(Limits and Continuity) - maths.sci.ku.ac.thmaths.sci.ku.ac.th/suriya/01417117/lecture/chapter 2 limit and continuity.pdf · ตัวอยา่ง 2.1...

2 ลมตและความตอเนอง (Limits and Continuity)

2.1 แนวคดเรองลมต ลมตเปนรากฐานทางคณตวเคราะหเกอบทกเรอง และเปนพนฐานทส าคญของแคลคลส

แคลคลสถอก าเนดจากปญหาการหาเสนสมผสโคง (Differential Calculus) และปญหาการหาพนท (Integral

Calculus)

ตวอยางปญหาการหาความชนเสนสมผสเสนโคง :

ตวอยางปญหาการหาพนท :

P

Q

ให s(n) แทนผลบวกของพนทสเหลยมจตรส n รป

ถา n (n มคาเขาใกลอนนต) แลว Ans )( ( s(n) มคาเขาใกล A )

2.2 ลมตของฟงกชน โดยทวๆ ไปเมอ L เปนจ านวนจรงและฟงกชน f นยามในยานขางเคยงของจ านวนจรง c แตไมจ าเปนตองนยามท c สญลกษณ

Lxfcx

)(lim

อานวา “ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล c เทากบ L” หมายถง เมอ x มคาเขาใกล c แลว f(x) จะมคาเขาใกล L

พฤตกรรมทแตกตางกนของฟงกชน ในขณะท x มคาเขาใกล 1

x

y

x

y

x

y

1 1 1

2.3 ลมตขางเดยวและการมลมต

2.3.1 ลมตซาย

คาของ xf มคาเขาใกล L เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย ( ax ) เขยนแทนดวยสญลกษณ

Lxfax

)(lim อานวา “ลมตของ 𝒇 เมอ เขาใกล 𝒂 ทางซายมคาเทากบ ” เรยก )(lim xfax

วา “ลมต

ขางซายของ 𝒇 ”

2.3.2 ลมตขวา

คาของ xf มคาเขาใกล L เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา ( ax ) เขยนแทนดวยสญลกษณ

Lxfax

)(lim อานวา “ลมตของ 𝒇 เมอ เขาใกล 𝒂 ทางขวามคาเทากบ ” เรยก )(lim xfax

วา “ลมต

ขางขวาของ 𝒇 ”

2.3.3 ลมตเมอ เขาใกล 𝒂

เมอ Lxfxfaxax

)(lim)(lim จะกลาวไดวา xf มคาเขาใกล L เมอ x เขาใกล a เขยนแทนดวย

สญลกษณ Lxfax

)(lim อานวา “ลมตของ 𝒇 เมอ เขาใกล 𝒂 มคาเทากบ ” ถา

)(lim)(lim xfxfaxax

จะถอวา )(lim xfax

ไมมลมต หรอ ลมตหาคาไมได

ตวอยาง 2.1 ภาพในตวอยางนใชคอมพวเตอรวาดจากกราฟ x

x

e

exf

1

1 จงใหเหตผลวาเพราะเหตใด

xf หาคาลมตไมไดเมอ x เขาใกล 0

f

x

y

L

L

L

c c c

ตวอยาง 2.2 จงหาลมตของ

เมอ เขาใกล -2

2.4 นยามของลมต

นยาม 2.1 ลมตของฟงกชน (The limit of a function)

ให f เปนฟงกชนทนยามในชวง (a, b) และ ),( bac เรากลาววา Lxfcx

)(lim เมอและตอเมอ ส าหรบ

แตละ (epsilon) 0 จะม (delta) 0 ซงส าหรบทกๆ x ถา cx0 แลว Lxf )(

2.5 ทฤษฎบทของลมต

ทฤษฎบท 2.1 (Theorem on uniqueness of limit)

ให f เปนฟงกชนทนยามบน (a, b) และ ),( bac ถา Lxfcx

)(lim และ Mxfcx

)(lim แลว

ทฤษฎบท 2.2

1. kkcx

lim (k = ตวคงคา) 2. cx

cx

lim

ทฤษฎบท 2.3 ให f และ g เปนฟงกชนทนยามบน (a, b) และ ),( bac

ถา Lxfcx

)(lim และ Mxgcx

)(lim แลว

1. MLxgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim)]()([lim

2. Lxfxfcxcx

)(lim])([lim ส าหรบทกๆ

3. MLxgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim)]()([lim

4. M

l

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

)(lim

)(lim

)(

)(lim เมอ 0M

5. nn

cx

n

cxLxfxf

limlim ภายใตเงอนไข ถา เปนจ านวนเตมค

6.

เมอ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 2

12lim

3

3

x

xx

x

วธท า

)2(lim

12lim

2

12lim

3

33

3

x

xxxx

x

xx

x

x

x

2limlim

1limlim2limlimlim

33

333

xx

xcxxcxx

x

xxxx

5

32

23

132333

■

ทบ 3 (4)

ทบ 3 (1,2,3)

ขอสงเกต

ผลของทฤษฎบท 2.3 สามารถขยายใหใชไดกบฟงกชนจ านวน นนคอ

ถา nncxcxcx

LxfLxfLxf

)(lim,...,)(lim,)(lim 2211 แลว

nnnncx

LLLxfxfxf

...)](...)()([lim 22112211

และ nncx

LLLxfxfxf

...)](...)()([lim 2121

ตวอยาง 2.3 จงหาคา 3/12/3

4)203(lim xx

x

วธท า 3/12/3

4)203(lim xx

x

=

3/12/3

4)203(lim

xxx

จากทฤษฎบท 3 (6)

= 3/1

4

2/3

420lim3lim

xxxx

จากทฤษฎบท 3 (1)

= 3/12/3 420)4(3

= 464)4024( 33/1 ■

ตวอยาง 2.4 ก าหนดให

21,3

11,2)(

2

xx

xxxf จงหาคาของ )(lim

1xf

x

วธท า เนองจากทางดานซายของ 1 และทางดานขวาของ 1 ฟงกชน f มสมการตางกน

ดงนนจ าเปนตองหา )(lim1

xfx

และ )(lim1

xfx

เพราะวา 21.22lim)(lim 2

11

xxfxx

และ

223)3(lim)(lim11

xxfxx

จากหวขอ 3.3 ไดวา 2)(lim1

xfx

■


0,1

0,1)(

xx

xxxf จงหาคาของ )(lim

0xf

x

วธท า เนองจาก 1)1(lim)(lim00

xxfxx

แต 1)1(lim)(lim00

xxfxx

ดงนน )(lim)(lim00

xfxfxx

เพราะฉะนน )(lim0

xfx

หาคาไมได ■


0,1

0,1)(

x

xxf จงหาคาของ )(lim

0xf

x และ |)(|lim

0xf

x

ตวอยาง 2.7 จงใชทฤษฎบททผานมาหาคาของ

พรอมทงระบทฤษฎบททใช

ทฤษฎบท 2.4 (ลมตของฟงกชนประกอบ)

ให f และ g เปนฟงกชนทนยามบน (a, b) และ ),( bac ถา sxgcx

)(lim โดยท f (s) หาคาไดและ

)()(lim sfxfsx

จะไดวา )()]([lim sfxgfcx

นนคอ xgfxgfcxcx

limlim

ตวอยาง 2.8 จงหาคาของ



1. 8

16lim

3

4

2

x

x

x 2.

h

xhx

h

0lim เมอ 0x

วธท า 1. )42)(2(

)842)(2(lim

8

16lim

2

23

23

4

2

xxx

xxxx

x

x

xx

3

8

4224

824428

42

842lim

2

23

2

xx

xxx

x

ดงนนจาก ทฤษฎบท 2.4 จะไดวา

3

8

8

16lim

3

4

2

x

x

x ■

2. xhx

xhx

h

xhx

h

xhx

hh

00limlim

)(

lim0 xhxh

xhx

h

xhxh

h

h

(lim

0

xhxh

1lim

0

x2

1 ■

เนองจากเมอแทน แลวได

แสดงวา

ทงเศษและสวนม เปนตวประกอบ

สงคยคของเศษ

2.5.1 การหาคาของลมตเมอลมตอยในรป 0

0

1. การแยกตวประกอบทงเศษและ

2. การคณทงเศษและสวนดวยผลบวกหรอผลตางของพจนสอง (Conjugate - สงคยค)


