UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TACHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Material Instruccional Diseñado para Estudiantes de la Carrera de Educación Básica Integral de la Universidad de los Andes- Táchira Prof. Álvaro Oscar Moreno Sánchez San Cristóbal, Marzo del 2001
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TACHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Material Instruccional Diseñado para Estudiantes de la Carrera de Educación Básica Integral de la Universidad de los Andes- Táchira
Prof. Álvaro Oscar Moreno Sánchez
San Cristóbal, Marzo del 2001
7
INTRODUCCION En la Primera y Segunda etapa de la Educación Básica se dan los primeros cimientos, los
cuales constituyen los elementos conceptuales básicos en la construcción de la edificación
pedagógica del conocimiento matemático. Se inicia el trabajo hacia el desarrollo del
pensamiento lógico matemático, intelectual y deductivo a través de las operaciones básicas
como la adición, sustracción, multiplicación y división.
Estas operaciones básicas serán realizadas en el campo de los números reales, y por ser éste
ordenado, también se desarrollará el principio de orden en el niño, siendo de valorable
importancia en la vida de cualquier persona, particularmente de quienes inician
prontamente su etapa de aprendizaje de la matemática, accesible para resolver sus
problemas cotidianos.
Las tendencias actuales orientan su quehacer instruccional hacia una enseñanza de la
matemática cuya finalidad está dirigida hacia lo instrumental, formativo, cultural, lúdico y
estético, sin perder el orden y la secuencia de su presentación pedagógica. Esto se observa
cuando se trabaja en grupos, cuando se resuelve una operación aritmética donde deben
respetarse una serie de leyes y teoremas que por sí forman parte del conocimiento
matemático.
En otro sentido, ubicándose del lado del futuro Licenciado en Educación, Básica Integral,
se debe alertar sobre este importante acontecimiento:
El elemento más perjudicial que puede tener este profesional desde su preparación, es el
uso indiscriminado de la calculadora, por cuanto los hace dependientes de ella, además
debilita ciertos conocimientos y hasta hace olvidar la esencia de cómo se desarrollan los
procesos para resolver problemas con las operaciones básicas, situación muy peligrosa
porque esta será una de las funciones principales en la formación de los futuros alumnos
así como otras mencionadas al comienzo de esta introducción.
Para poder subsanar este hecho innegable, se recomienda la sincera y honesta participación
de los alumnos del curso, en el trabajo que deberán realizar al estudiar el presente material
instruccional.
8
INDICE
Capítulo 1: Números reales Pág.
• Definición de conjunto. 7
• Formas de expresar conjuntos. Forma de especificación y forma de la regla. 8
• Operaciones básicas con conjuntos,cardinal de un conjunto y conjuntos especiales. 9
• Relaciones entre conjuntos: subconjunto, conjuntos iguales y subconjunto propio. 14
• Ejercicios 1.1 17
• Los números naturales y los números enteros. 19
• Los números racionales. 20
• Los números irracionales. 21
• Los números reales. 25
• Axiomas de los números reales. 25
• Leyes de los signos en la multiplicación y la división. 32
• Estrategia para enseñar las leyes de los signos. 29
• Fracciones y operaciones básicas. 35
• Estrategia para la enseñanza de la tabla de multiplicar. 37
• Criterio de simplificación. 40
• Criterios de divisibilidad de un número entero. 42
• El mínimo común múltiplo ( m.c.m.) 43
• El máximo común divisor ( M.C.D. ) 45
• Ejercicios 1.2 48
• Números decimales. Operaciones básicas. 49
• Sistema de numeración romano. 56
9
Pág.
• Ejercicios 1.3 59
• Fracción generatriz. 61
• Números mixtos. 64
• Desigualdades y valor absoluto. Propiedades. 66
• Ejercicios 1.4 74
• Raíz cuadrada de un número real positivo. 77
• Exponentes enteros. Leyes o reglas. 79
• Notación científica. 81
• Ejercicios 1.5 83
• Técnicas de redondeo. 85
Capítulo 2: Expresiones algebraicas. Polinomios.
• Definición de expresión algebraica. 89
• Definición, clasificación y grado de un polinomio. 89
• Adición y sustracción de polinomios. 92
• Ejercicios 2.1 97
• Multiplicación de polinomios. 99
• División de polinomios. 102
• Ejercicios 2.2 106
• Definición de factorización. 108
• Técnica del máximo factor común. 109
• Técnica de agrupación. 111
10
Pág.
• Técnica de diferencia de cuadrados. 111
• Técnica del trinomio de la forma . 114 0y 0 , Zy con , 2 ≠≠∈++ cbcbcbxx
• Técnica del trinomio de la forma 117 . 0y ,1 , Zy ,con , 2 ≠≠∈++ cbacbacbxax
• Técnica fórmula de la ecuación cuadrática. 120
• Técnica de la suma o diferencia de cubos. 121
• Ejercicios 2.3 123
• Definición de expresión fraccionaria y expresión racional. 125
• Adición y sustracción de expresiones racionales. 125
• Multiplicación y división de expresiones racionales. 130
• Ejercicios 2.4 133
• Operaciones combinadas y fracciones complejas. 135
• Ejercicios 2.5 139
• Triángulo de Pascal. 140
• Hoja de respuestas. 144
• Bibliografía. 155
11
Capítulo 1
Números Reales Operaciones Básicas
12
CONJUNTOS
Cotidianamente encontramos y mencionamos este concepto para referirnos a diferentes
ámbitos de nuestra vida diaria, ejemplo:
• Haz escuchado al conjunto de música de rock Metallica,
• Haz visto la camisa de este conjunto,
• Jueguen en conjunto,
Pues bien en Matemática es básico este concepto, ya que él nos permite generar el
conjunto de números reales, el cual va a ser la materia prima de nuestro trabajo.
Son sinónimos de la palabra conjunto un grupo, una colección, un agregado, una
agrupación de objetos o símbolos.
Comúnmente se estila denotar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con
letras minúsculas, ejemplo:
« Escriba el conjunto formado por los días de la semana:
« Escriba el conjunto formado por los días de la semana laborables en la Universidad de
los Andes-Táchira.
Solución :
Denotemos al conjunto con la letra B, así
B={ } viernesjueves,miércoles,martes,lunes,
13
Ahora observemos un hecho importante que ocurre con los elementos de los conjuntos:
1. Domingo pertenece al conjunto A, se denota Domingo ∈ A.♣
2. Lunes pertenece al conjunto A, se denota Lunes ∈ A.
3. Lunes pertenece al conjunto B, se denota Lunes ∈ B.
4. Sábado no pertenece al conjunto B, se denota Sábado ∉ B.
5. Domingo no pertenece al conjunto B, se denota Domingo ∉ B.
« Como ejercicio terminar el resto de relaciones.
Ahora, podemos señalar que existen dos maneras o formas para expresar los conjuntos, uno
donde listamos o señalamos uno a uno sus elementos del listado o por extensión y
otro donde asignamos una regla o una propiedad común que cumplan dichos elementos de la regla o por comprensión; en ambos casos utilizaremos llaves “{ ” para su
mos qué sucede al aplicar las operaciones básicas con los eleVea mentos de este conjunto:
2+3 = 5, 5 Z; 10-20 = -10, -10
• ∈ ∈ Z. Es decir, cualquiera sea los números enteros que
se operen con la adición o sustracción s á un número entero.
