Ligo Prin c d Themata 2014

1ο Λύκειο Ηρακλείου Αττικής Γ’ Λυκείου- Φυσική κατεύθυνσης, λίγο πριν τις εξετάσεις

1 Επιλογή Γ και Δ θεμάτων από ψηφιακό ,με τις λύσεις τους / χ. τζόκας /2014 Σελίδα 1

ταλαντώσεις

1. Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε=10V μηδενικής εσωτερικής αντίστασης, πυκνωτής χωρητικότητας C=100μF , ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L. Αρχικά ο μεταγωγός μ είναι στη θέση (Α) και ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. Στρέφουμε το μεταγωγό στη θέση (Β) και το κύκλωμα LC αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα LC είναι I=0,1A..

Να βρείτε: α) Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή. β) Την περίοδο T της ηλεκτρικής ταλάντωσης και να γράψετε τις εξισώσεις q=q(t), i=i(t)

γ) Το συντελεστή αυτεπαγωγής Lτου πηνίου. δ) Το λόγο UE/UB της ενέργειας του

ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του

πηνίου τις χρονικές στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή είναι q=Q

.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ (βλ. σελ. 14-17 του Σχολικού Βιβλίου) α) Επειδή αρχικά ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος, και από τον τύπο ορισμού της χωρητικότητας προκύπτει: Q= 0,003C β) Από τον τύπο I=ωQ βρίσκουμε τη γωνιακή συχνότητα: ω =100 rad/s Υπολογίζουμε την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης από τον τύπο:

Αφού την χρονική στιγμή t=0s ο πυκνωτής είναι φορτισμένος ισχύουν οι τύποι του σχολικού βιβλίου:

q =Qσυνωt, i=- I ημωt κλπ

γ) Από τον τύπο υπολογίζουμε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου: L=1 H

δ)

Με αντικατάσταση στο λόγο της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου, έχουμε:



Με αντικατάσταση της δοθείσης τιμής του q προκύπτει λόγος = 1

2. Ένα σώμα μάζας ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο

κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς , του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Εκτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα προς τα πάνω μέχρι το φυσικό μήκος του ελατηρίου (βλέπε σχήμα) και το αφήνουμε ελεύθερο. Να βρεθούν: Α) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. Β) η ενέργεια που δαπανήθηκε για να εκτρέψουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του μέχρι τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Γ) η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Δ) η χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα θα αποκτήσει ταχύτητα

μέτρου για δεύτερη φορά.

Θεωρείστε θετική φορά προς τα πάνω. Δίνεται .

Λύση Α) Όταν αφήσουμε το σώμα στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, αυτό ξεκινά χωρίς ταχύτητα (πάνω ακραία θέση της ταλάντωσης). Όταν περάσει από τη θέση ισορροπίας, θα έχει διανύσει απόσταση ίση με το πλάτος της ταλάντωσης. Στη θέση ισορροπίας:



Β) Η ενέργεια που δαπανήθηκε για να εκτρέψουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του μέχρι τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης.

Γ) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με την ολική ενέργεια, δηλαδή

Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου εμφανίζεται όταν το ταλαντούμενο σώμα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης, δηλαδή όταν η απόσταση από το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι 2Α=0,8m.

Δ) Με εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας στην ταλάντωση θα βρούμε σε

ποια απομάκρυνση x το σώμα αποκτά ταχύτητα μέτρου .

Με αντικατάσταση εύκολα προκύπτει

Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα ξεκινά από τη θέση +Α , άρα έχει

για 2η φορά ταχύτητα μέτρου όταν διέρχεται από τη

θέση -0,2m για 1η φορά. Θα υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή από



την εξίσωση θέσης.

, (1)

Όπου , και (την t=0 , x=+A) Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

Αντικαθιστώντας την τιμή του x παίρνουμε:

Η ζητούμενη λύση βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως –Α με αρνητική ταχύτητα

(στο 3ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου), οπότε από τη

σχέση (2) για παίρνουμε:

3. Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος, η ΗΕΔ της ιδανικής

πηγής είναι , η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C=10-6F, ο συντελεστής αυτεπαγωγής του ιδανικού πηνίου είναι L=10-2H και η αντίσταση του

αντιστάτη είναι R= Ω. Ο διακόπτης Δ1 είναι κλειστός, ο Δ2 είναι ανοικτός και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης Δ1 ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο Δ2. Να βρείτε:



α. την ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή και τη μαγνητική ενέργεια του πηνίου όταν

το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα.

β. μετά τη χρονική στιγμή t=0 , το μέγιστο φορτίο και τη μέγιστη ένταση του

ηλεκτρικού ρεύματος του κυκλώματος LC.

γ. μετά τη χρονική στιγμή t=0 , τις εξισώσεις του φορτίου του πάνω οπλισμού του

πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο στο κύκλωμα L-C σε

συνάρτηση με το χρόνο.

δ. τη χρονική στιγμή t=0

i. το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα.

ii. το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.

Θεωρείστε ότι κατά το άνοιγμα του

Δ1 και κλείσιμο του Δ2 δεν έχουμε

απώλεια ενέργειας στο κύκλωμα.

Λύση α. Τo σταθερό ρεύμα που διαρρέει το πηνίο και τον αντιστάτη είναι ίσο με:

και το πηνίο περικλείει ενέργεια

Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος σε τάση VC ίση με τη διαφορά δυναμικού στα άκρα

του αντιστάτη, . Το φορτίο του πυκνωτή είναι:

Και η αποταμιευμένη ενέργεια ίση με:



β. Με το άνοιγμα του Δ1 και το κλείσιμο του

Δ2 έχουμε αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις

στο κύκλωμα LC. Τη στιγμή t=0 έχουμε

ενέργεια στον πυκνωτή και στο πηνίο. Το

μέγιστο φορτίο του πυκνωτή βρίσκεται με

εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας στην

ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0.

γ. Τη στιγμή t=0 έχουμε ενέργεια στον πυκνωτή

και στο πηνίο επομένως έχουμε αρχική φάση στην

ταλάντωση του κυκλώματος. Την στιγμή t=0 το

ρεύμα έχει τη φορά του σχήματος, ο πυκνωτής

εκφορτίζεται, άρα την στιγμή t=0 για τον πάνω

οπλισμό έχουμε q>0 και i (=dq/qt)<0.

Η εξίσωση του φορτίου γράφεται:

ή

Η αρχική φάση φο=11π/6 απορρίπτεται γιατί την t=0 το ρεύμα είναι αρνητικό,



άρα .

