros viram, e pensar o que nenhum outro pensou.

Albert Szent-Gyorgyi

4 METODOLOGIA DE PESQUISA

Neste capítulo apresento uma discussão sobre pesquisa científica e sua

relevância no ambiente educacional. Em seguida, abordo a metodologia de pesquisa

adotada nesta tese, que é de natureza qualitativa. Por fim, detalho os métodos29 de

investigação que foram utilizados para a realização da coleta dos dados.

4.1 A pesquisa científica

A pesquisa científica é um trabalho que se caracteriza pela sistematização

dos processos investigativos. Para Goldenberg (2007, p. 105), trata-se de um

“trabalho de produção de conhecimento sistemático, não meramente repetitivo, mas

produtivo, que faz avançar a área do conhecimento à qual se dedica”.

O ato de pesquisar não é um processo mecânico em que o pesquisador

conhece as respostas para suas inquietações e busca direcioná-las para uma

conclusão previamente construída. Trata-se de uma reflexão sobre a realidade e um

compromisso político. Concordo com Ghedin e Franco (2006) quando afirmam que

[...] refletir e investigar as formas diferenciadas de conhecimento e seus modos de produção e construção por meio de alternativas de pesquisa em Educação é de fundamental importância no momento em que a liberdade perde seu espaço para o desconhecimento, a ignorância, o fundamentalismo e a corrupção. Predominantemente, a pesquisa há de se propor como instrumento fomentador de consciências e ações críticas, que não só compreendam a existência e o mundo de modo diferente, mas que procurem produzir uma existência e um mundo qualitativamente melhor. (GHEDIN; FRANCO, 2006, p. 19).

Considero que pesquisar é, então, um ato de produzir conhecimento. E,

quando se aborda a produção de conhecimento há de se preocupar com os

29

As palavras método, instrumentos, técnicas ou procedimentos serão usadas, por mim, para designar as formas de coleta de dados adotadas.

76

referenciais metodológicos de investigação. A qual recorrer: ao positivista, ao

interpretativo ou ao crítico?

4.1.1 Os referenciais metodológicos de investigação

O referencial positivista é, ainda, muito presente na formação de

pesquisadores. Sua finalidade da investigação é a explicação, o controle, a predição

e a formulação de leis gerais. Neste referencial, a realidade é considerada como

objetiva e apreensível e a relação do sujeito conhecedor com o objeto de pesquisa é

neutra e independe de valores. As generalizações, a explicação causal e as análises

dedutivas e quantitativas são o foco deste referencial. Nesse sentido, Trevisan

(2003) ressalta que:

[...] o positivismo opõe-se ao desenvolvimento de um conhecimento baseado apenas no raciocínio lógico, que imaginava poder a razão humana tudo conhecer. Fundamenta-se no empirismo, na experiência e na observação de fatos cognoscíveis. (TREVISAN, 2003).

Há ainda, a possibilidade de adotar uma abordagem interpretativista, em que,

a finalidade da investigação é a compreensão e a interpretação. Neste, valorizam-se

as relações influenciadas por fatores subjetivos que marcam a construção de

significados que emergem no campo. A realidade, então, é construída pelos sujeitos

que com ela se relacionam. Os valores do pesquisador influenciam na seleção do

problema, da teoria e dos métodos de análise, e este, pela sua capacidade de

interpretação, torna-se construtor da realidade pesquisada. Dessa forma, ele produz

análises indutivas e qualitativas. Entretanto, Freitas (2007) sinaliza que

[...] o papel do pesquisador não consiste, pois, em simplesmente descrever e compreender a realidade, como quer o paradigma interpretativista, mas em construir um conhecimento que desvele a realidade a partir dos textos que emergem nas interlocuções da situação de pesquisa. Daí que o encontro dos sujeitos se faz não só no plano individual como acontece no paradigma interpretativista, mas, sobretudo social, um encontro de culturas, de contexto. (FREITAS, 2007).

Por outro lado, o referencial crítico tem como princípio conhecer e

compreender a realidade unindo, assim, a teoria e a prática, a ação e os valores, e

orientando o conhecimento com o propósito de emancipar o homem. Esse

referencial tem o seu marco filosófico no neomarxismo no sentido de que defende

uma ciência social critica. Seu objeto de estudo centra-se em determinar as causas

77

sócio-históricas, com o propósito de melhorar a realidade. O investigador atua como

um ator, presente e participante em todo o processo. Para Freitas (2007), o

referencial crítico

[...] compreende a realidade como uma construção dos múltiplos sujeitos que nela interagem, incorporando o conflito. A relação do pesquisador com o objeto de pesquisa é marcada pelo desejo de mudança, pelo compromisso com a emancipação humana. Suas análises contextualizadas, indutivas, qualitativas, centradas na diferença, se assemelham às do modelo interpretativista, mas valorizam a importância dos processos sociais coletivos. Há, pois, uma preocupação com a crítica dos valores dados, das ideologias. Estão presentes aí os aportes do materialismo histórico. (FREITAS, 2007)

Concluo que: (1) no positivismo o pesquisador se isenta diante da realidade;

(2) no referencial interpretativista o pesquisador constrói uma interpretação da

verdade; (3) no referencial crítico o pesquisador assume um compromisso com a

transformação da realidade.

Diante disso, assumo para a minha pesquisa, um referencial crítico-

interpretativista, ao trazer compreensões das práticas da professora e dos alunos,

nos encontros por mim observados, com a convicção de que a realidade pode ser

compartilhada e transformada. Na busca por compreender e interpretar essa

realidade, a partir das interações entre os sujeitos da minha pesquisa, trago à tona

os conflitos e acomodações que ocorrem no ambiente escolar e construo, assim, um

panorama da sala de aula. Desvelo, então, um encontro de culturas (professor/aluno

e aluno/aluno), valorizando a importância dos processos sociais coletivos.

Desse modo, a interpretação da realidade é feita, por mim, com análises

indutivas e qualitativas, no intuito de produzir uma transformação da mesma.

4.2 Pesquisa qualitativa

A pesquisa qualitativa busca interpretar e entender um fenômeno específico,

observando-o em profundidade. Trabalha com descrições e interpretações e não

com instrumentais estatísticos, que levam a generalizações.

Ao contrário das pesquisas quantitativas, voltadas à comprovação de

hipóteses, a pesquisa qualitativa se interessa em analisar e compreender o processo

como um todo. O pesquisador analisa os dados e procura entender os porquês dos

78

fatos durante todo o processo, seja antes, durante ou depois da coleta dos dados.

Por não restringir a atuação do pesquisador às suas observações, o enfoque

indutivo se torna muito importante para a pesquisa qualitativa.

Minha pesquisa se baseia, então, na caracterização dada por Lüdke e André

(1986), quando afirmam que a pesquisa qualitativa caracteriza-se por:

(i) ter o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento; (ii) coletar dados predominantemente descritivos; (iii) ter maior atenção ao processo que com o produto; (iv) o processo de análise tende a ser indutivo, sendo que ‘os pesquisadores não se preocupam em buscar evidências que comprovem hipóteses definidas antes do início dos estudos. As abstrações formam-se ou se consolidam, basicamente, a partir da inspeção dos dados num processo de baixo para cima. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p.10).

Tomei como ambiente natural da pesquisa uma sala de aula de Ensino Médio,

no momento em que se abordava a Trigonometria no triângulo retângulo. Os dados

por mim coletados são descritos, interpretados e discutidos de forma minuciosa e

cuidadosa.

A pesquisa qualitativa é menos controlável, principalmente por ser mais

participativa. Os sujeitos da pesquisa interagem com o pesquisador por conta do

contato direto que ocorre na coleta dos dados. O pesquisador, por sua vez, deve

tentar entender os fenômenos de acordo com as perspectivas dos sujeitos de

pesquisa e da situação a ser estudada. Há uma forte preocupação com o significado

que as pessoas dão aos fatos e à sua vida.

Para Goldenberg (2007), a pesquisa de natureza qualitativa não se preocupa

com a implantação de leis que tendem a criar padrões, mas com a compreensão

aprofundada do significado dos fatos que foram descritos a partir de um determinado

contexto social. Realizada no local de origem dos dados, a pesquisa qualitativa

diferencia-se das demais quanto às suas características e instrumentos utilizados.

Com o propósito de colher informações que vão ajudar a resolver um

problema, para o qual ainda não se tem uma resposta, o pesquisador deve dividir

seu trabalho em fases. A primeira é a fase exploratória.

79

4.3 Fase exploratória

Na fase exploratória da pesquisa realizei um levantamento bibliográfico sobre

o tema a ser explorado. Para Oliveira (2007, p. 30) “trata-se de uma pesquisa

aprofundada de caráter indutivo onde o pesquisador, a partir de explicações gerais

de um fato ou fenômeno, pode diagnosticar e tratar um novo problema particular”.

Concordo com Goldenberg (2007) quando afirma que a fase exploratória pode

ser interpretada como

[...] uma “paquera” de dois adolescentes. É o momento em que se tenta descobrir algo sobre o objeto de desejo, quem mais escreveu (ou se interessou) sobre ele, como poderia haver uma aproximação, qual a melhor abordagem dentre todas as possíveis para conquistar este objeto. (GOLDENBERG, 2007, p. 72).

É sabido que ao realizar um levantamento bibliográfico, busca-se entrar em

contato com artigos científicos, periódicos, dicionários, livros, propostas curriculares

e outros documentos oficiais. Tais documentos estão disponíveis em diversos meios:

anais de eventos, repositórios, sites da internet e outros.

Na minha pesquisa utilizei, inicialmente, o banco de teses da CAPES para

conhecer as teses de doutorado e dissertações de mestrado que tiveram como foco

a Trigonometria no Ensino Médio, e descobrir lacunas que pudessem ser

preenchidas pelo meu estudo. Documentos dos órgãos oficiais e artigos disponíveis

em livros, anais de eventos, periódicos e sites, foram utilizados para a

fundamentação teórica, registrada nos Capítulos 2 e 3. No Capítulo 2 descrevo a

Trigonometria, sua história, aplicações, seu ensino e algumas pesquisas sobre o

assunto. No Capítulo 3, discuto e analiso um caminho para a construção do

conhecimento que perpassa pelas relações educacionais entre professor, aluno e

saber.

Diante dos resultados da pesquisa bibliográfica, defini o foco do meu trabalho:

analisar como ocorrem as interações na busca pela construção de conhecimento

sobre a Trigonometria no triângulo retângulo e parti, então, para a pesquisa de

campo.

80

4.4 Pesquisa de campo

A pesquisa de campo é utilizada com o propósito de colher informações

acerca de um problema para o qual se quer obter a resposta. Para Marconi e

Lakatos (2010, p. 13), “a pesquisa de campo é a fase de investigação na qual a

coleta de dados é realizada diretamente no local onde o problema ou fenômeno

acontece”; no meu estudo, durante as aulas ministradas para alunos de Ensino

Médio.

Entre as várias formas que pode assumir uma pesquisa qualitativa destaco, a

seguir, o estudo de caso. Nesta tese optei por fazer esse tipo de estudo, por ser uma

modalidade de pesquisa que vem ganhando crescente aceitação na área da

educação, devido principalmente ao seu potencial para estudar as questões

relacionadas à escola.

4.4.1 Estudo de caso

Trago, aqui, a posição tomada na Conferência de Cambridge (ADELMAN et.

al., 1976, p. 2) de que o estudo de caso é um termo amplo, incluindo “uma família de

métodos de pesquisa cuja decisão comum é o enfoque numa instância”. Partindo

dessa mesma definição, Nisbett e Watt (1978, p. 5) sugerem que o estudo de caso

seja entendido como “uma investigação sistemática de uma instância específica”. Tal

instância, na visão deles, pode ser um evento, uma pessoa, um grupo, uma escola,

uma instituição, um programa, etc.

Os participantes da Conferência de Cambridge, reconhecendo que o caráter

amplo da definição pode levar a interpretações indevidas, procuraram antecipar, no

documento final do encontro, algumas das possíveis atribuições equívocas à

estratégia sobre o estudo de caso: (1) não pode ser igualado aos estudos de

observação participante, pois isso excluiria o estudo de caso histórico, não menos

interessante e relevante que os trabalhos de observação; (2) não podem ser

tomados simplesmente como esquemas pré-experimentais de pesquisa, pois

embora eles sirvam muitas vezes para indicar variáveis que são manipuladas e

controladas posteriormente em estudos experimentais, essa não é sua única função

81

(o conhecimento gerado por um estudo de caso tem valor único, próprio e singular) e

(3) não é um método específico de pesquisa, mas uma forma particular de estudo.