= 6, 6 Z; = -35, -35
, siempre no dar
• 32 × ∈ 75 ×− ∈ Z. Es decir, siempre que se multipliquen dos
números enteros nos da como resultado otro número entero.
• 24 = 2, 2 Z; ∈ 5 ,5
210
∈−−=− Z pero ∉= 5,4
29 Z.
LOS NUMEROS RACIONALES e definen como aquellos números que se pueden expresar como el cociente (o razón) de
guiente manera:
S
dos números enteros. Este conjunto se denota con la letra Q y se describen por comprensión
de la si
Q⎭⎩ q
⎬⎫
⎨⎧
≠∈== 0y , con / qZqppxx
♣ El recíproco de un número es el mismo número pero de signo contrario.
Observe que no siempre al dividir dos números enteros da
como resultado otro número entero, como sí ocurre con la
adición, sustracción y multiplicación. Para subsanar este
escollo fué creado el conjunto de los números racionales.
52
También se puede definir a los números racionales como un número decimal periódico o
nito.
demás, existen otros números que no se pueden expresar como cociente de dos números
nteros. Problema que surgió al tratar de encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo
ctángulo cuyos catetos tenían longitud igual a uno (1).
fi
A
e
re
2 1
2 2 1
2 no se puede copiar como razón de dos números enteros.
Al aplicar el teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de las longitudes de los dos
lados menores de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la longitud del lado
mayor”.
2 11 222 222 =⇒+=⇒+= ccbac ,
La irracionalidad consistía en no poder expresar tal número como una fracción o como
razón de dos números enteros. Es decir: Q 2 ∉ .
estos números los llamaremos números irracionales, su conjunto será denotado con
l término matemático irracional proviene de la palabra latina irratio, la cual tiene su
número no expresable como cociente de dos
números enteros, cuyo significado contrasta con el lenguaje ordinario donde irracional
significa algo ilógico o incomprensible.
Una de las características de esos Números Irracionales
A
la letra I.
E
origen en la palabra griega alogos, por ser un
es que su representación en forma
decimal es infinita y no es periódica.
53
Entre algunos de sus elementos encontramos:
...4142136,1 2 ±=± ♦
45... 2,71828182 ±=± e
...3,14159263 ±=± π
Por lo anterior expuesto, se deduce que los números racionales no “agotan” la existencia de
los números posibles, por cuanto el problema planteado por la escuela Pitagórica (y otros
problemas surgidos posteriormente), no admiten solución en el Conjunto de los Números
Racionales. De allí que nuevamente es obligante “ampliar” el campo numérico y dar paso
eros Irracionales.
os a menudo
no periódica se puede “cortar” en alguna cifra, obteniéndose una aproximación
al Conjunto de los Núm
Es necesario destacar que al operar con los números irracionales, usam
números racionales como valores aproximados. De allí que cualquier expresión decimal
infinita
racional de la misma.
m
Eje plos:
« ...4142136,1 2 = se puede aproximar por : 1,4 ó 1,41 ó 1,414 etc...
Mientras más cifras decimales se consideren, más cercano se estará del número irracional
dado.
« ...3,14159263 =π se puede aproximar a la fracción 722 ya que es igual a
3,142857142857...
a diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advierte en su
representación decimal. Cua a por medio de decimales,
L
ndo un número irracional se present
los decimales continúan indefinidamente, sin presentar un patrón repetitivo
♦ La raíz cuadrada de un número primo siempre es un número irracional. Número primo es aquel que es divisible solamente por el mismo y por la unidad.
54
( ...3,14159263 =π ). En cambio, los números racionales expresados en forma decimal son
presentan un patrón llamado período ( 60,1 ...166666,061finitos o ≅= ).
Este conjunto result ros racionales con el conjunto de los
números irracionales. Se
El siguiente cuadro nos iento de los conjuntos de números antes
descritos:
De este cuadro podem
tero.
ional.
• Todo número racional es un número real.
• Todo número irracional es un número real.
LOS NUMEROS REALESa al unir al conjunto de los núme
denota con la letra R.
hace una excelente referencia del comportam
Q= Números Racionales
R
Z = Números Enteros
N= Números Naturales =
I = Números Irracionales
os señalar lo siguiente:
• Todo número natural es un número en
• Todo número entero es un número rac
• Todo número entero es un número real.
55
• No todo número entero es un número natural.
• Un número real es irracional o es racional.
.
Para reforzar este ás concreto.
adros anteriores podemos concluir que todo número natural es
bconjunto propio de los números enteros (N Z ), todo número entero es subconjunto
ropio de los números racionales (Z Q ) y todo número racional es subconjunto propio
e los números reales (Q R ).
• No todo racional es entero.
• Todo número irracional no es entero.
• Ningún número natural es irracional.
• Ningún número irracional es racional a la vez
aprendizaje, haremos un símil del cuadro con otro ejemplo m
• Como ejercicio, establezca todas las posibles relaciones entre estos conjuntos.
Analizando los cu
Los alumnos de Educación por régimen de semestre y de anualidades
= ULA- Táchira
Los alumnos de la Carrera Educación Básica Integral
Los alumnos del Primer Semestre de Educación Básica Integral
Los alumnos de Comunicación Social, Administración y Medicina.
su ⊂
p ⊂
d ⊂
56
Además, los números racionales unidos con los números irracionales dan los números
reales (Q ∪ I = R) y la intersección del conjunto de los números racionales con el
conjunto de los números irracionales es igual al conjunto vacío (Q ∩ I = ∅ ), esto quiere
ecir que un número real o es un número racional o irracional, pero nunca puede ser las d
dos cosas a la vez.
AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES El sistema de los números reales es un conjunto no vacío (R) dotado de las operaciones
llamadas adición y multiplicación denotados por ( + ) y ( . ), que satisface los siguientes
axiom :
esquiera que pertenecen a los números reales: a, b, c R
Par
as que a continuación se especifican
∈Sean tres números cual
a la adición
1. Propiedad conmutativa
, ejemplo 2+1= 1+2 3=3.
+(2+3) 3+3 = 1+5 6 = 6.
3. Elemento neutro♣ xiste un único 0, para cada a,
n nguaje matemático)
odo
+ abba += ⇒
2. Propiedad asociativa
( ) ( )cbacba ++=++ , ejemplo (1+2)+3 = 1 ⇒ ⇒
E
( E le
( ) m de , R , R único 0 ∈∀∈∃ a : que
aaa =+=+ 00
Ejemplo, 4+ 0 = 0+ 4 = 4
♣ Para utilizar el lenguaje matemático debemos señalar que los símbolos ∃∀ , son cuantificadores, el primero significa “ para todo elemento” y el segundo “existe un elemento “
57
4. ento inver
Para cada a, existe un único (-a),
tico)
opues R, −∃∈ a
=+ a
Para la multiplicación
Elem so o inverso aditivo
( En lenguaje matemá
( ) :que modo de , R to ∈∀a
)( −=−+ aaa 0
Ejemplo, 4+(-4) = - 4+ 4 = 0
5. iedad conmutativa
emplo 2.1= 1.2 2=2.
(1.2).3 = 1.(2.3) 2.3 = 1.6 6 = 6.
