เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 141 ฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส (FUNCTIONS OF SQUARE MATRICES) 4.1 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) 4.2 ทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem) 4.3 ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ (Exponential Function of a Matrix) 4.4 ตัวอยางการประยุกตใชงานฟงกชันของเมทริกซจัตุรัสกับระบบสมการเชิงอนุพันธ (Systems of Differential Equations) 4.5 บทสรุปทายบท (Summary) 4.6 แบบฝกหัดทายบท (Exercises) ในบทนี้จะกลาวถึงฟงกชันตางๆ ที่เกี่ยวของกับการประยุกตใชงานกับเมทริกซจัตุรัส อาทิ เชน พหุนาม (Polynomials) ของเมทริกซจัตุรัส ฟงกชันเลขชี้กําลัง (Exponential Functions) ของเมทริกซ และระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสน (System of Linear Differential Equations) เปนตน โดยใชการแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) หรือ การใชทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem) ตัวอยางหนึ่งของฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส ไดแก พหุนามของเมทริกซจัตุรัส 2 0 1 2 ( ) ... n n p a a a a = + + + + A I A A A ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 4-1 ถาพหุนามของตัวแปร x คือ 2 5 4 px x x ()= + + แลว จงหาพหุนามของเมทริกซ A คือ p(A) เมื่อกําหนดให 1 2 3 -4 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A วิธีทํา ทําการแทนคาตัวแปร x =A ลงในสมการของพหุนาม px () จะไดวา 2 ( ) 5 4 p A = A + A+ I 1 2 1 2 1 0 5 4 3 -4 3 -4 0 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 16 4 6 6 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ตอบ 4 เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 142 4.1 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) สําหรับเมทริกซจัตุรัส m n × A ที่มีคาลักษณะเฉพาะ i λ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่ สอดคลองกัน คือ i x สําหรับ 1, 2, ..., i n = จะมีความสัมพันธกันดังนี้ i i i λ Ax = x (4.1) ในการพิจารณาหาคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2 3 , A A และ โดยทั่วไป n A ซึ่งเปนฟงกชันหนึ่งของเมทริกซจัตุรัส จะใชความสัมพันธในสมการ (4.1) ในการหาคาดังกลาว คือ 2 i i ⋅ Ax =AAx แทนคา i Ax ทางขวามือของสมการนี้ ดวย i i λ x จะไดวา ( ) i i i λ 2 Ax = A x ( ) i i λ = Ax (เนื่องจาก i λ เปนคาคงที่) ( ) i i i λ λ = x 2 2 i i i λ Ax = x (4.2) จากสมการที่ (4.2) พบวา คาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2 A คือ 2 i λ ในขณะที่ เวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2 A คือเวกเตอร i x ซึ่งเปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของ เมทริกซ A ดวย ในทํานองเดียวกัน การหาคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ n A เมื่อ 2, 3, ... n = จึงไดความสัมพันธโดยทั่วไป ดังสมการตอไปนี้ n n i i i λ Ax = x (4.3) กลาวคือ คาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ n A คือ n i λ โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันคือเวกเตอร i x เมื่อพิจารณาจากพหุนามอันดับ n ของเมทริกซจัตุรัส A ซึ่งมีรูปทั่วไป ดังนี้ 2 0 1 2 ( ) ... n n p a a a a + + + + A = I A A A (4.4)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 141
ฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส (FUNCTIONS OF SQUARE MATRICES)
4.1 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) 4.2 ทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem) 4.3 ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ (Exponential Function of a Matrix) 4.4 ตัวอยางการประยุกตใชงานฟงกชันของเมทริกซจัตุรัสกับระบบสมการเชิงอนุพันธ (Systems of Differential Equations) 4.5 บทสรุปทายบท (Summary) 4.6 แบบฝกหัดทายบท (Exercises) ในบทนี้จะกลาวถึงฟงกชันตางๆ ที่เกี่ยวของกับการประยุกตใชงานกับเมทริกซจัตุรัส อาทิ เชน พหุนาม (Polynomials) ของเมทริกซจัตุรัส ฟงกชันเลขชี้กําลัง (Exponential Functions) ของเมทริกซ และระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสน (System of Linear Differential Equations) เปนตน โดยใชการแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) หรือการใชทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem)
4.1 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) สําหรับเมทริกซจัตุรัส m n×A ที่มีคาลักษณะเฉพาะ iλ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือ ix สําหรับ 1,2,...,i n= จะมีความสัมพันธกันดังนี้
i i iλAx = x
(4.1)
ในการพิจารณาหาคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2 3,A A และ โดยทั่วไป nA ซึ่งเปนฟงกชันหนึ่งของเมทริกซจัตุรัส จะใชความสัมพันธในสมการ (4.1) ในการหาคาดังกลาว คือ
2i i⋅A x = A A x
แทนคา iAx ทางขวามือของสมการนี้ ดวย i iλ x จะไดวา
( )i i iλ2A x = A x
( )i iλ= Ax (เนื่องจาก iλ เปนคาคงที่)
( )i i iλ λ= x 2 2
i i iλA x = x (4.2) จากสมการที่ (4.2) พบวา คาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2A คือ 2
iλ ในขณะที่เวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ 2A คือเวกเตอร ix ซึ่งเปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ดวย ในทํานองเดียวกัน การหาคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ nA เมื่อ 2, 3,...n = จึงไดความสัมพันธโดยทั่วไป ดังสมการตอไปนี้
n n
i i iλA x = x
(4.3)
กลาวคือ คาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ nA คือ niλ
โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันคือเวกเตอร ix เมื่อพิจารณาจากพหุนามอันดับ n ของเมทริกซจัตุรัส A ซึ่งมีรูปทั่วไป ดังนี้
20 1 2( ) ... n
np a a a a+ + + +A = I A A A
(4.4)
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 143
หากเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A นี้ เปนเวกเตอร ix เมื่อ 1,...,i n= จากนั้น ทําการคูณทั้งสองขางของสมการที่ (4.4) ดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix จะไดวา
20 1 2( ) ... n
i i i i n ip a a a a+ + + +A x = x Ax A x A x
(4.5) ใชความสัมพันธของกําลังที่ n ของเมทริกซ A กับคาลักษณะเฉพาะ iλ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix ในสมการที่ (4.3) เพื่อทําใหเทอมทางขวามือของสมการที่ (4.5) เปนฟงกชันของ iλ และ ix เทานั้น ไดเปน
2( ) ( ... )ni i i n i ip a a a aλ λ λ+ + + +0 1 2A x = x
( )i ip λ= x (4.6) เมื่อ ( )ip λ เปนพหุนามของคาลักษณะเฉพาะ iλ จากสมการที่ (4.6) จะเห็นวาคาลักษณะเฉพาะของ ( )p A คือ ( )ip λ โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือเวกเตอร ix จากตัวอยางฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส A นี้สามารถสรุปเปนกรณีทั่วไปไดดังทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฏีบทที่ 4-1 ถาเมทริกซ n n×A มีคาลักษณะเฉพาะเปน iλ เมื่อ 1,...,i n= และมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันเปน ix แลว ฟงกชันของเมทริกซ , ( )fA A จะมีคาลักษณะเฉพาะเปน
if λ( ) เมื่อ 1,....,i n= และมีคาลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกันเปน ix ในบทที่ 3 เรากลาวถึงวิธีการแนวทแยงในการทําใหเมทริกซจัตุรัส n n×A อยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียง D ได โดยเกี่ยวของกับคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A โดยที่ -1A = PDP โดยมีสมบัติวา ตัวกําหนดของเมทริกซ A กับตัวกําหนดของเมทริกซ D จะเทากัน และเปนผลคูณของคาลักษณะเฉพาะ iλ เมื่อ 1,...,i n= ดังนี้
=A D
1 2 ... nλ λ λ⋅=
(4.7)
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 144
จากทฤษฏีบทที่ 4-1 ที่วา คาลักษณะเฉพาะของฟงกชันของเมทริกซ , ( ),fA A คือฟงกชันของคาลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ , if λA ( ) ดังนั้น คาตัวกําหนดของ ( )f A จะเปนผลคูณของ if λ( ) เมื่อ 1,...,i n= กลาวคือ
( ) 1 2( ) ( ) ... ( )nf f f fλ λ λ⋅ ⋅ ⋅A =
(4.8)
นอกจากนี้ เมื่อเขียนใหมเมทริกซเฉียง D ใหอยูในรูปของเมทริกซ A และเมทริกซ P ดวยวิธีการแนวทแยง จะไดวา
-1D = P AP
(4.9)
จากนั้น จึงทําการยกกําลัง k ทั้งสองขางของสมการที่ (4.9) จะไดความสัมพันธในการหากําลังที่ k ของเมทริกซเฉียง D ดังนี้
( )kk -1D = P AP
( )( ) ( )...= -1 -1 -1P AP P AP P AP
k-1= P A P (4.10) ซึ่งสรุปไดวา เมทริกซ kA และ kD คลายกัน (Similar) เมื่อ k เปนคาคงที่และเปนกําลังของเมทริกซ ดังนั้น พหุนามอันดับ n ของเมทริกซเฉียง D สามารถเขียนไดเปน
i i i n ip a a a aλ λ λ λ+ + + += เปนพหุนามอันดับ n ของคาลักษณะเฉพาะ iλ สําหรับ 1,2,...,i n= จากนั้น ทําการแทนคา k k= -1D P A P ลงในสมการที่ (4.10) สําหรับ 0,1,...,k n= ตามลําดับ บนแนวทแยงมุมหลัก ในสมการที่ (4.11) จะไดวา
0 1 2( ) ... nnp a a a a+ + + +-1 -1 -1 2 -1D = P IP P AP P A P P A P
0 1 2( ... )nna a a a+ + + +-1 2= P I A A A P
( ) ( )p p-1D = P A P (4.13) เมื่อ ( )p A เปนพหุนามอันดับ n ของเมทริกซจัตุรัส A โดยสามารถเขียนใหมสมการที่(4.13) ไดเปน
( ) ( )p p -1A = P D P
(4.14)
จากสมการที่ (4.13) และ (4.14) แสดงวาพหุนาม ( )p A และพหุนาม ( )p D คลายกัน ทั้งนี้ความสัมพันธนี้เปนจริงกับฟงกชันอื่นๆ นอกเหนือจากพหุนามของเมทริกซ A และเมทริกซ D ทฤษฏีบทที่ 4-2 การแปลงแบบคลาย (Similarity Transformation) ถาเมทริกซจัตุรัส A และเมทริกซเฉียง D คลายกันแลว ฟงกชันของเมทริกซจัตุรัส A คือ ( )f A และฟงกชันของเมทริกซเฉียง D คือ ( )f D จะคลายกันดวย ตามความสัมพันธนี้
f f -1(A) = P (D)P (4.15)
เมื่อ P เปนเมทริกซฐานนิยามของเมทริกซ A และหาตัวผกผันได
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 146
ตัวอยางที่ 4-2 กําหนดใหเมทริกซ 9 2 6
5 0 3
16 4 11
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
A
จงคํานวณหาฟงกชันของเมทริกซ A ดังนี้ 5 3( ) 2 5f = + +A A A I วิธีทํา ในการคํานวณหาคาของ f (A) นั้น หากใชวิธีคํานวณโดยตรงก็สามารถทําได กลาวคือ คํานวณแตละเทอม หาเมทริกซ 5A เมทริกซ 32A และเมทริกซ 5I แลวจึงนําทั้ง 3 เทอมมาบวกกัน ในตัวอยางนี้จะแสดงการคํานวณหาคาของ f (A) โดยใชการแปลงแบบคลาย เริ่มจากความสัมพันธ f f -1(A) = P (D)P ในลําดับแรก ตองทําการหาเมทริกซ P และเมทริกซ D จากเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix และคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A เมื่อ 1,2, 3i = โดยใชสมการลักษณะเฉพาะตอไปนี้
ในการหาคาฟงกชันของเมทริกซเฉียง f (D) สามารถแทนคาของเมทริกซ A ดวยของเมทริกซเฉียง D ลงในความสัมพันธที่โจทยให ซึ่งคือ 5 32 5f + +(A) = A A I จะไดวา
5 32 5f = + +(D) D D I ทั้งนี้ การคํานวณหาเมทริกซ 5D เมทริกซ 32D และเมทริกซ 5I จะทําไดงายกวาฟงกชันเดียวกันของเมทริกซ A ดังนั้น ฟงกชันของเมทริกซเฉียง f (D) หาไดดังนี้
ซึ่งก็จะหาเมทริกซเฉียง ( )f D ไดเชนกัน จากนั้น ใชวิธีการหาตัวผกผันของเมทริกซจัตุรัสในบทที่ 3 จะไดตัวผกผันของเมทริกซ P เปน
1
1 1 1
1 2 0
2 0 1
−
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
P
(เมื่อตรวจสอบดวย = =-1 -1PP I P P พบวาเปนจริง) ขั้นตอนสุดทาย ใชการแปลงแบบคลาย จะไดคาฟงกชันของเมทริกซ A ในเทอมของฟงกชันของเมทริกซ D เมทริกซฐานนิยม P และตัวผกผันของเมทริกซฐานนิยม 1−P เปน
4.2 ทฤษฎีบทเคยเลยฮามิลตัน (Cayley-Hamilton Theorem) ทฤษฏีบทนี้ใชเพื่อเขียนใหม ฟงกชันพหุนามของเมทริกซจัตุรัส n n×A อันดับ n ใหอยูในเทอมของพหุนามของเมทริกซ A ที่มีอันดับต่ํากวา เชน 1n − หรือ 2n − หรือแมกระทั่งใชในการหาเขียนใหมเมทริกซ A ใหอยูในรูปของพหุนามของเมทริกซ A อันดับ m n> เพื่อชวยในการคํานวณหาคาเมทริกซผลลัพธของฟงกชันดังกลาว โดยมีขั้นตอนการดําเนินการดังตอไปนี้ เริ่มตนจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ซึ่งเปนสมการพหุนามอันดับ n ของคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A คือ
นอกจากนี้ หากเราคูณทั้งสองขางของสมการที่ (4.17) ดวยเมทริกซ 1−A และจัดรูปใหม จะทําใหเราสามารถหาตัวผกผันของเมทริกซ A โดยไมตองหาตัวกําหนดของเมทริกซ A ไดอีกดวย ดังนี้
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 150
( )n
n n nn
n
b bb
11 1 2
1 1( 1)
... ( 1)−
− − −−
−= − + + −A A A I (4.19)
ตัวอยางที่ 4-3 จงเขียนฟงกชันของเมทริกซ A ตอไปนี้ ใหอยูในเทอมของเมทริกซ A ที่มี
อันดับต่ําที่สุด เมื่อ 5 3( ) 2 5f = + +A A A I และให 9 2 6
5 0 3
16 4 11
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
A
วิธีทํา ใชทฤษฏีบทเคยเลยฮามิลตัน โดยเริ่มจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A
0λ− =A I
3 22 2 0λ λ λ− − + =
จากนั้น แทนคาลักษณะเฉพาะ λ ดวยเมทริกซ A จะไดวา
3 2 2= + −2A A A I (1) จากสมการที่ (1) เราสามารถหาคาของเมทริกซ nA ในเทอมของ 1n−A เมื่อ 4n = ได โดยหากอยูในรูปของเมทริกซ 3A ก็สามารถแทนคาของเมทริกซ 3A โดยใชสมการที่ (1) ไดเพื่อใหอยูในเทอมของเมทริกซ 2A และเมทริกซ A ซึ่งมีอันดับต่ํากวาเมทริกซ 3A ดังนี้ 4 3= ⋅A A A 3 22 2= + −A A A
2 22(2 2 ) 2= + − + −A A I A A 5 4= −2A I (2)
ดังนั้น เราสามารถหาคาของเมทริกซ 5A ในเทอมของ nA เมื่อ 5n < ได โดยใชสมการที่ (2) 5 4= ⋅A A A 35 4= −A A 5(2 2 ) 4= + − −2A A I A 10 10= + −2A A I
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 151
จากนั้น แทนคาของเมทริกซ 5A และเมทริกซ 3A ในสมการฟงกชันของเมทริกซ A คือ ( )f A จะไดฟงกชันของเมทริกซ A ในเทอมของเมทริกซที่มีอันดับต่ําที่สุด คือ เมทริกซ 2A
และเมทริกซ A ดังนี้ ( ) (10 10 ) 2(2 2 ) 5f = + − + + − +2 2A A A I A A I I 14 3 9= + −2A A I ตอบ
หากโจทยตองการคํานวณหาคาของ ( )f A จะไดเมทริกซผลลัพธดังนี้
4.3 ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ (Exponential Function of a matrix) ฟงกชันเลขชี้กําลังสําหรับคาสเกลาร a สามารถเขียนใหอยูในเทอมของอนุกรมกําลัง (Power Series) ไดดังนี้
2 31 11 ...
2 ! 3 !ae a a a= + + + +
(4.20)
ทั้งนี้ ฟงกชันเลขชี้กําลังสําหรับเมทริกซจัตุรัส n n×A ก็สามารถเขียนใหอยูในเทอมของอนุกรมไดเชนกัน ดังนี้
2 31 1...
2 ! 3 !e = + + + +A I A A A
(4.21)
เมื่อพิจารณากรณีของเมทริกซเฉียง n n×D ที่มีสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ , iλA เมื่อ 1,...,i n= คือ
1
2
0
0 n
λ
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D
(4.22)
แลว ฟงกชันเลขชี้กําลังสําหรับเมทริกซเฉียง D จะสามารถเขียนใหอยูในเทอมของอนุกรมกําลัง เชนในสมการที่ (4.21) ไดเปน
21 1
lim ...2 ! !
n
ne
n→∞
⎛ ⎞⎟⎜= + + + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠D I D D D
(4.23)
โดยที่อนุกรมกําลัง eD ลูเขา (Converge) เมื่อ n → ∞ จากนั้ นทํ าการแจกแจง เมทริ กซ kD เ มื่ อ 0,1,...,k n= ในรู ปแบบของค าลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A โดยใชสมการที่ (4.22) และกําลังของเมทริกซเฉียง D ในสมการที่ (4.10) อนุกรมกําลังของเมทริกซเฉียง D ในสมการที่ (4.4) กลายเปน
10
0
10
!
lim
10
!
nk
k
nn
kn
k
k
e
k
λ
λ
=
→∞
=
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑
D
โดย 0
1
!i
nki
k
ek
λλ=∑ = เปนอนุกรมกําลังของคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A เมื่อ
1,...,i n=
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 155
ดังนั้น 1
2
0
0 n
e
ee
e
λ
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D
(4.24)
หากเมทริกซจัตุรัส n n×A สามารถทําใหอยูในรูปแบบเมทริกซเฉียงได คือ
, 1,2,...k k k= =-1A PD P
(4.25)
เราสามารถหาฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซจัตุรัส n n×A นี้ไดจาก ฟงกชันเลขชี้กําลัง ของเมทริกซเฉียง D โดยใชสมการที่ (4.23) - (4.25) แทนคาลงในสมการที่ (4.21) แลวจัดรูปใหม จะไดวา
21
...2 !
e = + + +A -1 -1 -1PP PDP PD P
21...
2 !
⎛ ⎞⎟⎜= + + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠-1P I D D P
e e=A D -1P P (4.26) ซึ่งสมการที่ (4.26) อยูในรูปของ ( ) ( )f f= -1A P D P ของทฤษฎีบทที่ 4.2 นั่นเอง ตัวอยางที่ 4-6 จงคํานวณหาคาของฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ A เมื่อ
2 6
1 3
⎡− − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A
วิธีทํา ใชสมการที่ (4.25) ในการหาคา eA ดังนั้น เริ่มตนจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A เพื่อหาคาลักษณะเฉพาะ 1 2,λ λ และเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน 1 2,x x จะได
ทั้งนี้ ฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ n n×A สามารถเขียนใหอยูในรูปของพหุนามที่มีอันดับต่ํากวา n ได โดยเขียนคํานิยามของฟงกชันเลขชี้กําลังของเมทริกซ A ในสมการที่ (4.21) (ทฤษฏีเคยเลยฮามิลตัน) ใหอยูในรูปทั่วไป คือ
1
0 1 2 1( ) ... nnf e α α α α −−= = + + + +A 2A I A A A
จากนั้น จะไดฟงกชันของเมทริกซ A ในสมการที่ (1) เปน 2 63 1 1
( )3 1120 10 20
f⎡ − ⎤⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A A I ตอบ
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 160
ในการแกสมการฟงกชันของเมทริกซที่อยูในรูปของ
( )f =X A
(4.29)
สําหรับเมทริกซ A เมทริกซหนึ่งที่เปนเมทริกซจัตุรัส ขนาด n n× เมื่อ f ⋅( ) เปนฟงกชันพหุนามของเมทริกซจัตุรัส X ขนาดเทากัน ซึ่งเมทริกซ X เปนผลเฉลยของสมการดังกลาว ใหใชวิธีการแนวทแยง -1A = PDP โดยแทนคาเมทริกซ X และเมทริกซ A ดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะ x และคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A ตามลําดับ สมการที่ (4.29) กลายเปน
( ) , 1if x i nλ= ≤ ≤
(4.30)
ตัวแปร ,i jx เปนคําตอบของสมการที่ (4.30) และ 1 j m≤ ≤ เมื่อ m เปนจํานวนรากสูงสุดของสมการพหุนาม ( ) if x λ= จากนั้นสรางเมทริกซ jR ดังนี้
1,
,
0
0
j
j
n j
x
x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R
(4.31)
ดังนั้นฟงกชันพหุนามของเมทริกซ jR เขียนไดเปน
1,
,
( ) 0
( )
0 ( )
j
j
n j
f x
f
f x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R
(4.32)
แทนคา ( )f x ในสมการที่ (4.29) ลงในสมการที่ (4.32) จะไดวา
เมื่อ ( )iy t และ ( )iy t′ เปนตัวแปรขาเขาและตัวแปรขาออกของระบบหนึ่งๆ และ 1,2i = ทั้งนี้ตัวแปรขาออก ( )iy t′ เปนอนุพันธอันดับหนึ่งของตัวแปรขาเขา ( )iy t ในระบบตัวอยางนี้ ตัวแปรขาออก 1 ( )y t′ ซึ่งเปนฟงกชันของตัวแปรเวลา t และเปนฟงกชันของตัวแปรขาเขา 1( )y t และ 2( )y t
หากเขียนใหอยูในรูปทั่วไป ระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งที่เปนเชิงเสน เมื่อมีตัวแปรขาเขา n ตัว และตัวแปรขาออก n ตัว โดยขออนุญาตละฟงกชันของเวลา t ไว เพื่อลดความซับซอนของสมการ จะไดวา
เปน ระบบเชื่อมโยง (Coupled System) กลาวคือ เมทริกซสัมประสิทธิ์ A จะไมอยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียง ผลเฉลยของระบบสมการนี้ จะอยูในรูปแบบของ
teλ=y x
(4.47)
เมื่อ λ เปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A และ x เปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A ที่สอดคลองกันกับคา λ เราสามารถตรวจสอบความถูกตองของคําตอบนี้ได โดยหาอนุพันธอันดับที่หนึ่งของผลเฉลยในสมการที่ (4.47) ไดเปน
t te eλ λλ λ′ =y = x x
(4.48 ก)
λ= y
(4.48 ข)
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 166
หากทําการคูณทั้งสองขางของสมการที่ (4.47) ดวยเมทริกซ A จะไดวา
ซึ่งหมายความวาระบบสมการเชิงอนุพันธ ' =y Ay จะเปนจริงก็ตอเมื่อ λ=Ax x เทานั้น โดยความสัมพันธ λ=Ax x ที่ไดนี้ จะเปนจริงสําหรับกรณีที่ λ เปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A และ x เปนเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A เทานั้น ดังนั้น ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ ' =y Ay ในสมการที่ (4.46) คือ teλ=y x จะมีชื่อเรียกเฉพาะวา ฟงกชันลักษณะเฉพาะ (Eigenfunctions) ของระบบสมการเชิงอนุพันธ การลดความเชื่อมโยงของระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสน สําหรับระบบสมการเชิงอนุพันธอันดับที่หนึ่งที่เปนเชิงเสน
' =y Ay
(4.50)
หากเราสามารถทําใหเมทริกซ A อยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียงได (Diagonalizable) เราจะสามารถลดความเชื่อมโยงของระบบสมการเชิงอนุพันธแบบเชิงเสนได ทําใหสามารถหาผลเฉลยของระบบดังกลาวไดงายขึ้น สําหรับเมทริกซ A ขนาด n n× เราสามารถทําใหอยูในรูปแบบของเมทริกซเฉียงไดดังนี้
= -1A PDP
(4.51)
เมื่อเมทริกซ D เปนเมทริกซเฉียงที่มีสมาชิกบนแนวเสนทแยงมุมหลักเปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A กลาวคือ
1 0
0 n
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 167
โดยแถวตั้งแตละแถวของเมทริกซ P ประกอบไปดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะ ix ที่สอดคลองกันกับคาลักษณะเฉพาะ iλ ของเมทริกซ A เมื่อ 1,2, ,i n= …
1 1 2 2( ) nt tt c e c eλ λ= +y x x (เมื่อ 1c และ 2c เปนคาคงที่)
(1)
ทั้งนี้ หากเปลี่ยนตัวแปรใหม เปน
= -1w P y
(2)
เมื่อ -1P เปนเมทริกซผกผันของเมทริกซฐานนิยม P สําหรับ 1,2i = ที่ประกอบไปดวยเวกเตอรลักษณะเฉพาะของเมทริกซ , ,iA x ในแตละแถวตั้งของเมทริกซ P ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธนี้ จะอยูในรูปของเมทริกซ P และ -1P ดังนี้
1
2
0( ) (0)
0
t
t
et
e
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-1y P P y
(3)
เมื่อ iλ เปนคาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ A สําหรับ 1,2i = จากนั้น ใชสมการลักษณะเฉพาะ 0λ− =A I เพื่อหาคา iλ และ ix จะไดวา คาลักษณะเฉพาะ คือ 1 1λ −= และ 2 2λ = โดยมีเวกเตอรลักษณะเฉพาะที่สอดคลองกัน คือ
เอกสารคําสอน รายวิชา 2102205 171
1
1
-1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
x และ 2
0
1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
x
ทั้งนี้เมทริกซ A สามารถทําใหอยูในรูปเมทริกซเฉียงได คือ = -1A PDP
เมื่อ 1 2
1 0
1 1
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦
P x x
เมทริกซเฉียง คือ 1 0
0 2
⎡− ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D
และเมทริกซผกผันของเมทริกซ P คือ 11 0
1 1−
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
P
(สามารถตรวจสอบความถูกตองไดวา 1 1− −= =PP P P I เปนจริง) ดังนั้น ผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธในสมการที่ (3) จึงกลายเปน