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Lineare zeitinvariante analoge Systeme =gt Differentialgleichungen
Differenzengleichung (Beispiel)
R
Cx(t) y(t)
Lineare zeitinvariante diskrete Systeme =gt Differenzengleichungen
dy(t)dt asymp (1Ts)[y(nTs)-y((n-1)Ts)]
y[n] = b0x[n] - a1y[n-1]Ts
x[n] y[n]
-a1
b0
RC
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 1
b0 = Ts(Ts+τ) und a1 = b0-1
τmiddotdy(t)dt + y(t) = x(t)
Differenzengleichung
Nicht-rekursive Systeme (FIR-Transversalfilter)
Rekursive Systeme (IIR-Filter)
Ts Ts
b0 b1 bN
x[n]x[n-1] x[n-N]
y[n]
Ts
-a1
y[n-1]Ts
-aM -aM-1
y[n-M]
bN-1
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 2
Impulsantwort und Faltungssumme
LTD-System
n
δ[n]
1
h[n] (Impulsantwort)
n
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]
x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]
xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n x k h n k h k x n k
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 2
Differenzengleichung
Nicht-rekursive Systeme (FIR-Transversalfilter)
Rekursive Systeme (IIR-Filter)
Ts Ts
b0 b1 bN
x[n]x[n-1] x[n-N]
y[n]
Ts
-a1
y[n-1]Ts
-aM -aM-1
y[n-M]
bN-1
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 2
Impulsantwort und Faltungssumme
LTD-System
n
δ[n]
1
h[n] (Impulsantwort)
n
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]
x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]
xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n x k h n k h k x n k
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 3
Impulsantwort und Faltungssumme
LTD-System
n
δ[n]
1
h[n] (Impulsantwort)
n
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]
x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]
xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n x k h n k h k x n k
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 4
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 5
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 6
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 7
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 8
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 9
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 10
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 11
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 12
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 13
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 14
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 15
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
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Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
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Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 16
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
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Anwendungen
bull bull
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Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
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y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
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Anwendungen
bull bull
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Folie 1 Folie 2 Folie 3 Folie 4 Folie 5 Folie 6 Folie 7 Folie 8 Folie 9 Folie 10 Folie 11 Folie 12 Folie 13 Folie 14 Folie 15 Folie 16 Folie 17 Folie 18 Folie 19 Folie 20 Page 18
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