7. Elemento neutro
st o 1, para ada a,
( En lenguaje matemático)
odoR ∈a
Ejemplo, 4.1 = 1.4 = 4
8. ento inverso o inverso multiplicativo
da a, existe un único
Prop
abba ⋅=⋅ , ej ⇒
6. Propiedad asociativa
( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ , ejemplo ⇒ ⇒
Exi e un únic c
( ) m de , R , único 1 ∀∈∃ : que
aaa =⋅=⋅ 11
Elem
Para ca ( ) 1−a ,
( En lenguaje matemático)
( ) :que modo de , R inverso cero, el excepto R, 1 ∈∃∈∀ −aa
1= , con a
a 11 =− . . 11 = −− aaaa
Ejemplo, 4.( ) = . 4 = 14− 1- 4 1441
=⋅
58
Única propiedad que relaciona la adición con la multiplicación,
9. Propiedad di tiva, stribu
jemplo:
( ) cabacba ... +=+
E
( ) ( ) 1616 106 8 2 523253 2 =⇒+=⇒×+×=+
e orden:
0. Para cada a R, entonces puede ocurrir solamente uno de los siguientes casos:
Axiomas d
∈ 1
0 >a ; 0<a ; .0 =a ( Princip otio de tric omía)
1. Para cada y b en R, con y , entonces
a 0>a 0>b 0>+ ba y
jemplo,
ea
.0. >ba 1
E
. S 010y 1052 además ,07y 752 entonces , 05y 02 >=×>=+>>
12. Para cada a y b en R, con ba > , si y solo si .0>− ba
Ejemplo,
Si .
03y 325 entonces , 25 >=−>
59
Axioma de completitud
13. Si A R⊂ y A está acotado superiormente, entonces A tiene supremo.
Ejemplo: El intervalo A = ( ) 3 , 1 está acotado superiormente por el tres, tiene supremo y es
l número tres.
ación, los axiomas son la constitución
s básicas, es decir para resolver problemas
estos cuando los necesitemos.
conjunto de los números reales, solamente los cumple él ya
ales e irracionales solamente cumplen parte de ellos.
as siguientes:
e
Este es uno de los axiomas más importante en el
cálculo moderno, este axioma del supremo le da un
les; es
la materia prima en el análisis matemático, es la
esencia en la demostración de muchos otros teoremas
más com
carácter analítico al cuerpo de los números rea
plejos.
Haciendo una comparación con respecto a una n
nacional que regirá al país de las operacione
aritméticos podremos basarnos en
Esos 13 axiomas que cumple el
que los naturales, enteros, racion
Analizando el conjunto de los números naturales, cumple los axiom
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2. La asociatividad,
Para la multiplicación:
3. La conmutatividad,
4. La asociatividad,
5. Elemento neutro,
6. Distributividad,
7. Axiomas de orden 11 y 12.
60
El conjunto de los números enteros, cumple los axiomas:
. La conmutatividad,
. La asociatividad
o,
:
,
. Elemento neutro,
, 11 y 12.
racionales, cumple los axiomas:
. La asociatividad,
. Elemento neutro,
ra la multiplicación:
5. La conmutatividad,
. La asociatividad.
. Elemento neutro,
. Inverso multiplicativo,
. Distributividad,
Para la adición:
1
2
3. Elemento neutro,
4. Inverso aditiv
Para la multiplicación
5. La conmutatividad
6. La asociatividad.
7
8. Distributividad,
9. Axiomas de orden 10
El conjunto de los números
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2
3
4. Inverso aditivo,
Pa
6
7
8
9
10. Axiomas de orden 10, 11 y 12.
61
No cumple el axioma de completitud ya que si tomamos una parte de números de los reales,
ejemplo el conjunto { } 2 0Q/ ≤≤∈= xxA
0 2
Ocurre que 2 2 no pertenece al conjunto, por tanto no tiene supremo ya que es un
hecho existen infinitos números irracionales que se encuentran en el
números racionales es cerrado con las operaciones básicas ya que
“ La suma de dos números racionales es otro número racional”
número irracional. De
conjunto A.
El conjunto de los
siempre que se operan dos números racionales da otro número racional. Veamos esa
demostración:
•
Demostración:
dc
ba y , Sean dos números racionales cualesquiera con a,b,c y d números enteros y
a es
0, ≠db ,entonces su sum
bd
bcaddc
ba +
=+
Como el producto de dos números enteros da otro entero y la suma de dos números enteros
da otro entero tenemos:
,con ,y con , Zfefbdebcadfe
bdbcad
dc
ba
∈==+=+
=+
En consecuencia hemos demostrado que la suma de números racionales da como resultado
muéstrelo para el producto.
otro número racional.
De
62
El conjunto de los números irracionales, cumple los axiomas: Para la adición:
1. La conmutatividad,
ducto:
4. La asociatividad.
Distributividad,
pletitud.
no siempre la operación aritmética de dos
eros irracionales da como resultado otro irracional.
Ejemplo:
•
2. La asociatividad,
Para el pro
3. La conmutatividad,
5.
6. Axiomas de orden 10, 11 y 12.
No posee elemento neutro en la suma ya que el número cero no es irracional. Al igual que
los números racionales no cumplen el axioma de com
Un hecho de destacar muy significante es,
núm
2 El producto de por el mismo es:
( ) I. 2 pero ,2 2 2 2 2==× ∉
ruébelo para la suma.
ue umple el conjunto de los números reales es la densidad, es
siempre existe otro entre ellos. Los números racionales y
los irracionales también son densos mientras que los naturales y los enteros no lo son, ya
s nunca existirá otro elemento de ese conjunto
s, por lo tanto la densidad no la cumplen.
P
Otra propiedad importante q c
decir dados dos números reales
que si tomamos dos elementos consecutivo
entre ello
63
LEYES DE LOS SIGNOS xisten una serie de leyes a respetar cuando se estén realizando las operaciones básicas
on los números reales, ellas son:
ción
E
c
Para la multiplica :
plo • +=×+ , por ejem+ ( ) ( )3 62 += +×+
( ) ( ) 63• , por ejemplo 2 +=−×− +=×−−
Signos iguales resultado positivo.
( ) ( ) 63• , por ejemplo 2 −=−×+ −=×−+
• −=×+− , por ejemplo ( ) ( ) 632 −=+× −
Signos diferentes resultado negativo.
Para la división:
• , por ejemplo +=÷++ ( ) ( ) 224 +=+÷+ ; 224
+=++
• , por ejemplo +=÷−− ( ) ( ) 224 +=−÷− ; 224
+=−−
Signos iguales resultado positivo.
• , por ejemplo −=÷−+ ( ) ( ) 224 −=−÷+ ; 224
−=−+
• , por ejemplo −=÷+− ( ) ( ) 224 −=+÷− ; 224
−=+−
Signos diferentes resultado negativo.
Es bueno destacar que se puede representar un número negativo de tres maneras posibles,
ellas son:
64
21
− Primera forma
21− Segunda forma y
21 Tercera forma.
−
Cada una de ellas representa la misma cantidad, y por ello es bueno tener presente este
hecho a la hora de resolver los problemas que más adelante se presentarán.
Estrategia para la Enseñanza de las Leyes de los Signos
as leyes de los signos fueron definidas tácitamente por el francés Nicolás Chuquet en el siglo XV de nuestra
ara que funcionen las operaciones con los números positivos y los negativos, es decir se
verdad verdadera los siguientes casos para así evitar posibles contradicciones, ellas son:
la primera y hasta en la segunda etapa de
Educación Básica le vean sentido y por ende sea significativo, es por ello que en estos
L
era, se definió así p
debe cumplir como
Más por más es más,
Menos por menos es más,
Más por menos es menos y
Menos por más es menos.
Esto es muy abstracto para que los estudiantes en
la
casos las estrategias didácticas apropiadas son de gran utilidad para el logro de los
aprendizajes duraderos en los alumnos.
65
Estrategia... xiste una isla por las costas del Atlántico llamada Pacifica, en ella existen ciudadanos
se les asocia el signo más “+” y ciudadanos malos a los cuales se
les asocia el signo menos “-“; los ciudadanos buenos eran aquellas personas las
que los
iudadanos malos eran los asesinos, os, vagos y ó en
el consejo supremo de la isla que salir
buenos a los cuales E cuales trabajaban, estudiaban, deportistas, artistas, niños y ancianos, mientras
c ladrones, malandr políticos. Se acord
de la isla era equivalente al signo menos “-“,
mientras que entrar equivale al signo más “+”.
Los barcos que llegaban a la isla traían y se llevaban a personas, entonces el Rey
interesado por saber lo beneficioso o perjudicial de este hecho hizo el siguiente análisis:
☺ Si un ciudadano bueno ”+” entra a Pacifica “+”, esto es positivo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) , +=++
☺ Si un ciudadano malo “-“ sale de Pacifica “-“ , esto es positivo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) , +=−−
Si un ciudadano malo ”-” entra a Pacifica “+”, esto es negativo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) y −=+−
Si un ciudadano bueno ”+” sale de Pacifica “-”, esto es negativo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) . −=−+
( + )
Luego el Rey resumiendo este análisis en una tabla obtuvo el siguiente resultado:
Entra a Pacifica Sale de Pacifica
( ) −
Ciudadano bueno
( + ) + _
Ciudadano malo
_
+ ( ) −
66
Entonces el Rey concluye que el producto de signos iguales es positivo, mientras que el
roducto de signos diferentes es negativo y “colorín colorado esta estrategia ha
FRACCIONES
ón es una expresión de la forma
p
terminado”.
yxUna fracci donde x e y pertenecen a los números
enteros, además “y” debe ser diferente de cero. ¿Por qué?.
la variable “x” se le conoce como numerador o dividendo y a la variable “y”
inador o divisor.
A
denom
Variable algebraicamente se define a toda aquella letra que le podemos asignar
ente cualquier valor numérico.
ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES uando sume o reste fracciones se encontrará con dos casos posibles, cada uno de ellos
tiene su forma parti
les, se escribe el mismo
nominador y se suman o restan los numeradores.
arbitrariam
C
cular de solución:
Caso 1: Si los denominadores de las fracciones son igua
de
ecba
ec
eb
eaentonceseconecbasean ±±
=±±≠∈ ,0 R, ,
Ejemplo:
,,
5 4
51271
512
57
5−
=−+
=−+
1
67
Caso 2: Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se procede siguiendo la
siguiente regla.
bdbcad
dc
baentoncesdbcondcbasean ±
=±≠∈ ,0, R, ,,,
Ejemplo:
( ) ( )( ) 30
2730
151265
356263
52
=+
=+
=+
multiplica numerador con numerador y denominador con
enominador es decir, la multiplicación de fracciones es lineal.
MULTIPLICACION DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones se
d
bdac
dc
baentoncesdbcondcbasean =⋅≠∈ ,0, R, ,,,
Ejemplo:
( )( ) 8
454242959
==×
DIVISION DE FRACCIONES ara dividir fracciones se multiplica en cruz, numerador de la primera fracción por
5
P
denominador de la segunda fracción y denominador de la primera por numerador de la
segunda es decir, la división de fracciones es cruzada.
bcad
dc
baentoncesdcbcondcbasean =÷≠∈ ,0,, R, ,,,
jemplo: E
( )( ) 279373
35759==÷
xiste una forma de transformar las divisiones en multiplicaciones, esta consiste en invertir
l orden de la segunda fracción, es decir el numerador pasa a ser denominador y el
denominador a ser num
5
E
e
erador.
68
bcad
cd
ba
dc
baentoncesdc,bcondcbasean =⋅=≠∈ ,, R, ,,,
jemplo:
÷ 0
E
( )( ) 27
359375
97
35
795
3==×=÷
ntes de comenzar con el trabajo operacional es bueno señalar que es indispensable el
ominio adecuado de las tablas de multiplicar, existe la siguiente estrategia
A
d para el
dominio de dicho prereq s
1. Construya una tabla de 10x10 como a
*
ui ito:
l siguiente:
69
2. Colóquese en la primera fila y prim c m l
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9
era olu na os números del 1 al 9:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3. Ahora, en la segunda fila coloquen los núm de 1 en 1; en la segunda fila de 2 en
dos; en la fila 3 de tres en tres y así e te con el resto de filas.
Importante...En la rec ar que una cantidad es mayor que otra si:
La primera está más lejos
ta real se puede observ
del origen por la derecha que la segunda.
Ejemplo. , ya que 4 está más lejos24 > del origen por la derecha que 2.
La primera está más cerca del origen por la izquierda que la segunda.
Ejem o. , ya que -3 está más cercapl 8 3 −>− del origen por la izquierda que -8.
Y un
La sa cantidad es menor que otra si:
primera está más lejo del origen por la izquierda que la segunda.
Ejemplo. , ya que -8 está más lejos38 −<− del origen por la izquierda que -3.
La primera está más cerca del origen por la derecha que la segunda.
Ejemplo. , ya que 2 está más cerca42 < del origen por la derecha que 4.
un
12
<→<<<
« Ubique con el símbolo de orden más apropiado.
1.
2. 2
3.
4.
5.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Alg as relaciones posibles son:
1.- que alejado más está 10- que Ya -1.-10-1-2-610-
3. queorigen del alejado más está 12 que Observe .31231011 >→>>>
[ ]10 10− 6.
[ ] 19- 1−
[ ]10 0 1
[ ]111,0001 111
[ ]0,33 5640−
[ ] 1.000.000- 945
7. [ ] 98655423- 003,0−
8. [ ]2 39
[ ]21
236
− 9.
[ ]97
31 44 10.
[ ]1223-
5611-
-11 -10 -9 -8 –7
R
11.
69
Con s nstruir lo intervalos. Un intervalo es una expresión
matemá ite expresar en la recta real conjuntos de números específicos,
ejemplo:
« Represente en la recta real el conjunto de números comprendido entre 2 y 4.
Solución
la desigualdades podemos co s
tica que nos perm
:
ue los puntos 2 y 4.
ma de desigualdad,
fo
os intervalos se clasifican en:
valo abierto, es aquel que no toma como valores posibles los extremos del
intervalo, ejemplo:
Trace la recta real y ubiq
En for .4 2 ≥≥ x
En rma de intervalo, [ ]4,2 .
