-
Introduccin
CONCEPTO: el lgebra es una extensin de la aritmtica en la cual
se desconoce el valor de una de las cantidades con las que se
opera. Es la rama de las matemticas que
estudia estructuras, relaciones y cantidades.
Se trabaja con las mismas reglas que en la aritmtica agregando
un par de conceptos
tales como las formulas y las ecuaciones. En el lgebra se
estudia los nmeros de el modo mas general posible.
En el lgebra los nmeros son representados por smbolos tales como
a,b,x,y
En el lgebra se usan letras para representar nmeros o usamos
letras para la
demostracin de reglas y formulas para mostrarlo de una manera
general que es apta
para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para
cualquier numero existente. Al usar letras para estas formulas
estamos hablando en lenguaje algebraico o
notacin algebraica.
Smbolos algebraicos bsicos:
Suma + Resta -
Multiplicacin x, ( )( ), , Divisin , /
Radicacin Agrupacin ( ), { }, [ ],
Es igual a = Es mayor que >
Es menor que < Es mayor o igual que Es menor o igual que
En el caso de la multiplicacin cuando dos letras se asume que se
esta multiplicando as si tenemos ab estamos diciendo que a esta
multiplicando a b, o en parntesis (a)(b) tambin es a por b. Y la
divisin se puede expresar como una fraccin a/b.
En general una combinacin de smbolos y signos del lgebra
representa a un numero y
se llama una expresin algebraica. Ejemplo:
5abx + 258bx 36ay
La parte de la expresin algebraica que no se encuentra separada
por un signo de suma
o resta se llama trmino
Del ejemplo anterior son trminos: 5abx; 258bx; -36ay
Otros trminos son: -4k; 3x/4mn; 5/3y
Todos los trminos poseen un signo, un coeficiente y una parte
literal, as:
Trmino Signo coeficiente literal -59ax - 59 ax
-
8v + 8 v
xyz + 1 xyz -89 - 89
Cmo aprender lgebra Creado por Oscar Avila, Maluniu, Rosy
Guerra
5 partes:Aprender las reglas bsicas del lgebraComprender las
variablesAprender a resolver ecuaciones mediante el
mtodo de cancelacinMejorar tus habilidades para el
lgebraExplorar los temas de nivel intermedio
Dominar el lgebra es importante para aprender a casi todos los
dems tipos de matemticas en la
escuela secundaria y la preparatoria. Sin embargo, aprender
incluso las habilidades ms bsicas en
lgebra puede ser complicado para los principiantes. Si tienes
dificultades con los temas bsicos de
lgebra, no te preocupes; con una explicacin adicional, algunos
ejemplos sencillos y algunos
consejos para mejorar tus habilidades, pronto podrs resolver los
problemas de lgebra como si
fueras un profesional.
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Parte 1 de 5: Aprender las reglas bsicas del lgebra
1.
1 Revisa tus operaciones matemticas bsicas. Para aprender
lgebra, necesitars conocer las
habilidades matemticas bsicas tales como la suma, la resta, la
multiplicacin y la divisin. Esta
matemtica de escuela primaria es esencial para poder aprender
lgebra. Si no has dominado estas
habilidades, ser difcil abordar los conceptos ms completos que
se ensean en lgebra. Si
necesitas repasar estas operaciones, lee este artculo de wikiHow
que habla acerca de las
habilidades de matemtica bsicas.
-
No es necesario dominar a la perfeccin estas operaciones bsicas
en tu mente para poder resolver
los problemas de lgebra. Muchas clases de lgebra te permitirn
utilizar una calculadora para
ahorrar el tiempo cuando resuelvas estas operaciones simples.
Sin embargo, por lo menos debes
saber cmo realizar estas operaciones sin utilizar una
calculadora para cuando no te permitan
hacerlo.
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2.
2
Conoce el orden de las operaciones. Una de las cosas ms
complicadas acerca de la resolucin
de una ecuacin algebraica como principiante es saber dnde
empezar. Por suerte, existe un orden
especfico para resolver estos problemas: primero resuelve las
operaciones matemticas que estn
entre parntesis, luego los exponentes, la multiplicacin, la
divisin, la suma y, por ltimo, la resta.
Una herramienta para recordar este orden de operaciones son las
siglas PEMDSR. Para recapitular,
el orden de las operaciones es el siguiente:
Parntesis
Exponentes
Multiplicacin
Divisin
Suma
-
Resta
En lgebra, el orden de las operaciones es importante porque
realizar estas operaciones en un
problema algebraico en el orden incorrecto a veces puede afectar
la respuesta. Por ejemplo, en este
problema matemtico 8 + 2 5, si sumamos 2 a 8 primero,
obtendremos 10 5 = 50, pero si
multiplicramos 2 y 5 primero, obtendremos 8 + 10 = 18. Solo la
segunda respuesta es la correcta.
3.
3 Aprende a utilizar los nmeros negativos. En lgebra, es comn
utilizar nmeros negativos, de
modo que es sensato revisar informacin sobre cmo sumar, restar,
multiplicar y dividir nmeros
negativos antes de comenzar a aprender lgebra. Estos son algunos
elementos bsicos sobre los
nmeros negativos que debes tener en cuenta; si necesitas ms
informacin, busca en Internet
artculos sobre cmo sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros
negativos.
En una recta numrica, una versin negativa de un nmero est a la
misma distancia del cero como
la versin positiva, pero en la direccin opuesta.
Sumar dos nmeros negativos hace al nmero ms negativo (es decir,
los dgitos sern mayores,
pero dado que el nmero es negativo, cuenta como menor).
Dos signos negativos se cancelan, ya que restar un nmero
negativo es lo mismo que sumar uno
positivo
Multiplicar o dividir dos nmeros negativos da una respuesta
positiva.
Multiplicar o dividir un nmero positivo y uno negativo da una
respuesta negativa.
-
4.
4
Aprender a ordenar problemas extensos. Si bien los problemas
algebraicos simples pueden ser
fciles de resolver, los ms complicados pueden requerir muchos
pasos. Para evitar errores, mantn
tu trabajo organizado al comenzar en una lnea nueva cada vez que
contines con la resolucin del
problema. Si lidias con una ecuacin de dos lados, escribe todos
los signos igual (=) debajo uno del
otro. De esta manera, si cometes un error en algn punto, ser
mucho ms fcil encontrarlo y
corregirlo.
Por ejemplo, para resolver la ecuacin 9/3 -5 +3 4, podramos
organizar el problema as:
9/3 - 5 + 3 4
9/3 - 5 + 12
3 - 5 + 12
3 + 7
10
Parte 2 de 5: Comprender las variables
-
1.
1 Busca los smbolos que no sean nmeros. En lgebra, comenzars a
ver letras y smbolos que
aparecen en tus problemas matemticos en lugar de solo nmeros.
Estos reciben el nombre de
variables. Las variables no solo son tan confusas como podran
parecer el principio, sino que son
formas de mostrar nmeros con valores desconocidos. Estos son
algunos ejemplos comunes de las
variables en lgebra:
Las letras como x, y, z, a, b y c
Las letras griegas como theta o
Ten en cuenta que no todos los smbolos son conocidos como
variables. Por ejemplo, pi, o ,
siempre es igual a 3,1459.
-
2.
2 Piensa en las variables como en nmeros desconocidos. Como se
mencion anteriormente,
las variables son bsicamente nmeros con valores desconocidos. En
otras palabras, hay un
nmero que puede colocarse en el lugar de la variable para hacer
que la ecuacin funcione. Por lo
general, en un problema algebraico tu objetivo es averiguar el
valor de la variable. Piensa en ello
como en un nmero misterioso que intentas descubrir.
Por ejemplo, en la ecuacin 2x + 3 = 11, x es nuestra variable.
Esto significa que hay un valor que va
en el lugar de x para hacer que el lado izquierda de la ecuacin
sea igual a 11. Dado que 2 4 + 3 =
11, en este caso, x = 4.
Una manera sencilla de comenzar a comprender las variables es
reemplazarlas con signos de
interrogacin en los problemas algebraicos. Por ejemplo, podramos
volver a escribir la ecuacin 2 +
3 + x = 9 como 2 + 3 + ? = 9. Esto facilita la comprensin de lo
que tratamos de hacer; solo
necesitamos averiguar qu nmero sumar a 2 + 3 = 5 para obtener 9.
Desde luego, una vez ms la
respuesta es 4.
3.
-
3
Si una variable aparece ms de una vez, simplifcalas. Qu haces si
una variable aparece ms
de una vez en una ecuacin? Si bien esta situacin puede parecer
difcil de resolver, en realidad
puedes tratar a las variables como lo haras con nmeros normales;
es decir, puedes sumarlas,
restarlas etc. siempre y cuando solo combines aquellas que sean
semejantes. En otras palabras, x +
x = 2x, pero x + y no es igual a 2xy.
Por ejemplo, veamos la ecuacin 2x + 1x = 9. En este caso,
podemos sumar 2x y 1x para obtener 3x
= 9. Dado que 3 x 3 = 9, sabemos que x = 3.
Una vez ms ten en cuenta que solo puedes sumar las mismas
variables. En la ecuacin 2x + 1y =
9, no podemos combinar 2x y 1y puesto que las dos variables son
diferentes.
Esto tambin se aplica para cuando una variable tiene un
exponente distinto que otra. Por ejemplo,
en la ecuacin 2x + 3x2 = 10, no podemos combinar 2x and 3x2
puesto que las variables x tienen
exponentes diferentes. Lee el artculoCmo sumar exponentes para
obtener ms informacin.
Parte 3 de 5: Aprender a resolver ecuaciones mediante el mtodo
de
cancelacin
1.
1 Trata de aislar la variable en las ecuaciones algebraicas.
Resolver una ecuacin algebraica
generalmente significa determinar lo que es una variable. Las
ecuaciones algebraicas generalmente
se establecen con nmeros o variables en ambos lados, de la
siguiente manera: x + 2 = 9 4. Para
-
hallar la variable, necesitas aislarla a un lado del signo
igual. Lo que quede en el otro lado del signo
igual ser la respuesta.
En el ejemplo (x + 2 = 9 4), para aislar x en el lado izquierdo
de la ecuacin, deberemos
deshacernos del "+ 2". Para hacerlo, simplemente restaremos 2 de
ese lado, quedndonos con x = 9
4. Sin embargo, para mantener iguales a ambos lados de la
ecuacin, tambin necesitaremos
restar 2 del otro lado. Esto nos deja con x = 9 4 - 2. Siguiendo
el orden de las operaciones, primero
multiplicamos y luego restamos lo que nos da una respuesta de x
= 36 - 2 = 34.
2.
2 Cancela la resta con la resta (y viceversa). Como vimos
anteriormente, aislar x en un lado del
signo igual generalmente significa deshacerse del nmero que est
a su lado. Para hacerlo,
desarrollamos la operacin opuesta en ambos lados de la ecuacin.
Por ejemplo, en la ecuacin x
+ 3 = 0, dado que vemos un "+ 3" al lado de la x, colocaremos un
"- 3" en ambos lados. El "+ 3" y el
"- 3", aislando x y el "-3" en el otro lado del signo igual, de
esta forma: x = -3.
En general, la suma y la resta son como opuestos, as que efecta
una de ellas para deshacerte de
la otra. Lee lo siguiente:
Para deshacerte de la suma, resta. Ejemplo: x + 9 = 3 x = 3 -
9
Para deshacerte de la resta, suma. Ejemplo: x - 4 = 20 x = 20 +
4
-
3.
3
Cancela la multiplicacin con la divisin (y viceversa). La
multiplicacin y la divisin son
operaciones un poco ms difciles con las que trabajar, pero
tienen la misma relacin de oposicin.
Si ves un " 3" en un lado, lo cancelars al dividir ambos lados
entre 3 y as sucesivamente.
Con la multiplicacin y la divisin, debes efectuar la operacin
opuesta entodos los nmeros del otro
lado del signo igual, incluso si hay ms de uno. Lee lo
siguiente:
Para deshacerte de la multiplicacin, divide. Ejemplo: 6x = 14 +
2 x = (14 + 2)/6
Para deshacerte de la divisin, multiplica. Ejemplo: x/5 = 25 x =
25 5
4.
4
-
Cancela los exponentes al sacar la raz (y viceversa). Los
exponentes son un tema previo al
lgebra bastante avanzado; si no sabes cmo resolverlos, lee el
artculo acerca de resolucin de
exponentes bsicos para obtener ms informacin. Lo opuesto de un
exponente es la raz que
tiene el mismo nmero que l. Por ejemplo, el opuesto del
exponente2 es una raz cuadrada (), el
del exponente 3 es la raz cbica (3) y as sucesivamente.
Puede ser un poco confuso, pero en estos casos, cuando lidias
con un exponente, sacas la raz en
ambos lados. Por el otro lado, cuando lidias con una raz, tomas
el exponente de ambos lados. Lee
lo siguiente:
Para deshacerte de los exponentes, saca la raz. Ejemplo: x2 = 49
x = 49
Para deshacerte de la raz, toma el exponente. Ejemplo: x = 12 x
= 122
Parte 4 de 5: Mejorar tus habilidades para el lgebra
1.
1 Emplea imgenes para hacer que los problemas se vean ms claros.
Si tienes dificultades para
visualizar un problema de lgebra, trata de utilizar diagramas o
imgenes para ilustrar la ecuacin.
Incluso puedes tratar de emplear un grupo de objetos fsicos
(como bloques o monedas) en caso de
que tengas algunos a la mano.
Por ejemplo, resolvamos la ecuacin x + 2 = 3 utilizando cajas
()
x +2 = 3
+ =
En este punto, restaremos 2 de ambos lados al quitar 2 cajas ()
en ambos lados:
+- =-
=, or x = 1
Como otro ejemplo, probemos 2x = 4
-
=
En este punto, dividiremos ambos lados entre dos al separar las
cajas en cada lado en dos
grupos:
| =|
= o x = 2
2.
2 Emplea marcas de sentido comn (sobre todo para problemas con
palabras). Al convertir un
problema con palabras en lgebra, revisa tu frmula al reemplazar
valores simples para la variable.
La ecuacin tiene sentido cuando x=0? Cuando x=1? Cuando x = -1?
Es fcil cometer errores
simples al escribir p=d/6 cuando lo que quieres decir es p=d/6,
pero sern fciles de detectar si
haces una revisin rpida de tu trabajo antes de proseguir.
Por ejemplo, supongamos que nos dicen que una cancha de ftbol
mide 27,5 m (30 yardas) ms de
largo que de ancho. Utilizamos la ecuacin l = w + 27,5 para
representar el problema. Podremos
evaluar si esta ecuacin es vlida al reemplazar valores simples
para w. Por ejemplo, si la cancha de
ftbol es w = 9 m (10 yardas) de ancho, ser 9 + 27,5 = 36,5 m (40
yardas) de largo. Si tiene 27,5 m
(30 yardas) de ancho, ser 27,5 x 27,5 = 55 m (60 yardas) de
largo, etc. Esto tiene sentido;
esperaramos que la cancha fuera ms larga o que ancha, as que
esta ecuacin es lgica.
-
3.
3 Ten en cuenta que en lgebra las respuestas obtenidas no
siempre sern nmeros
integrales. Las respuestas obtenidas en lgebra y en otras formas
avanzadas de matemticas no
siempre sern nmeros enteros y sencillos. Con frecuencia, pueden
ser decimales, fracciones o
nmeros irracionales. Puedes utilizar una calculadora para
resolver estos problemas complicados,
pero ten en cuenta que tu profesor podra pedirte que des la
respuesta en su forma exacta, y no en
forma decimal.
Por ejemplo, supongamos que reducimos una ecuacin algebraica a x
= 12507. Si escribimos
12507 en una calculadora, obtendremos una lista larga de
decimales (adems, dado que la pantalla
de la calculadora no es tan grande, no podr mostrar la respuesta
correcta). En este caso,
podramos querer representar nuestra respuesta con un nmero tan
simple como 12507 o
simplificarla al escribirla en una notacin cientfica.
4.
4
-
Cuando creas haber dominado el lgebra bsica, prueba con
lafactorizacin. Una de las
habilidades ms complicadas en el lgebra es la factorizacin, la
cual es una especia de atajo para
reducir a las ecuaciones complejas a formas ms simples. La
factorizacin es un tema de lgebra
semi avanzado, as que considera la posibilidad de consultar el
artculo indicado lneas arriba en
caso de que tengas problemas para dominarlo. Estos son algunos
ejemplos rpidos para factorizar
ecuaciones:
Las ecuaciones que tengan la forma ax + ba se factorizan a a(x +
b). Ejemplo: 2x + 4 = 2(x + 2)
Las ecuaciones que tengan la forma ax2 + bx se factorizan a
cx((a/c)x + (b/c)) donde c es el nmero
ms grande que se divide entre a y b equitativamente. Ejemplo:
3y2 + 12y = 3y(y + 4)
Las ecuaciones que tengan la forma x2 + bx + c se factorizan a
(x + y)(x + z) donde y z = c y yx +
zx = bx. Ejemplo: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
5.
5 Practica, practica y practica! Para progresar en lgebra (y en
cualquier otra clase de
matemticas), es necesario mucho esfuerzo y repeticin. No te
preocupes; solo presta atencin en
clase, haz todas tus tareas y pdele ayuda tu profesor o a otros
estudiantes siempre que lo necesites,
y as el lgebra ser algo muy sencillo para ti.
-
6.
6
Pdele ayuda tu profesor para que te ayude a entender los temas
difciles de lgebra. Si tienes
dificultades para entender el lgebra, no te preocupes; no es
necesario que lo aprendas por tu
cuenta. Tu profesor es la primera persona a quien debes acudir
con preguntas. Despus de clase,
pdele cortsmente que te ayude. Los buenos profesores
generalmente estarn dispuestos a
explicarte el tema del da en una clase despus de la escuela e
incluso podra darte algunos
materiales de prctica extra.
Si, por alguna razn, tu profesor no puede ayudarte, pregntale
acerca de algunas alternativas de
tutora que haya en tu escuela. Muchas escuelas contarn con algn
tipo de programa extracurricular
que pueda ayudarte a obtener el tiempo y la atencin adicional
que necesitas para dominar el
lgebra. Recuerda que utilizar la ayuda gratuita disponible no es
algo por lo que debas sentir
vergenza, sino que es una seal de que eres lo suficientemente
inteligente como para resolver tu
problema!
Parte 5 de 5: Explorar los temas de nivel intermedio
-
1.
1 Aprende las ecuaciones grficas x/y. Los grficos pueden ser
herramientas valiosas en lgebra
puesto que te permiten mostrar las ideas para las que
normalmente necesitaras nmeros en
imgenes fciles de entender. Por lo general, en el lgebra bsica,
los problemas de grficos estn
restringidos a ecuaciones con dos variables (generalmente x e y)
y se realizan en un grfico simple
en 2D con un eje x y uno y. Con estas ecuaciones, todo lo que
necesitas hacer es darle un valor a x
y resolver y (o viceversa) para obtener dos nmeros que
correspondan a un punto en el grfico.
Por ejemplo, en la ecuacin y = 3x, si le damos el valor de 2 a
x, obtendremos y = 6. Esto significa
que el punto (2,6) (dos espacios a la derecha del centro y seis
espacios por encima del centro) es
parte del grfico de la ecuacin.
Las ecuaciones con la forma y = mx + b donde m y b son nmeros)
sonespecialmente comunes en el
lgebra bsica. Estas ecuaciones siempre tienen una pendiente de m
y cruzan el eje y en y = b.
2.
-
2 Aprende a resolver desigualdades. Qu haces cuando tu ecuacin
no emplea un signo igual?
Pues nada muy diferente de lo que haras normalmente. En el caso
de las desigualdades, las cuales
utilizan los signos como > ("mayor que") y < ("menor que")
se resuelven de manera normal.
Terminars con una respuesta que sea mayor o menor que la
variable.
Por ejemplo, con la ecuacin 3 > 5x - 2, resolveramos de la
misma manera en que lo haramos en
una normal:
3 > 5x - 2
5 > 5x
1 > x, or x < 1.
Esto significa que todos los nmeros menores de 1 sirven para x.
En otras palabras, x puede ser 0, -
1, -2 y as sucesivamente. Si relacionamos estos nmeros en la
ecuacin para x, siempre
obtendremos una respuesta menor que 3.
3. 3
Resuelve las ecuaciones cuadrticas. Un tema algebraico con lo
que muchos principiantes tienen
dificultades para resolver son las ecuaciones cuadrticas. Estas
ecuaciones tienen la forma ax2 + bx
+ c = 0, donde a, b, y c son nmeros (excepto que a no puede ser
0). Estas ecuaciones se resuelven
con la frmula x = -b +/- (b2 - 4ac)/2a . Ten cuidado que el
signo +/- significa que necesitas hallar las
respuestas para la suma y la resta, de modo que tendrs dos
respuestas para estos tipos de
problemas.
Como ejemplo, resolvamos la frmula cuadrtica 3x2 + 2x -1 =
0.
x = -b +/- (b2 - 4ac)/2a
x = -2 +/- (22 - 4(3)(-1))/2(3)
x = -2 +/- (4 - (-12))/6
x = -2 +/- (16)/6
x = -2 +/- 4/6
x = -2 +/- 2/3
x = -2 2/3 y -1 1/3
-
4. 4
Experimenta con el sistema de ecuaciones. Resolver ms de una
ecuacin al mismo tiempo
podra parecer algo muy complicado, pero cuando trabajas con
ecuaciones algebraicas simples no lo
es tanto. Con frecuencia, los profesores de lgebra utilizan un
mtodo grfico para resolver estos
problemas. Cuando trabajas con un sistema de dos ecuaciones, las
soluciones son los puntos en un
grfico que las lneas para ambas ecuaciones se cruzan.