ตวอยาง 2.12 จงหาคา


ท าไมไมใหหาลมตทางซายดวย

ตวอยาง 2.14 จงหาคาของ 3

32lim

2

3

x

xx

x

วธท า เพราะวาถา 3x จะได 03x

เพราะฉะนน 3lim3

xx

หาคาไมได

ดงนน 3

32lim

2

3

x

xx

x


ซงท าให 3

32lim

2

3

x

xx

x หาคาไมได ■


|2|lim

2

x

xx

x

วธท า จากนยามของคาสมบรณจะไดวา

2,

2,

2

|2|

xx

xx

x

xx

เพราะฉะนน 2lim2

|2|lim

22

xx

xx

xx

แต 2)(lim2

|2|lim

22

xx

xx

xx

2

|2|lim

2

x

xx

x หาคาไมได ■


0

134lim

xx

x

วธท า 13||

4lim

134lim 2

02

0

xx

x

xx

xx

134

lim 2

0

xx

x

x

4134lim 2

0

x

x ■


1. 42

1lim

22

x

x

x

2. 2

8lim

3

2

x

x

x

3. 1

45lim

2

1

x

xx

x

4.

2

3

21 12

42lim

xx

x

x

5. 1

1lim

1

x

x

x

ถา x เขาใกล 0 ทางขวาละ

นยามคาสมบรณ


1. x

xx

x

11lim

0

2.

1

3123lim

1

x

xx

x

3. 0,lim

a

ax

ax

ax


3

6

3

1lim

23 xxx

2.6 ลมตอนนต (Infinite limits)

ก าหนดให 1

)(

x

xxf

ตองการหาวาถา x มคาเขาใกล 1 แลว f (x) จะมคาเขาใกลอะไร

เพอใหแตกตางจากกรณลมตหาคาไมได (ลมตซายและลมตขวาหาคาได และเทากน) จะใชสญลกษณ และ

เพอแสดงถงคาทเพมขนอยางไมมขอบเขตและลดลงอยางไมมขอบเขต ดงนนในกรณทลมตของฟงกชนมคาเปน

หรอ ถอวาลมตหาคาไมได

x f(x) x f(x)

2 2 0 0

1.5 3 0.5 -1

1.1 11 0.9 -9

1.01 101 0.99 -99

1.001 1,001 0.999 -999

นยาม 2.2 ให f เปนฟงกชนทนยามบน (a, b) และ ),( bac ’

)(lim xfcx

หมายความวาส าหรบแตละ

จ านวน จะม 0 ซงทกๆ x ถา ||0 cx แลว

ท านองเดยวกน

)(lim xfcx

หมายความวาส าหรบแตละจ านวน จะม 0 ซงทกๆ x ถา

||0 cx แลว

เราอาจพจารณาลมตดานใดดานหนงได กจะไดลมตดานเดยวประเภทลมตอนนต นนคอจะมลมต :

)(lim,)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxfcxcxcxcx

ตวอยาง 2.20 ก าหนดให 2,2

1)(

x

xxh จงหาคาของ )(lim

2xh

x

วธท า เพราะวา ถา 2x แลว 0)2( x และถา 2x แลว 0)2( x

เพราะฉะนน

)(lim2

xhx

แต )(lim2

xhx


ดงนน )(lim2

xhx


ตวอยาง 2.21 จงหาคาของ x

x

x 1

1

023

21lim

วธท า เพราะวา ถา 0x แลว x

1 และ 02

1

x

เพราะฉะนน 3

1

23

21lim

1

1

0

x

x

x

เพราะวา ถา 0x แลว x

1 ดงนน x

1

2 และ 021

x

เพราะฉะนน 1

123

12lim

23

21lim

1

1

01

1

0

x

x

xx

x

x

ดงนน x

x

xx

x

x1

1

01

1

0 23

21lim

23

21lim

นนคอ x

x

x 1

1

023

21lim


ระวง เมอลมตของฟงกชนใดฟงกชนหนงเปนอนนต กฎเกณฑหรอทฤษฎบทตางๆ ของการด าเนนการ

เกยวกบลมตในทฤษฎบท 2.3 อาจไมจรง เพราะทฤษฎบท 2.3 ตงอยบนความจรงทวา 𝒇 ซง L

เปนจ านวนจรง

คณเศษและสวนดวย

สามารถพจารณาในรปฟงกชนประกอบ

ทฤษฎบท 2.5 ถา

)(lim xfcx

และ lxgcx

)(lim โดยท l เปนจ านวนจรงใดๆ แลว

1.