Algumas características são fundamentais sobre os estudos de caso,

apresento, a seguir, as características anunciadas por Ludke e André (1986) e

justifico o motivo da minha pesquisa ser um estudo de caso:

(1) Os estudos de caso visam à descoberta. Mesmo que o investigador parta de alguns pressupostos teóricos iniciais, ele procurará se manter constantemente atento a novos elementos que podem emergir como importantes durante o estudo”. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 18)

Eu tinha indícios de que a observação a ser realizada em sala de aula, seria

interessante, por ter ouvido outros alunos, da mesma professora, comentarem sobre

o método de ensino por ela adotado. Parti, então, na busca de descobrir a forma

como ela conduzia as aulas e como os alunos se posicionavam diante disso.

(2) [...] os estudos de caso enfatizam a ‘interpretação em contexto’. Um princípio básico desse tipo de estudo é que, para uma apreensão mais completa do objeto, é preciso levar em conta o contexto em que ele se situa. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 18)

No intuito de compreender melhor as interações existentes em sala de aula,

entre os alunos e entre os alunos e a professora, procurei colher elementos que me

informassem sobre trajetória dos alunos até chegar ao IFSP.

(3) [...] os estudos de caso buscam retratar a realidade de forma completa e profunda. O pesquisador procura revelar a multiplicidade de dimensões presentes numa determinada situação ou problema, focalizando-o como um todo. Este tipo de abordagem enfatiza a complexidade natural das situações, evidenciando a inter-relação dos seus componentes. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 19)

Ao observar as interações levei em conta as dinâmicas de sala de aula, o

conteúdo trabalhado, a atuação da professora e dos alunos, e como esses

elementos interagiam na busca pela construção do conhecimento.

(4) [...] os estudos de caso usam uma variedade de fontes de informação. Ao desenvolver o estudo de caso, o pesquisador recorre a uma variedade de dados, coletados em diferentes momentos, em situações variadas e com uma variedade de tipos de informantes. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 19)

Além da observação em sala de aula, coletei dados através de dois

questionários que foram aplicados aos alunos do IFSP, antes e depois, dos

encontros observados.

(5) [...] os estudos de caso revelam experiência vicária e permitem generalizações naturalísticas. O pesquisador procura relatar as suas experiências durante o estudo de modo que o leitor ou usuário possa

82

fazer suas ‘generalizações naturalísticas’30

. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 19)

Procurei aprender com a experiência do outro, no caso, dos outros. Os alunos

e a professora me ajudaram a construir um panorama do que ocorre em sala de

aula.

(6) [...] os relatos do estudo de caso utilizam uma linguagem e uma forma mais acessível do que os outros relatórios de pesquisa. Os dados do estudo de caso podem ser apresentados numa variedade de formas, tais como dramatizações, desenhos, fotografias, colagens, slides, discussões, mesas-redondas etc. (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p. 20).

Nesta tese, procurei fazer os relatos sobre as observações feitas em sala de

aula, de maneira clara e objetiva, tentando levar ao leitor uma reprodução fiel de

todos os fatos, por mim elencados como relevantes, que ocorreram na observação.

4.4.1.1 Coleta de dados para um estudo de caso

Nas diversas ciências, e inclusive na Educação Matemática, para que os

objetivos de pesquisa sejam alcançados é necessário que o investigador esteja

atento à coleta de dados, tentando perceber se suas indagações não estão afetando

diretamente as informações fornecidas pelos investigados. Dessa forma, Alves–

Mazzotti (1999) afirma que

[...] o pesquisador deve estar ciente de que os dados podem ser respondidos apenas para agradá-lo na busca dos propósitos da pesquisa. Transcrições fiéis e coerentes são imprescindíveis para que os dados apresentem maior veracidade e credibilidade à pesquisa. (ALVES-MAZZOTTI, 1999, p. 112).

Sobre os métodos de coleta de dados utilizados no estudo de caso, (ANDRÉ,

1984, p. 52) afirma que é um conjunto eclético “incluindo, via de regra, observação,

entrevistas, fotografias, gravações, documentos, anotações de campo e

negociações com os participantes do estudo”.

Para a coleta dos dados é necessário que o pesquisador concentre esforços

para a apropriação de diversos instrumentos e escolha, adequadamente, o que é

importante para a sua pesquisa e análise. Gil (2008, p. 12) sinaliza que “o

pesquisador deve empreender uma cuidadosa utilização desses instrumentos e de

30

O conceito ‘generalização naturalística’ foi introduzido por Deborah Trumbull e Robert Stake como uma alternativa à generalização baseada em amostras consideradas representativas de uma população. (MELROSE, 2009)

83

outros procedimentos científicos que auxiliem no desenvolvimento do pensamento

reflexivo e possibilitem um tratamento científico”.

Para realizar esse estudo de caso selecionei alguns instrumentos que me

ajudaram na busca de resposta ao meu problema. Na minha pesquisa de campo

utilizei dois questionários exploratórios e a observação não participante dos fatos

que ocorreram em sala de aula.

Os sujeitos da minha pesquisa foram escolhidos no Instituto Federal de

Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP – Campus Cubatão, instituição

na qual eu sou professor e que me deu total apoio para realizar tal trabalho. A

Instituição apresenta os seguintes cursos: Técnico Integrado ao Ensino Médio, em

Informática; Técnico em Automação Industrial; Técnico em Eletrônica; Técnico em

Informática; Qualificação em Informática Básica (PROEJA); Tecnólogo em

Automação Industrial e Tecnólogo em Gestão de Turismo. Para ingressar em

qualquer um dos cursos relacionados, os alunos participam de um processo seletivo

e são classificados conforme a sua pontuação. Segundo dados da Instituição, a

relação candidato/vaga no ano de ingresso 2012, para o Ensino Técnico Integrado

ao Médio, em Informática, no período vespertino foi de 17/1.

Decidi direcionar minha pesquisa aos alunos que ingressam no Ensino

Técnico Integrado ao Médio, em Informática, do período vespertino, no ano de 2012.

Por serem alunos menores de idade, preparei um Termo de Consentimento

direcionado aos responsáveis (Apêndice A). Outros dois Termos de Consentimento

foram preparados e direcionados, a fim de viabilizar minha pesquisa: à professora

que permitiu a minha observação em sala de aula (Apêndice B) e à Coordenação do

Instituto (Apêndice C).

Um texto da Universidade Federal do Amazonas - UFAM (2013) esclarece

que:

O Termo de Consentimento é um documento que informa e esclarece o sujeito da pesquisa de maneira que ele possa tomar sua decisão de forma justa e sem constrangimentos sobre a sua participação em um projeto de pesquisa. É uma proteção legal e moral do pesquisador e do pesquisado, visto ambos estarem assumindo responsabilidades. Deve conter, de forma didática e bem resumida, as informações mais importantes do protocolo de pesquisa. Deve estar escrito em forma de convite e em linguagem acessível

84

aos sujeitos daquela pesquisa. O pesquisador deve garantir que o sujeito da pesquisa realmente consiga entender o que está escrito. (UFAM, 2013).

De posse dos Termos de Consentimento passei para a 2ª etapa da minha

pesquisa de campo que foi organizar um questionário.

4.4.1.2 O questionário

Durante a fase de preparação desta pesquisa, decidi tomar como foco

principal, as interações ocorridas em sala de aula. Com a preocupação em obter

dados para uma investigação à respeito da relação entre os alunos do IFSP –

Campus Cubatão e a Trigonometria no triângulo retângulo (conteúdo desenvolvido,

nesta instituição, no Ensino Médio), preparei um questionário (Questionário 1). De

acordo com Severino (2007) o questionário é

[...] um conjunto de questões, sistematicamente articuladas, que se destinam a levantar informações escritas por parte dos sujeitos pesquisados, com vistas a conhecer a opinião dos mesmos sobre os assuntos em estudo. As questões devem ser pertinentes ao objeto e claramente fundamentadas, de modo a serem bem compreendidas pelos sujeitos. As questões devem ser objetivas, de modo a suscitar respostas igualmente objetivas, evitando provocar dúvidas, ambiguidades e respostas lacônicas. Podem ser questões fechadas ou questões abertas. No primeiro caso, as respostas serão acolhidas dentre as opções pré-definidas pelo pesquisador; no segundo, o sujeito pode elaborar as respostas, com suas próprias palavras, a partir de sua elaboração pessoal. (SEVERINO, 2007, p. 126)

Tal questionário (Apêndice D) foi aplicado aos 37 (trinta e sete) alunos de

uma sala de aula. O questionário foi previamente testado (pré-teste), num grupo de 5

(cinco) alunos, antes de sua aplicação ao conjunto dos sujeitos a que se destinaria,

o que me permitiu avaliá-lo, revisá-lo e ajustá-lo. Vale ressaltar que o pré-teste não

foi objeto de análise.

O Questionário 1 foi elaborado com 13 (treze) questões abertas e aplicado no

momento em que a professora permitiu que eu entrasse em aula e conversasse com

os alunos. Cada aluno levou o questionário para casa e me devolveu, respondido,

quando iniciei as observações em sala de aula. No intuito de conhecer o perfil dos

alunos, os objetivos do questionário foram: descobrir o modo como os alunos

conheceram e a forma como os mesmos se prepararam para ingressar no IFSP;

conhecer as motivações que os alunos tinham em relação ao Ensino Médio

Integrado; identificar se já tinham tido contato com a Trigonometria.

85

Quando optei pelo questionário, considerei as vantagens e desvantagens de

utilizar essa técnica de obtenção de informações. O questionário propicia, entre

outros, a liberdade para os pesquisados responderem sem a interferência do

pesquisador e a flexibilidade que o pesquisador tem para a preparação do mesmo.

Para Goldenberg (2007),

[...] apesar do questionário possuir essas vantagens, o pesquisador deve estar atento a algumas deficiências como: a baixa obtenção de respostas, a perda de expressões sentimentais e a exigência de saber ler e escrever para que o pesquisado possa responder com eficiência as perguntas contidas no questionário. (GOLDENBERG, 2007, p. 25).

Para fazer a análise desses questionários, realizei a leitura dos registros

escritos e procurei alguns aspectos significativos que me dessem indicativos para as

respostas às minhas questões de pesquisa.

Apliquei, logo após a observação realizada em sala de aula, o Questionário 2

(Apêndice E), aos mesmos 37 (trinta e sete) alunos, e a professora se encarregou de

recolhê-los no encontro seguinte. Tal questionário pretendia verificar como se

realizaram, segundo os educandos, os processos de ensino e aprendizagem, e

como os mesmos observaram a ação do professor, sua didática e a forma como o

conhecimento foi construído.

4.4.1.3 A observação

Outra técnica, de fundamental importância, utilizada em minha pesquisa foi a

observação em sala de aula. Procurei realizar uma observação científica que,

segundo Vianna (2007),

[...] trata-se de uma pesquisa que procura coletar dados que sejam válidos e confiáveis. As técnicas de observação em pesquisa são, praticamente, as únicas abordagens disponíveis para o estudo dos comportamentos complexos. [...] Grande parte dos fatos que realmente interessam aos educadores, como, por exemplo, a interação professor/aluno, fundamental no processo de aprendizagem, é extremamente complexa. (VIANNA, 2007, p. 9)

A observação, numa pesquisa de referencial crítico-interpretativista, é uma

técnica muito importante para a atividade científica. É certo que o pesquisador

precisa ter anotações cuidadosas e detalhadas, além de habilidade e capacidade de

observar, para que seus objetivos sejam alcançados. Saber olhar, saber identificar e

86

descrever diversos tipos de interações nos processos humanos é uma tarefa que

exige uma intensa formação. Para Patton (1997, p. 14), “é importante que, no seu

trabalho de campo, o observador possua capacidade de concentração, paciência,

espírito alerta, sensibilidade e, ainda, bastante energia física para concretizar sua

tarefa.” Vianna (2007) afirma:

Todas essas características exigem intenso e adequado treinamento para formar um pesquisador com suficiente experiência e que possua, assim, capacitação para coletar elementos de informação que sejam válidos e, dessa forma, possam ser confiáveis para os fins a que se destinam. (VIANNA, 2007, p.13).

Na perspectiva de Flick (1999) há cinco dimensões que classificam os

procedimentos de observação: (1) auto-observação ou observação de outros; (2)

observação in natura (naturalista) ou artificial (laboratório); (3) observação oculta ou

observação aberta; (4) observação não participante ou participante; (5) observação

sistemática ou não sistemática.

