Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática 2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135. 51 LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS FORMALES, UNA OPCIÓN PARA MODELAR FORMAS VEGETALES. Armando Cervantes Sandoval', Yo landa Rodríguez Pagaza l , Luis L. Landois Palencia 2 RESUMEN Con la finalidad de mostrar qué son y cómo aplicar los Sistemas Lindenmayer a la modelación de formas vegetales, se revisan aspectos como: 1) Lenguajes formales; 2) Tipos de sistemas Lindenmayer; 3) Diferencias y semejanzas entre lenguajes forn1ales y sistemas Lindenmayer; y 4) Patrones de desarrollo en vegetales a nivel de disposición foliar, ramificación y tipo de inflorescencia. Esto con el fin de proponer un sistema que consta de 16 archivos en Visual Basic, al cual se le denominó LINSIS, que requiere como entrada un axioma y un conjunto de reglas de producción para generar e interpretar gramáticas Lindenmayer cuya salida es una representación gráfica, en dos dimensiones, de la gramática obtenida; ya que como se muestra mediante algunos ejemplos, se pueden hacer gráficos no sólo de formas 1 Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, UNAM. 2 Instituto de Socioeconomía Estadística e Informática. Colegio de Postgraduados.
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LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS FORMALES, … · Sistemas Lindenmayer y su relación con las gramáticas formales, analizando los diferentes tipo de gramáticas y los
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LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS FORMALES, UNA OPCIÓN PARA MODELAR FORMAS
VEGETALES.
Armando Cervantes Sandoval', Yo landa Rodríguez Pagaza l, Luis L. Landois Palencia 2
RESUMEN
Con la finalidad de mostrar qué son y cómo aplicar los Sistemas
Lindenmayer a la modelación de formas vegetales, se revisan aspectos como: 1)
Lenguajes formales; 2) Tipos de sistemas Lindenmayer; 3) Diferencias y
semejanzas entre lenguajes forn1ales y sistemas Lindenmayer; y 4) Patrones de
desarrollo en vegetales a nivel de disposición foliar, ramificación y tipo de
inflorescencia. Esto con el fin de proponer un sistema que consta de 16 archivos
en Visual Basic, al cual se le denominó LINSIS, que requiere como entrada un
axioma y un conjunto de reglas de producción para generar e interpretar
gramáticas Lindenmayer cuya salida es una representación gráfica, en dos
dimensiones, de la gramática obtenida; ya que como se muestra mediante
algunos ejemplos, se pueden hacer gráficos no sólo de formas
1 Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, UNAM. 2 Instituto de Socioeconomía Estadística e Informática. Colegio de Postgraduados.
En el Capítulo 3 se revisa el enlace entre los sistemas
Lindenmayer y la computación, sustentando en esta relación el diseño de
LINSIS, un sistema que interpreta gramáticas. Se describe cómo se
elaboró el sistema, así como una guía de usuario para facilitar su manejo.
Esta información se utiliza en el Capítulo 4, para mostrar diez ejemplos
de formas modeladas con LINSIS. Esto permite concretar una propuesta
de cómo utilizar los sistemas Lindenmayer para la modelación de formas
vegetales.
Finalmente, el Capítulo 5 muestra las conclusiones y perspectivas
de este tipo de sistemas, haciéndose notorio que el siguiente paso consiste
en mejorar LINSIS para que funcione como un compilador de gramáticas
y los despliegues gráficos se realicen en tres dimensiones y no en dos,
aspectos sobre los que ya se está trabajando.
SISTEMAS Lindenmayer, aspectos basicos
Los sistemas Lindenmayer son una variación de la teoría de los
lenguajes formales desarrollada a finales de los años cincuenta por Noam
Chomskyl, por lo que, para comprender qué son y cómo permiten
1 Noam Chomsky, lingüista norteamericano, desarrolló en los cincuenta la teoría de los lenguajes formales para explicar cómo se comportan los idiomas utilizados por el hombre. (Fu, 1974:25; Prusinkíewicz, 1989:39).
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modelar el patrón de crecimiento de las plantas es necesario revisar
algunos tópicos referentes a los lenguajes formales.
