Libro Domini

7/25/2019 Libro Domini

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COME TROVARE IL DOMINIOCOME TROVARE IL DOMINIO

DI UNA FUNZIONEDI UNA FUNZIONE

Ebook con spiegazioni, esempi,

numerosi esercizi

con risoluzione commentata

Mariairene Guagnini

http://www.mathematice.it/




www.mathematice.it

Prima edizione: gennaio 201

!ito web: www.mathematice.it

"ontatti: redazione#mathematice.it

$a presente opera % rilasciata secondo la licenza "reati&e "ommons

'ttribuzione ( )on commerciale ( )on opere deri&ate *.0 +talia $icense

Per leggere una copia della licenza &isitare il sito web

http:creati&ecommons.orglicensesb-ncnd*.0deed.it



mailto:[email protected]

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.it


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http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.it




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+)/+"E

!chema generale condizioni di esistenza unzioni di &ariabile reale pag.

"ome si tro&a il dominio di una unzione. 'lcune indicazioni pag.

Esercizi di base pag 10

isultati degli esercizi di base pag 11

!&olgimento degli esercizi di base pag 1

Esercizi pag 13

isultati degli esercizi pag 20

!&olgimento degli esercizi pag 2





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SCHEMA GENERALE

CONDIZIONI DI ESISTENZA

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

indice

4 unzioni polinomiale. )essuna condizione

esempi: x*− x3 5 y=− x−√ * x+π 5 f x =

* x−2* 6−1

Esistono per ogni &alore reale di x.

4 unzioni razionali ratte. "ondizione esistenza: denominatore 7 0

esempio : y=2 x−*

2−6 x. "ondizione di esistenza: 2−6 x≠0 x≠

2

6

4 radici di indice pari. "ondizione esistenza: radicando 8 0

esempio : f x = 2 x * . "ondizione di esistenza: 2 x*≥0 x≥−*

2

4 radici di indice dispari. )essuna condizione

esempio : y=6 2 x* . Esiste per ogni &alore reale di x.

4 &alore assoluto. )essuna condizione

esempio : y=∣− x2∣ . Esiste per ogni &alore reale di x.





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4 esponenziali a base costante maggiore di zero. )essuna condizione

esempio : y=2 x . Esiste per ogni &alore reale di x.

4 esponenziali a base &ariabile. "ondizione esistenza: base 9 0

esempio : y= x−2 x2−* x . "ondizione di esistenza: x−20 x2

4 logaritmi a base costante positi&a e di&ersa da 1. "ondizione esistenza: argomento 9 0

esempio : f x =log2 6 x * . "ondizione di esistenza: 6 x *0 x− *6

4 logaritmi a base &ariabile. "ondizioni di esistenza: argomento 9 0 base 9 0 base 7 1.

esempio : y=log x−2 x .

"ondizioni di esistenza: { x>0

x−2>0 x −2≠1

→ { x>0

x>2 x ≠*

→ 2< x <*∨ x >*

4 seno, coseno. )essuna condizione

esempi : f ( x )=sin(2 x+π) y=cos * x . Esistono per ogni &alore reale di x.

4 tangente ;con argomento in radianti<.

"ondizione di esistenza: argomento≠ π2

+k π con k ∈ℤ ;cio% k =0,±1,±2,...<

esempio: tan (2 x+π

*

) .

"ondizione di esistenza: 2 x+ π*

≠ π2

+k π → 2 x≠ π=

+k π → x≠ π12

+k π2

k ∈ℤ





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4 cotangente ;con argomento in radianti<.

"ondizione di esistenza: argomento≠k π con k ∈ℤ ;cio% k =0,±1,±2,...<

esempio: cot(2 x+ π

) .

