Libro Teoria

INGENIERIA DE CONTROL 2013

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA


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INDICE

1 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL..…………………….………………….

1.1 Conceptos básicos de los sistemas de Control..…………………………………..……

1.1.1 Características del Control……………..……………………………………….…..

1.1.2 Términos mas usados en la Ingeniería de Control…………………………….…

1.1.3 Clasificación de los sistemas de Control…………………………………………

1.2 Objetivos de los sistemas de Control…………………………………………………….…

1.3 Áreas de Utilización……………………………………………….…………………………….

1.4 Bloques en un sistema de control………….………………….…………………………..….

1.5 Resumen……………………………………….………………………………..…………….…...

Laboratorio Numero 1……………………………………………………………..……………………

2 SISTEMAS LINEALES……………………………………………….………..………………………

2.1 Sistemas Lineales…….……………………………………………….…………………………

2.2 Transformada de Laplace………………………………………………….……………………

2.2.1 Transformación de Laplace de algunas funciones……….…………………………

2.2.2 Tabla de transformada de Laplace……………………………….……………………

2.2.3 Propiedades de la Transformación de Laplace………….…………………………

2.2.4 Transformada Inversa de Laplace……………………………….……………………

Laboratorio Numero 2…………………………………………………………………………

3 MODELAMIENTO DE SISTEMAS………………………….………………………….…………

3.1 Modelado Teórico…………………………………………………………………...………..

3.1.1 Sistemas mecánicos………………………………………………………...………..

3.1.1.1 Sistemas mecánicos de traslación…………………………………………….

3.1.1.2 Sistemas mecánicos de Rotación……………………………………………….

3.1.2 Sistemas Eléctricos…………………………………………………………...………..

3.1.3 Sistemas Térmicos…………………………………………………………...………..

3.1.4 Sistemas de Nivel…………………………………………………………...………..

3.1.5 Sistemas de Concentración………………………………………………...………..

3.1.6 Sistema de transporte………………………………………………………...………..

4 FUNCIONDE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES DE ESPACIOS DE ESTADOS….………

4.1 Modelado de sistemas (Continuación)……………………………………………..………

4.2 Función de Transferencia….……………………………………………………….…………

4.3 Ecuaciones de espacios de Estados………………………………………………………….

Laboratorio Numero 4……………..……………………………………………………………………

5 ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Y SISTEMAS REALIMENTADOS…………………

5.1 Sistemas de Primer Orden………………………………….……………………………………

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5.2 Sistemas de segundo orden………………………………………………………..…………….

5.3 Propiedades de los sistemas realimentados……………………….……………....…………

5.4 Laboratorio Numero 5…………………………………………………………….………..………

6 FUNCION DE TRANSFERENCIA DE UN MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA…..…………….

6.1 Análisis del motor de Corriente Directa.……….……………………………………

6.2 Modelo de la parte Mecánica……………..………………………………………………………

7 LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES……………………………………………………………

7.1 Criterio de Routh……………………………………….…………………………………………

Problemas propuestos de Routh……………………………………………………………………

7.2 Lugar Geométrico de las Raíces………………………………………….……………………

7.2.1 Representación Grafica…………….………..…………………………………………

7.2.2 Método geométrico lugar de las raíces………………………………………………..

7.2.3 Reglas del lugar geométrico de las raíces…………………………………………….

Laboratorio Numero 7…………………………………….…………………………………………………

8 GRAFICOS DE BODE…………………………………….……………………………………………….

8.1 Señales Sinusoidales en sistemas lineales…………………………………………………..

8.2 Diagramas de Bode……………………………..………………………………………………….

Laboratorio Numero 8………………………………………………………………………………….….

9 DISEÑO DE REGULADORES…………………………………………………………………………..

9.1 Reguladores PID…………………………………………………………………………………….

9.2 Dimensionamiento de Reguladores en el campo de las frecuencias……………………

9.3 Ejemplo de Aplicación……………………………………………………………………………..

9.4 Laboratorio numero 9……………………………………………………………………………….

10 REPRESENTACION EN EL ESPACIOS DE ESTADOS DE SISTEMAS DINAMICOS…….…….

10.1. Introducción………………………...………………………………………………………………

10.2. Representación en el espacio de estados cuando la función de excitación no

contiene términos derivados…………………………………………………………………………

10.3. Relación entre el modelo de estados y la función de transferencia

10.4 Matriz de transición de estados y respuesta en el tiempo…………………………………..

10.5 Matriz de transición de estados en el caso homogéneo…………………………………..

10.6 Laboratorio numero 10………………………………………………….………………………….

11 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD…………………………………………………………

11.1 Introducción………………………………………………………………………………….………

11.2 Controlabilidad……..…………………………………………………………………………

11.3 Observabilidad………………….………………………………………………………………..

11.4 Laboratorio Numero 11………………………………………………………………………..

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1. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.- Empezaremos viendo algunos

elementos de los sistemas de control y alguna terminología como también los diferentes

conceptos vertidos al respecto.

1.1 Conceptos Básicos De Los Sistemas De Control.- El control automático fue la

primera herramienta de la ingeniería que nos permitió realizar ciertas tareas muy

complejas con errores aceptables. Es por eso indispensable que todo Ingeniero o

técnico conozca este campo a profundidad pues lo encontrara en prácticamente todas

las actividades de la vida en las que intervenimos en nuestra vida profesional. Ahora

que estamos en la era de los procesadores industriales estos están diseñados para

controlar cualquier actividad industrial o de otros tipos. Un ejemplo claro de la

modernidad en el control son los sistemas S.C.A.D.A. Supervisory Control and Data

Adquisition (en español, Control supervisor y adquisición de datos).

1.1.1 Características del control.- Si queremos controlar una variable debemos

considerar lo siguiente:

a) El sistema deberá alcanzar rápidamente el valor final deseado. Este periodo es

conocido como el periodo transitorio y el objetivo es tener una respuesta suave muy

rápida. El termino rápido es relativo para un sistema electrónico pueden ser

centésimas de segundo, para un sistema electromecánico (motor) pueden ser

segundos y para un sistema químico pueden ser minutos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:SCADA_schematic_overview-s.png


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b) La desviación o error entre el rendimiento final del sistema y el rendimiento final real

deberá ser pequeño. Esta desviación se conoce como error de estado permanente.

c) La respuesta del sistema deberá ser suave y libre de fluctuaciones u oscilaciones.

Las grandes oscilaciones indican una respuesta inestable.

Estas tres características velocidad de respuesta, error de estado permanente y

estabilidad son cuestiones fundamentales en cualquier sistema de control. Nosotros

tomaremos normalmente el cambio en base a escalones, aunque además del escalón

podemos aplicar otras señales de entrada como sinusoides, rampas o impulsos pero el

escalón es la más importante.

1.1.2 Términos más utilizados en la ingeniería de control.- Algunos de ellos son:

Variable controlada.- Es la cantidad o condición que se mide y controla es normalmente

la salida del sistema.

Variable manipulada.- Es la cantidad o condición modificada por el controlador, a fin de

afectar la variable controlada

Control.- Alcanzar o limitar la desviación del valor medido respecto del valor deseado.

+ -

PUENTE de

tiristores

MOTOR de

Corriente

Continua

TACOMETRO


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Planta.- Conjunto de dispositivos que funcionan conjuntamente.

Proceso.- Operación o conjunto de ellas que deba controlarse.

Sistema.- Combinación de componentes que actúan conjuntamente y persiguen un

objetivo determinado. Los sistemas pueden existir físicamente o ser también abstractos

como el sistema del control del precio del dólar.

Perturbación.- Señal que afecta adversamente la salida del sistema

Control retroalimentado.- Es una operación que tomando la salida tiende a reducir la

diferencia entre esta y la entrada referenciada del sistema.

Sistemas de control retroalimentado.- Se denomina sistema de control

retroalimentado a aquel que tiende a mantener una relación preestablecida entre la

salida y alguna entrada de referencia comparándola y utilizando la diferencia como

medio de control.

1.1.3 Clasificación de los sistemas de Control.- Tenemos los siguientes:

Sistemas de control lineales versus los no lineales. En realidad la mayoría de

sistemas físicos son no lineales, pero si tomamos un pequeño rango de comportamiento

se puede considerar estos sistemas como lineales o se puede linealizar. Los sistemas

lineales son aquellos que podemos aplicar el principio de superposición.

Sistemas de control invariante en el tiempo versus control variable en el tiempo.

Un sistema de control invariante en el tiempo es aquel en que los parámetros no varían

con el tiempo. La respuesta es independiente del momento en que se aplica la entrada.

En un sistema variable en el tiempo los parámetros varían con el tiempo, un ejemplo de

este último es por ejemplo los sistemas económicos de los países donde los parámetros

varían en el tiempo ( población, valor de la moneda etc.) y la respuesta dependerá del

momento en que se apliquen las medidas correctivas o se aplique el control.

Sistemas de control de tiempo continúo versus sistemas de control de tiempo

discreto. Un control de tiempo discreto nos permite conocer los valores de las funciones

en tiempos discretos. Debido a la irrupción del procesamiento digital esto es muy

utilizado.

Sistemas de control de una entrada y una salida y múltiples entradas y múltiples

salidas. Un sistema puede tener una entrada y una salida, ejemplo voltaje de entrada y

una salida ejemplo velocidad. Pero también tenemos múltiples entradas como presión y

temperatura y múltiples salidas como temperatura y torque.


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Sistemas de control determinísticos versus sistemas de control estocásticos. Será

determinístico cuando sabemos que va a suceder dada determinada entrada, pero en

caso contrario tenemos un sistema estocástico. Cuando tenemos un caso estocástico

tenemos que recurrir a parámetros estadísticos y a niveles de confianza para crear

nuestros modelos un caso muy concreto es el sistema de planificación de un país.

Sistema Analógico y Sistema Digital. Los circuitos electrónicos se pueden dividir en

dos amplias categorías: digitales y analógicos. La electrónica digital utiliza magnitudes

con valores discretos, mientras que la electrónica analógica emplea magnitudes con

valores continuos. Un sistema digital es cualquier dispositivo destinado a la generación,

transmisión, procesamiento o almacenamiento de señales digitales. También un sistema

digital es una combinación de dispositivos diseñado para manipular cantidades físicas o

información que estén representadas en forma digital; es decir, que sólo puedan tomar

valores discretos.

La mayoría de las veces estos dispositivos son electrónicos, pero también pueden ser

mecánicos, magnéticos o neumáticos. Para el análisis y la síntesis de sistemas digitales

binarios se utiliza como herramienta el álgebra de Boole. Los sistemas digitales pueden

ser de dos tipos:

Sistemas digitales combinacionales: Son aquellos en los que la salida del sistema sólo

depende de la entrada presente. Por lo tanto, no necesita módulos de memoria, ya que la

salida no depende de entradas previas.

Sistemas digitales secuenciales: La salida depende de la entrada actual y de las

entradas anteriores. Esta clase de sistemas necesitan elementos de memoria que recojan

la información de la historia pasada del sistema. Para la implementación de los circuitos

digitales, se utilizan puertas lógicas (AND, OR y NOT) y transistores. Estas puertas siguen

el comportamiento de algunas funciones booleanas.

Se dice que un sistema es analógico cuando las magnitudes de la señal se representan

mediante variables continuas, esto es análogas a las magnitudes que dan lugar a la

generación de esta señal. Un sistema analógico contiene dispositivos que manipulan

cantidades físicas representadas en forma analógica. En un sistema de este tipo, las

cantidades varían sobre un intervalo continuo de valores.

Así, una magnitud analógica es aquella que toma valores continuos. Una magnitud digital

es aquella que toma un conjunto de valores discretos.

La mayoría de las cosas que se pueden medir cuantitativamente aparecen en la naturaleza

en forma analógica. Un ejemplo de ello es la temperatura: a lo largo de un día la

temperatura no varía entre, por ejemplo, 20 ºC o 25 ºC de forma instantánea, sino que

alcanza todos los infinitos valores que entre ese intervalo. Otros ejemplos de magnitudes


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analógicas son el tiempo, la presión, la distancia.

Señal Analógica Una señal analógica es un voltaje o corriente que varía suave y

continuamente. Una onda sinusoidal es una señal analógica de una sola frecuencia. Los

voltajes de la voz y del video son señales analógicas que varían de acuerdo con el sonido

o variaciones de la luz que corresponden a la información que se está transmitiendo

Señal Digital Las señales digitales, en contraste con las señales analógicas, no varían en

forma continua, sino que cambian en pasos o en incrementos discretos. La mayoría de las

señales digitales utilizan códigos binarios o de dos estados.

Ventajas de los Circuitos Digitales La revolución electrónica ha estado vigente bastante

tiempo; la revolución del "estado sólido" comenzó con dispositivos analógicos y

aplicaciones como los transistores y los radios transistorizados. Cabe preguntarse ¿por

qué ha surgido ahora una revolución digital? De hecho, existen muchas razones para dar

preferencia a los circuitos digitales sobre los circuitos analógicos:

Reproducibilidad de resultados

Facilidad de diseño.

Flexibilidad y funcionalidad..

Programabilidad.

Velocidad.

Economía.

Avance tecnológico constante.

Ventajas del procesado digital de señales frente al analógico

1.2 Objetivos de los Sistemas de Control

Analizar y diseñar sistemas de control.

Usar herramientas de software moderno para analizar y resolver problemas de diseño

de control.

1.3 Áreas de Utilización

Procesos industriales

Transporte

Generación de energía

Transmisión de energía

Mecatrónica

Instrumentación

Artefactos electrónicos

Economía


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Medicina

1.4 Bloques en un Sistema de Control:

La Ingeniería de Control es en realidad un enfoque Global, debemos considerar:

La planta, el proceso a ser controlado

Los objetivos

Los sensores

Los actuadores

Las comunicaciones

El sistema de cómputo

La configuración e interfaces

Los algoritmos

Las perturbaciones e incertidumbres

A.- La planta Es la estructura física, parte importante, que será nuestro motivo de trabajo,

debe convertirse a un modelo matemático para ser manejada con nuestra tecnología.

B.- Objetivos

Antes de diseñar sensores, actuadores, o configuraciones de control, es importante conocer

los objetivos de control. Estos incluyen

Qué es lo que se pretende alcanzar (mas utilidades, mayor producción, etc.).

Qué variables deben controlarse para alcanzar los objetivos.

Qué nivel de calidad se necesita (precisión, velocidad, etc.).

C.- Los sensores

Los sensores son los ojos del sistema de control, que le permiten ver qué está pasando. De

hecho, algo que suele decirse en control es:

Si se puede medir, se puede controlar.

D.- Los actuadores

Una vez ubicados los sensores para informar el estado de un proceso, sigue determinar la

forma de actuar sobre el sistema para hacerlo ir del estado actual al estado deseado. Un

problema de control industrial típicamente involucrará varios actuadores distintos.

E.- Las comunicaciones

La interconexión de sensores y actuadores requieren el uso de sistemas de comunicación.

Una planta típica va a tener miles de señales diferentes que deberán ser transmitidas largas

distancias. Así, el diseño de sistemas de comunicación y sus protocolos asociados es un

aspecto cada vez más importante de la ingeniería de control moderna.

F.- El sistema de cómputo


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En los sistemas de control modernos la interconexión de sensores y actuadores se hace

invariablemente a través de una computadora de algún tipo. Por lo tanto, los aspectos

computacionales son necesariamente una parte del diseño general.

Los sistemas de control actuales usan una gama de dispositivos de cómputo, que incluyen

DCS (sistemas de control distribuido), PLC (controladores lógicos programables), PC

(computadoras personales), etc.

G.- Configuración e interfaces

La cuestión de qué se conecta con qué no es trivial en el diseño de un sistema de control.

Podría pensarse que lo mejor siempre sería llevar todas las señales a un punto central, de

manera que cada acción de control esté basada en información completa (el denominado

control centralizado). Sin embargo, esta raramente es la mejor solución en la práctica. De

hecho, hay muy buenas razones por las que no conviene llevar todas las señales a un punto

común. Algunas obvias son complejidad, costos, limitaciones en tiempo de cómputo,

mantenimiento, confiabilidad, etc.

H.- Algoritmos

Finalmente, llegamos al corazón de la ingeniería de control: Los algoritmos que conectan

sensores y actuadores. Es muy fácil subestimar este aspecto final del problema. Como

ejemplo simple de nuestra experiencia diaria, consideremos el problema de jugar tenis a

primer nivel internacional. Claramente, se necesita buena visión (sensores) y fuerza

muscular (actuadores) para jugar tenis en este nivel, pero estos atributos no son suficientes.

De hecho, la coordinación entre ojos y brazo es también crucial para el éxito. En resumen:

Los sensores proveen los ojos, y los actuadores los músculos; la teoría de control provee la

destreza.


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I.- Perturbaciones e incertidumbre

Uno de los factores que hacen a la ciencia del control interesante es que todos los sistemas

reales están afectados por ruido y perturbaciones externas. Estos factores pueden tener un

impacto significativo en el rendimiento del sistema. Como ejemplo simple, los aviones están

sujetos a ráfagas de vientos y pozos de aire; los controladores de crucero de los

automóviles deben adecuarse a diferentes condiciones de la ruta y diferentes cargas del

vehículos

1.5 Resumen

La Ingeniería de Control está presente en virtualmente todos los sistemas modernos de

ingeniería. El control es una tecnología a menudo «invisible», ya que el éxito mismo de su

aplicación la vuelve indetectable.

El control es la clave tecnológica para lograr

Productos de mayor calidad

Minimización de desperdicios

Protección del medio ambiente

Mayor rendimiento de la capacidad instalada

Mayores márgenes de seguridad

El control es multidisciplinario (incluye sensores, actuadores,

Comunicaciones, cómputo, algoritmos, etc.)

El diseño de control tiene como meta lograr un nivel de rendimiento deseado frente a

perturbaciones e incertidumbre.


13

MATLAB

Introducción.- El matlab(MATrix LABoratory) es un lenguaje de alto nivel, escrito en

gran parte en lenguaje “C” , orientado para el calculo técnico, su potencia radica en

una gran cantidad de rutinas de calculo aplicadas a las diferentes disciplinas de la

ingeniería. En su ambiente integrado pude realizar cálculos, programación y

visualización, para esto en el matlab se utilizan tres ventanas:

Ventana de comandos. (Principal). Nos permite ingresar datos o ejecutar

comandos o funciones.

Ventana de gráficos. Displaya los resultados (Forma gráfica) que se indiquen con

comandos o programas.

Ventana del editor. Nos permite escribir nuevos programas (secuencia de

comandos) y funciones.

Su elemento básico es una matriz numérica. Sus usos mas comunes son:

Cálculos matemáticos (matriciales).

Modelado y simulación.

Procesamiento de datos.

Desarrollo de interfaces graficas.

Operaciones básicas en matlab.-

Ingreso de datos a una matriz.- Las matrices y los vectores son variables que

tienen nombres. Recomendamos que se utilice letras mayúsculas para

matrices y letras minúsculas para vectores y escalares el ingreso lo

realizamos así:

>> mat = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

El matlab responde mat = 1 2 3

. 4 5 6

. 7 8 9

La matriz A ya puede ser trabajada, obtendremos la transpuesta haciendo lo

siguiente:

>> A’ y la respuesta del sistema será

ans = 1 4 7

. 2 5 8

. 3 6 9

Esto es por que el resultado no ha sido asignado a ninguna variable, veamos en

matlab

E


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También podemos operar con estas matrices, hallando primero A*B y después la inversa

de A que seria C y comprobar que C es la inversa de A. Se puede acceder a cualquier

elemento de A o de B con solo indicarlo con los subíndices. El siguiente cuadro nos

visualizara todo lo anteriormente dicho.

Con la última operación comprobamos la inversa. Para definir un vector fila es más

sencillo

>> A = [1 4 -3 ; 2 1 5; -2 5 3]

A = 1 4 -3

2 1 5

-2 5 3

>> C=inv(A)

C =

0.1803 0.2213 -0.1885

0.1311 0.0246 0.0902

-0.0984 0.1066 0.0574

>> C*A

ans =

1.0000 0.0000 -0.0000

0 1.0000 0.0000

0 -0.0000 1.0000

>> f1 = [0 1 4] ; % El ; evita la respuesta

>> f2 = [9 16 25] ;

>> f3 = [ 36 49 64] ;

>> mat2 = [f1 ; f2 ; f3]

mat2 = 0 1 4

9 16 25

36 49 64

>> A= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> B=A'

B = 1 4 7

2 5 8

3 6 9


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Operaciones con matrices.-

o Operadores aritméticos.- Tenemos los siguientes:

^ Potenciación

\ División ( a la izquierda)

/ División ( a la derecha)

* Producto

.* Producto elemento a elemento

./ y .\ división elemento a elemento

.^elevar a una potencia elemento a elemento

+ Adición o suma

- Substracción o resta ‘

transpuesta

Expresiones

Es una Secuencia de operandos y operadores

>> raiz2 = sqrt(2);

>> raiz3 = sqrt(3);

>>det1 = det(mat);

>>det2 = det(mat2);

% Escribiendo una expresión en 2 líneas

>> x = 0.5;

>> expx = 1 + x +(x^2)/2+ (x^3)/6+ ...

(x^4)/24 + (x^5)/120

Manejo de números complejos.- En este caso se considera √-1 a i o j

>> c1 = 2 – 4*j

>> c2 = 3 + 3*i

>> t = abs(c1 +c2);

>> s = [1 2 3 ; 4 5 6] + i*[ 3 2 1 ; 6 5 4]

Adición y substracción

>> M1 = [ 1 1 1 ; 1 1 1; 1 1 1]

>> M2 = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]

>> M3 = M1 + M2

>>M4 = M1 – M2

Por un escalar

>> M5 = M2 + 1

El matlab responde M5 = 2 3 4

. 5 6 7

. 8 9 10


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Multiplicación

>> multi = M1 * M2 % Si columnas de M1 igual a filas de M2

División

X = A\B % Solución de A*X = B

X = B\A % Solución de X*A = B

Potencia

>> p2 = mat ^2

>> p3 = mat^3

Operaciones entre elementos. El operador “.”

Si tenemos que

>> x1 = [ 1 2 3 ]

>> x2 = [ 4 5 6 ]

>> r1 = x1 . * x2

>> r1 = 4 10 18 % Efectúo el termino correspondiente de x1 por el de x2

>>r2 = x1. /x2

>>r2 = 0.25 0.40 0.50

>>r3 = x1.^x2

>>r3 = 1 32 729

Operadores de comparación

< menor < = menor o igual

> mayor > = mayor o igual

= = igual ~ = diferente

considerando 1 -> Verdadero y 0 -> Falso

Operadores lógicos

Tenemos que and & or |

>> 1 == 1 & 4 == -3 (ans = 0)

>> 1 == 1 | 4 ==-3 (ans = 1)

Operaciones diversas con matrices.- La forma general para asignar rangos a una

variable será .

. variable = inferior : variación : superior

por ejemplo:

>> x = 4: 2: 22

x = 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

>>beta = 0 : pi/4 : pi

>> beta = 0.000 0.7854 1.5708 2.3566 3.1416


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>> índice = 8: -1: 1

índice = 8 7 6 5 4 3 2 1

Se puede generar un vector linealmente espaciado

>> w = linspace(100,1000, 10)

w = 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Se puede generar también matrices de la siguiente forma

>> uno = ones(5)

>> cero = zeros(4)

>> RR = rand(3)

>> I=eye(4)

2 Funciones.- Para crear una función seguir los siguientes pasos

En menú archivo opción new

Guardar como f1.m

Escribir en el editor

function y = f1(x)

y = x.^2 -x -2

En la ventana de comandos

>> x= -3:0.1: 3

>> plot( x, f1(x)) ó

>> x= -3:0.1: 3

>> y1 = f1(x)

>>plot( x, y1)

3 Ceros y Mínimos de una función.- Algunos comandos adicionales que nos permiten

hallar ceros y mínimos de una función son.

fmin Halla mínimo para funciones de una variable por ejemplo podemos

considerar >> xmin = fmin(‘f1’,-1,1)

fmins Minimiza función de varias variables

fzero Encuentra los ceros de una función por ejemplo podemos hallar el cero

cercano a –2 y a +2, ojo aquí no hay intervalo sino valor inicial o punto de arranque

>> raiz1 = fzero(‘f1’,-2)

>> raiz1 = fzero(‘f1’,-2) Ahora si queremos visualizar estos resultados los comandos

serian así

>> raiz1 = fzero(‘f1’,-2)

>> raiz2 = fzero(‘f1’, 2)

>> x= -3:0.01:3

>> plot(x,f1(x),raiz1,f1(raiz1),’X’,raiz2,f1(raiz2),’X’),grid


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2. SISTEMAS LINEALES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1 Sistemas Lineales.-


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2.2 Transformada de Laplace

Supongamos una función f(t): de R en R en principio de cuadrado integrable en el intervalo

0, . Definimos la transformación de Laplace de f (t) y la denotamos como F(s) como:

k

st

k dtetfsF0

)(lim)(

Notemos que la transformación en cuestión asocia a cada función del espacio de funciones

considerado otra función F(s) con parámetro s.

La utilidad de esta transformación se verá patente cuando se expongan sus propiedades.

Nótese que no todas las funciones tienen una transformada de Laplace: Podemos encontrar

funciones que al intentar calcular su transformada de Laplace nos dé lugar a una integral no

convergente para cualquier valor de s. Las funciones que tienen transformada de Laplace

bien definida en algún intervalo de s las llamaremos funciones admisibles por dicha

transformación en dicho intervalo. Así mismo al margen de valores de s en el cual la

transformada de Laplace puede ser evaluada se le llamará dominio de la función

transformada. Una condición necesaria para que una función sea admisible para algún

intervalo es que su ritmo de crecimiento sea inferior al de una exponencial en t:

2.2.1 Transformación de Laplace de algunas funciones.

En este apartado ilustraré la transformación de Laplace aplicada a varias funciones de uso

corriente en el análisis de circuitos:

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de 𝑒𝑎𝑡

𝐿{𝑒𝑎𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑒𝑎𝑡𝑑𝑡 = ∞

0∫ 𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡𝑑𝑡 =

∞

0[−

1

𝑠−𝑎𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡]

0

∞

=

−1

𝑠−𝑎(0 − 1) =

1

𝑠−𝑎 Respuesta:

aseL at

1}{

Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.

𝐿{𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑑𝑡∞

0

aplicando la integración por partes:

u=t; du = dt ; dv = e-stdt; v= -(1/s)e-st

𝐿{𝑡} = [−1

𝑠𝑡𝑒−𝑠𝑡]

0

∞

+ 1

𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

220

110

111

sse

ss

st

Respuesta


21

Y en general: 1

!}{

n

n

s

ntL

Ejemplo 3: Método alternativo para obtener la transformada de Sen at ; y simultáneamente

la transformada de Cos at :

𝐿{𝑒𝑗𝑎𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑒𝑗𝑎𝑡𝑑𝑡∞

0

Utilizando el ejemplo 1 tenemos

𝐿{𝑒𝑗𝑎𝑡} =1

𝑠−𝑗𝑎=

𝑠

𝑠2+𝑎2+

𝑗𝑎

𝑠2+𝑎2

Utilizando la identidad de Euler que es ejat = cos at +j sen at:

se obtiene que 𝐿{cos 𝑎𝑡} =𝑠

𝑠2+𝑎2 𝑦 𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡} =

𝑎

𝑠2+𝑎2 Rpta.

2.2.2 Tabla de transformada de Laplace de algunas funciones

22

22

22

2

)(

)cos(

1)()cos(

1

1

11

1)(

ws

wwtsen

ws

swt

ws

jws

jwsewtjsenwt

ase

st

s

t

jwt

at

Las funciones arriba indicadas son las más frecuentes tanto en matemáticas como en el

mundo de la electrónica. En el siguiente apartado se expondrá una serie de propiedades de

la transformación. Dichas propiedades, además de la importancia que tienen a la hora de

aplicar la transformación de Laplace, nos permitirán obtener transformaciones de Laplace de

funciones más complicadas.


22

2.2.3 Propiedades de la transformación de Laplace.

De la relación de propiedades que expondré a continuación se podrán ver con facilidad la

utilidad de la transformación en casos de resolución de problemas de valor inicial:

Propiedad 1: Linealidad:

)()())()(()()(0

sGsFdttgtftgtf

Propiedad 2: Derivación en el tiempo:

)0()()(

fssFdt

tdf

Propiedad 3: Derivación en s:

ds

sdFttf

)()(

Propiedad 4: Desplazamiento en s:

)()( asFetf at

Existen muchas otras propiedades que pueden encontrarse en textos sobre el tema y que

omitiré para sólo exponer lo más importante y no alargar este documento.

La segunda propiedad es para la más importante de todas ya que gracias a ella podemos

utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales: La transformación

de Laplace transforma derivadas en productos.

La primera propiedad, la de la linealidad nos permitirá transformar una ecuación entera

quedando sumas y productos por constantes invariantes.

2.2.4 Transformada inversa de Laplace.- Se obtiene mediante la siguiente forma: La

transformada inversa de Laplace es el proceso de obtener x(t) a través de X(s) y

se define como

jw

jw

stdsesXj

tx

)(2

1)(

Transformada inversa de Laplace, tenemos la siguiente tabla:

1.- 0,,11 11

ssik

s

kLy

sL


23

2.- 0,!

1,

!1

1

1

1

ssin

t

sLyt

s

nL

n

n

n

n

3.- 0,11

ssieas

L at

4.- 0,/1

,22

1

22

1

ssikktsenks

Lyktsenks

kL

5.- 0,cos22

1

ssiktks

sL

6.- kssik

ktsenh

ksLyktsenh

ks

kL

,1

,22

1

22

1

7.- kssiktks

sL

,cosh22

1

8.- 0,!)(

1,

)(

!1

1

1

1

ssin

et

asLyet

as

nL

atn

n

atn

n

Ejemplo 1: Hallar

123)1)(2)(3(

17 1111

s

CL

s

BL

s

AL

sss

sL

Por fracciones parciales:

A= (7(3)-1)/ (3+2) (3-1) = 2

B= (7(-2)-1)/ (-2-3) (-2-1)=-15/-15 = 1

C= (7(1)-1)/ (1-3) (1+2) = 6/-6 = -1

1

1

2

1

3

2 111

sL

sL

sL

Ejemplo 2:

Hallar

)2()2()2()2(

1 1

2

1

3

11

2

1

32

1

s

EL

s

DL

s

CL

s

BL

s

AL

ss

sL

ttt

Eete

Det

CBAt 2222

!1!2

Hallando por fracciones parciales

A = 1/8, B = -1/16, C = -1/4, D = 0, E = 1/16


24

t

t

eet

t 222

16

1

!24

1

16

1

8

1

Respuesta

Ejemplo de aplicación.

Para poder entender de una forma clara estas ideas lo mejor es verlo con un ejemplo.

El ejemplo que expongo a continuación trata de ilustrar la resolución de un problema

electrónico mediante la transformación de Laplace. Cuando tenemos una ecuación

diferencial lineal el método a utilizar es siempre el mismo: se transforma la ecuación entera.

Como la ecuación es lineal se tiene como resultado una ecuación lineal. Hecho esto se

despeja la incógnita y el resultado que se obtiene es una función racional en s. Por último

sólo tenemos que hacer la transformación inversa de Laplace ( mirar que función tiene como

transformada de Laplace la función que tenemos).

En la práctica, cuando lo que queremos es resolver un circuito eléctrico, lo que se hace es

"transformar el circuito"; es decir: dado que por los condensadores la corriente que pasa es

la derivada de la tensión aplicada en sus terminales multiplicada por su capacidad, lo que se

hace es asignar al condensador una "resistencia" de 1/Cs. Dado que el condensador no es

un componente resistivo al término 1/Cs se le pasa a llamar impedancia del condensador.

Así mismo no resulta difícil entender que la impedancia de una bobina es Ls. Notemos

además que para poder hacer esto es indispensable contar con condiciones iníciales nulas

en las cargas de los condensadores y en las corrientes de las bobinas. En la mayoría de los

problemas esto será siempre así.

I R Vr

Vs

C Vc

Vs = Vi (t) y Vc = Vo (t)

Planteando el circuito vi (t) = i(t) R + Vo(t)

Vi (t) = Vo(t) + RC( dVo(t)/dt)


25

Utilizando Laplace

V(s) = Vo(s) +RCsVo(s)

Seguidamente pasaré a resolver el problema para un caso particular: supongamos de vi(t)

es un escalón

01

00)()(

tsi

tsitutv

V(s) = 1/s

RCs

RC

sRCsssV

RCssVo

1

1

)1(

1)(

1

1)(

tRCetutv1

0 )()(

Para realizar la transformación inversa de Laplace el mejor paso a seguir descomponer en

suma de fracciones simples la función a descomponer, como si fuéramos a integrarla, y

luego relacionar cada fracción con su correspondiente exponencial.

Existe una fórmula cerrada para obtener la transformada inversa de Laplace, pero el cálculo,

además de engorroso, es complicado y requiere conocimientos de integración en el plano

complejo. Los interesados en el tema podrán encontrar información al respecto en cualquier

libro de análisis con variable compleja medianamente decente.

En el caso de no tener condiciones iníciales nulas, como en este ejemplo, no podremos

asociar al condensador una impedancia 1/Cs. En este caso derivar es multiplicar por s y

restar la condición inicial. De todas formas en el análisis de circuitos normalmente sólo se

estudia el régimen permanente con condiciones iníciales nulas; es decir: condiciones nulas

ya que el circuito hace mucho que está funcionando.


26

POLINOMIOS:

Los polinomios se representan por vectores, cuyos elementos son los coeficientes del

polinomio en orden descendente. Por ejemplo el polinomio 843 23 sss

Se representaría por: p=[ 1 3 -4 -8].

Veamos tenemos un polinomio 6521 23 sssp (p1= [ 1 2 -5 -6])

Hallamos las raíces con el comando roots

Como vemos hallamos las raíces del polinomio y las almacenamos en r1 y después con el

comando poly volvemos al polinomio original.

Si queremos evaluar un polinomio para un valor dado usamos el comando polyval, como

indicamos en el ejemplo:

122

2 ssp

>> p2=[1 -2 1]

p2 =

1 -2 1

>> s=[1 2 3]

s =

1 2 3

>> polyval(p2,s)

ans =

-.p 0 1 4

>> r1=roots(p1) r1 = 2.0000 -3.0000 -1.0000 >> poly(r1) ans = 1.0000 2.0000 -5.0000 -6.0000


27

Para multiplicar y dividir polinomios se utiliza conv y deconv, como vemos en el ejemplo:

Queremos multiplicar 422;231 22 ssqssq , hallando q3=q1*q2

La respuesta sería:

81683 234 ssssq

Funciones de transferencia Tenemos la siguiente función de transferencia:

)5.0)(14.0(

13.02.0)(

2

2

sss

sssH

Sabemos que para introducir la función de transferencia (En MATLAB) debemos ingresar el

numerador y el denominador.

Veamos un código que convierte la función de transferencia de la forma indicada a una

función de transferencia de la forma polos y ceros.

Y la respuesta será:

>> control01

ceros =

-0.7500 + 2.1065i

-0.7500 - 2.1065i

polos =

-0.2000 + 0.9798i

-0.2000 - 0.9798i

-0.5000

gan = 0.2000

Para comprobar tomemos la siguiente función de transferencia:

>> q1=[1 -3 2];

>> q2=[1 2 -4];

>> q3=conv(q1,q2)

q3 =

1 -1 -8 16 -8

num=[0.2 0.3 1];

den1=[1 0.4 1];

den2=[1 0.5];

den=conv(den1,den2);

[ceros,polos,gan] = tf2zp(num,den)


28

)4)(2)(1(

)4)(2()(

sss

sssH o visto de la forma polos y ceros que será

)10

1)(8

1)(1

1(

)4

1)(2

1(*1

)4

1)(2

1)(1

1(*4*2*1

)4

1)(2

1(*4*2)(

sss

ss

sss

ss

sH

Y el programa con algunas funciones adicionales, para visualizar mejor los resultados será:

El resultado será:

>> control02

Ceros =

-4

-2

Polos =

-8.0000

-2.0000

-1.0000

gan = 1

n = 0 1 6 8

d = 1.0000 11.0000 26.0000 16.0000

Num/den =

s^2 + 6 s + 8

-------------------------------

s^3 + 11 s^2 + 26 s + 16

num1= [1 2];

num2= [1 4];

den1= [1 1];

den2= [1 4];

den3=[1 2];

num=conv(num1,num2);

den=conv(conv(den1,den2),den3);

[ceros,polos,gan] = tf2zp(num,den);

[n,d]=zp2tf(ceros,polos,gan)

printsys(n,d);


29


30

Para conocer la relación que existe entre la señal de entrada y la señal de salida,

llamada función de transferencia vamos a considerar dos métodos, el modelado teórico

y la identificación experimental.

3.1. Modelado teórico.-Se utiliza para casos sencillos en los cuales se puede llegar a

relaciones matemáticas, generalmente ecuaciones diferenciales, que relacionan la

entrada con la salida.

3.1.1. Sistemas Mecánicos.- Los clasificaremos como de traslación y de rotación:

3.1.1.1. Sistemas mecánicos de Translación.- Para analizar sistemas

complejos primero debemos analizar las componentes de estos sistemas

mecánicos de translación.

Masa.- Se determina por la segunda ley de Newton

XMdt

xdMF ..

2

2

F1 F3

F2 M F4

X

La resultante de las fuerzas (Sumatoria) que actúan

sobre un cuerpo es igual a la masa de este por la aceleración.

Resorte.- La fuerza de un resorte ideal es igual a su estiramiento x por

una constante de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad K

mide la dureza del resorte, Si K es mayor el resorte es mas duro

xKF . F

K X

Cuando el resorte no esta estirado ni comprimido x será 0.

Amortiguador.- La fuerza de un amortiguador la idealizamos y la

consideramos proporcional a la velocidad xbdt

dxbF ..

F

b

x

La constante de amortiguación se denomina b. Un valor grande de b da

una amortiguación más fuerte.


31

Sistemas Mecánicos de Traslación Combinados.- A los sistemas

combinados podemos hallar la relación entre las fuerzas que actúan y

aceleración, velocidad y espacio recorrido. Veamos un ejemplo de

muchos que pueden haber:

F b

M

k

y

Se supone que la masa esta en reposo o sea cuando F = 0

entonces también y=0, como el amortiguador y el resorte se

oponen, entonces la ecuación diferencial de este sistema será:

dt

dybkyF

dt

ydM

2

2

.

o también expresado en su forma compacta

ybykFyM ...

Tomando la transformada de laplace para la ecuación tendremos.

Y (Ms2 +bs+ k) = F

siendo F(s) la entrada y Y(s) la salida tendremos la

Función de transferencia: kbsMssF

sYsG

2

1

)(

)()(

3.1.1.2. Sistemas Mecánicos de Rotación.- Están constituidos por masas

rotatorias, resortes de torsión y fricción.

Este sistema consiste en un rotor que esta sujeto con una flecha flexible.

El otro lado de la flecha esta sujeto. El rotor tiene una fricción viscosa, B.

Manejaremos la siguiente nomenclatura:

J Momento de inercia (Kg. m2)

D Coeficiente de la flecha (Nm/Rad.)

B Factor de Fricción (Nm/(Rad./seg.))

Θ Angulo de rotación (radianes)

M Momento (Nm)


32

J

D

Θ M (t)

B

La ecuación de movimiento nos da

MBDJ

Con la transformada de Laplace obtenemos:

(Js2 + Bs + D) Θ(s) = M(s)

La función de transferencia será:

DBsJss

sM

2

1

)(

)(

3.1.2. Sistemas Eléctricos.- Sus elementos son resistencias, condensadores y

bobinas y las señales son los voltajes y corrientes.

Resistencia: Por la ley de ohm V= R. i

I R

+ V -

v = R. i Con la transformada de laplace será: V(s) = R I(s)

Condensador: El voltaje a través de un condensador es igual a su

carga dividida por la capacitancia C.

idtCC

Qv

1

I C

+ v -

Y la transformada de laplace nos da la siguiente relación

)(1

)( sICs

sV


33

Inductor: El voltaje en un inductor es igual a la inductancia por la

derivada de la corriente dt

diLv .

I L

+ v -

La transformada de laplace nos da la siguiente relación:

)(.)( sILssV

Circuitos Eléctricos Combinados.-

CASO 1

+ R +

1/sC

v1 v2

- -

En el circuito mostrado ya hemos reemplazado en las componentes el

modelo considerando la transformada de laplace, como tenemos un

divisor de tensiones, la función de transferencia será:

RCs

sCR

sC

sV

sV

1

1

1

1

)(

)(

2

1

tendremos finalmente

CASO 2

+ 1/sC + Ls R v1 v2 - -

En este caso, vamos a considerar las impedancias como Z1, Z2 y Z3

RCssG

1

1)(


34

Ahora el inductor y la resistencia o sea Z2 y Z3 lo reduciremos a una

impedancia equivalente, que llamamos Zeq, veamos el cálculo.

RLs

LsR

RLsZZZeq

11111

32

Tendremos entonces que la

impedancia equivalente finalmente será: LsR

LRsZeq

Ahora trabajamos con el divisor de tensiones.

RLsLRCs

LRCs

sCLRsLsR

sCLRs

LsR

LRs

sC

LsR

LRs

sV

sV

2

2

.)(

.

1)(2

)(1

Finalmente

Circuitos Eléctricos con Componentes Activos.- Los

amplificadores operacionales son amplificadores de corriente con un

gran factor de amplificación y una impedancia de entrada virtualmente

infinita, hallemos pues la función de transferencia para el circuito

mostrado con un amplificador operacional:

Z2

Z1

-

+ + 0 A +

v1 v0 + v2

- - -

Las impedancias son complejas y son generalizadas. Tenemos la

siguiente igualdad considerando que la corriente de entrada al

amplificador operacional es cero entonces la corriente que pasa por Z1

es igual pero de signo contrario a la que pasa por Z2

2

20

1

01

Z

vv

Z

vv

RLsLRCs

LRCssG

2

2

)(


35

Como A

VVentoncesVAV 2

002 . y reemplazando en la

primera ecuación:

)(.

)()(1

1.

)(

)(

)(.)()(

)(

)(

)(

1

211

2

121

2

1

2

sZA

sZsZsZ

sZ

sZAsZsZ

sAZ

sV

sV

Finalmente obtenemos:

, para valores muy grandes de A, el segundo término desparece al

hacerse igual a 1 en la ecuación anterior.

3.1.3. Sistemas Térmicos.- Los sistemas térmicos intercambian energía

calorífica con su medio ambiente, considerando la ley básica de los sistemas

térmicos que dice que debe haber un balance de energía, lo cual significa que

el cambio de energía calorífica por unidad de tiempo es igual a la potencia

inferida menos la extraída. Esta formula será la siguiente: ei PPdt

dE

tenemos que la relación entre la energía y la temperatura es: ... cVTE

donde:

E = energía calorífica de cierta materia.

T = temperatura de cierta materia (K).

V = Volumen de cierta materia (m3).

c = capacitividad térmica (J/Kg. K).

= densidad (kg./m3)

Si suponemos que el volumen, la capacitividad y la densidad son constantes

tenemos que: ei PPdt

dTcV ...

)(

)(

)(

)(

1

2

2

1

sZ

sZ

sV

sV


36

3.1.4. Sistemas de nivel.-

A u1

h

u2

En los sistemas de nivel los cambios en el volumen del líquido en el tiempo son

iguales a la entrada del líquido menos la salida del mismo. Esto lo podemos

escribir 21 uudt

dhA

dt

dV

Donde: V= volumen del liquido (m3)

A = Área del tanque (m2)

h = Nivel del liquido (m)

u1 = flujo de entrada (m3/seg.)

u2 = flujo de entrada (m3/seg.)

Ejemplo: El nivel del tanque de la figura será regulado, esto se hará con el

flujo de entrada u1, el flujo de salida u2 es variable.

Encuentre la función de transferencia (h/u1-u2).

Tomando la formula tenemos: 21 uudt

dhA y con la transformada de

laplace obtenemos: AssUsU

sHsGsUsUsHsA

1

)()(

)()()()()(..

21

21

3.1.5. Sistema de concentración.-

Q, C1

V, C2

Q


37

Nos permiten regular la concentración de diversos componentes disueltos

en un líquido o inclusive la acidez. Sea c1 la concentración en la entrada

y la concentración en la salida sea c2, suponiendo además que el

volumen V y el flujo Q son constantes. Tenemos la siguiente ecuación:

212 ... cQQc

dt

dcV

dt

dMe

Donde:

Me=Cantidad de un elemento en el tanque (gr.)

Q = Flujo de liquido en el tanque (m3/seg.)

V = Volumen de liquido en el tanque (m3)

C1=concentración del elemento en la entrada (gr. /m3)

C2=concentración del elemento en el tanque y la salida (gr. /m3)

La función de transferencia de c1 a c2 será obtenida:

212 QCQCVsC

QCQVsC 12 )(

3.1.6. Sistema de Transporte.- Este sistema agrega un retardo para llevar el

material liquido o gas

Ti

V

T Tiempo de transporte 12 seg.

Q

T0

Relación entre T0 y T será: T0 = T(t-12) al usar la transformada de

Laplace será sesTsT 12

0 ).()( y con relación a Ti será

Ti T T0

Por lo tanto

sQ

VQsV

Q

sC

sCsG

1

1

)(

)()(

1

2

s401

1

se 12

ses

sGt 12

401

1)(


38


39

4. FUNCION DE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES DE ESPACIOS DE ESTADOS.-En

este capitulo veremos dos temas que son

Continuación de Modelado de Sistemas

Función de transferencia y Ecuaciones de espacios de Estados

4.1. MODELADO DE SISTEMAS El análisis y diseño de sistemas lineales empieza con

el modelado de sistemas reales. Estos modelos que son representaciones

matemáticas de sistemas químicos, sistemas mecánicos y electrónicos, sirven para

estudiar la respuesta dinámica de los sistemas reales. Las técnicas matemáticas

empleadas por matlab para diseñar y analizar estos sistemas suponen procesos que

son físicamente realizables, lineales e invariantes en el tiempo. (LTI): El matlab

utiliza modelos en la forma de FUNCIONES DE TRANSFERENCIA o

ECUACIONES DE ESPACIO DE ESTADOS, haciendo posible así el empleo de

técnicas de diseño y análisis de sistemas de control tanto clásicas como modernas.

Estas formas se pueden expresar en tiempo continuo o discreto. Las funciones de

transferencia se pueden expresar como un polinomio, un cociente de polinomios o

una de las dos formas factorizadas: cero-polo-ganancia o fracciones parciales. Los

modelos de sistema de espacio de estados son idóneos para matlab porque son

una expresión basada en matrices. Veamos un ejemplo: tenemos un sistema, tiene

tres fuerzas que actúan

K p y(t)

m u(t)

b

x(t)

Sistema de resorte- masa – amortiguador

Tenemos tres fuerzas que actúan sobre una masa m : una fuerza de entrada que depende del tiempo u(t), un

resorte con constante de resorte k y un amortiguador viscoso con constante de amortiguación b. la posición de

la masa en función del tiempo esta representada por x(t). Conectamos a la masa un potenciómetro de

medición p que proporciona un voltaje de salida y(t) proporcional a x(t) . La ecuación de movimiento de la


40

masa esta dada por la ecuación diferencial de segundo orden: )(tukxxbxm y la

ecuación del potenciómetro es: y(t) = px(t)

4.2. FUNCION DE TRANSFERENCIA.-El análisis de los sistemas lineales y de control con

frecuencia implica determinar ciertas propiedades dinámicas, como estabilidad y respuesta

en frecuencia, que no es fácil determinar usando análisis en el dominio del tiempo. Para

este análisis obtenemos una transformada de Laplace de la ecuación y pasamos del

dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La transformada de Laplace del anterior

sistema es )()()( 2 susxkbsms donde s es una variable compleja (+jw),

llamada variable de Laplace. Si llamamos H(s) a la función de transferencia que relaciona

el movimiento de salida del sistema x(s) con la fuerza de entrada u(s):

kbsmssu

sxsH

2

1

)(

)()( y la función del potenciómetro es p

sx

sy

)(

)(

Usemos un diagrama de bloque, considerando el valor de los parámetros m=1, b= 4, k=

3, y p= 10, tendremos:

Planta Medición

U(s) X(s) Y(s)

Y finalmente

Sistema

U(s) Y(s)

Normalmente el numerador y el denominador de una función de transferencia se factorizan

para obtener la forma cero – polo – ganancia, por ejemplo si tenemos

15239

24183)(

23

2

sss

sssH lo expresamos como

)5)(3)(1(

)4)(2(3)(

sss

sssH en esta

forma estamos mostrando los polos y los ceros del sistema respectivamente. Y finalmente

podemos escribir la última expresión como una expansión en fracciones parciales

)(......)(2

2

1

1 skps

r

ps

r

ps

rsH

n

n

Ejemplo1: Veamos el siguiente circuito

Tenemos que relacionar la salida con la entrada.

