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Limit e s e cont inuidade
Professor Pasquelete
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Limit e s e cont inuidade
Material de apoio. Não deve ser utilizado como fonte única de estudo.
Material realizado a fim de simplificação da linguagem de assuntos de
Cálculo I. O aluno deve estudá-lo apenas para tirar dúvidas.
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Limites e Continuidade
Importância do LimiteO estudo da função Limite permite-nos cálculos de taxas de variação média einstantânea.
Exemplo prático:
A velocidade do carro mostrada no painel é calculada através de uma função queutiliza o limite para que seja feito o cálculo à menor taxa de variação possível. É possível conhecer, com ele, a velocidade instantânea do veículo uma vez que, através da equaçãoda velocidade média, a função limite diminui as variações de espaço e tempo para osmenores possíveis diferentes de zero, a fim de encontrar uma resposta imediata, em
outras palavras, pega-se a equação de velocidade média e substitui os deltas por taxas devariações que são quase zero, fazendo com que o resultado obtido mostre uma coisamuito próxima da realidade num momento quase específico.
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Limites e Continuidade
DefiniçãoLimite é usado para descrever o comportamento de uma função àmedida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Por exemplo:
Considere a função F(x) = 2x + 10. Qual o limite da função quando “x” tende a zero? • Resolução:
À medida que o valor de “x” tende a zero, o valor da função se aproxima ao máximo de 10, porém nãotoca o ponto 10 no eixo F(x), mas se aproxima ao máximo que pode, indo até o limite.
Exemplo: Calcule Resolução:Lê-se: Limite de , quando x vai pra um, tende a 3 3
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Limites e Continuidade
Limites LateraisPodemos nos aproximar do tanto pelo lado esquerdo (pelos valores menores) quanto pelo ladodireito (pelos valores maiores), sendo assim, existe Limite à Esquerda e Limite à Direita que podemser iguais ou não, como veremos adiante.
Limite à Esquerda
O limite à esquerda é o valor que f( ) possivelmente assumirá ao nosaproximarmos o máximo possível de pelo lado esquerdo que possui valoresmenores.
Limite à Direita O limite à direita é o valor que f( ) possivelmente assumirá ao nos aproximarmos
o máximo possível de pelo lado direito que possui valores maiores. Observação Importante: O Limite de uma função só existe quando os dois limites laterais existeme são iguais para o em questão , mas um limite lateral pode existir sem o outro.
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Limites e Continuidade
DefiniçãoConsideremos a imagem a seguir a partir da função = 3
À medida que aproxima-se de 1 pela esquerda e pela direita, f(x) tende a 3. Isso pode serobservado se tomarmos ∆ x como a menor quantidade possível da variação entre e seuvizinho mais próximo possível. Pela esquerda x = − ∆ x. Pela direita x = + ∆ x. (número àesquerda < x < números à direita)
AproximaçãoPela esquerda
AproximaçãoPela direita
x
y
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Limites e Continuidade Exemplo:
Considere a função f(x) = + 2. O que acontece quando x aproxima-se de:
a) 4 pela esquerda?
b) 4 pela direita?
Resolução:
a) Pela Esquerda: x = − ∆ xx = 4 − ∆x
f(x) = + 2 ∆ ∆x)
∆
∆
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
A tabela mostra que quanto menor o ∆ x, f(x) mais próximo de 18 ficará
∆∆∆∆x ∆0.1 17,21000
0.01 17,920100.001 17,99200
0.0001 17,99920
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Limites e Continuidadeb) Pela Direita: x =
+ ∆ x
x = 4 + ∆x
f(x) = + 2 ∆ ∆x) ∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
A tabela mostra que quanto menor o ∆ x, f(x) mais próximo de 18 ficará.
Essa Função analisada tende ao mesmo valor tanto pela esquerda quanto pela direita
∆∆∆∆x ∆0.1 18,810000
0.01 18,080100
0.001 18,008001
0.0001 18,000800
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Limites e ContinuidadeO limite não é, necessariamente, igual ao f(x).
Exemplo 1:
Observe o gráfico da Função É possível observar que a função não está
definida para x = 1.
É possível observar no gráfico
Exemplo 2:
Observe o gráfico da Função , x≠ ≠≠ ≠ 1 , x = 1
É possível observar que g(x) = 1
É possível observar no gráfico
x
x
y
y
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Limites e Continuidade
Propriedades dos Limites {∈ ℜ
{K ∈ ℜ
1) Regra da SomaO limite da soma de duas funções é a soma de seus limites.
2) Regra da DiferençaO limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites.
3) Regra da ProdutoO limite do produto de duas funções é o produto de seus limites.
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Limites e Continuidade
Propriedades dos Limites4) Regra da Multiplicação por ConstanteO limite de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicada pelo limiteda função.
5) Regra da QuocienteO limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o limite dodenominador não seja zero.
≠
6) Regra da PotenciaçãoO limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da função, desdeque o limite seja um número real.
≠
∈Ζ
∈Ζ
≠
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Exercícios Resolvidosa a a a
Regra do Quociente
RegradaSomaedaDiferença= RegradaPotência
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Limites e Continuidade
Exercícios Resolvidosb) b) b) b) ==== im RegradaPotênciacomn=
= ç= )
= Asubstituiçãodovaoraquaxtendepodesersubstituídonafunçãooriginatambém,casonãohajaagumaindeterminação
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Indeterminações A Indeterminação é uma expressão matemática da qual não temos certeza do valor,por isso o nome indeterminação.
Exemplo:
=
çã,ãã
Explicação:
Imagine que 0,9 é um número muito próximo de 1 e substituiremos na função:
Logo, quando aplicado o limite na função, não sabemos como “caminharão” ostermos à medida que x se aproximar de 1, caracterizando uma indeterminação.
Não podemos, no exemplo, substituir o limite, achar
e dizer que dá igual a 1
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Limites e Continuidade
Principais Indeterminações:Pela explicação dada, temos que as principais indeterminações são:
a.
ã ã
b.
±∞
±∞
ã ±∞ã ±∞
c. .±∞ ã ã
d. ã ã
e.
ã ã f.
ã ã As indeterminações desaparecem com cálculos algébricos que possibilitam modificar,algebricamente apenas, a função f(x).
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Limites e Continuidade Não indeterminações:
Depois de conhecer as indeterminações, deve-se ter cuidado com algumas funções que se confundem com indeterminações, mas não são.
) ≠
ã . .
Explicação:Um nmero qualquer que vai ser dividido pelo nmero mais próximo de zero possível tenderá a , o sinal é estudado com a divisão ( com )(- com -) ( com -)(- com ). Imagine que você tem um nmero e vai dividi-lo por um nmero cada vez menor a cada divisão, o resultado da divisão será sempre maior, por isso tende a infinito
2)
≠ 3) 4)
5)
≠ É de extrema importância o estudo do sinal nos casos necessários (, 3 e 5)
6)
7)
( )
8) ( )
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Limites e Continuidade
Explicação (caso 2)Explicação (caso 2)Explicação (caso 2)Explicação (caso 2)::::Zerodivididoporqualqueroutronmero=zero. Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 3)3)3)3)::::
MesmaexplicaçãodoCaso. Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 4)4)4)4)::::
MesmaexplicaçãodoCaso2. Explicação (caso 5Explicação (caso 5Explicação (caso 5Explicação (caso 5))))::::Infinito não trata-se de um nmero apenas, mas de um ideia numeral tão grande que dividido por umnmero,continua.
Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 6)6)6)6)::::Você dividirá um nmero por uma ideia tão grande que o resultado tenderá a zero.
ExplicaçãoExplicaçãoExplicaçãoExplicação (caso(caso(caso(caso 7)7)7)7)::::O nmero entre zero e um fica cada vez menor a cada calculo de potência realizado.
Explicação (casoExplicação (casoExplicação (casoExplicação (caso 8)8)8)8)::::Um nmero maior que ficará cada vez maior a cada calculo de potência realizado.
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Limites e Continuidade
Teorema do ConfrontoSe não pudermos calcular o Limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com oTeorema do Confronto. O teorema refere-se a uma função cujo seus valores são limitados por outrasfunções. Por exemplo ()()(). Se () tiverem o mesmo limite quando o nas duas funções, então f(x) também terá esse limite para x indo a c também.
= = Então, =
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Limites e Continuidade
Teorema do Confronto Exemplo:
Sendo,
, .
Resolução:
= e
=
Então,
=1
y = f(x)
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Limites e Continuidade
Primeiro Limite FundamentalO Primeiro limite fundamental é de extrema importância, pois é o mais utilizado noslimites envolvendo funções trigonométricas. O interessante é mexer algebricamente nafunção para que ela se torne o primeiro limite fundamental.
() = Exemplo:
Calcule
()
=
.()
.
=
.()
.
=
25 (2).2 = 2
5 (2)
2 = 25 . = 2
5
Obs.: () = () =
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Limites e Continuidade
Limites no InfinitoO infinito é uma ideia numérica não real que ultrapassa todos os limites finitos. Imagine o maior númeroque você conseguir e o infinito será infinitamente maior que ele, impossível de ser imaginado. O x podetender a infinito sem problema algum e a função terá limite normalmente. Com x tendendo a infinito, aestratégia usada para calcular o limite é a mesma quando o infinito não aparece. Deve-se observarindeterminações e mexer algebricamente na função quando isso acontecer.
∞ = L
∞ = L
Exemplos:
∞ = ∞
= , ã ,
é
∞ = ∞ = ã , çã =
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Limites e Continuidade Limites Infinitos
Dizemos que a função tem limite infinito se a função tende, com x x, a ±∞.
= ∞ ou
= ∞
= ∞ ou = ∞
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Limites e Continuidade Assíntotas Horizontais e Verticais
Assíntotas são retas que as funções jamais tocarão.
Assíntota Horizontal - ±∞ = L
Quando calculamos o limite da função pela qual o x tende a ±∞, o valor encontrado indica umareta horizontal a partir do eixo y pela qual a função jamais tocará.
Assíntota Vertical- lim±f x = ±∞
Quando x x e a função indica um limite infinito, temos então uma assíntota vertical.
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Limites e Continuidade Continuidade
A função contínua é toda função que possa ser escrita num único movimento da caneta sem queprecise retirar do papel. Em outras palavras, os valores são contínuos e não saltam de um para outrosem que assuma todos os valores entre eles.
Observe o gráfico ao lado. Ao analisarmos certos
pontos, veremos que alguns são contínuos e outrosnão. Tendo em vista que a função vai de x=0 até
x=4, no ponto x=0 é contínua, pois é a extremidade
da função. Contínua também no ponto x=3 e de
zero a quatro é descontínua apenas nos pontos
x=1, x=2, x=4.
Então,
A continuidade de uma função é determinada quando o valor do limite de um ponto é igual ao valorda função nesse mesmo ponto, com exceção das extremidades que utilizam apenas um dos limiteslaterais, dependendo da extremidade em questão.
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Limites e Continuidade Continuidade
Ponto Interior:
lim = ()
Extremidades:Uma função y = f (x) é contínua na extremidade esquerda A ou é contínua na extremidade direita B de seudomínioquando:
lim = () ou lim = ()
A função f(x) é contínua direita de um ponto x = c em seu domínio se lim = ()
A função f é contínua esquerda de um ponto x = c em seu domínio se lim = ()
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Limites e Continuidade Propriedades da Funções ContínuasSe as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações são contínuas em x = c.
1. Soma das funções: f + g.
2. Diferença das funções: f g ou g f .
3. Produto das funções: f . g
4. Multiplicação por constante: k . f (para k ∈ ℜ).
5. Quociente das funções: (se g(c) ≠ 0).
6. Potências das funções: (r, s ∈ Z).
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