UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFacultad: FIEE.Escuela: Ingeniera elctrica.Asignatura: Clculo diferencial e integral.Profesor: Leva Apaza.
Integrantes: COD:
1.- Delgado Daz Alan Esneyder.14231250852.-Ruiz Archenti Gian Carlo Andr.14231251833.-Llanque Inga Wilde.1423125306
Ciclo: Primer ciclo.Tema: LMITES NFINITOS
Lmite infinitoObservemos la funcin f(x)=1/x2para valores de x positivos muy grandes.xf(x)
1001,0x10-4
1.0001,0x10-6
10.0001,0x10-8
100.0001,0x10-10
1.000.0001,0x10-12
Si tomamos x cada vez mayor, f(x) est cada vez ms cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.
Veamos a continuacin las definiciones precisas de cada uno de los lmites que involucran al infinito.DefinicinLmite infinitoCaso 1:Lim x->af(x) = +inf para todoA > 0existe > 0/ para todo x perteneciente al E*a,f(x) > A.El lmite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier nmero positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un nmero tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio se cumple que f(x) es mayor que A.En otras palabras, si para cualquier nmero positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la funcin vale ms que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier nmero, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el lmite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.
Caso 2:limx->af(x) = -inf para todoA > 0existe > 0/ para todo x perteneciente alE*a,f(x) < -A.
Caso 3:Lim x->+inf f(x) = +inf para todoA > 0existeB > 0/ para todo x > Bf(x) > A.
Para cualquier nmero positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un nmero positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier nmero, si x es lo suficientemente grande.Caso 4Lim x->+inf f(x) = -inf para todoA > 0existeB > 0/ para todo x > Bf(x) < -A.
Caso 5:Lim x->-inf f(x) = +inf para todoA > 0existeB > 0/ para todox < -Bf(x) > A.
Caso 6:limx ->-inf f(x) = -inf para todoA > 0existeB > 0/ para todo x < -Bf(x) < -A.
Caso 7:Lim x->+inf f(x) = b para todo > 0existeB > 0/ para todox > Bf(x) pertenece al Eb,.
Caso 8:Lim x-> -inf f(x) = b para todo > 0existeB > 0/ para todox < -Bf(x) pertenece al Eb,.
TeoremaH)Lim x-> a f(x) = b, limx->a g(x) = +infT)lim x->a f(x) + g(x) = +infDemostracin:Lim x-> a f(x)=b => (pordef. de lmite) para todo Eb,existe un E*a,1/ para todo x perteneciente al E*a,1b - < f(x) < b + .Lim x-> a g(x)= +inf => (pordef. de lmite infinito) para todo A > 0 existe un E*a,2/ para todo x perteneciente al E*a,2g(x) > A.Sea = min {1,2}Para todo x perteneciente al E*a,se cumple: f(x) > b - g(x) > A=> f(x) + g(x) > A + b - = K=> (pordef. de lmite infinito) limx->af(x) + g(x) = +inf.TeoremaH)limx- >a f(x) = b, limx->a g(x) = -infT)limx->a f(x) + g(x) = -infDemostracin:Anloga a la anterior.TeoremaH)Limx->a f(x) = +inf, limx->a g(x) = +infT)limx->a f(x) + g(x) = +infDemostracin:Sea A > 0.Consideremos A/2.Pordef. De lmite infinito, existe 1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,1f(x) > A/2Pordef. De lmite infinito, existe 2 > 0 / para todo x perteneciente alE*a,2g(x) > A/2Sea = min {1,2}Para todo x perteneciente al E*a, f(x) + g(x) > A=> (pordef. de lmite infinito) limx->a f(x) + g(x) = +inf.TeoremaH)lim x->a f(x) = -inf, limx-> a g(x) = -infT)limx->a f(x) + g(x) = -inf
TeoremaH)Lim x->a f(x) = b, limx->a g(x) = infT)limx->a f(x) g(x) = infNota: inf denota el infinito, positivo o negativo.Caso 1: H)limx->a f(x) = b > 0, limx->a g(x) = +infT)limx->a f(x) g(x) = +infCaso 2: H)limx->a f(x) = b > 0, limx->a g(x) = -infT)limx->a f(x)g(x) = -infCaso 3:H)limx->a f(x) = b < 0, limx->a g(x) = +infT)limx->a f(x)g(x) = -infCaso 4:H)limx->a f(x) = b < 0, limx-> a g(x) = -infT)limx-> a f(x)g(x) = +infLmites de cocientesCaso 1:H)limx->a f(x) = b > 0, limx->a g(x) = 0+T)limx->a f(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0)El lmite 0+indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir,0 < f(x) < .Caso 2:H)limx->a f(x) = b > 0, limx->a g(x) = 0-T)limx->a f(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0)Caso 3:H)limx->a g(x) = b > 0, limx-> a g(x) = +infT)limx->a f(x)/g(x) = 0+(0-si b < 0)Caso 4:H)limx->a f(x) = b > 0, limx->a f(x) = -infT)limx->a f(x)/g(x) = 0-(0+si b < 0)Lmite exponencialCaso 3:H)limx->a f(x) = b, limx->a g(x) = +infT)limx->a f(x)g(x)= +infCaso 4:H)limx->a f(x) = b, limx->ag(x) = -infT)limx->a f(x)g(x)= 0Si limx->a f(x) = 0 y limx->a g(x) = inf, limx->a f(x)g(x)no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0inf.
Si limx->a f(x) = 0 y limx->a g(x) = 0, limx->a f(x)g(x)no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 00.
Si limx->a f(x) = inf y limx->a g(x) = 0, limx->a f(x)g(x)no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf0.
Si limx->a f(x) = 1 y limx->a g(x) = inf, limx->a f(x)g(x)no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 1inf.TeoremaH)Lim x ->af(x) = 1, limx->ag(x) = infT)limx->af(x) g(x)= e k, k = lim f(x) ->1, g(x)->inf g(x)(f(x) - 1)
Problemas Propuestos -3x5 + 2x - 51) lim --------------=+ inf X->-inf x3 - 1 _____ __ \|2 + x - \|32) Lim -------------= -inf X->0 x x3 - 3x + 63) Lim -------------=+inf X->1 x2 + x - 2 x3 + 4x24) Lim -----------=+inf X->0+ x4 - x2 (x - 1)5) Lim --------- =+inf X->2 ex-2 - 1 3/x - 16) Lim -----------=+inf X->+inf 51/x - 1 37) Lim -------=inf+ X->0 sen4x 1 +cos3x8) Lim ---------= inf+ X->0 x2 2+ senx9) Lim ------------=inf+ X->0 x
10)
PROBLEMAS RESUELTOS
4) Como x tenemos que x por lo tanto =-x Dividiendo entre x ==+
Haciendo Tenemos que +
6)
Como
8) +)Como x ,;en el segundo miembro hacemos u=x-,cuando x + + =0+ =
9)-x) Dividimos entre x tanto al numerador como denominador = = =-
10)multiplicando por su factor racionalizante tanto al numerador como denominador quedara de la forma:
Como podemos observar en el denominador hay un factor que es cero por lo tanto la respuesta ser
14)
=
Sabemos que (u)
)