LENGUAJES FORMALES
Un lenguaje formal o un sistema formal, se define como "... un
sistema lógico sin interpretación definida". Según Donovan (1986, pág
214), un lenguaje formal consta de un alfabeto, que es un conjunto de
palabras llamadas axiomas y un conjunto finito de relaciones llamadas
reglas de inferencia. Se hace uso de este tipo de lenguajes para obtener
modelos formalizados de .nociones intuitivas o informales. Los modelos
formales pueden ser abstraídos y estudiados matemáticamente y si el
modelo es adecuado para el problema que representa, los resultados
pueden explicar mucho del fenómeno que se estudia.
Como todo lenguaje, los sistemas formales tienen una sintaxis,
donde se establecen cuáles son las condiciones para construir palabras
válidas dentro de éste y una semántica, donde se asigna una
interpretación a los signos lingüísticos. Para definir formalmente a un
lenguaje es preciso cons iderar las siguientes definiciones:
Definición l. Un alfabeto es cualquier conjunto finito de símbolos. Una
sentencia sobre un alfabeto es cualquier cadena de longitud finita
2 Una regla de reescritura se expresa de la forma a → b, y se entiende como "a puede ser reescrita como b" o "a puede ser sustituida por b". Forma conocida como BNF (Backus-Normal-Form).
Definición IV. Dada G = (VN, VT , P, S), una gramática. Si para cada
producción βα → en P, |α | β≤ , entonces se dice que G es sensitiva al
contexto. Si para cada producción βα → en P, a es una variable simple y |b| > 0, se dice que G es de contexto libre. Si cada producción en P es de la forma A → aB o A → a, donde A y B son variables y a es un símbolo terminal, entonces se dice que G es regular
Cada gramática presentada es un subconjunto de la anterior, ya que cada
nueva restricción incluye las que le preceden. Así, una gramática de
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tipo 3 es un subconjunto de las gramáticas de tipo 2; a su vez, las de tipo
2 son un subconjunto de las gramáticas de tipo 1 y estas son un conjunto
de las gramáticas tipo 0.
Las nociones de los sistemas Lindenmayer son casos especiales de las
nociones de lenguajes y familias de lenguajes en la teoría de lenguajes
formales, por lo que hay algunas diferencias entre ellos.
DIFERENCIAS ENTRE LENGUAJES FORMALES Y SISTEMAS
LINDENMA YER
En 1968, el biólogo húngaro, Aristid Lindenmayer, introdujo un tipo de
reglas de reescritura llamadas sistemas Lindenmayer (conocido también
como sistemas-L o L-systems, este último por su abreviación en inglés).
Este tipo de sistemas surgen como un modelo formal del crecimiento de
las plantas y sus esfuerzos iniciales se concentraron en la generación
automática de imágenes de plantas. A pesar de que estos sistemas se
basan en la teoría de .lenguajes formales, existen diferencias, por lo que
es importante entender que los sistemas Lindenmayer y los lenguajes
formales no son lo mismo. Las diferencias son:
1. En los lenguajes formales se hace una clara distinción entre los
símbolos terminales y no terminales. En los sistemas Lindenmayer no
Los sistemas-0L se pueden dividir en diferentes clases sin perder la
característica de que imitan el desarrollo por linajes celulares.
Lindenmayer y Jürgensen (1992, pp 6-7), determinan que, si dada una
cadena α , esta tiene reglas de transición sencillas donde un símbolo de la
cadena produce un paso de derivación único, entonces ésta pertenece a
los sistemas llamados sistemas-0L determinísticos o sistemas-D0L.
El siguiente ejemplo modela el desarrollo de la bacteria verde-
azul Anabaena catenula, donde: V={a, b}, ω ={b} y
→ ← →
P={ a →a b ………….(1)
→ → b→a …………(2)
← ← →a→b a …………(3)
← ← b→a { 4) …………(4)
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las flechas arriba de a y b representan polaridad de la célula. De manera que la secuencia de desarrollo es la siguiente:
Al comparar este modelo con el de la Figura 2 (sistemas 0L), la célula a tiene tres reglas diferentes de producción, mientras que en este ejemplo, la célula a con cierta polaridad tiene solo una regla de producción. Esta es la característica que hace la diferencia entre los sistemas-0L y los sistemas-D0L.