Οι εξισώσεις είναι

δ) Την ,

i. O πυκνωτής και το πηνίο έχουν κοινά άκρα, άρα κάθε στιγμή οι τάσεις στα άκρα

τους είναι ίσες.

ii.

4. Ένα σώμα μάζας m=2kg κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο

επίπεδο με ταχύτητα μέτρου . Τη χρονική στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης, ίδιας φοράς με την ταχύτητα, της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση

α) Αφού βρείτε τη θέση ισορροπίας του σώματος, να αποδείξετε ότι αυτό

θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

β) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης.

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο

και να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σώμα θα σταματήσει για πρώτη

φορά.

δ) Nα βρείτε το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του σώματος

τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση x2=+0,25m για πρώτη

φορά.



Λύση

α) Η θέση ισορροπίας είναι αυτή

όπου

ή

ή .

Άρα, η θέση ισορροπίας είναι

δεξιότερα κατά xo=0,25m από τη

θέση που βρίσκεται το σώμα τη

χρονική στιγμή t=0.

Για να εκτελεί το σώμα απλή

αρμονική ταλάντωση θα πρέπει

να ισχύει ΣF=-Dx όπου x η

απόσταση από τη θέση ισορροπίας.

Σε τυχαία θέση x από τη Θ.Ι. έχουμε:

ή ή ,

άρα το σώμα εκτελεί α.α.τ με D=32 N/m.

β) Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση μεταξύ των θέσεων

(Β), όπου το σώμα βρίσκεται xo=0,25m αριστερά της Θ.Ι. με ταχύτητα υ και (Γ)

όπου αυτό σταματά στιγμιαία.

γ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε σχέση με το χρόνο

είναι .

Την t=0 το σώμα βρίσκεται σε θέση 0,25m αριστερά της θέσης ισορροπίας (x=-A/2),

και κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας, άρα έχουμε αρχική φάση που βρίσκεται



στο 4ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου.

ή

Η αρχική φάση είναι 11π/6.

.

Άρα, η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:

Το σώμα μηδενίζει για πρώτη φορά την ταχύτητά του στη θέση (Γ) όπου x=+Α,

επομένως

δ) Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας βρίσκεται από τη σχέση:

Με εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση μεταξύ της θέσης

που ασκήθηκε η δύναμη (x= - 0,25m), και της θέσης x2= +0,25m βρίσκουμε την

ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από τη θέση x2.

Επειδή διέρχεται για 1η φορά από τη θέση x2 αποδεκτή λύση είναι

η .

Με αντικατάσταση εύκολα προκύπτει:



5. H πηγή στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος έχει χαρακτηριστικά ε=60 V, r=2 Ω, o πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=200 μF, ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=10 Ω και το ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,5 H. Ο μεταγωγός αρχικά βρίσκεται στη θέση 1 και το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t=0 ο μεταγωγός τοποθετείται στη θέση 2. Να βρεθούν: Α) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή και το φορτίο του πυκνωτή όταν ο μεταγωγός βρισκόταν στη θέση 1. Β) η εξίσωση που περιγράφει πως μεταβάλλεται το φορτίο του οπλισμού Γ του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο μετά τη χρονική στιγμή t=0 και να παρασταθεί γραφικά σε αριθμημένους άξονες. Γ) το φορτίο του οπλισμού Γ τη χρονική στιγμή t1 που η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα γίνεται για πρώτη φορά i=+I/2 , όπου Ι είναι το πλάτος της έντασης του ρεύματος. Δ) τη χρονική στιγμή t1 του ερωτήματος γ, η απόλυτος τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα.

Λύση

Α) Όταν ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση 1, ο

αντιστάτης διαρρέεται από ρεύμα έντασης I1 και ο

πυκνωτής φορτίζεται λόγω της διαφοράς

δυναμικού στα άκρα του αντιστάτη.

Β) Όταν ο μεταγωγός μεταβεί στη θέση

2, ξεκινούν αμείωτες ηλεκτρικές

ταλαντώσεις χωρίς αρχική φάση καθώς

την t=0 ο πυκνωτής είναι πλήρως

φορτισμένος. Ο οπλισμός Γ είναι ο

οπλισμός αναφοράς, αφού τη στιγμή

t=0 είναι θετικά φορτισμένος.

,

όπου και



Επομένως ,

(S.I.)

Γ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης ενέργειας για το

κύκλωμα LC

Αντικαθιστώντας παίρνουμε:

Όταν i=+I/2 για πρώτη φορά, αυτό συμβαίνει κάποια χρονική στιγμή από Τ/2 έως 3Τ/4 , το φορτίο του οπλισμού Γ του πυκνωτή είναι αρνητικό (βλέπε και διαγράμματα i=f(t) και q=f(t)).

Άρα Δ) O πυκνωτής και το πηνίο έχουν κοινά άκρα, άρα κάθε στιγμή οι τάσεις στα άκρα τους είναι ίσες.



ΚΥΜΑΤΑ

1. ΣΤΑΣΙΜΟ: Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μήκους L=16,25m διαδίδεται

αρμονικό κύμα της μορφής: όπου , σε

και σε . Το ένα άκρο της χορδής είναι στερεωμένα ακλόνητα, με αποτέλεσμα το κύμα να ανακλαστεί και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το άλλο άκρο της χορδής είναι ελεύθερο, δημιουργείται σε αυτό κοιλία και θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0. . Η κοιλία της θέσης x=0 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος. β) Να βρείτε τον αριθμό των κοιλιών που δημιουργούνται. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για την κοιλία Κ που απέχει λ/2 από το σημείο χ=0.

δ) Αν ένα σημείο Μ του θετικού ημιάξονα ταλαντώνεται με πλάτος Αο=8 cm , να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου αυτού από τον πλησιέστερο δεσμό.