Por ejemplo, supongamos que trabajamos con un sistema que
contenga las ecuaciones y = 3x - 2
and y = -x - 6. Si dibujamos estas dos lneas en un grfico,
obtenemos una lnea que sube en un
ngulo empinado y una que baja en un ngulo leve. Dado que estas
lneas se cruzan en el punto (-
1,-5), esta es una solucin para el sistema.[1]
Si queremos verificar nuestro problema, podemos hacerlo al
reemplazar nuestra respuesta en las
ecuacin del sistema; una respuesta correcta debe funcionar para
ambos.
y = 3x - 2
-5 = 3(-1) - 2
-5 = -3 - 2
-5 = -5
y = -x - 6
-5 = -(-1) - 6
-5 = 1 - 6
-5 = -5
Ambas ecuaciones se cumplen, as que nuestra respuesta es
correcta!
NMEROS NATURALES
Los nmeros naturales son 0, 1, 2, 3, 4..
Podemos distinguir entre:
Nmeros cardinales: se utilizan para contar los elementos de un
grupo: 1, 2, 3, 4
Por ejemplo: 3 manzanas, 17 botellas, 4 nios
Nmeros Ordinales: se utilizan para determinar la posicin que
ocupa un elemento dentro de un conjunto: primero, segundo, tercero,
cuarto
Por ejemplo: La primera camisa, el segundo coche, la cuarta
silla
-
Utilizamos el sistema de numeracin decimal en el que cada 10
unidades forman una unidad de orden superior:
10 unidades = 1 decena
10 decenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidad de millar
10 unidades de millar = 1 decena de millar
OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES: REGLAS DE PRIORIDADES
a) Si en una expresin matemtica hay sumas (restas) y
multiplicaciones (divisiones), primero hay que resolver las
multiplicaciones (divisiones) y luego las sumas (restas).
Ejemplo:
3 + 7 x 8
1 Resolvemos la multiplicacin: 7 x 8 = 56.
2 Luego la suma: 3 + 56 = 59
Ejemplo:
9 6 : 2
1 Resolvemos la divisin: 6 : 2 = 3
2 Luego la resta: 9 3 = 6
b) Si hay multiplicaciones y divisiones se comienza a resolver
empezando por la izquierda. Igualmente, si
hay sumas y restas se comienza a resolver empezando por la
izquierda.
Ejemplo:
3 x 7 x 8
1 Empezamos por la izquierda, resolviendo la primera
multiplicacin:
3 x 7 = 21
2 Luego la segunda: 21 x 8 = 168
Ejemplo:
9 6 + 2
1 Empezamos por la izquierda, resolviendo la resta: 9 - 6 =
3
2 Luego la suma: 3 + 2 = 5
c) Si en la expresin matemtica hay parntesis hay que comenzar
resolviendo los parntesis. Si dentro
de los parntesis hay sumas (restas) y multiplicaciones
(divisiones), aplicamos el orden sealado
anteriormente.
Ejemplo:
-
(5 + 3) x 4 = (8) x 4 = 32
(9 - 3) + (4 x 3) = (6) + (12) = 18
(5 - 3) x (7 - 4) : 3 = (2) x (3) : 3 = 2
d) Si dentro de los parntesis hay otros parntesis, hay que
comenzar resolviendo los parntesis interiores.
Ejemplo:
((15 3) x 4) 1 x ((5 + 3) x 4) = ((12) x 4) 1 x ((8) x 4) =
(48) 1 x (32) = 48 32 = 16
Los Nmeros enteros
Los nmeros enteros son aquellos que no tienen decimales.
Pueden ser positivos: 1, 2, 3....
Puede ser 0
O pueden ser negativos: -1, -2, -3...
Delante de los nmeros positivos normalmente no se coloca ningn
signo (aunque se podra poner el signo " +
"), mientras que delante de los signos negativos siempre se
coloca el signo " - ".
1.- Comparar nmeros enteros Los nmeros positivos son mayores que
los negativos.
Para ver como se comparan los nmeros enteros distinguiremos
entre nmeros positivos y negativos:
a) En los nmeros positivos a media que la cifra es mayor el
nmero es mayor:
7 es mayor que 2
b) En los nmeros negativos es al contrario: si la cifra es mayor
el nmero es menor:
-7 es menor que -2
-
Por lo tanto: (el signo " < " significa "menor que")
... -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 <
4 ...
NUMEROS ENTEROS
Los nmeros enteros incluyen tanto los nmeros naturales que ya
conocemos (0, 1, 2, 3,.), como los nmeros negativos (-1, -2,
-3)
El valor opuesto de un nmero entero es el mismo nmero pero con
el signo cambiado:
El opuesto de -3 es 3 El opuesto de 5 es -5
El valor absoluto de un nmero entero es su valor sin considerar
el signo. El valor absoluto de un nmero entero se expresa |3|.
Ejemplo:
|1| = 1 |-1| = 1
Vemos que un nmero (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor
absoluto.
Al ordenar los nmeros enteros de menor a mayor primero van lo
negativos y luego los positivos:
... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 <
3 < 4 < 5
OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS
a) Suma:
Si todos son nmeros enteros positivos se suman igual que los
nmeros naturales.
(+4) +(+ 5) + (+6) = 15
(*) Hemos puesto los nmeros dentro de parntesis con signos
positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma
realmente se escribira: 4 + 5 + 6 = 15
Si todos son nmeros enteros negativos se suman sus valores
absolutos y al resultado se le pone el signo
negativo.
(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16
Si hay nmeros enteros positivos y negativos:
(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)
Por un lado sumamos los nmeros positivos:
(+ 4) + (+2) = 6
Por otro lado sumamos los nmeros negativos:
(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14
-
Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor
absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor
|6|.
14 6 = 8
El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (-14),
luego:
(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8
b) Resta:
(+4) (+5) (-6)
La resta de nmeros enteros se puede tratar como una suma. Para
ello sustituimos el signo de la resta (-)
por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitucin tenemos
tambin que cambiar el signo del nmero que va restando:
(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se
convierte en (-5).
(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta
se convierte en (6).
La operacin queda como una suma:
(+ 4) + (- 5) + (+ 6)
Ahora procedemos igual que en la suma.
Por un lado sumamos los nmeros positivos:
(+ 4) + (+ 6) = 10
Por otro lado sumamos los nmeros negativos:
(- 5) = - 5
Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de
mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor
absoluto |5|.
10 5 = 5
El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (10),
luego:
4 (5) (-6) = 5
c) Sumas y restas:
(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)
Aquellos nmeros que vayan restando sustituimos el signo de la
resta por el de la suma y al nmero le cambiamos el signo:
(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)
-
Ahora procedemos igual que en la suma.
Por un lado sumamos los nmeros positivos:
(+ 7) + (+ 5) = 12
Por otro lado sumamos los nmeros negativos:
(- 2) + (- 9) = - 11
Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de
mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor
absoluto |11|.
12 11 = 1
El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (12),
luego:
(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1
Veamos otro ejemplo:
(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)
Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el
signo del valor que va restando:
(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)
Sumamos los nmeros positivos:
(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18
Sumamos los nmeros negativos:
(- 2)
Restamos los valores absolutos:
|18| - |2| = 16 Como el minuendo es positivo el resultado es
tambin positivo
d) Multiplicacin
Para multiplicar nmeros enteros se multiplican sus valores
absolutos, como si fueran nmeros naturales, pero a continuacin hay
que prestar atencin al signo del resultado:
Si todos los factores son positivos el resultado es
positivo.
Si hay factores negativos hay que distinguir:
Si el nmero de factores negativos es par el resultado es
positivo.
Si el nmero de factores negativos es impar el resultado es
negativo.
Veamos algunos ejemplos:
-
( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son
positivos)
( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego
el nmero de factores negativos es impar)
(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el
nmero de factores negativos es par, por lo que el resultado es
positivo)
Veamos ms ejemplos:
(+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60
(+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60
(+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60
(- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60
e) Divisin
En la divisin se opera igual que en la multiplicacin de nmeros
enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando
operamos con nmeros naturales, y a continuacin hay que ver el signo
del resultado:
Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o
los dos negativos) el resultado es positivo.
Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y
otro es negativo) el resultado es
negativo.
Ejemplos:
(+8) : (+4) = |8| x |4|= 2
(-8) : (-4) = |8| x |4|= 2
(+8) : (-4) = |8| x |4|= -2
(-8) : (+4) = |8| x |4|= -2
f) Potencia
La base puede ser un nmero entero positivo o negativo, pero el
exponente siempre tiene que ser
positivo.
El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que
con los nmeros naturales, pero hay que prestar atencin al
signo:
Si la base es positiva el resultado siempre es positivo.
Si la base es negativa el signo depende del exponente:
Si el exponente es un nmero par el resultado es positivo
Si el exponente es un nmero impar el resultado es negativo.
-
Multiplicar por tres cifras
Vamos a hacer una multiplicacin: 637 x 284.
Para ello tenemos que realizar 4 pasos:
1er paso:
2do paso:
-
3er paso:
4 paso:
El resultado es:
1.- Propiedad Conmutativa
-
Cuando vamos a multiplicar dos nmeros da igual el orden que
utilicemos:
2 x 3 es igual que 3 x 2
A esta propiedad se le llama propiedad conmutativa.
Veamos otro ejemplos
4 x 6 = 24
6 x 4 = 24
2.- Propiedad asociativa
Si tenemos que multiplicar 3 o ms nmeros:
4 x 5 x 7
Da igual que empecemos:
a) Multiplicando el 1 por el 2, y su resultado lo multipliquemos
por el 3
4 x 5 = 20 (multiplicamos el primero por el segundo)
20 x 7 = 140 (multiplicamos el resultado anterior por el
tercero)
b) Multiplicando el 2 por el 3, y su resultado lo multipliquemos
por el 1
5 x 7 = 35 (multiplicamos el segundo por el tercero)
35 x 4 = 140 (multiplicamos el resultado anterior por el
primero)
Vemos que el resultado es el mismo.
3.- Propiedad distributiva
Para multiplicar una suma por un nmero:
(4 + 3) x 8
Podemos hacerlo de dos maneras:
a) Primero resolvemos la suma y su resultado lo multiplicamos
por el nmero.
4 + 3 = 7 (resolvemos la suma)
7 x 8 = 56 (el resultado de la suma lo multiplicamos por el
nmero)
b) Aplicando la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA que consiste en
multiplicar el nmero por cada elemento de
la suma y a continuacin sumar los resultados.