Diante dos procedimentos acima explicitados e das características de cada

modalidade de pesquisa, decidi realizar uma observação de outros (observei o

professor e os alunos), in natura (o ambiente observado foi a sala de aula), aberta

(observados sabiam da minha presença, como observador), não participante (minha

posição foi de simplesmente observar e não emitir opinião ou intervir nas atividades

realizadas) e sistemática (observei as atividades em processo, as ferramentas

utilizadas, as dificuldades que apareceram, as conversas e os resultados do

trabalho).

Depois do Questionário 1 passei a observar as atividades desenvolvidas em

sala de aula, gravando as vozes do professor e dos 37 (trinta e sete) alunos

envolvidos, durante 3 (três) encontros de 135 minutos, cada um. Após o fim dos

encontros, apliquei o Questionário 2.

Apresento no próximo capítulo o relato e as análises oriundos dos dois

questionários e da observação dos três encontros, mostrando como as interações

professor-aluno-saber aconteceram numa aula cujo objetivo era discutir e abordar a

Trigonometria no triângulo retângulo.

87

CAPÍTULO 5

Renda-se, como eu me rendi. Mergulhe no que você não conhece como eu mergulhei.

Não se preocupe em entender, viver ultrapassa qualquer entendimento.

Clarice Lispector

5 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS

Neste capítulo apresento um relato e a análise dos dados colhidos durante os

3 encontros e nos questionários aplicados, com o propósito de responder a questão

que norteou minha pesquisa: Como ocorrem as interações em sala de aula, de

alunos do Ensino Médio, durante a construção do conhecimento quando o assunto é

Trigonometria no triângulo retângulo?

5.1 Levantamento sobre o perfil dos pesquisados

O Questionário 1 (Apêndice D) foi aplicado ao grupo de participantes,

composto por 37 (trinta e sete) alunos de uma turma de 1o ano do Ensino Médio, do

IFSP – Campus Cubatão. Foram 9 (nove) questões direcionadas ao levantamento

do perfil , com possibilidade de explicação das respostas, e 4 (quatro) questões

específicas, para os alunos que manifestaram já ter algum conhecimento sobre

Trigonometria. A seguir apresento os dados e as análises dos mesmos.

Na busca por descobrir como o educando conheceu a Instituição na qual foi

matriculado para cursar o Ensino Integrado ao Ensino Médio, constatei que a grande

maioria dos alunos chegaram ao Instituto através de indicação de familiares, amigos

e principalmente professores. Isso ocorre em virtude do Instituto Federal de São

Paulo - Campus Cubatão ser conhecido pela população da Baixada Santista por ter

um ensino de qualidade, formando e inserindo, seus alunos, em boas universidades,

públicas e particulares, do país. De fato, a instituição aparece, desde que foram

divulgados os resultados do ENEM, na primeira colocação do ranking das escolas da

região.

88

A Baixada Santista é composta por 9 (nove) municípios: Bertioga, Guarujá,

Santos, São Vicente, Cubatão, Praia Grande, Mongaguá, Itanhaém e Peruíbe.

Dentre estes, a cidade de Cubatão (maior renda per-capita da região e cuja

prefeitura paga os maiores salários aos professores do Ensino Fundamental), onde

está inserida a Instituição pesquisada, aparece com a maior quantidade de alunos

(11) ingressantes no IFSP. Esses professores, do Ensino Fundamental, são os que

mais incentivam os alunos a se dedicarem aos estudos e tentarem ingressar, através

do processo seletivo, no IFSP- Campus Cubatão.

Questionados sobre se fizeram alguma preparação especial para ingressar no

Instituto, 11 (onze) alunos manifestaram ter tido uma preparação específica para o

Exame, com professores particulares, com cursos preparatórios, com dedicação aos

conteúdos não vistos anteriormente e foco nas provas anteriores, disponibilizadas no

site da empresa responsável pela aplicação do processo seletivo e os outros 26

(vinte e seis) alunos disseram ter se dedicado aos estudos nas escolas anteriores.

No intuito de conhecer qual motivação levou o aluno a prestar o processo

seletivo para ingressar no IFSP- Campus Cubatão, constatei que 03 (três) alunos

foram motivados pela formação técnica que a escola oferece e os outros 34 (trinta e

quatro) ressaltaram que foi a qualidade do ensino, diferencial da Instituição. A Figura

1, apresentada a seguir, mostra a resposta de um aluno a essa questão.

A resposta do aluno faz referência à qualidade do ensino ofertado (segundo

amigos que já estudaram na Instituição) e à perspectiva de um futuro, com uma

carreira promissora.

Figura 1 – Resposta de um aluno à questão 5

Fonte: Resposta ao Questionário 1 elaborado pelo autor

89

Procurei verificar se o aluno já tinha algum tipo de conhecimento anterior,

sobre Trigonometria e descobri que 17 (dezessete) alunos não tinham tido nenhum

contato com o assunto e 20 (vinte) alunos afirmaram ter visto algo a respeito.

Os alunos, que já tinham visto algo a respeito da Trigonometria, lembraram

das relações na circunferência (graus e radianos), do Teorema de Pitágoras e das

relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente).

Questionados sobre a importância de estudar Trigonometria, os alunos

responderam ser importante para quem vai seguir estudos na área de Ciências

Exatas, mais precisamente com as Engenharias, e para o vestibular.

Sobre os recursos ou materiais que os alunos utilizam para estudar

Trigonometria, verifiquei que a internet e o livro didático foram os mais citados.

Resumindo o perfil da turma de alunos, posso afirmar: são oriundos das 4

(quatro) mais populosas cidades da Baixada Santista (Cubatão, Santos, São Vicente

e Praia Grande); a maioria está cursando o 1º ano do Ensino Médio pela primeira

vez; a motivação para estudar no IFSP - Campus Cubatão vem da qualidade de

ensino que a Instituição oferece; muitos já tinham tido contato com a Trigonometria e

lembraram alguns tópicos da mesma.

Relato, a seguir, os três encontros observados em sala de aula. Esses

encontros já foram descritos e analisados, também, em Reis (2012) e Reis e Allevato

(2012; 2013).

5.2 Observações em sala de aula

Nos meses de maio e junho de 2012 a professora, da 1ª série do Ensino

Técnico Integrado ao Médio (período vespertino), segundo o planejamento escolar,

abordou o assunto Trigonometria no Triângulo Retângulo. Observei, então, 03 (três)

encontros de 135 (cento e trinta e cinco minutos) cada um, organizados, pelo horário

escolar, em aulas triplas.

Num encontro extra, anterior aos observados, me apresentei à turma de

alunos e os convidei para participarem da minha pesquisa, sendo, por eles, bem

90

recebido. A curiosidade sobre o que eu iria escrever no meu relatório foi a tônica do

encontro. Eles queriam saber se eu descreveria atitudes e comportamentos, e eu

afirmei ser esse o grande propósito da minha pesquisa. Garanti que eles teriam

acesso, através de um exemplar fornecido ao IFSP- Campus Cubatão, ao meu

relatório de pesquisa, e que suas identidades seriam preservadas.

5.2.1 Relato do primeiro encontro

A professora iniciou a aula escrevendo, na lousa, a palavra ‘trigonometria’ e

pediu para que os alunos dessem um significado à mesma. De imediato eles tiveram

algumas dúvidas.

Diante dos questionamentos, a professora registrou, na lousa, a palavra

dividida em três partes:

E, então, vieram as observações dos alunos e do professor:

Fafá: – Como assim, professora. Tem significado?

Vevê: – Mas, não é o nome da matéria que a senhora vai explicar?

Prof.: – Está bom, vamos lá! Tem significado sim, mas não sou eu que vou

dizer. Certo? Vocês, juntos, vão chegar a ele. Ok?

Protocolo 1: primeiro diálogo

Figura 4 – A separação da palavra trigonometria

Fefê: – Agora ficou fácil. Tri é três, gono vem de ângulo, e metria vem de

medida?

Kaká: – Isso mesmo, Fefê. Agora vamos juntar e chegamos a “medida de

triângulos”. Está certo, professora?

Prof.: – Perfeito, Kaká e Fefê. Viu como foi fácil?

Protocolo 2: segundo diálogo

91

O professor proporcionou, naquele momento, que os alunos participassem e

tal postura foi de fundamental importância para a condução e favorecimento da

comunicação produtiva entre os alunos para que, juntos, trouxessem o significado

da palavra em questão. Com a divisão da palavra Trigonometria em três partes, foi

possível, aos alunos, buscar os conhecimentos adquiridos anteriormente e chegar

ao seu significado. Dessa forma, o aluno parece ter se apropriado do saber

matemático. O professor, segundo Brousseau (1988), propôs uma situação didática,

e o triângulo didático saber-professor-aluno se fez presente. A origem da palavra

‘trigonometria’, criada pelos cientistas (responsáveis pelo saber científico), a atitude

do professor (estratégia didática) em separar a palavra em três partes (saber a

ensinar) e a postura dos alunos (fizeram conexões com os conhecimentos

anteriores) são o indício de que os saberes geraram um conhecimento.

Aproveitando que os alunos falaram sobre triângulos, a professora,

igualmente, pediu que eles os definissem. Tal postura evidenciou a posição da

professora em relação ao ensino de Trigonometria. Para ela, a Trigonometria tem

seus embasamentos na Geometria Plana, conforme já sinalizava Roxo (1937) e

indicam as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006). Então, a

professora incitou os alunos a buscarem conhecimentos anteriores, em Geometria

Plana.

Os alunos se entreolharam e disseram que sabiam desenhar, mas não

sabiam, exatamente, como definir. Então, professora e Mimi dialogaram:

A professora foi seguindo as orientações de Mimi e reproduzindo sua fala

enquanto fazia a representação na lousa.

Prof.: – Não sabem definir? Então vamos fazer juntos. Como devo começar

o desenho?

Mimi: – Coloque a caneta na lousa e marque um ponto. Trace uma reta e

pare num outro ponto; daí trace outra reta e pare num terceiro ponto. Agora

ligue o terceiro ponto ao primeiro, e pronto!

Protocolo 3: terceiro diálogo

92

Assumir a posição de explicar uma situação ou resolver um problema possibilita,

segundo Echeita e Martin (1995), um avanço na aprendizagem, reestruturando o

raciocínio e melhorando a compreensão.

Em um determinado momento, Cacá também se posicionou.

Na fala de Cacá, ficou clara, mais uma vez, a retomada dos conhecimentos

de Geometria Plana, adquiridos nas séries anteriores. E a professora, então, seguiu

as orientações de Mimi.

A professora fez o seguinte traçado na lousa, e os diálogos se seguiram:

Prof.: – Bem, então tá! Estou marcando um ponto; vou denominá-lo ponto

A. E agora, do ponto A, eu traço um segmento de reta até um outro ponto,

o ponto B. A Mimi disse reta. Eu pergunto: é reta? Semireta? Segmento de

reta?

Cacá: – É segmento, porque tem começo e fim. A reta é infinita para os

dois lados!

Protocolo 4: quarto diálogo

Prof.: – Ok! Então saio de A e traço um segmento até um ponto distinto B.

Agora eu saio de B e traço outro segmento até um terceiro ponto distinto C.

Protocolo 5: quinto diálogo

Figura 5 – A tentativa de construir um triângulo

93

Mimi não conseguiu explicitar exatamente os procedimentos que lhe vieram à

cabeça, com a expressão, para a professora, dos conhecimentos que ela trouxe de

outras etapas da sua escolarização. Tal fato originou um erro. O erro, na visão de

Brousseau (1996a) e Galvez (1996) conduz ao acerto, sendo necessário para

desencadear o processo de aprendizagem do aluno. A necessidade de externalizar

o pensamento ajudou na tomada de consciência de certos erros, corrigindo-os.

Nesse momento a professora esboçou o seguinte desenho na lousa, e os

diálogos se seguiram:

Prof.: – E agora?

Kaká: – Viu Mimi? Tá tudo errado!

Mimi: – É verdade. Professora, preste atenção. O segundo segmento não

pode ser a continuação do primeiro, senão não vai haver triângulo.

Prof.: – Então tem alguma condição para os três pontos?

Cacá: – Tem sim, professora. Os três pontos não podem estar na mesma

linha!

Prof.: – Então perfeito. Está feito o desenho e, portanto, definimos um

triângulo.

Protocolo 6: sexto diálogo

Figura 4 – Um triângulo

Prof.: – Então perfeito. Está feito o desenho e, portanto, definimos um

triângulo.