)]()([lim xgxfcx

2. ถา 0l จะไดวา

)()(lim xgxfcx

เมอ l > 0

)()(lim xgxfcx

เมอ l < 0

3. ถา l = 0 จะตองพจารณาเปนพเศษ สรปอะไรไมได ขนกบฟงกชน f และ g

ตวอยาง 2.22 ถา 2)3(

1)(

xxf และ 2

3 xxg จงหาคาของ xgxfx

3

lim

วธท า

)(lim3

xfx

และ 0)(lim3

xgx

และ

11lim33

1lim)()(lim

3

2

233

xxxx

xxgxf ■

ตวอยาง 2.23 ถา 4)3(

1)(

xxf และ 3 xxg

จงหาคาของ xgxfx

3

lim และ xgxfx

3

lim

วธท า

)(lim3

xfx

และ 0)(lim3

xgx

และ

3

34

33 )3(

1lim3

3

1lim)()(lim

xx

xxgxf

xxx

3

34

33 )3(

1lim3

3

1lim)()(lim

xx

xxgxf

xxx

■

ตวอยาง 2.24 ถา 3

3)(

xxf และ 2)3()( xxg จงหาคาของ xgxf

x

3

lim

วธท า

)(lim3

xfx

และ 0)(lim3

xgx

และ

0)3(3lim33

3lim)()(lim

3

2

33

xx

xxgxf

xxx ■

ในกรณท

)(lim xfcx

และ

)(lim xgcx

จะสรปอะไรเกยวกบ )]()([lim xgxfcx

ไมได แตจะ

ขนกบฟงกชน f และ g

ตวอยาง 2.25 ก าหนดให 2

1)(

x

xxf และ

xxg

2

3)(

จงหาคาของ xgxf

x

)(lim

2

วธท า

)(lim2

xfx

และ

)(lim2

xgx

และ ]2

3

2

1[lim)]()([lim

22 xx

xxgxf

xx

2

2lim

2

x

x

x

11lim2

x

■


และ

2.7 ลมต ณ อนนต (Limits of infinity)

ก าหนดฟงกชน 2

2

1)(

x

xxf

พจารณาตารางตอไปน :

ถา x มคามากขนๆ อยางไมมขอบเขตทางดานบวก จะเขยนแทนดวย “ x ” และ ถา x มคานอยลงๆ อยางไมมขอบเขตทางดานลบ จะเขยนแทนดวย “ x ”

ดงนนจากตารางหรอจากกราฟ จะไดวา 1)(lim

xfx

และ 1)(lim

xfx

นยาม 2.3 ให f เปนฟงกชนทนยามบน ),(

1. lxfx

)(lim หมายความวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวน ซงทกๆ x

ถา แลว lxf

2. lxfx

)(lim หมายความวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวน ซงทกๆ x

ถา แลว lxf

ทฤษฎบท 2.6

1. 01

lim

xx

2. 01

lim

xx

3. ถา c แลว 0lim,0lim

x

c

x

c

xx

x f(x) x f(x)

1 2

1 -1

2

1

10 101

100 -10

101

100

100 001,10

000,10 -100

0001,10

000,10

1000 110

106

6

-1000

110

106

6


23lim

x

x

x

วธท า

x

x

x

x

xx 45

23

lim45

23lim

5

3

05

03

■


1lim

2

x

x

x และ

12

1lim

2

x

x

x

วธท า

xx

xx

x

x

xx 12

11||

lim12

1lim

22

xx

xx

x 12

11

lim2

2

1

12

11

lim2

x

xx

และ

xx

xx

x

x

xx 12

11||

lim12

1lim

22

xx

xx

x 12

11

lim2

2

1

12

11

lim2

x

x

x ■

2.8 เสนก ากบแนวดงและแนวราบ (Vertical and horizontal asymptotes)

นยาม 2.4 ให f เปนฟงกชน นยาม ),( ba และ ),( bac ถา

)(lim xfcx

หรอ

)(lim xfcx

หรอ

)(lim xfcx

หรอ

)(lim xfcx

จะเรยกเสนตรง cx วา เสนก ากบแนวดง (vertical asymptote)

ของกราฟ f

ฟงกชนทมเสนตรง cx เปนเสนก ากบแนวดงจะหาคาไมไดท cx ดงนนคาของ c ทจะน ามาหาลมตซายและขวา ไดมาจากจดทท าใหหาคาของฟงกชนไมได

นยาม 2.5 ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง ),( ถา Lxfx

)(lim หรอ Lxfx

)(lim โดยท L

เปนจ านวนจรง จะเรยกเสนตรง Ly วา เสนก ากบแนวราบ (horizontal asymptote) ของกราฟ f

ถา x มคาเพมมากขนหรอลดนอยลงอยางไมมขอบเขต แลวไดวา )(xf มคาเขาใกลจ านวนจรง L นนคอ ถา Lxf

x

)(lim หรอ Lxf

x

)(lim จะเรยกเสนตรง Ly วา เสนก ากบแนวราบ

ตวอยาง 2.29 จงหาเสนก ากบแนวดงและแนวราบพรอมทงเขยนกราฟของฟงกชน 2,2

)(

xx

xxf


2)(

2

x

xxf จงเขยนกราฟของ f


1)(

2

x

xxf จงแสดงวาเสนก ากบแนวดงของ f มเพยงเสนเดยวเทานน คอ

1x

วธท า เพราะวา 012 x จะได 1x แต

2

1

1

1lim

)1()1(

1lim

1

1lim

112

1

xxx

x

x

x

xxx

และ

2

1

1

1lim

)1()1(

1lim

1

1lim

112

1

xxx

x

x

x

xxx

ดงนน 1x ไมเปนเสนก ากบแนวดงของกราฟของ f (ไมตรงกบError! Reference source not found.)

เนองจาก

1

1lim

21 x

x

x

และ

1

1lim

21 x

x

x

ดงนน 1x เปนเสนก ากบแนวดงของกราฟของ f ■

ระวง การหาเสนก ากบแนวดงของกราฟของฟงกชนตรรกยะ จะหาจากคาของ ทท าใหสวนของฟงกชนตรรกยะนนเทากบศนยเพยงอยางเดยวไมพอ จะตองพจารณาลมตซายและขวาของจดทท าใหสวนเทากบศนยดวย

2.9 ความตอเนอง (Continuity)

นยาม 2.6 ให เปนฟงกชนทนยามบนชวง (a, b) และ ),( bac แลว จะตอเนองท c ( is

continuous at c ) กตอเมอ )()(lim cfxfcx

การทจะพจารณาดวาฟงกชน f ตอเนองท c สามารถพจารณาแยกเปน 3 ขอยอยดงน

1. xfcx

lim หาคาได

2. หาคาได

3. cfxfcx

lim

ถาขอใดขอหนงไมจรง จะกลาววา f ไมตอเนองท c ( f is discontinuous at c )


4)(

2

x

xxf จงแสดงวา f ตอเนองททกๆ x ยกเวนท x = – 2

วธท า เนองจาก f (-2) หาคาไมได ดงนน f ไมตอเนองท x = – 2

เพราะวา ถา 22

)2)(2()(,2

x

x

xxxfx

ดงนน ถา 2x แลว cfcxxfcxcx

22lim)(lim ส าหรบทก

ดงนน f ตอเนองททกๆ คาของ x ยกเวนท x = -2 ■

นยาม 2.7 ถาฟงกชน f ตอเนองททกๆ จดใน (a, b) จะกลาววา f ตอเนองบน (a, b) ( continuous on

(a, b) ) ถา f ตอเนองททกๆ จดใน ℝ จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนอง ( continuous function )

สงเกต

ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท c แลว fgf , และ จะตอเนองท c และถา 0)( cg แลว

g

f จะตอเนองท c ดวย

axaxaxaxP n

n

n

n

1

1

1 ...)( เปนฟงกชนตอเนองและฟงกชนตรรกยะจะเปนฟงกชนตอเนองททกๆ จดยกเวนจดทท าใหสวนเทากบศนย

ฟงกชนคาสมบรณ นยามโดย ||)( xxf เมอ x ℝ เปนฟงกชนตอเนอง

ถา )(lim xgcx

หาคาไดแลว )(lim)(lim xgxgcxcx

cxcx

lim เมอ c > 0 ดงนน ฟงกชน xy ตอเนองท x > 0

nm

xxf เมอ m และ n เปนจ านวนเตมบวก จะตอเนองทกๆ x ถา n เปนเลขค และจะตอเนอง

ทกๆ x > 0 ถา n เปนเลขค ฟงกชน xx aexx ,,cos,sin เมอ a > 0 เปนฟงกชนตอเนอง และฟงกชน ln x ตอเนองเมอ x > 0

ทฤษฎบท 2.7 ถา g เปนฟงกชนตอเนองท c และ f ตอเนองท g(c) แลว gf เปนฟงกชนตอเนองท c


2

)8(

1)(

x

xxF จงพจารณาดวา F เปนฟงกชนตอเนองหรอไม

วธท า เพราะวา 3

2

)8(

1)(

x

xxg ตอเนองททกๆ 8x

และ xxf )( ตอเนองททกๆ x > 0 และ g(x) > 0 เมอ x > 8

ดงนน F(x) = (f o g) (x) = f (g(x)) ถา x > 8

เนองจาก ถา c > 8 แลว g จะตอเนองท c และ f ตอเนองท g(c)

ดงนน F = f o g จะตอเนองท c เพราะฉะนน F ตอเนองททกๆ x > 8

นนคอ 3

2

)8(

1)(

x

xxF F, จะตอเนองบนชวง ),8( ■


1,3

1

1,1,1

1

)(4

2

x

xxx

x

xf

จงพจารณาดวา f ตอเนองบน ),1( หรอไม

วธท า เพราะวา ถา x > -1 และ 1x แลว 1

1)(

4

2

x

xxf ซงเปนฟงกชนตรรกยะ

ดงนน f จะตอเนองททกๆ x ยกเวน x ทท าใหสวนเปนศนย

จากพหนามทเปนตวสวนจะเทากบศนยเมอ 014 x หรอจะไดวา 1x

เพราะฉะนน ถา x > -1 และ 1x แลว f จะเปนฟงกชนตอเนอง

ดงนน จดในโดเมนของ f ทควรพจารณาความตอเนองคอท x = 1

เพราะวา )1)(1(

1lim

1

1lim)(lim

22

2

14

2

11

xx

x

x

xxf

xxx

2

1

1

1lim

21

xx

แต 3

1)1( f ดงนน )1()(lim

1fxf

x

เพราะฉะนน f ไมตอเนองท x = 1

ไดวา f ตอเนองบน ),1( ยกเวนท 1x ■

นยาม 2.8 ให f เปนฟงกชนทนยามบน (a, b) และ ),( bac

ฟงกชน f จะตอเนองทางซายของ c ถา )()(lim cfxfcx

f จะตอเนองทางขวาของ c ถา )()(lim cfxfcx

นยาม 2.9 จะกลาววาฟงกชน f มความตอเนองบนชวง ba , กตอเมอ f สอดคลองกบเงอนไขตอไปน

1. f มความตอเนองบนชวงเปด ba ,

2. f มความตอเนองทางขวาทจด ax



2. f มความตอเนองทางซายทจด bx



2. f มความตอเนองทางขวาทจด ax

3. f มความตอเนองทางซายทจด bx

ตวอยาง 2.35 ก าหนดให 11,1)( 2 xxxf จงพจารณาดวา f ตอเนองบน [-1, 1] หรอไม

วธท า 1. ให )1,1(c

เพราะวา )(11lim)(lim 22 cfcxxfcxcx

เพราะฉะนน f ตอเนองททกๆ 1,1c

2. เนองจาก )1(01lim)(lim 2

11

fxxfxx

ดงนน f ตอเนองทางขวาของ -1

3. เพราะวา )1(01lim)(lim 2

11

fxxfxx

เพราะฉะนน f ตอเนองทางซายของ 1

จาก 1-3 ไดวา f ตอเนองบน [-1, 1] ■


1,8

10,

0,13

)(

2

xx

xdcx

xx

xf

จงหาคา c และ d ทท าให f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 และ x = 1

วธท า เพราะวา 1)13(lim)(lim 2

00

xxfxx

เพราะฉะนน ถาตองการให f ตอเนองท x = 0 จะตองไดวา f (0) = -1

แตจากนยามของ f ได f (0) = d

ดงนน d = -1

เพราะวา 38lim)(lim11

xxfxx

ถาตองการให f จะตอเนองท x = 1 จะตองไดวา f (1) = 3

นนคอ c + d = 3 แทน d = –1 จะได c = 4 ■

ตวอยาง 2.37 จงแสดงวา f เปนฟงกชนตอเนองหรอไมตอเนอง ท ax ถา f ไมตอเนองท ax จงหาวา f ตอเนองทางซาย หรอ ตอเนองทางขวาของ a หรอไมทงค

1. xxxf 23 1a

2.

1;

1;

1;

2

1

2

2

x

x

x

xx

x

xf 1a

(Limits and Continuity) - maths.sci.ku.ac.thmaths.sci.ku.ac.th/suriya/01417117/lecture/chapter 2 limit and continuity.pdf · ตัวอยา่ง 2.1...

Documents