Cap´ ıtulo dos SUMATORIAS 2.1 Definici´on y ejemplos En la definici´ on [1.2.2], presentada en el cap´ ıtulo anterior, fue definido el con- cepto de sumatoria, como este cap´ ıtulo se refiere espec´ ıficamente a ellas, la repetiremos: Definici´on2.1.1 Sea f : N → R, se define la sumatoria desde k =1 hasta k = n de los f (k) del modo siguiente: 1 X k=1 f (k)= f (1) ∧ n+1 X k=1 f (k)= n X k=1 f (k)+ f (n + 1) . Nota: Siendo f : N → R, a la imagen de n mediante f la simbolizaremos por medio de f (n)= a n , con ello la definici´on anterior puede escribirse ahora: Definici´on2.1.2 Dada la funci´ on f : N → R definida por f (n)= a n se define inductivamente la sumatoria desde k = 1 hasta k = n de a k del modo siguiente: 1 X k=1 a k = a 1 , n+1 X k=1 a k = n X k=1 a k + a n+1 Nota: Como veremos, esta forma de definici´on recursiva tiene un significado bien preciso puesto que: 1 X k=1 a k = a 1 , 2 X k=1 a k = 1 X k=1 a k + a 2 = a 1 + a 2 , 3 X k=1 a k = 2 X k=1 a k + a 3 =(a 1 + a 2 )+ a 3 = a 1 + a 2 + a 3 , 27
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Transcript
Capıtulo dos
SUMATORIAS
2.1 Definicion y ejemplos
En la definici´on [1.2.2], presentada en el capıtulo anterior, fue definido el con-
cepto de sumatoria, como este capıtulo se refiere especıficamente a ellas, la
repetiremos:
Definicion 2.1.1 Sea f : N → R, se define la sumatoria desde k = 1hasta k = n de los f(k) del modo siguiente:
1∑
k=1
f(k) = f(1) ∧n+1∑
k=1
f(k) =n∑
k=1
f(k) + f(n + 1) .
Nota:
Siendo f : N→ R, a la imagen de n mediante f la simbolizaremos por mediode f(n) = an, con ello la definicion anterior puede escribirse ahora:
Definicion 2.1.2 Dada la funcion f : N → R definida por f(n) = an sedefine inductivamente la sumatoria desde k = 1 hasta k = n de ak del modosiguiente:
1∑
k=1
ak = a1 ,
n+1∑
k=1
ak =n∑
k=1
ak + an+1
Nota:
Como veremos, esta forma de definicion recursiva tiene un significado bienpreciso puesto que:
1∑
k=1
ak = a1 ,
2∑
k=1
ak =1∑
k=1
ak + a2 = a1 + a2 ,
3∑
k=1
ak =2∑
k=1
ak + a3 = (a1 + a2) + a3 = a1 + a2 + a3 ,
27
y ası sucesivamente. Vemos, entonces que el sımbolo:
Al lado se tiene una disposicion rec-tangular de m ·n numeros colocadosen m filas y en n columnas los que sepueden sumar primero por los filas,luego por las columnas y viceversa,consiguiendose:
m∑i=1
n∑j=1
aij =n∑
j=1
m∑i=1
aij ,
y cumpliendose las propiedades dadas por el siguiente:
33
Teorema 2.3.1 Siendo α, β ∈ R se cumple:
(1)m∑
i=1
n∑j=1
(αaij + βbij) = α
m∑i=1
n∑j=1
aij + β
m∑i=1
n∑j=1
bij .
(2)m∑
i=1
n∑j=1
(ai + bj) = n
m∑i=1
ai + m
n∑j=1
bj .
(3)m∑
i=1
n∑j=1
ai · bj = (m∑
i=1
ai)(n∑
j=1
bj) .
Problema 2.3.1 Calcular la sumatorian∑
i=1
i∑j=1
(2j − 1)
i(i + 1).
