Linier Programing Dengan Pendekatan GRAFIK dan …...Asumsi dasar LP Proportionality; Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya atau fasilitas yang tersediaakan berubah secara

Linier Programing dengan

Pendekatan GRAFIK dan

ALOGARITMA SIMPLEKSE. G. Talakua, S.Pi, M.Si

Linier Programing (LP)

Setiap organisasi/usaha bisnis berusaha mencapai

tujuan yang telah ditetapkan sesuai dengan

keterbatasan sumber daya.

Teknik PENGAMBILAN KEPUTUSAN dalam permasalahan

yang berhubungan dengan pengALOKASIan SUMBER

DAYA secara OPTIMAL.

Prinsip EFISIENSI dalam ekonomi:

Menghasilkan output sebesar-besarnya dengan

sejumlah biaya tertentu = MAKSIMASI.

Menghasilkan output pada level tertentu dengan biaya

yang serendah-rendahna = MINIMASI.

Keduanya menganut prinsip OPTIMALISASI, yakni:

✓ Ada TUJUAN yang ingin dicapai.

✓ Ada KENDALA yang membatasi pencapaian tujuan.

BENTUK UMUM MODEL LP

MAKSIMISASI:

Max Z = Cj Xj

dengan kendala:

aijXj ≤ bi

Xj ≤ 0

Minimisasi:

Min W = bjYj

dengan kendala:

aij Yj ci

Yj 0

Asumsi dasar LP

Proportionality; Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya

atau fasilitas yang tersediaakan berubah secara proporsional

terhadap perubahan tingkat kegiatan.

Linearity; Fungsi Tujuan maupun Fungsi Kendala bersifat linear, dan

kegiatan yang satu dengan lainnya tidak saling mempengaruhi.

Divisibility; keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan

dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z

yang dihasilkan

Homogeneity; Produk yang dihasilkan identik dan penggunaan

masing-masing sumber daya menghasilkan produktivitas yang

sama.

PENYELESAIAN LP SECARA GRAFIK Hanya dapat dilakukan untuk model dengan 2 decision variables.

Menggunakan bidang 2 dimensi untuk menggambarkan grafik fungsi kendala

dan Fungsi Tujuan(FT).

Gambarkan grafik semua fungsi kendala dan tentukan daerah yang memenuhi

semua batasan kendala (daerah kelayakan = feasible region)

Tandai dan namakan setiap titik sudut (extreem points) daerah kelayakan

tersebut.

Gambarkan grafik FT (Isoprofit) dengan slope yang diketahui pada sembarang

nilai.

Geser grafik FT secara paralel hingga menyentuh titik terluar yang

memaksimumkan daerah kelayakan (maksimisasi) atau meminimumkan daerah

kelayakan (minimisasi).

Titik terluar yang dilalui FT merupakan Titik Optimal yang memberikan solusi

optimal terhadap persoalan LP.

Cara lain untuk menentukan titik optimal adalah dengan menghitung nilai FT

pada setiap titik sudut daerah kelayakan.

Nilai FT yang terbesar pada suatu titik (maksimisasi) atau terkecil (minimisasi)

menunjukkan titik tersebut merupakan titik optimal yang memberikan solusi

optimal (Alamsyh, 2015).

CONTOH:

Maksiumkan

laba/keuntungan

(Z) = 8M + 6K

(satuan dalam Rp

000), dengan

kendala:

4M + 2K ≤ 60

2M + 4K ≤ 48

M, K 0

PENYELESAIAN:

Jika M = 0, maka K

= 60/2 = 30

(maka dibuat titik

K = 30)

Jika M = 0, maka K = 48/4 = 12

(maka dibuat titik K = 12)

Jika K = 0, maka M = 60/4 = 15

(maka dibuat titik M = 15)Jika K = 0, maka M = 48/2 = 24

(maka dibuat titik M = 24)

K

M

Keuntungan yang diperoleh adalah Z = 8(12) + 6(6) = 132 atau Rp 132.000,-.