L
• Inter
en forma de desigualdad ( ) . bxaba, <<
ualdad ( )∞+ ,a en forma de desig ax >
En forma gráfica
En forma gráfica a b
En forma gráfica
-1 0 1 2 3 4 5
70
en fo e esigualdad ( ) rma d da , ∞− ax <
En forma gráfica
desigualdad
( )∞+∞− , =R en forma de +∞<<∞− x
En forma gráfica
Intervalo cerrado, o valores posibles hasta los extremos del
intervalo, ejemplo:
• es aquel que toma com
en forma de desigualdad [ ]ba, bxa ≤≤
forma gráfica
En
• Intervalo semi-cerrado o semi-abierto, es aquel que toma como valor alguno de sus
extremos. Este intervalo no es ni abierto ni cerrado, ejemplo:
en forma de desigualdad [ )ba, bxa <≤
- ∞ a
∞− ∞+
a b
En forma gráfica a b
71
en forma de desigualdad ( ]ba, bxa ≤<
En forma gráfica
jercicios de práctica.
Diga si los siguientes intervalos son abiertos, cerrados o semi-abierto y además
expréselo en forma de desigualdad y represéntelo en forma gráfica.
.
3.5 , 23.0
4.
5.
E
«
1. ( )7,3−
2 ( )12,5
3. ]5 [[ )99 , 0
⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ 3 9,
2
6. ( )0,∞+
Las desigualdades son de suma importancia para la representación de distancias en la recta real, sin importar
si es positivo o negativo el número en cuestión y teniendo como origen de esa distancia el cero, veamos un
ejemplo:
o el valor absoluto ero y representa la
bsoluto se denota
anterior tenemos:
Esta distancia es conocida com de un núm
distancia comprendida desde un número cualquiera al origen. El valor a
entre barras, ejemplo:
Según la gráfica
• 4 4- y 4 4 = =
a b
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
unidades 4 unidades
72
Definición
Para cualquier núm a, el valor absoluto de a denotado por aero real es
Esta definición señala que si un número es positivo o cero, su valor absoluto es él
mismo. Pero si el número es negativo, entonces su valor absoluto es su inverso
ros:
aditivo. Ejemplo:
« Halle el valor absoluto de los siguientes núme
• 5 5 = , por ser 5 mayor que cero.
• 211 = , por ser
2 21 mayor que cero.
• 0 0 3- 3 == , por ser cero.
• ( ) 7 7- 7- =−= , como (-7) es menor que cero entonces su inverso aditivo es 7.
Nota importante: El valor absoluto de un número siempre es positivo.
0 , ≥asia = a 0 , <− asia
73
Propiedades del valor absoluto:
Exprese la desigualdad en forma de intervalo y gráfica:
x
1. 0 ≥a
EJERCICIOS RESUELTOS
1. 5− 4 ≤<
2. 25
21
<< x
Solución:
1. Observe que el intervalo debe ser abierto por la izquierda y cerrado por la derecha,
entonces = y en forma gráfica
5 4 ≤<− x ( ] 5 , 4 −
-5 -4 –3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2. 25
21
<< x , en forma de intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25 ,
21 y en forma gráfica
5,021
= 5,225
=
. . baba = 2.
ba
ba
= 3.
4. rla
triangudDesigualda
baba +≤+
5.
aa =− 22 aa = 6.
74
EJERCICIOS 1.4
Halle la fracción generatriz de los siguientes números. Si no es posible hallarla diga por
qué.
1. 23, 254 2. 6,6666. . . 3. -5,212121
4. 0, 01001000100001. . . – 3, 888. . .
. 56, 1112222. . .
7. 4,
5.
6
8
8. 0, 0021212121. . .
9. – 0, 999
ransforme las siguientes fracciones impropias a números mixtos.
T
10. 2
11
11. 45−
12. 33
932−
13. 8
865
67978− 14.
62115.
Transforme los siguientes números mixtos a fracciones impropias.
16. 215
17. 9712−
18. 1218 20.
19. 21699−
531
215−21.
22. Dada la desigualdad , determine la que se obtiene si:
a) Se suma 10 a ambos lados de la desigualdad.
b) Se resta
59 −<−
21 a ambos lados de la desigualdad.
c) Ambos miembros se multiplican por 91 .
d) Ambos miembros se multiplican por 91
− .
75
3. Sea , determine la desigualdad que se obtiene si:
) Se suma 12 a ambos lados de la desigualdad.
mbros se dividen entre - 2.
Ordénese los siguientes números de menor a mayor.
2 28 −>
a
b) Se resta – 8 a ambos lados de la desigualdad.
c) Ambos miembros se dividen entre 2.
d) Ambos mie
24.
.9-3 ,
73- , 0.20 - , 0.230 , 0.2301 ,
43- ,
21 , 3 , 3−
Exprese las siguientes desigualdades en forma de intervalo y además bosqueje su gráfica.
6.
27.
28.25. 8−<x
2 0<x
21,0 −≤x
( )3−−≥x
97 ≤≤− x 29.
512 −≤<− x30.
33 <≤− x 31.
32.
33.
106 <≤ x
47
93
<<− x
251
≤<− x 34.
35. 1,0 1,0 −≥≥ x
Exprese el intervalo en forma de desigualdad.
36. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
73,
21
37.
38.
39.
40.
[ )12 ,0
[ ] 7.7 , 0.23
( ] 6 , ∞−
( ] ( )∞∪∞− ,00,
41. ( ) [ ] 6 , 2 8 , 6 ∩−
Escríbase una desigualdad para cada intervalo.
42.
77
-6 -4 -2 0 2 4 6
43.
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
44.
0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5
78
NUMERO REAL POSITIVO
r la raíz cuadrada de un número real positivo obtenemos otro número real y
positivo también, pero que tien
RAIZ CUADRADA DE UN Al calcula
e la siguiente particularidad
reales. números y con , bababa =→±=
Ese número b multipli
2
cado por si mismo da el radicando a.
Para calcular esa raíz cuadrada de manera manual debemos seguir una serie de pasos, es
decir u lgoritmo, veamos estos pasos con el siguiente ejemplo:
Solución:
n a
« Halle la raíz cuadrada de 443556.
4 4 3 5 5 6 - 36 x 756 Piso 2
8 35 132 7956 Piso 3 - 756 7956 - 7956 - 0 -
so 1: Agrupo en pares antes y después de la coma y completamos con ceros en quede par.
Buscamos un número que multiplicado por si mismo nos de menor o igual l p imer par, este número lo colocamos en el piso 1.
Paso 3: El cuadrado del piso 1 se lo restamos al primer par. Paso 4:Bajamos el siguiente par y por lo tanto trabajamos con el segundo piso, en él olocamos la cantidad qu está en el piso1 multiplicada por dos y luego buscamos un úmero del 0 al 9 de manera tal que al ubicarla en el círculo nos de menor o igual al
nuevo número ( 835 ). Este número que nos sirva lo ubicamos en el primer piso. Paso 5: Repetimos el paso 4 con las nuevas cantidades según sea necesario.
a 6: La cantidad que quede en el primer piso es la raíz cuadrada.
6 6 6 Piso 1 12 6 6 =
6 x 6 =
Paaquel que noPaso 2: a r
c en
P so
79
« 356,11 Calcule
Solución:
Así que,
356,11 = 3,36
Importante... Si quisiéramos hallarle otro de pero como no tenemos más,
bajamos un par de ceros y aplic
« Halle la raíz cuadrada de 0,021 Solución:
cimal bajaríamos otro par
amos el paso 4 nuevamente.