34

12 ss

10

34

102 ss


41

R1

Ejemplo:

i(t) . Vc(t)

C R2

Vi(t) Vo(t)

El voltaje de salida es:

2

1

2

)()()()( R

R

tvtv

dt

dCRtitv c

co

Obtenemos

)()()( 2211 tvRtvdt

dCRRtvR cco

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene

)()0()()( 2211 sVRvssVCRRsVR ccco

Suponemos condiciones iníciales cero, como

)()()()()()( sVsVsVentoncestvtvtv oicoic

Entonces tenemos:

)()()()()( 2211 sVsVRssVssVCRRsVR oioio

La ecuación puede reacomodarse como:

01

01

2121

221

)()(

)(

asa

bsb

RRCsRR

RCsRR

sV

sV

i

o

Donde a0 es R1 + R2, b0 = R2 y a1 = b1 = C R1R2 Para generalizar consideremos la ecuación

diferencial


42

)(...)()()(...)()( )()1(100

)1(1

)( tubtubtubtyatyaty mm

nn

n

Si aplicamos a esta ecuación la transformada de Laplace obtenemos

)(...)()()(...)()( 01

101

1 sUbsUsbsUsbsYasYsasYs mm

mm

nn

n

donde reacomodando términos tenemos:

011

1

011

1

....

....

)(

)(

asasas

bsbsbsb

sU

sYn

nn

mm

mm

Que lo podemos expresar como

n

i

i

m

i

i

s

sK

sU

sY

1

1

)(

)(

)(

)(

Entonces volvemos a reafirmar que la relación anterior es la función de transferencia, esta

fusión de transferencia )(

)()(

sU

sYsG

Está definida excepto en las raíces del polinomio del denominador. Estos puntos de

singularidad se les denominan polos.

4.3. ECUACIONES DE ESPACIOS DE ESTADOS.-Usando nuestro ejemplo anterior

tenemos la ecuación:

)(tukxxbxm Que define el movimiento, basado en esto podemos definir:

xx

xx

2

1

A continuación reescribimos la ecuación diferencial de segundo orden como un conjunto

de ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas:

uxxm

ux

m

bx

m

kx

xx

21212

21

43

Y la ecuación de medición como:

y=g(x, u)=10x, utilizando la notación matricial este modelo puede escribirse como un

modelo de espacio de estados

DuCxy

BuAxx

Que para este ejemplo representa


43

ux

xy

ux

x

x

x

0010

1

0

43

10

2

1

2

1

2

1

Representación en el espacio de estados cuando la función de excitación no contiene

términos derivados.-

Consideremos el siguiente sistema de n-esimo orden

)........(..... 1

)1(

1

)(

uyayayay nn

nn

Definimos

)1(

3

2

1

..

.

n

n yx

yx

yx

yx

Entonces la ecuación () se escribe como sigue:

uxaxax

xx

xx

xx

xx

nnn

nn

11

1

43

32

21

....

.

.

Esto también se puede expresar como:

BuAxx

Donde:

1

0

.

0

0

,

.

1.000

.....

0.100

0.010

,.

121

2

1

B

aaaa

A

x

x

x

x

nnnn


44

La salida será:

nx

x

x

y.

0.012

1

que será DuCxy

donde 0.01C obsérvese que d =0

esta será la función de transferencia de la forma:

Ejemplo 1

Consideremos el sistema mecánico que aparece en la siguiente figura:

k u(t) y(t) b

se supone que el sistema es lineal, la excitación externa es u(t), que es una fuerza y la

salida es el desplazamiento de la masa y(t). Este sistema tiene una sola entrada y una sola

salida y la ecuación diferencial que lo describe será: ukyybym .

Este sistema es de segundo orden, por lo tanto definimos las variables de estado

)()(

)(

2

)(1

tytx

tyx t

nnnn asasassU

sY

11

1 ...

1

)(

)(

m


45

Obtenemos um

ybkym

x

xx

1)(

12

21

Expresado de otra manera

um

xm

bx

m

kx

xx

1212

21

La ecuación de salida es 1xy

En forma matricial se escribe:

mx

x

m

b

m

kx

x1010

2

1

2

1

u

La ecuación de salida es

2

101

x

xy

la forma estándar

DuCxy

BuAxx

donde: 0,01,10

,10

DC

m

B

m

b

m

kA

Ejemplo 2: Considérese un circuito RLC L R ei C e0

Obtenemos

idtC

e

idtC

Ridt

diLe

o

i

1

1

Por lo tanto

iooo eLC

eLC

eL

Re

11


46

Tenemos

o

o

ex

ex

2

1

y también 1xey

eu

o

i

Obtenemos

2

1

2

1

2

1

01

10

110

x

xy

u

LCx

x

L

R

LCx

x

Con lo cual tenemos el modelo matemático. Donde:

]0[01

10

,110

DyC

LC

B

L

R

LC

A


47

CONVERSION DE MODELOS

El matlab cuenta con varias funciones que facilitan la conversión de una forma de modelo

a otra y son las siguientes:

Función residue. La función residue convierte la función de transferencia polinómica:

[r, p, k] = residue (B, A) Determina los vectores r, p y k, que contienen los valores de

residuo, los polos y los términos directos de la expansión de fracciones parciales. Las

entradas son los coeficientes de los polinomios B y A del numerador y denominador de la

función de transferencia, respectivamente.

Método en fracciones parciales para encontrar las transformadas inversas de Laplace Para encontrar la transformada inversa de Laplace debemos desarrollar un método para

expresar F(s) como una suma de fracciones parciales o sea F(s) = F1(s) + F2(s) + F3(s) +

F4(s) ......... y por lo tanto L-1(F(s)) = L-1(F1(s) + L-1(F2(s) + L-1(F3(s) + L-1(F4(s).....

= f1(t) + f2(t) + f3(t) + f4(t) +....

Desarrollo en fracciones simples con matlab MATLAB tiene una orden para obtener el desarrollo en fracciones simples de B/s) /A(s).

En primer lugar se presentará el enfoque de MATLAB para detener el desarrollo en

fracciones simples de B(s)/A(s). Después se analiza el procedimiento que sigue MATLAB

para obtener los ceros y los polos de B(s)/A(s).

Desarrollo en fracciones simples con MATLAB. Considérese la función de transferencia

B(s)/A(s):

den

num

sA

sB

)(

)( =

n

nn

n

nn

asas

bsbsb

....

....1

1

1

10

donde algunos ai y bi pueden ser cero. En MATLAB, los vectores fila num y den especificar

los coeficientes del numerador y del denominador en la función de transferencia. Es decir,

residue Expansión de fracciones parciales.

ss2tf Espacio de estados a función de transferencia

ss2zp Espacio de estados a cero-polo-ganancia

tf2ss Función de transferencia a espacio de estados.

tf2zp Función de transferencia a cero-polo-ganancia.

zp2ss Cero – polo – ganancia a espacio de estados.

zp2tf cero – polo - Espacio de estados a función de transferencia


48

num = b0 b1 … bn

den = 1 a1 … an

El comando

r, p, k = residue (num, den) Encuentra los residuos (r), los polos (p) y los términos directos (k) de un desarrollo en

fracciones simples del cociente de dos polinomios B(s) y A(s).

El desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s) se obtiene mediante

)()(

)(....

)2(

)2(

)1(

)1(

)(

)(sk

nps

nr

ps

r

ps

r

sA

sB

Comparando las Ecuaciones se observa que p(1) = -p1, p(2) = -p2, … p(n) = -pn ; r(1) = a1,

r(2) = a2, …., r(n) = an . k(s) es un término directo.

Ejemplo:

Considere la siguiente función de transferencia:

6116

6352

)(

)(23

23

sss

sss

sA

sB

Para esta función,

num = 2 5 3 6

den = 1 6 11 6

La orden

r , p, k = residue (num, den) Proporciona el resultado siguiente:

r, p, k = residue (num, den)

r =

- 6.0000

- 4.0000

3.0000

p =

- 3.0000

- 2.0000

- 1.0000

k =

2


49

(Observe que los residuos se devuelven en el vector columna r, las posiciones de los polos

en el vector columna p y el término directo en el vector fila (k). Esta es la representación en

MATLAB del siguiente desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s):

6116

6352

)(

)(23

23

sss

sss

sA

sB

= 21

3

2

4

3

6

sss

La función residue también se puede utilizar para obtener los polinomios (numerador y

denominador) a partir de su desarrollo en fracciones simples. Esto es, el comando,

num, den = residue (r, p, k)

donde r, p y k están como se obtienen en el resultado de MATLAB anterior, convierte el

desarrollo en fracciones simples en la razón de polinomios B(s)/A(s) del modo siguiente:

La función: printsys (num, den, ‘s’)

Imprime num/den en términos del cociente de los polinomios en s:

Observe que si p(j) = p(j+1) = …. = p(j+m-1) esto es, pj+1 = … = pj+m-1, el polo p(j) es un polo

del multiplicidad m. En este caso, el desarrollo incluye términos en la forma

mjps

mjr

jps

jr

)(

)1(....

)(

)1(

p(j)-s

r(j)2

Consúltense los detalles en el Ejemplo

Ejemplo: Obtenga el desarrollo B(s)/A(s) siguiente en fracciones simples utilizando MATLAB.

mjps

mjr

s

ss

sA

sB

)(

1.....

)1(

32

)(

)(3

2

Consúltense los detalles en el ejemplo 2.7.

Ejemplo: Obtenga el desarrollo B(s) A(s) siguiente en fracciones simples utilizando MATLAB.

num, den = residue (r, p, k);

printsys (num, den, ‘s’)

num/den =

611263

632532

sss

sss


50

mjps

ss

s

ss

sA

sB

)(

32

)1(

32

)(

)( 2

3

2

Para esta función, se tiene

num = 0 1 2 3

den = 1 3 3 1 La orden

r , p, k = residue (num, den) Proporciona el resultado que se muestra en la página siguiente. Es la representación en

MATLAB del desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s):

32 )1(

2

)1(

0

1

1

)(

)(

ssssA

sB

Observe que el término directo k es cero.

Para obtener la función original B(s)/A(s) a partir de r, p y k se introducen las siguientes

líneas en el computador:

Entonces el computador mostrará el num/den siguiente:

num/den = ssss 484412

1216s4s234

2

num = 0 1 2 3;

den = 1 3 3 1;

r, p, k = residue (num, den)

r =

1.0000

0.0000

2.0000

p =

-1.0000

-1.0000

-1.0000

k= [ ]


51

Para obtener los ceros (z), polos (p) y ganancia (K), e introduce el siguiente programa de

MATLAB en el computador:

Entonces el computador generará la siguiente salida en la pantalla: Los ceros son -3 y -1. Los polos están en s = 0, -6, -4 y -2. La ganancia K es 4.

Si los ceros, los polos y la ganancia K están dados, entonces el siguiente programa en

MATLAB generará num/den:

La función ss2tf convierte las ecuaciones de espacio de estados de tiempo continuo.

DuCxy

BuAxx

num = 0 0 4 16 12;

den = 1 12 44 48 0;

z, p, K = tf2zp (num, den)

s =

-3

-1

p =

0

-6.0000

-4.0000

-2.0000

K =

4

z = -1; -3;

p = -1; -2; -4; -6;

K = 4

num, den = zp2tf(z,p,K);

Printsys (num, den, ’s’)

num / den =

ssss

ss

482443124

121624


52

En la función de transferencia: mm

mm

nn

nn

asasasa

bbsbsbsH

1

1

10

1

1

10

..........

.............)(

[num, den] = ss2tf(A,B,C,D) calcula la función de transferencia de :

DBAsICsden

snumsH 1)(

)(

)()(

De el sistema DuCxy

BuAxx

El vector den contiene los coeficientes de le denominador en potencies descendientes de s.

Los coeficientes del numerador son retornados en num.

Ejemplo: Las ecuaciones de espacios de estados para nuestro sistema :

ux

xy

ux

x

x

x

0010

1

0

43

10

2

1

2

1

2

1

Usamos el programa:

RESULTADO: num =

0 0 10

den =

1 4 3

Que significa:

34

10

)(

)()(

2

sssu

sySH

La función ss2zp convierte las ecuaciones de espacio de estados de tiempo continuo.

DuCxy

BuAxx

%convertir modelo de espacio de estados en función de transferencia

A=[0,1;-3,-4];

B=[0,1]';

C=[10,0];

D=0;

[num,den]= ss2tf(A,B,C,D)


53

En la función de transferencia de cero-polo-ganancia: )).......()((

)().........)(()(

21

21

m

n

pspsps

zszszsksH

Ejemplo: Las ecuaciones de espacios de estados para nuestro sistema :

ux

xy

ux

x

x

x

0010

1

0

43

10

2

1

2

1

2

1

Usamos el programa:

RESULTADO: z = Empty matrix: 0-by-1

p =

-1

-3

k =

10

Que significa:

)3)(1(

10

)(

)()(

sssu

sySH

La función tf2zp convierte la función de transferencia polinómica

mm

mm

nn

nn

asasasa

bbsbsbsH

1

1

10

1

1

10

..........