Cara menentukan titik optimal jika tidak menggunakan skala

dalam menggambar grafik:

Terlihat pada grafik titik potong terluar adalah pada titik B

perpotongan persamaan awal kendala adalah 4M + 2K = 60

dan 2M + 4K = 48. Samakan salah satu variabel M atau K. Kita

samakan variabel K, maka:

8M + 4K = 120

2M + 4K = 48

Kedua persamaan ini kemudian dikurangi menjadi:

6M = 72, maka M = 72/6 = 12.

Jika M = 12, maka masukan di salah satu persamaan awal,

menjadi 4 (12) + 2K = 60, maka: 48 + 2K = 60, maka: 2K = 60-48,

maka: 2K = 12, sehingga K =12/2 = 6. Diperoleh M = 12 dan K = 6.A

B

C

Garis isoprofit,

diperoleh dengan

patokan M = 6

dan K = 8

Lanjutan penyelesaian:

JIKA DIGAMBAR DENGAN SKALA MAKA TERDAPAT 3 TITIK DALAM

DAERAH KELAYAKAN, yakni:

TITIK A: dimana K = 12 dan M = 0, maka keuntungan yang diperoleh

adalah Z = 8(0) + 6(12) = 72 atau Rp 72.000,-.

TITIK B: dimana K = 6 dan M = 12, maka keuntungan yang diperoleh

adalah Z = 8(12) + 6(6) = 132 atau Rp 132.000,-.

TITIK C: dimana K = 0 dan M = 15, maka keuntungan yang diperoleh

adalah Z = 8(15) + 6(0) = 120 atau Rp 120.000,-.

Maka Titik dengan keuntungan atau laba yang terbesar adalah Titik

B yakni K = 6 dan M = 12

CONTOH:

MINIMUMKAN

Biaya (W) = 20M +

8K (satuan dalam

Rp 000), dengan

kendala:

4M + 2K ≤ 60

2M + 4K ≤ 48

M 2

K 4

PENYELESAIAN:

Jika M = 0, maka K

= 60/2 = 30

(maka dibuat titik

K = 30)

Jika M = 0, maka K = 48/4 = 12

(maka dibuat titik K = 12)

Jika K = 0, maka M = 60/4 = 15

(maka dibuat titik M = 15)Jika K = 0, maka M = 48/2 = 24

(maka dibuat titik M = 24)

K

M

Titik K = 4

Titik M = 2

A

B

D C

Garis isoprofit,

diperoleh dengan

patokan M = 8

dan K = 20

Lanjutan penyelesaian:JIKA DIGAMBAR DENGAN SKALA MAKA TERDAPAT 4 TITIK DALAM DAERAH KELAYAKAN,

yakni:

TITIK A, perpotongan garis kendala 2M + 4K = 48 dan M = 2, sehingga: jika M = 2 maka,

K = (48-4)/4 = 11. Maka titik A merupakan titik potong (2,11) atau M= 2 dan K = 11.

Keuntungan yang diperoleh pada titik ini adalah Z = 20(2) + 8(11) = 128 atau Rp

128.000,-.

TITIK B, perpotongan garis kendala 2M + 4K = 48 dan 4M + 2K = 60 (persaman awal),

sehingga: Kita samakan variabel K, maka:

8M + 4K = 120

2M + 4K = 48

Kedua persamaan ini kemudian dikurangi menjadi: 6M = 72, maka M = 72/6 = 12. Jika

M = 12, maka masukan di salah satu persamaan awal, menjadi 4 (12) + 2K = 60, maka:

48 + 2K = 60, maka: 2K = 60-48, maka: 2K = 12, sehingga K =12/2 = 6. Diperoleh M = 12

dan K = 6. Keuntungan yang diperoleh pada titik ini adalah Z = 20(12) + 8(6) = 288 atau

Rp 288.000,-.

Lanjutan penyelesaian:

JIKA DIGAMBAR DENGAN SKALA MAKA TERDAPAT 4 TITIK DALAM DAERAH KELAYAKAN,

yakni:

TITIK C, perpotongan garis kendala 4M + 2K = 60 dan K = 4, sehingga: jika K = 4 maka,

M = (60-8)/4 = 13. Maka titik C merupakan titik potong (13,4) atau M = 13 dan K = 4.

Keuntungan yang diperoleh pada titik ini adalah Z = 20(13) + 8(4) = 292 atau Rp

292.000,-.

TITIK D, perpotongan garis kendala M = 2 dan K = 4, maka titik D merupakan titik

potong (2,4) atau M = 2 dan K = 4. Keuntungan yang diperoleh pada titik ini adalah Z

= 20(2) + 8(4) = 72 atau Rp 72.000,-.

Maka Titik dengan biaya terendah adalah pada Titik D yakni M = 2 dan K = 4, dengan

biaya hanya Rp 72.000,-.

SOAL LATIHAN:

MAKSIMUMKAN KEUNTUNGAN

Z = 3E + 2L (satuan dalam Rp 000),

dengan kendala:

E + 2L ≤ 6

2E + L ≤ 8

Dengan:

E, L 0

Tugas Minggu Depan Kumpul...

(DIMINTA 1 ORANG YANG AKAN TERANGKAN DI DEPAN KELAS)

Adalah sauatu metode yang secara matematis dimulai

dari suatu pemecahan dasar yang feasibel atau layak

(basic feasible solution) kepemecahan dasar feasibel

lainnya dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasar

yang optimum.

PENYELESAIAN LP DENGAN METODE

SIMPLEKS

CONTOH:

Maksiumkan

laba/keuntungan

(Z) = 8M + 6K

(satuan dalam Rp

000), dengan

kendala:

4M + 2K ≤ 60

2M + 4K ≤ 48

M, K 0

LANGKAH 1: ubah model LP kedalam bentuk kanobik-

nya (semua fungsi kendala berupa persamaan)

dengan cara menambahkan slack variabel.

Dimana:

- setiap fungsi kendala mempunyai slack variabel.

- Jumlah slack variabel = jumlah fungsi kendala

- Nilai sebelah kanan semua kendala tidak boleh

negatif.

Maka:

4M + 2K + S1 = 60 atau S1 = 60 – 4M – 2K

2M + 4K + S2 = 48 atau S2 = 48 – 2M – 4K

Sehingga soal disamping menjadi:

Laba = 8M + 6K + 0S1 + 0S2

Dengan kendala:

4M + 2K + S1 + 0S2 = 60

2M + 4K + 0S1+ S2 = 48

M, K 0

CONTOH:

LANGKAH 2: membuat tabel simpleks AWAL.

BV CV M K S1 S2 RASIO

S1 60 4 2 1 0 60/4 = 15

S2 48 2 4 0 1 48/2 = 24

Zj 0 -8 -6 0 0

LANGKAH 3: penentuan baris dan kolom kunci serta nomor kunci sebagai dasar iterasi.o Kolom kunci ditentukan oleh nilai baris z NEGATIF TERBESAR.o Hitung rasio antara CV dan nilai pada kolom kunci.o Baris kunci ditentukan dari rasio CV dan nilai kolom kunci yang TERKECIL.o Kemudian diperoleh NOMOR KUNCI, angka perpotongan kolom kunci dan baris

kunci.

KOLOM KUNCI,

karena -8

merupakan

negatif terbesar

BARIS KUNCI,

karena 15

merupakan ratio

terkecil

NOMOR KUNCI,

karena 4 merupakan

angka pada

perpotongan kolom

kunci dan baris kunci


S1 60 4 2 1 0 60/4 = 15

S2 48 2 4 0 1 48/2 = 24

Zj 0 -8 -6 0 0

CONTOH:

LANGKAH 4: ITERASI, dengan metode perhitungan Gauss-Jordan.


S1 60 4 2 1 0 60/4 = 15

S2 48 2 4 0 1 48/2 = 24

Zj 0 -8 -6 0 0

➢ Persamaan pivot (S1 atau baris 1): dengan bagikan semua nilai/angka pada baris 1

dengan NOMOR KUNCI atau angka 4. Sehingga diperoleh:

KOLOM KUNCI,

karena -8

merupakan

negatif terbesar

BARIS KUNCI,

karena 15

merupakan ratio

terkecil

NOMOR KUNCI,

karena 4 merupakan

angka pada

perpotongan kolom



M 60/4 = 15 4/4 = 1 2/4 = 0,5 1/4 = 0,25 0/4 = 0

CONTOH:


➢ Persamaan pivot (S2 atau baris 2): dengan rumus [Persamaan Lama – (Persamaan

pivot baru baris 1 x koefisien/angka/nilai pada kolom kunci)]


M 15 1 0,5 0,25 0Persamaan pivot

baru dari baris 1

➢ Menjadi:


S2 48 2 4 0 1

M 15 1 0,5 0,25 0

S2 48 –

(15x2) =

18

2 – (1x2)

= 0

4 –

(0,5x2) =

3

0 –

(0,25x2)

= -0,5

1 –(0x2)

= 0

Persamaan pivot

baru dari baris 1

Persamaan Lama

Persamaan BARU

Koefisien/angka/nilai

pada kolom kunci S2

adalah 2

CONTOH:


➢ Persamaan pivot (Zj atau fungsu tujuan): dengan rumus [Persamaan Lama –

(Persamaan pivot baru baris 1 x koefisien/angka/nilai pada kolom kunci)]


M 15 1 0,5 0,25 0Persamaan pivot

baru dari baris 1

➢ Menjadi:


Zj 0 -8 -6 0 0

M 15 1 0,5 0,25 0

ZJ 0 – (15x-

8) = 120

-8 – (1x-

8) = 0

-6 –

(0,5x-8)

= -2

0 –

(0,25x-8)

= 2

0 –(0x-8)

= 0

Persamaan pivot

baru dari baris 1

Persamaan Lama

Persamaan BARU


pada kolom kunci ZJ

adalah -8


M 15 1 0,5 0,25 0

S2 18 0 3 -0,5 1

Zj 120 0 -2 2 0

CONTOH:


➢ Hasil ITERASI Menjadi:

Kriteria Solusi Optimal Adalah Semua Nilai Pada Baris Zj TIDAK ADA

YANG NEGATIF.

Pada hasil iterasi di atas, masih ada nilai pada baris Zj yang bernilai

negatif yaitu variabel K dengan nilai -2.

Oleh karena itu belum optimal dan perlu dilakukan iterasi kembali,

sesuai langkah 2 hingga langkah 4 kembali.

CONTOH:

LANGKAH 2: membuat tabel simpleks AWAL.


M 15 1 0,5 0,25 0 15/0,5 =

30

S2 18 0 3 -0,5 1 18/3 = 6

Zj 120 0 -2 2 0

LANGKAH 3: penentuan baris dan kolom kunci serta nomor kunci sebagai dasar iterasi.o Kolom kunci ditentukan oleh nilai baris z NEGATIF TERBESAR.o Hitung rasio antara CV dan nilai pada kolom kunci.o Baris kunci ditentukan dari rasio CV dan nilai kolom kunci yang TERKECIL.o Kemudian diperoleh NOMOR KUNCI, angka perpotongan kolom kunci dan baris

kunci.

