l’impianto nella quale posizionarecdm.unimo.it/home/dimec/melloni.riccardo/LII-Ubicazione pw.pdf · 1 Ubicazione degli impianti industriali Tipi di scelta da affrontare Macroscelta

1

Ubicazione degli impianti Ubicazione degli impianti industrialiindustriali

Tipi di scelta da affrontare

Macroscelta

Microscelta

Determinare l’area geografica nella quale posizionare

l’impianto

Rappresenta l’aspetto topografico, cioè dove installare l’impianto all’interno dell’area geografica

prescelta

Metodi di ubicazione degli impianti industrialiMetodi di ubicazione degli impianti industriali

2

Fattori che intervengono nella scelta � Pianificazione territoriale

relativa ai piani regolatori provinciali che definiscono le zone di insediamento industriale

� Costi delle aree fabbricabili e costi di realizzazione dei fabbricati

� Struttura del mercatopuò essere diffuso o localizzato; ciò influenza i costi di distribuzione del prodotto

� Materie primesia dal punto di vista del costo che della facilità di reperimento


3

� Costo dei trasportisono tanto più rilevanti quanto più poveri sono i materiali trasportati

� Manodopera

sia dal punto di vista dei costi che della reperimento di operatori con competenze specialistiche

� Energiaoggigiorno non è un fattore molto importante in quanto non vi sono problemi di reperimento

� Impatto ambientaleè il fattore più importante ed è legato a fattori sociali e politici


4

Metodi di valutazione delle scelteFattori che influenzano la scelta

Quantitativi: tutti i fattori ai quali è possibile attribuire un valore

Qualitativi: tutti gli altri

� Metodi a punteggio� Metodi che fanno riferimento ai costi totali� Metodi che fanno riferimento ai costi di

trasporto


5

Metodo a punteggio

Si determinano i fattori determinanti per la valutazione delle diverse alternative

1) Si assegnano dei pesi normalizzati ad ognuno dei fattori (somma pesi = 100)

2) Per ognuna delle diverse soluzioni, si assegna una valutazione relativamente ad ogni fattore

3) Si moltiplicano i pesi per le valutazioni, e si sommano i risultati per ciascuna soluzione

4) La soluzione preferibile è quella che ottiene il punteggio più elevato

Procedimento


6

Esempio

Osservazioni� Il metodo è veloce e di facile applicazione

� Permette di identificare rapidamente le soluzioni palesemente inefficienti

� La scelta tra due o più soluzioni equivalenti va successivamente effettuata con metodi più raffinati


7

Metodo basato sui costi totaliConsiste in una valutazione approssimativa fatta sui costi di investimento e sui costi annui di esercizio.

Nel caso in cui i costi di investimento e quelli di esercizio diano risultati contrastanti, si deve procedere all’analisi dei flussi di cassa attualizzati.

Esempio

Osservazione


8

COSTI PROPORZIONALI ALLE DISTANZECOSTI PROPORZIONALI ALLE DISTANZE• Formulazione generale del problema

dell’allocazione di un impianto– i costi preponderanti sono quelli di trasporto– occorre individuare le distanze tra il punto incognito di

ubicazione e i punti generici da servire o da cui ci si serve

• costi proporzionali alle distanze rettangolari• costi proporzionali alle distanze euclidee• costi proporzionali alle distanze euclidee al quadrato

– il punto di ubicazione risulta dalla minimizzazione di una funzione costo che è la somma dei prodotti di un peso per le distanze percorse

– il peso è il prodotto del numero di viaggi che si prevede debbano essere effettuati in un determinato periodo ed il costo chilometrico.


9


FORMULAZIONE ANALITICA GENERALE DEL PROBLEMA

• Pi = m punti noti (i=1,…,m);

• X (x,y) = punto incognito di ubicazione del nuovo impianto;

• d (X,Pi) = distanza percorsa per ogni viaggio da X a Pi ;

• ci = costo per unità di percorso;

• ni = numero viaggi all’anno tra X e Pi;iii ncw ⋅=

Pesi: dipendono dal tipo e dalla frequenza dei trasporti

� COSTO TOTALE ANNUO DEI TRASPORTI:

( )i

m

ii PXdwXf ,)(

1⋅=∑

=

10


OBIETTIVO Determinare X*(x*,y*) per il quale f(X*) = min f(X)

La distanza d( X,Pi )può essere:

rettangolare

euclidea

X(x,y)

Pi(ai,bi)

1. Distanza euclidea (rettilinea):

( ) ( )22),( iii byaxPXd −+−=

• problemi trasporti aereiApplicazione:

• tracciati di pipelines

11


2. Distanza rettangolare

iii byaxPXd −+−=),(

• ubicazione di macchine Applicazione:

• spostamento di personale all’interno di un edificio

• traffico aree urbane

12

( ) ( )[ ]∑=

−+−=m

iiii byaxwXf

1

22)(

• risposta al fuco di un autocarro dei pompieriApplicazione:

Esempio in cui il costo non è una semplice funzione lineare della distanza.

3. Problema baricentrico (gravity problem o distanza euclidea al quadrato)

In questo caso carco di bilanciare le distanze, in modo da minimizzare il tempo di intervento; non è detto che la soluzione sia quella che minimizza la funzione costo totale di trasporto.


13


UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI ALLE DISTANZE RETTANGOLARI

Problema : minimizzare

( ) ( ) ( )yfxfbyaxwyxf ii

m

ii 21

1),( +=−+−=∑

=

Separando le variabili si ha:

∑∑==

=−+−=m

iiii

m

ii bywaxwyxf

11minmin),(min

)(min)(min 21 yfxf +=

14


1. Si riportano i punti noti sul diagramma e si costruisce il reticolato:

y

x0 c1 cj ct ct+1 cp

d1

di

ds

ds+1

dq

(s,t)

(i,j)

15


Siano:cj = coordinata x della verticale j-ima ( j=1,..,p )

( )∑wCj = = somma pesi dei punti sulla j-ima verticaledi = coordinata y della orizzontale i-ima ( i=1,…,q )

( )∑wDi = = somma pesi dei punti sulla i-ima orizzontale

La funzione di costo risulta così espressa:

i

q

iij

p

jj dyDcxCyxf −+−= ∑∑

== 11),(

Con: c1<c2<…<cp

d1<d2<…<dq

16


Si considerano i punti (x,y) della regione [s,t] tali che:

1+<≤ tt cxc 1+<≤ ss dyde

La funzione di costo assume la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+−+−= ∑∑∑∑+==+==

q

siii

s

iii

p

tjjjj

t

jj ydDdyDxcCcxCyxf

1111),(

stst CyNxM +⋅+⋅=

Dove: ∑∑+==

−=p

tjj

t

jjt CCM

11

∑∑+==

−=q

sii

s

iis DDN

11

=stC Somma dei restanti termini noti

In questo modo ho eliminato il valore assoluto

17


Linea isocosto: Luogo dei punti (x,y) in cui f(x,y) = cost.

KCyNxMyxf stst =+⋅+⋅=),(

s

st

s

t

NCKx

NMy −+⋅−=

La linea isocosto all’interno del rettangolo di analisi è una retta di coefficiente angolare:

s

tst N

MS −=

18


Devo trovare il punto di ottimo min f (x,y)

( ) ( ) stCyxyxf ++= 21),( ϕϕ

Con: ( ) xMx t ⋅=1ϕ( ) yNy s ⋅=2ϕ

( )x1minϕ

( )y2minϕ

Quindi sarà:01 == tM

dxdϕ

02 == sNdy

dϕ(1)

19


In realtà Mt e Ns non sono funzioni continue poiché sono la somma dei contributi dei pesi.

N.B:

Non posso utilizzare la condizione (1) ma devo valutare graficamente l’andamento delle funzioni φ1 e φ2 dentro e fuori la porzione considerata.

20

Ns-1 < 0

Ns > 0

Ns = 0

y* = ds

ds < y* <ds+1

Mt-1 < 0

Mt > 0

Mt = 0

ct

x* = ct

ct

ct < x* <ct+1

a)

b)

ds

ds


21


In conclusione il punto (xott,yott) di minimo per f(x,y) soddisfa uno dei seguenti uno dei seguenti 4 casi:

1.Mt-1 < 0

Ns-1 < 0

2.Mt-1 < 0

Ns-1 < 0

Mt > 0

Ns > 0

Mt = 0

Ns > 0

x*= ct

y* = ds

ds

ct

y* = ds

ct < x* <ct+1

dsct ct+1

22

3.Mt-1 < 0

Ns-1 < 0

Mt > 0

Ns = 0

ct < x* <ct+1


x* = ct

ds < y* <ds+1

4.Mt-1 < 0

Ns-1 < 0

Mt = 0

Ns = 0 ds < y* <ds+1

ds

ds+1

ct

ds+1

dsct

ct+1

23


• CONDIZIONI MEDIANE:

Mt > 0 011

≥− ∑∑+==

p

tjj

t

jj CC ∑∑

+==

≥p

tjj

t

jj CC

11

Sommo mam ∑=

t

jjC

1∑∑∑

===

=≥m

ii

p

jj

t

jj wCC

1112

Da cui si ha: ∑∑==

≥m

ii

p

jj wC

11 21

Analogamente

Ns > 0 ∑∑==

≥m

ii

q

ii wD

11 21

24


NB: La determinazione delle coordinate ottime xott e yott è indipendente, non è necessario determinare tutti gli Mt e gli Ns. Infatti vale:

111

12

1

11 +

+==+

+=

+

=+ +−+=−= ∑∑∑∑ t

p

tjj

t

jtj

p

tjj

t

jjt CCCCCCM

11 2 ++ += ttt CMM

Analogamente: 11 2 ++ += sss DNN

25


UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI ALLA DISTANZA EUCLIDEA AL QUADRATO


( ) ( )[ ]22

1),( ii

m

ii byaxwyxf −+−=∑

=

Le condizioni da soddisfare sono:

( ) 0,

**

=

∂∂

==

yyxxx

yxf ( ) 0,

**

=

∂∂

==

yyxxy

yxf

26


Sviluppando le derivate parziali si ottiene:

=⋅−⋅=

∂∂

=⋅−⋅=

∂∂

∑∑

∑∑

===

===

m

iii

m

ii

yy

m

iii

m

ii

xx

bwywyf

awxwxf

1

*

1*

1

*

1*

022

022

Da cui:

∑

∑

=

== m

ii

m

iii

w

awx

1

1*;

∑

∑

=

== m

ii

m

iii

w

bwy

1

1*

(x*,y*) possono essere considerate le medie pesate delle coordinate dei punti Pi, per cui tale soluzione è anche detta baricentro.

27


DETERMINAZIONE DELLE LINEE ISOCOSTO

( ) ( )[ ]=−+−=∑=

22

1),( ii

m

ii byaxwyxf costante

Sviluppando si ottiene: ( ) ( ) 22*2* ryyxx =−+−

Equazione di una circonferenza di centro (x*,y*) e di raggio r :

( ) ( ) ∑=

+−++=m

i

iiii

Wbwawyx

Wkr

1

222**

Con: ∑=

=m

iiwW

1

28


UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI ALLA DISTANZA EUCLIDEA o RETTILINEA


( ) ( )22

1),( ii

m

ii byaxwyxf −+−=∑

=

Le condizioni da soddisfare sono:

( ) 0,

**

=

∂∂

==

yyxxx

yxf ( ) 0,

**

=

∂∂

==

yyxxy

yxf

29


Sviluppando le derivate parziali si ottiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

=−+−

−=

∂∂

=−+−

−=

∂∂

∑

∑

==

==

m

i ii

ii

yy

m

i ii

ii

xx

byax

bywyf

byax

axwxf

122

*

122

*

0

0

Queste relazioni sono valide solo per (x,y) ≠ (ai,bi) con i = 1,…,m.Quando il punto ottimale coincide con uno dei punti noti Pi, le formule precedenti non possono essere utilizzate.

Approccio alle derivate parziali modificato di Kuhn

30


Approccio alle Derivate Parziali Modificato di Kuhn

Si utilizza la funzione R(x,y) definita nel piano (x,y)

( ) ( )

∂∂

∂∂=

yyxf

xyxfyxR ,,,),(

1. Se (x,y) ≠ (ai,bi) per i =1,…,m

2. Se (x,y )= (aK,bK) per k =1,…,m con wK peso di PK

( )

⋅−⋅−

==

0,0

,),(),( k

k

kkk

k

kk

kk

tu

wusu

wubaRyxR

se uK > wK

se uK ≤ wK

31


Con: ( )

( ) ( )∑≠= −+−

−=m

kii ikik

ikik

bbaa

aaws1

22

( )( ) ( )∑

≠= −+−

−=m

kii ikik

ikik

bbaa

bbwt1

22

( )22kkk stu +=

Si dimostra che: CNS affinché f(x,y) assuma il valore minimo e quindi (x*,y*) sia il punto di ottimo è che:

R(x*,y*)=(0,0)

Pk (ak,bk) è l’ubicazione ottimale se e solo se uk ≤ wk

32


Riassumendo:

Si considerano i punti noti e si fa la verifica secondo kuhn

Se esiste Pk (ak,bk) tale che uK ≤ wKallora Pk è l’ubicazione ottima

Se uK > wK per ogni K allora si procede alla soluzione delle derivate parziali con metodo iterativo

Calcolo uK e wKper ogni Pk

33


( ) ( ) ( ) ( )∑∑== −+−

=−+−

m

i ii

iim

i ii

i

byax

aw

byax

wx1

221

22

Dalle derivate parziali:

( )( ) ( )∑

==

=−+−

−=

∂∂ m

i ii

ii

xx byax

axwxf

122

*

0

Analogamente:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑== −+−

=−+−

m

i ii

iim

i ii

i

byax

bw

byax

wy1

221

22

34


Sia: ( ) ( )22),(

ii

ii

byax

wyxg−+−

= i = 1,2,…,m

Segue:

∑

∑

=

== m

ii

m

iii

yxg

yxgax

1

1

),(

),(

∑

∑

=

== m

ii

m

iii

yxg

yxgby

1

1

),(

),(

35

In tutto il campo in cui gi (x, y) risulta definita si può passare alla seguente procedura iterativa:

∑

∑

=

−−

=

−−

= m

i

jji

m

i

jjii

j

yxg

yxgax

1

)1()1(

1

)1()1(

)(

),(

),(

∑

∑

=

−−

=

−−

= m

i

jji

m

i

jjii

j

yxg

yxgby

1

)1()1(

1

)1()1(

)(

),(

),(


dove j = denota la j-ima iterazione

La procedura iterativa continua finché:

a. non si verifica un apprezzabile miglioramento nella determinazione delle coordinate della ubicazione del nuovo impianto ,

b. non si delinea una ubicazione che soddisfa la condizione necessaria e sufficiente dell’approccio di Kuhn (ovvero R (x*, y*) = (0, 0)).

Come valore di partenza (x(0), y(0)) della procedura iterativa si può usare la soluzione del “gravity problem”.

36


Procedura iterativa alternativa per la ricerca della soluzione

Si basa su una gi (x, y) data da:

( ) ( ) ε+−+−=

22),(

ii

ii

byax

wyxg

Con: i = 1, 2, …., m

ε valore positivo piccolo a piacere sufficientemente piccolo da non mascherare la soluzione nel caso questa non coincida con uno dei punti Pi, ma anche sufficientemente grande da evitare instabilità di calcolo nell’approssimarsi alla soluzione se questa coincide con uno dei punti Pi.

è sempre definita

La procedura iterativa può essere iniziata usando sia la soluzione in distanze rettangolari che quella baricentrica (“gravity problem”)

37


Può succedere che la soluzione rettangolare sia sufficientemente vicina alla soluzione ottimale euclidea cosicché una ulteriore ricerca non sia giustificata.

N.B :

Per questo prima di iniziare le procedura è opportuno verificare se:

( ) ( ) ( ) )(yfxf,, *22

*21

00** +≥≥ yxEyxE

dove: (x°, y°) soluzione ottimale euclidea;(x*, y*) soluzione ottimale rettangolare;E (x, y) valore fz obiettivo per il problema euclideo

( ) ∑=

−=m

iii axwxf

11 valore fz obiettivo per il problema rettangolare

( ) ∑=

−=m

iii bywyf

12 valore fz obiettivo per il problema rettangolare

38

Metodi di ubicazione degli impianti industrialiMetodi di ubicazione degli impianti industrialiMetodi di ubicazione degli impianti industrialiMetodi di ubicazione degli impianti industriali

DETERMINAZIONE DELLE LINEE ISOCOSTO

Non esistono metodi esatti per costruirle se non per i casi molto semplici. Per semplificare il problema si può procedere con il seguente metodo: • Si assegna un determinato valore k alla funzione

( ) ( ) kbyaxwyxf ii

m

ii =−+−=∑

=

22

1),(

• Per assegnato valore di x (parametro) si ricercano i corrispondenti due valori di y per cui f (x, y) = k

• Si procede finché si è in grado di tracciare la curva chiusa.

xx’

y

l’impianto nella quale posizionarecdm.unimo.it/home/dimec/melloni.riccardo/LII-Ubicazione pw.pdf · 1 Ubicazione degli impianti industriali Tipi di scelta da affrontare Macroscelta

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