Protocolo 7: sétimo diálogo

94

Embora tenha dito definimos um triângulo, a professora não o fez, em

linguagem matemática, na lousa. O propósito de desenhar foi fielmente cumprido,

mas a definição matemática formal não foi apresentada. Faltou, neste momento, o

processo da formalização e generalização do conceito matemático que, segundo

Brousseau (1996a), é a fase de institucionalização do saber, onde a intenção do

professor é revelada e estabelecem-se as convenções sociais. Nesta fase o

professor retoma a parte da responsabilidade, outrora cedida aos alunos, e confere

o estatuto de saber ou descarta algumas produções dos alunos, definindo os objetos

de estudo.

Observei, nesse conjunto inicial de dados, como estiveram presentes a troca

e o compartilhamento de saberes.

A partir disso, a professora prosseguiu com novos questionamentos, agora

sobre os ângulos que constituem os triângulos.

A professora reproduziu, na lousa, o que Lili havia sinalizado com os dedos,

imitando uma tesoura:

Figura 5 – Um triângulo e a soma dos ângulos internos

Prof.: – E a soma dos ângulos internos de um triângulo, quanto vale? Como

provar?

Lili: – Essa é fácil professora: vale 180º. E a prova pode ser feita cortando-

se os ângulos do triângulo e colocando-se um ao lado do outro.

Protocolo 8: oitavo diálogo

95

Esse processo externado por Lili, em geral é vivenciado, de forma empírica,

no Ensino Fundamental. A professora o aceitou como recurso de prova (prova

concreta), ou seja, válido para confirmar essa propriedade, e optou por não fazer a

demonstração lógica matemática.

A professora prosseguiu, questionando sobre os tipos de triângulos e os

diálogos continuaram:

A aluna falou, imediatamente e sequencialmente, esses nomes, a professora

fez novos questionamentos e outros alunos participaram:

Prof.: – Bom, agora que já sabemos o que é triângulo, vamos falar sobre os

tipos de triângulos? Vou dividir a lousa em duas colunas: de um lado

colocamos os nomes quantos aos ângulos e do outro quanto aos lados, ok?

Mimi: – Isósceles, Escaleno, Equilátero. Acutângulo, Obtusângulo e

Retângulo

Protocolo 9: nono diálogo

Prof.: – O que é um triângulo retângulo? O que é um triângulo acutângulo?

O que é um triângulo obtusângulo? Quando um triângulo é isósceles?

Quando é eqüilátero? Quando é escaleno?

Vavá: – O triângulo retângulo tem um ângulo reto.

Prof.: – Muito bem Vavá. E os outros dois ângulos?

Lili: – Professora, eles têm que ser agudos por conta da soma dos ângulos

internos.

Prof.: – Boa, Lili!

Fefê: – O triângulo acutângulo tem os três ângulos agudos e o obtusângulo,

apenas um obtuso.

Protocolo 10: décimo diálogo

96

Foi um momento de retorno aos conceitos matemáticos aprendidos

anteriormente. A interação professor-aluno foi reforçada pela ideia de que ambos

podem construir amplas parcelas de significados compartilhados sobre os conteúdos

de ensino e que os alunos, uns para os outros, podem, também, auxiliar nessa

construção. (COLL; COLOMINA, 1996). Manifestou-se, assim, claramente, uma

espécie de contrato didático, definido por Brousseau (1996a) como “um conjunto de

regras que determinam explicita e implicitamente, do que cada parceiro da relação

didática deverá gerir e daquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar

conta perante o outro”.

Diante das respostas, a professora escreveu, na lousa, a classificação dos

triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos, em forma de uma tabela com

duas colunas verticais:

Feito o registro na lousa, a professora fez uma observação e questionou os

alunos:

Figura 6 – Classificação dos triângulos

Prof.: – Vejam bem, a classificação está na lousa. E não há a possibilidade

de um triângulo ter mais de uma classificação na mesma coluna dessa

tabela, ok?

Protocolo 11: a fala da professora

97

Tal posicionamento foi um equívoco da professora. Um artigo intitulado Os

professores podem errar (mas quanto?), da Universidade Federal do Paraná –

UFPR – descreve ser “impossível em uma sequência de dez, vinte aulas, não

cometer erros: interpretações incompletas, citações de memória que não são

totalmente corretas, datas confundidas, etc.”.

Com a intenção de ajudá-la a corrigi-lo, sugeri que ela lançasse a pergunta

sobre as relações entre os triângulos isósceles e equilátero. Aceitando a sugestão,

ela lançou a pergunta, a qual gerou dúvidas nos alunos, que imediatamente se

posicionaram:

É interessante como o conceito de lados congruentes, citado por Mimi, foi

expresso de maneira natural, simples e direta.

De fato, a afirmação inicial da professora quanto a não haver a possibilidade

de um único triângulo ter duas classificações na mesma coluna dos registros feitos

na lousa, trouxe um certo desconforto e gerou dúvidas na turma, refletidos nessa

última fala de Iaiá.

Diante das colocações dos alunos nesse momento da discussão, a professora

assumiu a atitude de não opinar, solicitando aos alunos que fizessem uma pesquisa

sobre tais tópicos e a trouxessem no próximo encontro.

Prof.: – Um triângulo equilátero pode ser também isósceles? E a recíproca

é verdadeira?

Mimi: – Um triângulo é isósceles quando tem dois lados congruentes e um

diferente dos outros (base), então, um triângulo equilátero não pode ser

isósceles e nem vice-versa.

Fefê: – Não, professora, não pode, pois a senhora disse que um triângulo

não poderia ter duas classificações na mesma coluna.

Iaiá: – Ah professora, tá muito confuso! Não sei mais nada!

Protocolo 12: décimo primeiro diálogo

98

Ela aproveitou e pediu para pesquisarem, também, sobre o Incentro, o

Baricentro, o Circuncentro e o Ortocentro, e começou uma nova atividade.

Pediu, então, que os alunos fizessem a leitura da parte inicial do capítulo do

livro adotado, que discursava sobre a Trigonometria e suas aplicações (na Física,

nas Artes, na Engenharia, etc.). Na realidade, a leitura foi feita pela própria

professora, em voz alta, enquanto os alunos acompanhavam, silenciosamente, em

seus livros.

A uma certa altura, o texto referia-se ao triângulo retângulo (Anexo A). Então,

a professora questionou e os alunos foram respondendo:

Dando prosseguimento à leitura, o livro trouxe os primeiros conceitos da

Trigonometria.

Apresento, a seguir, o primeiro exemplo de aplicação do estudo sobre

triângulos apresentado no texto do livro didático.

Prof.: – O que vocês sabem sobre o triângulo retângulo?

Lalá: – Eu lembro do Teorema de Pitágoras.

Tetê: – Eu também lembro disso.

Protocolo 13: décimo segundo diálogo

99

Diante da leitura feita, os alunos e a professora foram se posicionando:

Dandan: – Professora, isso não é o Teorema de Tales?

Prof.: – Sim, não deixa de ser, mas agora vamos usá-lo para introduzir a

Trigonometria.

Protocolo 14: décimo terceiro diálogo

Figura 7 – Exemplo apresentado no livro didático

Fonte: Matemática Contexto e Aplicações (DANTE, 2010, p.363)

100

O livro trouxe o conceito índice de subida como a razão entre a altura e o

afastamento. Confirmando tal conceito, Didi e Rará opinaram e a professora lançou

um pergunta:

Na posição de professor que ministra os conteúdos de Trigonometria há

vários anos, fiquei surpreso com a relação que Nini trouxe, entre a Álgebra e a

Geometria. Em minha prática, não tenho presenciado esse tipo de manifestação por

parte dos alunos.

Neste instante, ficou claro a posição do trabalho do professor, ressaltada por

Brousseau (1996b) quando afirma que em linhas gerais, o professor terá como

trabalho inicial “propor ao aluno uma situação de aprendizagem para que [este]

elabore seus conhecimentos como resposta pessoal a uma pergunta, e os faça

funcionar ou os modifique como resposta às exigências do meio e não a um desejo

do professor” (BROUSSEAU, 1996b, p. 49)

Em seguida, a professora pediu que os alunos resolvessem alguns exercícios

(exercícios 1 a 6, da página 364 do livro didático - Anexo B). Tais exercícios

exigiram, dos alunos, uma revisitação a alguns conceitos da Geometria Plana e,

eles, não apresentaram dificuldades na resolução. Os alunos acenaram, então, não

ser necessária a resolução dos mesmos, na lousa, uma vez que já haviam conferido

os resultados no próprio livro.

Didi: – Afastamento e percurso têm uma relação direta com o ângulo

formado.

Rará: – A altura e o afastamento são proporcionais, respectivamente, ao

afastamento e ao ângulo.

Prof.: – O que aconteceria com o afastamento se o ângulo fosse de 90º?

Nini: – O afastamento seria zero. Tal razão, então, não existiria, pois não é

possível dividir por zero.

Protocolo 15: décimo quarto diálogo

101

A professora aceitou a sugestão dos alunos e, então, introduziu os conceitos

de seno e cosseno, foi se posicionando e os alunos respondendo:

Mais uma vez ficou explícita a posição da professora ao institucionalizar o

saber, quando Nini e Fafá usaram o termo ‘divisão’, e ela, imediatamente substituiu

por ‘razão’, ressaltando, ainda, que a ordem dos elementos dessa razão era

importante. Apesar de não ter usado o termo ‘medida do cateto’, a professora

anunciou um ‘milieu’, através do jogo de palavras, possibilitando a interação

autônoma dos alunos em relação às situações com as quais interage e em relação a

ela. Essa ideia indica que o ‘milieu’, ressaltado por Brousseau (1996a), foi

organizado para que a aprendizagem fosse feita de interações, desequilíbrios,

assimilações e acomodações. Logo após a fala da professora, Tetê assimilou o

referido conceito e, também, usou o termo ‘razão’.

Diante dos conceitos apresentados pelos alunos e confirmados pela

professora, foram lançados outros questionamentos e os diálogos continuaram:

Prof.: – Muito bem, alunos. Prestem atenção! Algumas relações existentes

entre os lados de um triângulo retângulo são muito importantes e têm

nomes especiais. Vamos a elas?

Nini: – Professora, a senhora vai falar de seno, cosseno e tangente?

Prof.: – Sim, Nini. Você se lembra dos conceitos?

Nini: – O seno é a divisão do cateto oposto pela hipotenusa, não é?

Fafá: – O cosseno é a divisão do cateto adjacente pela hipotenusa.

Prof.: – Perfeito, Nini e Fafá. O seno é a razão entre o cateto oposto e a

hipotenusa, nessa ordem; e o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e

a hipotenusa, nessa ordem.

Tetê: – Tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Né,

professora?

Prof.: – Isso mesmo, Tetê!

Protocolo 16: décimo quinto diálogo

102

Ficaram claros, então, os papéis de cada um nessas interações. Criou-se

uma situação didática, onde o papel da professora foi de dar autonomia aos alunos

para que eles atuassem sobre a situação. Para Brousseau (1996, p. 54), “se uma

situação leva o aluno à solução como um trem em seus trilhos, qual é a sua

liberdade de construir seu conhecimento? Nenhuma”.

Diante das explicações, a professora pediu que os alunos resolvessem os

exercícios 7 a 10, da página 368, do livro didático (Anexo C) e os apresentassem no

próximo encontro.

5.2.2 Relato do segundo encontro

No primeiro encontro, relatado anteriormente, a professora passou a aula

questionando os alunos sobre os conhecimentos aprendidos nas etapas anteriores

de sua escolarização, trazendo à tona alguns conceitos da Geometria Plana. No final

do encontro, ao explorar o assunto Triângulos, a professora pediu que eles fizessem

uma pesquisa sobre os pontos notáveis (Baricentro, Incentro, Circuncentro e

Ortocentro) e sobre as relações entre eles, nos diversos tipos de triângulos

(Retângulo, Obtusângulo, Acutângulo, Isósceles, Equilátero e Escaleno).

Prof.: – O que é cateto oposto e cateto adjacente?

Fefê: – Depende do ângulo professora. O cateto é oposto a um determinado

ângulo quando está em frente a ele. O cateto é adjacente quando está ao

lado dele. Certo, professora?

Prof.: – Muito bem, Fefê. Mas prestem muita atenção para não confundirem

os valores, pois a hipotenusa também está ao lado de dois ângulos, certo?

Cacá: – Mas a hipotenusa é identificada por ser o maior lado e estar em

frente ao ângulo reto. Não é isso, professora?

Prof.: – Perfeito, Cacá. Então, antes de mais nada, identifiquem a

hipotenusa e o ângulo agudo com que vão trabalhar. Os catetos oposto e

adjacente serão sempre observados a partir desse ângulo.

