UNIVERSITAS GUNADARMA UNIVERSITAS GUNADARMA LIMIT & KONTINUITAS Oleh Nuryanto, ST., MT Nuryanto,ST.,MT Nuryanto,ST.,MT Nuryanto,ST.,MT Nuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
LIMIT &
KONTINUITAS
Oleh
Nuryanto, ST., MT
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
11)(
2
xxxf
2
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011
?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
3
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut
211lim
2
1
xx
x
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1
12
xx
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa
Lxfcx
)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
2)2)(12(lim
2232lim
2
2
2
x
xxx
xxxx
512lim2
xx
33
39lim
39lim
99
xx
xx
xx
xx 9)3)(9(lim
9
x
xxx
4
853lim1
xx
Contoh
1.
2.
63lim9
xx
3.
4. )/1sin(lim0
xx
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x
)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2
1 0 -1 0 1 0 -1 0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
5
Lxfcx
)(lim |)(|||00,0 Lxfcx
Definisi limit
jika
c
º
Untuk setiap 0
L
c
ºL
L
L
Terdapat sedemikian sehingga 0
c
ºL
||0 cx |)(| Lxf
c c c
ºL
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
)(lim xfcx
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
6
Limit Kiri dan Limit Kanan
cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,
c x
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
notasi
notasi
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
maka tidak ada )(lim xfcx
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
)(lim1
xfx
)(lim2
xfx
7
1,210,0,
)(2
2
xxxxxx
xf
)(lim0
xfx
Contoh Diketahui
a. Hitung
d. Gambarkan grafik f(x)Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0
c. Hitung
b. Hitung) Jika ada
1.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
0)(lim0
xfx
)(lim2
xfx
8
)(lim0
xfx
0lim 2
0
x
x
)(lim0
xfx
0lim0
xx
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1
)(lim1
xfx
1lim1
xx
)(lim1
xfx
32lim 2
1
x
x
11lim)(limxx
xf )(lim1
xfx
62lim 2
2
x
x
Karena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
22)( xxf
9
d.
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1
Grafik: parabola
1
3
º
di x=1 limit tidakada
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
10
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,1,3
)( 2 xcxxcx
xf
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan
)(lim1
xfx
ccxx
33lim1
)(lim1
xfx
ccxx
1lim 2
1
Agar limit ada 3+1c=1-c
C=-1
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
11
)(lim3
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.
f(-3)
f(-1)
f(1)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Soal Latihan
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
12
Soal Latihan
1,2
1,1)(
2
2
xxxxx
xf
)(lim1
xfx x
f x 1lim ( )
xf x
1lim ( )
xxxg 32)(
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
22
)(
xx
xf
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila ada )
a. b. c.
a. b. c.
B.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)()(lim
Gbila
GL
xg
xf
xgxf
ax
axax
nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim
13
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Sifat limit fungsiMisal
(limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
2.
3.
4. n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
5. bila n genap L harus positif
1.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
222 )1(1
1sin)1()1(
xx
xx
)()()( xhxgxf
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x 14
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
11sin)1(lim 2
1
xx
x
Prinsip Apit
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan 0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
maka
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
15
Limit Fungsi Trigonometri
1sinlim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tanlim.30
x
xx
Contoh
2.2
2tan5
4.4
4sin3lim
2tan54sin3lim
00
xx
xx
xxxx
xx
2.
22tanlim5
4.4
4sinlim3
0
0
xx
xx
x
x
37
2.2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
02
04
xx
xx
x
x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
16
Soal Latihan
tt
t sin1coslim
2
0
ttt
t sec2sincotlim
0
tt
t 23tanlim
2
0
tttt
t sec43sinlim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
xx
x 2sintanlim
05.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
17
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xgxf
ax
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
021lim 2
1
x
x
11lim 2
2
1 xx
x 18
Contoh Hitung
11lim
2
1
xx
xa.
11lim 2
2
1
xx
x xx
x sinlim
b. c.
Jawab
a. 021lim 2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif
Sehingga
11lim
2
1 xx
x
b. akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
0lim
xx
x
xx sinlim
19
c.
danf(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)
sehingga
Karena
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
Lxfx
)(lim
20
Limit di Tak Hingga
a. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
4252lim 2
2
xxx
x
Jawab
)2()1(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
4252lim 2
2
xxx
x2
2
42
521lim
x
xxx
= 1/2
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
21
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh Hitung
4252lim 2
x
xx
4252lim 2
x
xx
Jawab
)2()(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
)2()(
lim2
2
4
52
x
xx
x
= 0
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
xxxx
3lim 2)
33(3lim
2
22
xxxxxxxxx
x
22
Contoh Hitung
xxxx
3lim 2
Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxxxxx
x
33lim
2
22
xxxx
x
33lim
2
xxx
xx
x
x
)1()1(lim
2312
3||2 xx
xxx
xx
xx
2
31
3
1)1(
lim
21
)11(1lim
231
3
xx
xx
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
23
Soal Latihan
limx
xx
3
33
limx x 2 2
3
4
)1(lim xxx
limx
xx 1 2
11lim
2
xx
x
limx
x xx
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
ada)(lim xfax
)()(lim afxfax
24
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
(ii)
(iii)
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a
a
(i)
º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
25
a
(ii)
1L2L
Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada
)(lim xfax
L ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
26
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)(lim xfax
ada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=2
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia
º
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
27
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
24)(
2
x
xxf
2,3
2,24
)(2
x
xxx
xfa. b.
2,12,1
)( 2 xxxx
xfc.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2
b. - f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim24lim
22
2
2
x
xxx
xx
xxx
)2()(lim2
fxfx
-
-
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
28
c. 312)2( 2 f-
- 31lim)(lim22
xxfxx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
-
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
29
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,1
2,)( 2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
)2()(lim2
fxfx
1412)2( 2 aaf
30
Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)2()(lim2
fxfx
aaxxfxx
2lim)(lim22
1412)2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1-3a = -3
a = 1f kontinu kanan di x=2
141lim)(lim 2
22
aaxxf
xx
Selalu dipenuhi
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
31
1. Diketahui
1,221,1
)(2
xxxx
xf
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
Soal Latihan
2. Agar fungsi
2,321,
1,1)(
xxxbax
xxxf
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi
2,42
2,2
4)(
2
xx
xx
bxaxxf
kontinu di x = 2
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
Kekontinuan pada interval
• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :
32
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
• Teorema 3.2• Fungsi Polinom kontinu dimana-mana• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya• Misalkan , maka
– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau x4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
33
n xxf )(
4)( xxf
)4(04lim)(lim44
fxxfxx
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
34
f xx x
x( )
2 33
f xxx
( )
2
348
f xxx
( )| |
22
941)(2
xxxf
24)( xxxf
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
• Teorema Limit Fungsi Komposisi:Jika dan f(x) kontinu di L, maka
• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi kontinu di a.Bukti
karena f kontinu di g(a)= f(g(a)) karena g kontinu di a= (fog)(a)
35
Lxgax
)(lim
)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax
))(( xgf
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT
UNIVERSITAS GUNADARMA
UNIVERSITAS GUNADARMA
36
4313cos)( 2
4
xxxxxf
))(()( xhgxf
4313)( 2
4
xxxxxh dan g(x) = cos x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana makafungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT