Liouville , Strahlung und Selbst-Effekte. Liouvillesches Theorem lineares , diskretes Beschleuniger Modell (Gap) normierte Emittanz Synchrotron Schwingung Ein-Teilchen Synchrotron- Strahlung k ohärente und inkohärente Synchrotron- Strahlung Sektormagnet m it Strahlung Beispiel - PowerPoint PPT Presentation
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Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte
Liouvillesches Theoremlineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)normierte EmittanzSynchrotron SchwingungEin-Teilchen Synchrotron-Strahlungkohärente und inkohärente Synchrotron-StrahlungSektormagnet mit StrahlungBeispielDämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theoremnatürliche StrahlemittanzSelbsteffekte (Raumladung und Wakes)
Liouvillesches Theoremlineare Abbildung im Phasenraum: aabb XTX
Volumen im Phasenraum: aabb dVdV Tdet
Liouvillesches Theorem:
keine Singularitäten,keine Teilchen-Teilchen Streuung,keine inkohärente Synchrotron Strahlung
kanonische Koordinaten:
tpqpqpq 332211X mit
ii q
tqqLp
,,
Volumen im Phasenraum ist invariantsymplektische Abbildung TtST = Sfür glatte elektromagnetische Felder und kanonische Koordinaten
glatte elektromagentische Felder:
Lagrange Funktion L und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion
Liouvillesches Theorem
Beschleuniger Koordinaten
lyyxx
X sind nicht kanonisch!
aber die Orts- und Momentum-Koordinaten
z
y
x
pzpypx
~~~~~~
sind es, wenn das
Vektorpotential des Magnetfeldes verschwindet;z.B. im feldfreien Raum (Drift) kann das V.p. verschwindend gewählt werden
111
1
~~~
22
,
,
,
yx
pyx
yx
p
ppp
refref
z
y
x
lyx
vlt
zyx
0~~~
r
Koordinatentransformation für Drift:
Liouvillesches TheoremPhasenraumdichte in Beschleuniger Koordinaten:
keine Phasefokusierung;Probleme mit longitudinalem Phasenraum: Momentum-Abweichungwird nicht behoben, akumuliert sich bei konstanter Anregung immerweiter auf; auch ohne Anregung: die Verteilung zerflieβt longitudinal(siehe Übung 6d);
wir brauchen: longitudinale Beschleunigung, also RF-Felder und Dämpfung durch inkoheränte Synchrotron Strahlung
mit Dämpfung könnte man im Phasenraum akumulieren
Bilder aus [K.Wille]
lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)
gap
E(t)
gStrahlrohr
p1
p2
12
0
1201
cmpcm tegE 12
12 xx pp
12 yy pp
relativistische Näherung (p1/m0c >>1):
diskretes (sehr kurzes) Gap mit beschleunigendem Feld:
wir brauchen ein rückstellende Kraft!im linearisierten Modellgibt es nur den Typ “Schwingung”
Synchrotron Schwingung
zwei Typen von Lösungen
“Schwingung”“Rotation”separatrix
longitudinale Dynamik: Position l und Momentum-Abweichung Phasenfokusierung:
tEtE cos0
zeitharmonisches longitudinales Feld
tEEtE pa
Synchrotron Schwingung
100000100
00000000
000000
565251 RRRSCSC
DSCDSC
yy
yy
xx
xx
T
wRwRRR
SCSC
DSCDSC
w
yy
yy
xx
xx
56
565251
10000100
00000000
000000
10000010000001000000100000010000001
T
magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen, ein Umlauf:
wo ist die Phasenfokusierung gebleiben?wir brauchen ein zeitabhängiges longitudinales Feld: Resonator im Nulldurchgang, denn wir haben noch keine Energie-Verluste