Protocolo 17: décimo sexto diálogo

103

A professora começou esse segundo encontro, questionando sobre a

pesquisa solicitada no encontro anterior e os alunos foram se posicionando:

Entendo que, ao consultarem outros materiais de apoio, os alunos cumpriram

sua parte no contrato didático, definido por Brousseau (1996a), no sentido de que os

alunos atenderam à solicitação da professora. A pesquisa solicitada pela professora,

e feita através dos livros didáticos e dos sites da internet, possibilitou aos alunos

uma revisitação aos conceitos. Os professores precisam, de fato, aceitar essa

realidade e ajudar seus alunos a fazer bom uso dela, como fez a professora

participante desta pesquisa.

E os diálogos prosseguiram:

Prof.: – Boa tarde pessoal! Na aula passada eu pedi que vocês fizessem

uma pesquisa, certo? Fizeram?

Fefê: – Professora, eu pesquisei em sites da internet e até encontrei uma

aula pronta sobre os pontos notáveis. Bem legal, né?

Tetê: – Professora, eu consultei os livros didáticos que já havia usado nas

séries anteriores. Serve?

Prof.: – Claro que serve. Todos os recursos que vocês usarem para adquirir

conhecimento são bem vindos. Mas, vejam bem, a internet tem muita

informação não muito confiável, portanto, é prudente consultar várias.

fontes.

Protocolo 18: décimo sétimo diálogo

Prof.: – Bem, então, vamos ver os resultados. O que é baricentro?

Cacá: – Professora, baricentro é o encontro de três medianas.

Prof.: – Hum...Então, o que é mediana?

Rará: – Mediana é o segmento cujas extremidades são vértices do

triângulo.

Prof.: – Como? Segmento cujas extremidades são vértices do triângulo?

Vamos tentar representar o que você está falando.

Protocolo 19: décimo oitavo diálogo

104

A professora, seguindo as orientações de Rará, desenhou um triângulo na lousa:

Em seguida, ela questionou e Anan respondeu:

Diante do posicionamento de Anan, a professora fez o registro na lousa:

A professora deu prosseguimento à aula, lançando novas perguntas e os

alunos as responderam:

Figura 8 – Um triângulo e seus vértices

Figura 9 – Um triângulo e uma de suas medianas

Prof.: – Vejam só: se eu ligar os vértices do triângulo eu formo o lado do

mesmo, não é?

Anan: – Não professora, não é isso. A mediana é o segmento cujas

extremidades são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a

esse vértice.

Protocolo 20: décimo nono diálogo

105

A pergunta foi lançada, as respostas vieram, e a professora não se posicionou

sobre o que os alunos disseram. Me pareceu ser uma estratégia, da professora, para

que os alunos refletissem sobre os questionamentos e respostas, sem a sua

intervenção.

Imediatamente, lançou outra afirmação, levantou outro questionamento e os

posicionamentos continuaram:

Diante das respostas de Anan e Rorô, a professora pontuou:

Aqui percebo que os alunos foram capazes de se lembrar e relacionar o que

estavam aprendendo, com outros conteúdos apresentados em outras disciplinas. De

fato, segundo afirmam Assis e Ravanelli (2008), “na Física, o centro de

gravidade ou baricentro de um corpo é o ponto onde pode ser considerada a

aplicação da força de gravidade de todo o corpo formado por um conjunto de

partículas”.

Observei, pelas falas, que os alunos fizeram a pesquisa; mas trouxeram

respostas já prontas, não muito aprofundadas. Notei que os alunos que não haviam

Prof.: – Bem, em Física, eu preciso muito desse ponto de equilíbrio que é o

baricentro.

Protocolo 23: a fala da professora

Prof.: – O ponto de encontro das medianas é o baricentro. Há alguma

propriedade importante com o baricentro?

Anan: – É o centro de gravidade do triângulo!

Rorô: – É o ponto por onde passa a resultante da força peso. O centro de

gravidade está no cruzamento dos eixos.

Protocolo 22: vigésimo primeiro diálogo

Prof.: – É isso mesmo? A mediana forma ângulo reto com o lado oposto?

Lulu: – Não necessariamente!

Didi: – Depende do triângulo!

Protocolo 21: vigésimo diálogo

106

feito a pesquisa, ou não encontraram as mesmas respostas que os outros, ficaram

se entreolhando, mostrando uma certa angústia pelo que estavam ouvindo. Penso

que a professora poderia ter aproveitado tantas informações trazidas pelos alunos e

tentado, com eles, reforçar os conceitos, fazer demonstrações e escrever, na lousa,

as definições formais.

A partir dali foram trazidas as definições de Incentro, Circuncentro,

Ortocentro, bissetriz interna de um ângulo, mediatriz de um segmento e altura de

triângulos. Num determinado momento Cacá fez a seguinte observação, diante da

pergunta da professora.

Com sua fala, Cacá mostrou que a compreensão do significado das palavras

pode ser importante para que se compreendam as definições de alguns elementos

da Geometria.

Percebi que alguns alunos estavam preocupados com o que poderia vir à

frente, e minha percepção foi confirmada quando Fefê lançou uma questão sobre a

avaliação dos conhecimentos aprendidos:

Diante dessa colocação, percebi que o aluno mostrou ansiedade pelo fato de

a professora estar restringindo-se à discussões teóricas sobre o tema, sem nenhuma

aplicação ou resolução de exercícios. A professora não respondeu a pergunta de

Fefê, deixando uma lacuna. Penso que a professora poderia aproveitar e esclarecer

a importância dos elementos estudados para o prosseguimento dos estudos e para

a resolução dos exercícios que estariam por vir, em especial da Trigonometria.

Fefê: – Professora, a prova será meio teórica?

Protocolo 25: a fala de um aluno

Prof.: – O que é mediatriz? Tem relação com bissetriz?

Cacá: – Professora, eu pensei assim: Bissetriz (bi = 2, divide o ângulo em

2). Mediatriz vem de médio (média); então sai do ponto médio.

Protocolo 24: vigésimo terceiro diálogo

107

E a professora prosseguiu:

Os alunos se entreolharam e ficaram em total silêncio. Fiquei em dúvida se

porque não leram a parte histórica do livro ou porque se surpreenderam com a

posição da professora, que falou do encontrado na internet, mas não divulgou o site

para conhecimento de todos. Parece-me que nesse momento as interações não

aconteceram.

E os diálogos continuaram:

Em seguida, a professora fez a leitura do exercício em questão:

A professora desenhou na lousa, um triângulo retângulo que satisfazia o

enunciado do problema e prosseguiu com as explicações.

Prof.: – Bem, vamos voltar ao nosso tema! Vamos pegar nosso livro

didático! Vocês leram a parte histórica que há no livro? Alguém buscou algo

novo, que não está no livro, sobre a Trigonometria? Se vocês entrarem no

Google e colocarem, por exemplo, ‘pontos notáveis do triângulo’,

aparecerão muitos textos e vocês encontrarão vários exemplos, explicações

e atividades. Encontrei um site com duas atividades em forma de palavras

cruzadas e achei muito interessante.

Protocolo 29: a fala da professora

Prof.:– Então, vamos aos exercícios propostos no livro didático e que eu

deixei como tarefa para o lar. Vocês tiveram muitas dúvidas?

Anan: – Professora, eu tive sim. No exercício 10, ele dá o seno, o

cosseno e a tangente de um ângulo, e no item “a” ele quer saber do

outro ângulo do triângulo. Como faço isso?

Prof.: – Vamos ler.

Protocolo 30: vigésimo quinto diálogo

Prof.: – Em um triângulo EFG, retângulo em E, nós temos sen F= 5/6 ,

cos F = e tg F = .

Protocolo 31: a fala da professora

108

Nesse momento, a professora não considerou que as medidas não

precisariam ser exatamente 5 e 6, mas poderiam, também, ser proporcionais a

esses números.

A professora fez, então, a resolução do exercício e lançou outras perguntas

aos alunos:

Protocolo 33: vigésimo sexto diálogo

Prof.: – Cosseno de F: cateto adjacente ao ângulo F, sobre hipotenusa.

Então, o cateto adjacente mede raiz quadrada de 11 e a hipotenusa, 6.

Bem, vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente de G?

Então sen G= , cos G = 5/6 e a tangente? Daí eu faço dividido por

5/6. Entenderam? Vamos prosseguir, então. No item “b”, a pergunta é

sobre quanto medem os catetos, para uma hipotenusa medindo 30cm.

Pepe: - Para encontrar os catetos, basta multiplicar todos os lados por 5.

Prof.: - Então é proporção, certo?

Figura 10 – Um triângulo retângulo e seus elementos

Prof.: – O que é seno? Não é a razão entre o cateto oposto ao ângulo que

eu estou trabalhando e a hipotenusa, nessa ordem? Tal fato me garante

que o cateto oposto é 5 e a hipotenusa é 6.

Protocolo 32: a fala da professora

109

A professora seguiu, então, com o conteúdo, apresentando aos alunos outras

relações existentes no triângulo retângulo e as registrando na lousa:

Tais relações não foram demonstradas no livro didático, e a professora não

teve, também, a preocupação em demonstrá-las. Os alunos, por sua vez, não

fizeram questionamentos sobre a origem daquelas fórmulas e relações. Silva (2008)

ressalta o contrato didático e faz um contraponto entre essa atitude e as anteriores:

[...] se a relação didática desenvolve-se num ambiente em que o professor dá aulas expositivas, em que predominam as definições, os exemplos e as listas de exercícios para os alunos resolverem, aí o conjunto de regras, explícitas ou implícitas, que regem o gerenciamento da atividade será muito diferente daquele que direciona uma prática pedagógica em que os alunos trabalham realizando atividades propostas e, no final, o professor, em uma sessão coletiva, procura institucionalizar o conceito trabalhado e propõe exercícios de fixação e/ou verificação do aprendizado. (SILVA, 2008, p. 51)

A professora estabeleceu, naquele instante, uma relação didática baseada no

registro das fórmulas e propriedades, na lousa. Houve um excesso de informação

sem necessidade e sem sentido. Tal postura foi diferente dos outros momentos, não

possibilitando, assim, nenhuma interação.

Figura 11 – Outras relações trigonométricas

110

Dessa forma, a professora encerrou esse encontro e propôs que os alunos

resolvessem, para o encontro seguinte, outros exercícios que estavam no livro

didático.

5.2.3 Relato do terceiro encontro

No segundo encontro, relatado anteriormente, a professora retomou conceitos

da Geometria Plana, aprendidos pelos alunos nas etapas anteriores e fez uma

reformulação de alguns deles, por conta de alguns erros cometidos. No final do

encontro, ela introduziu e explicou os conceitos de seno, cosseno e tangente e

propôs aos alunos alguns exercícios, que foram discutidos no 3º encontro.

A professora começou a primeira atividade perguntando aos alunos sobre as

dúvidas dos exercícios que foram propostos no encontro passado e se propôs a

resolvê-los, no quadro. Os alunos pediram que ela resolvesse alguns exercícios e,

então, ela começou, e os questionamentos vieram. Imediatamente, Iaiá questionou a

professora sobre um exercício, iniciando um diálogo:

Reproduzo, então, o enunciado do exercício questionado e, a seguir os

diálogos registrados.

Figura 12 – O enunciado do exercício 20, do livro didático

Iaiá: – Professora, eu não consegui resolver o exercício 20!

Prof.: – Ok, vamos a ele.

Protocolo 34: vigésimo sétimo diálogo

111

Ao afirmar que a tangente é o seno sobre o cosseno e chamar o cateto

oposto de 1 e o adjacente de 3, a professora cometeu, novamente, um equívoco,

pois a razão é 1/3 e isto não significa que um cateto vale 1 e o outro vale 3.

Poderiam ser valores proporcionais a 1 e a 3.

E os diálogos prosseguiram:

Os outros alunos da classe riram copiosamente diante da afirmação.

Mas as palavras da aluna expressam um, entre tantos outros erros de

conceitos que vêm acompanhando nossos alunos e que podem levá-los a perder o

verdadeiro sentido da Matemática.

Prof.: – O exercício afirma que a tangente de alfa é 1/3 e ele quer calcular

o seno de alfa. Primeiro passo do exercício. Fazer a representação. Como

fazê-la?

Iaiá: – Desenhe um triângulo retângulo e localize um ângulo alfa.

Prof.: – Bem, então vamos lá. O que é tangente de alfa? É o seno de alfa

sobre o cosseno de alfa? Se tangente é seno sobre cosseno, então eu vou

colocar o cateto oposto valendo 1 e o adjacente valendo 3. Certo? Vamos

usar o Teorema de Pítágoras para encontrar o valor da hipotenusa! Pronto,

a hipotenusa é igual a raiz quadrada de 10. Certo? Então o seno de alfa

será 1 sobre raiz de 10. Vamos racionalizar?

Protocolo 35: vigésimo oitavo diálogo

Fefê: – Multiplica em cima e em baixo por raiz de 10 e corta a raiz!

Prof.: – Corta a raiz? Como é isso?

Fefê: – Eu aprendi assim, professora.

Prof.: – Na verdade a raiz não corta nada, o que acontece é que raiz de 10

multiplicada por raiz de 10 é igual a raiz de 100 que vale 10, entenderam?

Fefê: – Ah professora, viu como cortou?

Protocolo 36: vigésimo nono diálogo

112

A professora perguntou se havia a necessidade de resolver mais exercícios e,

com a negativa dos alunos ela lançou a eles uma proposta de trabalho em que eles

se reuniram em duplas, e cada dupla resolveria, em 15 minutos, um determinado

exercício e, depois, o registraria no quadro a resolução e explicaria para todos os

colegas. Os exercícios estavam, todos, no livro didático.

A professora pediu que as duplas iniciassem o trabalho fazendo a leitura de

um exercício proposto e resolvido no livro didático, o que lhes indicaria um caminho

para a resolução de outros problemas sobre triângulos retângulos. Trata-se de uma

situação a-didática, criada pelo professor, na escolha de problemas que levariam os

alunos à construção do conhecimento. Ficou clara, então, a 1ª fase dessa situação,

denominada ‘situação de devolução’, preconizada por Brousseau (1996b), em que o

professor cede ao aluno uma parte da responsabilidade sobre a aprendizagem.

Esgotado o tempo, a professora chamou a atenção para os processos de

resolução de problemas que o livro adota, e pediu que os alunos fossem ao quadro

explicar suas resoluções.

Carcar e Cacá foram à lousa, mostrar aos outros colegas e à professora, a

forma como resolveram o exercício a eles destinado:

113

Carcar fez novos apontamentos e a professora, nova pergunta:

Figura 13 – O exercício 4, do livro didático

Carcar – Trata-se de um avião que subirá sob um ângulo de 15o com a

horizontal; há uma distância de 2000 m de uma serra que tem 600 m de

altura. Na letra (a), a pergunta é: de quanto será o ângulo para o avião não

colidir na serra? Na letra (b), ele pergunta qual seria a distância mínima da

decolagem para que o avião passasse por cima da serra, numa margem

de segurança de 10 m acima da mesma.

Cacá – Tangente de 15o é igual a h sobre 2000 m. Como tomamos a

tangente de 15o como 0,27, então teremos, por regra de três, que h= 540

m. É a altura em que o avião colidiria com a serra. Na letra (b), devemos

considerar a altura da serra de 610 m, por conta da margem de segurança,

e aplicar tangente de 15o igual a 610 sobre x, onde x é a distância mínima

para a decolagem. Por regra de três teremos que x é aproximadamente

2222 m.

Protocolo 37: trigésimo diálogo

114

A resolução de um problema matemático pode levar o aluno a refletir sobre

tal, mesmo que, às vezes, de forma superficial e fragmentária. Essa reflexão, muitas

vezes, não é explicitada e o próprio aluno não toma consciência sobre o que está

pensando; esta é a segunda fase denominada ‘situação de ação’. No entanto,

durante a interação, ele precisa explicitar suas ideias e suas hipóteses para que o

colega tome conhecimento delas e eles possam, assim, compartilhar esse

pensamento de forma que ambos construam a solução. Trata-se da 3ª fase,

‘situação de formulação’, em que podem aparecer metáforas, criação de termos

semiológicos novos, falta de pertinência e de eficácia de mensagem, dentro de

retroações contínuas. Tal situação se confirmou quando os alunos, efetivamente,

mostraram, aos outros, a forma como resolveram o problema. Percebi que o

professor não institucionalizou o saber de forma explícita, mas ao aceitar a resolução

proposta pelos alunos como correta, tal institucionalização se fez presente.

A professora percebeu que alguns alunos não estavam envolvidos com a

explicação de Carcar e Cacá. Como observador também percebi tal fato, e a mim,

pareceu que a pressão de apresentar a resolução do exercício, no quadro, fez com

que os alunos que deveriam estar ouvindo os colegas, focassem apenas no que lhes

foi pedido e não se preocupassem com o desenrolar da aula e com os exercícios

explicados e resolvidos pelas outras duplas. Por isso a professora fez um

comentário:

Carcar – Eu fiz por proporção: 2000 m esta para 540 m assim como x esta

para 610 m e descobri que x é aproximadamente 2222 m. Regra de três

simples que dá o resultado e acabou!

Prof.: – E com a mesma distância de 2000 m, qual seria o ângulo para o

avião não colidir com a serra?

Cacá – Basta dividir 610 m por 2000 m e, por serem respectivamente os

catetos oposto e adjacente, teremos o valor da tangente. Daí é só

procurar na tabela!

Protocolo 38: trigésimo primeiro diálogo

115

Diante disso, os alunos se entreolharam assustados, mas nada falaram.

Fim do encontro.

Parece ter ficado claro, nesse momento, a quebra do contrato didático

anunciado por Brousseau (1996a), quando os alunos não se comportaram conforme

era esperado pelo professor. A professora, percebendo esse rompimento, chamou a

atenção para os compromissos e ações que os alunos deveriam assumir e não o

fizeram. Na verdade, a quebra pode, às vezes, alavancar o processo de

aprendizagem. Entretanto, não foi o que aconteceu neste instante.

Ressalte-se ainda, que a fala da professora sinalizou para os alunos, nesse

momento, um tipo de ameaça ou punição, condenado por Rego (1996). Penso que

se, na estratégia didática, fosse dado um maior tempo para que os alunos

resolvessem seus exercícios em duplas, e ao final fosse cobrado que todas as

duplas participassem ativamente das explicações, a participação teria sido mais

efetiva e produtiva e, talvez, a quebra do contrato não tivesse ocorrido.

Prof.: – Eu pedi uma tarefa que era fazer a leitura da página 378 do livro

didático, onde ele explicava como se resolve o problema. Alguns aqui,

passaram “batido”. [...] ler não é simplesmente juntar letrinhas e formar

palavrinhas e dizer que leu. Tem que entender o que leu! E na interpretação

ele dizia que pra resolver um problema eu preciso ler com atenção, tirar os

dados do problema, arrumar uma estratégia para resolver o problema e

‘botar’ em prática a estratégia que eu pensei. Tem gente que está perdida,

que não tem estratégia, que não sabe nem representar o problema. Então,

em primeiro lugar precisar aprender a ler. Nós fizemos alguns problemas na

lousa e eu percebo que muitos estão mais interessados em “bater-papo” do

que entender o problema. Eu quero ver como será na hora da avaliação do

bimestre!

Protocolo 39: a fala da professora

116

5.2.4 Reflexões adicionais sobre os encontros

Nos encontros relatados anteriormente, a professora convidou, num primeiro

momento, os alunos a retomarem alguns conceitos da Geometria Plana, de

fundamental importância para introduzir a Trigonometria no triângulo Retângulo.

Parece ter ficado claro que a Trigonometria, nesse caso, está ligada aos conceitos

da Geometria Plana, e precisa dessa última como alicerce para a construção de

novos conceitos. Roxo (1937), quando relaciona a Trigonometria e a Geometria

Plana, indica ser um erro separá-las, no currículo de Matemática, ensinado no

Ensino Médio.

Num segundo momento, ela trouxe à tona a Trigonometria no triângulo

retângulo. No percurso da aula, os alunos foram se posicionando, relatando o que

trouxeram de outros anos escolares e construindo, em conjunto, os conhecimentos.

Quando havia alguma imprecisão nas colocações dos alunos, a professora ia

ajudando a perceber as falhas e aprimorar suas compreensões. De fato, os

conhecimentos anteriores chegam, às vezes, carregados de erros, e cabe ao

professor dar condições para que o erro seja impulsionador de novos horizontes,

possibilitando novas questões e novos posicionamentos.

Trata-se, então, de uma educadora com perfil contemporâneo, que é

mediadora, que cria dúvidas, propõe problemas, faz perguntas e leva o estudante a

pensar e, sempre, argumentar. No entanto, percebi que em alguns momentos da

aula (explanação do que é um triângulo; soma dos ângulos internos; classificação de

triângulos), que a professora poderia ter aproveitado todo o engajamento da turma e

ter construído com eles, ou apresentado as definições formais, mas não o fez. Num

determinado instante, também, ela não propiciou a interação quando representou,

no quadro, fórmulas e propriedades que não foram discutidas, demonstradas e nem

utilizadas posteriormente. A institucionalização dos conceitos matemáticos poderia

deixar os alunos mais seguros e ser um momento propício para agregar, aos

conhecimentos anteriores, novos saberes, apropriar-se da linguagem matemática,

construindo novos conhecimentos.

117

Foi cumprido um contrato didático quando a professora sugeriu que os alunos

pesquisassem outras formas de buscar informações, e a partir do que eles

trouxeram, dos sites da internet e de outros livros didáticos, foram dialogando e

trabalhando com o conteúdo. O contrato didático existe em função do aprendizado

dos alunos e, a cada nova etapa da construção do conhecimento, ele é renovado e

renegociado e, na concepção de Brousseau (1996b) e Silva (2008), a quebra ou

ruptura desse contrato, muitas vezes é responsável pelo avanço do aprendizado.

A professora apoiou-se nas produções pessoais ou coletivas dos alunos para

construir um conhecimento e fazer progredir o aprendizado de toda a classe,

conforme ressaltou Silva (2008).

Ao dar voz aos alunos, a professora tornou possível encontrar

posicionamentos interessantes, ampliar e aprofundar compreensões acerca do

conteúdo e dos conceitos envolvidos. Causou-me surpresa a afirmação do aluno:

“professora, não dá pra dividir por zero”, ressaltando o afastamento, quando o

ângulo é de 90º.

Há indícios de que parte das capacidades que o Ensino da Matemática,

ressaltadas no Guia de Livros Didáticos para a Matemática, deve promover nos

alunos, foi trabalhada. Os alunos planejaram ações e projetaram soluções para

problemas novos onde eram exigidas a iniciativa e a criatividade, e, conseguiram

compreender e transmitir ideias matemáticas por escrito ou oralmente,

desenvolvendo, assim, a capacidade de argumentação.

Nessas atividades observadas, as interações foram uma forma importante e

eficaz para a construção do conhecimento, pelos alunos. Os diálogos e as

interações entre professor e aluno e, também, entre alunos foram elementos

fundamentais na discussão dos grupos, em busca da construção de novos

conhecimentos a partir de conhecimentos compartilhados, conforme afirmam Coll e

Colomina (1996).

Alguns objetivos do Ensino Médio, anunciados por Zanchet (2005), parece

terem sido cumpridos, uma vez que se estimulou o desenvolvimento das qualidades

e das capacidades individuais dos alunos.

118

Finalmente, foi possível perceber que o conteúdo Trigonometria no Triângulo

Retângulo foi apresentado a esses alunos do Ensino Técnico Integrado ao Médio, da

mesma forma que é usualmente apresentado para alunos do Ensino Médio,

sinalizando que alguns conteúdos estão, às vezes, desconectados de contextos

mais específicos ligados ao mundo do trabalho.

5.2.5 Levantamento das impressões dos alunos

Após a aplicação do Questionário 1 e da observação dos 3 encontros, decidi

aplicar um Questionário 2 (Apêndice E) com o intuito de colher informações sobre as

impressões que os alunos tiveram dos encontros realizados. Dos 37 alunos que

responderam ao 1o questionário e participaram dos encontros, 28 (vinte e oito)

responderam às questões do 2o questionário. Foram 09 (nove) questões, sendo que

a 1ª era fechada, a 2a, dependente da resposta da 1a questão e, as outras abertas.

Na 1a questão, o intuito era verificar se o aluno observou diferenças entre o

modo como o assunto Trigonometria no triângulo retângulo foi apresentado, em

relação a outros tópicos de Matemática, ministrados pela professora em questão: 16

(dezesseis) alunos observaram que a professora utilizou o mesmo método de ensino

que já usava quando ensinou outros tópicos da Matemática, e 12 (doze) alunos

observaram que houve diferenças entre a explicação deste tópico e de outros da

Matemática.

Os alunos que verificaram diferenças manifestaram os seguintes aspectos: 06

(seis) alunos perceberam a preocupação da professora com o aprofundamento do

conteúdo, 03 (três) alunos salientaram que a mesma deu mais liberdade para que os

mesmos resolvessem os exercícios, 01 (um) aluno registrou a preocupação que a

professora teve com os conceitos e 01(um) aluno percebeu uma certa “confusão”

nas explicações do conteúdo.

Percebi, na observação dos encontros, que a professora incitava os alunos a

darem as próprias definições e a resolverem os problemas por conta própria,

promovendo, assim, as interações. O propósito dessa questão era que o aluno

expressasse sua opinião sobre esse procedimento da professora. Os alunos

consideraram que é positiva a conduta da professora, afirmando ser uma importante

119

forma de construir conhecimento, propiciando um maior entendimento do conteúdo,

utilizando o erro como fonte impulsionadora para uma nova busca e apontando,

através da possibilidade da socialização das respostas e posições, outras formas de

concretizar esse conhecimento. A figura 14, registrada a seguir, reforça essa ideia:

Figura 14– Respostas sobre o método de ensino desenvolvido

Fonte: Informação coletada pelo pesquisador

Os alunos manifestaram, nas respostas às outras questões, que aulas que

mostrassem aplicações nos elementos do dia-a-dia seriam mais interessantes,

sinalizando também que, se tivessem mais tempo, aprenderiam muito mais. No

entanto, mesmo com 3 (três) encontros de 135 minutos, cada um, os alunos

disseram ter confiança para resolver exercícios relativos a esse conteúdo. O

conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos, contrato

didático, se configurou nesse momento. Apesar de promover, na maioria das vezes,

a interação entre os alunos, alguns desses afirmaram não ter gostado do método.

Penso que alguns alunos se sentem mais confortáveis quando não são chamados a

opinarem e a participarem. Talvez estejam acostumados àquelas aulas em que o

professor é o detentor da informação e responsável por levá-la ao aluno.

Quanto à opinião dos alunos com referência à Trigonometria no triângulo

retângulo, apresento, a seguir, a Figura 15.

120

Com relação às opiniões sobre a experiência com a Trigonometria no

Triângulo Retângulo, os alunos apontaram que uma maior quantidade de aulas seria

mais produtiva. Entendo que esses apontamentos são importantes, pois cada aluno

tem o seu tempo de aprendizado.

Findas as reflexões e análises sobre as observações feitas em sala de aula e os

questionários aplicados aos alunos apresento, a seguir, minhas considerações

finais.

Figura 15 – A experiência com a Trigonometria

Fonte: Informação coletada pelo pesquisador

121

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Daqui a alguns anos você estará mais arrependido pelas coisas que não fez do que pelas que fez.

Então solte suas amarras. Afaste-se do porto seguro.

Agarre o vento em suas velas. Explore.

Sonhe. Descubra

Mark Twain.

Conforme relatei na introdução desta tese, esta pesquisa surgiu das

inquietações que se fizeram presentes na minha trajetória, como professor e

pesquisador. Querer investigar, inicialmente, o porquê das “coisas” da Matemática e,

depois, os caminhos do Ensino da Matemática me fez amadurecer e me enveredar,

com empenho, nesse trabalho.

Por ser um tema de grande importância para os professores, a comunidade

científica e, principalmente, os alunos, escolhi a Trigonometria no Triângulo

Retângulo como tópico a ser pesquisado. Tal conteúdo é, às vezes, ensinado na

última série do Ensino Fundamental.

Realizei, inicialmente, uma busca no banco de Teses da CAPES, para

conhecer as teses de doutorado e dissertações de mestrado que tiveram como foco

a Trigonometria no Ensino Médio. Encontrei 25 (vinte e cinco) trabalhos, 03 (três)

teses e 22 (vinte e duas) dissertações e, através da análise dos seus resumos,

percebi a ausência de estudo sobre as interações que cercam os espaços onde os

saberes se transformam em conhecimentos, mais precisamente as salas de aula.

Encontrei, então, uma lacuna que poderia ser preenchida com a minha

pesquisa. Me empenhei, dessa forma, em realizar uma pesquisa de natureza

qualitativa, possibilitando acompanhar, analisar, interpretar e compreender os fatos

ocorridos e dados coletados ao longo da pesquisa, ou seja, durante o processo

como um todo.

A pesquisa, configurada como um estudo de caso, foi realizada com a

professora e os alunos de uma turma do 1o ano do Ensino Médio Integrado ao

Técnico, na modalidade de Informática, no IFSP, Campus Cubatão.

122

Considerando que os alunos e a professora interagem por todo o tempo, na

busca pela construção do conhecimento, fiz dessas interações o objeto de estudo,

ou seja, o foco do meu trabalho.

Então, para responder à questão que deu norte à minha pesquisa, Como

ocorrem as interações em sala de aula, de alunos do Ensino Médio, durante a

construção do conhecimento quando o assunto é Trigonometria no Triângulo

Retângulo?, busquei instrumentos que me fornecessem indícios para chegar à

minha conclusão final. Os instrumentos usados, além de uma pesquisa documental

e bibliográfica foram os questionários (aplicados antes e depois dos encontros

observados) e a observação não-participante (nos encontros em sala de aula).

Quero ressaltar que em um determinado momento das observações fiz uma

intervenção pontual a fim de ajudar a professora a corrigir um equívoco.

A opção de aplicar questionários aos alunos daquela turma surgiu,

inicialmente, com o intuito de garantir o anonimato dos mesmos no momento em que

eu fosse analisar esses dados coletados. Além disso, os alunos normalmente

sentem-se mais a vontade para expressar suas opiniões através da escrita. O

questionário 1 (aplicado antes da observação dos encontros) teve como objetivo

fazer um levantamento sobre o perfil dos pesquisados e as respostas apontaram que

a grande maioria é proveniente das escolas de Cubatão e que se sentem motivados

em estudar no IFSP – Campus Cubatão por conta da qualidade de ensino que a

Instituição oferece .

O questionário 2 (aplicado após a observação dos encontros) teve o intuito de

colher informações sobre as impressões que os alunos tiveram dos encontros

realizados. Dos 37 alunos que responderam ao 1o questionário e participaram dos

encontros, 28 (vinte e oito) responderam às questões do 2o questionário. A maioria

dos alunos aponta que a professora usou o mesmo método de ensino usado em

outros tópicos, mas nas aulas de Trigonometria deu-se uma maior liberdade para a

resolução de exercícios e se preocupou com o aprofundamento do conteúdo.

O referencial teórico que serviu de sustentação deste estudo voltou-se a três

eixos temáticos: ao Ensino Médio, como etapa da escolarização ainda não muito

bem alinhada ao que prescrevem os documentos oficiais e à prática educativa nas

123

escolas, à Trigonometria, como conteúdo matemático central; e à construção de

conhecimento através das interações que ocorrem em sala de aula e que foram

analisadas com base na Teoria das Situações Didáticas (TSD), a partir das

concepções de Brousseau e apoiados nas concepções de alguns pesquisadores

que se debruçaram sobre essa teoria.

A partir dos questionários e dos encontros produzidos em sala de aula,

intermediados pelo professor, constatei que os alunos procuram construir

conhecimento consultando sites da internet e livros didáticos, e na interação com o

professor e os próprios colegas.

Durante as aulas, os alunos tiveram uma participação questionadora tanto em

relação ao que a professora apresentava como ao que os outros alunos faziam. Este

ambiente questionador, algumas vezes, provocou um certo desconforto diante de

respostas não fornecidas pela professora.

Os conhecimentos adquiridos em etapas anteriores de sua escolaridade

foram retomados e articulados a novos conhecimentos e tal fato se evidenciou

quando a professora solicitou que eles explicassem o modo como resolveram as

tarefas solicitadas por ela.

As relações professor-aluno-saber foram bastante dinâmicas. A professora

incitou, muitas vezes, os alunos a resgatarem conhecimentos anteriores e construir

novos saberes e possibilitou sua mudança da posição frente ao saber. Os alunos,

por sua vez, pesquisaram e trouxerem dúvidas e questionamentos aos colegas e à

professora. O professor assumiu o papel de mediador nessa interação dos alunos

com outros agentes e com os objetos de conhecimento, estimulando o diálogo e a

reflexão sobre os conteúdos tratados. Ficou claro, num determinado instante,

quando o professor se descuidou e não estimulou a interação na sala de aula, as

discussões e trocas de ideias ficaram prejudicadas e o silêncio se fez presente.

A professora realizou os papéis de contextualizar/descontextualizar e

personalizar/despersonalizar o saber, quando aceitava e refinava suas posições,

trazendo à tona as angústias dos alunos, as dúvidas e imprecisões nas ideias e

conhecimentos manifestados e impulsionando-os ao novo conhecimento.

124

As relações, baseadas no comprometimento de ambos (contrato didático) e

no diálogo foram elementos dos processos de ensino e aprendizagem que

propiciaram a construção do conhecimento. As interações foram impulsionadoras

deste processo de construção, e, as situações didáticas, permeadas pelo diálogo,

foram pontos de fundamental importância nessas interações. Ao serem incitados a

explicar seus métodos e procedimentos para a resolução de um problema, os alunos

se mostraram bastante criativos e espontâneos.

Quanto às fases das situações didáticas criadas pelo professor, pode-se

verificar que as situações de devolução (o professor cede ao aluno a

responsabilidade pela aprendizagem), de ação (o aluno faz reflexões, simulações e

tentativas) e de formulação (o aluno faz troca de informações com o ‘milieu’, foram

bem trabalhadas e desenvolvidas em classe. No entanto, as situações de validação

(o aluno tenta convencer os interlocutores da veracidade de suas afirmações) e de

institucionalização (o professor confere o estatuto de saber, provendo sentido a um

conhecimento) nem sempre estiveram presentes nas interações, causando, às

vezes, uma ruptura do contrato didático e um desconforto nos alunos. Tais

elementos devem ser, então, cuidados para que ocorra efetivamente a construção

do conhecimento.

Muitas vezes a interação social ocorre minimamente ou precariamente na

sala de aula e perde-se bastante do que poderia ser aproveitado a partir das

discussões e trocas que os alunos são capazes de fazer quando são estimulados.

Sabe-se que as interações foram possíveis porque o ambiente era questionador,

envolto num clima de confiança e respeito.

Numa avaliação de caráter geral, permito-me afirmar que os alunos

envolveram-se ativamente nas discussões mediadas, pelo professor e pelos

instrumentos utilizados por ambos, durante a condução do processo educativo. O

diálogo se fez presente mostrando que a construção do conhecimento foi

encaminhada. Alguns aspectos de caráter mais específico também se manifestaram

e são relevantes como a criatividade e os conhecimentos que os alunos demonstram

nas respostas rápidas e espontâneas.

125

Espero que esta pesquisa possa contribuir para uma reflexão sobre a

aprendizagem da Matemática; que seja útil àqueles que se dedicam ao seu ensino.

Muitas compreensões foram construídas, mas ainda há muito que se possa

fazer, e deixo sugestões para que outras pesquisas se desenvolvam:

- análise das interações em sala de aula, no Ensino Fundamental e Superior,

sob o ponto de vista da Teoria das Situações Didáticas;

- análise das interações em sala de aula, nas aulas sobre Trigonometria,

envolvendo outras dinâmicas de aulas, sob o ponto de vista da Teoria das Situações

Didáticas;

- análise das interações em sala de aula, no Ensino Fundamental, sob a ótica

das Teorias Cognitivas;

- análise dos aspectos relacionados mais fortemente ao diálogo, que é um

elemento chave nas interações em aula.

Acredito que as vertentes acima sugeridas sejam relevantes à Educação

Matemática e também possam proporcionar contribuições ao ensino, assim como a

presente pesquisa me proporcionou relevante crescimento, tanto como pesquisador

como professor.

Como pesquisador, percebi a importância da fundamentação teórica em um

trabalho acadêmico. Percebi que sem uma fundamentação teórica muito bem

embasada e estudada, os dados se perdem e parecem desconectos, tanto ao

pesquisador quanto ao leitor, e as análises se tornam superficiais e desprovidas de

cientificidade. Aprendi que a pesquisa ‘não termina quando acaba’ e que, se mais

tempo eu tivesse, mais eu concluiria e mais elementos eu relataria em minhas

análises. Tenho a impressão que, daqui a algum tempo, quando eu voltar a esses

dados, terei outras visões e outras interpretações. Isso é muito rico e gratificante

para mim. Tive, como pesquisador, a oportunidade de conhecer outros

pesquisadores, em congressos, eventos e encontros nos quais apresentei meus

artigos e comunicações orais. Ouvir o depoimento dos outros e perceber que muitas

vezes eles tinham opiniões contrárias às minhas, sempre fundamentadas

126

teoricamente, me fez crescer como ser humano pensante e atuante, ávido por

mudanças e novos horizontes.

Como professor, aprendi a olhar o universo do aluno com outros olhos. Olhos

de aluno que quer construir e que busca o conhecimento. Muitas vezes, talvez por

encontrar facilidade em explicar os conteúdos matemáticos e ser um autêntico

professor de cursos pré-vestibulares, pensava que induzia os alunos ao

conhecimento que eles necessitam adquirir. Talvez por ser essa a necessidade

desses cursos. Por vezes eu me colocava no lugar do aluno, lançava as perguntas e

dava as respostas sem deixá-lo pensar a respeito. Então ouvia a frase: - Nossa, era

essa a minha dúvida. Sentia-me como se fizesse a mágica e mostrasse ao aluno,

qual foi o ‘truque’ para tal. Nos 28 (vinte e oito) anos de profissão, eu me sentia

como um ‘ator’ diante de uma ‘plateia’ e que precisava fazer um ‘espetáculo’. O

holofote tinha que estar sobre mim e não sobre eles, os alunos. Ao observar a

professora, minha amiga de profissão, e perceber que, em algumas vezes, ela não

institucionalizava o saber e deixava uma lacuna, ia contra os meus princípios de

educador. Mas constatei, a partir desta investigação, que, muitas vezes, não

fornecer respostas abre a possibilidade para que os alunos as procurem

incessantemente; isso é construção de conhecimento. Ela assim o fez, e eu nem

sempre assim o fazia. Então, agora me questiono se as estratégias por mim usadas

deveriam ser diferentes, e vou em busca de respostas.

Ao finalizar, quero destacar que, sendo professor e pesquisador em Educação

Matemática, busco, de forma constante, novas alternativas de ensino e

fundamentação que me ajudem, efetivamente, a compreender as dificuldades e

possibilidades do trabalho docente e do aprendizado discente.

Este trabalho pretende oferecer, àqueles que compartilham comigo dessa

busca, uma oportunidade de refletir sobre as situações que observei, e que foram

bastante ricas: as interações, entre os alunos e entre o professor e os alunos, foram

o foco principal desse trabalho; a vivência e a bagagem dos alunos não foram

subestimadas e esquecidas; e foi possível partir de seus conhecimentos prévios

para dar-lhes condições de construir um novo conhecimento.

127

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APÊNDICES

138

Apêndice A

Aos responsáveis pelos alunos do Ensino Médio Integrado do IFSP – Campus Cubatão

TERMO DE CONSENTIMENTO

Este termo de consentimento pretende esclarecer aos responsáveis pelos alunos do Ensino

Médio Integrado, do IFSP – Campus Cubatão, os procedimentos adotados em minha pesquisa

de doutorado, desenvolvida pela Universidade Cruzeiro do Sul, e a forma de utilização dos

dados que serão coletados. Tem o objetivo de deixar o mais transparente possível a relação

entre os envolvidos e o tratamento e uso das informações colhidas.

O contexto da pesquisa será a aplicação de questionários aos alunos do 1o ano do Ensino

Médio Integrado, antes e depois que o conteúdo “Trigonometria”, for abordado em sala de

aula, assim como o acompanhamento pelo pesquisador, das aulas ministradas a esses alunos.

Esta etapa tem como previsão de aplicação, o mês de maio de 2012.

A pesquisa será realizada pelo pesquisador e as atividades, bem como as impressões do

pesquisador serão gravadas, fotografadas e transcritas, assim como os trabalhos escritos

realizados pelos alunos serão analisados. Estes dados servirão como material para pesquisa

que procura entender melhor a aprendizagem da Trigonometria no Ensino Médio Integrado e

as diversas formas que os alunos buscam para compreender o tópico em questão. Os registros

serão feitos preservando-se a identidade dos sujeitos, em sigilo, através de pseudônimos.

As informações provenientes da análise desses dados poderão ser utilizadas pelos

pesquisadores, em publicações, eventos científicos e texto da tese e, divulgadas a todos

aqueles que se interessem pela pesquisa acima indicada.

___________________________________________________________

Pesquisador: LUCIANO ANDRÉ CARVALHO REIS

______________________________________________

Responsável pelo aluno:

PSEUDÔNIMO QUE GOSTARIA DE SER

IDENTIFICADO:_______________________

139

Apêndice B

À Professora do IFSP – Campus Cubatão

TERMO DE CONSENTIMENTO

Este termo de consentimento pretende esclarecer à coordenação do IFSP – Campus Cubatão

os procedimentos adotados em minha pesquisa de doutorado, desenvolvida pela Universidade

Cruzeiro do Sul, e a forma de utilização dos dados que serão coletados. Tem o objetivo de

deixar o mais transparente possível a relação entre os envolvidos e o tratamento e uso das

informações colhidas.

O contexto da pesquisa será a aplicação de questionários aos alunos do 1o ano do Ensino

Médio Integrado, antes e depois que o conteúdo “Trigonometria”, for abordado em sala de

aula, assim como o acompanhamento pelo pesquisador, das aulas ministradas a esses alunos.

Esta etapa tem como previsão de aplicação, o mês de maio de 2012.

A pesquisa será realizada pelo pesquisador e as atividades, bem como as impressões do

pesquisador serão gravadas, fotografadas e transcritas, assim como os trabalhos escritos

realizados pelos alunos serão analisados. Estes dados servirão como material para pesquisa

que procura entender melhor a aprendizagem da Trigonometria no Ensino Médio Integrado e

as diversas formas que os alunos buscam para compreender o tópico em questão. Os registros

serão feitos preservando-se a identidade dos sujeitos, em sigilo, através de pseudônimos.

As informações provenientes da análise desses dados poderão ser utilizadas pelos

pesquisadores, em publicações, eventos científicos e texto da tese e, divulgadas a todos

aqueles que se interessem pela pesquisa acima indicada.

__________________________________________________________

Pesquisador: LUCIANO ANDRÉ CARVALHO REIS

__________________________________________________

Professora:

Instituição: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia São

Paulo – Campus Cubatão

140

Apêndice C

À Coordenação do IFSP – Campus Cubatão

TERMO DE CONSENTIMENTO

Este termo de consentimento pretende esclarecer à coordenação do IFSP – Campus Cubatão

os procedimentos adotados em minha pesquisa de doutorado, desenvolvida pela Universidade

Cruzeiro do Sul, e a forma de utilização dos dados que serão coletados. Tem o objetivo de

deixar o mais transparente possível a relação entre os envolvidos e o tratamento e uso das

informações colhidas.

O contexto da pesquisa será a aplicação de questionários aos alunos do 1o ano do Ensino

Médio Integrado, antes e depois que o conteúdo “Trigonometria”, for abordado em sala de

aula, assim como o acompanhamento pelo pesquisador, das aulas ministradas a esses alunos.

Esta etapa tem como previsão de aplicação, o mês de maio de 2012.

A pesquisa será realizada pelo pesquisador e as atividades, bem como as impressões do

pesquisador serão gravadas, fotografadas e transcritas, assim como os trabalhos escritos

realizados pelos alunos serão analisados. Estes dados servirão como material para pesquisa

que procura entender melhor a aprendizagem da Trigonometria no Ensino Médio Integrado e

as diversas formas que os alunos buscam para compreender o tópico em questão. Os registros

serão feitos preservando-se a identidade dos sujeitos, em sigilo, através de pseudônimos.

As informações provenientes da análise desses dados poderão ser utilizadas pelos

pesquisadores, em publicações, eventos científicos e texto da tese e, divulgadas a todos

aqueles que se interessem pela pesquisa acima indicada.

__________________________________________________________

Pesquisador: LUCIANO ANDRÉ CARVALHO REIS

__________________________________________________

Coordenador:

Instituição: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia São

Paulo – Campus Cubatão

141

Apêndice D - Questionário 1

Objetivo: Obter dados para uma investigação a respeito da relação entre os alunos do IFSP-

Campus Cubatão e a Trigonometria no Ensino Médio

Pesquisador: Luciano André Carvalho Reis

Orientadora: Profa Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Instituição: Universidade Cruzeiro do Sul

1. Como você ou sua família, conheceram o IFSP- Campus Cubatão?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_____________________________________________

2. Antes de ser aluno do IFSP-Campus Cubatão, você estudou em escola privada ou pública

(considere a última escola)?Qual escola? Em qual cidade ?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_______________________________________________________

3. É a primeira vez que você é aluno do 1º ano do Ensino Médio ou Ensino Médio Integrado?

Em caso negativo, explique.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

____________________________________________________________

4. Você fez alguma “preparação especial” para ser aprovado no vestibulinho do IFSP-Campus

Cubatão? Em caso positivo, qual?

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

5. O que te motivou a prestar o vestibulinho no IFSP-Campus Cubatão?

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

142

6. Ao fim de 4 anos (no mínimo) você terá concluído o Ensino Médio Integrado e será um

técnico em Informática. Se você pudesse optar, gostaria de cursar apenas o Ensino Médio no

IFSP-Campus Cubatão?

______________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

7. Quais as expectativas que você tem para quando tiver concluído esta etapa da sua

escolarização?

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

8. Você sentiu alguma diferença em relação à Matemática ensinada na escola anterior ao

IFSP-Campus Cubatão e a que viu no IFSP? Em caso positivo, qual(is)?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

____________________________________________________________

9. Você já estudou Trigonometria?

___________________________________________________________

Só responda as questões a seguir, se você respondeu SIM na questão 9.

10. Quando você estudou Trigonometria?

___________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

11. O que você lembra ter estudado em Trigonometria?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

____________________________________________________________

12. Na sua opinião, qual a importância em estudar Trigonometria?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

13. Como você estuda Trigonometria? Utiliza/ busca recursos extra-classe? Se sim, quais?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

OBRIGADO POR SUA PARTICIPAÇÃO

Por favor, escreva como gostaria de ser identificado___________________________

143

Apêndice E - Questionário 2

Objetivo: Obter dados para uma investigação a respeito da relação entre os alunos do IFSP-Campus Cubatão e a

forma como o conteúdo Trigonometria no Ensino Médio lhes foi apresentado.

Pesquisador: Luciano André Carvalho Reis

Orientadora: Profa Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Instituição: Universidade Cruzeiro do Sul

1. Você observou diferenças entre o modo como o assunto “Trigonometria no triângulo retângulo” foi

apresentado, em relação a outros tópicos de Matemática, ministrados pela professora em questão? _____ Sim

_____ Não

2. Se você assinalou sim na questão anterior, tente expressar que diferenças são essas.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________

3. Sua professora de Trigonometria tenta incitar os alunos a darem as próprias definições e resolverem os

problemas por “conta própria”. O que você acha desse método de ensino para o aprendizado da Trigonometria

no triângulo retângulo?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________

4. A professora solicita frequentemente que vocês conceituem tudo o que utilizam nas atividades de matemática.

O que você acha deste procedimento? Você vê diferenças entre essa abordagem da professora e a de outros

professores de Matemática que você tem ou teve? Explique.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

______________________________________

144

5. O que você acha que poderia mudar, para que a aprendizagem sobre a Trigonometria no triângulo retângulo

seja favorecida?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________

6. Com o que foi aprendido do conteúdo Trigonometria no triângulo retângulo você se sente capaz de resolver

exercícios sobre tal assunto?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_____________________________________________

7. Você buscou o conteúdo em outros locais (internet, livros, amigos, etc.) ou só se apoiou no livro didático

usado pela professora e nas aulas expositivas?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_____________________________________________

8. Dê sua opinião sobre a importância da Trigonometria no triângulo retângulo?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

___________________

9. Tem mais alguma observação que gostaria de registrar sobre sua experiência com a Trigonometria no

triângulo retângulo?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

___________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________

__________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________

OBRIGADO POR SUA PARTICIPAÇÃO

Por favor, identifique-se como o fez no questionário 1___________________________

ANEXOS

146

Anexo 3 – Os exercícios 7 a 10, da página 368, do livro texto

Anexo A - Introdução da Trigonometria, apresentada no livro texto

Fonte: Matemática Contexto e Aplicações (DANTE, 2010, p. 362)

147

Anexo B – Os exercícios 1 a 6, da página 364, do livro texto

Fonte: Matemática Contexto e Aplicações (DANTE, 2010, p.364)

148

Anexo C - Os exercícios 7 a 10, da página 368, do livro texto

Fonte: Matemática Contexto e Aplicações (DANTE, 2010, p.368)