Solucion:
Se tiene:
n∑
i=1
i∑
j=1
(2j − 1)i3(i + 1)
=n∑
i=1
1i3(i + 1)
i∑
j=1
(2j − 1) =n∑
i=1
1i3(i + 1)
[i(i + 1)− i] =
=n∑
i=1
1i3(i + 1)
i2 =n∑
i=1
1i(i + 1)
=n∑
i=1
[1i− 1
i + 1
]= 1− 1
n + 1
2.4 Problemas resueltos
Problema 2.4.1 Sabiendo que ak = k(k + 1)(2k + 1)(3k2 + 3k − 1), calcular
el valor de ak+1 − ak y con ello obtener la sumatorian∑
Haciendo 5k2+9k+6 = 0 se tendra 5k2 = −(9k+6) y trabajando por analogıa
se conseguira c = 3, d =3
2, con lo que:
10k3 − 2k2 + 3k + 6
(5k2 − k + 2)(5k2 + 9k + 6)=
3
2· 2k + 1
5k2 + 9k + 6− 1
2· 2k − 1
5k2 − k + 2,
y, por lo tanto, conseguiremos:
3k(10k3 − 2k2 + 3k + 6)
(5k2 − k + 2)(5k2 + 9k + 6)=
1
2·(
3k+1(2k + 1)
5k2 + 9k + 6− 3k(2k − 1)
5k2 − k + 2
),
luego, la sumatoria pedida es:
n∑
k=1
3k(10k3 − 2k2 + 3k + 6)
(5k2 − k + 2)(5k2 + 9k + 6)=
1
2·
n∑
k=1
(3k+1(2k + 1)
5k2 + 9k + 6− 3k(2k − 1)
5k2 − k + 2
).
42
Considerando ahora:
ak =3k(2k − 1)
5k2 − k + 2,
resultara:
ak+1 =3k+1(2k + 1)
5k2 + 9k + 6,
con lo que la sumatoria satisface la propiedad telescopica y, por lo tanto,obtendremos:
n∑
k=1
3k(10k3 − 2k2 + 3k + 6)
(5k2 − k + 2)(5k2 + 9k + 6)=
1
2·(
3n+1(2n + 1)
5n2 + 9n + 6− 1
2
),
es decir:
n∑
k=1
3k(10k3 − 2k2 + 3k + 6)
(5k2 − k + 2)(5k2 + 9k + 6)=
1
4·(
2 · 3n+1(2n + 1)− (5n2 + 9n + 6)
5n2 + 9n + 6
).
Nota:
En general, hasta aquı hemos utilizado la propiedad telescopica. Pues bien, si
se tienen∑
k=1
ak = f(n), entonces∑
k=1
ak = f(`), y, por lo tanto:
a` = f(`)− f(`− 1) , con : f(0) = 0 , (2.1)
que nos dice que:n∑
k=1
[f(k)− f(k − 1)
]= f(n) ,
por lo tanto, si se desea saber si una sumatoria esta bien calculada bastara ocu-par (2.1). Veamos algunos ejemplos.
Problema 2.4.16 Demostrar quen∑
k=1
k =n(n + 1)
2.
Solucion:
Se debe establecer que:
ak =k(k + 1)
2− (k − 1)k
2,
43
lo que es evidente, por lo tanto, se tiene:
n∑
k=1
k =n(n + 1)
2.
Problema 2.4.17 Demostrar quen∑
k=1
k3 =[n(n + 1)
2
]2
.
Solucion:
Se debe establecer que:
ak =[k(k + 1)
2
]2
−[(k − 1)k
2
]2
,
lo que es evidente, por lo tanto, se tiene:
n∑
k=1
k3 =[n(n + 1)
2
]2
.
Nota:
Un ejercicio mas complicado lo constituye la suma de los n primeros terminosde una progresion hipergeometrica. Para ello es previo pasar a la siguiente:
Definicion 2.4.1 Se denomina progresion hipergeometrica a toda suce-sion:
a1, a2, · · · , an, · · ·que satisface:
an+1
an
=an + b
an + c,
donde a, b c ∈ R, b y c no ambos nulos y a + b 6= c.
