NAMÁHÁNÍ TEPENNÉ STĚNY: LIDSKÁ BŘIŠNÍ AORTA Kurs: Biomechanika II Obor: Biomechanika a lékařské přístroje Program: Magisterský Fakulta strojní ČVUT v Praze Lukáš Horný [email protected]
NAMÁHÁNÍ TEPENNÉ STĚNY: LIDSKÁ BŘIŠNÍ AORTA
Kurs: Biomechanika II Obor: Biomechanika a lékařské přístroje Program: Magisterský Fakulta strojní ČVUT v Praze
Lukáš Horný [email protected]
CÍLE
Analytickými metodami získat kvantitativní odhad napjatosti tepenné stěny
Jako příklad poslouží lidská břišní aorta
Tenkostěnná vs. silnostěnná aproximace Elastostatika (nelineární materiál) Konečné deformace Zbytková napětí
MOTIVACE
Numerické metody budou v klinicky podstatných úlohách, optimalizace implantace stentu (z hlediska přetížení) napojení bypassu (opět přetížení) napětí na rozhraní kalcifikovaný plát-stěna interakce tepenné stěny s krví (zejména v místech plátů) disekce stěny a ruptura aneurysmatu
atd., vždy hrát prim. Analytické metody neslouží (jak by se v „rakousko-uherské tradici“ výkladu matematiky a fyziky bohužel mohlo někdy zdát) k memorování výrazů, ale k pochopení kvalitativních
vlastností řešení, na nichž je testována hodnověrnost
výsledků numerických metod.
AD REM
Břišní aorta – kde to je, co to je?
Repro: http://www.doereport.com/enlargeexhibit.php?ID=15311
Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx
AD REM
Břišní aorta – kde to je, co to je? 1 Right lung2 Right hepatic vein3 Liver4 Left hepatic vein5 Stomach6 Left colic flexure(splenic flexure of the colon) 7 Spleen 8 Left lung9 Aorta
Repro: http://www.info-radiologie.ch/en/abdominal_ct.php#
Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/index.php?title=File:Blood_vessel_wall_cartoon.jpg
Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/images/a/ae/Artery_histology_16.jpg
Repro: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/corepages/vascular/vascular.htm
AD REM
Je to elastická tepna
MECHANICKÉ INTERAKCE
Pasivní interakce
Přenos tepla a působení vnějšího
prostředí
Přenos tepla a působení vnějšího
prostředí
MECHANICKÉ INTERAKCE
Pasivní interakce - externí
IN SITU
EXCIZE
EX SITU
MECHANICKÉ INTERAKCE
Pasivní interakce - interní
Po rozříznutí prstýnku se tepna dík uvolnění zbytkových napětí rozevře
Aktivní interakce
MECHANICKÉ INTERAKCE Ta
hová
zkou
ška
Infl
ační
test
(naf
ukov
ánít
rubi
ce)
Repro: P. Fridez, A. Makino, D. Kakoi, H. Miyazaki, J.-J. Meister, K. Hayashi and N. Stergiopulos 2002 Adaptation of Conduit Artery Vascular Smooth Muscle Tone to Induced Hypertension Annals of BiomedicalEngineering 30:7, 905 – 916. http://www.springerlink.com/content/v257812562p17374/
Maximální kontrakcepo podání norepinefrinu céva ztuhne
Bazální tonus
Maximální dilatacepo podání papaverinu
VÝPOČTOVÝ MODEL
Předpoklady pro formulaci úlohy Konstitutivní rovnice Předpoklady o geometrii Předpoklady o zatížení a vazbách Předpoklady o deformaci (konkrétní kinematika)
Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx
Konstitutivní rovnice
VÝPOČTOVÝ MODEL
Použijeme model Guccione–McCulloch–Waldman, který popisuje cylindricky ortotropní hyperelastický materiál.
( )2 2 22 31 1
2ZZ RRc E c E Ec
W eΘΘ + + = −
J. Guccione, A. McCulloch, L. Waldman (1991) Passive material properties of intact ventricular myocardiumdetermined from a cylindrical model. J Biomech Eng 113:42–55 http://dx.doi.org/10.1115/1.2894084
Konkrétní vyčíslení materiálových parametrů pro lidskou břišní aortu převezmeme od kolektivu M.R. Laborsseho, který publikoval výsledky 16 inflačně-extenzních testů... http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X?v=s5
Michel R. Labrosse, Eleanor R. Gerson, John P. Veinot and Carsten J. Beller (2012) Mechanical characterization of human aortas from pressurization testing and a paradigm shift for circumferential residualstress by Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, in press. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004
Cylindrická ortotropie
VÝPOČTOVÝ MODEL
...tři na sebe navzájem kolmé osy materiálové symetrie, které jsou totožné s osami válcového souřadnicového systému
Pasivní odezva materiálu bez aktivace hladkých svalových buněk
Isochorický děj (nestlačitelnost = během deformace materiál nemění objem)
VÝPOČTOVÝ MODEL
( )FF I
F
Wp
∂= −
∂σσσσ
( )2 2 22 31 1
2ZZ RRc E c E Ec
W eΘΘ + + = −
Formální konstitutivní rovnice F je deformační gradient W je hustota deformační energie I je jednotkový tenzor 2. řádu p je hydrostatická složka napětí vzniklá reakcí na omezení stlačitelnosti
zde je použit tenzor E (Green-Lagrangeův tenzor deformace), který převedeme na F:
( )12E F F IT= −
VÝPOČTOVÝ MODEL
Geometrie budeme předpokládat, že břišní aorta je válcová trubicekonstantního poloměru R a tloušťky H (po vyjmutí z těla). Tyto údaje převezme opět z literatury:
Michel R. Labrosse, Eleanor R. Gerson, John P. Veinot and Carsten J. Beller (2012) Mechanical characterization of human aortas from pressurization testing and a paradigm shift for circumferentialresidual stress by Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, in press. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004
VÝPOČTOVÝ MODEL
Deformace budeme předpokládat, že během tlakování trubice:
• zůstávají všechny řezy rovinné (resp. válcové) • řezy se mohou vzdalovat/přibližovat • řezy se vůči sobě nenatáčejí
Pozor: Jde o pouhou skicu, obrázek nedodržuje konstantní objem deformovaného elementu...
VÝPOČTOVÝ MODEL
Deformace modelově vylučujeme existenci zkosů...
0R
γ Θ ≠
0Z
γ Θ ≠
0RZ
γ ≠
krut, neboli odklopení od podélné osy(reálně může nastat když (1) je helikální
proudění krve, (2) nesymetrie vazeb...)
sklopení ve směru obvodu(přechází-li při nafukování válec ve válec, nemůže nastat)
sklopení do směru podélné osy (reálně musí
nastávat jako reakce na tření krve)
VÝPOČTOVÝ MODEL
Deformace budeme si tedy přestavovat, že aorta (válcová trubice) se jen nafukuje a protahuje z tvaru válce do tvaru válce
( ), ,Q R ZΘ
( ), ,Q r zθ
rR
z
Z
Materiálový bod Q v referenčních a průběžných válcových souřadnicích
( ) ( ) Q Q r r R z z Zθ≡ ⇒ = = Θ =
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Vše (síly, deformace,...) se odehrává jen na úrovni střední plochy
Repro: http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-ROORKEE/strength%20of%20materials/lects%20&%20picts/image/lect15/lecture15.htm
redF
P
P
θθσzz
σ
l
2r
h
Pred
Fzz
σ
rR zZ
h H r R z Zθλ λ λΘ= = =
F∂=∂
x
XF =
0 0
0 0
0 0
h
Hr
Rz
Z
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
0 00 0
0 0 0 00 0
0 0
FrR
zZ
h
Hr
Rl
L
θ
λλ
λΘ
= =
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Nestlačitelnost (isochorický děj)
0 01 0 0 1
0 0det F det
rR
rR zZ
zZ
dvJ
dV θ θ
λλ λ λ λ
λΘ Θ
= = = ⇔ = =
1rR
zZθ
λλ λΘ
=
Intenzita vnitřních sil (napětí) odpovídá průměrné hodnotě po tloušťce objektu, která je rozprostřena uniformě (membrána)
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Repro: http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-ROORKEE/strength%20of%20materials/lects%20&%20picts/image/lect15/lecture15.htm
P
P
θθσzz
σ
l
2r
h
Pred
Fzz
σ
redF
2
2 2
rr
redzz
P
rP
hF rP
rh h
θθ
σ
σ
σπ
= −
=
= +
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Konstitutivní rovnice
rr rR
rR
zz zZ
zZ
Wp
Wp
Wp
θθ θθ
σ λλ
σ λλ
σ λλ
ΘΘ
∂= −∂∂= −∂∂= −∂
( ) TFF I
F
Wp
∂= −
∂σσσσ
( )2 2 22 31 1
2ZZ RRc E c E Ec
W eΘΘ + + = − →
( )21
12ij ij
E λ= −( )12 E F F IT= − →
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Finální soustava elastostatických rovnic
2
2 2
:
:
:
r rR
rR
redz zZ
zZ
W PF p
W rPF p
h
FW rPF p
rh h
θ θθ
λλ
λλ
λλ π
ΘΘ
∂ − = −∂∂ − =∂∂ − = +∂
∑
∑
∑
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Tuto soustavu vyřešíme ve třech krocích:
(1) Určíme „neurčitou“ reakci na nestlačitelnost p
2 rR
rR
P Wp λ
λ∂= −∂
...a potom ve všech rovnicích substituujeme λrR = 1/(λθΘ·λzZ)
(2) Vypočteme sílu Fred nutnou k dosažení zvoleného
počátečního předepnutí λzZini (ta bude dále konstantní, což odpovídá experimentu, kdy nafukujeme svislou trubku s konstantním axiálním přívažkem)
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
W rPp
hθθ
λλΘ
Θ
∂ − =∂
2 2red
zZ
zZ
FW rPp
rh hλ
λ π∂ − = +∂
(2a) Pro zvolené λzZini určíme λθΘini za podmínky P = 0 z rovnice:
(2b) Pro zvolené λzZini a vypočtené λθΘ za podmínky P = 0určíme Fred z rovnice:
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
(3) Simulujeme odezvu materiálu na zvolený vnitřní tlak P
a předepínací sílu Fred. Čili řešíme soustavu rovnic níže tak, že dosazujeme za P (např. od 0 do 16 kPa) a vypočítáváme λθΘ a λzZ
(s tím, že na počátku pro P = 0 se výsledky samozřejmě kryjí s předem vypočtenými λθΘini a λzZini).
W rPp
hθθ
λλΘ
Θ
∂ − =∂
2 2red
zZ
zZ
FW rPp
rh hλ
λ π∂ − = +∂
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Pro další výklad si stáhněte soubor artery-thin-
walled-tube.mw z www.biomechanika.cz
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Ukázka výsledků simulace inflačně-extenzního testu lidských infrarenálních aort z Labrosse et al. (2012)
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
TENKOSTĚNNÁ SIMULACE
Nedostatky modelu
( ) ( ) 0? ,ij
x x hσ = ∈
( )2rr
Prσ = −
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Silnostěnná nádoba integrace po tloušťce stěny...