Donde ω es el estado inicial del filamento, a es una célula con
una concentración baja de hormona y b es una célula con una
concentración excedente. El proceso de difusión se dará de la siguiente
manera:
baaaaaaa
bbaaaaaa
bbbaaaaa
bbbbaaaa
…
Sistemas 0L y IL paramétricos
Estos sistemas operan sobre palabras parametrizadas6, las cuales
son cadenas de letras con parámetros asociados. Las letras A pertenecen a
un alfabeto V y los parámetros al, a2, ..., an, al conjunto de los números
reales R. De manera que a todas las cadenas de letras A y a los
parámetros al, a2, ..., an, se les definen, en conjunto, como una cuádrupla
{V, Σ , ω , P} donde V es el vocabulario, Σ es el conjunto de parámetros
formales (números reales R), ω es el axioma y P es el conjunto de
producciones (Prusinkiewicz y Hanan,' 1990, p. 185; Prusinkiewicz y
Lindenrnayer, 1990, pp. 41-42). En estos sistemas, los
6 El término letras parametrizadas se refiere a que cada letra del vocabulario utilizado (V) se acompaña de un elemento que la caracteriza, en este caso un número
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símbolos ":" y " →" sirven para separar los tres componentes de una
producción: el predecesor, la condición y el sucesor
Esta producción se entiende así: "A se rescribirá como B si n es
mayor de 5". Una producción se puede aplicar cuando:
1. La letra en la cadena que se está derivando y en el predecesor de la
producción es la misma.
2. El número de parámetros formales en la cadena es igual al número de
parámetros formales en la producción predecesora y
3. La condición evaluada es "verdadera" en el valor de los parámetros
actuales.
Este tipo de sistemas se puede dar también en los sistemas-IL. Un
ejemplo es el desarrollo de Anabaena catenula. Esta bacteria verde-azul
forma un filamento sin ramificaciones con dos tipos de células:
vegetativas y heterocistos. Comúnmente, las células vegetativas se
acción de ciertas fitohornlonas; y al paleontólogo, extrapolando el
desarrollo a plantas ya extintas apoyándose en el registro fósil. Esta
herramienta ahorraría tiempo y dinero al simular en una computadora el
desarrollo de una planta.
PATRONES DE CRECIMIENTO EN LAS PLANTAS
Para modelar la forma arquitectural que tiene un organismo
vegetal, es necesario establecer si el organismo completo posee un patrón
de desarrollo, o en alguno de sus órganos, como puede ser en las hojas,
flores o ramas.
Existen muchos caracteres morfológicos. Dentro de los más
comunes, conspicuos y predecibles se encuentran la disposición foliar o
filotaxia, la ramificación, la floración y la fructificación, por lo que se
revisan, en esta sección, sus formas y diferentes clasificaciones.
Disposición foliar o filotaxia
La filotaxia o el patrón de disposición foliar de la planta es la
secuencia en que se originan las hojas en el tallo, así como su disposición
a lo largo de los ejes de crecimiento. La filotaxia de una
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planta es usualmente constante. De hecho, la filotaxia se utiliza como un
carácter importante cuando se determina a una planta y una filotaxia
particular caracteriza a un género de plantas, o a un grupo de éstas. Por
ejemplo, en las monocotiledóneas, generalmente se presenta una hoja por
nodo, mientras que en las dicotiledóneas se presenta más de una. La
posición de las hojas en una planta afecta la intercepción de luz y además,
fija la posición de los subsecuentes botones axilares, por lo que la
filotaxia puede determinar los patrones de ramificación, sobre todo en
plantas perennes. La filotaxia es uno de los patrones de crecimiento que
se pueden predecir en una, planta, de allí que pueda diseñarse un modelo
que la represente a lo largo del crecimiento de una planta.
Las filotaxias se clasifican generalmente en tres grupos 7 :
l. Una hoja por nodo (alternas). Existen varios tipos de arreglo de estas
hojas en el tallo:
Monósticas. La hoja se desarrolla siempre del mismo lado del
tallo, por lo que visto desde arriba forma una fila (Fig. 7).