Λύση α) Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα θα εφαρμόσουμε τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. Γράφουμε τη δοθείσα εξίσωση σε μορφή αντίστοιχη της γενικής εξίσωσης του

αρμονικού κύματος

Έχουμε Από τη σύγκριση των δύο εξισώσεων παίρνουμε:

, συνεπώς και , συνεπώς

Άρα β) Το σημείο ανάκλασης είναι ακλόνητο , άρα σε αυτό δημιουργείται δεσμός. Στο ελεύθερο άκρο δημιουργείται κοιλία. Επειδή σε ένα στάσιμο, ο δεσμός από την

κοιλία απέχουν το μήκος της χορδής συνδέεται με το μήκος κύματος με



τη σχέση:

Με αντικατάσταση του και του προκύπτει ότι . Συνεπώς μεταξύ πρώτου και τελευταίου δεσμού οι κοιλίες είναι 6 και δεδομένου ότι στη θέση

υπάρχει κοιλία στο σύνολο δημιουργούνται 7 κοιλίες. γ) Η απομάκρυνση των υλικών σημείων του μέσου σε ένα στάσιμο δίνονται από τη

σχέση . Έτσι η κοιλία Κ της θέσης χ=λ/2 θα ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση

και η ταχύτητα ταλάντωσής της θα δίνεται από τη σχέση:

δ) Το πλάτος συναρτήσει της απόστασης από τη θέση χ=0 , δίνεται από τη σχέση:

συνεπώς δηλαδή

Άρα

ή

, Οπότε

, όπου χ η απόσταση από το ελεύθερο άκρο της χορδής που πάλλεται με μέγιστο πλάτος (κοιλία).

Οι κοιλίες απέχουν από το ελεύθερο άκρο απόσταση

Συνεπώς κάθε σημείο που πάλλεται με πλάτος , θα απέχει από την

πλησιέστερη κοιλία απόσταση .



Οι δεσμοί απέχουν από το ελεύθερο άκρο απόσταση

.

Συνεπώς κάθε σημείο που πάλλεται με πλάτος , θα απέχει από τον

πλησιέστερο δεσμό απόσταση για την οποία ισχύει:

2. ΤΡΕΧΟΝ: Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός γραμμικού αρμονικού

κύματος μια χρονική στιγμή , το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση

του άξονα x σε ένα ομογενές ελαστικό μέσο. Το σημείο της θέσης

άρχισε να ταλαντώνεται χωρίς αρχική φάση τη χρονική στιγμή . Η

ταχύτητα διάδοσης του παραπάνω κύματος είναι .

α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή . β) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος.

γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης σε σχέση με τη θέση, ,

για τη χρονική στιγμή .



δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ, που βρίσκεται στη θέση

, θα απέχει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. ε) Να γίνουν τα διαγράμματα της φάσης και της απομάκρυνσης σε σχέση με το

χρόνο, και , για το Ν που βρίσκεται στη θέση

.

Λύση α) Από το διάγραμμα του στιγμιότυπου φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την

χρονική στιγμή μέχρι την , κατά .

Άρα

β) Από εκφώνηση η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής είναι , οπότε η εξίσωση του (τρέχοντος) κύματος θα είναι της μορφής

.

- Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το πλάτος του κύματος είναι . - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή

μέχρι την , κατά , όπου το μήκος κύματος.

Άρα . - Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής παίρνουμε

Οπότε η εξίσωση του κύματος θα έχει την μορφή

.

γ) Η φάση του κύματος, για την χρονική στιγμή περιγράφεται από τη



συνάρτηση (

)

Το ζητούμενο διάγραμμα είναι:

δ) Από την εξίσωση του κύματος, για και έχουμε:

οπότε:

ή Αφού, για το σημείο Μ, αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά, δεκτή γίνεται η πρώτη

λύση και με . Δηλαδή από την οποία προκύπτει

.

ε) Για το σημείο Ν η φάση θα δίνεται από τη σχέση:

, με




Για το Ν Η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Ν θα είναι:

με


3. ΣΤΑΣΙΜΟ: Σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου άξονα x΄Ox διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την

εξίσωση . Να υπολογίσετε α. την ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων που συμβάλλουν. β. τη θέση του δεύτερου δεσμού και της τρίτης κοιλίας, θεωρώντας ότι στη

θέση βρίσκεται η πρώτη κοιλία. γ. την απόσταση μεταξύ του δεύτερου δεσμού και της τρίτης κοιλίας τη χρονική



στιγμή . δ. το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια, ενός υλικού σημείου

που βρίσκεται στη θέση της τρίτης κοιλίας τη χρονική στιγμή .

Δίνονται: , .

Λύση

α. Από τη σύγκριση της δοθείσας εξίσωσης με τη γενική εξίσωση των στάσιμων

κυμάτων

.

προκύπτει:

, άρα ,

,

ή .

Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει η ταχύτητα διάδοσης των

εγκάρσιων κυμάτων που συμβάλλουν,

ή .

β. Οι θέσεις των δεσμών δίνονται γενικά από τη σχέση . H

θέση του 2ου δεσμού Δ προκύπτει για και βρίσκεται στη

θέση .

Οι θέσεις των κοιλιών δίνονται γενικά από τη σχέση . Η θέση της

3ης κοιλίας Κ προκύπτει για και βρίσκεται στη θέση .

γ. Η τρίτη κοιλία Κ τη χρονική στιγμή έχει απομάκρυνση που

υπολογίζεται με αντικατάσταση των x, t στην εξίσωση του στάσιμου.

ή

ή .



Η ζητούμενη απόσταση μεταξύ του δεύτερου δεσμού Δ και της τρίτης κοιλίας Κ, τη

χρονική στιγμή , βρίσκεται με εφαρμογή του πυθαγόρειου

θεωρήματος για το τρίγωνο που σχηματίζεται στο παρακάτω στιγμιότυπο του

στάσιμου κύματος:

δ. Το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια, ενός υλικού σημείου που

βρίσκεται στη θέση της τρίτης κοιλίας τη χρονική στιγμή , θα είναι

4. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε

οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του

άξονα x΄Ox. Tο σημείο O της χορδής στη θέση , τη χρονική

στιγμή , έχει μηδενική απομάκρυνση και θετική ταχύτητα. Η

ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι . Για ένα σημείο Ν

της ελαστικής χορδής, η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας σε

συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στη γραφική παράσταση που

ακολουθεί.



α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I.

β. Να βρείτε πόσο απέχει το σημείο Ν από το Ο.

γ. Να βρείτε ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ν.

δ. Να βρείτε τη φάση του σημείου Ο, τη χρονική στιγμή που το σημείο Ν

βρίσκεται για πρώτη φορά στην μέγιστή του απομάκρυνση.

Λύση

α. Η εξίσωση που περιγράφει ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική

φορά του άξονα x΄Ox είναι: . (1)

Πρέπει να υπολογίσουμε το πλάτος Α, την περίοδο Τ και το μήκος κύματος λ.

Από το διάγραμμα προκύπτει ότι:

και , άρα .

Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής, βρίσκουμε το μήκος κύματος.



Mε αντικατάσταση στην (1) παίρνουμε: , (y σε cm, x σε

m).

β. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η ταλάντωση του σημείου Ν αρχίζει τη χρονική

στιγμή . Άρα, η απόσταση ΟΝ θα είναι ίση με:

ή .

γ. H μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ν δίνεται από τη σχέση:

.

δ. Το σημείο Ν μεγιστοποιεί για πρώτη φορά την απομάκρυνσή του από τη θέση

ισορροπίας του μετά από χρονικό διάστημα Τ/4 από τη στιγμή που αρχίζει να

ταλαντώνεται. Όπως φαίνεται από το διάγραμμα το σημείο Ν αρχίζει να

ταλαντώνεται τη στιγμή . Κατά συνέπεια πρέπει να βρούμε τη φάση του

σημείου Ο τη χρονική στιγμή ή .

H φάση της πηγής δίνεται από τη σχέση:

5. ΣΥΜΒΟΛΗ Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1, Π2 δημιουργούν στην

επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Τη χρονική

στιγμή οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται με

απομακρύνσεις που περιγράφονται από τη σχέση

, (SI). Η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια

του υγρού είναι ίση με . Σε ένα σημείο K, της επιφάνειας

του υγρού, το κύμα από την πηγή Π1 φτάνει τη χρονική

στιγμή , ενώ το κύμα από την πηγή Π2 φτάνει στο σημείο Κ

όταν η πηγή Π2 έχει εκτελέσει 4 πλήρεις ταλαντώσεις.



Να βρείτε:

α. Πόσο απέχει το σημείο Κ από τις δύο πηγές.

β. Πόση θα είναι η συχνότητα και το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου

Κ μετά την συμβολή των δύο κυμάτων;

γ. Πόσες υπερβολές ενίσχυσης υπάρχουν ανάμεσα στο σημείο Κ και την

μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2;

δ. Πόση είναι η ταχύτητα του σημείου Κ τη χρονική στιγμή ;

Λύση

α. Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών προκύπτει ότι:

και .

Eίναι .

Το κύμα διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα. Άρα η απόσταση του σημείου Κ από την

πρώτη πηγή θα είναι:

ή .



H απόσταση του σημείου Κ από την δεύτερη πηγή θα είναι ομοίως, .

Το κύμα από την πηγή Π2 φτάνει στο σημείο Κ όταν η πηγή Π2 έχει εκτελέσει 4

πλήρεις ταλαντώσεις, δηλαδή ή .

Οπότε, ή .

β. Το σημείο Κ μετά την συμβολή των δύο κυμάτων θα εκτελέσει απλή αρμονική

ταλάντωση, με συχνότητα ίδια με τη συχνότητα των δύο κυμάτων που

συμβάλλουν.

Άρα .

Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ μετά την συμβολή των δύο κυμάτων θα

είναι:

.

Το σημείο Κ είναι λοιπόν ένα σημείο ενισχυτικής συμβολής.

γ. Θα βρούμε το σημείο Κ σε ποια υπερβολή ενισχυτικής συμβολής ανήκει. Είναι

.

Κατά συνέπεια ανάμεσα στην υπερβολή ενίσχυσης που περνά από το σημείο Κ (

) και την μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 , που είναι η υπερβολή

ενίσχυσης με , περνά μία υπερβολή ενίσχυσης, αυτή που αντιστοιχεί

σε



δ. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Κ είναι:

.

Άρα, η εξίσωση της ταχύτητας του σημείου Κ συναρτήσει του χρόνου θα είναι:

.

Τη χρονική στιγμή η ταχύτητα του σημείου Κ είναι

.

6. ΣΤΑΣΙΜΟ: Σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου άξονα x΄Ox διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την

εξίσωση . Να υπολογίσετε α. την ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων που συμβάλλουν. β. τη θέση του δεύτερου δεσμού και της τρίτης κοιλίας, θεωρώντας

ότι στη θέση βρίσκεται η πρώτη κοιλία.



γ. την απόσταση μεταξύ του δεύτερου δεσμού και της τρίτης κοιλίας

τη χρονική στιγμή . δ. το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια, ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση της τρίτης κοιλίας τη χρονική

στιγμή .

Δίνονται: , .

Λύση

α. Από τη σύγκριση της δοθείσας εξίσωσης με τη γενική εξίσωση των στάσιμων

κυμάτων

.

προκύπτει:

, άρα ,

,

ή .

Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει η ταχύτητα διάδοσης των

εγκάρσιων κυμάτων που συμβάλλουν,

ή .

β. Οι θέσεις των δεσμών δίνονται γενικά από τη σχέση . H

θέση του 2ου δεσμού Δ προκύπτει για και βρίσκεται στη



θέση .

Οι θέσεις των κοιλιών δίνονται γενικά από τη σχέση . Η θέση της

3ης κοιλίας Κ προκύπτει για και βρίσκεται στη θέση .

γ. Η τρίτη κοιλία Κ τη χρονική στιγμή έχει απομάκρυνση που

υπολογίζεται με αντικατάσταση των x, t στην εξίσωση του στάσιμου.

ή

ή .

Η ζητούμενη απόσταση μεταξύ του δεύτερου δεσμού Δ και της τρίτης κοιλίας Κ, τη

χρονική στιγμή , βρίσκεται με εφαρμογή του πυθαγόρειου

θεωρήματος για το τρίγωνο που σχηματίζεται στο παρακάτω στιγμιότυπο του

στάσιμου κύματος:

δ. Το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια, ενός υλικού σημείου που

βρίσκεται στη θέση της τρίτης κοιλίας τη χρονική στιγμή , θα είναι



7. Μια μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας

διαδιδόμενη οριζόντια στο κενό με ταχύτητα

προσπίπτει κάθετα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, σε πρίσμα

του οποίου η τομή είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Η

προσπίπτουσα ακτίνα εξέρχεται από το πρίσμα παράλληλα στην

πλευρά ΑΒ του πρίσματος. Το μέτρο της μέγιστης έντασης του

ηλεκτρικού πεδίου του κύματος στο κενό

είναι και μέσα στο γυάλινο

πρίσμα .

α. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για τη διάδοση του

ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό.

β. Να υπολογίσετε το δείκτη διάθλασης του πρίσματος.

γ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος κατά τη διάδοση του κύματος στο πρίσμα.

δ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου για τη διάδοση του



ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο γυάλινο πρίσμα.

Δίνεται

Λύση

α. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής , βρίσκουμε το μήκος

κύματος στο κενό. Είναι .

H εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για τη διάδοση του

ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό είναι:

β. Εφόσον η προσπίπτουσα ακτίνα εξέρχεται από το πρίσμα παράλληλα στην

πλευρά ΑΒ του πρίσματος, η γωνία πρόσπτωσης φ, που φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα θα ισούται με την κρίσιμη γωνία. Όμως, η γωνία φ ισούται με τη γωνία ,

γιατί οι δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους ανά δύο κάθετες. Άρα .

Από το νόμο του Snell για την κρίσιμη γωνία παίρνουμε:

.

γ. Ο δείκτης διάθλασης η του μέσου και τα μήκη κύματος στο κενό, , και στο

μέσο, λ, συνδέονται με τη σχέση:



.

δ. Η εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου για τη διάδοση του

ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο γυάλινο πρίσμα είναι:

Πρέπει να υπολογίσουμε το .

Με αντικατάσταση προκύπτει:

ΣΤΕΡΕΟ

1. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας M=2Kg και μήκους L=12/7 m, μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα κάθετο στη ράβδο,

που διέρχεται από το σημείο της Ο. Η απόσταση ΑΟ είναι ίση με L/4. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της M και είναι κάθετος σ' αυτή

είναι . H ράβδος διατηρείται στην οριζόντια θέση με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος που είναι δεμένο στο άκρο Β. Κόβουμε το νήμα. Να βρείτε:



α) την τάση του νήματος πριν αυτό κοπεί. β) τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. γ) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου αμέσως μόλις κοπεί το νήμα. δ) τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή διέρχεται από την κατακόρυφη θέση.

Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας .

Λύση α) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο στην κατάσταση ισορροπίας. Από τη συνθήκη ισορροπίας για το άθροισμα των ροπών ως προς τον άξονα περιστροφής παίρνουμε:

β) Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς το σημείο Ο, βρίσκεται από το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (Θεώρημα Steiner).



γ) Μόλις κοπεί το νήμα, η μόνη δύναμη που ασκεί ροπή είναι το βάρος. Από το Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής για τη στροφικής κίνηση έχουμε:

δ) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην κατακόρυφη θέση βρίσκεται με εφαρμογή της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ της οριζόντιας και της κατακόρυφης θέσης.

2. Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R=0,1m και στρέφεται γύρω από

οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του με



στροφορμή μέτρου . Η ράβδος ΑΟΒ του σχήματος

έχει μήκος , είναι αβαρής και μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που περνά από το σημείο Ο και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής του τροχού. Τη χρονική στιγμή

ασκείται στο άκρο Β της ράβδου κατακόρυφη δύναμη μέτρου

με αποτέλεσμα η ράβδος να εφάπτεται στον τροχό στο άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ενώ ο τροχός, λόγω τριβών στο σημείο επαφής με τη ράβδο, επιβραδύνεται και τελικά σταματά. Η τριβή ολίσθησης που ασκεί η ράβδος στον τροχό, όσο αυτός

περιστρέφεται, έχει μέτρο . Να βρείτε: α) Την απόσταση (ΑΟ).

β) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του τροχού, , κατά τη διάρκεια της στροφικής του κίνησης.

γ) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού, , τη στιγμή που το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας είναι το μισό από το αρχικό.

δ) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο τροχός ακινητοποιείται

καθώς και τη μέση ισχύ της ροπής που τον ακινητοποίησε (σε απόλυτη τιμή). Δίνονται: Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα

περιστροφής του και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης

μεταξύ τροχού και της ράβδου



Λύση α) Η τριβή ολίσθησης που ασκεί η ράβδος ΑΟΒ στον τροχό, όσο αυτός

περιστρέφεται, δίνεται από τον τύπο , όπου η κάθετη δύναμη επαφής που ασκεί η ράβδος ΑΟΒ στον τροχό. Με επίλυση ως προς Ν και αντικατάσταση έχουμε

Από τον 3ο Νόμο Newton, η κάθετη δύναμη επαφής που ασκεί η ράβδος ΑΟΒ

στον τροχό έχει ίσο μέτρο με την κάθετη δύναμη επαφής που ασκεί ο

τροχός στη ράβδο ΑΟΒ (βλ. το παρακάτω σχήμα). Επομένως: Οι δυνάμεις που ασκούν ροπή στη ράβδο ΑΟΒ είναι οι εξής:

η κατακόρυφη δύναμη , που ασκεί τη ροπή

η κάθετη δύναμη επαφής που ασκεί ο τροχός στη ράβδο ΑΟΒ, που ασκεί τη

ροπή . Οι κατευθύνσεις των ροπών φαίνονται στο σχήμα: Για να ισορροπεί η ράβδος ΑΟΒ σε οριζόντια θέση, πρέπει να ισχύει:

(ως προς το σημείο Ο) (1)

Θέτουμε .Τα μέτρα των ροπών των δυνάμεων είναι:

Με αντικατάσταση στη σχέση (1) έχουμε:

β) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του τροχού κατά τη διάρκεια της στροφικής του κίνησης ισούται με το μέτρο της συνολικής ροπής που ασκείται στον τροχό:

(2) Η μόνη δύναμη που ασκεί ροπή στον τροχό είναι η τριβή ολίσθησης, η οποία είναι σταθερή. Η κατεύθυνση της ροπής φαίνεται στο σχήμα. Το μέτρο της ροπής της τριβής ολίσθησης είναι:



Με αντικατάσταση στη σχέση (2) έχουμε:

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας δίνεται από τον τύπο:

(3)

Το μέτρο της αρχικής γωνιακής ταχύτητας βρίσκεται από τον τύπο:

. Με αντικατάσταση έχουμε:

Επομένως, όταν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας είναι το μισό από το αρχικό θα

είναι: Με αντικατάσταση στη σχέση (3) έχουμε:

δ) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο τροχός ακινητοποιείται θα ισχύει

.

Επειδή έχουμε (SI):



Η μέση ισχύς της ροπής που ακινητοποίησε τον τροχό (σε απόλυτη τιμή) δίνεται

από τον τύπο: , Από το Θεώρημα Έργου – Ενέργειας, για τη στροφική κίνηση αν θέσουμε ως αρχική τη στιγμή 0 και ως τελική τη στιγμή 20s , έχουμε:

Με αντικατάσταση στη σχέση έχουμε:

3. Η τροχαλία Σ του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα της, είναι

και η ακτίνα της είναι

. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο πολλές φορές λεπτό αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία. Στη μία άκρη του νήματος έχει αναρτηθεί το σώμα Σ1. Στην άλλη άκρη του νήματος έχει προσδεθεί το σώμα Σ2, το οποίο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σύστημα ισορροπεί ακίνητο με

τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς , στο οποίο έχει προσδεθεί στο ένα άκρο του το σώμα Σ2 και το άλλο άκρο του σε ακλόνητο

στήριγμα. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζα το καθένα.

α) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ2, όταν το σύστημα ισορροπεί.

β) Τη χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα στο σημείο που συνδέει το σώμα Σ2 με την τροχαλία, με αποτέλεσμα η τροχαλία να ξεκινήσει να περιστρέφεται και το σύστημα ελατήριο – Σ2 να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: β1) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ της τροχαλίας. β2) Πόσο έχει κατέβει το σώμα Σ1 από τη χρονική στιγμή 0 s μέχρι τη χρονική

στιγμή κατά την οποία το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας



γίνεται αριθμητικά ίσο με τη γωνιακή συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο – Σ2. β3) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας τη χρονική

στιγμή όπως αυτή καθορίζεται στο προηγούμενο ερώτημα. Δίνεται: g=10 m/s2.

Λύση α) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα και στην τροχαλία:

Στο σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο Σ1: η δύναμη είναι το βάρος του σώματος,

η δύναμη ασκείται από το κατακόρυφο νήμα.

Επίσης φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο Σ2: η δύναμη ασκείται από το ελατήριο,

η δύναμη ασκείται από το οριζόντιο νήμα.

Στην τροχαλία Σ έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούν ροπή:

η δύναμη ασκείται από το κατακόρυφο νήμα,

η δύναμη ασκείται από το οριζόντιο νήμα. Για την ισορροπία του Σ1 έχουμε:

Επειδή το νήμα είναι αβαρές ισχύει:

Για την ισορροπία της τροχαλίας Σ έχουμε:



Επειδή το νήμα είναι αβαρές ισχύει:

Για την ισορροπία του Σ2 έχουμε:

β1) Μόλις κόψουμε το νήμα, η τροχαλία θα ξεκινήσει να περιστρέφεται με γωνιακή

επιτάχυνση και το Σ1 να κατεβαίνει με επιτάχυνση . Στο σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο Σ1 και η δύναμη που ασκεί ροπή στην τροχαλία. Για τη μεταφορική κίνηση του Σ1 ισχύει η Θεμελιώδης Εξίσωση της Μηχανικής:

(1) Για τη στροφική κίνηση της τροχαλίας Σ ισχύει ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής για τη στροφική κίνηση

και με αντικατάσταση της Τ από τη σχέση (1) παίρνουμε:

(2)

Επειδή το νήμα δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία, η επιτρόχια επιτάχυνση

των σημείων της περιφέρειάς της είναι ίση κατά μέτρο με την επιτάχυνση του

Σ1: . Με αντικατάσταση στην (2) έχουμε:

β2) Μόλις κόψουμε το νήμα, το Σ2 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή

συχνότητα . Ψάχνουμε πόσο θα έχει κατέβει το σώμα Σ1 όταν η τροχαλία περιστρέφεται με



γωνιακή ταχύτητα . Επειδή το νήμα δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία, το σώμα Σ1 θα έχει κατέβει κατά h που είναι ίσο με το μήκος Δs του

σχοινιού που ξετυλίχτηκε, . Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Έργου – Ενέργειας για την περιστροφή της τροχαλίας. Θεωρούμε ως αρχική θέση τη θέση στην οποία βρίσκεται το σώμα τη χρονική

στιγμή και ως τελική τη θέση για την οποία το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας γίνεται ω=10 rad/s. Το μοναδικό έργο είναι αυτό της τάσης του νήματος. Με βάση τα παραπάνω έχουμε:

Το βρίσκεται με αντικατάσταση της τιμής στη σχέση

, έχουμε:

. Με αντικατάσταση στη σχέση (3) παίρνουμε

β3) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας τη χρονική στιγμή

δίνεται από τον τύπο:

4. To σφαιρίδιο του σχήματος

έχει μάζα και

εκτελεί ομαλή κυκλική

κίνηση

ακτίνας με

γωνιακή ταχύτητα

μέτρου πάνω

σε λείο οριζόντιο επίπεδο που

έχει στο μέσο του οπή. Το

σφαιρίδιο είναι δεμένο σε



λεπτό αβαρές και μη εκτατό νήμα το οποίο περνά από την

κατακόρυφη οπή και καταλήγει στο χέρι του πειραματιστή. Το νήμα

μπορεί να ολισθαίνει στα τοιχώματα της οπής χωρίς τριβές. Ο

πειραματιστής κατεβάζει κατακόρυφα το χέρι του προσφέροντας στο

σφαιρίδιο ενέργεια , οπότε η ακτίνα περιστροφής του

σφαιριδίου μειώνεται σε .

Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που ασκεί το χέρι μέσω του

νήματος στο σφαιρίδιο, καθώς αυτό περιστρέφεται με γωνιακή

ταχύτητα μέτρου .

β. το μέτρο της στροφορμής του σφαιριδίου.

γ. τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής του σφαιριδίου στην

ακτίνα .

δ. την κατακόρυφη μετατόπιση του χεριού του πειραματιστή.

Λύση

α. Το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης είναι:

β. Το μέτρο της στροφορμής δίνεται από τη

σχέση



γ. Η ενέργεια που προσέφερε ο πειραματιστής, καθώς κατέβαζε το νήμα με

το χέρι του, ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σφαιριδίου.

δ. Όταν ο πειραματιστής μειώνει την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς, ο φορέας

της δύναμης που ασκεί στο σφαιρίδιο διέρχεται από τον άξονα περιστροφής

του, οπότε στο σφαιρίδιο δεν ασκείται εξωτερική ροπή με αποτέλεσμα η

στροφορμή του να διατηρείται σταθερή.

Επομένως .

Άρα το νήμα κατέβηκε κατά

ή

5. Η σφαίρα του διπλανού

σχήματος έχει

μάζα ,

ακτίνα και το

εμπόδιο έχει

ύψος . Ασκούμε

στο ψηλότερο σημείο της

σφαίρας εφαπτομενικά

οριζόντια δύναμη

μέτρου η οποία

παραμένει διαρκώς σταθερή

σε κατεύθυνση και μέτρο, με

συνέπεια η σφαίρα να

υπερπηδά το εμπόδιο.

Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον οριζόντιο άξονα

που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας.

