Lineāras vienādojumu sistēmas Sistēmas ar konstantiem koeficientiem
Jan 19, 2016
Lineāras vienādojumu sistēmas
Sistēmas ar konstantiem koeficientiem
2
1
2221
1211 ,
,
, vai)(
f
ff
aa
aaA
y
xX
AXdt
dXtfAX
dt
dX
)(
)(
22221
11211
tfyaxay
tfyaxax
Lineāra nehomogēna 2 vienādojumu sistēma, ja 0f
Lineāra homogēna sistēma
yaxay
yaxax
2221
1211
(1)
(2)
AXdt
dX
Sistēmai
atrisinājumu meklē formā
2,)( RaaetX t
Ievietojot sistēmā, iegūstam vienādojumu noteikšanai:
0)det(
AE
AaaAaeae tt
(3)
(3) ir matricas A harakteristiskais vienādojums, jābūt
matricas A īpašvērtībām, bet a atbilstošajiem īpašvektoriem.
Praktiski 2 vienādojumu sistēmu gan homogēnu, gan nehomogēnu var risināt ar izslēgšanas metodi.
Piemērs.
yxy
yxx
25
2
Reducējam sistēmu par vienu otrās kārtas vienādojumu, izslēdzot y:
xxxxxxyxxyxx 12)(210)25(22
Iegūts vienādojums 012 xxx
Atrodam x(t):tt eCeCtx 4
23
1
212
)(
4,3012
Ievietojot sistēmas pirmajā vienādojumā, atrodam y(t):
tt eeCtxtxty 431 2
5))()((
2
1)(
Divi lineāri neatkarīgi sistēmas atrisinājumi ir, piemēram, vektori:
tt ee 43
5
2 ,
1
1
Sistēmas vispārīgais atrisinājums ir šo vektoru lineāra kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem. Risinot ar izslēgšanas metodi, iegūstam vispārīgo atrisinājumu.
x(t) y(t)
Trajektorijas (x,y) plaknē
2.piemērs.
yy
yxx
Atvasinot otro vienādojumu, nav iespējams izslēgt funkciju x, tāpēc šoreiz noteikti jāatvasina pirmais vienādojums un jāizslēdz y:
)()(
1012
02
)(
21
2,12
CtCetx
xxx
xxxyxyxx
t
No pirmā vienādojuma, ievietojot: teCty 1)(
Lineāri neatkarīgie atrisinājumu vektori:
tt et
e
1
,0
1
Plaknes lineāras sistēmas trajektoriju klasifikācija
Sistēma (2)
AXdt
dX
yaxay
yaxax
2221
1211
ir autonoma. Plaknē (x,y) izdarot lineāru transformāciju, kuras rezultātā koordinātu asis tiek vērstas matricas A īpašvektoru virzienos, sistēmu (2) iespējams reducēt iespējami vienkāršā formā.
vai
APYPYAPYYPPYX 1
Iegūtās lineārās sistēmas matrica ir līdzīga matricai A. Turpmāk pieņemsim 0det ASistēmai ir viens pats stacionārs punkts x=y=0.
2
1121 0
0 ,
APPRj1)
Šādās koordinātēs sistēma iegūst izskatu
,2
1
vv
uu
kur koordinātu asis ir vērstas matricas īpašvektoru virzienos.
Sistēmas trajektorijas ir taisnes u=0,v=0, bet pārējās atrodam no vienādojuma
1
2
1
2
Cuvu
v
du
dv
a) Ja 021 , sistēmas trajektorijas ir parabolu loki.
Šādu stacionāro punktu sauc par mezgla punktu.
yxy
yxx
5
3
4 ,208605 1
3 121
2
--
Īpašvektori:baaba
b
a
b
a3232
5- 1
3 1
baabab
a
b
a
4345- 1
3 1
Piemērs.
Piezīmes.
1) Kustības virzienu pa trajektorijām nosaka lauka vektoru virziens. Šo pašu virzienu var noteikt pēc īpašvērtību zīmēm: ja abas īpašvērtības ir negatīvas, visas trajektorijas, t pieaugot, tiecas uz stacionāro punktu, turpretī pozitīvām īpašvērtībām trajektorijas tiecas uz bezgalību.
tgandrīz visas trajektorijas tiecas pieskarties tam īpašvektoram, kurš atbilst pēc moduļa mazākajai īpašvērtībai.
2)
b) Ja 021 , trajektorijas ir hiperbolu loki.
Stacionāro punktu sauc par sedlu punktu.
Piemērs: skat. 4., 5., 6.slaidu
2) 21 a) Matrica var būt formāAPP 1
1
1
0
0
Sistēmaivv
uu
1
1
trajektorijas ir visi stari, kas iziet
no koordinātu sākuma punkta.
Stacionāro punktu sauc par dikritisku mezglu.
b) Ja
1
11
0
1
APP
matricai ir tikai viens īpašvektors. Sistēmas
vv
vuu
1
1
trajektorijas ir vērstas īpašvektora virzienā v=0, bet pārējās atrod, atrisinot vienādojumu
vvu
v
u
dv
duln
11
11
Trajektoriju izvietojumu skat. nākošā piemērā.
diff(x(t),t)=-x(t)+4*y(t)diff(y(t),t)=-x(t)-5*y(t)
321 Īpašvektors
1
2
Stacionāro punktu sauc par deģenerētu mezglu.
Kustība, t pieaugot, notiek virzienā uz stacionāro punktu.
3) Ja i 21
Koordinātu asis vēršot kompleksi saistīto īpašvektoru reālās un imaginārās daļas virzienā, sistēmu iespējams reducēt reālā kanoniskā formā
ivu
vuv
vuu
Pārejot uz polārajām koordinātēm
,sin
cos
rv
ru
iegūstam sistēmu izskatā
rr
Cer Tātad:
a) Ja ,0 stacionāro puntu sauc par fokusu.
diff(x(t),t)=-x(t)+13*y(t)diff(y(t),t)=-x(t)-5*y(t)
Piemērs.
i332,1
b) Ja =0, r=C, stacionāro punktu sauc par centru.
diff(x(t),t)=5*x(t)+13*y(t)diff(y(t),t)=-2*x(t)-5*y(t)
Piemērs.
i2,1
Ievērot: centra punkta gadījumā kustības virzienu pa trajektorijām īpašvērtības nenosaka. Piemērā: 0,00,0 yxyx
x aug, y dilst.
Plaknes lineāras autonomas sistēmas x‘=Ax stacionāro punktu tipi
Mezgls
Sedli
Dikritisks mezgls
Deģenerēts mezgls
Fokuss
Centrs0 , , 2121 Rj
0 , , 2121 Rj
21
21 1 īpašvektors
0 ,2,1 i
i2,1
Lineāras nehomogēnas sistēmas.
Ja , m ir naturāls vai 0, C ir kompleksa konstante, sistēmas partikulāro atrisinājumu var meklēt ar nenoteikto koeficientu metodi. Atrisinājuma komponentes ir formā:
Qm(t)et, ja nav matricas A īpašvērtība, kur Qm(t) ir
polinomi, kuru pakāpe nepārsniedz m;
Qm+k(t)et, ja sakrīt ar matricas A īpašvērtību ar kārtu k.
ntm Raeattf ,)(
)(tfAxdt
dx
Piemērs.
teyy
tyxx
121 Matricai ir divkārša reāla īpašvērtība
t
t
eCty
etCCtx
2hom
21hom
)(
)()(
0
0
1
1
0)( teetf t
Sistēmaiyy
tyxx
Partikulāro atrisinājumu meklējam izskatā
2,1,1,0 m
dctty
battx
)(
)(
1
1
Ievietojot sistēmas vienādojumos, dabū:
batc
tdctbata
Salīdzinot koeficientus pie vienādām t pakāpēm abu vienādojumu labajās un kreisajās pusēs, atrodam:
1)( ,1)(
1 ,1 ,1 ,0
11
ttytx
dbca
Sistēmaitexy
yxx
0 ,121 m
Partikulāro atrisinājumu meklējam formā
t
t
emltktty
ecbtattx
)()(
)()(2
2
22
mblka ,1 ,0 ,2
1Konstantes m,c paliek brīvas (kāpēc?)
1)(
12
1)()(
2
221
tteeCty
etetCCtx
tt
tt
Tātad var ņemt tt tetyet
tx )( ,2
)( 2
2
2
un sistēmas vispārīgais atrisinājums ir
Ja , Atrisinājuma komponentes ir
ja nav matricas īpašvērtības, Pm(t), Qm(t) ir
polinomi ar pakāpēm ne augstākām par m.
Ja ir matricas A īpašvērtības, polinomu pakāpe atrisinājumā var par 1 vienību palielināties, atrisinājuma komponentes ir meklējamas formā
. )sin)(cos)(( 11 ttQttPe mmt
)sin)(cos)(( ttQttPe mmt
RbRatbtaettf tm , ),sincos()(