Por tanto 0,144 0,021 = .
2 35 6 3 x 3 = 189 Paso 4 -189
4660 66
Paso 1
11 , 35 60 3 , 3 6 Paso 2 Paso 3 - 9
6 x 6 = 3996 Paso 4 -3996
664
0, 144
- 0 0 02 0 = 1
-1 1 10 2 x = 96
-96 14 00 28 = 1136
-1136 264
00, 02 10
1 x 1
4 4
4 x 4
80
Importante... Ob iso se multiplica serve que lo del primer p por dos sin tomar en cuenta la coma del
EXPONENTES ENTEROS Cuando tenemos una suma repetida como 2+2+2+2+2 la resolvemos fácilmente
o 5 x 2. De igual ma ribir un producto repetido 2. 2 .2 2. 2 como
s decir tenemos que:
y
aaa
n general, para cualquier número real a y para cualquier entero positivo n, el símbolo
, que se lee como “ a a la enésima potencia ” y representa el producto de n factores
de a . Así,
aaaaa
decimal.
com nera podemos esc 52 .
E
aaaaaa 5=++++
5. aaa = . . . .
E
na
vecesnn .....=
=
Ejemplos:
6255.5.5.5 =54
.161
41
41
41 2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎛=
⎞⎜⎝
⎛
Exponente
Base
n
⎜⎝
⎟⎠
Donde : a
81
( ) ( )( )( )( ) 1622222 4 =−−−−=−
−=
ótese que cuando un signo negativo se encuentre dentro de un paréntesis y este a su vez
LEYES O REGLAS DE LOS EXPONENTES números reales y m y n enteros positivos, entonces:
. Regla del producto.
2.
( )4 −=−=−
( ) 1616 2 . 2. 2. 2 2
N
esté afectado por un exponente, el mismo será afectado por él, mientras tanto no lo afecta,
Halle la raíz cuadrada de las siguientes cantidades. Para las raíces que no sean exactas
halle dos decimales.
1. 121 4. 0,0034
2. 1234,321
3. 144 5.
215
6. 7
31
73,0 7.
8. 12345654321
9. 123454321
10. 1234321
11. 12321
Encuentre los números indicados.
12.
13.
4 - ; 4 - ; 4 2 2 2
3 -33
21 ;
21 ;
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
14.
15.
Evalúe las siguientes expresiones.
16.
( ) ( ) 000 7 - ; 7 - ; 7
( ) ( ) ( ) 1 -1 -1 - 1 - ; 1 ; 1 −−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 21 -
21 - 2
=+ 1 -1 -
1 -1 -
3 2 3 - 2 17.
1 ( )( )
=−
−2 -
65
2 2 1 - 8.
1 ( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ − 0 45 - 345
31 7 32
2 - 9.
84
Escriba los números dados en notación científica.
1. – 34500000
0000
,00000000
24. 0,00106345
0
26. 0,000000000002
27. 89000000000000000
Escriba los números dados en forma decimal.
28.
9.
30.
9 ×
32.
20. 0,0000243 25. 43556000
2
22. 100000
23. 1001
410456,3 ×
2 2106,5 −×−
5106 ×
31. 999,3 510
10105168,1 −×
81006,9 × 33.
34. 11100006,4 −×−
410456,3 −×35. io
Evalúe las siguientes expresiones. Exprese su respuesta en notación científica y en forma
decimal.
36.
( ) ( ) ( ) =− 524 1000000 0,000002 300
37. ( ) ( )[ ] =− 0,000001 0,0000023 1 -21
3 ( ) ( )( )( )
=× 27
4 -3
0,002 - 102,1 0,0003 70000 8.
39. ( ) ( )( ) ( )
=22
43
0,04 - 0 0,002
40.
0,11 3 -
( ) ( )( )
=×
22
4 -33 -
6 0,6 - 0,06 106
89
TECNICAS DE REDONDEO Cuando operamos con números decimales que poseen muchos decimales o cuando al
escribir un número decimal a notación científica queda con muchos decimales, podemos
hacer una aproximación de ella para facilitarnos un poco el manejo de esas cantidades.
Quien nos permitirá realizar esas aproximaciones son las siguientes reglas, que se conocen
o técnicas de redondeo.
com
Si la cifra siguiente a la última cifra significativa es:
Caso 1: Mayor que 5, se le suma la unidad a la última cifra significativa y
se eliminan las cifras no significativas.
Caso 3: Igual que 5, puede ocurrir que:
• Si la última cifra significativa es par, se copia el número igual
descartando las cifras no significativas.
última cifra significa n las cifras no significativas.
Caso 2: Menor que 5, no altera la última cifra y se eliminan las cifras no
significativas.
• Si la última cifra significativa es impar, se le suma la unidad a la
tiva y se elimina
90
Algunos ejemplos:
edondee las siguientes cantidades a cuatro cifras significativas.
34,6766
olución:
« 2,001567
Solución
R
«
S
:
Redondee las siguientes cantidades a tres cifras significativas.
« 200,54
Solución:
34,68 Cifra siguiente a la última cifra significativa. Cuarta cifra significativa. Según el caso 1 , le sumamos la unidad a la última cifra significativa.
3 4, 6 7 6 6 =
2, 0 0 1 5 6 7 = 2,002
Cifra siguiente a la úSegún el caso 3, le sumamos la unid a significativa para que se
convierta en par.
ltima a. cifra significativ
ad a la última cifr
2 0 0, 5 4 =
200 Cifra siguiente a la última cifra significativa. Según el caso 3, la copiamos igual y descarta os la no significativas ya la
última cifra es par.
m
91
♠ 0,0023
Solución:
« Solución
1,23467 510×
:
ciones básicas en los números
emás recuerde que puede utilizar calculadora para comprobar los resultados
Pensamiento...
“ Todo lo que tú hagas en la vida, hazlo sumando o multiplicando nada restando
ni dividiendo”
Anónimo.
cifra significativa, agregamos ceros para completar las cifras significativas
respectivas.
NOTA MUY IMPORTANTE: Recuerde que el objetivo de esta unidad es desarrollar
habilidades y destrezas en el cálculo aritmético con las opera
reales, ad
obtenidos, así que primero trate de resolver todos los ejercicios sin ayuda de la misma.
0, 0 0 2 3 0 = 0,00230 era1
1, 2 3 6 7 = 1,23 Cifra siguiente a la última cifra significativa.
an las cifras no significativas.
510× 510× 4
Según el caso 2, no altera la última cifra y se elimin
92
Expresiones Algebraicas
Capítulo 2
Polinomios
93
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ión algebraica es toda aquella expresión matemática producto de la
binación de números, variables (o símbolos) con operaciones como la adición,
cción, multiplicación, división, potencia y radicación. Ejemplo:
Una expres
com
sustra
153 71
2 +−−
xx
xzxxy 1364 4 +−
5 4fs
wty
129421 235 −−+ xxx
En lo s exponentes de las variables no existe ninguna limitación, ya que pueden ser
úmeros positivos, negativos, fracciones y cero.
continuación estudiaremos expresiones algebraicas muy particulares, como la del cuarto
jemplo, que son conocidas como expresiones polinómicas.
x utilizando sol
:
n
A
e
Un polinomio real en variable x, es una expresión que puede obtenerse a partir de
los números reales y la variable amente las operaciones de suma, resta y
multiplicación. Ejemplo
129421 235 −−+ xxx
• xxxxxx ....21
21 5 =
• xxxx ...2.24 3 =
• xxx ..3.39 2 =
• 12 = 2.2.3
94
Cada una de esas expresiones por separado se conocen como términos del polinomio y
a término se conoce como factor.
tra definición más general de polinomio.
n polinomio de grado n en la variable x, es cualquier expresión algebraica de
forma 121−nn
cada uno de los productos de cad
O
Ula
0 , 0121 ≠+++ ++− naxaxaaxaxa xnn
donde el exponente n es un entero no negativo y R
0
∈i
a .
