LIMITA FUNKCIE
LIMITA FUNKCIE
-okolím bodu a nazývame interval v R
Pravé okolie bodu a
Ľavé okolie bodu a
0),,()( aaaO
0),,()(
aaaO
0),,()(
aaaO
Heineho definícia limity funkcie
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom okolí O(a) bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre každú postupnosť
takú, že xn D(f), xn a,
má postupnosť funkčných hodnôt
limitu rovnajúcu sa číslu b, .
1}{ nnx axnn
lim
1)}({ nnxf
bxf nn
)(lim
))(limlim,),(,}{(
)(lim
1 bxfaxaxfDxx
bxf
nn
nn
nnnn
ax
Z definície limity vyplýva, že
neexistuje, ak sa podarí nájsť dve také postupnosti,
pre ktoré
a
bxfax
)(lim
1}{ nnx
1}{ nnx
axxaxaxfDxx nn
nn
nnnn
limlim,,),(,
)(lim)(lim nn
nn
xfxf
31
1lim,
1coslim
3
10
x
xneexistuje
x xx
Cauchyho definícia limity
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom okolí O(a) bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre každé kladné číslo ɛ > 0 existuje také kladné číslo > 0, že pre každé x O(a), x a je f(x) O(b) .
))()(),(,0,0(
)(lim
bOxfaxaOx
bxfax
))(0,0,0(
)(lim
bxfax
bxfax
0sin
lim,1sin
lim0
x
x
x
x
xx
Funkcia nemá v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre nejaké (aspoň jedno) ɛ-okolie čísla b,
Oɛ(b) = (b − ɛ, b + ɛ)
δ-okolie bodu a,
O(a) = (a − δ, a + δ)
z definície neexistuje.
1])[sgn(lim,1])[sgn(lim
])[sgn(lim
00
0
xxxx
neexistujexx
xx
x
Limita funkcie zľava – Heineho definícia
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom ľavom okolí O-
(a) bodu a.
Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu zľava rovnajúcu sa číslu b .
))(limlim,,}{(
)(lim
1 bxfaxaxx
bxf
nn
nn
nnn
ax
Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia
Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+
(a) bodu a.
Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu sprava rovnajúcu sa číslu b .
))()()(,0,0(
)(lim
bOxfaOx
bxfax
Limita funkcie f v bode a existuje práve vtedy, ak existuje v bode a limita sprava aj limita zľava a tieto sa rovnajú.
)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax
Základné vlastnosti limity funkcie
1. Funkcia môže mať v bode a len jednu limitu.
2. Ak má funkcia f v bode a limitu, potom existuje také okolie bodu a, na ktorom je funkcia f ohraničená.
3. Ak f(x) = c, c R, tak
Racxf
ax
)(lim
4. Ak , potom
a)
b)
c)
d)
BxgAxfaxax
)(lim,)(lim
BAxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim))()((lim
BAxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim))().((lim
0)(,),(,0,0
,)(lim
)(lim
)(
)(lim
xgaxaOxB
B
A
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
zmysel a))((
ymajú výraz ),(,0ak
))(lim())((lim
)(
)(lim)(
Bxg
Bxg
ax
xg
ax
Axf
axaOx
Axfxf ax
5. Limita troch funkcií, Ak
6. Ak na nejakom okolí O(a) bodu a platí
potom aj
Poznámka: Vlastnosti 1) – 6) platia aj pre jednostranné limity.
bxgxhxgxf
axaOxbxhxf
ax
axax
)(lim potom ),()()(
),(0,ak a )(lim)(lim
,)(lim a )()( bxgaxxgxfax
bxfax
)(lim
Nevlastná limita funkcie v bode a
))(),(,0,(
)(lim
KxfaxaOxRK
xfax
))(),(,0,(
)(lim
KxfaxaOxRK
xfax
Ďalšie vlastnosti limity funkcie v bode a
7. Ak
platí
axaOx
xgbxfaxax
),(,0
,0)(lim,)(lim
)(
)(lim potom ,0
)(
)(
)(
)(lim potom ,0
)(
)(
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xg
xf
ax
ax
8. Ak je funkcia f v nejakom okolí O(a) bodu a
ohraničená a platí , potom
a)
b)
))()((lim xgxfax
0)(
)(lim xg
xf
ax
)(lim xgax
Limita a nevlastná limita funkcie
v nevlastných bodoch
Nech je funkcia f definovaná na intervale (a, ).
))()(:,0(
)(lim
bOxfAxRA
bxfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx
Nech je funkcia f definovaná na intervale (-, a).
))()(:,0(
)(lim
bOxfAxRA
bxfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx
))(:,(
)(lim
KxfAxRARK
xfx