7 La mayor part e de los autores (Greulanch y Adams, 1990:425 y .Joncs. 1988:222) clasifican a las filotaxias en a) Alternas, con una hoja por nodo; b) Opuestas. con dos hojas por nodo; y c) Verticiladas, con tres o más hojas por nodo. En este trabajo se reporta la clasificación utilizada por Bell, quien las clasifica en función de las hojas por nodo. Aunque es básicamente la misma clasificación, este autor es más explícito en los tipos de hojas alternas que existen. (Bell. 1991 :218-220).
donde, tanto numerador como denominador siguen la serie de Fibonacci8, en
la cual el numero siguiente es la suma de los dos anteriores (Por ejemplo
donde, tanto numerador como denominador siguen la serie de
Fibonacci8, en la cual el numero siguiente es la suma de los dos
anteriores (Por ejemplo 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, etc.). Estas series
pueden seguir indefinidamente, pero los ángulos formados hasta ahora se
acercan sin sobrepasar los 137° 30' 28". Una hipótesis sostiene que si el
ángulo entre hojas fuera exactamente de 137° 30' 28", ninguna hoja se
superpondría, captando mejor la luz del sol.
La filotaxia no siempre es tan clara y predecible, ya que puede
cambiar en algunas plantas debido a factores ambientales. Además, se
pueden presentar dos o mas filotaxias en la misma planta, siendo
confuso el arreglo de hojas en la porción de tallo que queda entre las dos
series filotácticas.
Hasta aquí se ha visto que la filotaxia es un patrón de crecimiento
que siguen las hojas alrededor del tallo en las plantas.
8La serie de Fibonacci (llamada así por el apodo de Filius Bonacci de Leonardo de Pisa, quien la descubri6 en 1202) es una sucesi6n de números donde, cada numero nuevo se origina de los dos anteriores. Además de la botánica, a esta serie de n6meros también se le halla en otras áreas como matemáticas, biología y m6sica. (Para mas informaci6n de esta serie, su historia, y su relaci6n con otras áreas, consulte a Newman y Boles,
1992:168-195)
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Al igual que las hojas, las ramas alrededor del tronco en las plantas
siguen un patrón que puede ser predecible y constante, como se vera en el
apartado siguiente
Ramificación
La ramificación también tiene patrones característicos.
Generalmente se le clasifica en tres grupos:
I. Dicotómica. Cuando el tallo se bifurca en dos ramas mas o menos
iguales (Fig. 8, a y b), las cuales siguen creciendo y se pueden dividir a su
vez en dos. Cuando una de las ramas es abortada o forma una estructura
temporal como una inflorescencia se llama pseudodicotomia (Fig. 8, c y
d).
II. Monopodial. Existe un eje principal y ejes laterales reducidos o
ausentes (Fig. 8.a). Si las ramas laterales quedan subordinadas al
crecimiento del eje principal, hablamos de monopodios, como en el abeto
(Abies). Si los brotes laterales siguen ramificándose, se les puede
denominar brotes laterales de primer, segundo y tercer grado.
III. Simpodial. No existe un eje principal, en cambio, existen varias ramas
laterales semejantes (Fig. 8.b). A veces el eje principal se atrasa en su
Aubreville Tronco monopodial con crecimiento rítmico. Ramas plagiotrópicas compuestas de unidades simpodiales indeterminadas
Terminalia
catappa
Stone Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas ortotr6picas simpodiales
Rhipsalis
bambusoides
Scarrone Tronco monopodial con crecimiento continuo. Ramas ortotr6picas simpodiales
Phellodendron
chinense
Troll Tronco monopodial, plagiotrbpico, reorientado en posici6n vertical por un cambio de actividad. Ramas plagiotr6picas
Prunus sp.
Troll Tronco simpodial, plagiotrbpico, reorientado en posici6n vertical. Ramas plagiotropicas
Platanus
hispanica
Continuacion Cuadro 1. Clasificación de los tipos de ramificación. MODELO DESCRIPCION EJEMPLO ESQUEMA
Mangenot Tronco simpodial y ortotr6fico. La porci6n distal de cada unidad simpodial del tronco se desarrolla lateralmente como una rama plagiotr6pica.
Strychnos sp.
Champagnat Tronco simpodial ortotr6fico. La parte distal de cada unidad simpodial se desarrolla de lado cuando crece cayendo por su propio peso.
Salix
babylonica
McClure Secuencia de ramas simpodiales en las que la parte proximal de cada unidad simpodial determinada es plagiotr6pica y la parte distal forma un tronco ortotrófico. El tronco soporta ramas determinadas,
Bambusa
arundinacea
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Tomlinson Secuencia de ramas simpodiales donde cada unidad simpodial nace en la parte proximal de la unidad previa. Las unidades simpodiales son determinadas o indeterminadas.
A/pin/a speciosa
Chamberlain Tronco simpodial. Cada unidad simpodial soporta una unidad similar justo en su parte terminal. Sin ramas.
Epiphyllwn sp
Leeuwenberg Secuencia de ramas simpodiales. Cada unidad simpodial soporta solo una unidad similar en su parte final.
Euphorb ia
punicea
Schoute Verdadera dicotomia en el spice a intervalos. Floración lateral
Hyphaene
thebaica
Koriba Tronco simpodial. Cada unidad simpodial de tronco soporta más de una rama lateralmente extendida en su parte final. Una de estas ramas es secundariamente reorientada en posición vertical para recibir la siguiente unidad del tronco.
Alstonia
ntacrophyl/a
Prevost Tronco simpodial. Cada unidad simpodial soporta más de una rama en su extremo distal. Una de estas ramas es retardada en su extensión y crece verticalmente para soportar la siguiente unidad del tronco. las otras ramas son ortotrepicas inicialmente pero se convierten en plagiotropicas por aposición o substitución.
Cyphomandra
betacea
Nozeran Tronco simpodial, cada unidad simpodial soporta una o más ramas en su parte distal. Una de estas ramas es retrasada en su extensión y crece verticalmente para recibir la siguiente unidad del tronco. Las otras ramas son plagiotrepicas conservando este carácter incluso si son cortadas.
F La tortuga se mueve un paso de longitud d. El estado de la tortuga cambia a (x',y', α ’), donde x'= x+dcos(α ) y y'=y+ dsen (α ). Se traza una línea entre los puntos (x,y) y (x',y').
f La tortuga se mueve un paso de longitud d sin trazar línea. + La tortuga da un giro a la izquierda con ángulo δ . El siguiente
estado es (x, y, α +δ ). La orientación positiva de los ángulos se da en contra de las agujas del reloj.
- La tortuga da un giro a la derecha con ángulo S. El siguiente
estado es (x, y, α —δ ).
Para comprender mejor estos símbolos utilizados en el programa
desarrollado por Prusinkiewiez, véase el ejemplo en la Figura 11.
Figura 11. Interpretación de una cadena de símbolos.
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Se definen dos símbolos para representar ramificación, que la
tortuga interpreta como:
[ La tortuga adquiere un nuevo estado, mientras que el actual se guarda
en memoria. El nuevo estado de la tortuga contiene la posición y
orientación de la tortuga y posiblemente otros atributos como el color o
el ancho de Línea.
] La tortuga regresa al estado anterior (el que se guardó) al abrirse el
corchete). Aunque no se dibujan líneas, el estado general de la tortuga
cambia.
Un ejemplo de la utilización de estos símbolos, con = 45° se
presenta en la Figura. 12.
Figura 12. Arbol correspondiente a la cadena F[+F][-F[-F]F]F[+F][-F]
La importancia de los conceptos revisados hasta el momento
consiste en que sirven de referencia para desarrollar programas que
imágenes de las plantas modeladas, para verdaderamente representar su
crecimiento. Se puede crear un catalogo de formas como:
ramificaciones, tipos de hojas, tipo de inflorescencias, aspectos de tallos
y de frutos; que se utilicen como una base de datos (objetos), que
permitan seleccionar la mas adecuada a la planta en estudio y así acelerar
el proceso de modelado, con resultados mas cercanos a la realidad. Para
esto se tiene continuar trabajando para que LINSIS pase de ser un simple
interprete, a un compilador que contemple análisis léxicos, sintácticos y
semánticos; además de integrarle todas las rutinas para elaborar gráficos
en tres dimensiones.
LINSIS es una propuesta que vincula áreas como: Matemáticas,
Computación y Biología, por lo que se debe promover la formación de
grupos de trabajo interdisciplinarios, donde todos los participantes se
comuniquen a través de un lenguaje común: los Sistemas Lindenmayer.
Solo así se puede pensar en verdaderamente modelar el crecimiento
vegetal con grandes posibilidades de éxito.
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