-
(4 + 3) x 8 = (4 x 8) + (3 x 8)
4 x 8 = 32 (multiplicamos el 8 por el primer miembro de la
suma)
3 x 8 = 24 (multiplicamos el 8 por el segundo miembro de la
suma)
32 + 24 = 56 (sumamos los resultados de las dos multiplicaciones
anteriores)
Vemos que el resultado es el mismo.
Ejercicios
(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro;
doble click vuelve a la posicin original)
1.- Resuelve las siguientes multiplicaciones:
Nmeros Cardinales y Ordinales
Nmeros cardinales y nmeros ordinales
La diferencia entre nmeros ordinales y cardinales es muy
sencilla:
Los nmeros ordinales son aquellos que utilizamos para indicar
una posicin, por
ejemplo: Primero, segundo, tercero, cuarto...
Sin embargo, los nmeros cardinales son los que usamos para
contar y para hacer operaciones como las sumas, restas, divisiones,
multiplicaciones, etc... Por ejemplo:
1,2,3,4...
1.- Nmeros cardinales
-
Los nmeros cardinales son los que utilizamos para contar y para
realizar operaciones aritmticas (suma, resta,
multiplicacin, divisin)
1, 2, 3, , 20, 21, ., 98, 99, 100
Numeros cardinales
Cmo se escriben? Del 20 al 29 se escriben uniendo las dos
cifras
20 = veinte
21 = veintiuno
22 = veintids
23 = veintitrs
24 = veinticuatro
25 = veinticinco
26 = veintisis
27 = veintisiete
28 = veintiocho
29 = veintinueve
30 = treinta
Escritura de los nmeros del 20 al 29
A partir del 31 los nmeros con dos cifras se escriben separando
la primera y la segunda cifra con la conjuncin
y:
31 = treinta y uno
32 = treinta y dos
33 = treinta y tres
34 = treinta y cuatro
35 = treinta y cinco
36 = treinta y seis
37 = treinta y siete
38 = treinta y ocho
39 = treinta y nueve
40 = cuarenta
Los nmeros de tres cifras tambin se escriben separando sus
cifras:
124 = ciento veinticuatro
256 = doscientos cincuenta y seis
Escritura de nmeros del 30 en adelante
Los nmeros cardinales se clasifican en pares e impares:
Son pares los que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8:
Por ejemplo: 6, 14, 28, 36
Son impares los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9
-
Por ejemplo: 7, 15, 23, 39
Nmeros Pares
2.- Nmeros ordinales
Los nmeros ordinales se utilizan para indicar la posicin:
Primero, segundo, tercero,
A cada nmero cardinal le corresponde un nmero ordinal.
1 Primero
2 Segundo
3 Tercero
4 Cuarto
5 Quinto
6 Sexto
7 Sptimo
8 Octavo
9 Noveno
10 Dcimo
Los nmeros ordinales
Ejercicios
(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro;
doble click vuelve a la posicin original)
1.- Emparejar los nmeros cardinales con los nmeros
ordinales:
2.- Formar dos grupos: uno con los nmeros pares y otro con los
nmeros impares
3.- Escribir con letras los siguientes nmeros
-
Los Nmeros Romanos
Los romanos utilizaban las siguientes cifras:
I : vale 1
V: vale 5
X: vale 10
L: vale 50
C: vale 100
D: vale 500
M: vale 1.000
Y combinando estas cifras segn determinadas reglas conseguan
escribir todos los nmeros.
Una de estas reglas deca que algunas de estas cifras se podan
repetir seguidas hasta 3 veces:
Las cifras que s se podan repetir eran:
I / X / C / M
Y las que no se podan repetir eran:
V / L / D
Siguiendo la regla anterior tendramos, por ejemplo:
I: vale 1
II: vale 2
III: vale 3
X: vale 10
XX: vale 20
XXX: vale 30
C: vale 100
CC: vale 200
CCC: vale 300
M: vale 1.000
MM: vale 2.000
MMM: vale 3.000
-
En los nmeros romanos se ponen cifras pequeas al lado de cifras
mayores:
a) Si se ponen a su derecha suman:
VI = 5 + 1 = 6
b) Si se ponen a su izquierda restan:
IV = 5 - 1 = 4
Si una cifra pequea va entre dos cifras mayores,una a su derecha
y otra a su izquierda, por ejemplo:
X I V
Suma I a la X o resta a la V ? Siempre resta al nmero mayor que
tenga a su derecha (en este caso a la V).
Si se escribe una raya encima de un nmero, ese nmero va
multiplicado por 1.000:
_
X
X con una arriba es: 10 x 1.000 = 10.000
__
C
L
C L con una arriba es: 150 x 1.000 = 150.000
Vamos a escribir ahora del 1 al 20 en nmeros romanos:
-
Vamos a ver otros ejemplos:
-
Nmeros Primos y Compuestos
Nmero primo es aquel nmero que tan slo se puede dividir (divisin
exacta) por 1 o por si mismo.
Algunos nmeros primos son; 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
Para ver si un nmero es primo se puede comprobar dividindolo por
2, 3, 5, 7, 11 (es decir, por los nmero primos). Si ninguna de las
divisiones es exacta el nmero es primo.
No hace falta probar con los nmeros que no son primos (4, 6,
8,... ) ya que stos son mltiplos de algn
nmero primo (del 2, o del 3, ), por lo que si la divisin no es
exacta con los nmeros primos tampoco lo ser por sus mltiplos.
Y hasta qu nmero tenemos que llegar con las comprobaciones? En
el momento en el que el cociente de la divisin sea menor que el
divisor se puede parar.
Por ejemplo: queremos ver si 59 es primo:
59 : 2 = 29 (resto 1)
59 : 3 = 19 (resto 2)
59 : 5 = 11 (resto 4)
59 : 7 = 8 (resto 3) 59 : 11 = 5 (resto 4)
El cociente (5) ya es menor que el divisor (11) por lo que
podemos dejar de comprobar y confirmar que
59 es un nmero primo. Los nmeros que no son primos se denominan
nmeros compuestos, y son aquellos que adems de poder dividirse por
1 y por si mismo, se pueden dividir al menos por algn otro
nmero.
El nmero 8 es compuesto porque se puede dividir por 1, 2, 4 y
8.
Todos los nmeros pares son compuestos (excepto el 2), porque
todos ellos se pueden dividir, adems de por 1 y de por si mismo, al
menos tambin por el 2.
COMO AHORRAR TRABAJO PARA SABER SI UN NMERO GRANDE ES PRIMO
a) Si lo hacemos manualmente haciendo divisiones con nmeros
primos cada vez de mayores, paramos en el
momento en que el cociente es menor que el divisor.
Ejemplo:
-
3.38 Descomponer en sus factores primos el nmero 3054:
Como veo que 509 no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 lo divido
por 13, 17, 19, 23:
En las divisiones que tienes encima ves que el cociente siempre
es mayor que el divisor. En este caso, hay que
continuar probando con nmeros primos cada vez mayores en el
divisor hasta que el cociente sea menor que el
nmero que se encuentre en este lugar. Si el resto no es cero ya
puedes decir que el nmero que tienes en el
dividendo es un nmero primo.
Vemos que el cociente 22 es menor que el divisor 23 y el resto
es distinto de cero. Podemos decir que 509 es un
nmero primo.
b) Otra forma para facilitar el trabajo para saber si un nmero
es primo es utilizar la Hoja de Clculo. Los
resultados de las operaciones son instantneas y si el resultado
ves que tiene decimales, pruebas por el siguiente
nmero primo.
c) Si dispones de Internet en el buscador GOOGLE escribes: como
saber si un nmero es primo.
Ahora te diriges a:
descartes.cnice.mec.es/Algebra/divisibilidad/numeros_primos_y_numeros_compues.htm
En la casilla correspondiente escribes un nmero y al instante te
dir si es primo o no.
-
3.39 Vas a descomponer en sus factores primos al nmero 36:
3.40 Descompn en sus factores primos el nmero 225:
3.41 Calcula los factores primos del nmero 2250.
3.42 Cules son los factores primos del nmero 2310?
3.43 Cules son los factores primos del nmero 5929?
3.44 Cules son los factores primos del nmero 44100?
Respuestas:
EL NMERO PRIMO
Es aqul que nicamente tiene como divisores exactos (al dividirlo
por ellos el resto es igual a cero) el 1 y si
mismo.
En cambio, el nmero compuesto es aqul que tiene como divisores
exactos, adems del 1 y de si mismo, otros
nmeros.
Por ejemplo:
El nmero 13 es primo porque slo tiene como divisores exactos el
1 y el 13.
El nmero 8 es compuesto porque tiene otros divisores exactos: 1,
2, 4 y 8.
Algunos nmeros primos son:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
Algunos nmeros compuestos son:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un nmero es divisible por otro cuando el resto es cero.
a) Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cifra par o en
cero.
Por ejemplo:
42 : 2 = 21 (resto = 0)
-
68 : 2 = 34 (resto = 0)
126 : 2 = 63 (resto = 0)
b) Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3
o mltiplo de 3.
Por ejemplo:
63 : 3 = 21 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 63 (6 +3) da 9
que es mltiplo de 3.
138 : 3 = 46 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 138 (1+3+8) da
12 que es mltiplo de 3.
564 : 3 = 188 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 564 (5+6+4)
da 15 que es mltiplo de 3.
c) Un nmero es divisible por 4 cuando sus dos ltimas cifras son
cero o son divisibles por 4.
Por ejemplo:
624 : 4 = 156 (resto = 0) Las dos timas cifras (24) son
divisibles por 4.
740 : 4 = 185 (resto = 0) Las dos timas cifras (40) son
divisibles por 4.
516 : 4 = 129 (resto = 0) Las dos timas cifras (16) son
divisibles por 4.
d) Un nmero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
Por ejemplo:
725 : 5 = 145 (resto = 0) Este nmero termina en 5.
650 : 5 = 130 (resto = 0) Este nmero termina en 0.
385 : 5 = 77 (resto = 0) Este nmero termina en 5.
e) Un nmero es divisible por 9 si al sumar sus cifras el
resultado es mltiplo de 9.
Por ejemplo:
126 : 9 = 14 (resto = 0) La suma de sus cifras (1+2+6=9) es
mltiplo de 9.
369 : 9 = 41 (resto = 0) La suma de sus cifras (3+6+9=18) es
mltiplo de 9.
702 : 9 = 78 (resto = 0) La suma de sus cifras (7+0+2=9) es
mltiplo de 9.
Ejercicios
(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro;
doble click vuelve a la posicin original)
1.- Indica cual de los siguientes nmeros es primo y cual es
compuesto:
-
2.- Responde si es verdadero o falso:
CALCULAR TODOS LOS NMEROS PRIMOS QUE HAY ENTRE LOS 209
PRIMEROS
NMEROS NATURALES
Fue un matemtico llamado Eratstenes, nacido casi 300 aos antes
de Cristo quien ide una forma sencilla
para calcular los nmeros primos.