"ondizione di esistenza: 2 x+ π

≠k π → 2 x≠−π

+k π → x≠−π3

+k π2

k ∈ℤ

4 arcoseno, arcocoseno. "ondizioni di esistenza −1≤argomento≤1 cio%

{argomento≥−1

argomento≤1

esempio: arcsin *− x

"ondizioni di esistenza {*− x≥−1

*− x≤1→ {− x≥−

− x≤−2→ { x≤

x≥2→ 2≤ x≤

4 arcotangente, arcocotangente. )essuna condizione.

esempio : y=arctan *− x . Esiste per ogni &alore reale di x.





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COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

ALCUNE INDICAZIONI

indice

+l dominio ;campo di esistenza insieme di deinizione< di una unzione f ( x ) % l>insieme dei

&alori x per cui esiste la unzione.

Generalmente si de&e tro&are il dominio di una unzione ormata a partire da pi? unzioni base.

Esempi: y=sin x+ ln x ;somma di due unzioni<

y=ln(sin x) ;composizione di due unzioni<

4 Casi frequenti

@unzione /ominio della unzione

f ( x )± g ( x) /ominio f ( x ) ∩ /ominio g ( x)

f ( x )⋅ g ( x ) /ominio f ( x ) ∩ /ominio g ( x)

k ⋅ f ( x) con k ≠0 /ominio f ( x )

f ( x) g ( x)

/ominio f ( x ) ∩ /ominio g ( x) ∩ A x∈ℝ : g ( x )≠0 B





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4 Funzini !"#ste.

Cccorre analizzare la unzione come negli esempi seguenti.

Ese"#i $. y=√ ln x

$o schema di composizione % x →logaritmo

ln x →radice

√ ln x .

$e condizioni di esistenza sono { x>0 esistenza logaritmo

ln x≥0 esistenza radice

Ese"#i %. y=ln (arcsin x)

$o schema di composizione % x →arcoseno

arcsin x →logaritmo

ln(arcsin x ) .

$e condizioni di esistenza sono {−1≤ x≤1 esistenza arcoseno

arcsin x>0 esistenza logaritmo

4 Cnsi&'i i"#rtanti(

)$* )on modiicare la unzione senza a&er prima posto tutte le condizioni di esistenza.

Ese"#i +: il dominio della unzione f ( x )=log( x−2)+log( x+*) % D=(2 5+∞) .

!e, prima di tro&are il dominio, applico la prima proprietD dei logaritmi ottengo

f ( x )=log [( x−2)( x+*)] e posso erroneamente pensare che il dominio sia

D=(−∞5−*)(2 5+∞)

)%* !cri&ere prima, con cura, tutte le condizioni di esistenza e solo successi&amente s&olgere i

calcoli relati&i a tali condizioni.





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4 Ese"#i

Ese"#i ,. log* x 2− x

$a unzione data % la somma di due unzioni: il logaritmo e la radice uadrata.

{* x>0 esistenza logaritmo

2− x≥0 esistenza radice→ { x>0

− x≥−2→ { x>0

x≤2→ 0< x≤2

)F. 'ttenzione agli H I .

Ese"#i -. f x = *− x

x2−* x

$a unzione data % il rapporto di una radice uadrata e di un polinomio

*− x≥0 esistenza radice

x2−* x≠0 esistenza razione

→ { x≥*

x≠0! x≠*→ x>*

Ese"#i .. f x = *− x

x−6

$a unzione data % la radice uadrata di una razione.

{*− x

x−6≥0 esistenza radice

x−6≠0 esistenza razione

→ {*≤ x<6

x≠6→ *≤ x<6

Osser/azine su''a 0efinizine 0i 0"ini

)ella ricerca del dominio occorre are attenzione al caso in cui la unzione ha delle limitazioni

nella deinizione.

Ese"#i 1.

E> data la unzione { f ( x )= x2− x

1≤ x<*. +l polinomio esiste sempre, ma ci sono le condizioni

aggiunti&e nella deinizione della unzione. Juindi il dominio % D=K15*< .





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ESERCIZI DI BASE

indice

!&olgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli s&olgimenti proposti dal

testo.

1< y=* x2− risultato esercizio 1 s&olgimento esercizio 1

2< y= x − 2− x risultato esercizio 2 s&olgimento esercizio 2

*<

2− x

√ x +*

risultato esercizio * s&olgimento esercizio *

< y=√ 2−√ 1− x risultato esercizio s&olgimento esercizio

6< y=sin √ x risultato esercizio 6 s&olgimento esercizio 6

=< y= sin x

cos(2 x− π

)risultato esercizio = s&olgimento esercizio =

< y=tan( x −) risultato esercizio s&olgimento esercizio

3< y=∣sin x∣ risultato esercizio 3 s&olgimento esercizio 3

L< y= √ x∣ x−2∣

risultato esercizio L s&olgimento esercizio L

10< y=ln ( x2−* x ) risultato esercizio 10 s&olgimento esercizio 10

11< y=cot (π x ) risultato esercizio 11 s&olgimento esercizio 11

12< arccos( x2−*) risultato esercizio 12 s&olgimento esercizio 12





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RISULTATI DEGLI ESERCIZI DI BASE

indice

Risu'tat eser!izi $

$a unzione y=* x2− esiste per ogni &alore di x∈ℝ . D=ℝ .

s&olgimento esercizio 1 esercizi di base

Risu'tat eser!izi %

$a unzione y=√ x−√ 2− x esiste per 0≤ x≤2 . D=[ 052] .


Risu'tat eser!izi +

$a unzione

2− x

x* esiste per x>−* . D=;−* 5+∞ < .

s&olgimento esercizio * esercizi di base

Risu'tat eser!izi 2

$a unzione y= 2− 1− x esiste per −*≤ x≤1 . D=[−*51] .

s&olgimento esercizio esercizi di base

Risu'tat eser!izi ,

$a unzione y=sin x esiste per x≥0 . D=K0 5+∞ < .






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Risu'tat eser!izi -

$a unzione y=

sin x

cos(2 x− π

) esiste per x≠*

3π+k π

2 , k ∈ℤ . ℝ "A

*

3π+k π

2 , k ∈ℤ B

s&olgimento esercizio = esercizi di base

Risu'tat eser!izi .

$a unzione y=tan x− esiste per x≠+ π2

+k π , k ∈ℤ . ℝ " A + π2

+k π , k ∈ ℤB

s&olgimento esercizio esercizi di base

Risu'tat eser!izi 1

$a unzione y=∣sin x∣ esiste per ogni &alore di x ∈ℝ . D=ℝ .


Risu'tat eser!izi 3

$a unzione y= x∣ x−2∣

esiste per 0≤ x#2∨ x 2 . D=K0 52 <; 2 5+∞ < .

s&olgimento esercizio L esercizi di base

Risu'tat eser!izi $4

$a unzione y=ln x2−* x esiste per x#0∨ x* . D=;−∞ 50 <; *5+∞ < .






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Risu'tat eser!izi $$

$a unzione y=cot (π x ) esiste per x≠k , k ∈ℤ . D=ℝ "ℤ


Risu'tat eser!izi $%

$a unzione arccos x2−* esiste per −2≤ x≤− 2∨ 2≤ x≤2 .

D=K−2 5−√ 2MK √ 252M .






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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DI BASE

indice

S/'&i"ent eser!izi $

$a unzione y=* x2− % la radice cubica di un polinomio. +l polinomio non ha condizioni di

esistenza5 la radice cubica % di indice dispari e uindi non presenta condizioni di esistenza. +l

dominio ;campo di esistenza insieme di deinizione< % uindi ormato da tutti i numeri reali.

