-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 1Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Língua Portuguesa
Regência nominal e verbal e crase PVE18_7_POR_A_25
Construção e recepção de textos: leitura I PVE18_7_POR_A_26
Construção e recepção de textos: leitura II PVE18_7_POR_A_27
Praticando
1. a) O trecho do texto com regência semelhante é “a quem
per-
tenciam”.
b) Em ambos os casos, os verbos “assistir” e “pertencer” são
transi-tivos indiretos e exigem a mesma preposição: “a”.
2. D “À vontade” é uma locução adverbial de modo. Neste caso, a
pre-posição virá craseada, por anteceder a palavra feminina
“vontade”.
3. BAo contrário do que se afirma em II, o uso do acento grave
indicativo de crase, fusão da preposição “a” e do artigo definido
“a”, é obrigató-rio na indicação de horas e, de maneira geral, nas
locuções adverbiais
Praticando
1. a) Temática.
b) Texto 1: influenciar o comportamento do leitor para que não
fume e adote atitudes mais saudáveis.Texto 2: informar o leitor
sobre dados da OMS acerca do tabagismo.
c) Texto 1: anúncio publicitário institucional.Texto 2:
notícia.
Praticando
1. A
2. A
3. C
femininas. Por pressupor a existência de artigo, a crase não
acontece antes de verbos, no entanto pode acontecer com os pronomes
rela-tivos “a qual” e sua flexão ”as quais” quando a regência dos
verbos exigir a preposição “a”, o que restringe a validade da
afirmativa III. Como II e IV são incorretas e, na ausência de uma
opção que con-siderasse correta apenas a I, a resposta mais
adequada é a letra B.
4. Resposta: 23 (01 + 02 + 04 + 16).A crase deve ser empregada
para sinalizar a fusão de duas vogais “a” em uma só, quando está
empregada uma preposição “a” antes de uma vogal “a”. Em “Àqueles
que acreditam em propaganda devem ser advertidos”, o emprego da
crase está incorreto, pois sendo “aqueles” parte do sujeito, não
recebe preposição. Assim, a afirmação 08 é a única incorreta.
d) Texto 1: tipologia injuntiva.Texto 2: tipologia
expositiva.
2. AA ideia central do anúncio publicitário é a de que o consumo
consciente pode resultar em economia de água, a qual é gasta na
fabricação/produção de vários produtos.
3. ANesse poema, causa estranhamento ao leitor o emprego da
tipologia injuntiva, característica de gêneros como a receita
culinária.
4. BPara a resolução da questão, é preciso inicialmente observar
o elemento coesivo “isto”, que faz a retomada de uma informação
anterior: “beijava-lhe a mão”. Feita esta retomada é preciso
entender a relação que a conjunção “porque” estabelece entre
“beijar a mão” e “era praxe”. A relação é causal: a causa de se
beijar a mão é que essa era uma ação de praxe, rotineira.
Construção e recepção de textos: leitura III
PVE18_7_POR_A_28
Praticando
1. CNo texto apresentam-se a norma culta e a coloquial. A
intenção do anúncio publicitário em apresentar essas duas
variedades é, em relação à norma culta, manter a formalidade por se
tratar de uma empresa e inserir os dados referentes a esta na norma
de maior prestígio. Ao mesmo tempo, no contexto das festividades
juninas, busca apresentar a variedade regional nordestina.
2. CApesar de ambos os textos possuírem em comum a referência à
palavra notícia, divergem em variados aspectos. Como afirma a
al-ternativa C, o texto 1 é tipicamente jornalístico e possui
marcas desse gênero; o texto 2, por sua vez, é poético e
tipicamente subjetivo, características que os tornam totalmente
divergentes.
3. ENão há no texto nenhuma referência aos estilos musicais funk
e axé, portanto não há identificação do interlocutor quanto a esse
aspecto, o que torna a alternativa E incorreta.
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |2 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Redação
Temas para dissertação PVE18_7_RED_B_25
Dissertação prática VII PVE18_7_RED_B_26
Praticando
1. O aluno introduz o tema proposto abordando o funcionamento da
Lei Seca e os benefícios de sua implantação, como vemos no trecho:
“A Lei Seca foi implantada no Brasil no ano de 2008, com a
finalidade de reduzir o número de acidentes de trânsito, tendo em
vista que 30% destes são causados por condutores alcoolizados”.
Expõe tam-bém que nem todos aderiram de imediato a um comportamento
mais seguro, em face da atitude de dirigir sob efeito de álcool, e
que é necessário investir mais na divulgação da Lei.
2. O tema é desenvolvido mediante argumentação consistente,
fundamentada em repertório sociocultural produtivo, e apresenta
excelente domínio do texto dissertativo-argumentativo, por meio do
acesso a outras áreas do conhecimento, com progressão fluente e
articulada ao projeto do texto. Em defesa de um ponto de vista, o
tex-to apresenta informações estatísticas, fatos e opiniões
relacionados ao tema proposto, de forma consistente e organizada,
configurando autoria e independência de pensamento, como vemos nos
trechos:
Praticando
1. Em um primeiro momento, os textos motivadores possuem a
finalidade de apresentar ideias que possam estimular a reflexão
sobre o tema. Após essa etapa, é possível para o aluno despertar
seus conhecimentos sobre o tema ao longo dos ambientes escolar,
familiar, religioso, sociocultural, político etc.
2. No primeiro texto são cedidas informações estatísticas, dados
de Lei e discurso de autoridade sobre a implantação da Lei seca no
país: “De acordo com a Associação Brasileira de Medicina de Tráfego
(Abramet), a utilização de bebidas alcoólicas é responsável por 30%
dos acidentes de trânsito. E metade das mortes, segundo o
Minis-tério da Saúde, está relacionada ao uso do álcool por
motoristas. Diante deste cenário preocupante, a Lei 11.705/2008
surgiu com uma enorme missão: alertar a sociedade para os perigos
do álcool associado à direção.”O segundo texto é um infográfico com
dados estatísticos sobre o atendimento hospitalar para casos de
acidente de trânsito; sobre o índice de aprovação dos bafômetros;
sobre o percentual de aciden-tes; e sobre a média nacional de
redução das vítimas fatais.O terceiro texto é publicitário em uma
parceria da polícia rodoviária federal com o Ministério da Justiça
e cede o número de emergência para casos desse tipo.O quarto texto,
por sua vez, traz informações sobre um experimento físico feito em
Belo Horizonte por uma agência de comunicação, o qual causou
repulsão magnética ao ato de beber e dirigir com o auxílio de
copos, ímãs e bases de metal.
3. O tema proposto para o Enem 2013 foi pautado por um problema
social presente no cotidiano dos indivíduos e da sociedade
brasileira, em que se mesclam aspectos de saúde pública, educação,
seguran-ça e direitos e deveres individuais e coletivos: consumo de
bebida
“A Lei Seca foi implantada no Brasil no ano de 2008”, “tendo em
vista que 30% destes são causados por condutores alcoolizados”, “no
período inicial de implantação da lei, a população se surpreendeu
com a quantidade e seriedade das fiscalizações”, “com a percepção
de que seus atos teriam sérias consequências, veio uma notável
mudança de postura da população”.
3. A proposta de intervenção apresentada no texto é detalhada e
abrangente, está relacionada ao tema e articulada à discussão
desenvolvida no texto. Trata-se de redação cuja proposta de
in-tervenção é muito bem elaborada, pois sugere aulas e palestras
para conscientização precoce, melhorias no sistema de transportes
públicos, incentivos fiscais aos taxistas e aumento da
fiscalização.
4. Resposta pessoal.
5. Não respeita, pois não apresenta uma proposta de intervenção
para o problema abordado.
6. Resposta pessoal. Espera-se que o aluno faça o exercício
levando em consideração todos os aspectos que a competência 5
aborda.
alcoólica e direção de veículos. A abordagem proposta concernia
à discussão sobre efeitos da implantação da Lei Seca no Brasil. A
partir disso, o participante precisaria considerar fatos,
estatísticas, discussões e leis relacionados às consequências da
implantação desde 2008, ano em que a lei entrou em vigor. Não se
trata de uma discussão acerca de opiniões sobre a lei,
dicotomizadas entre a favor ou contra, mas da possibilidade de
considerar a ampla gama de aspectos envolvidos na questão. A
pergunta que o tema propõe é: a implantação da Lei Seca está
surtindo efeitos satisfatórios? Se ainda não está, o que se pode
fazer?
4. É preciso que o aluno perceba a importância desses textos
para o desenvolvimento do tema e a seleção criteriosa destes para
compor a proposta, uma vez que funcionam como um ponto de partida
para a ativação do conhecimento que o aluno já possui sobre o tema
e, portanto, isso justifica a escolha não aleatória dos textos. Em
suma, não é apenas por responder ao tema que os textos são
selecionados, há uma escolha direcionada para os objetivos que a
banca pretende alcançar, uma vez que o tema em si não é suficiente
para o levantamento de dados e conhecimentos sobre o assunto.
5. D
6. Resposta pessoal. É preciso que o aluno perceba a importância
da intertextualidade na produção textual. Ela implica a retomada de
muitos outros assuntos e depende do olhar do leitor para que se
criem e recriem significações. A intertextualidade se dá tanto na
produção como na recepção dos textos, pois escrita e leitura são
faces da mesma moeda. O leitor também participa dessa ampla rede
dialógica ao trazer para o texto que está lendo sua bagagem de
lei-turas de outros textos, de variadas linguagens e diferentes
gêneros.
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 3Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Redação no Enem PVE18_7_RED_B_27
Redação nos vestibulares PVE18_7_RED_B_28
Praticando
1. A competência 1 exige domínio da modalidade escrita formal da
Língua Portuguesa e que assim o candidato entenda a necessidade de
se apropriar dessa modalidade para a produção do seu texto. Com
relação à redação, o participante demonstra que tem excelente
domínio da modalidade escrita formal da Língua Portuguesa e de
escolha de registro. Não há erros gramaticais ou de convenções da
escrita.
2. A competência 2 exige compreender a proposta de redação e
apli-car conceitos das várias áreas de conhecimento para
desenvolver o tema, dentro dos limites estruturais do texto
dissertativo-argu-mentativo em prosa ou seja, é necessário não
tangenciar ou fugir do tema e da proposta de gênero exigida, no
caso, texto disserta-tivo-argumentativo.Na produção escrita o
participante desenvolve o tema proposto no enunciado da prova por
meio de argumentação consistente, baseada em repertório
sociocultural produtivo, já que cita Simone de Beauvoir, bem como
se refere às raízes históricas e ideológicas do machismo na
sociedade brasileira.Apresenta também excelente domínio do texto
dissertativo-ar-gumentativo, com introdução, desenvolvimento e
conclusão. Em seu texto, o tema é desenvolvido de modo consistente
e autoral, mediante acesso a outras áreas do conhecimento, com
progressão fluente, articulada ao ponto de vista
defendido.Desenvolve a tese de que é necessário um combate efetivo
à natu-ralização da violência contra a mulher, suscitada pela
dominância do patriarcalismo e difundida, principalmente, pelo
controle da mídia.
3. A competência 3 exige coerência para selecionar, relacionar,
orga-nizar e interpretar informações, fatos, opiniões e argumentos
em defesa de um ponto de vista que justifiquem a posição assumida
em relação à temática da proposta de redação.A redação do aluno
apresenta encadeamento entre as ideias e de-monstra a competência
da participante em selecionar, relacionar, organizar e interpretar
informações, fatos e argumentos em defesa de um ponto de vista: o
tema é desenvolvido de forma coerente, os argumentos selecionados
são consistentes, e a conclusão é relacio-nada ao ponto de vista
adotado.
Praticando
1. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
2. BO autor analisa o contexto atual do turismo mercadológico
nas comunidades do Rio de Janeiro e adverte para a
descaracterização a que elas estão sujeitas pela necessidade de se
adequarem às exi-gências de turistas, comerciantes e empresários:
“Se os moradores não se organizarem e se não assumirem o
protagonismo das ações de turismo e de entretenimento no Santa
Marta, vamos assistir aos nativos – os de dentro – servindo de
testa de ferro para empreendi-mentos e iniciativas dos de fora, às
custas de uma identidade local que aos poucos vai perdendo suas
características”.
4. A competência 4 exige conhecimento dos mecanismos
linguísticos necessários para a construção da argumentação, como:
parágrafos que estabeleçam entre si uma relação que garanta a
sequenciação coerente do texto e a interdependência das ideias.
Esse encadea-mento pode ser expresso por conjunções, preposições,
advérbios e locuções adverbiais responsáveis pela coesão do texto.
Os parágrafos também devem ser compostos de um ou mais períodos
também articulados para estabelecer relação com as ideias
anteriores.Na redação do aluno há uma organização em quatro
parágrafos bem construídos e bem articulados entre si. Há também um
arranjo de ideias e argumentos, com as partes do texto e uma
apresentação, da mesma forma, sem inadequações, com repertório
diversificado de recursos coesivos, tais como: “por essa causa”,
“Além da”, “dentre esses”, “Nesse âmbito” (1° parágrafo); “Isso se
dá porque”, “Dessa forma”, “Consequentemente” (2° parágrafo); “Além
disso”, “Dessa maneira”, “Por conseguinte” (3° parágrafo);
“portanto”, “Para que essa”, “Ademais”, “assim” (4° parágrafo).
5. A competência 5 exige a elaboração de uma proposta de
interven-ção para o problema abordado, respeitando os direitos
humanos, de forma detalhada.O texto do participante, por meio de
excelente proposta de inter-venção que respeita os direitos
humanos, assevera ser necessária uma mudança de atitude da mídia, a
fim de que a capacidade de propagação de informação dos meios
midiáticos deixe de ser utilizada para promover a objetificação da
mulher e passe a ser utilizada para difundir campanhas
governamentais que veiculem a importância de denunciar as agressões
sofridas pelo sexo feminino.Ademais, é preciso que o Poder
Legislativo elabore lei que intensifi-que a punição aos agressores
para que a reincidência seja reduzida.Trata-se de redação cuja
proposta de intervenção é suscitada pela discussão desenvolvida no
texto e se relaciona ao tema, além de ser bem elaborada, abrangente
e bem detalhada.
6. Ele teria infringido a competência 2 pelo não atendimento à
estrutura dissertativo-argumentativa e a competência 4 por não
demonstrar conhecimento de recursos coesivos para a construção da
argumentação.
3. EA conclusão do autor é contrária à redução da maioridade
penal, conforme indica a leitura do último parágrafo (“Em vez de
sugerir redução dos seus direitos”), uma vez que se trata de um
grupo frágil, que merece cuidado para se desenvolver (“faz-se
necessário pensar e criar alternativas para as necessidades
específicas desse grupo”). O posicionamento do autor fica claro em
“Reivindicar o direito de puni-los como adultos é ceifar direitos e
oportunidades e diminuir o tempo da fase mais importante da
formação humana.”.
4. Resposta: 3, 4, 1, 2.
5. EAo término da introdução, o autor afirma “Tais novas
condições tanto se dão no plano empírico quanto no plano teórico.”.
Essas são as duas dimensões teórico-conceituais utilizadas como
argumentos para sustentar a tese.
6. DO autor critica o posicionamento da indústria farmacêutica e
a aponta como uma entidade que se aproveita da fragilidade do ser
humano atual, que necessita de compensações imediatas.
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |4 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Língua Inglesa
Matemática A
Keep up with the good work PVE18_7_ING_28
1. E, C, C. A resposta para o item IV é a letra C.
2. A
3. D
We’ll have received our prize PVE18_7_ING_27
1. a) will have been working
b) will you have been waiting
c) won’t have been eating
d) will she have been looking for
e) Will she have been waiting
2. D
3. a) In two years, Meg will have graduated.
b) Next year, we will have been living in this house for two
decades.
c) This time next week we will have been sailing in the Pacific
for a month.
d) How long will Jane have been studying Spanish when she leaves
school?
He told me I looked great PVE18_7_ING_26
1. D
2. C
3. A
This is the book that he bought PVE18_7_ING_25
1. D
2. D
3. C
Polinômios II PVE18_7_MAT_A_25
Praticando
1. a)
Pelo teorema do resto, P(1) = 0. Substituindo:
P kP
k k k( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 11 0
1 2 1 0 2 0 25 4= − ⋅ − +
=
⇒ − − + = ⇒ − + = ⇒ =
b) Pelo teorema do resto, P(– 1) = 3. Logo,
P kP
k k k
( ) ( ) ( ) ( )( )− = − + ⋅ − − − +− =
⇒
⇒− + + + = ⇒ + = ⇒ =
1 1 2 1 3 11 3
1 2 3 3 4 3
3 2
33 4 1− = −
2. I) B
Note que 1 é raiz de P(x). Dessa forma, P(x) é divisível por x –
1. Veja também que (x – 1)(4x³ + 1) = 4x4 + x – 4x³ – 1 = P(x).
Logo, a alternativa correta é a letra B.
II) EA alternativa correta é a letra E. De fato,
P x x
x( ) +
−
2 1
1 2
Dessa forma,
P x x x x x x( ) = +( ) −( )+ = − + −2 3 21 2 1 2 1
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 5Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
3. ADeterminando o polinômio q(x) =
p xr x
( )( )+
–2 1 3 –2 –2 12
1 1 –4 6 0
x
Portanto, q(x) = x3 + x2 – 4x + 6 e a soma de suas raízes será
dada por
S = − = −11
1.
Desenvolvendo habilidades
1. DPelo Teorema de d’Alembert, observa-se que se um polinômio
qualquer Q(x) é divisível por x – a e conclui-se que o resto da
divisão será igual a zero (R = 0) se P(a) = 0.Logo, se x = 3 é um
zero de f, a função polinomial f é divisível por x – 3.
2. AO resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 3. Dessa
forma, m e n devem ser números pares, pois:
p(–1) = 3 ⇒ p(–1) = (–1)n + (–1)m + 1 = 3 ⇒ −( ) =−( ) =
1 1
1 1
n
m
3. EDo enunciado,
• P(x) é divisível por (x – 2). Portanto P(2) = 0; • o resto da
divisão de P(x) por (x + 3) é –45, assim P(–3) = –45.
Obtemos, então:0 2 2 2
45 3 2 3
3
3
= � + � +
− = � −( ) + � −( ) +���
��
a b
a b
���a = 1; b = –12
4. APelas informações apresentadas,
P x x x ax b P a ba b a
( ) ( )= − + + ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⋅ + == − + + ⇒ = +
4 2 4 28 2 0 2 8 2 2 00 16 32 2 16 2 bbP a b a b
a ba b
a b a b a b
( )1 9 1 8 9 16
16 216
2 0
= ⇒ − + + = ⇒ + =
⇒= += +
⇒ + = + ⇒ = ⇒ =116
4 645⇒ − = −a b
5. BAplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
2 –7 3 8 –4
2 2 –3 –3 2 0
2 2 1 –1 0
Assim, 2 1 1 012
1
2 1
2
x x raizesx
x+ − = ⇒
=
= −
raízes 2 1 1 0
12
1
2 1
2
x x raizesx
x+ − = ⇒
=
= −
cuja soma vale –0,5.
6. DTemos como raízes r, –r e x0. Pela relação de soma, sabemos
que
r r x
x
p a
a
+ −( )+ = −= −
− = −( ) + −( ) + ⋅ −( )− ==
0
0
3 2
1
1
1 1 1 1 3 0
3
( )
Portanto, p x x x x( )= + − −3 2 3 3 para todo x real. Em
particular, se x = 1, conclui-se que p( )1 1 1 3 1 3 43 2= + − ⋅ −
= − .
7. DConsiderando que 232 = x, podemos resolver o problema por
meio de uma divisão de polinômios: (x2 + 1) por (x + 1).O resto R
da divisão de x2 + 1 por (x + 1) é o valor numérico de x2 + 1 para
x = –1 (Teorema do Resto), ou seja, R = (–1)2 + 1 = 2.
8. CEfetuando a divisão:
6 2 8 10 2 3 2
6 18 12 6 20 64
20 4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x
x x
− − + − + −
− − + − +
− + +11020 60 40
64 30 2
64 192 128
222 126
3 2
2
2
x
x x x
x x
x x
x
+ −
− −− − +
− +
O dobro do resto será dado por 2 · (–222x + 126) = –444x +
252.
9. BSendo (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1, pelo método
da chave encontramos:
x x x x x xx x x x xx x xx x
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2 3 2 1 13 5
3 2 2 13 3
+ + + + − +− + − + +
+ + +− + −33
5 15 5 54 4
2
2
xx xx xx
− +− + −
−
Portanto, a resposta é 4x – 4 = 4(x – 1).
10. E Como um dos fatores de P(x) é x + 3, x = –3 é uma raiz de
P(x).Assim, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
–3 1
1
2
–1
–5
–2
–6
0
Dessa forma, P(x) = (x + 3) · (x2 – x – 2).Calculando as raízes
de x2 – x – 2 = 0, obtemos x2 = 2 e x3 = –1.
Dessa forma, x2 – x – 2 = (x – 2) · (x – (– 1))x2 – x – 2 = (x –
2) · (x + 1)
Então, P(x) = (x + 3) · (x – 2) · (x + 1).
Complementares
1. AO quociente da divisão equivale a 2x2 + x + 3. Logo, o
produto entre o maior e o menor dos coeficientes equivale a 3.
2. CFazendo a divisão, encontramos como resto (mx + n + 4), que
deve ser igual a zero. Para que a expressão forme um polinômio,
temos mx + n + 4 = 0.Logo, m = 0 e n = –4.
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |6 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
3. DTem-se: x ax b x x x x2 22 1 2+ + = +( ) −( ) = + − . Logo,
conclui-se que a = 1 e b = –2 e, portanto, a – b = 1 – (–2) =
3.
4. BDividindo p por d obtemos:
2x³ + 5x² + x + 17 = + +( )⋅ − −+ − −
+ +2 4 52
5 62
2 722
x nx xn n n
x n
Para que o resto da divisão seja 5, devemos ter
n nn
n nen
n2 5 6 0
2 7 5
1 6
11
− − =+ =
���
���
= − =
= −
�
��
��
� = −;
Portanto, n é um número negativo e maior que −4.
5. EFazendo a divisão, x x ax a x x x a x a3 2 23 4 4 2 3 6 4 8+
− − = − −( )⋅ +( )+ − +( ) + − +( ).