-
CRIBA DE ERATSTENES:
Antes de comenzar, debes saber que, por criba se entiende un
utensilio, generalmente una malla metlica que se
usa para cribar o limpiar de impurezas el trigo u otras
semillas.
La criba de Eratstenes limpia de nmeros compuestos y nos deja
los nmeros primos solamente.
Veamos lo vamos a hacer:
2 Multiplicamos 2 por s mismo y nos da 4.
3 Nos colocamos sobre el 4, lo tachamos (en este ejemplo lo
hemos pintado de rojo).
4 Contamos dos lugares a partir del 4 y nos encontramos con el 6
y hacemos lo mismo.
5 Seguimos contando 2 lugares y lo pintamos de rojo.
Todos los nmeros en fondo rojo no son primos. Todos ellos tienen
a 2 como divisor. En la primera pasada nos
ha quedado:
6 Ahora multiplica 3 por 3. Obtienes como resultado el 9, lo
tachas y vas contando 3 lugares (SE CUENTAN
LOS QUE TIENEN FONDO EN COLOR O SUPUESTAMENTE TACHADOS).
Los tachas, en nuestro caso lo hemos pintado de verde:
-
7 Ahora tomas el cinco lo multiplicas por s mismo y obtienes
25.
Te colocas en 25, lo tachas, vas contando (incluyendo los
tachados, en nuestro caso, los pintados) de 5 en 5
lugares. Los tachas (en nuestro caso lo pintamos de amarillo),
si no est borrado o pintado, hasta terminar todos
los nmeros.
8 Multiplicas ahora 7 por s mismo, te colocas en 49, lo tachamos
o pintamos y a partir de este nmero vamos
tachando, si no lo est, y pintamos de azul (contando siempre los
tachados o pintados).
-
9 Tomamos el 11 y lo multiplicamos por s mismo, nos situamos en
121, vamos contando de 11 en 11 y si no
est pintado o tachado lo hacemos. Ahora utilizamos el color rosa
claro.
10 Tomamos el 13 y lo multiplicamos por s mismo y obtenemos 169.
Nos situamos en 169, vamos contando
de 13 en 13 y si no est pintado o tachado lo hacemos. Ahora
utilizamos el color gris.
Como el siguiente nmero a 13 vemos que es 17. Al multiplicarlo
por s mismo nos pasamos de 209. Esto
quiere decir que ya hemos terminado.
TODOS LOS NMEROS EN FONDO BLANCO SON PRIMOS.
3.17 Intenta hacer por tu cuenta una criba que deje pasar los 30
primeros nmeros primos. Si tienes alguna duda
no tienes ms que consultar a lo que se te ha explicado.
MLTIPLOS Y DIVISORES: Se dice que un nmero (12) es mltiplo de
otro (4) cuando al dividir el primero entre el segundo, el resto
es
igual a cero:
En este caso, 12 es mltiplo de 3.
Contesta a las preguntas siguientes:
-
3.17 Es 12 mltiplo de 4?
3.18 Es 36 mltiplo de 4?
3.19 Es 45 mltiplo de 3?
3.20 Es 55 mltiplo de 11?
3.21 Es 63 mltiplo de 3?
3.22 Es 122 mltiplo de 4?
3.23 Es 217 mltiplo de 7?
3.24 Es 100 mltiplo de 4?
3.25 Es 76 mltiplo de 6?
Respuestas:
3.17 S. Al dividirlos obtenemos el resto cero.
3.18 S. Al dividirlos obtenemos el resto igual a cero.
3.19 S. Al dividirlos obtenemos el resto igual a cero.
3.20 S. Al dividirlos obtenemos el resto cero.
3.21 S. Al dividirlos obtenemos el resto igual a cero.
3.22 No. Al dividirlos no obtenemos el resto igual a cero.
3.23 S. Al dividirlos obtenemos el resto igual a cero.
3.24 S. Al dividirlos obtenemos el resto cero.
3.25 No. Al dividirlos no tenemos el resto igual a cero.
Se dice que un nmero es divisor de otro cuando lo divide
exactamente.
Ejemplo: 3 divide exactamente a 9
5 no divide exactamente a 12
Podemos decir que 3 es un divisor de 9
y 5 no es un divisor de 12.
3.26 Es 7 un divisor de 21?
3.27 Es 5 un divisor de 127?
3.28 Es 3 un divisor de 21?
3.29 Es 11 un divisor de 121?
3.30 Es 2 un divisor de 231?
3.31 Es 4 un divisor de 1000?
3.32 Es 3 un divisor de 213?
-
3.33 Es 6 un divisor de 218?
3.34 Es 7 un divisor de 210?
Respuestas: 3.26 21 contiene un nmero exacto de veces a 7. S, 7
es un divisor de 21.
3.27 127 no contiene un nmero exacto de veces a 5. No, 5 no es
un divisor de 127.
3.28 21 contiene un nmero exacto de veces a 3. S, 3 es un
divisor de 21.
3.29 121 contiene un nmero exacto de veces a 11. S, 11 es un
divisor de 121.
3.30 231 no contiene un nmero exacto de veces a 2. No, 2 no es
un divisor de 231.
3.31 1000 contiene un nmero exacto de veces a 4. S, 4 es un
divisor de 1000.
3.32 213 contiene un nmero exacto de veces a 3. S, 3 es un
divisor de 213.
3.33 218 no contiene un nmero exacto de veces a 6. No, 6 no es
un divisor de 218.
3.34 210 contiene un nmero exacto de veces a 7. S, 7 es un
divisor de 210.
NMERO DECIMAL.
Nmero decimal es aquel que tiene una parte entera y una parte
decimal.
3,5
4,765
2,875
La parte decimal, que va a la derecha de la coma (en el primer
ejemplo: 0,5) es una cantidad inferior a la unidad.
Los nmeros decimales se pueden clasificar en:
a) Decimales exactos: tienen un nmero finito de cifras
decimales.
4,32
1,6
5,4323
b) Decimales peridicos: tienen un nmero infinito de decimales,
que a partir de cierto momento se van repitiendo siguiendo un
patrn, que se denomina periodo. Cabe distinguir dos casos
particulares:
b.1.- Nmeros peridicos puros: si el patrn de repeticin de las
cifras decimales comienza desde el primer decimal.
3,33333
4,75757575
2,423423423..
b.2.- Nmeros peridicos mixtos: si la sucesin infinita de
decimales no presenta inicialmente ningn patrn y luego comienza una
secuencia.
-
Las cifras decimales que hay entre la coma y el comienzo del
periodo se denomina anteperiodo.
5,2147777777
6,9163636363
7,1332456456456456..
c) Decimales infinito no peridicos: tiene un nmero infinito de
decimales que no siguen ninguna secuencia:
5,326
4,23522398
13,0074823
Para comparar nmeros decimales se comienza comparando la parte
entera:
23,45> 12,45
Ya que la parte entera del primer nmero (23) es mayor que la del
segundo (12).
Si las partes enteras fueran iguales, habra que comparar las
partes decimales: primero
comenzando por las dcimas; si fueran iguales comparamos las
centsimas; si fueran iguales comparamos las milesimas; y si fueran
iguales comparamos las diezmilsimas
12,45> 12,35 Las dcimas del primero (0,4) son mayores que las
del segundo (0,3)
12,43> 12,41 Las centsimas del primero (0,03) son mayores que
las del segundo (0,01)
12,477> 12,475 Las milsimas del primero (0,007) son mayores
que las del segundo (0,005)
12,4774> 12,4771 Las diezmilsimas del primero (0,0004) son
mayores que las del segundo (0,0001)
Nmeros Decimales
Hasta ahora hemos trabajado con nmeros enteros, cuya cifra ms
pequea es la unidad:
Pero tambin hay nmero que tienen una parte inferior a la unidad,
estos se llaman nmeros decimales:
-
La parte entera va a la izquierda de la coma y la parte decimal
a la derecha.
Vamos a ver cada una de estas cifras decimales.
a) La dcima
La dcima es un valor ms pequeo que la unidad
1 unidad = 10 dcimas.
Es decir, si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada una
de ellas es una dcima.
Las dcimas van a la derecha de la coma.
b) La centsima
Es un valor ms pequeo que la unidad y tambin que la dcima.
1 unidad = 100 centsimas
1 dcima = 10 centsimas.
Es decir, si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada
una de ellas es una centsima.
Y si dividimos una dcima en 10 partes iguales, cada una de ellas
es una centsima.
c) La milsima
Es un valor ms pequeo que la unidad, que la dcima y tambin que
la centsima:
1 unidad = 1.000 milsimas
1 dcima = 100 milsimas
1 centsima = 10 milsimas
Es decir, si dividimos una unidad en 1.000 partes iguales, cada
una de ellas es una centsima.
1.- Cmo se lee un nmero decimal?
Por ejemplo: 53,41 se puede leer:
-
"cincuenta y tres coma cuarenta y uno"
o "cincuenta y tres con cuarenta y uno"
2.- Comparacin de nmeros decimales
Para comparar nmeros decimales comenzamos comparando la parte
entera: aqul que tenga la parte entera ms
alta, es el mayor.
234,65 es mayor que 136,76
Si ambos tienen igual parte entera habra que comparar la parte
decimal, comenzando por las dcimas, luego
por las centsimas y por ltimo por las milsimas.
Veamos algunos ejemplos:
146,89 es mayor que 146,78 (ambos tienen igual parte entera,
pero el primero tiene 8 dcimas mientras que el
segundo tiene 7).
357,56 es mayor que 357,53 (ambos tienen igual parte entera y
tambin las mismas dcimas, pero el primero
tiene 6 centsimas y el segundo tan slo 3)
634,128 es mayor que 634,125 (ambos tienen igual parte entera y
tambin las mismas dcimas y centsimas,
pero el primero tiene 8 milsimas y el segundo tan slo 5)
Veamos otros ejemplos:
Vamos a comparar un nmero con parte decimal y otro sin parte
decimal:
207,12 es mayor que 207 (ambos tienen igual parte entera, pero
el primero tiene 1 dcima mientras que el
segundo no tiene ninguna).
Vamos a comparar un nmero con dcimas y centsimas y otro slo con
dcimas:
43,28 es mayor que 43,2 (ambos tienen igual parte entera y las
mismas dcimas, pero el primero tiene 8
centsimas mientras que el segundo no tiene ninguna).
Vamos a comparar un nmero con dcimas y otro slo con
centsimas:
72,1 es mayor que 72,09 (ambos tienen igual parte entera, pero
el primero tiene 1 dcima y el segundo
ninguna).
Ejercicios
(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro;
doble click vuelve a la posicin original)
1.- Indica cul de los siguientes nmeros es entero y cul
decimal.
-
2.- Ordena los siguientes nmeros de mayor a menor.
Multiplicaciones con Decimales
1.- Multiplicaciones
En una multiplicacin pude haber decimales en cualquiera de los
dos factores, o en los dos:
a) En primer lugar multiplicamos sin tener en cuenta que hay
decimales:
-
b) A continuacin contamos los nmeros decimales que hay en ambos
factores y sern las cifras decimales que
lleve el resultado:
b.1.- Empecemos por la primera multiplicacin,
Tiene una cifra decimal en el primer factor y ninguna en el
segundo: en total 1 cifra decimal.
El resultado de la multiplicacin (324.324) llevar 1 cifra
decimal:
b.2.- Segunda multiplicacin,
Tiene dos cifras decimales en el segundo factor: en total 2
cifras decimales.
El resultado de la multiplicacin (527.814) llevar 2 cifras
decimales:
-
b.3.- Tercera multiplicacin,
Tiene dos cifras decimales en el primer factor y una en el
segundo: en total 3 cifras decimales.
El resultado de la multiplicacin (255.528) llevar por tanto 3
cifras decimales:
2.- Multiplicar por 10, 100, 1.000
Por ejemplo:
45,6 x 10
235,6 x 100
78,96 x 1.000
Para calcular el resultado:
a) Primero escribimos en el resultado el primer factor.
b) Luego en el resultado desplazaremos la coma a la derecha
tantas posiciones como ceros lleve el nmero por
el que hemos multiplicado.
Puede ocurrir que haya ms ceros que cifras decimales, por lo que
no podamos desplazar a la derecha la coma
tantas posiciones como ceros.
Qu hacemos? Las posiciones que no hayamos podido desplazar la
coma la completaremos con ceros:
-
Veamos los ejemplos:
a) 45,6 x 10
Primeros repetimos en el resultado el primer factor.
45,6 x 10 = 45,6
Luego desplazaremos la coma a la derecha una posicin ya que
hemos multiplicado por 10 que lleva 1 cero:
45,6 x 10 = 456, (la coma a la derecha sin ninguna cifra decimal
se puede quitar y escribir 456)
b) 235,6 x 100
Primeros repetimos en el resultado el primer factor.
235,6 x 100 = 235,6
Luego desplazaremos la coma a la derecha dos posiciones ya que
hemos multiplicado por 100 que lleva 2 ceros:
Como 235,6 tan slo tiene un decimal y necesitamos desplazar la
coma 2 posiciones, completaremos el
movimiento que nos falta poniendo 1 cero:
235,6 x 100 = 23.560
c) 78,96 x 1.000
Primeros repetimos en el resultado el primer factor.
78,96 x 1.000 = 78,96
Luego desplazaremos la coma a la derecha tres posiciones ya que
hemos multiplicado por 1.000 que lleva 3
ceros.
Como 78,96 tan slo tiene dos decimales y necesitamos desplazar
la coma 3 posiciones, completaremos el
movimiento que nos falta poniendo 1 cero:
78,96 x 1.000 = 78.960
Ejercicios
(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro;
doble click vuelve a la posicin original)
1.- Resuelve las siguientes operaciones:
-
2.- Resuelve las siguientes operaciones:
OPERACIONES CON DECIMALES
a) Suma con decimales: se realiza como una suma ordinaria. Hay
que tener la precaucin de poner las cifras en las columnas
correspondientes: las unidades con las unidades, las dcimas con las
dcimas,
las centsimas con las centsimas, etc. Las comas deben estar
alineadas.
Ejemplo:
23,45 + 5,2 + 67,345
La suma es:
-
Vemos en el ejemplo anterior que si alguno de los sumandos tiene
menos cifras decimales que el resto, las que faltan se completan
con ceros.
Si en la suma hay alguna cifra sin decimales hay que tener
precaucin en su colocacin (es como si llevara
una coma a su derecha).
Ejemplo:
33,04 +17 + 0,456
La suma es:
b) Resta con decimales: se realiza como una resta ordinaria. Al
igual que en la suma hay que tener la precaucin de poner las cifras
en la columna correspondiente.
Ejemplo:
45 0,567
La resta es:
Vemos en el ejemplo anterior que si uno de los 2 nmeros tiene
menos cifras decimales que el otro las cifras que le falten se
completan con ceros.
Veamos otro ejemplo:
67,1 43,872
La resta es:
-
c) Multiplicacin con decimales: se realiza como una
multiplicacin ordinaria, pero al resultado hay que ponerle tantos
decimales como el nmero de cifras decimales que tengan
conjuntamente los dos factores.
Ejemplo:
45,2 x 36,56
La multiplicacin es:
Como el primer factor tiene un decimal y el segundo dos
decimales, en total suman tres cifras decimales,
por lo que el producto tendr tres decimales.
d) Divisin con decimales:
d.1.- Divisin con decimales:
234 : 45,56
Si el divisor tiene decimales hay que eliminarlos multiplicndolo
por un 1 seguido de tantos ceros como
cifras decimales.
45,56 x 100 = 4556
Para que la divisin sea equivalente a la inicial, y el resultado
no vare, el dividendo hay que multiplicarlo
por el mismo nmero.
234 x 100 = 23400
Luego la divisin quedara:
23400 : 4556
Ahora ya operaramos como en una divisin normal.
d.2.- Dividendo con decimales:
124,45 : 15
-
Realizamos la divisin como si no hubiera decimales:
12445 : 15 = 829 (resto 10)
Pero el cociente llevar tantas cifra decimales como tenga el
dividendo.
Cociente 8,29
d.3.- Dividendo y divisor con decimales
45,679 : 31,22
Al igual que en el primer caso hay que eliminar los decimales
del divisor.
31,22 x 100 = 3122
Para que la divisin sea equivalente a la inicial y el resultado
no vare, el dividendo hay que multiplicarlo
por el mismo nmero.
46,679 x 100 = 4667,9
La divisin quedara: 4567,9 : 3122 Y operaramos como en el
segundo caso.
NMERO MIXTO
Es una expresin numrica formada por un nmero natural y una
fraccin:
3 + 6 / 5
El valor numrico de un nmero mixto es la suma del nmero y del
valor numrico de la fraccin:
6 / 5 = 6 : 5 = 1,2
Luego:
3 + 6 / 5 = 3 + 1,2 = 4,2
Un nmero mixto se puede expresar en forma de fraccin. Para ello
expresamos la parte entera en
forma de fraccin (ponindole como denominador 1) y sumamos 2
fracciones.
3 + 6 / 5 = 3 / 1 + 6 / 5 = 15 / 5 + 6 / 5 = 21 / 5
Una fraccin cuyo numerador es mayor que su denominador se puede
expresar en forma de nmero
mixto:
16 / 5
Dividimos el numerador entre el denominador.
16 : 5 = 3 (resto = 1)
La parte entera ser el cociente de la divisin (3), mientras que
la fraccin tendr como numerador el
resto (1) y como denominador el mismo que la fraccin original
(5).
-
16 / 5 = 3 + 1 / 5
Vamos a realizar algunos ejemplos: Calcular el valor numrico
de:
3 + 4 / 6 = 3 + 0,666 = 3,666
5 + 2 / 8 = 5 + 0,250 = 5,250
7 + 1 / 6 = 7 + 0,166 = 6,166
Expresar las siguientes fracciones en forma de nmero mixto:a ) 7
/ 3
Dividimos el numerador entre el denominador.7 : 3 = 2 (resto =
1)
El nmero mixto es: 2 + 1 / 3
b) 9 / 2
Dividimos el numerador entre el denominador.
9 : 2 = 4 (resto = 1)
El nmero mixto es: 4 + 1 / 2
Expresa los siguientes nmeros mixtos en forma de fraccin.
c) 4 + 5 / 7
4 + 5 / 7 = 4 / 1 + 5 / 7 = 28 / 7 + 5 / 7 = 33 / 7
d) 5 + 6 / 8
5 + 6 / 8 = 5 / 1 + 6 / 8 = 40 / 8 + 6 / 8 = 46 / 8
REDONDEOS Y TRUNCAMIENTO DE UN NMERO DECIMAL
a) REDONDEOS
Los nmeros decimales se pueden redondear:
- A la unidad: consiste en eliminar la parte decimal,
aproximndola a la unidad ms cercana. Si la parte
decimal es igual o inferior a 0,500 se aproxima a la unidad
inferior, si es superior se aproxima a la unidad
superior.
4,14 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,1)
4,673 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,6)
4,449 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,4)
4,399 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,3)
4,723 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,7)
-
- A la dcima: consiste en dejar una sola cifra decimal,
aproximando las centsimas a la dcima ms cercana. Si la parte
centesimal es igual o inferior a 0,050 se aproxima a la dcima
inferior, si es superior
se aproxima a la dcima superior.
4,14 se aproxima a 4,1 (ya que la parte centesimal es 0,04)
4,673 se aproxima a 4,7 (ya que la parte centesimal es 0,07)
4,449 se aproxima a 4,4 (ya que la parte centesimal es 0,04)
4,399 se aproxima a 4,4 (ya que la parte centesimal es 0,09)
4,723 se aproxima a 4,7 (ya que la parte centesimal es 0,02)
- A la centsima: consiste en dejar tan slo dos cifras decimales,
aproximando las milsimas a la centsima ms cercana. Si la parte
milesimal es igual o inferior a 0,005 se aproxima a la centsima
inferior, si es superior se aproxima a la centsima superior.
4,14 se aproxima a 4,14 (ya que la parte milesimal es 0,000)
4,673 se aproxima a 4,67 (ya que la parte milesimal es
0,003)
4,449 se aproxima a 4,45 (ya que la parte milesimal es
0,009)
4,399 se aproxima a 4,40 (ya que la parte milesimal es
0,009)
4,723 se aproxima a 4,72 (ya que la parte milesimal es
0,003)
b) TRUNCAMIENTO
En el truncamiento de un nmero decimal se eliminan las cifras a
partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento.
- Truncamiento por la unidad: se eliminan todas las cifras
decimales.
45,325 se trunca por 45
122,3434 se trunca por 122
91,435123 se trunca por 91
- Truncamiento por la dcima: tan slo se deja esta cifra
decimal:
45,325 se trunca por 45,3
122,3434 se trunca por 122,3
91,435123 se trunca por 91,4
-
- Truncamiento por la centsima: tan slo se dejan dos cifras
decimales:
45,325 se trunca por 45,32
122,3434 se trunca por 122,34
91,435123 se trunca por 91,43
Y as sucesivamente.
Mecnica de los signos
La regla bsica para sumar y restar es: trminos con signos
iguales se suman, trminos con signos diferentes
se restan.
Al multiplicar dos trminos con signos iguales el signo del
resultado es positivo (+), al multiplicar dos trminos
con signos diferentes el signo del resultado es negativo
(-).
Signo en la respuesta de la
operacin
Signos de Operandos Suma (signo) multiplicacin
+ + Se suman (+) +
+ - Se resta (del mayor) -
- + Se resta (del mayor) -
- - Se suman (-) +
Siempre que no se escriba signo se presume que el signo es
positivo.
El cero carece de signo al ser la nulidad no tiene valor alguno
ni positivo ni negativo.
Ejemplos:
Sumas:
4 + 5 = + 9
- 6 12 = - 18
5 3 = + 2
5 9 = - 4
12x -15x = -3x
-6m -3m = -9m
Multiplicaciones:
(7)(5) = 35
(5)(-12) = -60
-
(-8)(-3) = 24
(x)(z) = xz
(m)(-n) = -mn
(12x)(-3y) = -36xy
Mecnica de los signos para mas de dos factores
Sumas y restas
Si el nmero de sumandos es mayor de dos primero se suman todos
los positivos y aparte todos los negativos,
luego se restan estas dos cantidades colocando el signo del
valor absoluto mayor de los dos.
5x x + 5x x + 6x 9x + 5x + 6x + 7x = 34x 11x = 23x
Una manera til y simple para realizarlo consiste en separar
todos los positivos en un parntesis y todos los
negativos en otro antes de sumarlos, esto logra una forma
sencilla de no confundirse con los trminos:
Ejemplos:
5 6 + 5 7 + 6 9 + 5 = (5 + 5 + 6 + 5)-(6 + 7 +9) = (21) (22) =
-1
5x5xx+6x9x+5x+6x+7x = (5x +6x+5x+6x+7x) - (5x+x+9x) = (29x)
(15x) = 14x
Como se puede notar los signos de los factores negativos se han
cambiado al introducirlos al parntesis, ya que
se colocado un signo negativo antes de l parntesis el cual
significa que todos los factores que se encuentran
en ese parntesis son factores negativos.
Producto
Si el nmero del multiplicando es mayor que dos se pondr a la
respuesta signo negativo solo si la cantidad total
de signos negativos es impar, si la cantidad de negativos es par
o cero se pondr signo positivo
Ejemplos
(8)(2)(3) = 48
(-1)(-5)(3)(-2) = -30
(x)(z)(-y) = - xyz
(12x)(-3y)(8z) = -288xyz
LA FRACION
-
Se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto
que ha sido dividido en partes iguales.
Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos
tres. Esto se representa por la siguiente
fraccin:
Los trminos de la fraccin se denominan: numerador y
denominador.
Cmo se leen las fracciones? Se leen en funcin de cul es su
denominador:
1 / 2: un medio
1 / 3: un tercio
1 / 4: un cuarto
1 / 5: un quinto
1 / 6: un sexto
1 / 7: un sptimo
1 / 8: un octavo
1 / 9: un noveno
1 / 10: un dcimo
1 / 11: un onceavo
1 / 12: un doceavo
1 / 13: un treceavo
Veamos algunos ejemplos:
-
A cuantas unidades equivale una fraccin? Para calcularlo se
divide el numerador entre el denominador:
Por ejemplo:
Para ver a cuantas unidades equivale esta fraccin dividimos: 2 :
8 = 0,25
Equivale a 0,25 unidades
Si una fraccin tiene igual numerador y denominador representa la
unidad.
Por ejemplo, divido una tarta en 4 partes y me tomo las cuatro
partes:
Quiere decir que me he tomado la totalidad de la tarta. (4 / 4)
equivale a la unidad (a la tarta). Si dividimos 4 : 4
= 1
-
1.- Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando equivalen a las mismas
unidades.
Por ejemplo:
Estas dos fracciones son equivalente ya que equivalen a las
mismas unidades:
4 : 8 = 0,5 unidades
1 : 2 = 0,5 unidades
Cmo sabemos cuando dos fracciones son equivalentes?
Para ello dividimos sus numeradores y sus denominadores, si
guardan la misma proporcin es que son
equivalente:
Veamos un ejemplo:
Dividimos sus numeradores: 6 : 2 = 3
Dividimos sus denominadores: 9 : 3 = 3
Guardan la misma proporcin (3) luego estas dos fracciones son
equivalentes.
Podemos comprobarlo. La primera fraccin equivale a 6 : 9 = 0,66
unidades
La segunda fraccin equivale a 2 : 3 = 0,66 unidades
Veamos ahora un ejemplo de dos fracciones que no son
equivalentes:
Dividimos sus numeradores: 2 : 3 = 0,66
Dividimos sus denominadores: 4 : 9 = 0,44
No guardan la misma proporcin luego estas dos fracciones no son
equivalentes.
Podemos comprobarlo. La primera fraccin equivale a 2 : 4 = 0,50
unidades
La segunda fraccin equivale a 3 : 9 = 0,33 unidades
-
2.- Comparacin de fracciones
Cmo puedo saber si una fraccin es mayor o menor que otra?
Para ello vamos a distinguir:
Comparar fracciones con el mismo denominador
Comparar fracciones con distinto denominador
a) Comparar fracciones con el mismo denominador
Es mayor la fraccin que tenga mayor el numerador.
Podemos comprobar que 2 / 4 = 0,5 mientras que 1 / 4 = 0,25,
luego la primera fraccin es mayor.
Tambin podemos comprobar que 5 / 9 = 0,55 mientras que 3 / 9 =
0,33, luego la primera fraccin es mayor.
b) Comparar fracciones con distinto denominador
En este caso puede ocurrir que tengan el mismo numerador o
no.
b.1.- Si tienen el mismo numerador es mayor la que tenga menor
denominador.
En este caso comprobamos que 8 / 3 = 2,66 mientras que 8 / 5 =
1,60, luego la primera fraccin es mayor.
Tambin podemos ver que 6 / 2 = 3,00 mientras que 6 / 4 = 1,50,
luego la primera fraccin es mayor.
b.2.- Si tienen distinto numerador entonces para poder
compararlas hay que expresarlas con el mismo
denominador:
Si los dos trminos de una fraccin se multiplican por el mismo
nmero la fraccin resultante es
equivalente.
Y por qu nmero multiplicamos cada fraccin? la primera fraccin la
multiplicamos por el denominador de la
segunda, y la segunda por el denominador de la primera.Veamos un
ejemplo:
-
Para comparar estas dos fracciones, vamos a multiplicar los dos
trminos de la primera fraccin por 2
(denominador de la segunda).
Podemos comprobar que al multiplicar numerador y denominador por
el mismo nmero la fraccin no cambia:
3 / 7 = 0,428 mientras que 6 / 14 = 0,428.
Y vamos a multiplicar los dos trminos de la segunda fraccin por
7 (denominador de la primera).
Ahora las dos fracciones ya tienen el mismo denominador, luego
podemos compararlas:
Vemos que la segunda fraccin es mayor que la primera porque su
numerador es mayor.
b.3.- Si tienen distinto numerador tambin se pueden calcular
fracciones con el mismo denominador
utilizando el mtodo del Mnimo Comn Mltiplo.
Vamos a verlo con un ejemplo:
Calculamos los mltiplos de cada denominador:
Mltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...
Mltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90...
Hemos sealado en rojo el nmero 30 porque es un mltiplo comn de
ambos nmeros y es el menor de los
mltiplos comunes (por ejemplo, 60 tambin es un mltiplo comn pero
es mayor que 30).
Utilizaremos este Mltiplo Comn Mltiplo como denominador comn de
ambas fracciones, pero para que las
nuevas fracciones sean equivalentes a las anteriores tenemos que
ajustar los numeradores Cmo lo hacemos?
-
En la primera fraccin vamos a sustituir su denominador 10 por
30, en definitiva, vamos a multiplicar por 3 su
antiguo denominador, luego para que la fraccin sea equivalente a
la original tendremos tambin que
multiplicar por 3 su numerador.
En la segunda fraccin vamos a sustituir su denominador 15 por
30, por lo que vamos a multiplicarlo por 2,
luego tendremos tambin que multiplicar por 2 su numerador.
Ya podemos comparar ambas fracciones:
Ejercicios
1.- Calcula las unidades a las que equivalen las siguientes
fracciones:
2.- Indica si los siguientes pares de fracciones son
equivalentes o no:
-
3.- Compara los siguientes pares de fracciones e indica cual es
mayor y cual es menor:
Formulas
Suma de Fracciones homogneas : a + b = a + b c c c
Suma de Fracciones heterogneas : a + b = ad + bc c d cd
Resta de Fracciones homogneas : a - b = a - b c c c
Resta de Fracciones heterogneas : a - b = ad - bc c d cd
Multiplicacin de Fracciones : a b = ab c d cd
Divisin de Fracciones : a b = a d = ad c d c b cb
-
FRACCIONES
La fraccin est formada por 2 nmeros naturales: el nmero de
arriba se denomina numerador y el de
abajo denominador.
4 / 6 (4 es el numerador y 6 es el denominador)
El denominador indica el nmero de partes en las que se divide
una unidad y el numerador el nmero de partes que se toma.
4 / 6 de una tarta significa que la tarta se ha dividido en 6
porciones y se han tomado 4.
La fraccin tiene una equivalencia numrica que se calcula
dividiendo el numerador entre el denominador:
4 : 6 = 0,666
Puede ocurrir que el numerador sea menor, igual o mayor que el
denominador:
Si el numerador es menor que el denominador se denomina fraccin
propia. El valor de la fraccin es menor que la unidad (como vimos
en el ejemplo anterior).
Si el numerador es igual que el denominador, el valor de la
fraccin es la unidad.
7 / 7 su valor numrico es 7 : 7 = 1
Si el numerador es mayor que el denominador se denomina fraccin
impropia. El valor de la fraccin es mayor que la unidad.
9 / 6 su valor numrico es 9 : 6 = 1,5
En una fraccin impropia puede ocurrir que su equivalencia
numrica sea un nmero exacto o no:
12 / 6 su valor numrico es 12 : 6 = 2 (resto = 0)
15 / 6 su valor numrico es 15 : 6 = 2 (resto 3)
Estas fracciones impropias cuya divisin no es exacta se pueden
representar en forma de nmero mixto, que es la combinacin de una
parte entera y de una fraccin.
La parte entera ser el cociente de la divisin (en este caso, 2)
mientras que la fraccin tendr como numerador el resto (3) y como
denominador el mismo que la fraccin original (6).
Luego 15 / 6 equivale al nmero mixto 2 + (3 / 6)
Veamos otros ejemplos:
19 / 5 = 19 : 5 = 3 (resto = 4)
Luego 19 / 5 equivale al nmero mixto 3 + (4 / 5)
-
21 / 4 = 21 : 4 = 5 (resto = 1)
Luego 21 / 4 equivale al nmero mixto 5 + (1 / 4)
El valor de un nmero mixto es igual a la suma de la parte entera
y de valor numrico de la fraccin:
Ejemplo: 2 + (3 / 6)
Calculamos el valor numrico de la fraccin: 3 : 6 = 0,5
Luego el valor del nmero mixto ser:
2 + (3 / 6) = 2 + 0,5 = 2,5
Vimos anteriormente que este nmero mixto era equivalente a la
fraccin 15 / 6. Podemos comprobar cmo el valor del nmero mixto
coincide con el valor numrico de la fraccin original:
15 / 6 = 15 : 6 = 2,5
Las fracciones tambin se utilizan en operaciones aritmticas:
Calcular: 7 / 10 del nmero 30
Esto es equivalente a 7 / 10 x 30
Para resolverla el nmero (30) se multiplica por el numerador de
la fraccin (7) y se divide por su denominador (10):
7 / 10 de 30 = (7 x 30) / 10 = 210 / 10 = 21
Vamos a hacer otro clculo: 5 / 7 de 35
5 / 7 de 35 = (5 x 35) / 7 = 175 / 7 = 25
EQUIVALENCIA ENTRE FRACCIONES
Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor
numrico.
9 / 3 su valor numrico es 9 : 3 = 3
21 / 7 su valor numrico es 21 : 7 = 3
Luego ambas fracciones son equivalentes.
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes: se multiplica
el numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el
numerador de la segunda. Si ambos resultados son iguales las 2
fracciones son equivalentes.
Vamos a comprobarlo con el ejemplo anterior: 9 / 3 y 21 / 7
9 x 7 = 63
3 x 21 = 63
-
Para calcular una fraccin equivalente a una dada hay que
multiplicar (dividir) los 2 miembros de la fraccin por un mismo
nmero.
Ejemplo: 4 / 10
Multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 6:
24 / 60
Comprobamos que ambas fracciones son equivalentes aplicando la
regla anterior:
4 x 60 = 240 10 x 24 = 240
Cuando calculamos fracciones equivalentes dividiendo numerador y
denominador por un mismo nmero estamos simplificando la
fraccin.
Por ejemplo: 44 / 24
Dividimos ambos miembros por 2:
44 : 2 = 22 24 : 2 = 12
Volvemos a dividir por 2:
22 : 2 = 11 12 : 2 = 6
La fraccin equivalente: 11 / 6
La fraccin ya no se puede reducir ms (numerador y denominador ya
no tienen ms divisores comunes), decimos que esta fraccin ya es
irreductible.
Y podemos comprobar que es equivalente a la fraccin
original:
44 x 6 = 264
24 x 11 = 264
Veamos otros ejemplos:
Vamos a hallar la fraccin irreductible de 28 / 20
Dividimos numerador y denominador por 2.
28 : 2 = 14
20 : 2 = 10
Volvemos a dividir por 2.
14 : 2 = 7
10 : 2 = 5
-
Ya no podemos seguir simplificando ya que no tienen ms divisores
comunes. La fraccin equivalente es 7 / 5
Podemos obtener directamente la fraccin irreductible de una dada
dividiendo numerador y denominador por el Mximo Comn Divisor (MCD)
de ambos nmeros.
Veamos un ejemplo:
50 / 20
Calculamos el MCD:
50 = 2 x 52
20 = 22 x 5
El MCD es: 2 x 5 = 10
Dividimos numerador y denominador entre 10:
50 : 10 = 5
20 : 10 = 2
La fraccin irreductible es: 5 / 2
-
FRACCIONES
La fraccin est formada por 2 nmeros naturales: el nmero de
arriba se denomina numerador y el de
abajo denominador.
4 / 6 (4 es el numerador y 6 es el denominador)
El denominador indica el nmero de partes en las que se divide
una unidad y el numerador el nmero de
partes que se toma.
4 / 6 de una tarta significa que la tarta se ha dividido en 6
porciones y se han tomado 4.
La fraccin tiene una equivalencia numrica que se calcula
dividiendo el numerador entre el denominador:
4 : 6 = 0,666
Puede ocurrir que el numerador sea menor, igual o mayor que el
denominador:
Si el numerador es menor que el denominador se denomina fraccin
propia. El valor de la fraccin es menor que la unidad (como vimos
en el ejemplo anterior).
Si el numerador es igual que el denominador, el valor de la
fraccin es la unidad.
7 / 7 su valor numrico es 7 : 7 = 1
Si el numerador es mayor que el denominador se denomina fraccin
impropia. El valor de la fraccin es mayor que la unidad.
9 / 6 su valor numrico es 9 : 6 = 1,5
En una fraccin impropia puede ocurrir que su equivalencia
numrica sea un nmero exacto o no:
12 / 6 su valor numrico es 12 : 6 = 2 (resto = 0)
15 / 6 su valor numrico es 15 : 6 = 2 (resto 3)
Estas fracciones impropias cuya divisin no es exacta se pueden
representar en forma de nmero mixto, que es la combinacin de una
parte entera y de una fraccin.
La parte entera ser el cociente de la divisin (en este caso, 2)
mientras que la fraccin tendr como numerador el resto (3) y como
denominador el mismo que la fraccin original (6).
Luego 15 / 6 equivale al nmero mixto 2 + (3 / 6)
Veamos otros ejemplos:
19 / 5 = 19 : 5 = 3 (resto = 4)
Luego 19 / 5 equivale al nmero mixto 3 + (4 / 5)
-
21 / 4 = 21 : 4 = 5 (resto = 1)
Luego 21 / 4 equivale al nmero mixto 5 + (1 / 4)
El valor de un nmero mixto es igual a la suma de la parte entera
y de valor numrico de la fraccin:
Ejemplo: 2 + (3 / 6)
Calculamos el valor numrico de la fraccin: 3 : 6 = 0,5
Luego el valor del nmero mixto ser:
2 + (3 / 6) = 2 + 0,5 = 2,5
Vimos anteriormente que este nmero mixto era equivalente a la
fraccin 15 / 6. Podemos comprobar cmo el valor del nmero mixto
coincide con el valor numrico de la fraccin original:
15 / 6 = 15 : 6 = 2,5
Las fracciones tambin se utilizan en operaciones aritmticas:
Calcular: 7 / 10 del nmero 30
Esto es equivalente a 7 / 10 x 30
Para resolverla el nmero (30) se multiplica por el numerador de
la fraccin (7) y se divide por su denominador (10):
7 / 10 de 30 = (7 x 30) / 10 = 210 / 10 = 21
Vamos a hacer otro clculo: 5 / 7 de 35
5 / 7 de 35 = (5 x 35) / 7 = 175 / 7 = 25
Suma de Fracciones A
Objetivo:
Suma y resta de fracciones
Comparacin de fracciones utilizando las reglas de proporcin
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar
fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las
deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de
suman)
b d bd (se multiplican los denominadores)
Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo reparti los trabajos de contabilidad de urgencia
entre algunos de los contables. A Cheo le toc
una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia ms la tercera
(1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado
que falt. En total , que parte del trabajo tiene que realizar
Cheo?
-
Solucin: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
A Cheo le toc ms de la mitad del trabajo o menos de la mitad del
trabajo?
Solucin:
Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las
proporciones
a.) Si a = c entonces ad = cb
b d
b.) Si a < c entonces ad < cb
b d
c.) Si a > c entonces ad > cb
b d
Volviendo a Cheo, 7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1
12 2 12 2
De modo que Cheo realiz ms de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A Mara le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre.
Su madre le cedi a ella dos quintas partes
adicionales que le tocaban a ella. En total qu parte de la
herencia la toc a Maria?
Solucin
1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11
3 5 15 15 15
A Mara le toc 11/ 15 de la herencia de su padre.
Suma de Fracciones B
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que
existen 2 tipos de fracciones:
1.) Fracciones homogneas ( 1, 3, 5 )
4 4 4
2.) Fracciones heterogeneas ( 1, 2, 3 )
3 5 7
Las fracciones homogneas son las fracciones que tienen el mismo
denominador; y las fracciones heterogeneas son
las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogneas:
1 + 3 = 4
-
fracciones homogneas, en suma, se
suman los numeradores y el
denominador se queda igual.>
2 + 3 = 5
7 7 7
Ejemplo de suma de fracciones heterogneas:
1 +1
4 2
Para sumar fracciones heterogneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
1 + 1
4 2
Paso 1 : 1 + 1 = 1_+ 1__ 4 2 8
Paso 2 : 1 + 1 = (2 1) + (4 1) < Se multiplic cruzado> 4 2
8
Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el
numerador.> 8 8
Paso 4: 6 2 = 3 < Se simplifica la fraccin si es posible.>
8 2 4
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la
suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 2) - (3 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6
-
Sumar fracciones es un procedimiento bastante sencillo. Sin
embargo, suelen aparecer
inquietudes cuando ambas fracciones tienen denominadores
diferentes. Aprende cmo
resolver la suma de fracciones heterogneas en esta corta
infografa.
Fraccin impropia:Una fraccin impropia es aquella en la cual el
numerador es mayor que el denominador. En este ejemplo, el cinco,
que est en el lugar del numerador, es mayor que el cuatro, que
ocupa
el lugar del denominador.
Este tipo de fracciones pueden ser convertidas en un nmero
mixto. Para averiguar cmo se hace, dirgete a
nuestra leccin de fracciones impropias.
Reducir y simplificar:Puede que al hacer la suma de fracciones
heterogneas te encuentres con que el resultado son fracciones
bastante grandes como 20/12, 84/32, 106/80 o incluso fracciones ms
grandes.
Recuerda que este tipo de fracciones deben ser reducidas o
simplificadas para hallar su equivalente. Averigua
cmo hacerlo en nuestra leccin de reducir fracciones.
-
Dividir fracciones
Dale la vuelta a la segunda fraccin y multiplica.
Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fraccin (por la que quieres
dividir) (ahora es la recproca).
Paso 2. Multiplica la primera fraccin por la recproca de la
segunda.
Paso 3. Simplifica la fraccin (si hace falta)
Ejemplo 1
1
1
2 4
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fraccin (la recproca):
1
4
4 1
Paso 2. Multiplica la primera fraccin por la recproca de la
segunda:
1
4 =
1 4 =
4
2 1 2 1 2
Paso 3. Simplifica la fraccin:
4 = 2
2
(Si no ests seguro de cmo se hace el ltimo paso ve a la pgina de
Fracciones equivalentes)
Ejemplo 2
1
1
8 4
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fraccin (la recproca):
1
4
4 1
Paso 2. Multiplica la primera fraccin por la recproca de la
segunda:
-
1
4 =
1 4 =
4
8 1 8 1 8
Paso 3. Simplifica la fraccin:
4 =
1
8 2
Convertir Decimales a Fracciones Para convertir un Decimal a una
Fraccin sigue estos pasos:
Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.
Paso 2: Multiplica los nmeros de arriba y abajo por 10 una vez
por cada nmero luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos nmeros
luego del decimal,
multiplcalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)
Paso 3: Simplifica (reduce) la fraccin
Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fraccin Paso 1: Escribe:
0,75
1
Paso 2: