Linearni vremenski invarijantni (LTI) kontinualni sistemiwebsrv3.viser.edu.rs/avt/stari/download/PDF/doavs_konvolucija.pdf · sampling.php . Seminarski radovi ! 30 poena ! Mogućnost

Linearni vremenski invarijantni (LTI) kontinualni sistemi

LTI sistemi

n  LTI ¨ L - linear ¨ TI – time-invariant

n  većina fizičkih procesa poseduje ova svojstva i mogu se modelirati kao LTI sistemi,

n  pogodni za analizu zbog svojstva superpozicije.

Svojstvo superpozicije

n Ako se ulaz u LTI sistem može predstaviti kao linearna kombinacija skupa osnovnih (baznih) signala, superpozicija se može iskoristiti da se izlaz sistema izračuna kao suma odziva sistema na pojedinačne bazne signale.

LTI sistemi

n Pokazaćemo da je relacija između ulaza i izlaza LTI sistema povezana preko operacije konvolucije.

n Značaj konvolucije: poznavanje odziva sistema na impulsni ulaz osigurava mogućnost određivanja odziva sistema na proizvoljne ulazne signale.

Odziv kontinualnih LTI sistema i konvolucioni integral n  Impulsni odziv:

¨ Impulsni odziv h(t) kontinualnog LTI sistema (opisanog pomoću operatora T) se definiše kao odziv sistema kada je ulaz δ(t), tj.

h(t)=T{δ(t)} Zbog čega nam je zanimljiv impulsni odziv?

Impulsni odziv n Omogućava nam da odredimo odziv LTI

sistema na proizvoljan ulaz. n Proizvoljan signal x(t) možemo predstaviti

pomoću velikog broja pomerenih δ impulsa.

n  Aproksimiramo proizvoljni ulazni signal x(t) pomoću sume pomerenih i skaliranih impulsa

)()(ˆ Δ= kxtx

Δ+<<Δ )1(ktk

ima jediničnu površinu )(tΔδ

Δ+ )1(k

ΔΔ−Δ= Δ )()( ktkx δ

ΔΔ−Δ= ∑∞

−∞=Δ

kktkxtx )()()(ˆ δ

0→Δ ττδτ dtxtx ∫∞

∞−

−= )()()(

Odziv na proizvoljan ulaz

n  Pošto je sistem linearan, odziv y(t) na proizvoljan ulaz x(t) se može izraziti kao:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−== ∫∞

∞−

ττδτ dtxTtxTty )()()()(

{ } ττδτ dtTx )()( −= ∫∞

∞−

{ })()( τδτ −=− tTth

τττ dthxty )()()( −= ∫∞

∞−

Jer je sistem vrem. invarijantan

KONVOLUCIONI INTEGRAL

LTI SISTEM JE U POTPUNOSTI OKARAKTERISAN SVOJIM

IMPULSNIM ODZIVOM.

Ili na drugi način... )(tx LTI

sistem )(ty)()( tht ΔΔ →δ

∑∞

−∞=Δ ΔΔ−Δ=

kktkxtx )()()(ˆ δ ∑

∞

−∞=Δ ΔΔ−Δ=

kkthkxty )()()(ˆ

0→Δ

τττ dthxty )()()( −= ∫∞

∞−

ττδτ dtxtx )()()( −= ∫∞

∞−

Konvolucioni integral

n  Konvolucija dva kontinualna signala x(t) i h(t) je:

n  Fundamentalan rezultat da je izlaz bilo kojeg kontinualnog LTI sistema konvolucija ulaza x(t) i impulsnog odziva h(t).

∫∞

∞−

−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(

Operacija konvolucije

∫∞

∞−

−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(

)(τh )( τ−hobrnuti

)( τ−h )( τ−thpomeriti za t

pomnožiti )()( ττ −thx integraliti ∫∞

∞−

− τττ dthx )()(

Primer x(t)

1

1 3 t

h(t) 1

-1 t -2 *

x(τ) 1

1 3 τ

h(t-τ)

t

Obrnuti i pomeriti za t

t+1 τ t+2

Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz

t < -1 0 0

x(τ) 1

1 3 τ

h(t-τ)

t t+1 τ t+2

0 1

1

Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz

-1 < t < 0 y(t)=(t+1)(t+2-1)/2

=(t+1)2/2

x(τ) 1

1 3 τ

h(t-τ)

t t+1 τ t+2

1 2

2

t+1 t+2

t+1

Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz

0 < t < 1 y(t)=(1/2)·1 · 1=1/2

x(τ) 1

1 3 τ

h(t-τ)

t t+1 τ t+2

2 3

2

t+1 t+2

1

Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz

1 < t < 2 y(t)=(1/2)-(t+2-3)(t-1)/2

= (1/2)-(t-1)2/2

x(τ) 1

1 3 τ

h(t-τ)

t t+1 τ t+2

3 4

4

t+1 t+2

1

Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz

t > 2 0

x(τ) 1

1 3 τ

h(t-τ)

t t+1 τ t+2

0

Linkovi ka animiranim primerima

n  http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution n  http://www.youtube.com/watch?

v=MEDjw6VcDTY

Svojstva konvolucionog integrala 1. Komutativnost

2. Asocijativnost

3. Distributivnost

)(*)()(*)( txththtx =

{ } { })(*)(*)()(*)(*)( 2121 ththtxththtx =

{ } )(*)()(*)()()(*)( 2121 thtxthtxththtx +=+

Primeri

)()(*)( 00 ttxtttx −=−δ

)()(*)( txttx =δ

Odziv na step funkciju { })()( tuTts =

τττττ dhdtuhtuthtst

∫∫∞−

∞

∞−

=−== )()()()(*)()(

τ

u(τ)

1

τ

u(t-τ)

1

t

ODSKOČNI ODZIV s(t) SE MOŽE DOBITI INTEGRACIJOM IMPULSNOG ODZIVA h(t).

Ili integracijom poslednje jednačine:

h(t)=ds(t)/dt

Svojstva kontinualnih LTI sistema

n  Sistemi sa ili bez memorije ¨  Izlaz zavisi samo od ulaza u tom trenutku. ¨ Ako je sistem linearan i vremenski invarijantan,

očigledno da sistem poseduje ova svojstva samo ako je y(t)=Kx(t).

¨ Bez memorije => nema izvoda i integrala. ¨ Da bi izlaz zavisio samo od ulaza u datom trenutku,

mora biti h(t)=0 za t≠0 (konvolucioni integral). ¨  Impulsni odziv takvog sistema je K(t)=Kδ(t).

Kauzalnost

n  Izlaz sistema zavisi samo od tekućih i prošlih vrednosti ulaza u sistem.

n  Da bi LTI sistem bio kauzalan, odziv y(t) ne sme zavisiti od ulaza x(τ) za τ>t.

n  U konvolucionom integralu članovi h(t-τ) koji množe vrednosti x(τ) za τ>t moraju biti nula.

n  Ova činjenica zahteva da impulsni odziv kauzalnog kontinualnog LTI sistema zadovoljava:

h(t)=0 za t<0.

Kauzalnost

n  Izlaz kauzalnog kontinualnog LTI sistema:

n  Ako je i ulazni signal kauzalan:

ττττττ dthxdtxhtyt

)()()()()(0

−=−= ∫∫∞−

∞

ττττττ dthxdtxhtytt

)()()()()(00

−=−= ∫∫

Stabilnost

n  Prema definiciji, sistem je BIBO stabilan ako ograničen ulaz daje ograničen izlaz.

n  Ako je Ix(t)I<B za svako t, onda vredi:

n  Sistem je BIBO stabilan ako je njegov impulsni odziv apsolutno integrabilan:

ττ

ττττττ

dhB

dtxhdtxhty

∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

≤

−≤−=

)(

)()()()()(

∞<∫∞

∞−

ττ dh )(

Svojstvene funkcije kontinualnih LTI sistema T: Ako operator T opisuje kontinualni LTI

sistem, tada vredi T{est}=λest, gde je s kompleksna promenljiva i λ kompl. konst.

D: Neka je y(t) izlaz sistema na ulaz x(t)=est. T{est}=y(t) Sistem je vremenski invarijantan: T{es(t+t0)}=y(t+t0) za proizvoljno t0

Sistem je linearan:

T{es(t+t0)}=T{estest0}=est0T{est}=est0y(t)

T je operator koji se odnosi na t. Za njega je est0 konstanta. y(t+t0)=est0y(t)

Kako je t0 proizvoljno, smenom t0 u t imamo:

T{est}=λest, λ=y(0)

y(t)=y(0)est=λest

y(t0)=y(0)est0 Uzimajući t=0:

Svojstvene funkcije

n  Funkcija X(·) koja zadovoljava jednačinu T{X(·)}=λX(·) naziva se svojstvena (ili karakteristična) funkcija

operatora T a konstanta λ je svojstvena vrednost koja odgovara svojstvenoj funkciji X(·).

U konvolucionom integralu uzmemo x(t)=est:

{ } ( )

stststs

tsst

eesHedeh

deheTty

λττ

ττ

τ

τ

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

∫

∫∞

∞−

−

−∞

∞−

)()(

)( )(

( ) ( )sHydehsH s === −∞

∞−∫ 0,)()( ττλ τ

Literatura

n Oppenheim, Willsky, “Signals and Systems”, Prentice-Hall, Second edition.

n MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.

Dekonvolucija

n  x(t) * h(t) = y(t) - konvolucija n  h(t) – funkcija koju želimo da izdvojimo

(impulsni odziv sistema) n  x(t) – pobudna funkcija (sweep) n  y(t) – snimljeni odziv sistema na pobudu n Cilj dekonvolucije: Izdvojiti h(t) – čist odziv

sistema, bez primesa pobudnog signala

n  konvolucijom izlaznog signala i vremenski invertovanog ulaznog signal moguće je direktno izdvojiti impulsni odziv sistema, kroz operaciju dekonvolucije:

h(t) = y(t) * x(-t)

Primena konvolucije/dekonvolucije n Merenje impulsnog odziva sistema n Konvolucioni reverbi n Filtracija slike

Merenje impulsnog odziva

n Pobuda impulsom – starterski pištolji, klapne, petarde, električne varnice, baloni...može, ali je nepraktično!

n Pobudni signali koji se reprodukuju zvučnikom: Sweep i MLS tipa.

Merenje – sweep pobude

n  Linearni logaritamski sweep signali: niz prostih tonova može biti linearan (linear

sweep), što znači da je promena frekvencije konstantna u vremenu, ili eksponencijalan (logarithmic sweep), što znači da frekvencija signala raste sa fiksnim faktorom u jedinici vremena (npr. frekvencija se udvostručava svake sekunde).

MLS n  MLS: Maximum Length Sequence n  Beli šum – pobuđuje sve frekvencije

ravnomerno. Statistički, to je potpuno slučajan (random) proces (nedeterministički signal).

n  MLS: iste statističke osobine kao beli šum, ali je potpuno određen/predvidiv/ponovljiv (deterministički signal).

n  Primena u kriptografiji – ko sluša, čuje šum! Nije šum, već kontrolisana sekvenca u koju je upakovana informacija.

Konvolucioni reverbi

n  y(t) – snimljeni odziv prostorije sa sve pobudnim signalom

n  x(t) – pobudni signal (Sweep, MLS) n  h(t) – čist impulsni odziv prostorije – reverb n  Softveri bazirani na dekonvoluciji – za

“semplovanje” prostora n  Konvolucija – spajanje tako semplovanih

impulsnih odziva sa pobudnim signalima – Konvoloucioni reverbi

Konvolucioni reverbi

n  http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_reverb (pogledati i External Links)

n  http://www.audioease.com/Pages/Altiverb/sampling.php

Seminarski radovi n  30 poena n  Mogućnost izražavanja želje, ali teme zadaje i rad

organizuje predmetni nastavnik. n  Uslov za upis konačne ocene n  Timski rad u grupama od po tri studenta n  Obim: minimum 10 strana sa sve slikama (Times New

Roman 12) n  Rok za predaju radova za junski ispitni rok: 25. jun n  Vežbe 20 poena n  Test 50 poena

Teme n  Umetnost odabiranja n  Audio perceptivni kodovi n  Kompresione tehnike n  PCM n  Optički mediji: od Video diska do Plavog zraka n  Video kodeci n  Protokoli i standardi prenosa digitalnih signala (AES/EBU, SPDIF,

HDMI, optičke veze...) n  Digitalna televizija n  Softveri za digitalnu obradu video signala n  Softveri za digitalnu obradu audio signala n  Uticaj procesa digitalizacije na savremene tokove ljudskog društva n  Dekonvolucione merne tehnike n  Konvolucione simulacije akustičkih prostora