KOLOM KUNCI,

karena -2

merupakan

negatif terbesar

BARIS KUNCI,

karena 6

merupakan ratio

terkecil

NOMOR KUNCI,

karena 3 merupakan

angka pada

perpotongan kolom



M 15 1 0,5 0,25 0 15/0,5 =

30

S2 18 0 3 -0,5 1 18/3 = 6

Zj 120 0 -2 2 0

CONTOH:



M 15 1 0,5 0,25 0 15/0,5 =

30

S2 18 0 3 -0,5 1 18/3 = 6

Zj 120 0 -2 2 0

➢ Persamaan pivot (S2 atau baris 2): dengan bagikan semua nilai/angka pada baris 1

dengan NOMOR KUNCI atau angka 3. Sehingga diperoleh:

KOLOM KUNCI,

karena -2

merupakan

negatif terbesar

BARIS KUNCI,

karena 6

merupakan ratio

terkecil

NOMOR KUNCI,

karena 3 merupakan

angka pada

perpotongan kolom



K 18/3 = 6 0/3 = 0 3/3 = 1 -0,5/3 =

-0,167

1/3 = 0,33

CONTOH:


➢ Persamaan pivot (M): dengan rumus [Persamaan Lama – (Persamaan pivot baru

baris 1 x koefisien/angka/nilai pada kolom kunci)]


K 6 0 1 -0,167 0,33Persamaan pivot

baru dari baris 2

➢ Menjadi:


M 15 1 0,5 0,25 0

K 6 0 1 -0,167 0,33

M 15 –

(6x0,5) =

12

1 –

(0x0,5) =

1

0,5 –

(1x0,5) =

0,25

0,25 –

(-0,167 x

0,5) = 0,33

0 –

(0,33x0,5)

= -0,167

Persamaan pivot

baru dari baris 2

Persamaan Lama

Persamaan BARU


pada kolom kunci S2

adalah 0,5

CONTOH:


➢ Persamaan pivot (Zj atau fungsu tujuan): dengan rumus [Persamaan Lama –

(Persamaan pivot baru baris 1 x koefisien/angka/nilai pada kolom kunci)]


K 6 0 1 -0,167 0,33Persamaan pivot

baru dari baris 2

➢ Menjadi:


Zj 120 0 -2 2 0

K 6 0 1 -0,167 0,33

ZJ 120 –

(6x-2) =

132

0 – (0x-2)

= 0

-2 – (1x-

2) = 0

2 –

(-0,167 x-

2) = 1,67

0 –

(0,33x-2)

= 0,67

Persamaan pivot

baru dari baris 2

Persamaan Lama

Persamaan BARU


pada kolom kunci ZJ

adalah -2


M 12 1 0 0,33 -0,167

K 6 0 1 -0,167 0,33

Zj 132 0 0 1,67 0,67

CONTOH:


➢ Hasil ITERASI 2 Menjadi:

Kriteria Solusi Optimal Adalah Semua Nilai Pada Baris Zj TIDAK ADA

YANG NEGATIF.

Pada hasil iterasi 2 di atas, TIDAK ADA NILAI pada baris Zj yang bernilai

negatif lagi.

Iterasi SELESAI dengan solusi optimal: M = 12, K = 6 dan Z (Laba) sebesar

132 atau Rp 132.000,-.

SOAL LATIHAN SELESAIKAN DENGAN METODE SIMPLEKS:

MAKSIMUMKAN KEUNTUNGAN

Z = 3E + 2L (satuan dalam Rp 000),

dengan kendala:

E + 2L ≤ 6

2E + L ≤ 8

Dengan:

E, L 0

Tugas Minggu Depan Kumpul...

(DIMINTA 1 ORANG YANG AKAN TERANGKAN DI DEPAN KELAS)

Terima Kasih

Pustaka:

Alamsyh, Z. 2015. Riset Operasi. https://zalamsyah.files.wordpress.com/2015/12/riset-

operasi-pengantar2.pdf. Program Studi Magister Agribisnis Universitas Jambi.

Diakses tanggal 12 Mei 2019.

https://zalamsyah.files.wordpress.com/2015/12/riset-operasi-pengantar2.pdf

https://zalamsyah.files.wordpress.com/2015/12/riset-operasi-pengantar2.pdf

Linier Programing Dengan Pendekatan GRAFIK dan …...Asumsi dasar LP Proportionality; Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya atau fasilitas yang tersediaakan berubah secara

Documents