Β. Τη χρονική στιγμή που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο το σημείο Α, το κέντρο

μάζας Κ της σφαίρας και το σημείο εφαρμογής της δύναμης F, να:

1. σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα (να αγνοηθεί η στατική

τριβή).



2. υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας ως προς τον άξονα

περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Α.

3. υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας ως προς τον άξονα

περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Α.

Δίνονται και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που

περνά από το κέντρο μάζας της .

Λύση

Α. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Α

βρίσκεται με εφαρμογή του θεωρήματος των παράλληλων αξόνων.

Β.

Οι δυνάμεις που ασκούνται στην

σφαίρα όταν τα σημεία Α,Κ,Γ

βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο

είναι:

η οριζόντια δύναμη F,

το βάρος w,

η κάθετη δύναμη στήριξης Ν.

2. Με εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της Μηχανικής για περιστροφή γύρω από

άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής Α παίρνουμε:

3. Με εφαρμογή του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη στροφική

κίνηση μεταξύ των δύο θέσεων παίρνουμε:

(2)



Με αντικατάσταση στην σχέση (2) παίρνουμε:

6. Μια συμπαγής σφαίρα μάζας και ακτίνας μπορεί να κυλά (χωρίς να ολισθαίνει) σε πλάγιο επίπεδο γωνίας φ.

‘Όταν αυτή αφεθεί ελεύθερη να κυλήσει στο επίπεδο, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το κέντρο μάζας της έχει

μέτρο . α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής. γ. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας. δ. Να υπολογίσετε το ημφ της γωνίας φ του πλάγιου επιπέδου.

Δίνονται: και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς

άξονα που περνά από το κέντρο μάζας

Λύση

α. Οι δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα είναι:

το βάρος που αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες



η δύναμη στήριξης Ν από το πλάγιο επίπεδο και

η δύναμη της στατικής τριβής, Τ, που προκαλεί την περιστροφή της

σφαίρας.

β. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το κέντρο μάζας της

ισούται με τη συνισταμένη των ροπών. Μόνο η στατική τριβή, Τ, προκαλεί ροπή στη

σφαίρα.

γ. Eφόσον η σφαίρα κυλάει, ισχύει: .

Με εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της Μηχανικής για τη στροφική κίνηση

παίρνουμε:

δ. Με εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της Μηχανικής για τη μεταφορική κίνηση

παίρνουμε:

7. Ο ανελκυστήρας του σχήματος (α) αποτελείται από το θάλαμο επιβατών

συνολικού βάρους και το τύμπανο περιέλιξης του



συρματόσχοινου ακτίνας , στο οποίο έχει προσαρμοστεί ο

κινητήρας του ανελκυστήρα. O θάλαμος ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα

μέτρου .

α) 1) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τυμπάνου.

2) Να υπολογίσετε την ισχύ του κινητήρα.

β) Στο σχήμα (β) δείχνεται ο ίδιος ανελκυστήρας στον οποίο έχει προσαρμοστεί

ένα αντίβαρο Α βάρους . Ο θάλαμος ανεβαίνει πάλι με

σταθερή ταχύτητα μέτρου .

1) Να υπολογίσετε τη νέα ροπή του κινητήρα, που ασκείται στο τύμπανο.

2) Να υπολογίσετε τη νέα ισχύ του κινητήρα.

Λύση

α) 1) Όταν ο θάλαμος ανέβει κατά θα τυλιχτεί νήμα μήκους , για το

οποίο ισχύει: .

Διαιρώντας με το αντίστοιχο χρονικό διάστημα

παίρνουμε:

2) Επειδή ο θάλαμος ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα,

ισχύει:

Όμως έχουν ίδιο μέτρο. Άρα το μέτρο

της τάσης του συρματόσχοινου είναι ίσο με το

μέτρο του βάρους του θαλάμου, .

Σχήμα (α):

Επειδή το τύμπανο στρέφεται με σταθερή γωνιακή

ταχύτητα η συνολική ροπή που ασκείται στο τύμπανο

είναι μηδέν, οπότε για τη ροπή που ασκεί ο

κινητήρας στο τύμπανο ισχύει:

Για την ισχύ του κινητήρα, σχήμα (α), έχουμε:



β) 1) Επειδή το τύμπανο στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ισχύει ότι:

Για την ισχύ του κινητήρα έχουμε:

ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1. Ένα σώμα

μάζας

κινούμενο πάνω σε

οριζόντιο επίπεδο

συγκρούεται μετωπικά και

ανελαστικά, έχοντας

ταχύτητα με μια

ακίνητη σφαίρα

μάζας , η

οποία είναι κρεμασμένη με νήμα μήκους , όπως φαίνεται στο

σχήμα. Μετά την κρούση η σφαίρα εκτρέπεται και η μέγιστη γωνία που

σχηματίζει το νήμα με την αρχική κατακόρυφη θέση του είναι , ενώ

το σώμα μάζας διανύει απόσταση μέχρι να σταματήσει. Ο

συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος μάζας και του οριζόντιου

δαπέδου είναι .


α. την ταχύτητα της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση.

β. την ταχύτητα του σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση.

γ. την ταχύτητα του σώματος μάζας ελάχιστα πριν την κρούση.



δ. το μέτρο της τάσης του νήματος, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται: .

Λύση

α. Για την κίνηση της σφαίρας μετά την κρούση μέχρι να σταματήσει για πρώτη

φορά εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου – ενέργειας

β. Για την κίνηση του σώματος μάζας μετά την κρούση μέχρι να

σταματήσει εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου – ενέργειας.



γ. Από τη διατήρηση της ορμής κατά την κρούση προκύπτει:

δ. Η συνισταμένη της τάσης του νήματος και

του βάρους της σφαίρας θα είναι η

κεντρομόλος δύναμη. Άρα

2. Ένα βλήμα μάζας κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα

σφηνώνεται σε σώμα μάζας , που ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο,

δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς , που

βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, ενώ το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε

ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου

είναι . Η συνολική θερμότητα που απελευθερώνεται από την

έναρξη της κρούσης μέχρι να σταματήσει το συσσωμάτωμα για πρώτη φορά

είναι 390 J.




α. την ταχύτητα του σώματος m.

β. την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την πλαστική κρούση.

γ. την τριβή ολίσθησης που ασκείται στο σώμα.

δ.το μέγιστο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος από

τη στιγμή που ξεκινά την κίνησή του μέχρι να επανέλθει το ελατήριο στο φυσικό

του μήκος.

Δίνεται: .

Λύση

α. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας όλη η κινητική ενέργεια που

είχε το βλήμα πριν την κρούση θα μετατραπεί μέχρι να σταματήσει το

συσσωμάτωμα για πρώτη φορά σε δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και σε

θερμότητα λόγω της κρούσης και λόγω των τριβών στην κίνηση του

συσσωματώματος. Αυτή η συνολική θερμότητα που απελευθερώνεται από την

έναρξη της κρούσης είναι 390 J. Άρα



β. Από τη διατήρηση της ορμής κατά την κρούση προκύπτει για το συσσωμάτωμα,

που κινείται με ταχύτητα V μετά την κρούση:

γ. Με χρήση της αρχής διατήρησης της ενέργειας από τη στιγμή μετά την κρούση

μέχρι να σταματήσει το συσσωμάτωμα για πρώτη φορά έχουμε

δ. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος ισούται με τη συνισταμένη

δύναμη που δέχεται το συσσωμάτωμα. Στο συσσωμάτωμα ασκούνται δύο δυνάμεις,

η τριβή και η . Το μέτρο της συνισταμένης παίρνει τη μέγιστη τιμή του

ελάχιστα πριν το συσσωμάτωμα σταματήσει στην ακραία θέση, όπου οι δύο

δυνάμεις έχουν την ίδια κατεύθυνση και η τιμή της έχει μέγιστο μέτρο.

Παίρνοντας τα θετικά προς τα δεξιά έχουμε:



3. Ένα σώμα , μάζας , κινούμενο πάνω σε πλάγιο επίπεδο γωνίας

κλίσης , προσπίπτει με ταχύτητα σε ακίνητο σώμα ,

μάζας , με το οποίο συγκρούεται ελαστικά. Ο συντελεστής τριβής

ολίσθησης μεταξύ των σωμάτων και του πλάγιου δαπέδου είναι .


α. τις ταχύτητες και των σωμάτων και αμέσως μετά την

κρούση.

β. την απόσταση που διανύει το σώμα μέχρι να σταματήσει.

γ. το χρονικό διάστημα που κινήθηκε το σώμα μέχρι να σταματήσει

στιγμιαία.

δ. τη θερμότητα που αναπτύχθηκε μεταξύ του σώματος και του δαπέδου

από τη στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή που σταματά στιγμιαία το

σώμα .

Δίνονται: , , .



Λύση

α. Η κρούση είναι κεντρική ελαστική. Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν

στην ίδια διεύθυνση με ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις:

(1) (2)

Από τη σχέση (1) έχουμε

β. Για την κίνηση του σώματος μετά την κρούση μέχρι να σταματήσει

εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου – ενέργειας

(1)

Η τριβή δίνεται από τη σχέση και . Άρα η σχέση (1)

γίνεται



γ. Θα βρούμε σε πόσο χρόνο θα σταματήσει το σώμα . Πρώτα ας βρούμε την

επιτάχυνσή του. Παίρνοντας ως θετική φορά αυτήν της αρχικής ταχύτητας του

σώματος έχουμε:

Ο χρόνος κίνησης θα προκύψει από τη σχέση

δ. Η θερμότητα που αναπτύχθηκε μεταξύ του σώματος και του δαπέδου από

τη στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή που το σώμα σταματά είναι

, όπου το δηλώνει τη μετατόπιση

του σώματος στο χρονικό διάστημα των 0,5s.

Η επιτάχυνση του σώματος είναι:

Στο χρονικό διάστημα των 0,5s το θα μετατοπισθεί κατά , που είναι ίσο

με:



Με αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση της θερμότητας παίρνουμε:

.

4. Η μια άκρη ιδανικού ελατηρίου

σταθεράς k=100N/m είναι

στερεωμένη στο πάνω μέρος του

πλάγιου επιπέδου γωνίας φ=30ο, όπως

στο σχήμα. Από ένα σημείο του

πλάγιου επιπέδου που απέχει s=0,25m

από το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου,

εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα

υο=2m/s, κατά μήκος του άξονα του

ελατηρίου προς τα πάνω ένα σώμα Σ

μάζας m=2kg. Όταν το σώμα

ακουμπήσει στο ελατήριο, ενώνεται

με αυτό και αρχίζει να εκτελεί

αρμονική ταλάντωση.

α) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με το

ελατήριο.

β) Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος.

γ) Να γράψετε τη συνάρτηση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με το

χρόνο, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της ένωσης του σώματος με το ελατήριο και τα

θετικά προς τα πάνω.

δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας του σώματος τη στιγμή που

διέρχεται από το σημείο εκτόξευσης για δεύτερη φορά.

Δίνεται g=10m/s2

Λύση



α) Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-

ενέργειας για το σώμα Σ από τη θέση

(Α) μέχρι τη θέση (Β) λίγο πριν έρθει

σε επαφή με το ελατήριο.

ή

β) Για να βρούμε τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης, θα εφαρμόσουμε την

διατήρηση της ενέργειας στην ταλάντωση μεταξύ των θέσεων (Β), όπου το σώμα

έρχεται σε επαφή με το ελατήριο με ταχύτητα μέτρου υ και στη θέση ισορροπίας

της ταλάντωσης (Δ) όπου το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Στη Θ.Ι. ασκούνται στο σώμα οι δυνάμεις mgημφ και η δύναμη του ελατηρίου (kx1)

οι οποίες είναι αντίθετες και δίνουν ΣF=0. Επομένως

ή

Εφαρμόζουμε την ΑΔΕΤ στις θέσεις (Β) και (Δ).



γ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο είναι: (1),

με

Το πλάτος της ταλάντωσης είναι

Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα βρίσκεται στη θέση (Β) , δηλαδή σε

απομάκρυνση και έχει θετική ταχύτητα, επομένως η αρχική

φάση της ταλάντωσης θα βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού

κύκλου.

ή

Επειδή την t=0 η ταχύτητα του σώματος είναι θετική, έχουμε φο=π/6.

Η (1) γίνεται:

δ) Όταν το ταλαντούμενο σώμα περνά για δεύτερη φορά από το σημείο εκτόξευσης

απέχει από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης και βρίσκεται σε

απομάκρυνση . Το σώμα κατεβαίνει και έχει αρνητική ταχύτητα

μέτρου υ2. O ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας στη θέση αυτή είναι

, (2)

Η ταχύτητα υ2 θα υπολογιστεί από την διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση.

Αντικαθιστώντας στην (2) παίρνουμε:

Ligo Prin c d Themata 2014

Documents