Problema 2.4.18 Demostrar que si a1, a2, · · · , an, · · · es una progresionhipergeometrica, entonces:
n∑
k=1
ak =(na + b)an − ca1
a + b− c.
44
Solucion:
Aquı se debera demostrar que:
ak =(ka + b)ak − ca1
a + b− c− ((k − 1)a + b)ak−1 − ca1
a + b− c.
Pues bien, partimos del segundo miembro de la expresion anterior, o sea de:
s =(ka + b)ak − ca1
a + b− c− ((k − 1)a + b)ak−1 − ca1
a + b− c,
estableceremos que s = ak; de la definicion anterior resulta:
ak−1 =a(k − 1) + c
a(k − 1) + bak ,
valor que reemplazado en s nos conduce a:
s =
ka + b− [(k − 1)a + b
]a(k − 1) + c
a(k − 1) + b
a + b− cak ,
o sea a:
s =ka + b− [
a(k − 1) + c]
a + b− cak =
a + b− c
a + b− cak = ak ,
por lo tanto, el problema queda resuelto.
Problema 2.4.19 Siendo r 6= 1, calcular la sumatoria:
S =n∑
k=1
k! rk
(1 + r)(1 + 2r) · · · (1 + kr).
Solucion:
Sea
ak =k! rk
(1 + r)(1 + 2r) · · · (1 + nr),
con ello, resulta:
ak+1
ak
=(k + 1)r
1 + (k + 1)r=
kr + r
kr + (r + 1),
45
vemos que los terminos:a1, a2, · · · , an
estan en progresion hipergeometrica con:
a = r , b = r , c = r + 1 ,
en conclusion, por problema anterior, se obtiene:
S =n∑
k=1
k!rk
(1 + r)(1 + 2r) · · · (1 + nr)=
(n + 1)! rn+1
(1 + r)(1 + 2r) · · · (1 + nr)− r
r − 1.
Problema 2.4.20 Siendo r 6= 1, calcular la sumatoria S =n∑
k=1
rk−1 .
Solucion:
Se tiene:
S = 1 + r + r2 + r3 + · · · + rn−1
rS = r + r2 + r3 + · · · + rn−1 + rn
A la primera de estas igualdades le restamos la segunda , obteniendose:
(1− r)S = 1− rn ,
de donde:
S =1− rn
1− r,
o sea:
S =n∑
k=1
rk−1 =1− rn
1− r.
Nota:
Si en esta suma se tiene | r | < 1 se obtiene la serie geometrica, que estudiare-mos en el capıtulo de “Progresiones”, pero adelantamos el resultado:
Si | r | < 1, entonces :∞∑
k=1
ark−1 =a
1− r.
Un caso tıpico es el que entrega el siguiente:
46
Ejemplo 2.4.1∞∑
k=1
(1
2
)k−1
=1
1− 1
2
= 2 .
Problema 2.4.21 Calcular la suma de todos los terminos de:√
5√5 + 1
+
√5
5 +√
5+
√5
5√
5 + 5+ · · ·
Solucion:
En este problema vemos que:
a2 =
√5
5 +√
5=
1√5·
√5√
5 + 1=
1√5a1 ,
y tambien
a3 =
√5
5√
5 + 5=
1√5·
√5
5 +√
5=
1√5a2 ,
y, ası sucesivamente, luego la suma pedida es la de una serie geometrica con
a =
√5√
5 + 1y r =
1√5
< 1, con ello la respuesta estara dada por:
∞∑
k=1
√5√
5 + 1·( 1√
5
)k−1
=
√5√
5 + 1· 1
1− 1√5
=5
4.
Problema 2.4.22 Siendo r 6= 1, calcular la sumatoria S =n∑
k=1
krk−1 .
Solucion:
Se tiene:
S = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + · · · + nrn−1
rS = r + 2r2 + 3r3 + · · · + (n− 1) rn−1 + nrn
A la primera de estas igualdades le restamos la segunda , obteniendose: