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Transcript
Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte
Liouvillesches Theoremlineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)normierte EmittanzSynchrotron SchwingungEin-Teilchen Synchrotron-Strahlungkohärente und inkohärente Synchrotron-StrahlungSektormagnet mit StrahlungBeispielDämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theoremnatürliche StrahlemittanzSelbsteffekte (Raumladung und Wakes)
Liouvillesches Theoremlineare Abbildung im Phasenraum: aabb XTX
Volumen im Phasenraum: aabb dVdV Tdet
Liouvillesches Theorem:
keine Singularitäten,
keine Teilchen-Teilchen Streuung,
keine inkohärente Synchrotron Strahlung
kanonische Koordinaten:
tpqpqpq 332211X mit
ii q
tqqLp
,,
Volumen im Phasenraum ist invariant
symplektische Abbildung TtST = S
für glatte elektromagnetische Felder
und kanonische Koordinaten
glatte elektromagentische Felder:
Lagrange Funktion L und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion
Liouvillesches Theorem
Beschleuniger Koordinaten
l
y
y
x
x
X sind nicht kanonisch!
aber die Orts- und Momentum-Koordinaten
z
y
x
p
z
p
y
p
x
~
~
~
~
~
~
sind es, wenn das
Vektorpotential des Magnetfeldes verschwindet;z.B. im feldfreien Raum (Drift) kann das V.p. verschwindend gewählt werden
111
1
~
~
~
22
,
,
,
y
x
py
x
yx
p
p
p
p
refref
z
y
x
l
y
x
v
lt
z
y
x
0~
~
~
r
Koordinatentransformation für Drift:
Liouvillesches TheoremPhasenraumdichte in Beschleuniger Koordinaten:
aass XTX
s
s
s asasaas X
M
TTXTX 1
s
sl
sy
sx
sy
sx
s
sR
sk
sRsk
s
sl
sy
sy
sx
sx
ds
d
y
x
M
000000
100001
00000
001000
10000
000010
2
asas s TMT
s
s
ds
d
as
asasas
asasasas
MT
TMTT
TTTT
spurdet
spurdet
spurdetdet
1
1
magnetisches System, ebene Trajektorie,
entkoppelte Ebenen:
0spur sM
für das bisher betrachtete magnetische System bleibt die Phasenraumdichteauch in Beschleuniger Koordinaten erhalten;
Liouvillesches Theorem
Konsequenz:
die Phasenraumdichte kann nicht erhöht werdendie Quelle bestimmt die Phasenraumdichteman kann in ein Bucket nur einmal injizieren
Bilder aus [K.Wille]
erweiterter linearer Formalismus
Transport mit zusätzlicher konstanter Anregung
VTXX ab
ab XTV
0
X
111
kann durch erweiterte Matrix Schreibweise berücksichtigt werden
umlaufendes System VTXX nn 1
stationäre Lösung VTIX 1s
Differenz Lösung snn XXY
dafür gilt wieder die homogene Rekursion nn TYY 1
wichtig für stationäre Lösung: Invertiebarkeit von ITwichtig für Stabilität: Eigenwerte von T
keine Phasefokusierung;Probleme mit longitudinalem Phasenraum: Momentum-Abweichungwird nicht behoben, akumuliert sich bei konstanter Anregung immerweiter auf; auch ohne Anregung: die Verteilung zerflieβt longitudinal(siehe Übung 6d);
wir brauchen: longitudinale Beschleunigung, also RF-Felder und Dämpfung durch inkoheränte Synchrotron Strahlung
mit Dämpfung könnte man im Phasenraum akumulieren
Bilder aus [K.Wille]
lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap)
gap
E(t)
gStrahlrohr
p1
p2
12
0
1201
cm
pcm tegE 12
12 xx pp
12 yy pp
relativistische Näherung (p1/m0c >>1):
diskretes (sehr kurzes) Gap mit beschleunigendem Feld:
wir brauchen ein rückstellende Kraft!im linearisierten Modellgibt es nur den Typ “Schwingung”
Synchrotron Schwingung
zwei Typen von Lösungen
“Schwingung”“Rotation”separatrix
longitudinale Dynamik: Position l und Momentum-Abweichung Phasenfokusierung:
tEtE cos0
zeitharmonisches longitudinales Feld
tEEtE pa
Synchrotron Schwingung
100000
100
0000
0000
000
000
565251 RRR
SC
SC
DSC
DSC
yy
yy
xx
xx
T
wRw
RRR
SC
SC
DSC
DSC
w
yy
yy
xx
xx
56
565251
10000
100
0000
0000
000
000
10000
010000
001000
000100
000010
000001
T
magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen, ein Umlauf:
wo ist die Phasenfokusierung gebleiben?wir brauchen ein zeitabhängiges longitudinales Feld: Resonator im Nulldurchgang, denn wir haben noch keine Energie-Verluste