D=ℝ .

esercizi di base

S/'&i"ent eser!izi %

Per la unzione y= x− 2− x dobbiamo prendere in esame l>esistenza delle due radici

uadrate:

{ x≥0

2− x≥0 N

{ x≥0

− x≥−2 N

{ x≥0

x≤2 N 0≤ x≤2 N D=[0 52] .

esercizi di base

S/'&i"ent eser!izi +

Per la unzione 2− x x*

dobbiamo prendere i esame l>esistenza della radice uadrata e il atto

che il denominatore de&e essere di&erso da zero:

{ x+*≥0

√ x+*≠0N { x≥−*

x+*≠0N { x≥−*

x≠−*N x−* N D=;−* 5+∞ < .

esercizi di base





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S/'&i"ent eser!izi 2

Per la unzione y= 2− 1− x dobbiamo considerare l>esistenza delle due radici uadrate:

{1− x≥0

2−√ 1− x≥0N

{− x≥−1

−√ 1− x≥−2N

{ x≤1

√ 1− x≤2N

{ x≤1

1− x≤N

{ x≤1

− x≤*N

x≤1

x≥−*N −*≤ x≤1 N D=[−*5 1] .

esercizi di base

S/'&i"ent eser!izi ,

Per la unzione y=sin x l>unica condizione che dobbiamo considerare % uella dell>esistenza

della radice ;perchO ha indice pari<: x≥0 . D=K0 5+∞ < .

esercizi di base

S/'&i"ent eser!izi -

Per la unzione y=

sin x

cos(2 x− π

) l>unica condizione % uella del denominatore di&erso da zero

;seno e coseno esistono perchO hanno come argomento un polinomio<:

cos (2 x− π

)≠0 N 2 x− π

≠ π2

+k π , k ∈ℤ N 2 x≠ π

+ π2

+k π , k ∈ℤ N

2 x≠* π

+k π , k ∈ℤ N x≠* π3

+k π2

, k ∈ℤ N ℝ "A *

3π+k π

2 , k ∈ℤ B .

esercizi di base





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S/'&i"ent eser!izi .

Per la unzione y=tan x− dobbiamo prendere in esame l>esistenza della tangente:

x−≠ π2

+k π , k ∈ℤ N x≠+ π2

+k π , k ∈ℤ N ℝ " A + π2

+k π , k ∈ℤB .

esercizi di base


/ata la unzione y=∣sin x∣ , sin x esiste per ogni x e il &alore assoluto non richiede

condizioni di esistenza N la unzione in esame esiste per ogni x∈ℝ . D =ℝ .

esercizi di base


Per la unzione y= x∣ x−2∣dobbiamo considerare le condizioni dell>esistenza della radice

uadrata e e del denominatore di&erso da zero:

{ x≥0∣ x−2∣≠0

N { x≥0

x−2≠0N { x≥0

x≠2N 0≤ x#2∨ x2 N D=K0 52<; 2 5+∞ < .

esercizi di base

S/'&i"ent eser!izi $4

Per la unzione y=ln x2−* x dobbiamo porre la condizione di esistenza de logaritmo:

x2−* x0 N x#0∨ x* N D=;−∞ 50 <; *5+∞ < .

esercizi di base





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S/'&i"ent eser!izi $$

Per la unzione y=cot (π x ) dobbiamo porre la condizione di esistenza della cotangente:

π x≠k π , k ∈ℤ N x≠k , k ∈ℤ N D=ℝ"ℤ .

esercizi di base

S/'&i"ent eser!izi $%

Per la unzione arccos x2−* dobbiamo porre la condizione di esistenza dell>arcocoseno:

−1≤ x2−*≤1 N {

x2−*≥−1

x2−*≤1

N { x2≥2

x2≤

N { x≤−√ 2∨ x≥√ 2−2≤ x≤2

N

−2≤ x≤− 2∨ 2≤ x≤2 N D=K−2 5− 2 K 252 .

esercizi di base





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ESERCIZI

indice

!&olgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli s&olgimenti proposti dal

testo.

1*< y=arctan x

*− x+*

x2

risultato esercizio 1* s&olgimento esercizio 1*

1< y= log

0.6 x

log0.6 x−1 risultato esercizio 1 s&olgimento esercizio 1

16< y= x+*

2−√ x−1 risultato esercizio 16 s&olgimento esercizio 16

1=< y=(2− x)(1−√ x) risultato esercizio 1= s&olgimento esercizio 1=

1< y=log 2∣*− x∣ risultato esercizio 1 s&olgimento esercizio 1

13< y=ln (e2 x−2 e

x+1) risultato esercizio 13 s&olgimento esercizio 13

1L< y=ln (ln( x)) risultato esercizio 1L s&olgimento esercizio 1L

20< y=ln2 x risultato esercizio 20 s&olgimento esercizio 20

21< y=log x (2− x ) risultato esercizio 21 s&olgimento esercizio 21





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22< y=log x∣2− x∣ risultato esercizio 22 s&olgimento esercizio 22

2*< y=√ tan x risultato esercizio 2* s&olgimento esercizio 2*

2< y=√ 2− x

x−2

x

risultato esercizio 2 s&olgimento esercizio 2

26< y=

x−2 x

√ 2− x risultato esercizio 26 s&olgimento esesercizio 26

2=< y= √ ln x

2 ln x−6 risultato esercizio 2= s&olgimento esercizio 2=

2< y= √ log

0.6

x

2√ log0.6 x−6 risultato esercizio 2 s&olgimento esercizio 2

23< y=arcsin ( log 1

2

x) risultato esercizio 23 s&olgimento esercizio 23

2L< y=arcsin x−arccos(1−2 x2

) risultato esercizio 2L s&olgimento esercizio 2L

*0< y=ln (√ x+1−( x−1)) risultato esercizio *0 s&olgimento esercizio *0

*1< y= sin x

sin2 x

risultato esercizio *1 s&olgimento esercizio *1

*2< y= x

2−sin x

x2−cos x

risultato esercizio *2 s&olgimento esercizio *2





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RISULTATI DEGLI ESERCIZI

indice

Risu'tat eser!izi $+

$a unzione y=arctan x

*− x+*

x2

esiste per x≠0 . D=ℝ" A 0B=;−∞ 50 <; 05+∞ < .

s&olgimento esercizio 1* esercizi


$a unzione y= log0.6 x

log0.6 x−1esiste per 0< x<0.6∨ x>0 . D=;050.6<;0.65+∞ < .

s&olgimento esercizio 1 esercizi

Risu'tat eser!izi $,

$a unzione y= x+*

2−√ x−1esiste 1≤ x <6∨ x >6 . D=K156<; 65+∞ < .


Risu'tat eser!izi $-

$a unzione y=(2− x)(1−√ x)esiste per 0≤ x<2 . D=K0 52 < .

s&olgimento esercizio 1= esercizi

Risu'tat eser!izi $.

$a unzione y=log2

∣*− x∣ esiste per x≠* . D=ℝ"A *B=;−∞ 5* <; * 5+∞ < .






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$a unzione y=ln (e2 x−2e

x+1) esiste per x≠0 . D=ℝ" A 0B=;−∞ 50 <; 05+∞ < .



$a unzione y=ln (ln ( x)) esiste per x>1 . D=;1 5+∞ < .

s&olgimento esercizio 1L esercizi

Risu'tat eser!izi %4

$a unzione y=ln2 x esiste per x>0 . D=;0 5+∞ < .


Risu'tat eser!izi %$

$a unzione y=log x (2− x ) esiste per 0< x<1∨1< x<2 . D=;0 51 <; 1 5 2 < .


Risu'tat eser!izi %%

$a unzione y=log x∣2− x∣ esiste per 0< x<1∨1< x<2∨ x>2 .

D=;0 51 <; 1 5 2 <; 25+∞ < .






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Risu'tat eser!izi %+

$a unzione y=√ tan x esiste per 0+k π≤ x< π2

+k π , k ∈ℤ .

s&olgimento esercizio 2* esercizi


$a unzione y=√ 2− x

x−2

xesiste per x<0∨0< x≤

1

2. D=;−∞ 50 <; 05

1

2 M .

esercizi

Risu'tat eser!izi %,

$a unzione y=

x−2 x

√ 2− x

esiste per x<1

2. D=;−∞ 5

1

2< .

esercizi

Risu'tat eser!izi %-

$a unzione y= √ ln x

2 ln x−6esiste per x≥1! x≠e

62

. D=K15e62 <; e

62 5+∞ < .

esercizi

Risu'tat eser!izi %.

$a unzione y= √ log 0.6 x

2√ log0.6 x−6

esiste per 0< x<0.626

∨0.626

< x≤1 .

D=;050.626 <; 0.6

26 51 M . esercizi





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$a unzione y=arcsin ( log 1

2

x) esiste per1

2≤ x≤2 . D=K

1

25 2 .

esercizi


$a unzione y=arcsin x−arccos(1−2 x2) esiste per −1≤ x≤1 . D=K−151M .

esercizi

Risu'tat eser!izi +4

$a unzione y=ln (√ x+1−( x−1)) esiste per −1≤ x<* . D=K−15*< .

esercizi

Risu'tat eser!izi +$

$a unzione y= sin x

sin2 xesiste per x≠k π

2, k ∈ℤ . ℝ " A k π

2 , k ∈ℤB

esercizi

Risu'tat eser!izi +%

$a unzione y= x2−sin x

x2−cos x

esiste per x≠±$ con $%0.321 .

esercizi





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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI

indice

S/'&i"ent eser!izi $+

$a unzione y=arctan x

*− x+*

x2

% composta nel seguente modo:

x → frazione x

*− x+*

x2

→arcotangente

arctan x

*− x+*

x2 .

$>arcotangente esiste sempre ;se esiste l>argomento<, uindi l>unica condizione % relati&a

all>esistenza della razione: denominatore≠0 → x2≠0 → x≠0 N

D=ℝ" A 0B=;−∞ 50 <; 05+∞ < .

esercizi


$a unzione y= log0.6 x

log0.6 x−1% costituita dal rapporto di due espressioni, in cui compare lo stesso

logaritmo. /obbiamo uindi considerare l>esistenza di uesto logaritmo e porre il denominatore

della razione di&erso da zero.

{ x>0 esistenza logaritmo

log0,6 x−1≠0 denominatore≠0N { x>0

log0.6 x≠1N { x>0

log0.6 x≠ log0.6 0.6N

{ x>0

x≠0.6N 0< x<0.6∨ x>0 N D=;050.6<;0.65+∞ < .

esercizi





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S/'&i"ent eser!izi $,

$a unzione y= x+*

2−√ x−1% costituita dal rapporto di due espressioni e nel denominatore

compare una radice uadrata.

{ x−1≥0 esistenza radice

2−√ x−1≠0 denominatore≠0N { x≥1

√ x−1≠2N { x≥1

x−1≠N

{ x≥1

x≠6N 1≤ x <6∨ x >6 N D=K156<; 65+∞ < .

esercizi

S/'&i"ent eser!izi $-

$a unzione y=(2− x)(1−√ x) % un>esponenziale con base &ariabile. $a base % un polinomio,

l>esponente contiene una radice uadrata.

{2− x>0 cond. base esponenziale

x≥0 esistenza radiceN

{ x<2

x≥0N 0≤ x<2 N D=K0 52 < .

esercizi

S/'&i"ent eser!izi $.

$o schema di composizione della unzione y=log 2∣*− x∣ %:

x → polinomio

*− x →valoreassoluto

∣*− x∣ →logaritmo

log2∣*− x∣ .

Polinomio e &alore assoluto di polinomio non richiedono condizioni, uindi dobbiamo porre solo

la condizione di esistenza del logaritmo:

∣*− x∣>0 N *− x≠0 N x≠* N D=ℝ" A *B=;−∞ 5* <; * 5+∞ < .

esercizi





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/ata la unzione y=ln (e2 x−2e

x+1) , i due esponenziali esistono per ogni x, uindi dobbiamo

porre solo la condizione di esistenza del logaritmo:

e2 x−2e

x+1>0 N (e x−1)2>0 N e

x−1≠0 N e x≠1 N e

x≠e0

N x≠0 N

D=ℝ" A 0B=;−∞ 50 <; 05+∞ < .

esercizi


$o schema di composizione della unzione y=ln (ln ( x)) % :

x →logaritmo

ln x →logaritmo

ln (ln x ) .

/obbiamo porre le condizioni di esistenza dei due logartimi

{ x>0 esistenza primo logaritmo

ln x>0 esistenza secondo logaritmoN { x>0

ln x>ln 1N { x>0

x >1N x>1 N

D=;1 5+∞ < .

esercizi

S/'&i"ent eser!izi %4

$o schema di composizione della unzione y=ln 2 x %:

x →logaritmo

ln x →quadrato

( ln x)2 .

$>unica condizione che dobbiamo porre % uella relati&a all>esistenza del logaritmo ; il uadrato

esiste sempre se esiste la sua base<: x>0 N D=;0 5+∞ < .

esercizi





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S/'&i"ent eser!izi %$

$a unzione y=log x (2− x ) % un logaritmo, a base &ariabile, di un polinomio.

{ x>0! x≠1 cond. base logaritmo

2− x>0 cond. argomento logaritmoN

{ x>0! x≠1

x<2N 0< x<1∨1< x<2 N

D=;0 51 <; 1 5 2 < .

esercizi

S/'&i"ent eser!izi %%

$a unzione y=log x∣2− x∣ % un logaritmo a base &ariabile.

{ x>0! x≠1 cond. base logaritmo∣2− x∣>0 cond. argomento logaritmo

N { x>0! x≠1

2− x≠0N { x>0! x≠1

x≠2N

0< x<1∨1< x<2∨ x>2 N D=;0 51 <; 1 5 2 <; 25+∞ < .

esercizi

S/'&i"ent eser!izi %+

$o schema di composizione della unzione y=√ tan x %:

x →tangente

tan x →radicequadrata

√ tan x .

{ x≠

π2+k π , k ∈ℤ esistenza tangente

tan x≥0 cond. esistenza radiceN

{ x≠ π

2+k π , k ∈ℤ

0+k π≤ x< π2

+k π , k ∈ℤN

0+k π≤ x< π2

+k π , k ∈ℤ . D=A x ∣ k π≤ x< π2

+k π , k ∈ℤB

&ideo tan;<9H0

esercizi


http://www.mathematice.it/filmati/disequazione%20tangente.mov

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$a unzione y=√ 2− x

x−2

x% il rapporto di due espressioni e il numeratore presenta una radice

uadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.

{2− x≥0 esistenza radice uadrata

x−2

x≠0 denominatore di&erso da zeroN {

x≤2

x≠2

x N {22 x≤2

1

22 x≠2

x N2 x≤1

2 x ≠ xN

{ x≤1

2

x≠0

N x<0∨0< x≤1

2N D=;−∞ 50 <; 05

1

2 .

esercizi

S/'&i"ent eseser!izi %,

$a unzione y=

x−2 x

√ 2− x

% il rapporto di due espressioni e il denominatore presenta una radice

uadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.

{2− x≥0 esistenza radice Euadrata

2− x≠0 condizione denominatore

N {2− x≥0

2− x≠0

N 2− x>0 N

x<2 N

22 x<2

1 N 2 x<1 N x<1

2N D=;−∞ 5

1

2< .

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S/'&i"ent eser!izi %-

$a unzione y= √ ln x

2 ln x−6% il rapporto di due espressioni, il denominatore presenta una radice

uadrata e compare due &olte ln x .

{ x>0 condizione esistenza logaritmo

ln x≥0 condizione esistenza radice2 ln x −6≠0 condizione denominatore

N { x>0

ln x≥ln 1

ln x≠6

2

N { x>0

x ≥1

ln x≠6

2 ln e

N

{

x>0 x≥1

ln x≠ ln e

6

2

N

{

x >0 x≥1

x≠e

6

2%12.13

N x≥1! x≠e62

N D=K15e62 <; e

62 5+∞ < .

esercizi

S/'&i"ent eser!izi %.

$a unzione y= √ log 0.6 x

2√ log0.6 x−6 % un rapporto e compare due &olte √ log0.6 x .

{ x>0 condizione esistenza logaritmo

log0.6 x≥0 condizione esistenza radice

2√ log0.6 x−6≠0 condizione denominatore

N { x >0

log0.6 x≥ log0.61

√ log0.6 x≠6

2

N

{ x>0

x≤1 ;base minore di 1<

log0.6 x≠26

N

{ x >0

x≤1

log0.6 x≠26

log0.6 0.6

N

{ x>0

x≤1

log0.6 x≠ log0.6 0.6

26

N

{ x>0 x ≤1

x≠0.6

26

%0,01*

N 0< x<0.626

∨0.626

< x≤1 N D=;050.626

<; 0.626

51 M .

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$o schema di composizione della unzione y=arcsin ( log 1

2

x) %:

x →

logaritmo

log 12 x →

arcoseno

arcsin (log 12 x) .

{ x>0 esistenza logaritmo−1≤log 1

2

x≤1 condizione arcoseno N

x>0

log 1

2

x ≥−1

log 1

2

x≤1

N

x>0

log 1

2

x ≥−log 1

2

1

2

log 1

2

x≤log 1

2

1

2

N

{ x>0

log 1

2

x≥log 1

2

( 12

)−1

x≥1

2

N

x>0

x≤(12

)−1

x≥1

2

N { x>0 x≤2

x≥1

2

N 1

2≤ x≤2 N D=K

1

25 2M .

esercizi


E> data la unzione y=arcsin x−arccos(1−2 x2) .

{−1≤ x≤1 esistenza arcoseno

−1≤1−2 x2≤1 esistenza arcocoseno

N {−1≤ x≤1

1−2 x2≥−1

1−2 x2≤1

N {−1≤ x≤1

−2 x2≥−2

−2 x2≤0

N

{−1≤ x≤1

x2≤1

x2≥0

N−1≤ x≤1−1≤ x≤1

& x∈ℝN −1≤ x≤1 N D=K−151 .

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S/'&i"ent eser!izi +4

E> data la unzione y=ln (√ x+1−( x−1)) .

{ x+1≥0 esistenza radice u.

√ x+1−( x−1)>0 esistenza logaritmo5

{ x≥−1

√ x+1> x−1 ;Q<

66666666

;Q< √ x+1> x−1 5 { x−1<0

x+1≥0∨ { x −1≥0

x+1>( x−1)2 5 { x<1

x≥−1∨ { x≥1

x+1> x2+1−2 x

5

−1≤ x<1 ∨ x≥1

x2−* x<0

5 −1≤ x<1 ∨ { x≥1

0< x<*5 −1≤ x<1 ∨ 1≤ x<* 5

−1≤ x<*

66666666

iprendiamo il sistema iniziale { x≥−1

−1≤ x<*N −1≤ x<* N D=K−15*< (

esercizi

S/'&i"ent eser!izi +$

$a unzione y=sin x

sin2 x% il rapporto di due espressioni. $>unica condizione che dobbiamo

porre % la condizione del denominatore:

sin2 x≠0 5 2 x≠k π , k ∈ℤ 5 x≠k π2

, k ∈ℤ ( D=ℝ " A x=k π2

, k ∈ℤ B

Csser&azione. )on % corretto il seguente procedimento:

y=sin x

sin2 x

5 y=

sin x

2sin x cos x

N y=

1

cos x

N x≠ π2

+k π , k ∈ℤ , perchO non si puR

sempliicare prima di porre le condizioni di esistenza.

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S/'&i"ent eser!izi +%

$a unzione y= x2−sin x

x2−cos x

% il rapporto di due espressioni. $>unica condizione che dobbiamo

porre % la condizione del denominatore:

x2−cos x≠0 N cos x≠ x

2 .

isol&iamo l>euazione associata cos x= x2 con un metodo graico:

&ideo metodo graico

y=cos x

y= x2

x=$ , $'0.321

Juindi la unzione esiste per x≠±$ con $%0.321 .

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