( ) ( ) ( )0rr rr
d r r r
dr r
θθσ σ σ−+ =
( )2 2 0o
i
r
red i zz
r
F r P r rdrπ π σ+ − =∫
( )rr ir Pσ = −
( ) 0rr o
rσ =
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
( )rr ir Pσ = −
( ) 0rr o
rσ =0rr rr
d
dr rθθσ σ σ−
+ =
rr rrd
dr rθθσ σ σ−
= −
rr rrd
dr rθθσ σ σ−
=
rrrr
d drr
θθσ σσ −=
( )
( )( ) ( ) ( )0
rr o o
rr
r r
rrrr rr o rr rr
rr
d r r r drr
σθθ
σ
σ σσ σ σ σ −= − = − =∫ ∫
( )or
rrrr
r
r drr
θθσ σσ −= −∫Integrál jako funkce dolní meze
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Dále uvažme jednotkovou krychli, k níž přiložíme napětí σrr, σθθ a σzz, která ji zdeformují na kvádr o hranách λrR, λθΘ a λzZ. Přírůstek deformační energie dW při další diferenciální deformaci o dλkK (tj. např. λrR přejde na λrR +dλrR je:
EΘ eθ
λrR
λzZ
λθΘ
EZ ezER er
σzz
σθθσrr
zZ rR zZ rr rR rR zz zZdW d d dθθ θ θ θλ λ σ λ λ λ σ λ λ λ σ λΘ Θ Θ= + +
Pro nestlačitelný materiál diferencováním:
1 0rR zZ rR zZ rR zZ rR zZ
d d dθ θ θ θλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λΘ Θ Θ Θ= ⇒ + + =
...dosazením: ( ) ( )rR zZ rr rR zz rr zZdW d dθθ θ θλ λ σ σ λ λ λ σ σ λΘ Θ= − + −
když předpokládáme, že nestlačitelnost eliminuje jednu proměnnou...:
zZ
zZ
W WdW d dθ
θ
λ λλ λΘ
Θ
∂ ∂= +∂ ∂
Na závěr porovnáme výrazy pro dW:
rr zz rr zZ
zZ
W Wθθ θ
θ
σ σ λ σ σ λλ λΘ
Θ
∂ ∂− = − =∂ ∂
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
To, co jsme udělali, je eliminace parametru p z konstitutivních rovnic...
rr rR
rR
zz zZ
zZ
Wp
Wp
Wp
θθ θθ
σ λλ
σ λλ
σ λλ
ΘΘ
∂= −∂∂= −∂∂= −∂
rr
zz rr zZ
zZ
W
W
θθ θθ
σ σ λλ
σ σ λλ
ΘΘ
∂− =∂∂− =∂
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
rr
Wθθ θ
θ
σ σ λλΘ
Θ
∂− =∂
( )or
rrrr
r
r drr
θθσ σσ
−= −∫
( )or
rr
r
W drr
rθθ
σ λλΘ
Θ
∂= −∂∫
Čili vyjádřili jsme radiální napětí na základě kinematiky a konstitutivní rovnice
Což dosadíme...
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
2 22 2o o
i i
r r
red i zz i rr zZ
r r zZ
WF r P rdr r P rdrπ π σ π π σ λ
λ ∂= − + = − + + ∂
∫ ∫
zz rr zZ zz rr zZ
zZ zZ
W Wσ σ λ σ σ λλ λ
∂ ∂− = ⇒ = +∂ ∂
( )2
2 22 2
2
o o o
i i i
o
i
r r r
red i rr zZ i rr
r r rzZ
r
zZ
r zZ
d rWF r P rdr rdr r P dr
dr
Wrdr
π π σ π λ π π σλ
π λλ
∂= − + + = − + +∂
∂+∂
∫ ∫ ∫
∫
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
( )2
2 2o o
i i
r r
red i rr zZ
r r zZ
d r WF r P dr rdr
drπ π σ π λ
λ∂= − + +∂∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2 2 2 o
i
r
i i rr i o rr o rr rr P r r r r r rπ π σ π σ π σ − = − = −
( ) ( )2
2
2 2
2
2 2
o oo
ii i
o o o o
i i i i
r rr
red rr rr zZrr r zZ
r r r r
rr rrzZ zZ
r r r rzZ zZ
d r WF r r dr rdr
dr
d W Wr dr rdr r dr rdr
dr rθθ
π σ π σ π λλ
σ σ σπ π λ π π λλ λ
∂ = − + + = ∂
−∂ ∂= − + = − +∂ ∂
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Integrace per partes 0rr rr
d
dr rθθσ σ σ−
+ =
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
2 2o o
i i
r r
rrred zZ
r r zZ
WF r dr rdr
rθθσ σπ π λ
λ− ∂= − +
∂∫ ∫
rr
Wθθ θ
θ
σ σ λλΘ
Θ
∂− =∂
2o o
i i
r r
red zZ
r r zZ
W WF rdr rdrθ
θ
π λ π λλ λΘ
Θ
∂ ∂= − +∂ ∂∫ ∫
2o
i
r
red zZ
r zZ
W WF rdrθ
θ
π λ λλ λΘ
Θ
∂ ∂= − ∂ ∂ ∫
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Finální model
rr
zz zZ rr
zZ
W
W
θθ θθ
σ λ σλ
σ λ σλ
ΘΘ
∂= +∂∂= +∂
( )or
rr
r
W drr
rθθ
σ λλΘ
Θ
∂= −∂∫( )rr i
r Pσ = −
( ) 0rr o
rσ =
( )2 o
i
r
red zZ zZ zZ
r zZ
W WF rdr zθ
θ
π λ λ λ λλ λΘ
Θ
∂ ∂= − ≠ ∂ ∂ ∫
( ),zZ
W W θλ λΘ=
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Jak zahrnout zbytková napětí Rozevírání prstýnku můžeme modelovat jako otevírání uzavřeného kruhového prutu...
α
Úhel rozevření
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
oM
oM
Rozstřiženou konfiguraci budeme modelovat jako mezikruhovou výseč
oρ
Ri
R
oR
α
2α
ρiρ
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Rozstřiženou konfiguraci budeme považovat za beznapěťovou, a tak za referenční Uvažujeme-li tepnu, jako trubici, pak budeme zavírání modelovat jako přechod válcové výseče 2π–2αdo válce za podmínky zachování objemu
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Kinematika – 3 konfigurace
or
r
ir
( )R R
Z
ρπψ
π αδξ
=
Θ =−
=
( ) ( )R Zρ ψ ξ → Θ
( )r r R
z Z
θλ
== Θ=
( ) ( )R Z r zθΘ →
( )
( )1
0 0
0 0
0 0
F
R
R
ρρ
ππ α ρ
δ
∂
∂
= −
( )
2
0 0
0 0
0 0
F
r R
Rr
Rλ
∂
∂
=
0
0
0
,
,
,
Z L
z l
ξ ∈ Ξ
∈
∈
Otevřená = referenční
Uzavřená = zbytková napětí
Uzavřená = zbytková napětí
Natlakovaná-napnutá
Lδ =Ξ
l
Lλ =
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Kinematika
( ) ( )
( ) ( )2 1
0 0 0 00 00 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0 0
F F F
r
z
R rr R
Rr R r
R
ρ
θψ
ξ
ρρ ρ λ
π π λπ α ρ π α ρ
λλ δ λδ
∂ ∂∂ ∂ ∂∂ = = = = − −
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Kinematika Pro integraci je třeba vyjádřit všechny funkce jakožto závislé na zdeformovaném (finálním) poloměru r, což provedeme z podmínky zachování objemu...
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 o o o o
ll r r L R R R R r r
Lπ π− = − → = − −
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2
2 o o o o
LL R R R R
π α πρ ρ π ρ ρπ α
− − Ξ = − → = − −− Ξ
λ
δ
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2
2 o o o z ol r r r rξ
π α πρ ρ π ρ ρ λπ α
− − Ξ = − → = − −−
z
lξλ δλ= =
Ξ
Pro další výklad si stáhněte soubor artery-thick-
walled-tube.mw z www.biomechanika.cz
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Zbytková deformace (parametrizovaná úhlem rozevření α) má jen malý vliv na tvar křivky P – ro
a Fred.
( )80 1 15 16 1 99, . , .red z
F P kPa Nα λ= ° = = =
( )0 1 15 16 1 95, . , .red z
F P kPa Nα λ= ° = = =
SILNOSTĚNNÁ SIMULACE
Zbytková deformace homogenizuje průběh napětí