Los polinomios se clasifican según la cantidad de términos que posean, ellos son:
• , 1032
, 755 yx Monomio, cuando posee un solo término.Ejemplo: 3x , 21.
• Binomio
Trinomio, cuando posee tres términos. Ejemplo:
, cuando posee dos términos.Ejemplo: 492 63 , 12 xxx −+
•
16 2 +− xx , 492 63 , 12 xxx −+ .
Polinomio, cuando posee más de tres términos. Ejemplo: •
163 2 4912 +−+ xxx ,
grado de un polinomio está determinado por el mayor exponente que contenga la
or ejemplo, la expresión
2456 21178 yyyy −−+ .
El
variable. P 163 2 4912 +−+ xxx es un polinomio de grado
doce.
95
Importante...
Existen algunos criterios que nos permite conocer si una expresión algebraica no es
un polinomio, veamos:
Ejercicios.
« Señale si la expresión es un polinomio, si lo es, diga el grado y el tipo. Si no es, ¿diga
4.
por qué?
1. 93743 xxx −+
2. 5242 xx ++− −
3. 2456 21178 yyyy −−+
492 3 8 15 2 xxx −++
5. 1463 4 21
+−+ ttt
6. 2221 ++11 7x
x
7. 3 16 15 3 93 xxx −−
8
9.
10.
. 25 0x
1
16135 46 −−−− xxxx
45 −
ariable es fraccionario o negativo.
Si alguna variable aparece en el denominador.
Si algún exponente de la v
s polinómica. Si aparece la variable dentro de una raíz.
Cuando ocurre alguno de estos criterios, la expresión no e
92
Analizando el problema número 8 y asumiendo como cierta que toda base elevada al
≠x )¤, tenemos que todo número real es un
monomio de grado cero.
o polinomio es una expresión algebraica ya que el primero está incluido en el
onomio de grado cero es un número real.
peraciones básicas que realizamos con el conjunto de los de números reales de
mios.
E POLINOMIOS El proceso de adición y sustracción de polinomios se fundamenta en la utilización de la
er lugar agrupar los términos que sean de la misma
ego aplicamos la propiedad distributiva. Ejemplo:
exponente cero es igual a uno ( ,10 =x 0con
Reflexionando un poco podemos concluir lo siguiente:
Tod
segundo; todo m
Ahora las o
adición, sustracción, multiplicación y división las podemos realizar con los polino
ADICION Y SUSTRACCION D
propiedad distributiva que cumplen los números reales.
El proceso de adición consiste, en prim
clase, tipo o especie y lu
¤ Sea 1=aa
, y además 01111. aaaaaa
=== −− , igualando tenemos 10 =a .
Monomios de Grado cero
Los números reales 3 , -2 , 5.76 , 66
Expresiones Polinómicas
Expresiones Algebraicas
93
« Realice la suma entre los elementos de los siguientes cuadros:
Solución:
Observe que en el primer recuadro existen tres elementos, animales, objetos y/o cosas de
diferente tipo o clase, al igual que en el segundo recuadro. Ahora lo que buscamos es la
tidad total de eleme ase o tipo existen entre los dos recuadros.
ora bien, ¿puedes s icicletas con gatos?, o ¿sumar
erros con bicicletas?. Es evidente que NO.
ro si puedes sum s gatos y perros hay en total, simplemente
que hacemos es agruparlos, así:
4 4 3 to la respuesta a nuestro problema es “ existen 4 bicicletas, 4 gatos y 3 perros ”.
« Sume más
olución:
can ntos que de la misma cl
Ah umar perros y gatos? , o ¿sumar b
p
Pe ar cuántas bicicletas, cuánto
lo
Por lo tan
xxx ++ 23 32 xxx 323 ++ .
S
Aquí no puedes pensar en sumar las ni mucho menos con las x ya que ellas
n del mismo tipo.
c mo se hace?
i asocia este problema con el anterior y lo basa en un principio matemático llamado
cambio de variable tenemos:
23 lascon xx
entre si no so
Entonces, ¿ ó
S
sustitución o
94
Si ; y =3x =2x =x , tenemos que
= sumado a
= por lo tanto su solución es
= 3 4 4 =
« Sume
xxx ++ 23 32
xxx 323 ++
xxx 443 23 ++
xxx 3213 24 ++− con xxx ++ 24
236 .
Solución:
Primero agrupe por términos del mismo tipo y luego aplique la propiedad distributiva.
= [ ] [ ]xxxxxx ++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++− 32
232
2163 44 Agrupando
La propiedad distributiva establece que ( ) acabcba +=+. , nosotros la aplicaremos en el
sentido de la flecha. Así,
= ( ) ( ) xxx 13 23
21 63 24 ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− , Por la propiedad distributiva.
= ( ) ( ) xxx 4 24 3 24 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++ , Operando aritméticamente
=
xxx 4 2 3 24 ++ .
95
Existe otra forma para resolver estos problem ado el método por columnas:
. Ordene los polinomios en for a descendente y luego coloque uno debajo de otro, con
Realice la suma de los términos de cada colum .
as llam
1 m
los términos de la misma clase uno debajo de otro.
2. na
xxx 3 21 3 24 ++−
xxx ++ 3 6 24 2
restar polinomios se procede de la siguiente forma. Reemplace el polinomio restado
or su inverso aditivo y luego proceda a sumarlos. Ejemplo:
Al polinomio restar a .
olución:
xxx 4 2 3 24 ++
Para
p
« 435 4 8 11 xxx +− 345 13 8 6 xxx −+−
S
4 8 xx Operación a realizar.
Aplicando las leyes de los signos.
xxx −+ Agrupando y sumando.
= 511x −+− 43 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+− 345 13 8 6 xxx
= ++− 435 4 8 11 xxx 345 13 8 6 xxx +−
= 17 435 4 5
96
« ( ) ( )2233233 4,0103,5 de 54,0 2,3 yxyxyyxyyx ++−+ Reste
ál esos candidatos sumados o restados da como resultado a
14 9 2222 yxyxyx +=+−
14 9 22 xyxyx −=+−
aso 2:Trinomio de la forma con a , b y c
⎩ × 14 yy
Cu de
a.conmutativ propiedadpor , 14 9 xy−
El candidato encerrado es el único que satisface esa condición, luego
( ) ( ) 2 7 yxy − . ¿ Compruebe el resultado?
C ,2 cbxax ++ ∈Z y
ara explicar el procedimiento lo haremos a través de un ejemplo,
« Factorice el trinom
.0y ,1 ≠≠ cba
P
65 6 2 −− xx . io
Solución:
entado en el ensayo y el error, ya que debemos
uscar candidatos que satisfagan:
Este proceso de factorización está fundam
cuadrar o b
118
ltiplicarlos den el primer término.
o, dos factores que al multiplicarlos den el tercer término.
umar o restar el producto de los
extremos debe
cnica de si es posible.
Primer término Tercer término
⎪⎩
⎨=xx . 6
6
Primero, dos factores que al mu
Segund
Tercero, los candidatos escogidos anteriormente al s
n dar el término central.
Importante: Primero aplique la té l ... CFM
6 − xx 2 6 5 −
Candidatos a utilizar:
( )( )( )( ) ⎪
⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
×−×−×−×−
=−
3 2 2 3 6 1 1 6
6 ⎪⎫
⎪⎧ xx 2 . 3
2x⎪⎭
⎬
ino Tercer término
recer factores que lo posean, es
a
Primer térm
El trinomio no tiene ... CFM por lo tanto no pueden apa
decir la factorización no puede ser de la form ( ) ( ) 65 6 2 axx =−− , con R.
robando candidatos:
na ya que el factor
∈a
P
( ) ( ) 12 6 365 6 2 +−=−− xxxx
No funcio ( ) ( ) 2 3 63 −=− xx es decir existía
)No funciona ya que el factor
... CFM
( ) ( 62 1 365 6 2 +−=−− xxxx
( ) ( ) 3 2 62 +=+ xx es decir existía
)
... CFM
( ) ( 32 2 365 6 2 +−=−− xxxx
119
Esa combinación es la más adecuada ya que esos factores no tienen Multiplica los
extremos para comprobar si no aparece tendrá otra
portunidad para probar, esta es dejando los números en la misma posición y permutando
eros también?
... CFM
si aparece o no el término central,
o
sus signos. ¿Por qué no podemos permutar los núm
( ) ( ) 32 2 365 6 2 +−=−− xxxx
- 4x
9x
La suma del producto de los extremos esta dando como resultado 9 -4x = 5x, pero el término central debe dar -5x.Permutemos los signos para ver lo que pasa.
( ) ( ) 32 2 365 6 2 −+=−− xxxx
4x
- 9x
nto la factorización es:
)2 −+=−− xxx
mplos,
io
Solución
por lo ta
6 x( ) ( 32 2 365
Otros eje
« Factorice el trinom 1519 6 2 ++ xx .
:
xx . 62
×1 3
15
existe ningún por lo tanto no pueden aparecer factores que lo
. Se excluyen os candidatos negativos par a que al sumar números negativos
ner el resultado positivo y el término central es positivo.
) ++ xx , multiplicando los extremos
10
9x
Candidatos a utilizar:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ xx 2 . 3
=x6⎭⎬⎫
⎩⎨ ×
= 15
⎧ 5
En el trinomio no ... CFM
posean l a el 15 y
nunca va a obte
( 1519 6 2 =++ xx ) (
x
Ahora sí la sumextrem su
a del producto de los os da como re ltado el
ino central 4x-9x = -5x. térm
3 5 2 3
x
120
Compruebe que la suma del producto de los extremos da como resultado el término central.
Así la factorización es:
2 53 15196 +=++ xx
ice el trinomio 12 2 +x .
ión
2x ( ) ( ) 3+x
« Factor 4245− x
Soluc :
un = 3, luego Ese trinomio tiene ... CFM
( ) 14 15 4 3 245 2 +−=+ xxx
a s a utilizar:
2
4 12 2−x
Candid to
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=xx
xxx
. 4 2 . 2
4( ) ( )( ) ( ) ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
××
=+ 1- 14- 2- 7-
14
ir ya que con ellos jamás obtendrá el
rmino central. Así,
Los candidatos positivos para +14 los puede omit
té
( ) ( ) ( ) 2 74 1415 4 3 2 −−=+− xxxx .
o tante... do trinomio es factorizable en el conjunto de los números enteros por ejemplo:
222 ++−−−− xxxxxx No se pueden
s se pueden factorizar utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática, la cual es:
3
Imp rNo to
.256 , 643 , 1 , 12 −+ xx
factorizar en ese conjunto.
Ello
a
acbbx2
4 2 −±−= ♣
121
Un ejemplo de la utilización de esta fórmula.
« Factorice e 65 6 2 −− xx . l trinomio
oluciónS :
Los valores de a ,b y c son : 6 , 5 , 6 −=−== cba , ya que
6 4 3 2 −− xx , sustituyendo en la fórmula cuadrática
a b c
( ) ( ) ( ) ( )( ) 12
169 512
14425 5 6 2
6 6 4 5 5 2 ±=
+±=
−−−±−−=x , luego
1213 5 ±
=x de aquí obtend emr os dos valores
⎟⎠⎝ 2212⎞
⎜⎛ −=
+=
3 esfactor primer el así , 3 13 51 xx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−= fasegundo el así , 13 5
2x 32 esctor x
Luego, la factorización es
12
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−−
32
23 65 6 2 xxxx
uma o diferencia de cubos, consiste en evaluar si un polinomio es de la forma
, es decir que posea dos términos y que ellos estén elevados
al cubo. Para el logro de ese objetivo utilizaremos ciertos arreglos o reglas matemáticas.
S33 ó 33 baba −+
Luego utilizamos la fórmula
♣ Esta fórmula aparece del despeje de la variable x en la expresión . 0 2 =++ cxbxa
122
) ( ) ( 33 aba +=+ 22 babab +−
( ) ( ) 2233 babababa ++−=−
jemplo:
Factorice completamente a .
E
« 27 3+x
Solución:
Descomponiendo al 27 en sus factores primos tenemos,
de suma de cubos 333 3 27 +=+ xx , aplicando la fórmula
( ) ( ) 93 3 3 27 2333 +−+=+=+ xxxxx
Luego, la factorización es ( ) ( ) 93 3 27 23 +−+=+ xxxx
« Factorice completamente a 1 3−a .
Solución:
Sabemos que , luego
, aplicando la fórmula de diferencia de cubos
113 =
333 1 1 −=− aa
( ) ( ) 1 1 1 1 2333 ++−=−=− aaaaa
uego, la factorización es
L
( ) ( ) 1 1 1 23 ++−=− aaaa
« Factorice completamente a .
olución
99 yx −
S :
plicando la propiedad de los exponentes de potencia de una potencia tenemos,
A
( ) ( ) 333399 yxyx −=− , aplicando la fórmula de diferencia de cubos
s números son muy fáciles de conseguir con la ayuda del Triángulo de Pascal♣
l aremos la forma de construir este maravilloso triángulo.
Esto
Exp ic
♣ Pascal, Blaise : Matemático,físico , filósofo y escritor francés. Nació en Ferrand en 1623 y murió en París en 1662. Inventó la primera máquina de calcular, fue uno de los iniciadores del cálculo de la probabilidades y combinatorio, él llamaba a este triángulo el “ Triángulo Aritmético ” .
146
Primero constrúyase un triángulo donde los bordes sean solamente unos, así
1
1 1 1 1
Donde queden cuadros vacíos entre número y número se deberán sumar y ese resultado se
ajo de esa respectiva casilla. Por ejemplo:
1
colocará deb
1 .+ 1 1 .+ 2 .+ 1
Agregemósle más filas a este triángulo y complete las casillas según usted considere haga