.............)(

En la función de transferencia de cero-polo-ganancia: )).......()((

)().........)(()(

21

21

m

n

pspsps

zszszsksH

Ejemplo: La función de transferencia polinómica:

%convertir modelo de espacio de estados al cero-polo-ganancia

A=[0,1;-3,-4];

B=[0,1]';

C=[10,0];

D=0;

[z, p, k]= ss2zp(A,B,C,D)


54

34

10

)(

)()(

2

sssu

sySH

Se convierte en una función de transferencia cero-polo-ganancia usando el programa:

RESULTADO:

z = Empty matrix: 0-by-1

p =

-1

-3

k =

10

Que significa:

)3)(1(

10

)(

)()(

sssu

sySH

%convierte función de transferencia en cero-polo-ganancia

num=10;

den=[1,4,3];

[z, p, k]= tf2zp(num,den)


55


56

5. INTRODUCCION.- Los sistemas los vamos a analizar en el tiempo y en la frecuencia,

inicialmente los analizaremos en el tiempo veremos sistemas de primer orden y de segundo

orden:

5.1. Sistemas de primer orden.- En un sistema de primer orden la relación entrada

salida será representa por : 1

1

)(

)(

TssR

sC

Si este sistema de primer orden es excitado por un escalón unitario la respuesta será

sTssC

1

1

1)(

en fracciones parciales será

Tss

sC1

11)(

y tomando la transformad inversa de Laplace tenemos

Tt

etc

1)(

Ejemplo 1

Si consideramos un circuito RC como el mostrado

R I(t) Vi(t) C Vo(t) vi(t) = i(t) R + vo(t) como i(t) en el condensador es igual a

i(t) = C (dvo(t) / dt) entonces tenemos vi(t) = RC (dvo(t)/dt) + vo(t), tomando transformada de

Laplace tenemos Vi(s) = RCs Vo(t) + Vo(t)

de donde RCssV

sV

i

o

1

1

)(

)(

por lo tanto RC

t

etc

1)( y el diagrama de bloques sería

Vi(s) Vo(s)

RCs1

1


57

La grafica será

V entrada V salida t Figura 5.1: Respuesta al escalón en primer orden

5.2. Sistemas de segundo orden.- Considerando la función de transferencia simple de

lazo cerrado 22

2

22 nn

nN

ssT

Donde:

naturalfrecuenciaesyientoamortiguamderelacion n

LAS RAICES SON 12

2,1 nnS

Analizaremos tres casos:

1.- uadosubamortigcaso10

2

2

1))(()(

)(

nd

dndn

n dondejsjssR

sC

de donde

2.- oamortiguadtecriticamencaso1

)1(1)()(

)(2

2

tetcdondedess

sC nt

n

n n

3.- iguadosobreamortcaso1

)1

(cos1)(2

tsentetc dd

tn


58

ssssC

nnnn

n

)1)(1()(

22

2

6. ddd Donde:

ns )1( 21 y ns )1( 2

2

Respuesta transitoria

Consideremos un sistema de segundo orden, debido a que las especificaciones de

funcionamiento de los sistemas están definidas para este tipo de sistema. Para sistemas

de orden mayor, utilizando el concepto de polos dominantes se aproxima el sistema a uno

de segundo orden. Su función de transferencia es:

Sus polos o raíces características son:

El diagrama de bloques de un sistema de segundo orden se muestra en la figura

Para el caso subamortiguado, la respuesta a un escalón unitario tiene oscilaciones

amortiguadas, donde se definen algunas especificaciones de funcionamiento que son

utilizadas como criterios de diseño:

* Porcentaje de sobreimpulso (overshoot)Mp

* Tiempo de asentamiento o establecimiento (settling time)ts

* Tiempo de subida o de crecimiento (rise time)tr

* Tiempo de pico máximo (peak time)tp

)(12

1)(21

2

21

s

e

s

etc

tstsn

22

2

2)(

nn

n

sssG

22,1 1 nns

22

2

2 nn

n

ss

E(s)


59

* Tiempo de retardo (delay time) td

Figura 5.2: Respuesta al escalón unitario 1.- Tiempo de subida: el tiempo que se demora de 0 a 100%

)1

(cos11)(2 rdrd

t

r tsentetc rn

Resolviendo

dn

d

drt

)(tan

1 1

n

d

1tan

2.- Tiempo pico (tp) Cuando la derivada de C(t)/dt = 0 se halla la solución para tp = /d 3.- La sobreelongacion máxima se obtiene en el tiempo pico

Mp = c(tp) –1 Resolviendo

)1

(2

eM p

4.- Tiempo de asentamiento ts

Con el criterio del 2% será ts = 4/n y del 5% es ts = 3/n

Ejemplo 1: Si un sistema de segundo orden tiene las siguientes características = 0.6 y n

= 5 rad/seg. Hallar los valores de merito

Solución:1.- Hallando tr = -/d , como 41 2 nd y 3 n

0.05

o bien

0.02

1

0.5

0

C(t) Tolerancia admisible

0.05

o bien

0.02

PM

dt

rt

pt

st

Figura 1.19: Curva de respuesta al escalón unitario.

1

0.5

0

C(t) Tolerancia admisible

0.05

o bien

0.02

PM

dt

rt

pt

st

Figura 1.19: Curva de respuesta al escalón unitario.


60

radianesd 93.03

4tantan 11

tr = 3.14 – 0.93/4 = 0.55 seg.

2.- Hallando tp = /d = 3.14/4 = 0.785 seg.

3.- Sobreelongación máxima

%5.9095.014.3*

43)(

seaoeeM dp

4.- Tiempo de asentamiento ts

Con el 2% será ts = 4/ = 4/3 = 1.33 seg. o con el 5% ts = 3/3 = 1 seg.

5.3. Propiedades de los sistemas realimentados.- El objetivo de la realimentación es hacer

que un sistema, a menudo llamado “Proceso”, se comporte (responda) mejor. Mejor

significa con más rapidez y con mayor exactitud para una señal de entrada de referencia.

La mayoría de los sistemas de lazo abierto son estables con entradas de referencia

limitadas, estos lazos abiertos carecen de velocidad y precisión para seguir la referencia

de entrada aplicada al sistema. Si bien la retroalimentación puede reconfigurar el

comportamiento de un sistema, también puede desestabilizarlo. La retroalimentación nos

produce los siguientes beneficios:

Mejora la velocidad y precisión para seguir la entrada.

Mejora la capacidad de rechazo a las perturbaciones.

Modificación del ancho de banda.

Modifica la ganancia total del sistema.

En nuestro caso se retroalimenta la salida, esto es se mide la señal de salida por lo general

mediante una función de transferencia, y luego se resta a la señal de entrada de referencia.

La señal de error resultante se alimenta entonces hacia delante, por lo general mediante un

compensador, para proporcionar una señal al sistema físico, o proceso a ser controlado.

Idealmente, el error entre la entrada y la salida del sistema deben tender a cero con el

tiempo, de modo que la salida del sistema deben tender a cero con el tiempo, de modo que

la salida del sistema rastree la entrada de referencia. En el mejor de los casos, el error

tiende a cero con rapidez sin grandes demoras en la respuesta del sistema.

Formulación Básica.- En la figura consideramos R la entrada y C la salida:

G(s)

H(s)

+

-

R(S) C(s)

E(s)

Figura 5.3: Retroalimentación Negativa


61

Tenemos que la función de transferencia de lazo cerrado para el sistema general de la figura será: Para propósitos de diseño, la función de transferencia G en el lazo de avance o directo se

divide en un compensador Gc y una planta o proceso Gp, como se muestra en la figura 5.6.

La función de transferencia H en el lazo de retroalimentación puede representar muchas

cosas, incluido un compensador para hacer el sistema funcione mejor o que la dinámica de

un transductor que convierta la señal del sistema en el mismo tipo de señal sea la entrada

de referencia.

En la mayoría de los casos H = 1, que da por resultado el diagrama de bloques de la figura 5.6

Cada función de transferencia de la figura 6.1 es de la forma

)2.6...(..........)(

)(

1

1

i

n

i

i

m

i

ps

zsK

Este es el numerador y denominador son polinomios en la variable de Laplace s. Estos

polinomios son fijos y en general se dan en la forma factorizada mostrada:

G(s) = gn(s)/gd(s) y H(s) = hn(s)/ hd(s)...................(6.3) Entonces la función de transferencia de lazo cerrado es

)1.6(..........)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

Figura 5.4: Retroalimentación Negativa con G dividida en compensador y planta

R(S) Gc(s)

H(s)

+

-

C(s)

E(s)

Gp(s)

R(S) Gc(s) +

- C(s)

E(s)

Gp(s)

Figura 5.5: Retroalimentación Negativa con Realimentación unitaria.


62

)4.6......(..........)()()()(

)()(

)()(/)()(1

)()(

)()(1

)()(

shsgshsg

shsg

shsgshsg

sgsg

sHsG

sGsT

nndd

dn

ddnn

d

n

c

Esta forma final de las fracciones parciales de Tc revela algunas características interesantes

de la función de transferencia de lazo cerrado.

El numerador de Tc esta en forma factorizada, y se compone de los ceros de G y los polos

de H. En segundo lugar, el denominador de Tc no esta en forma factorizada porque consiste

en la suma de dos polinomios factorizados.

Además, como gn y hn son de la forma dada por la ecuación (6.2), cualquiera de ellas o

ambas potencialmente podría tener factores de ganancia multiplicativos Si se cambia

cualquiera de estas ganancias, las raíces del polinomio denominador también cambiaran.

También el grado del denominador es el mismo que el grado de gd(s) gn(s)

El denominador se le da el nombre de “Polinomio Característico” porque caracteriza la

respuesta del sistema de lazo cerrado

La forma de las fracciones parciales de la función de transferencia en lazo cerrado Tc revela

una expresión para la ecuación característica.. Sin embargo, la ecuación característica

también puede escribirse como:

)5.6...(..........0)()(1 sHsG

Ahora )(

)(

)()(

)()()(

1

1)(

ini

imi

dd

snn

ps

zsK

shsg

hsgsHsG

Se utilizara esta forma para el análisis sobre el lugar geométrico de las raíces. Obsérvese

que según la ecuación (7.5), el polinomio característico es simplemente la función de

transferencia de lazo mas uno. En esta forma, la ganancia K actúa como un factor de escala

para el termino

)(

)(

1

1

ini

imi

ps

zsK

el cual es un numero complejo cuando se evalúa con un valor particular

de s.


63

La ganancia K resultara ser una de las variables de diseño primarias que están a

disposición. Por tanto, es imperativo encontrar una forma eficiente de factorizar el

denominador de Tc para un rango de valores de K. De una forma u otra, la factorización del

denominador de Tc es de lo que trata el resto de este curso y dará inicio esa discusión

formal el siguiente capitulo. Veamos un ejemplo por ahora:

Ejemplo 7.2.1

Sea 10

1)(,

)1()(

ssH

ss

KsG

Entonces Ksss

sk

Ksss

sksTc

1011

)10(

)10)(1(

)10()(

23

Vemos que R C

Vamos a manejar el valor de K de tal manera que obtengamos una respuesta que nos

satisfaga:

Caso 1 : K = 2

)02.10)(688.0)(290.0(

)10(2)(

sss

ssTc

Si la entrada es un escalón entonces

02.10688.0290.0

)02.10)(688.0)(290.0((

)10(2)(

4321

s

C

s

C

s

C

s

C

ssss

ssC

y la respuesta en el tiempo es :

)(1][)( 02.10

4

688.0

3

290.0

21 teCeCeCCtc ttt

caso 2 : Ahora para K = 110

)11)(10)(10(

)10(110)(

sjsjs

ssTc

Ksss

sk

1011

)10(23


64

Si la entrada es un escalón entonces

101011

)11)(10)(10(

)10(110)(

*21

js

M

js

M

s

C

s

C

sjsjss

ssC

Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene:

)(1)10cos(//2)( 1121 ttMeCCtc t

La salida tiene una oscilación sostenida.

Por si acaso M

caso 3 : Ahora para K = 264

)12)(66.45.0)(66.45.0(

)10(264)(

sjsjs

ssTc

Y la respuesta aun escalón será:

)(1)66.4cos(//2)( 5.012

21 tteMeCCtc tt

En este caso la respuesta se expande sin límite, aunque no es una respuesta deseable.

Resumen

1.- Los tres valores de ganancia elegidos producen tres comportamientos muy diferentes.

Además, si se incrementa la ganancia por encima de 110 el resultado será una respuesta

inestable.

Estas observaciones son ciertas para todos los sistemas de control. La ganancia K se utiliza

como una variable para el diseño. Cuando se combina con la retroalimentación altera

significativamente el funcionamiento del sistema Como paso final graficamos los polos

cuando la ganancia K varia entre 0 y 264.


65

PROGRAMAS EN MATLAB PARA EL ANALISIS EN EL TIEMPO

1) Primer caso 2 raíces reales distintas (D>1) Sobreamortiguado

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=2;

num=[wn^2];

den=[1,2*d*wn,wn^2];

ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalon unitario caso 2 raices reales distintas');

xlabel('tiempo(seg)');

grid;

2) Segundo caso críticamente amortiguado.-

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=1;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalon unitario caso 2 raices reales iguales');


grid;


66

3) Tercer caso d=0 punto critico de oscilación

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=0;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalon unitario caso punto critico de oscilacion');


grid;

4) Sistema inestable

t=[0:0.2:20]';


67

wn=1;

d=-0.1;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

plot(t,ye);

title('respuesta a un escalón unitario caso Sistema Inestable');

xlabel('tiempo(seg.)');grid;

5) Caso 2 raíces complejas conjugadas

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

vectord=[0.1:0.1:0.9];

Y=[];

num=[wn^2];

for i= 1:length(vectord)

d=vectord(i);


y=step(num,den,t);

Y=[Y,y];

end

plot(t,Y);

title('respuesta a un escalon unitario caso Sistema Subamoertiguado');


grid;


68

6) Mostrando las envolventes para d=0.2

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=0.2;

num=[wn^2];


ev1=1+(exp(-d*wn*t)/sqrt(1-d^2));

ev2=1-(exp(-d*wn*t)/sqrt(1-d^2));

ye=step(num,den,t);

plot(t,ye,t,ev1,t,ev2);

title('SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN');


ylabel('Salida');

grid;


69

7) Programa que calcula los parámetros de un sistema de segundo orden

RESUMEN DE FORMULAS (caso subamortiguado) La salida del sistema viene dada por:

)(

11)(

2

)(

tsene

ty d

tn

Con:

)1()1(

2

2 arctgynd

Los parámetros característicos del sistema serán:

1. Tiempo de subida : )1

(2

arctgcon

wt

d

r

2. Tiempo de pico: 21

nd

pt

3. Sobreelongación (Sobreoscilación)

21

eM p

%Programa:Realiza los cálculos teóricos con las formulas utilizando

%los resultados y la grafica de MATLAB

%DATOS DE ENTRADA

%wn=1

%d=0.2


70

%RESULTADOS

%tr = tiempo de subida

%tp = tiempo de pico

%mp = sobreoscilacion

yp=1;%valor de salida en régimen permanente

t=[0:0.2:20]';

wn=1;

d=0.2;

num=[wn^2];


ye=step(num,den,t);

%calculando el tiempo de subida

%teórico

fi=atan(sqrt(1-d^2)/d);

tra=(pi-fi)/(wn*sqrt(1-d^2));

%con la respuesta de matlab

for i=1:length(t)

if((ye(i)<=yp)&(ye(i+1)>=yp))

tr=t(i);

break;

end

end

%Calculando tiempo de pico

%teórico

tpa=pi/(wn*sqrt(1-d^2));

%Con la respuesta de matlab

for i=1:length(ye)

if (ye(i)==max(ye))

tp=t(i);

break;

end

end

%Calculando Sobrepaso Mp

%teórico

mpa=exp(-(d*pi)/(sqrt(1-d^2)));

%Con la respuesta

mp=max(ye)-yp;


71

display 'Tiempo de subida';[tra tr]

display 'Tiempo de pico'; [tpa tp]

display 'Sobrepaso'; [mpa mp]

RESPUESTA

>> anat07

Tiempo de subida

ans = 1.8087 1.8000

Tiempo de pico

ans = 3.2064 3.2000

Sobrepaso

ans = 0.5266 0.5266


72


73

6. FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA

6.1. Análisis del motor de Corriente Directa.- Consideremos un caso muy importante

porque nos permite relacionar el sistema físico con la función de transferencia y además

el motor de CD es el más utilizado para los sistemas de control.

Rq = resistencia de armadura eq = tensión aplicada a la armadura

Lq = inductancia de armadura eb = fuerza contra-electromotriz

iq = corriente de armadura T = torque del motor

if = corriente de campo J = momento de inercia equivalente

B= coeficiente de fricción = desplazamiento angular del eje

viscosa del motor

La ecuación básica par el par electromagnético del motor es:

)(tia

ZNPqPem

........(1)

Si fN es el número de vueltas y fR la reluctancia de la trayectoria de flujo de p ,

entonces sea p puede ser expresado como:

f

ff

R

NK ̂

................................(2)

tffp iK .......................(3)

La ecuación resultante para el par electromagnético es:

if =cte

cte.

Rq Lq

)(teq+

-

)(teb

+

- T

)(tJ

B Salida Entrada

)(tia


74

)4.....(....................titiK

titiKK

tia

ZNPt

qfqf

qff

qqem

Donde

fqf KKK

Remitiéndose en la figura la ecuación diferencial para el circuito de la armadura es:

tedt

tdiLtiRte b

qqqqq

)(

.....(5)

El voltaje teb es la fuerza contraelectromotriz (emf, por sus siglas en ingles) de la

maquina y es proporcional a la velocidad de la fecha del motor. Esto es,

.t

dt

dKteb

...................(6)

En un motor de Cd con excitación independiente, la corriente de campo es constante, y el

par producido por el motor se expresa como

)7........(..........tiiktitikt qfqfqfqfem

Donde fi es la corriente de campo constante. Suponiendo condiciones iníciales cero y

aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (7) tenemos:

.sIIKsT qfqfem

A continuación, si se supone condiciones iníciales cero y se aplica la transformada de

Laplace a la ecuación (5) en el motor, el resultado es


75

.sEssILsIRsE bqqqqq ..............(8)

La ecuación (8) puede ser reacomodada como

,1

)( sEsERsL

sI bq

qq

q

.....(9)

Y vemos que.

qq RsL

1

Es la función de transferencia entre sEsE bq y la función en la armadura sIq .

Se aplica la transformada de Laplace a la ecuación (6) para obtener:

ssKsEb .......(10)

Por tanto, se puede volver a escribir la ecuación como:

qq

q

qRsL

ssKsEsI

.......(11)

Si ahora se sustituye la expresión para sIq se tendrá:

qq

qfqf

emRsL

ssKsEIKsT

...(12)

6.2. Modelo de la parte mecánica.-

También se sabe que:

rmec Kdt

dB

dt

dJs

2

2

. ....(13)

Se toma la transformada de Laplace de la ecuación y se obtiene:

sKsBssJssT rmec 2 ...........(14).

Por ultimo, si se igualan los lados derechos de las ecuaciones y se reacomoda


76

sIKKRsLKBsJs

IK

sE

ssG

fqfqqr

fqf

q

2 ......(15)

.

Si. q

fqf

mJL

IKK

,

Se obtiene una expresión un poco más simple

sKKLRsJKsJBs

KsG

mqqr

m

///2 .......(16)

Es útil es este momento construir un diagrama de bloques sG .Sea

qqr

m

LRsJKsJBs

KsG

///2

y

sKsH .

Así se obtiene

sHsG

sGsG

1 .

Esta expresión puede ser representada por el diagrama de bloques de la fig. este diagrama

de bloques se parece al diagrama de bloques que se obtuvo en una exposición preliminar de

la retroalimentación en el capitulo 1. Se debe recalcar que la retroalimentación aquí es

interna en el motor de Cd. La función de transferencia general sG entre el voltaje de la

armadura sEq y la posición de la flecha s se representa en el diagrama de bloques por

el rectángulo de líneas punteadas.


77

qq LRs /

1

IJKsJBs

K

r

m

/2

sK

sIq

sEb

sEq s +

Fig


78


79

7.1. Criterio de routh.-

Es un método que no nos da mucha información pero nos apoya en determinar el rango de

variación de K para el cual el sistema de lazo cerrado es estable.

Sea p(s) = ansn + an-1sn-1 + an-2sn-2 +...........+ a1s + a0 = 0

Para aplicar este criterio se forma la tabla:

sn an an-2 an-4.......................ak 0

sn-1 an-1 an-3 an-5.......................al 0

sn-2 b1 b2 ............... bi 0 0

sn-3 c1 c2 ............... cj 0 0

sn-4 d1 d2 ............... dk 0 0

.

.

.

s1 e1 e2 ............... 0 0 0

s0 f1 0 ..................0 0 0

Hallando bi, ci y di....

1

213

1

31

2

)(

n

nnnn

n

nn

nn

ia

aaaa

a

aa

aaDet

b

1

415

1

51

4

2

)(

n

nnnn

n

nn

nn

a

aaaa

a

aa

aaDet

b

.

.

.

.

1

1321

1

21

31

1

)(

b

baba

b

bb

aaDet

c nn

nn


80

1

2121

1

21

21

1

)(

c

bccb

c

cc

bbDet

d

La información que vamos a utilizar se encuentra en la primera columna de la tabla, cada

cambio de signo en la primera columna indica una raíz del polinomio en la mitad derecha del

plano. Se pueden aplicar dos reglas más a p(s) antes de formar la tabla:

1.- Si cualquier coeficiente es negativo, entonces existen raíces con partes reales positivas.

2.- Si cualquier coeficiente, excepto a0, falta en el polinomio, entonces existen raíces con

partes reales positivas o bien raíces sobre el eje imaginario.

Ejemplo

P(s) = s3 + 11s2 + 10s + K

La tabla de Routh es s3 1 10 0

s2 11 K 0

s1 b1 0 0

s0 c1 0 0

Calculando b1= -(k-110)/11

. b2= 0

. b3 = K

Entonces la tabla será s3 1 10 0

s2 11 K 0

s1 -(k-110)/11 0 0

s0 K 0 0

Como las dos primeras entradas son 1 y 11 para que todas las raíces del polinomio queden

en la mitad izquierda del plano, las dos últimas entradas deben ser también positivas.. Por lo

tanto:

-(k-110)/11>0 y K>0

Finalmente 0<K<110.

Ejemplo 3.3.2

P(s) = s3 + s2 - 4s – 4 = (s+1)(s+2)(s-2)

La tabla de Routh es s3 1 -4 0

s2 1 -4 0

s1 b1 b2 0

s0 c1 0 0


81

0

1

)00

1

01

01

01

)4(4

1

41

41

2

1

Det

b

Det

b

Par continuar se debe reemplazar la fila de ceros por una de no ceros, se toma la fila

inmediata superior de la fila de ceros y se forma la ecuación auxiliar s2-4 al derivarla

obtenemos cerosdeseguidounconfilanuevaunageneraestossds

d22)4( 2

La nueva tabla es s3 1 -4 0

s2 1 -4 0

s1 2 0 0

s0 c1 0 0

4

2

)8(0

2

02

41

1

Det

c

La tabla es s3 1 -4 0

s2 1 -4 0

s1 2 0 0

s0 -4 0 0

Hay un cambio de signo y por lo tanto una raíz en la mitad derecha del plano.

Ejemplo 3.3.2

P(s) = s4 + 3s3 + s2 +3s +2 = (s+1)(s+2)(s-2)

La tabla de Routh inicial s4 1 1 2 0

. s3 3 3 0 0

s2 b1 b2 0 0

s1 c1 0 0 0

. s0 d1 0 0 0


82

23

)60(

3

03

21

03

)33

3

33

11

2

1

Det

b

Det

b

Como b2 0 y b1=0

Reemplazamos b1 por un número muy pequeño, donde es un número positivo

arbitrariamente pequeño.

La tabla de Routh inicial s4 1 1 2 0

. s3 3 3 0 0

s2 2 0 0

s1 c1 0 0 0

. s0 d1 0 0 0

2)20(0

2

,)2(3)362

33

1

1

1

11

11

c

c

c

cDet

d

negativoescentonces

Det

c

Existen 2 cambios de signo y por consiguiente dos polos en la mitad derecha del plano.


83

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Grafique las raíces del polinomio característico para las ganancias especificadas.

a. 50,20,4,51.0,1.0,)4(

)(

Kss

KsGH

b. 50,20,4,51.0,1.0,)8)(4(

)2()(

K

ss

sKsGH

c. 100,50,5,1,)40)(2(

)(

Ksss

KsGH

d. .500,50,5,2,1,)10)(2(

)4()(

2

K

sss

sKsGH

2. Criterio de Routh. Verifique si algunas de las raíces queda en la mitad derecha

del plano

a. s4 + 7 s3 + 24 s2 + 58 s + 40

b. s4 + 23 s3 + 196 s2 + 624 s + 640

c. s6 + 5 s5 + 6 s4 + 10 s3 + 4 s + 1

d. s3 -2 s2 - 5 s + 6

3. Criterio de Routh: Rango de estabilidad. Determine e que rango de K el sistema

de lazo cerrado tiene polos estables, si GH es:

a. )1)(2(

)1(

ss

sK

b. )50)(1( sss

K

c. )10(

)1(2

ss

sK


84

7.2. Lugar Geométrico de las raíces.- Veamos la ecuación característica

1 + G(s)H(s) (7.1)

Esta ecuación se analizara geométricamente para obtener con rapidez la imagen

completa de cómo la respuesta de lazo cerrado variaría con los cambio de ganancia.

Pero escribamos la ecuación (7.1) de la siguiente manera:

GH(s) = -1 = 1-180º

En coordenadas polares podemos escribir

|GH(s)| GH(s) = 1 -180º

De lo cual podemos escribir dos ecuaciones

|GH(s)| = 1 .....................(7.2)

GH(s) = -180º............(7.3)

7.2.1. Representación grafica.-Sabemos que:

)4.7......((

)(

)()(

)()()()(

)1

1

i

n

i

i

m

i

dd

nn

ps

zsK

shsg

shsgsHsG

El factor K puede variar los polos de Tc(s).

Consideremos ahora un solo termino (s + ai)

Im(s) s +ai s+ai s+ai -ai ai Re(s)

Representación vectorial de s+ai

ii

n

i

ii

m

i

i

n

i

i

m

i

psps

zszsK

ps

zsKsHsG

1

1

)1

1

(

)()()(

Entonces

ii

i

i

ii

ii pszsps

zsK

psps

zszsKsHsG

)()(


85

Si igualamos al lado derecho que es 1 -180º tenemos las ecuaciones bases que

son las siguientes:

1

1

1

n

i

i

m

i

i

ps

zsK

(7.5)

º180

11

n

i

i

m

i

i pszs (7.6)

Estas ecuaciones nos permiten realizar algunos análisis.

7.2.2. Método geométrico lugar de las raíces.-

Veamos el siguiente sistema

. .

.

.

. .

.

.

El ecuación característica será 0)4)(2(

1

ss

k

Tenemos: º1801)4)(2(

ss

K

Escribiendo en forma polar º1801)4)(2( 21

ss

K

Tomamos como punto de prueba S1 (al lado derecho de s = -2)

º042)º04)(º02( 1111

ss

K

ss

K

No cumple con la condición de ángulo pues 0º es diferente de -180º.

Tomamos como punto de prueba S2 (al lado izquierdo de s = -4)

º042

º36042)º1804)(º1802( 222222

ss

K

ss

K

ss

K

No cumple con la condición de ángulo pues 0º es diferente de -180º.

Tomamos como punto de prueba S3 ( -4< S3<-2)

)4)(2( ss

K


86

º18042)º04)(º1802( 3333

ss

K

ss

K

Por tanto cualquier punto sobre el eje real entre los polos de GH es una solución de

la ecuación característica.

Para el sistema

1.00975.01

405.2205.2

05.2

1

42

3

33

K

sPara

ssK

El mismo valor se obtiene para s = -3.95.

También sobre la bisectriz perpendicular se cumple que 1+ 2 = 180º.

La bisectriz pasa por –3.

El s = -3 es un punto de ruptura, punto en el cual el lugar geométrico se aparta del eje real.

S4 S4+4 S4+2 2 1

S2 2 S3 1 S1 -5 -4 S3+4 -3 S3+2 -2 -1 S1+4 S1+2 S2+2 -1 S2+4 -2


87

GRAFICO DEL LUGAR DE LAS RAICES En resumen, los pasos seguidos fueron:

1. Se escribe la ecuación característica de la forma GH = 1-180º

2. Se grafican los polos y ceros reales de GH.

3. Se grafican los polos y ceros reales de GH con respecto a un punto s de solución

prospectiva.

4. Si la suma de los ángulos de los ceros de GH menos la suma de los ángulos de los

polos de GH es igual a –180º, entonces el punto es una solución de la ecuación

característica con una ganancia especifica.

5. Se calcula la ganancia que coloca un polo de lazo cerrado en ese punto por medio

de la ecuación respectiva.

6. K se calcula solamente cuando la condición de ángulo ha sido satisfecha.

7.2.3. REGLAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES

Regla 1.- El lugar geométrico de las raíces en el eje real se encuentra a la izquierda de una

cuenta impar de polos reales y ceros reales de GH.


88

Ejemplo 2.- Si )10)(4(

)1(

sss

sKGH

Im(s) Soluciones de GH + 1 = 0 . X X O X Re(s) -10 -4 -1

Ejemplo 3.- Considere )10(

)1(2

2

ss

sKGH

Soluciones de GH + 1 = 0 Im(s) X O(2) X(2) Re(s) -10 -1 Regla 2.- El inicio del lugar geométrico de las raíces es en los polos de GH.

Regla 3.- El final de las ramas en el lugar geométrico de las raíces es en los ceros de GH.

Tenemos

Kzscuando

Kpscuando

zs

ps

Ki

i

m

i

i

n

i

i0

1

1


89

Ejemplo 4- )10(

)4)(1(

ss

ssKGH

Im(s) Soluciones de GH + 1 = 0 X O O X Re(s) -10 -4 -1 Regla 4.- El número de ramas que se extienden al infinito es igual a la diferencia entre el

número de polos y el número de ceros de GH. Este numero llamado exceso de polos sobre

ceros, está denotado por pex.

Las ramas que se extienden al infinito tienden a asíntotas de línea recta que se originan en

un punto común. Los ángulos que las asíntotas forman con el eje real se calculan con la

formula.

exex

l plp

l,...1,0,

)º180)(21(

Regla 5.- La intersección de las asíntotas con el eje real esta dada por la formula

ex

m

j i

n

j i

jp

zp

}Re{}Re{

Ejemplo 1: Sea )20)(6(

)5)(1()(

sss

ssKsGH


90

El lugar geométrico de las raíces se muestra en la figura siguiente: Im(s) Asíntota en –180º Re(s) -20 -6 -5 -1

La única asíntota esta en = -180º. El polo de lazo cerrado que se origina a partir del polo

de GH en s = -20 viaja a lo largo de esta asíntota hacia cero en s = - .

Regla 6.-

Los puntos en los cuales el lugar geométrico de las raíces se “aparta de “y se “acerca al

“eje real pueden determinarse encontrando los puntos máximos y mínimos de la ganancia K

en función de s; con s restringida a valores reales.

Ejemplo 2.- Tomando el ejemplo ya analizado con

)2)(4(

ss

KGH

Vemos un punto de ruptura en s =-3. La figura muestra el lugar geométrico de las raices

como una curva de K como una función de valores reales de s entre –2 y –4 con las

ordenadas de las dos curvas alineadas. El máximo ocurre en s = -3 con K = 1. En el punto

donde K = 1, la ecuación característica tiene una doble raíz en s = -3. Esta es la ganancia

máxima con la que los polos son reales; las ganancias más altas producen raíces

complejas.


91

Im(s) Re(s) -4 -3 -2 Ganancia máxima es s=-3 -4 -2 K=s2+6s+8 dk/ds = 2s +6 = 0 máximo es s = -3

Ejemplo 3.- Consideremos el caso con:

)10)(4(

)1(

sss

sKGH


92

En este caso, los polos de lazo cerrado comienzan en s = -10 y s = -4 y emigran uno hacia

el otro. Como en le caso del ejemplo habrá una ganancia máxima en algún lugar a lo largo

del eje real entre estos dos puntos de inicio. La tabla proporciona la ganancia en la región de

s = -7, aproximadamente en un punto intermedio entre los polos de GH en s igual a -10 y s

=-4. Si GH tuviera solo dos polos en s = -10 y s = -4, el alejamiento habría sido precisamente

en s = -7 . Sin embargo, el polo de GH en s = 0 y el cero en s = -1 hacen que el

punto de alejamiento este exactamente a la derecha de s = -7. Incluso así, el punto de

alejamiento aun esta muy cerca de s = -7 y el punto medido del intervalo constituye un

excelente lugar para iniciar la búsqueda del punto de alejamiento.

Tabla: Valores de ganancia a lo largo del eje real cerca del punto de alejamiento

s -7.2 -7.1 -7.0 -6.9 -6.8 -6.7

K 10.41 10.46 10.5 10.51 10.50 10.47

Como pex = 2, habrá dos asíntotas en = 90º. Las asíntotas se cortan en

i = (-10-4-(-1))/2 = -6.5

Se muestra

un bosquejo de LGR.

-10 -4 -1


93

Ejemplo 4.-

Sea )20)(2(

)1()(

2

sss

sKsGH

Hallar el L.G.R:

Solución:

El primer paso es encontrar el L.G.R. sobre el eje real:

En el intervalo –2 < s < -1 ( la suma es 3, 2 polos mas 1 cero)

En el intervalo - < s < -10 ( 5, 4 polos mas 1 cero)

Pex = 4 – 1 = 3 que será también el numero de asíntotas

Las asíntotas estarán en :

Considerando la formula exex

l PlP

l...,2,1,0,

)º180)(21(

º603

)º180)(01(1


94

º1803

)º180)(21(2

º3003

)º180)(41(3

73

21

14

)1())20()2(00(

i

En el origen se aparta 90º. Asíntotas -20 -7 -2 -1 2

Regla 7.- El lugar geométrico de las raíces es simétrico con respecto al eje del plano s

Regla 8.- El ángulo de partida de una rama del lugar geométrico de las raíces desde un polo

de GH, o el ángulo de arribo de una rama en un cero de GH puede determinarse

satisfaciendo la condición del ángulo sobre un circulo de radio pequeño centrado en el polo

o cero en cuestión. Como este círculo se hace mas pequeño, todos los ángulos de los


95

demás polos y ceros tienden a valores exactos que son fáciles de calcular. Solo el ángulo

con respecto al polo o cero alrededor del cual se construye este círculo de radio pequeño es

entonces desconocido.

Ejercicio.- Considerando el sistema

)40)(1(

)2()(

sss

sKsGH

Siguiendo los pasos anteriores delinear el LGR para que quede como el mostrado con

matlab.


96

RL01 RL02 RL03 RL04 RL05

num=1;

den=[1 6 8];

rlocus(num,den);

axis([-10 0 -10 10]);

sgrid;

num=[1 1];

den=[1 14 40 0];

rlocus(num,den);

axis([-20 0 -100 100]);

sgrid;

num=[1 2 1];

den=[1 10 0 0];

rlocus(num,den);

axis([-15 0 -15 15]);

sgrid;

num=[1 1]; den=[1 14 40 0]; rlocus(num,den); axis([-15 0 -15 15]); sgrid; for k=11:30 ec=[1 14 40+k k]; r=roots(ec) k end

num=[1 1];

den=[1 22 40 0 0];

rlocus(num,den);

axis([-16 16 -16 16]);

sgrid;


97


98

8 INTRODUCCION Utilizando la transformada de Laplace u otros métodos podemos hallar

la función de transferencia y así utilizando el diagrama del lugar de las raíces podemos

realizar un primer análisis de estabilidad pero si queremos realizar un análisis para varios

rangos de frecuencias y amplitudes pero si reemplazamos la variable s (Transformada de

Laplace por jw (transformada de Fourier) podemos realizar el análisis en el dominio de la

frecuencia de una función de transferencia por intermedio de los gráficos de Bode en

magnitud y fase. Este análisis combinado con el criterio de Nyquist nos permite realizar

el diseño de Bode.

8.1 SEÑALES SINUSOIDALES EN SISTEMAS LINEALES.- Las señales sinusoidales son

importantes por lo siguiente:

Los disturbios para ingeniería de control son algunas veces sinusoidales.

Mucha vibraciones tiene la forma sinusoidales.

El diagrama de bode esta basado en este tipo de señales de entrada.

Veamos un grafico en la entrada vemos una señal senoidal y en la salida también

vemos una señal senoidal pero su amplitud y fase han cambiado

Entrada:


99

Salida:

La entrada es Asen (wt) y la salida es A./G(jw)/sen(wt +∟G (jw))

La ganancia en amplitud será /G (jw)/ y el desfasamiento será +∟G (jw))

8.2 DIAGRAMAS DE BODE

Se desea graficar con rapidez G (jw) para una variación de w. Ahora colocaremos la

magnitud y el ángulo de G (jw) en un diagrama semilogaritmico. Para una frecuencia

dada w, G(jw) es un numero complejo. En el diagrama de Bode representaremos por

un lado el módulo de la función ( G(ω ) ) y por otro la fase (φ (ω ) ). La figura 1 muestra

como ejemplo el diagrama de Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya función

de transferencia es:1

1)(

cw

jwwG


100

A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al hecho de que la

escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica. ¿Qué es una escala

logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas se emplean cuando se quieren

representar datos que varían entre sí varios órdenes de magnitud (como en el ejemplo

de la figura 1, en el que la frecuencia varía entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos

empleado una escala lineal, sólo apreciaríamos bien los datos correspondientes a las

frecuencias mayores mientras que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104

rad/s se representarían en la centésima parte del eje de abscisas.

La abscisa a lo largo de la cual se grafica la frecuencia será logarítmica y las ordenadas

donde se graficaran la magnitud y la fase de G(jw) serán lineales.

La curva de magnitud será logarítmica pues /G(jw)/ se convertirá a decibeles.

/G(jw)/db = 20 log 10/G(jw)/

GRAFICANDO

Forma de la constante de tiempo de G(s)

ln

ii

l

m

ii

pss

zsKsG

1

1

)(

)()(

Lo podemos escribir como:

ln

ii

m

ii

ln

ii

m

ii

p

s

z

s

p

ZKsG

1

1

1

1

)1(

)1(

)(

Teniendo en cuenta que 1 + s/pi = 1+pis

Donde pi es la constante de tiempo del polo s= -pi


101

Podemos decir que

ln

ii

m

ii

p

s

z

s

ksG

1

1'

)1(

)1(

)(

................'

1

1

ln

i i

m

i i

p

ZKk Termino de ganancia

Además de términos de la forma 1/s(l) , 1+s/zi, 1+s/pi.

Análisis de bode

Ganancia.- El termino de ganancia K’ es una línea horizontal de magnitud

db

p

zk

ln

ii

m

ii

1

110log20

Polo real simple.- Considere el termino

ipjw1

1

para frecuencias bajas

db

pjw

i

01log201log201

1log20 101010

para frecuencias altas

wpw

p

pjw

pjw i

i

ii

1010101010 log20log20)(log201

log201

1log20

Finalmente dibujaremos

1.- La magnitud es de 0 db hasta la frecuencia de corte pi

2.- Comenzando en pi trace una línea recta de pendiente –20 decibeles

Comparándola con la curva real podemos hallar la frecuencia de corte pi

db

pjp

pjw

i

i

i

32

1

1

1

1

1

Para la fase consideramos w0 entonces fase 0º

w entonces fase 90º


102

para w = pi entonces fase 45º.

Cero Real simple.- de 0 a w = pi será 0 db y a partir de ahí se eleva 20 decibles por

década. La fase será de 0º a 90º pasando por 45º en w = pi

Ejemplo 1.- Sea )50)(10(

)2(500)(

ss

ssG

1. Ponemos G(s) en la forma

)

501)(

101(

)2

1(2

)50

1)(10

1(

)2

1(

5010

2500)(

ss

s

ss

s

x

xsG

Para k= 2 tenemos que 20 log102 = 6 db

También representamos

501

1,

101

1,

21

jwjwjw

40 db 20 Curva compuesta Ganancia en 2 cero en -2 0.1 1 10 100 1000 Polo en –10 polo en -50 (-20) (-40)

Figura2 Curvas de Magnitud asintótica individual y compuesta Calculo de la fase.-

50tan

10tan

2tan)( 111 www

jwG

el calculo para w=0.2 rad/s es

º3.4º23.0º15.1º7.550

2.0tan

10

2.0tan

2

2.0tan)2.0( 111 jG

W 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 10 20 30 50 100 200

G(jw) 4º 9º 13º 16º 20º 31º 36º 37º 36º 22º 0º -30º

-36º

-59º -74º


103

Polo repetido.-

Supongamos i

i

i

pw

p

wp

jw1

22tan2

1

1

)1(

1

A baja frecuencia será 0 db.

A alta frecuencia será .log40log40log20

2

10 wpw

pi

i

Será una asíntota con pendiente –40 decibeles por década a partir de la frecuencia de

ruptura con un error en ese punto de 6 decibeles..

La fase pasa de 0º grados a –180º.

Si fuera un polo triple seria –60 db por década y fase hacia –270º.

Polos complejos conjugados.

22

2

222

2222

22))((nn

n

d

d

dd

d

wsws

w

wss

w

jwsjws

w

Donde )(tan, /1222 ddn wCOSyww

Tenemos entonces normalizando:𝐺(𝑗𝑤) =1

1+2𝜉(𝑗𝑤

𝑤𝑛)+(𝑗

𝑤

𝑤𝑛)2

A bajas frecuencias será 0 db

A altas frecuencias será –40 db por década

Para coeficientes de amortiguamiento grandes() será como en el caso anterior pero

para coeficientes de amortiguamiento pequeños tendrá una joroba con el pico

localizado en resonanciadefrecuenciawww rn ,21 2


104

Ejemplo 2.- Dibuje los diagramas de bode para la siguiente función de transferencia:

𝑮(𝒋𝒘) =𝟏𝟎(𝒋𝒘 + 𝟑)

(𝒋𝒘)(𝒋𝒘 + 𝟐)[(𝒋𝒘)𝟐 + 𝒋𝒘 + 𝟐]

Lo escribimos de la forma normalizada:

𝐺(𝑗𝑤) =7.5(

𝑗𝑤3 + 1)

(𝑗𝑤) (𝑗𝑤2 + 1) [

(𝑗𝑤)2

2 +𝑗𝑤2 + 1]

(1)El factor 7.5 contribuye con 20log10(7.5) = 17 db.

(2)El factor (jw)-1 inicia en 20 db y tiene una pendiente de -20 db.

(3)El factor (1+jw/3) tiene frecuencia de esquina w =3 y pendiente de +20db.

(4)El factor (1+jw/2)-1tiene frecuencia de esquina w=2 y pendiente de -20db.

(5)El factor [(𝑗𝑤)2

2+

𝑗𝑤

2+ 1]−1 tiene frecuencia de esquina 𝑤 = √2 y pendiente de esquina

de -40 db.

40 (3) 20 (1) 10 0 1 10 100 1000 -10 -20 (4) (5) (2)


105


106

La función bode nos permite calcular la respuesta en magnitud y fase para sistemas en

tiempo continuo, lineal e invariante en el tiempo.

Ejemplo 3: Considere la función de transferencia en lazo abierto:

254

25)(

2

sssG

Definimos el sistema )(

)()(

sden

snumsG

Ejemplo 4.- Considere el sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

)92.1(

)12.0(9)(

2

2

sss

sssG

num = [ 0 0 25];

den = [ 1 4 25];

bode(num, den)

grid on;

xlabel('w');

title(‘Diagrama de Bode de G(s) = 25/(s^2 + 4s +25)’)

num = [ 0 9 1.8 9];

den = [ 1 1.2 9 0];

bode(num, den)

title(‘Diagrama de Bode de G(s) = 9(s^2 + 0.2s +1)/[s(s^2 + 1.2s +9)]’)

% Programa alternativo

% especifica el rango de variación de w

num = [ 0 9 1.8 9];

den = [ 1 1.2 9 0];

w=logspace(-2,3,100);

bode(num, den,w)

title(‘Diagramas de Bode de G(s) = 9(s^2 + 0.2s +1)/[s(s^2 + 1.2s +9)]’)


107


108

9 Después del modelamiento y del estudio en el campo del tiempo, en el campo de

Laplace y el campo de la frecuencia. Ahora empezaremos el estudio de los reguladores.

Los reguladores son dispositivos que comparan la señal de salida con la señal de

referencia y de acuerdo a esto disminuyen o aumentan la señal de entrada. Los mas

utilizados son los PID (Proporcional – Integrador – Derivativo), también los de adelanto

atraso y otros mas. Dependiendo del problema se escogerá el regulador pero los mas

usados los PID, por eso empezaremos con ellos.

9.1 Reguladores PID.- Se representa por

t

dip tedt

dKdeKteKtu

0

)()()(.)( donde e (t) es el error y u (t) es

la señal de regulación, tenemos que e (t) = r (t) – y (t) donde r (t) es la referencia y y (t)

es la señal a controlar. El regulador también se puede escribir como:

t

d

i

tedt

dTde

TteKtu

0

)(.)(1

)(.)( . Este es un regulador

industrial común, en donde existen tres puntos de ajuste, K, Ti y Td. La ganancia K no

tiene dimensión, mientras que Ti y Td se deben dimensionar en el tiempo, y se dan en

segundos o minutos. En muchos casos no se deriva el valor de referencia, sino que el

regulador se da como

t

d

i

tydt

dTde

TteKtu

0

))((.)(1

)(.)( Al

pasar el regulador al campo s, se obtiene la siguiente función de transferencia

)1

1()( sTsT

KsG d

i

R Donde )(

)()(

sE

sYsGR

Podemos tener un regulador PID. Veamos algunas partes del regulador PID usadas

individualmente.

El regulador Proporcional (P), nos proporciona un sistema que responde mas

rápido, tiene menor diferencia con la señal de entrada (error), pero empeora la

estabilidad y los transitorios también aumentan.

El regulador Proporcional – Integral (PI) quita por completo el error en estado

permanente, dada la parte integradora incluida al sistema, desafortunadamente la

estabilidad empeora.

El regulador Proporcional – Derivativo (PD) presenta un sistema anticipativo y por

lo tanto más rápido y más estable, en este caso el error ni pierde ni gana. La acción

derivativa equilibra la acción integradora.


109

El regulador Proporcional – Integrador - Derivativo (PID) mejora las tres

características del sistema, pero hay que buscar entre los valores para obtener el

más óptimo. Los métodos usados son:

Autoajuste. Se basa en ciertas características y requisitos de regulación, con reglas

establecidas se calculan los parámetros del regulador.

Campo de Frecuencia. Basado en los requisitos de las características del sistema

de control en el campo de frecuencias, se calculan los parámetros del regulador.

Lugar geométrico de las raíces. Se estudian los polos y ceros y se encuentra los

parámetros del regulador.

9.2 DIMENSIONAMIENTO DE REGULADORES EN EL CAMPO DE LAS

FRECUENCIAS: Con este método se parte de las especificaciones, por ejemplo:

Estabilidad Margen de fase deseado φm > 45°

Margen de amplitud deseado Am > 3dB

Exactitud Error después de un cambio escalón en la referencia e0 =0

Error después de un cambio rampa en la referencia ei < 0.05

Velocidad Tiempo de levantamiento ts < 10 seg.

Otros parámetros son:

Mp sobrepaso máximo. Se calcula como la diferencia entre el valor máximo de la

señal de salida y su valor final = Ymax. -1.

ts es el tiempo de levantamiento. Se mide como el tiempo que tarda la señal de

salida en subir del 10% al 90% de su valor final.

te es el tiempo de estabilización. Se mide como el tiempo en donde la señal de

salida se encuentra dentro de unos ciertos límites. Normalmente es 5% o 2%.

tp es el tiempo de sobrepaso máximo. Se mide como el tiempo en que el valor

máximo de señal de salida ocurre.


110

Si nos encontramos en el dominio de la frecuencia podemos calcular en forma

aproximada los tres primeros parámetros:

70tan

64.1,

)2/(2

1m

mc

e

c

s

m

p tytsen

M

Sabemos que un regulador tipo PID tiene la forma

sT

sTKsG d

i

R

11)(

Los valores de K, Ti y Td indicaran el tipo de regulador que se debe usar. Ya sea este un

proporcional, un proporcional - integrador, un proporcional – derivativo o un proporcional –

integrador – derivativo.


111

9.3

9.4


112


113


114

ESPACIO DE ESTADOS 10.1. Introducción.- Un sistema dinámico se describe mediante una serie de ecuaciones

diferenciales, en las cuales el tiempo es la variable independiente. Con la notación

matricial, puede expresarse una ecuación diferencial de n-ésimo orden mediante

una ecuación diferencial matricial de primer orden. Si n elementos del vector son un

conjunto de variables de estado, la ecuación diferencial matricial es una ecuación de

estado.

10.2. Representación en el espacio de estados cuando la función de excitación no

contiene términos derivados.-

Consideremos el siguiente sistema de n-ésimo orden

)........(..... 1

)1(

1

)(

uyayayay nn

nn

Definimos

)1(

3

2

1

..

.

n

n yx

yx

yx

yx

Entonces la ecuación () se escribe como sigue:

uxaxax

xx

xx

xx

xx

nnn

nn

11

1

43

32

21

....

.

.

Esto también se puede expresar como:

BuAxx


115

Donde:

1

0

.

0

0

,

.

1.000

.....

0.100

0.010

,.

121

2

1

B

aaaa

A

x

x

x

x

nnnn

La salida será:

nx

x

x

y.

0.012

1

que será DuCxy

donde 0.01C obsérvese que d =0

esta será la función de transferencia de la forma:

Ejemplo 1 Consideremos el sistema mecánico que aparece en la siguiente figura:

K

u(t)

y(t)

b

se supone que el sistema es lineal, la excitación externa es u(t), que es una fuerza y la

salida es el desplazamiento de la masa y(t). Este sistema tiene una sola entrada y una sola

salida y la ecuación diferencial que lo describe será: ukyybym .

nnnn asasassU

sY

11

1 ...

1

)(

)(

m


116

Este sistema es de segundo orden, por lo tanto definimos las variables de estado

)()(

)()(

2

1

tytx

tytx

Obtenemos

um

ybkym

x

xx

1)(

12

21

Expresado de otra manera

um

xm

bx

m

kx

xx

1212

21

La ecuación de salida es 1xy

En forma matricial se escribe:

mx

x

m

b

m

kx

x1010

2

1

2

1

u

La ecuación de salida es

2

101

x

xy

la forma estándar

DuCxy

BuAxx

Donde: 0,01,1

0,

10

DC

m

B

m

b

m

kA

Ejemplo 2: Considérese un circuito RLC

L R

ei C e0


117

Obtenemos

idtC

e

idtC

Ridt

diLe

o

i

1

1

Por lo tanto

iooo eLC

eLC

eL

Re

11

Tenemos

o

o

ex

ex

2

1

y también

1xey

eu

o

i

Obtenemos

2

1

2

1

2

1

01

10

110

x

xy

u

LCx

x

L

R

LCx

x

Con lo cual tenemos el modelo matemático.

Donde:

]0[01

10

,110

DyC

LC

B

L

R

LC

A

10.3. Relación entre el modelo de estados y la función de transferencia

Tenemos 01

2

2

3)(

asasas

KsG


118

01

2

2

3

)()()()(

asasas

sKUsUsGsY

Operando en cruz tenemos:

)()()()()(

:

)()()()()(

)())((

012

2

23

3

01

2

2

3

01

2

2

3

tKutyatydt

daty

dt

daty

dt

d

allevanosquelo

sKUsYassYasYsasYs

sKUasasassY

Si hacemos

dt

dx

dt

tydtx

dt

dx

dt

tdytx

tytx

2

2

2

3

12

1

)()(

)()(

)()(

Podemos escribir:

)()()()()()(

)(00)(

0)(0)(

3221103

32

21

tKutxatxtatxatx

txtx

txtx

Expresándolo en forma matricial:

)(0

0

100

010

)(

)(

)(

3

2

1

2103

2

1

tu

Kx

x

x

aaatx

tx

tx

Esta forma es conocida como la forma canónica controlable.

Expresándolo en forma matricial compacta será:

)()()( tbutAxtx ………..(1)

10.4. Matriz de transición de estados y respuesta en el tiempo

Denotamos la solución de la ecuación de estado homogénea (cuando u(t) = 0)

)()( tAxtx

Como

x(t) = Φ(t)x(0)

En donde Φ(t) es una matriz de orden n x n y es la solución única de


119

Φ = 𝐴Φ(𝑡); 𝑐𝑜𝑛 Φ̇ (0) = I

Se puede deducir fácilmente que

Φ ( t ) = eAt = L−1[( sI − A)−1] = Matriz de Transición de Estado (MTE)

Notar que la MTE es siempre no singular, a pesar de que A puede ser singular, ya que:

Φ −1 ( t ) = e−A t = Φ ( − t )

Para el caso no homogéneo la solución viene dada por:

𝑥(𝑡) = Φ(𝑡)𝑥(0) + ∫ Φ𝑡

0

(𝑡 − 𝜏)𝐵𝑢(𝜏)𝑑𝜏 = 𝑒𝐴𝑡𝑥(0) + ∫ 𝑒𝐴(𝑡−𝜏)𝐵𝑢(𝜏)𝑑𝜏𝑡

0

Donde reconocemos a la integral de convolución para el cálculo de la parte forzada de

la respuesta.

Propiedades de la matriz de transición de estados

1. Φ(0) = eA0 = I

2. Φ(t) = eAt = (e-At)-1 = [Φ(-t)]-1 o bien: Φ-1(t) = Φ(-t)

3. Φ(t1 + t2) = eA(t1 + t2 ) = eAt1eAt2 = Φ(t1)Φ(t2) = Φ(t2)Φ(t1)

4. [Φ(t)]n == Φ(nt)

5. Φ(t2 – t1)Φ(t1 – t0) = Φ(t2 – t0) = Φ(t1 – t0)Φ(t2 – t1)

EJEMPLO 1

Considérese el sistema

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1

tx

tx

tx

tx

Debemos hallar la matriz de transición de estados

Φ ( t ) = eAt = L−1[( sI − A)−1] = Matriz de Transición de Estado (MTE)

Como

32

1

32

10

0

0

s

s

s

sIAs

=𝟏

(𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟐)[𝒔 + 𝟑 𝟏−𝟐 𝒔

]

=

[

𝒔 + 𝟑

(𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟐)

𝟏

(𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟐)−𝟐

(𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟐)

𝒔

(𝒔 + 𝟏)((𝒔 + 𝟐)]

𝚽(𝒕) = 𝒆𝑨𝒕 = 𝑳−𝟏[𝒔𝑰 − 𝑨]−𝟏


120

tttt

tttt

eeee

eeee2

22

222

2

RPTA:

10.4 Matriz de transición en el caso no homogéneo.- Si se aplica la transformada de

Laplace a (1) tenemos

𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝐴 𝑋(𝑠) + 𝑏𝑈(𝑠)

𝑠𝑋(𝑠) − 𝐴𝑋(𝑠) = 𝑥(0) + 𝑏𝑈(𝑠)

𝑠𝐼𝑋(𝑠) − 𝐴𝑋(𝑠) = 𝑥(0) + 𝑏𝑈(𝑠)

[𝑠𝐼 − 𝐴]𝑋(𝑠) = 𝑥(0) + 𝑏𝑈(𝑠)…………… . (2)

Donde [sI - A] es una matriz de n x n , si esta matriz tiene una inversa entonces (2) tiene

solución y podemos obtener x(t).

La invertibilidad de sI – A depende de su determinante si Det(sI – A) es diferente de 0 la

matriz es invertible.

Los valores para los cuales esta matriz no es invertible son importantes y corresponden a

los puntos singulares o polos de una función de transferencia.

𝐿−1[𝑥(𝑠)] = 𝑥(𝑡) = 𝐿−1{[𝑠𝐼 − 𝐴]−1}𝑥(0) + 𝐿−1{[𝑠𝐼 − 𝐴]−1𝑈(𝑠)}𝑏

Se demuestra que

𝐿−1{[𝑠𝐼 − 𝐴]−1} = 𝑒𝐴𝑡

Observamos que la solución será de la forma

t

tAAt duebxetx0

)( )()0()(

EJEMPLO 2

Considérese el sistema


121

)(2

1

)(

)(

40

22

)(

)(

2

1

2

1tu

tx

tx

tx

tx

Formamos

40

22

40

22

0

0

s

s

s

sIAs

4

10

4

1

2

1

2

1

)4)(2(

20

24

1

s

sss

ss

s

s

AsIDet

AsIAdjAsI

t

ttt

At

e

eee

sL

ssL

sL

s

sssLe

4

422

1

11

1

0

4

10

4

1

2

1

2

1

4

10

4

1

2

1

2

1

bdue

eee

x

x

e

eee

x

x t

t

ttt

t

ttt

0

)(4

)(4)(2)(2

2

1

4

422

2

1)(

0)0(

)0(

0

b

due

dueedue

x

x

e

eee

x

xt

t

t

tt

t

t

t

ttt

0

)(4

0

)(4)(2

0

)(2

2

1

4

422

2

1

)(0

)()(

)0(

)0(

0

EJEMPLO 3


122

)(1)(,1

0

32

10

2

1

2

1ttuu

x

x

x

x

32

1

32

10

0

0

s

s

s

sAsI

tttt

ttttAt

eeee

eeeee

ssss

ssssAsI

ss

s

s

ss

s

s

AsI

22

22

1

1

222

2

2

2

1

1

2

2

1

22

1

1

1

2

1

1

2

)2)(1(

2

13

2)3(

2

13

tt

tt

ee

ee

tx

tx

2

2

2

1

2

1

2

1

)(

)(


123

PROGRAMAS CON MatLab QUE TRANSFORMAN DEL ESPACIO DE ESTADOS A LA

FUNCION DE TRANSFERENCIA Y VICEVERSA

Transformación de la función de transferencia al espacio de estados

Tenemos 1605614)(

)(23

sss

s

sU

sY

Transformación del espacio de estados a la función de transferencia

Tenemos u

x

x

x

x

x

x

120

25

0

5255

100

010

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

x

x

x

y

Programa 01

num= [0 0 1 0]

den=[1 14 56 160]

[A, B, C, D]=tf2ss(num,den)

%%%%%Programa 02%%%%%%%%

A=[0 1 0;0 0 1;-5 –25 –5];

B=[0; 25; -120];

C=[1 0 0]

D=[0]

[num, den]= ss2ft[A, B, C, D]


124


125

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD 1. Introducción

Nosotros representamos un sistema lineal con variables de estado utilizando las matrices A, B, C,

D donde las matrices A y C describen el comportamiento no forzado del sistema ( o el

comportamiento cuando la entrada es cero), mientras que la matriz B caracteriza el efecto de la

entrada(o el control) sobre la dinámica del sistema. La matriz D representa la transmisión directa de

la entrada a la salida.

La controlabilidad responde a la pregunta:

¿Existe siempre una entrada de control u (t) la cual puede transferir el sistema desde el estado

inicial x0 a cualquier otro estado deseado en un tiempo finito?

La observabilidad responde a la pregunta.

¿El estado inicial del que parte un sistema, puede siempre identificarse mediante la observación de

la salida y (t) y de la entrada u (t) sobre un tiempo finito?

Estas características del sistema pueden ser contestadas mediante las propiedades de las matrices

A, B, C, D. las matrices A y B tienen que ver con la relación entre la entrada y el estado, a estas se

les conoce como par de controlabilidad. En cambio, como las matrices A y C involucran el estado con

la salida, a estas se les conoce como el par de observabilidad.

11.2 Controlabilidad.- Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

)1.....(....................)(,)().()().()(

)().()().()(

000 EcuacionesxtxtttutDtxtCty

tutBtxtAdt

tdx

Supongamos que para alguna entrada u (t), t [t0,t1], y para t0 el estado inicial x0, el estado al

tiempo t1 es x1. Decimos entonces que la entrada u(t) transfiere el sistema desde el estado x0 (en

el tiempo t0) al estado x1(al tiempo t1).

Definición I: Estado controlable

El estado inicial x0 del sistema descrito por las ecuaciones (1) se dice que es controlable sobre el

intervalo [t0, t1] donde t1es un tiempo finito, si existe alguna entrada u sobre [t0, t1] la cual transfiere

el sistema desde x0(al tiempo t0) al origen del espacio de estado al tiempo t1. De otra manera se

dice que el estado x0 es incontrolable sobre [t0, t1].

Definición II: Sistema completamente controlable

Si todo estado x (t0) del sistema es controlable sobre [t0,t1], el sistema se dice que es

completamente controlable sobre [t0,t1].


126

Ejemplo: Considere el sistema descrito por las ecuaciones (1), donde A, B, C, D son las matrices

constantes:

10

01A

0

1B

11C

0D

Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

0.0

.0

212

211

xxdt

dx

uxxdt

dx

y la ecuación de salida

21 xxy

solo x1 puede ser llevado al origen en un tiempo finito t, x2 no puede ser llevada pues no es

manejada a través de u.

Por lo tanto el primer estado es controlable pero el sistema no es completamente controlable.

Para simplificar esto tenemos el siguiente teorema.

Teorema:

El sistema

2.......).........(.)(.)(

EcuaciontuBtxAdt

tdx

Donde A y B son matrices constantes de dimensiones n x n y n x r respectivamente es

completamente controlable, si y solo si la matriz de controlabilidad de dimensión n x (n, r):

Cc= [B A.B A2.B……….A(n-1).B] es de rango n.


127

Ejemplo de aplicación del teorema:

El ejemplo anterior

10

01A

0

1B

Calculemos su matriz de controlabilidad

Cc = [ B A.B]

0

1B

0

1

0

1

10

01.BA

00

11cC

No es de rango 2 sino de rango 1 por lo tanto el sistema no es controlable como lo habíamos

analizado anteriormente.

les conoce como el par de observabilidad.

11.3 Observabilidad.- Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

)1.....(....................)(,)().()().()(

)().()().()(

000 EcuacionesxtxtttutDtxtCty

tutBtxtAdt

tdx

La solución esta dada por

)().().().(.),()().,().()( 00 tutDduBttCxtttCty . Supongamos que para

alguna entrada u(t), t [t0,t1], y para el estado inicial x0, el estado al tiempo t1 es x1. Decimos

entonces que la entrada u transfiere el sistema desde el estado x0 (en el tiempo t0) al estado x1(al

tiempo t1).

Definición I: Estado observable

El estado inicial x0!=0 del sistema descrito por las ecuaciones (1) se dice que es controlable sobre

el intervalo [t0, t1] donde t1 es un tiempo finito, si el conocimiento de la entrada u(t) y de la salida y(t)


128

sobre [t0, t1] son suficientes para determinar x0. De otra manera se dice que el estado x0 es

inobservable sobre [t0, t1].

Definición II: Sistema completamente observable

Si todo estado x(t0) del sistema es observable sobre [t0,t1], el sistema se dice que es

completamente observable sobre [t0,t1].

Ejemplo: considere el sistema descrito por las ecuaciones (1), donde A, B, C, D son las matrices

constantes:

0

01

1

1

20

01

D

C

B

A

Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

ux

ux

dt

dxdt

dx

2

1

2

1

2

y la ecuación de salida

y = x1

Como y depende de x1 y es completamente independiente de x2, solo el primer estado es

observable.

Teorema:

El sistema dx(t)/dt = A. x(t) y y(t)= C.x(t)

Donde A y C son matrices constantes de dimensiones n x n y m x n respectivamente es

completamente observable, si y solo si la matriz de observabilidad de dimensión (m.n) x n

=[C; C.A C.A2……….C.A(n-1)] es de rango n.

Ejemplo de aplicación del teorema:

El ejemplo anterior

0

01

1

1

20

01

D

C

B

A


129

Calculemos su matriz de observabilidad

=[C; C.A ]

01C

0120

0101.

AC

01

01

Por lo tanto como el rango es 1, el sistema no es completamente observable.


130

1.- Considere el sistema definido por:

2

1

2

1

2

1

01

0

1

10

01

x

xy

ux

x

x

x

¿Es el sistema de estado completamente observable y completamente controlable?

SOLUCION

A=[-1 0; 0 -1 ];

B=[1; 0 ];

C=[1 0 ];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC=[CC1';CC2'];

CC=CC';

rango1=rank(CC);

if(rango1==2)

fprintf('El sistema es completamente controlable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente controlable \n');

end

G1=C;

G2=C*A;

G=[G1;G2];

rango2=rank(G);

if(rango2==2)

fprintf('El sistema es completamente observable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente observable \n');

end


131

2.- Considere el sistema definido por:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

011

1

0

2

101

110

221

x

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

¿Es el sistema completamente observable y completamente controlable?

SOLUCION

3.- ¿Es el sistema de estado siguiente completamente controlable y completamente observable?

A=[-1 -2 -2; 0 -1 1; 1 0 1];

B=[2; 0 ; 1];

C=[1 0 1];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC3=A^2*B;

CC=[CC1';CC2';CC3'];

CC=CC';

if(rank(CC)==3)

fprintf('El sistema es completamente controlable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente controlable \n');

end

G1=C;

G2=C*A;

G3=C*A^2;

G=[G1;G2;G3];

if(rank(G)==3)

fprintf('El sistema es completamente observable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente observable \n');

end


132

3

2

1

3

2

1

3

2

1

11920

1

0

0

6116

100

010

x

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

4.- Considere el sistema dado por

3

2

1

2

1

2

1

3

2

1

3

2

1

010

001

00

01

10

130

020

002

x

x

x

y

y

u

u

x

x

x

x

x

x

¿Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable?

Libro Teoria

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