Dessa forma, − + = ⇔ =− + = ⇔ =
3 6 0 24 8 0 2
a aa a
Logo, a = 2.
6. DSe q(x) é o quociente da divisão de p por (x – 2)(x – 4)(x –
5), e x + 3 é o resto. Então, p(x) = q(x)(x – 2)(x – 4)(x – 5) + x
+ 3.Assim, A = p(2) = 2 + 3 = 5B = p(4) = 4 + 3 = 7C = p(5) = 5 + 3
= 8Portanto, ABC = 5 ∙ 7 · 8 = 280.
7. AA divisão do polinômio pelo método da chave resulta em x x x
x x x x x x x5 4 3 2 3 2 20 0 1 3 2 2 6 3+ − + + + = − +( ) +( )+ −
+ −( ) .Logo, r(x) = –x² + 6x – 3 e r(–1) = –(–1)² + 6(–1) – 3 =
–10.
8. AO desenvolvimento do determinante resulta em
A x x x x x x
A x x x x
A x x x x
A x
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
= + − − − += + − −= + − +=
3 2
3 2
2
2 2
2 2
2 1 2
(( )( )x x+ −2 12
A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes comuns
com B(x), já que possui o fator x² – 1.
9. 23 (01 + 02 + 04 + 16)
(01) Correto. P xp qp q
( ) = ⇒ + − =+ =
02 1 0
0
Da segunda, temos p = –q. Substituindo na primeira, temos
2p – p – 1 = 0 e, portanto, p = 1. Se p = 1, substituindo na
segunda, temos q = –1. Logo, p – q = 1 – (–1) = 2.
(02) Correto. x a x a x b x ax a x bx ax ab ax a bx ab+( ) − +(
) −( ) = + + − − + −( ) = + + +2 2 2 2 22x a x a x b x ax a x bx ax
ab ax a bx ab+( ) − +( ) −( ) = + + − − + −( ) = + + +2 2 2 2
22
Por hipótese, ax a bx ab x+ + + = −2 2 3. Logo, a aba b
2 32
+ = −+ =
Da segunda, temos b = 2 – a. Substituindo na primeira,
a a a2 2 3+ −( ) = −
2 332
a a= − ⇒ = −
Logo, b = − −= + =2 3
22
32
72
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 7Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
(04) Correto. 4 3 2 23 2 3 2 2x ax x Q x R x mx mx nx nx+ − = (
)⋅ ( ) = − + −Então, 2 4 2m m= ⇒ =2n m a− =
n= 3Logo, a = 6 – 2 = 4.
Então, a + m + n = 9.
(08) Incorreto. Sejam f e g polinômios de grau 3. Logo, o grau
do polinômio f + g é 3 e não 6. Portanto, a afirmação é falsa.
(16) Correto. As raízes de x2 7 12− + são 3 e 4. Dessa forma, se
Q(x) é divisível por R(x), temos que ter c = 3 e d = 4 ou c = 4 e d
= 3. Dessa forma, c + d = 7.
10. Se a0, a1, ..., an estão em P.G. de razão q, tem-se:
P x a a qx a q x a q x a qx qx qxn nn
( ) ... ...= + + + + = + + ( ) + + ( ) 0 0 02 2
0 021
a)
Pq
a qq
qq
qq
an
11
1 1 11 1 10
2
0
= + ⋅ + ⋅
+ ⋅
= + + 22 01 1+ +( ) = +( )... .n a n
b) P(x) pode ser reescrito como:
P xa qx
qxse x
q
P x a n se xq
n
( ) ,
( ) ( ),
=⋅ ( ) −
−≠
= + =
+0
1
0
1
11
11
Como a P xqx
qx
n
0
1
0 01
1≠ = ⇒ ( ) =
≠
+
, ( )
Se q é um número real, o sistema é satisfeito se, e somente se,
qx = –1 e qx n( ) =+1 1. Portanto, essas equações mostram que n não
pode ser par.
Equações algébricas PVE18_7_MAT_A_26
Praticando
1. 12
é raiz e tem mutliplicidade 5. − 27
é raiz e tem multiplicidade 3.
Como 20 = 1, então 1 é raiz e tem multiplicidade 2.
Por fim, 21 é raiz de multiplicidade 1.
2. Sabemos que i2 = –1. Além disso, pelo Teorema do Conjugado,
observamos que os conjugados dos números complexos 7i, i + 14 e (–6
– i) também são soluções da equação. Dessa forma, notamos que –7i,
–i + 14 e –6 + i também são raízes. Assim, concluímos que o menor
grau do polinômio será 7.
3. B Sejam r, s e t as raízes da equação x x x3 24 6 0+ + − = ,
e considere que r = s + t.Utilizando a relação de soma de
Girard,
r s t
r rr
+ + = −
+ = −= −
41
42
Concluímos, então, que 2 é uma das raízes.Dividindo, agora, x x
x3 24 6+ + − por ( )x +2
–2 –3
–61 14
2 01
x x x x x xx x
x x x ou x
3 2 2
2
4 6 2 2 3 02 0 2
2 3 3
+ + − = + ⋅ + − =+ = ⇒ = −+ − ⇒ = − =
( ) ( )
11
Logo, S = {–3, –2, +1}.
Desenvolvendo habilidades
1. AÉ fácil ver, por inspeção, que x = –1 é raiz de P. Logo,
temos P(x) = (x + 1)(x4 + x2 + 1). Então, como x4 + x2 + 1 = 0 não
possui raízes reais, podemos concluir que a única raiz real de P é
x = –1.Portanto, sendo M o conjunto das raízes reais de P,
concluímos que a resposta é 1.
2. D
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |8 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Como P(x) é divisível por 2x – 3, tem-se que P32
0
= .
Se x = 2i é raiz, então x = –2i também é.Logo,
P( )x x x i x i
x x x xx
= −
−( ) +( ) =
= −
+( ) = + − −
32
2 2
32
4 43
262 3
2
== + − − =
= − + −
2 8 3 6
2 3 8 12
3 2
3 2
x x x
x x x
3. A
xx
x x
x x
x x i
− = ⇔ =
= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
= − ⇒ = ±
44
4 2
2
2
161
16
116
14
14
12
14
12
Em que i é a unidade imaginária dos números complexos.
4. EAplicando Briot-Ruffini:
1 2 –7 –8 12
2 1 4 1 –6
–2 1 2 –3
Logo, p(x) = (x + 2) (x – 2) (x2 + 2x –3).Como –3 e 1 são raízes
de x2 + 2x –3, verificamos que as raízes de p(x) são –3, –2, 1 e
2.
5. BConsiderando que a equação não possui raízes complexas e que
suas três raízes são iguais a 1, podemos escrever que:(x – 1) · (x2
+ p · x + q) =(x – 1) · (x2 – 2x + 1), para todo x ∈ .Ou seja, p =
–2 ou q = 1.Logo, a alternativa correta é B, p < 0 < q.
6. Da) Incorreta. Se b = 0, então p(x) = x2 + 3. Logo, p não
possui ne-
nhuma raiz real para b = 0.
b) Incorreta. Desde que ∆ = b2 –12, temos ∆ > 0 para b = 12
e, por-tanto, p possui duas raízes reais distintas para b = 12.
c) Incorreta. Conforme explicado na alternativa A.
d) Correta. 113
12 2 3+ < = .
e) Incorreta. O polinômio tem grau 2 e, portanto, não pode ter
três raízes reais. Além disso, tem-se π2 –12 < 0 e, assim, p não
possui nenhuma raiz real.
7. BPara t = 1, N(1) = 1 – 21 + 126 + 304 = 410 (1 não é
raiz)Para t = 2, N(2) = 8 – 84 + 252 + 304 = 480 (2 é
raiz)Realizando a divisão de N(t) por x – 2, obtém-se como
quociente x² – 19x + 88, cujas raízes são 8 e
11. Logo, o número de tablets vendidos foi igual a 480 nos meses 2,
8 e 11, ou seja, fevereiro, agosto e novembro.
⇒
8. ESejam r1, r2 e r3 as raízes de P(x) e M a média aritmética
dessas raízes.
Pela relação de Girard, r r r1 2 3112
112
+ + = − −
=
Mr r r
=+ +
= =1 2 33
1123
116
9. E
x xx
x
xx
x x
− + +−
=
+( )+
= −( ) +( )
4 10 104
10 14
1 1
2
Como x = –1 não é solução,
104
1
10 1 4 6x
x
x x x−
= −( )= −( )⋅ −( )⇒ =
Assim, 2R – 2 = 10.
Complementares
1. APelas relações de Girard, conclui-se que o produto equivale
a
x x xda1 2 3
21
2⋅ ⋅ = = =
2. AAplicando as relações de Girard, tem-se:I.
x x x x xp
i i i ip
pp
1 2 3 4 5 2
2 2 1 2 1 212 2
132 2
13
+ + + + = −
⇒ + + − + + + − + = −
⇒ = − ⇒ = −
II.
x x x x xq
i i i iq
q
1 2 3 4 5 2
2 2 1 2 1 212 2
5 512
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −
⇒ +( ) −( ) +( ) −( )⋅ = −
⇒ ⋅ ⋅ = −22
25
13 25 13 25 38 325 287
⇒ = −
∴ + + = − − + −( )⋅ −( ) = − + =q
p q pq
3. BCalculando o determinante de P(x),P(x) = nx³ + 2m + nx –
mnx² – x² – 2n P(x) = nx³ – (mn + 1)x² + nx + 2m – 2n.Comparando
com Q(x)= x³ – 4x² + x + 4, obtêm-se n = 1 e mn + 1 = 4,
ou seja, m + 1 = 4. Logo, m = 3. Assim, mn= 3.
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 9Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
4. BSendo x x x1 2 3, , as raízes de P(x), pelas relações de
Girard, tem-se:
x x x
x x x
x x xx x x
x xx x
1 2 3
1 2 4
1 2 3
1 2 43 4
1
18
12
32
32
= −= −
= ⇒ = ⇒+
. ,Então
22 3
1 2 43 4 4 4
4 3
032
2 3
+ = −+ + =
⇒ − = − ⇒ − = −
⇒ = − = −
x a
x x xx x a x x a
x a x a;
Substituindo em p(x), tem-se:( a) ( a)
(a )
− + − + =
− + + =
= ⇒ = ∈
3 3 18 0
27 9 18 0
18 18 1
2 2
3 3
3
a
a a
a a
Então,
x
b b b b b a
4
3
2
2 2 12 0 8 2 12 0 2 4 2 2
= −
⇒ −( ) + ⋅ −( ) + = ⇒ − − + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = .
5. CI. Correta.
a b c
abc
ab bc aca b c
abc
+ + =
=
+ + = + + =
⇒ = −
92
32
1 1 13
31219
log
II. Correta.
V V
r r
r r
r raio
cone esfera= +
⋅ = +
− + =
=
60
13
843
60
16 360 0
6
2 3
3 2
π
π π π
do ccone
da esfera
( )= ( )r raio3
III. Incorreta.O determinante da matriz é (–abc). Como o produto
das raízes é abc = –12, temos det = –(–12) = 12.
6. DI. Se {a – r; a; a + r} for o conjunto verdade da equação x3
– 9x2 + 23x – 15 = 0, com r > 0, então:
(a r) a )a r(a r) a (a r) (a r )
− + + + =− ⋅ ⋅ + =
⇒=
⋅ − =
⇒=9
15
3 9
15
32 2
a
a
ar == 2
II. A progressão aritmética crescente é (1; 3; 5; …).
III. O vigésimo termo da progressão é 1 + (20 – 1) ∙ 2 = 39.
IV. A soma dos vinte primeiros termos é 1 39
220 400
+ ⋅ = . Sendo reais as raízes do polinômio p(x) = x³ + ax² + bx
+ x, se duas de suas raízes são –1 e 1 + ai, então a terceira raiz
é 1 − ai.Pode-se escrever p(x) = (x +1)(x −1− ai)(x −1+ ai).a) Se o
resto da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, então:
p i i
p i i
( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1 1 8
1 2
= + − −( ) − +( ) =⇒ = −( )( )
α α
α α
Com a > 0, tem-se 2a² = 8 e, assim, a = 2.
b) Sendo a = 2, p(x) = (x +1)(x −1− 2i)(x −1+ 2i) ⇒
q xp xx
x x i x ix
q x x i x i( )( )
( )=+
=+( ) − −( ) − +( )
+⇒ = − −( ) − +(
11 1 2 1 2
11 2 1 2 ))⇒
= −( ) −( ) = − + + ⇒ = − +q x x i x x q x x( ) (x)1 2 2 1 4 2
52 2 2 2
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |10 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Equações algébricas: relações de Girard PVE18_7_MAT_A_27
Praticando
1. Note que para x = 0, p x( ) = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −0 5 0 5 0 5 0
6 64 3 2 , e para x = 4, p x( ) = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − + + − =4 5 4 5
4 5 4 6 256 320 80 20 6 304 3 2 .Pelo Teorema de Bolzano, o
polinômio admite pelo menos uma raiz entre 0 e 4.
2. Pelas relações de Girard, observamos que x x xd
a1 2 3⋅ ⋅ = − , assim
− ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = −2 4 21 2 1 2x x x x .
3. Sabendo que 1 e –1 são raízes de p(x) e usando o dispositivo
de Briot-Ruffini,
p x x x x x x x x x( ) = − + + − = −( ) −( ) +( ) −( )4 3 25 5 5
6 2 3 1 1 q x x x x x( ) = + − = −( ) +( )2 2 15 3 5
Assim, m d c p q x. . . ,( ) = −( )3 m m c p q x x x x x. . . ,(
) = −( ) −( ) +( ) −( ) +( )2 3 1 1 5
Desenvolvendo habilidades
1. BPela propriedade de progressão aritmética,
a rr a r r a r
− = ⇒ − = ⇒ =2
2 3
Pelas relações de Girard,− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⇒ = ⇒ =r r r a r a r a9
3 9
2. APelas informações, o polinômio em questão é:
( )( )( )( )
( )( )
x i x i x x
x x x x x x x
− + − − == + − + = − + + −
2 2 3 4
4 7 12 7 12 4 22 2 4 3 2 2 88 48
7 16 28 484 3 2x
x x x x
+ == − + − +
3. EO resto da divisão de p(x) = x² + 1 por g(x) = x – 1 é igual
a p(1) = 2.Temos, então, a P.G. dada por (k, 2k, 4k, 8k).A soma dos
seus termos, por hipótese, resulta 15. Logo, k + 2k + 4k + 8k = 15
⇒ k = 1, ou seja, a P.G. é dada por (1, 2, 4, 8).Portanto, f(x) é
igual a:
f x x x x x
f x x x x x
( ) ( )( )( )( )
( )
= − − − −= − + − +
2 1 2 4 8
2 30 140 240 1284 3 2
4. APelas relações de Girard,
7 7= − ⇒ = −ba
b (observe que, nos polinômios apresentados, a = 1)
8 8= − ⇒ = −da
d
14 14= ⇒ =ca
c
Logo, os números pensados por João são raízes da equação x x x3
27 14 8 0− + − = .
5. ADe acordo com o gráfico, A > 0, F > 0 e P(x) possui
duas raízes reais, sendo uma de multiplicidade 1 e outra de
multiplicidade 2. Mas, como P(x) é do grau 5, tem-se que as outras
duas raízes são com-plexas conjugadas.
7. 33 (01 + 32)(1) Correta.
3 5 31
225 3 52
22 2
5 5 52 2n
n nn
n= ⇒ = ⇒ = ⋅ = + =
+log log log
(2) Incorreta. Sendo
2x = t ⇒ 4x + 4 = 5 · 2x
2x · 2x + 4 = 5 · 2x
Chamando t = 2x, temos:
t2 + 4 = 5t
t2 – 5t + 4 = 0Resolvendo a equação, temos t = 4 e t = 1.
Calculando os valores de x:
2 4 2 2 1 0x xx e x= ⇒ = = ⇒ =
Nenhum dos dois valores pertencem ao intervalo (2, 4].
(3) Incorreta. Cada face tem
16
de chance de ocorrer. Neste caso, ele tem 16
de chance de ganhar (saindo 3) e 56
de chance de perder (saindo 1, 2, 4, 5 ou 6).
(4) Incorreta. Como 4x – 1 é um polinômio do primeiro grau,
bas-ta que P(m) = 0, sendo m a raiz de 4x – 1, para que o polinômio
P(x) seja divisível por 4x – 1. Calculemos m primeiramente:
4 1 0 4 114
m m m− = ⇒ = ⇒ =
Assim, basta que P14
0
= e que se calcule o valor de p
correspondente:
P x x px
P p
p p
( ) = + =
=
+
=
+ =+
=
2
2
0
14
14
14
0
116 4
1 416
0⇒⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −4 1 0 4 114
p p p
(5) Incorreta. Pelas relações de Girard, tem-se que:
ab ac bcabc
a b cab ac bc
abc
+ + ==
⇒ + + = + + = =
⇒
125250
1 1 1 125250
12
12
log≠ 0
(6) Correta.A P C6
25 5
3 30 120 10 140+ − = + − =
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 11Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
6. AAplicando as relações de Girard,
x1 + x2 + x3 = –ba
= 21
= 2 (I)
x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = ca
= –51
= –5 (II)
x1 · x2 · x3 = –da
= –61
= –6 (III)Sabendo que 1 é raiz, pois p(1) = 0, temos de (I) e
(III):
x x x
x x x
x x
x x
x x
x1 2 3
1 2 3
2 3
2 3
2 3
2
2
6
1 2
1 6
1+ + =⋅ ⋅ = −
⇒+ + =⋅ ⋅ = −
⇒+ =⋅xx3 6= −
Chegamos a um caso de soma e produto, em que a soma das duas
raízes vale 1 e o produto vale –6. Logo, x2 = 3 e x3 = –2.Portanto,
o polinômio possui três raízes reais.
7. BSejam a, b e c as raízes da equação, com a2 = bc. Logo,
pelas relações de Girard,
a b cab ac bc kabc
a b c
a b c a k
a
+ + =+ + == −
⇔
+ + =+ + == −
7
216
7
216
2
3
( )
⇔+ =
− ⋅ + == −
⇔+ == −= −
b ck
a
b cka
136 13 36
6
13426
8. D
2 1 3 2 1 3 0
2 1 1 1 3
3 2 3 2
2
⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒⋅ + ⋅ − + − ⋅( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x
x x x xx x
x x x x
x x x
x
⋅ + = ⇒+ ⋅ − + − = ⇒+ ⋅ − + = ⇒
+ = ⇒
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0
1 2 2 2 3 0
1 2 5 2 0
1 0
2
2
xx ou x x x ou x= − − + = ⇒ = = −1 2 5 2 0 2 12
2
Portanto, o conjunto S será dado por:
S = − −
112
2, ,
Então, {–1, 2} ⊂ S.
9. DSe 1 + i é raiz de p, então 1 – i também é raiz. Em
consequência, p é divisível por x2 – 2x + 2. Assim, p(x) = (x3 –
1)(x2 – 2x + 2) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x2 –2x + 2)e, portanto, como
x2 + x + 1 = 0 possui duas raízes complexas não reais, tem-se que p
possui apenas uma raiz real e quatro raízes complexas não
reais.
10. CO número de cubos sem nenhuma face pintada é igual ao
número de cubos internos, sendo n o número de cubos de uma aresta.
Então, P3(n) = (n – 2)3.O número de cubos com apenas uma face
pintada é igual ao número de cubos que estão nas faces e não fazem
parte da aresta: P2(n) = 6 · (n – 2)2.Os cubos com duas faces
pintadas são os cubos que estão nas ares-tas, mas não nos cantos:
P1(n) = 12(n – 2).Logo,
P x x x x
P x x x x x
P x
( )
( )
(
= −( ) − −( )+ −( )= −( ) − + − + −( )
2 12 2 6 2
2 4 4 12 6 12
3 2
2
)) .= −( ) + −( )x x x2 2 202
Portanto, uma das raízes é 2.Como a soma das raízes do segundo
polinômio é –2 e o produto é –20,
x xx x x x
1 2
1 2 1 2
1 1 220
110
12
110
610
35
+⋅
= + =−−
= ⇒ + = =
Complementares
1. AA soma das raízes equivale a − = −
−( ) =ba
11
1.
O produto das raízes equivale a ea= =48
148 .
2. ESe todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz
real, então basta procurar um polinômio de grau par, ou seja, o
coeficiente do termo de maior grau deve ser nulo. Logo, (m – 1)(m2
+ 1) = 0 ⇒ m =1 e p(x) = x² + kx +1.Para que p(x) não tenha raízes
reais, deve-se ter:
b ac
k
kk
2
2
2
4 0
4 0
42 2
− <− <<
− < <3. A
Pelas informações do enunciado, pelas relações de Girard e sendo
K1 e K2 as raízes de p(x), tem-se:
K KK K
Mas K Kr
r
1 21 2
1 2
27 14
228
+= ⇒ + =
+ = − ⇒ = −
Sejam q1 e q2 as raízes do polinômio q. Logo,
q qs
s1 22
2 32
2 12+ = ⇒
−
= ⇒ = −
Assim, p(x) + q(x) = 3x² – 12x – 2 + 2x² – 28x + 5 = 5x² – 40x +
3 e a
média aritmética das raízes de p(x) + q(x) é
4052
4
=
4. AAnalisando o gráfico, tem-se que as raízes são todas
negativas. Fazendo o teste, conclui-se que x = –1 é uma das raízes
e, por Briot-Ruf-fini, conclui-se que o quociente é x² + 8x +15,
cujas raízes são –5 e –3.
Logo, 2 2 2 2 2 212
18
132
16 4 132
2132
1 3 5a b c+ + = + + = + + = + + =− − −
5. E1. Se {–1; a; b} for o conjunto solução da equação 2x³ – 3x²
– 3x +
2 = 0, então:
− + + =
− − + = −
− ⋅ ⋅ = −
⇒+ =
⋅ =
132
32
1 1
52
1
a b
a b ab
a b
a b
a b
2. a b a b ab
a b a b
+( ) = + +
⇒
= + + ⋅ ⇔ + =
2 2 2
22 2 2 2
2
52
2 1174
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |12 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Equações algébricas: transformações e equações recíprocas
PVE18_7_MAT_A_28
Praticando
1. ETemos y x k x y k= − ⇒ = + . Logo, substituindo na equação
dada,
y k y ky ky k y k y k
y ky k y k
+( ) − = ⇒ + + + + + − =⇒ + + + − =
3 3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
4 0 2 2 4 0
3 3 4 0
⇒⇒ + +( )+ − = ∈y ky y k k k3 33 4 0, .2.
Temos uma equação recíproca de 2.ª espécie e grau par,
então:
2 –5 2 0 –2 5 –21 2 –3 –1 –1 –3 2 0
–1 2 –5 4 –5 2 0
Dividindo por (x −1) e (x +1), obtemos uma equação recíproca
normal:2x4 − 5x3 + 4x2 – 5x + 2 = 0 (: x2)
⇒ 2x2 – 5x + 4 –
1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
+
1
1
5
2
2
2
x
x
x
x = 0
⇒ 2 x2 +
1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
– 5 x + 1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
+ 4 = 0
Fazendo ⇒ y1 = x + 1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
⇒ x2 +
1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
= y2 – 2
⇒ 2(y2 − 2) − 5y + 4 = 0 ⇒ 2y2 − 5y = 0 ⇒ y = 0 ou y = 52
x + 1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
= 0 ⇒ x2 + 1 = 0 ⇒ x = ± i
x + 1
1
5
2
2
2
x
x
x
x
= 52
⇒ 2x2 − 5x + 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 12
⇒ S = ± i, 2, 12
Desenvolvendo habilidades
1. BPelas informações apresentadas,
p x x x a bi x a bi
p x x x x a bi x a bi
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ( ) (
= + − −( ) − +( )= + − + − −
1
1 2 )) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )(
+ − += + − − − + + += +
a bi a bi
p x x x ax bix ax bix a b
p x x
1
1
2
xx ax a b
p x x ax ax bx x ax a b
p x x x a
2
3 2 2
2 2
2
2 2
1 2
− + += − + + + − + += + − +
)
( )
( ) ( ) xx a b a a b( )+ − + +2
Assim, se a = 0, todos os coeficientes serão positivos.
2. DComo –1 é raiz dupla, aplicando Briot-Ruffini tem-se
que:
2 1 –3 –1 1
–1 2 –1 –2 1 0
–1 2 –3 1 0
Logo, tem-se que: (x + 1)² ∙ (2x² – 3x + 1) = 0
x² – 3x + 1 = 0, cujas raízes são 1 e 12
.
Portanto, são raízes racionais.
3. AI. Já que 2i é raiz da equação,
(2i)4 + a ∙ (2i)3 + 5 ∙ (2i)2 – i (2i) – 6 = 0
16 – 8ai – 20 + 2 – 6 = 0 ⇒ –8ia = 8 ⇒ a = i.
II. O polinômio p(z) é divisível por z – 2i. Logo, pelo método
da chave, obtém-se quociente igual a z³ + 3iz² – z – 3i.
III. z4 + iz3 + 5z2 – iz – 6 = 0(z – 2i) (z3 + 3iz2 – z – 3i) =
0
(z – 2i) (z2 – 1) (z + 3i) = 0
z = 2i ou z = 1 ou z = –1 ou z = –3i
IV. As outras raízes de p(z) = 0 são –3i, –1, 1.
6. EComo 4 é uma das raízes, tem-se que o quociente da divisão
de x³ – 15x – 4 = 0 por x – 4, por Briot-Ruffini, é x² + 4x + 1. Se
as raízes de x² + 4x + 1 são r1 e r2, tem-se:
1 1 41
41 2
1 2
1 2r rr r
rr+ = + = − = −
7. BSe i é raiz, pelo Teorema das Raízes Complexas, –i também é.
Então, temos 3 raízes descobertas:{2, i, –i} (observe que todas
essas raízes estão fora do intervalo dado). Pelo Teorema de
Bolzano, se P(a) ∙ P(b) < 0, então existe um número ímpar de
raízes no intervalo ]a, b[. Como podemos ter no máximo duas raízes
nesse intervalo, pois as outras três já estão descobertas, a única
possibilidade é ter uma raiz, já que três ultrapassa o número de
raízes desse polinômio.
8. Para que x pertença ao intervalo fechado entre as
raízes, o valor de f(3) deve possuir sinal contrário ao da
concavidade da função ou depender de que f(3) = 0.f(3) = 9a + 3 –
3a + 1 = 6a + 4Veja que dois números m e n são opostos se m ∙ n ≤
0.Desta forma,a ∙ f(3) ≤ 0a ∙ (6a + 4) = 6a² + 4a ≤ 0.Portanto,
− ≤
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 13Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
4. CP(x) = a (x – r1) (x – r2) (x – r3) (x – r4) (x – r5)
São raízes de p(x): –2i, 2i, − +3 i , − −3 i , r5
Como P(x) é divisível por x – 5, P(5) = 0 ⇒ r5 = 5 Então:
P(x) a(x i)(x i)(x i)(x i)(x )
P( ) ( )
( )
= + − + − + + −
= +
+
2 2 3 3 5
1 20 5 2 3
20 5 2 3 == + − + − + + −
+ = + +( ) +a( i)( i)(x i)( i)( )
( ) ( )
1 2 1 2 3 1 3 4
20 5 2 3 1 4 1 3 12
a ⋅ −
+ = ⋅ − += −
= − + −
( )
( ) ( )( )a
P(x) ( )(x i)(x )(
4
20 5 2 3 20 5 2 31
1 2 2
a
i xx i)(x i)(x )
P( ) ( )( )( )( )
P( ) ( )
+ − + + −
∴ − = − − −
− = −
3 3 5
1 1 5 5 2 3 6
1 30 5 2 3
Complementares
1. DTodas as afirmações são corretas pelas propriedades dos
polinômios.
2. C
I. Correto. Se a = 0, temos xx
8
6 5= , ou seja, x x2 5 5= ⇒ = ± .
IV. Correto.
( )x a x a x a x a x a x a8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2− = +( ) −( ) =
+( ) +( ) −( )
x x a x a a x x a a x a x a x a6 4 2 2 4 6 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2−(
)+ ( )− = −( )+ −( ) = +( ) −( )Então,
( )x ax x a x a a
x a8 8
6 4 2 2 4 62 25 5
−−( )+ ( )− = ⇒ + = . Se a = 5, temos x² =
–20 e, portanto, obtemos duas raízes imaginárias para a = 5.
3. BSeja y a raiz desejada. Do enunciado, tem-se que y =
2x.Substituindo na equação dada,
y y y
y y y
y
22
22
21 0
82
42
21 0
4
3 2
3 2
3
−
+
− =
⇒ − ⋅ + ⋅ − =
⇒ − yy y2 8 8 0+ − =
4. BI. Verdadeira. Por ser uma equação recíproca de segunda
espé-
cie com grau par, com certeza 1 e –1 serão
raízes. Efetuando Briot-Ruffini para reduzir o grau e utilizando a
raiz 1, teremos:
3 –10 0 10 –3
1 3 –7 –7 3 0
Aplicando Briot-Ruffini novamente no quociente, agora com a
raiz –1, teremos:
3 –7 –7 3
–1 3 –10 3 0
Portanto, as raízes do polinômio em questão são 1,
–1 e as duas da equação (que são reais).
II. Falsa. 6 11 11 6 03 2x x x− − + = , por exemplo, é recíproca
e, por ter grau ímpar, possui um número ímpar de raízes.
III. Verdadeira. Podemos provar isso vendo a soma e o produto
das raízes.
5. EPodemos reescrever o polinômio como (x – 1)(x + 1)(bx + 2x2
+ 2). Duas de suas raízes são 1 e –1. Note que temos de encontrar
as outras raízes, que serão oriundas de bx + 2x2 + 2 = 0.
Por Bhaskara, chegamos a − ± − ⋅ ⋅b b2 4 2 24
.
Logo, precisamos que as raízes sejam reais e, portanto, b2 16 0
4− ≥ ⇒ ≥b . Mas note que se b = 4, temos que o resultado
de − − ⋅ ⋅±b b2 4 2 2
4 é –1, que já é uma das raízes. Logo, b > 4.
6. C150t³ – 190t + 30 = 50t³ + 35t + 30 100t³ – 225t =
0 t(100t² – 225) = 0 t = 0
t
t ht
2 225100
1 52 25
=
== ,
,
7. a) Sejam r, s e t as raízes do polinômio. Utilizando as
relações
de Girard e comparando com as fórmulas da área total e do
volume, temos:
P x x x x x x x
iSoma raizes a
( )
)( )
= ⇒ − + − = ⇒ − + − =
=
0 3 13 7 1 0133
73
13
0
2 2
3 2 3 2
rrs rt st Area total
Area total rs r
+ + = ⇒ = ⋅
=
= ⋅ +
73
273
143
2
( )
( ) ( tt st
iioduto raizes r s t Volume
+
= ⋅ ⋅ = − −
= ⇒ =
)
)Pr ( )
13
13
133
Volume r s t= ⋅ ⋅
(raízes)
Área
(raízes)
Área
Logo, a razão procurada é Area total
Volumem
( ).= = =
14313
143
31
14
b) As dimensões são os zeros do polinômio. Fazendo a pesquisa de
raízes:
P x x x x Possiveis raizes
P
( ) ( ) : ,
( ) ( )
= − + − ⇒ ± ±
=
3 13 7 1 113
1 3 1
3 2
33 2
3 2
13 1 7 1 1 3 13 7 1 4 0
1 3 1 13 1 7 1 1
− + − = − + − = − ≠− = − − − + − −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )P == − − − − = − ≠
=
−
+
3 13 7 1 24 0
13
313
1313
713
3 2
P − = − + − =
= − + − = − = ⇒
13
27139
73
1
3 39 63 2727
66 6627
013
e raiz
Possíveis (raízes):
é raiz.
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:
13
3 –13 7 –1
3 –12 3 0
Resolvendo a equação 3x2 – 12x + 3 = 0, temos:
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |14 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
3 12 3 0 4 1 04 16 4 1 1
2
4 122
4 2 32
2 2
1
x x x x x
x
− + = ⇒ − + = ⇒ =− − ± −
=
=±
=±
⇒=
( ) ( )( )
22 3
2 3
2 3 2 313
2
+
= −
= − +
x
Logo S, , ,
8. DSubstituindo x por 1, tem-se:1 – (a + b + c) + 6 – 3c + 6 –
1 = 0a + b + 4c = 12 (1) Substituindo x por –1, tem-se que a + b –
2c = 0 (2).Resolvendo o sistema formado por (1) e (2), tem-se
que:
x x x x x6 5 4 26 6 6 6 1 0− + − + − =Por Briot-Ruffini, tem-se
x x x x x x−( ) +( ) − + − −( )1 1 6 7 6 14 3 2 .Como 1 e –1 são
raízes, basta fazer:
xx
xx
xx
y xx
y
y y xx
22
22
2
2
16
17
1 12
6 5 01
+
− +
+
+ = ⇒ + = −
− + = ⇒ + == + =51
1 ou xx
A s s i m , a s r a í z e s s ã o 1 1
1 32
1 32
5 212
5 212
4, , , , , , .− + − + −i i sendo delas reais
9. CSendo uma equação recíproca de segunda espécie com grau par
(sexto grau), com certeza terá as raízes 1 e –1.O
exercício nos diz que i é uma raiz e, portanto, seu
conjuga-do –i também será.
Por ser um polinômio recíproco, as outras duas raízes são
recíprocas,
ou seja, uma será r e outra será 1r
. Fatorando o polinômio com as informações que temos:
p x a x x x i x i x r xr
p x a x x
( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )(
= − + − + − −
⇒ = − +
1 11
12 2 111
1
11
1
2
4 2
)
( ) ( )
⋅ − +
⋅ +
⇒ = − ⋅ − +
⋅ +
x rr
x
p x a x x rr
x
Substituindo as informações dadas ( p
p
( )
( )
2105
8
2255
8
= −
− =
e
p
p
( )
( )
2105
8
2255
8
= −
− =), tem-se:
− = − ⋅ − +
⋅ +
1058
2 1 21
2 14 2a rr
(( ) ) ( )
e
2558
2 1 21
2 14 2= − − ⋅ − − +
⋅ +
a r r
(( ) ) ( )
Fazendo k rr
= +
1, tem-se:
−= ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ +
⇒ − =+−
⇒ =
1058
15 5 2
2558
15 5 2
177
5 25 2
6a
ak
( k)
( k)
kk
Logo, a soma de todas as raízes dessa equação equivale a –1 + 1
+ i – i + 6 = 6.
Matemática B
Operações com arcos II PVE18_7_MAT_B_25
Praticando
1. CBasta perceber que
• sen(a – 30°) = sen a · cos 30° – sen 30° · cos a = − =3
212
sena a mcos
• cos(60° + a) = cos 60° · cos a – sen 60° · sen a =
12
32
1cos a sena m− = −
2. DTem-se que sen sen15
302
° =°
. Sendo assim, pela fórmula do
arco metade, tem-se
sen151 30
2
13
22
2 322
2 34
2 3
2° =
− °=
−=
−
=−
=−( )cos
3. BNotamos que (sen 22,5° + cos 22,5°)2 = sen2(22,5) +
cos2(22,5) + + 2 · sen 22,5° · cos 22,5° = 1 + 2 · sen 22,5° ·
cos 22,5°. Sendo assim, basta calcular os valores de sen 22,5° e
cos 22,5°. Pela fórmula do arco metade,
cos ,cos
,cos
22 51 45
2
12
22
2 222
2 24
22 51 45
2
12
° =+ °
=+
=
+
=+
° =− °
=−
e
sen 222
2 222
2 24
=
−
=−
Então, sen 22,5° · cos 22,5° =
=2 2
42 2
42 2
42 2
44 2 2 2 2 2
162
162
4−
⋅+
=−
⋅+
=− + −
= =
2 24
2 24
2 24
2 24
4 2 2 2 2 216
216
24
−⋅
+=
−⋅+
=− + −
= =
Dessa forma, concluímos que 2 · sen 22,5° · cos 22,5° = 2
2 e, portanto,
(sen 22,5° + cos 22,5°)2 = 12
2+ .
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 15Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Desenvolvendo habilidades
1. Ecos cos
cos co
a b b sen a b sen b
a b b
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
−( ) ⋅ ( ) − −( ) ⋅ ( ) == − +( ) = ss cosa b a b a b2 2−( ) =
+( ) ⋅ −( )
2. DElevando ao quadrado os dois membros da igualdade:
cos cos2 2 223
1 223
213
θ θ θ θ
θ
θ
+ − =
− ( ) =
( ) =
sen sen
sen
sen
3. E
sen x x sen x x
p qx
p qx
p q xp q
912
2 9
29
2
18
⋅ = ⋅ ⋅( )
+=
−=
⇔+ =−
cos cos
==
⇔ = =2
10 8x
p x e q x
Logo, sen x x sen x sen x912
10 8⋅ = +( )cos .4. A
Utilizando o Teorema de Cramer para o cálculo de y:
y
sensen
sensen
sensen
se=
° −°
°°
° − °° °
=
10150
50110
10 1050 50
2cos
cosnn sen10 50 50 10
250 10
2
32
4
3
4 33° ⋅ ° + °⋅ °
=° + °( )
= = =cos sen cos
y
sensen
sensen
sensen
se=
° −°
°°
° − °° °
=
10150
50110
10 1050 50
2cos
cosnn sen10 50 50 10
250 10
2
32
4
3
4 33° ⋅ ° + °⋅ °
=° + °( )
= = =cos sen cos
5. ECalculando o cos 15° por meio da fórmula do arco metade:
cos
cos
151
32
22 3
4
152 3
2
° =+
=+
° =+
No triângulo da figura:
cos cos1516
16 15 162 3
28 2 3° = ⇒ = ⋅ °⇒ = ⋅
+⇒ ⋅ +( )c c c m
6. D
senx seny
x y
sen x senx seny sen y+ =
+ =
⇔
+ + =152
1
2159
2 2
cos cos
•
coss cos •cos cos
cos • cos •c
2 2
2 2
2 1
2
x x y y
sen x x senx seny x
+ + =
⇔ + + + oos cos
• cos •cos
•
y sen y y
senx seny x y
senx se
( ) + + = +
⇔ +( ) =
⇔
2 2 53
1
223
1nny x
x y
x y
+=
⇔−( )
=
⇔ −( ) =
cos •cosy
cos
sec
3
13
3
7. DConsidere a figura a seguir:
2
a
θ3
4
56
O arco compreendido entre quaisquer dois pontos consecutivos
indicados sobre a circunferência, na figura, vale 36012
30°= ° .
Logo, α = ⋅ ° = °4 30 120 . Por outro lado, o deslocamento do
ponteiro
das horas, em 30 minutos, é θ =°= °
302
15 .
Portanto, o resultado pedido é dado por:
cos cos
cos
cos cos
α θ−( ) = ° == °+ °( ) == °⋅ ° − °⋅
105
45 60
45 60 45 60sen sen °° =
= ⋅ − ⋅ =−
= −−2
212
22
32
2 64
6 24
8. E
ππ
π π2 4 2 2 2
0
1
12425
2 2
2
< < ⇒ < < ⇒
>
= −
= −
xx x
x sen x
x
cos
cos
cos ⇒ = ±
2 725
cos x
Como π
π2< , temos cos
x2
35
=
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |16 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Complementares
1. A
senx x a senx x a sen x asen x
−( ) = ( ) ⇒ − = ⇒ = −cos cos2 22
1 2 2 1� �� ��
2. Dy sen seny sen sen= ° ° + ° °= ° ° + − ° °
70 50 260 28070 50 10 80
cos coscos ( cos ))
ysen cos cos
cos
=°+ °
+°− °
=°+ °+ °−
sen
ysen sen
120 202
90 702
120 90 20 ccos70
23
20 0
23
4
°( )
=+ +
=
y
y
3. B
tgtg tg
tg tg
tg
α βα βα β
α β
+( ) = +− ⋅
+( ) =+
− ⋅=
113
12
113
12
1
Logo, α βπ
+ =4
rad.
45°
C
1
1
11 BMA
ba135°
45°
4. Atg sen
sen
10 5 5 5 5
1010
15
1
° ⋅ ° + °( ) ° − °( ) =
=°°⋅
°+
sec cossec cos
cos cos ssensen
sen sen
55 5
5 5
5 55 5
°
° − °( ) =
=°+ °( )° + °( )
⋅° +
cos
coscos °°
° °
° − °( ) =
=° °
° − °
sensen
sen
sen
5 55 5
2 5 5
5 52 2
coscos
cos
cos
° + °° °
° − °( ) =
=
sensen
sen5 55 5
5 5
252
coscos
cos
cos °° − °
° ° − ° + °− ° °( ) =
=
sencos cos cos
cos
22 2
55 5 5 5 5 5
2
sen sen sen
22 2
2 2
5 55 5 2
° − °
° − °( ) =sen cos sen
5. BLembrando que cos cos cos3 4 33x x x= −
4 9 3 4 27 3
9 4 9 3 4
2 2
2
cos cos
cos cos co
°( ) − °( ) − =
=°( ) °( ) − ss
cos
cos cos cos
2
3 2
27 3
9
4 9 3 9 4 27 3
°( ) − °( )
=
=°( ) − °( ) °( ) −
°( )=
=°( ) ⋅ °( ) −
°( )=
=°( ) −
cos
cos cos
cos
cos
9
27 4 27 3
9
4 27
2
3 33 27
9
81
9
9
99
cos
cos
cos
cos cos
°( ) °( )
=°( )°( )
=°( )°( )= °(sen tg ))
6.
f x x x
f x x x sen x
f x x
( ) cos cos
( ) cos cos
( ) cos co
= + ( )
= + −( )
= +
12
2
1212
2 2
ss cos
( ) cos cos
2 2
2
1
12
x x
f x x x
− +( )
= + −
Temos uma função do segundo grau na variável cos x.O valor de
cos x para que f(x) seja mínimo será dado por:
cos cosx x= −⋅⇒ = −
12 1
12
Portanto, para 0 2≤ ≤x π, a função f(x) assume valor mínimo
para
x ou x= =23
43
π π.
7. B
α βπ
βπ
α
α β απ
α
α β
+ = ⇔ = −
+ = + −
+ =
43
43
43
2
sen sen sen sen
sen sen sen
4432
243
2
223
πα
π
α βπ
⋅
−
+ =
cos
cossen sen sen ααπ
ππ
απ
π
−
− = + ∈
= +
23
23
0 2
23
2
a k com k
k
,
Se k = 0, temos απ
=23
Se k = 1, temos απ
=53
que é maior que43π
Logo, απ
=23
.
8. DComo
sen sen
sen sen
15 45 30
45 30 30 45
22
32
12
2
° = ° − °( ) == ° ° − ° ° =
= ⋅ − ⋅
cos cos
226 2
4=
−
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 17Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Então,
senha
ha
156 2
41
1° = ⇔ =−( )
Além disso,
senha
ha
452
22
2° = ⇔ =
Então,
h ha a a
1 2
6 2
42
2
6 2
4+ =
−( )+ =
+( )
Por outro lado,
sen sen
sen sen
75 45 30
45 30 30 45
22
32
12
2
° = ° + °( ) == ° ° + ° ° =
= ⋅ + ⋅
cos cos
226 2
4=
+
Então,
senha
ha
756 2
43
3° = ⇔ =+( )
Portanto, h h h1 2 3+ = .
Equações e inequações trigonométricas PVE18_7_MAT_B_26
Praticando
1. B
Note que sen 45° = cos 45° = 2
2, 0 = cos 90° ≠ sen 90° = 1 e 0 = sen 180° ≠ cos 180° = 1.
A partir disso, concluímos que a única alternativa que respeita
essas igualdades e/ou desigualdades é a B.
2. CTemos cos cos
cosx tgx x
senxx
= ⇔ =
Daí,
coscos cos
2 2
01 0
0
1 52
x senxx
sen x senxx
senx=≠
⇔
− − =≠
⇔ =
±−
ccos cosx
senx
x≠
⇔ =
± −
≠
0
5 12
0
Como –1 ≤ sen x ≤ 1, sen x =−5 1
2
3. cos 2x + cos x ≤ –1 ⇔ (2cos2 x –1) + cos x ≤ –1 ⇔ ⇔ 2cos2 x +
cos x ≤ 0 ⇔ cos x (2cos x + 1) ≤ 0 ⇔ −
12
≤ cos x ≤ 0.
π
π
π
π
22312
43
34
−
π
π
π
π
22312
43
34
−
π
π
π
π
22312
43
34
−
π
π
π
π
22312
43
34
−
π
π
π
π
22312
43
34
−
S x k x k ou k x k k= ∈ + ≤ ≤ +
+ ≤ ≤ + ∈
� �/ ,π π π π π π π π2
223
243
232
2
Desenvolvendo habilidades
1. AComo a função cosseno é par, temos:cos cos cos cosx x x x S(
) = −( )⇔ = ⇔ =
2. C
Como os gráficos das funções y = sen x e yx
=10
apresentam 7 pontos de interseção, a equação senxx=
10 admite 7 soluções reais.
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |18 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
3. ASendo k ∈:
cos cos cos3 1 33 2
2 13
x xx k
xk
= − ⇔ =⇔ = +
⇔ =+
ππ π
π
Para k = 0, temos x = π3
e, portanto, cos x = 12
.
Para k = 1, temos x = π e, portanto, cos x = –1.
Prosseguindo para outros valores de k, que sempre alternarão
entre 12
e – 1.
Dessa forma, temos cos x = –1 ou cosx =12
.
4. ESabendo que sen x = 1 é uma das raízes da equação polinomial
na incógnita sen x:
sen x sen x senx senx sen x senx3 2 22 5 6 0 1 6 0− − + = ⇔ −( )
− − =( )Temos então:
• sen x – 1 = 0 ou • sen2 x – sen x –6 = 0
Da primeira, senx x= ⇒ =12π
ou x =52π
.
Da segunda, sen x = 3 ou sen x = –2. No entanto, ambas não
convêm, pois –1 ≤ sen x ≤ 1.Portanto, a soma pedida é 3π.
5. B
2 3 1 0
3 4 2 1 1
3 12
2
2
sen x senx
Logo
senx
− + =
⇔ ∆ = − − ⋅ ⋅ =
=− − ±
⋅
, ( )
( )Então,
22
112
12 2 2 2
⇒=
=
− = − −
senx
senx
sen p q sen p sen q
Portanto,
cos ( ) == + − = +
− = =sen p sen q
2 2 22
1 112
114
0 25,
6. A2 3 0
2 1 3 0
2 2 3 0
2 3
2
2
2
2
sen x x
x x
x x
x
− =
⋅ − − =
− − =
+
cos
( cos ) cos
cos cos
cos coos x − =2 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita cos x:
cosx =12
ou cos x = –2 (não convém).
Portanto, o valor pedido é x =π3
.
7. BSabendo que |y|² = y²,
senx sen x senx senx senx= − ⇔ + − = ⇒ =1 2 2 1 012
2 2
Daí, como 0 2<
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 19Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
02 2
11 0
2 2
11
02
2 2
<+
+< ⇔ <
+
+< ⇔
⇔ <
sen x sen xtgx
sen x senx xsenx
xs
cos
coseenx
x senxx
senx x
sen sen x
(senx cos x)cos
coscos
++
< ⇔
⇔ < < ⇔
⇔ < <
1
0 2 1
0 2 ssen
x
π
π2
04
⇔
⇔ < <
Portanto, o resultado pedido é 04
,π
.
9. D
Notemos que cos cos cos cos
co
23
32
023
032
x x xou
x
⋅
= ⇒
=
ss , ,23
023 2
34
32
x xk k x k k
= ⇒ = + ∈ ⇒ = + ⋅ ∈
ππ
π π
Verifiquemos cada caso:
•
cos cos cos cos
co
23
32
023
032
x x xou
x
⋅
= ⇒
=
ss , ,23
023 2
34
32
x xk k x k k
= ⇒ = + ∈ ⇒ = + ⋅ ∈
ππ
π π
Para k = 0, temos x =34π
Para k = 1, temos x =94π
(maior que π)
• cos , ,32
032 2 3
23
x xk k x k k
= ⇒ = + ∈ ⇒ = + ⋅ ∈
ππ
π π
Para k = 0, temos x =π3
Para k = 1, temos x = π
Para k = 2, temos x =53π
(maior que π)
Logo, o conjunto solução da equação será π π
π3
34
, ,
.
10. A2 2 2
2 2
2 1
2
2 2 2
2 2 2
cos cos
cos cos
cos cos ( cos )
x x
x x sen x
x x x
+ ( ) >+ − >
+ − − >>
− >
< − >
2
4 3 0
32
32
2cos
cos cos
x
x ou x
0π
56
32
63
2
π
π
−56
32
63
2
π
π
−
56
32
63
2
π
π
−56
32
63
2
π
π
−
Logo, o conjunto solução será:
S x x ou x= ∈( ) < < <
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |20 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Juros simples PVE18_7_MAT_B_27
Praticando
1. t ano mesesiC
J C i t R= ===
⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 120 05540
540 0 05 12 324 0, , $ , 00
2. t meses semestre
iC
M C J C C i t C i
= =
==
⇒ = + = + ⋅ ⋅ = + ⋅
886
0 72180
1
,
( tt
M
) ,
, ( , )
= ⋅ + ⋅
=
= ⋅ + ⋅( )⇒ = ⋅ + =
180 1 0 7286
180 1 0 12 8 180 1 0 96 180 ⋅⋅ =1 96 352 80, $ ,R
3. EO total de juros que Fábio deverá pagar depois de dois anos
é igual a
J = 10000 · 0,2 · 2 = 4000.
Sendo assim, o montante passa a ser
M = 10000 + 4000 = 14000. Se Fábio
pagou R$4.000,00 na primeira parcela, o valor da segunda foi de
14000 – 4000 = R$10.000,00.
Desenvolvendo habilidades
1. E
M C it n n= + = +( ) = +( ) , ,1 80 1 0 3 80 2 4
2. C
iy x
xyx
=−
= − = − = ⇒1 2 08 1 1 08 108, , %
3. BUm contribuinte, que vende por R$34 mil um lote de ações que
cus-tou R$26 mil reais, teve um lucro de (34 000 – 26 000 = 8
000) reais. Ele pagará à Receita Federal 0,15 ∙ R$8.000 =
R$1.200,00.
4. C
i =−
= ≅ ⇒145000 132000
13200013
1320 098 9 8, , %
5. AComo ambas as situações estão sob juros simples, temos um
juros de 320 reais em quatro meses na primeira situação.
Aplicando a fórmula de juros simples:J C i t i i= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
=320 1000 4 0 08 8, %Na segunda situação:J C i t i i= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
= =600 1200 5 0 1 10, %
6. DJ C i t
J
J
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
30000 8100
18
432
,
Logo, o montante M será dado por:M R= + =3 000 432 3 432 00. $ .
,
7. BSeja C a parte financiada pelo agricultor.Como i = =2 0 02%
, a.m. e n = 10 meses:
2 1 1 4 3 022 2 6 2 4 2
2
cos ( cos ) cos cos cos cos
cos
x x x x x x
x
−( ) − − = ⇔ − +( ) =
⇔= 00
4 3 0
0
1
3
4 2
ou
x x
xou
xou
x
cos cos
cos
cos
cos
− + =
⇒
=
= ±
= ±
⇒= = =
= =
x ou x ou x
x ou x
0 2
232
π ππ π
2 1 1 4 3 022 2 6 2 4 2
2
cos ( cos ) cos cos cos cos
cos
x x x x x x
x
−( ) − − = ⇔ − +( ) =
⇔= 00
4 3 0
0
1
3
4 2
ou
x x
xou
xou
x
cos cos
cos
cos
cos
− + =
⇒
=
= ±
= ±
⇒= = =
= =
x ou x ou x
x ou x
0 2
232
π ππ π
Portanto, a soma pedida é igual a π π
π π π2
32
0 2 5+ + + + = .
8. D
3 3 0
3 3 1 0
2 3
2 2
2 2
2
sen x senx x
sen x senx sen x
senx s
− + =− + − =
−
| | cos
| |
| | | eenx | + =1 0
Resolvendo, por Bhaskara, obtém-se que
| |senx = 1 ou | |senx =12
Para sen x=1 ou sen x = –1, temos x =π2
ou x = 32≠π
Para senx = 12
ou senx = − 12
, temos x =π5
, x =56π
, x =76π
e x =11
6π
Logo, a equação terá 6 raízes.
9. EConsidere a figura a seguir, em que M é o ponto médio do
lado AB.
A M B
CDO
Do triangulo retângulo OMB, obtemos:
tg M BBM
MOMO
AB
tgÔ = ⇔ =
22θ
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB =1 . Assim,
( )AOBAB MO
tg=
⋅=
21
42θ
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triangulo AOB
se
( ) ( ) ,ABCD AOBtg
tg> ⇒ >
⇒
> =1
1
42
214
0 252θ
θ
L o g o , c o m o tg15 0 2679 0 25° ≅ >, , e 0 180° < <
°θ , v e m q u e 30 180° < < °θ . Notemos que 30 150 30 180°
°] [ ⊂ ° °] [, , e, portanto, a resposta pro-curada é 30°
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 21Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
208 800 1 0 02 10208 800
1 2174 000 00
= ⋅ + ⋅ ⇔ =
⇔ =
C C
C
( , ),
$ . ,R
8. CMontante : x
Apósoprimeiromês :
Apósosegundomês :
x x x− ⋅ = ⋅0 30 0 70, ,00 70 0 2 0 3 0 76
0 76 380038000 76
5000
, , , ,
,,
⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ = ⇒ = ⇒ =
x x x
x x x
9. AO leite foi encarecido em 40%, assim, temos que o novo preço
do leite será de 1,4 ∙ 1,5 = 2,10 reais. Como o mercado cortou 20%
da compra, passou a ser comprado 0,8 ∙ 3 000 = 2 400 caixas.
Portanto, o valor que o mercado gastou após os cortes foi de 2 400
∙ 2,10 = R$5.040,00.Como antes esse valor era de 3 000 ∙ 1,50 =
R$4.500,00, esse forne-cedor teve aumento de 540 reais.
10. DCalculando os valores:I) Poupança: 500 ∙ (1 + 0,0056) = 500
∙ (1,0056) = R$502,80 de
resgate (sem imposto).
II) C D B : 5 0 0 ∙ ( 1 + 0 , 8 7 6 ) = 5 0 0 ∙ ( 1 , 0 0 8 7 6
) = R $ 5 0 4 , 3 8 . O g a n h o é d e 5 0 4 , 3 8 – – 500 =
R$4,38. O imposto cobrado será (0,04)∙(4,38) = R$0,17. Logo,
resgata-se (504,38 – 0,17) = R$504,21.
Logo, a aplicação mais vantajosa será o CDB.
Complementares
1. BO acréscimo percentual, em relação ao valor inicial, é igual
a 5 · 0,7 = 3,5.
2. CValor emprestado com juros: 600 + 2 ∙ 0,4 ∙ 600 = 648
reais.Desconto concedido pelo sorteio: 648 – 602,64 = 45,36
reais.
Em porcentagem: 45 36648
0 07 7,
, %.= =
3. CSabendo que o valor das parcelas no plano II é de x reais, e
supondo que 3x seja o preço de tabela da mercadoria, segue que o
valor pago no plano I é igual a 3x ∙ 0,85 = 2,55x. Os juros mensais
pagos no plano III correspondem a 3x ∙ 0,02 = 0,06x e, dessa forma,
o valor pago pela mercadoria no plano III é dado por 3x + 6 ∙ 0,06x
= 3,36x. Portanto, a diferença entre o valor pago pela mercadoria
nos planos I e III é de 3,36x – 2,55x = 0,81x reais.
4. EComo 2a = 3b e 2c=7b, então a + b + c equivale a
aa a
a a a a+ +
= ⇒ ⋅ = = ⋅
23
73
4 410
1000 4 40, %
5. CDepreciação mensal da roçadeira:
3600012 12
250 00⋅
=R$ , .
Decréscimo percentual em 1.º de setembro: 8 2503 600
5≅ %.
6. CA primeira parcela de R$460,00 será paga à vista (portanto,
não há incidência de juros). A segunda parcela, caso não houvesse
incidên-cia de juros, seria de R$400,00, pois o preço do fogão à
vista é de R$860,00 (860 – 460 = 400). No entanto, há um acréscimo
de R$60,00 na segunda parcela, os quais representam os juros após
30 dias.
Logo, os juros são iguais a 60400
0 15 15= ⇒, %.
7. ADe acordo com o enunciado, o preço para pagamentoà vista é
95% ∙ p = 0,95p.Se o pagamento for feito n meses após a compra,
serápago 0,05p de juros.Sendo i% a taxa mensal de juros simples,
temos:
0 050 95
10010019
,,
pp i n
in
=⋅ ⋅
⇔ =
A taxa mensal de juros simples do financiamento é 10019n
%.
8. a) Pagamento à vista: 1000 ∙ 0,9 = 900,00.
Aplicando a 3% a.m.: 900,00 ∙ 1,03 = 927,00.
b) P r e ç o d o p r o d u t o p a r a p a g a m e n t o à v i s
t a : 1 000 1 000
10100
900 00− ⋅
=$ , .
P r e ç o d o p r o d u t o p a r a p a g a m e n -
t o e m 3 0 d i a s : 1 000 1 0007 2100
928 00− ⋅
=
,$ , .
= $928,00.
Montante do valor a ser desembolsado no pagamen-
to à vista, apl icado pelo comprador em uma apli-c a ç ã o d e 3
0 d i a s c o m u m r e n d i m e n t o d e 3 % :
900 9003
100927 00+ ⋅
=$ , .
Esse montante é menor que o preço a pagar. Assim, a opção mais
vantajosa é pagar à vista.
9. E
2000 1 0 02 1850 1 0 03 4
2000 40 1850 0 88 0 03
+( ) = + −( )( )⇒⇒ + = +( )
, ,
, ,
n n
n n
⇒⇒ + = +⇒ =
2000 40 1628 55 524
n nn
,
Logo, 2 + 4 = 6.
-
Solucionário | Solucionário e apoio ao professor |22 Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
Juros compostos PVE18_7_MAT_B_28
Praticando
1. ACalculando o preço à vista da mercadoria:
5005761 2
576
1 2500 480 100 1 380 002+ + ( )
= + + =, ,
$ . ,R
2. M C i t
t t
t
= ⋅ +( )= ⋅ +( ) ⇒ +( ) = ⇒
=
1
2 000 1 000 1 0 06 1 0 06 2
1 062 2
, ,
log ( , ) log 22 1 06 1
0 084 1 11 911 11
2⇒ ⋅ = ⇒⋅ = ⇒ ==
t log ( , )
t , t , anost anos e meses
3. 3 000 1 000 1 08 1 083 0001 000
1 08 3 31 08
= ⋅ ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = =
( , ) ( , )
( , ) logl
,
n n
n noog
log ,,
log
,log log log
,
31 08
0 482 310
0 482 2 3 3 2 10
0 482
2 3
2
=⋅
⇒
=+ −
=n(( , ) ( , )
,, ,
,,
,,
0 3 3 0 48 20 48
0 6 1 44 20 48
2 04 20 480 04
12
+ −=
=+ −
=−
= = mesees
Desenvolvendo habilidades
1. DO resultado pedido é dado por 1000 0 8 1 1 0 8 1 1 774 40⋅ ⋅
⋅ ⋅ =, , , , $ , .R
2. DTemos que, na décima prestação, o valor devido é de
R$175.500. Calculando os juros, temos 1% de 175.500 = R$1.755.
Logo, na décima prestação o valor será de 1.755 + 500 =
R$2.255.
3. EO montante da dívida após 2 meses é 800 (1 + 0,05)² =
R$882,00. Pagando R$400,00, o saldo devedor fica em 882 – 400 =
R$482,00. Portanto, o valor do último pagamento é igual a 482(1 +
0,05) = R$506,10.
4. DSabendo que um capital C após t anos, aplicado a uma taxa de
juros i, produz um montante M, dado por M C i t= +( )1 : 40 000
2500 2
2 164
< ⋅
>>
t
t
t
5. B43200 2000 1 0 08
2 16 1 08
2 16 1 08
0 33
= +( )= ( )
( ) = ( )= ⋅
,
, ,
log , log ,
,
T
T
T
T 00 0311
,T =
6. CDo gráfico, tem-se que o saldo devedor inicial é R$500,00.
Além disso, como a capitalização é composta, podemos concluir que a
parcela mensal de juros é variável. Finalmente, supondo uma taxa de
juros constante e igual a 10% ao mês, teríamos, ao final de 6
meses, um saldo devedor igual a 500 1 1 885 786⋅ ≅( , ) $ , .R
Portanto, comparando
esse resultado com o gráfico, podemos afirmar que a taxa de
juros mensal é superior a 10%.
7. APara quitar a dívida na sexta parcela, o valor a ser pago
dever ser igual a
PP
iP
iP
i i+
++
+
= ++
+
+
1100 1 100
11
1100
1
1100
2 28. A
A expressão que fornece o saldo ao final de n meses é600 1 006
600 1 006 600 1 006
600 1 0061 006 11 0
2⋅ + ⋅ + + ⋅ =
= ⋅ ⋅−
, , ... ,
,,,
n
n
006 1603 6
1 006 10 006
100 600 1 006 1
−= ⋅
−=
= ( ) −
,,
,
,
n
n
9. CConsiderando que um montante M resgatado após uma aplicação
C por um período n com taxa i é dado pela relação M = C · (1 + i)n,
temos a seguinte comparação de rentabilidade anual:Aplicação A: M =
C(1 + 0,03)12 = C · (1,003)12 = 1,426C. Observe que 1 ano =
= 12 meses.Aplicação B: M = C(1 + 0,36)1 = 1,36C. Aplicação C:
M = C(1 + 0,18)2 = C · (1,18)2 = 1,3924C.A rentabilidade no
investimento A é a maior.
10. CO tempo necessário aproximado para que o montante da
aplicação seja R$8.000,00 é tal que
8 000 500 1 2
16 1 2 4 2 12 10
4 0 301 1 079
= ⋅( )= ⇒ = −( )⋅ = ⋅
,
, log log log
, ,
n
n n
n −−( )
= =
1
1 2040 079
15 24n anos,,
,
0,24 · 365 = 87,6 = 60 + 27,6 = 2 meses + 27 dias.
Complementares
1. BCalculando 10/jan. → 0 + 1 000 = 1 00010/fev. → (1 000 ·
1,10) + 1 000 = 2 10010/mar. → (2 100 · 1,10) + 1 000 = 3
31010/abr. → (3 310 · 1,10) = 3 641
2. ASendo i a taxa anual de juros compostos que gera um montante
de 64 reais a cada real aplicado:
1 1 64 1 2
1 2 1 1 4142 0 4142 41 42
12 612⋅ +( ) = ⇒ + =+ = ⇒ + = ⇒ = =
i i
i i i, , , %
3. Pr :Pr :
( , ) ( , )o inicial Po final
P710
1 0 1 1 0 1 100 710
⇒ ⋅ − ⋅ − − =
⋅ ⋅ = ⇒ =
= =
P P
P R
( , ) ( , ),
$
0 9 0 9 8108100 81
8100081
1.000,00
Preço
Preço
-
| Solucionário| Solucionário e apoio ao professor 23Livro 7
PVE1
8_SO
L_L7
4. EJuros simples: 1 000, 1 100, 1 200, 1 300, ... (progressão
aritmética de razão 100)Juros compostos: 2 000, 2 200, 2 420, 2
662, ... (progressão geométrica de razão 1,1)
5. D
10 000 1 7000 1 6 000
10 1 7 1 6 0
165
2
+( ) − ⋅ +( ) =+( ) − ⋅ +( ) − =
+ = ⇒
i i
i i
i i == + = − ⇒ = −15
112
32
i iResolvendo a equação na incógnita 1 + i, temos:
10 000 1 7000 1 6 000
10 1 7 1 6 0
165
2
+( ) − ⋅ +( ) =+( ) − ⋅ +( ) − =
+ = ⇒
i i
i i
i i == + = − ⇒ = −15
112
32
i i (não convém)
Logo, 4 145
11
250 042
2
i−( ) = −
= = , .
6. ESeja C o capital aplicado. Logo, sabendo que o montante
resgatado foi de R$65.536,00:
65536 1 01 1 024
1 0302
4
1 0302
3
4 48
4
8
= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔
⇔ =
⇒
⇒ ≅
C C
C
C
( , ) ( , ),
,
,, .948
Por conseguinte, podemos afirmar que o capital aplicado, em
reais, foi aproximadamente igual a 3,968.
7. CI. C1 = 2 000
i1 = 3% a.m. n1 = 60 dias = 2 meses
II. C2 = 1 200 i2 = 2% a.m. n2 = 30 dias = 1 mês
III. M1 = 2 000∙(1+0,03)2 = 2.121,8 M2 = 1 200∙(1+0,02) =
1.224
• Soma dos montantes: Mtot = M1 + M2 = 3.345,8 • Diferença
entre os montantes: |M1 – M2| = 897,8
8. CEscolhendo a opção 1 Maria paga 0,95 · 900 = R$855,00 à
vista, gastando tudo o que possui.Na opção 2 ela terá, após 4
meses, 855 · (1,01)4 = R$889,72, o que não é suficiente para pagar
o computador.Se optar pelo 3.º plano, ao fim do mês ela terá 855 ·
1,01 = R$863,55 e pagará R$225,00, ficando com R$638,55. Ao fim do
2.º mês, ela terá 638,55 · 1,01 ≅ ≅ R$644,94 e pagará mais
R$225,00, ficando com R$419,94 e assim sucessivamente, até o fim do
4.º mês, quando terá R$201,13, que não serão suficientes para pagar
a última parcela de R$225,00.Na quarta opção ela terá, após 3
meses, 855 · (1,02)3 ≅ R$907,33, o que será suficiente para pagar o
computador e ainda obter um ganho de R$7,33.Portanto, a opção 4 é a
melhor dentre as disponíveis.
9. AO montante obtido com o presente dos pais é5 000 · (1 +
0,005)60 ≅ 5 000 · 1,35 = R$6.750,00.O montante obtido com as
aplicações mensais é dado por
100 1 005 1 005 1 100 1 0051
11 005
1
59 58 59
60
⋅ + + + = ⋅ ⋅−
−( , , ... ) , ,
111 005
1000 35
0 0057 000 00
,,
,$ . ,
≅ ⋅
≅ R
Matemática C
Distância entre ponto e reta e
área de um triângulo PVE18_7_MAT_C_25
Praticando
1. DD
ax by c
a bu mrA, . .=