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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 1/45 Álgebra Lineal Ma1010 Espacios generados, dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas ITESM
145

Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-14a.pdfEspacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45 Introducción Nuestro interés

Mar 26, 2020

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 1/45

Álgebra LinealMa1010

Espacios generados, dependencia lineal y basesDepartamento de Matemáticas

ITESM

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular lasdefiniciones de dependencia lineal, independencialineal y espacio generado

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular lasdefiniciones de dependencia lineal, independencialineal y espacio generado que ya se tenían paraR

n

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular lasdefiniciones de dependencia lineal, independencialineal y espacio generado que ya se tenían paraR

n pero en el contexto general de los espaciosvectoriales.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular lasdefiniciones de dependencia lineal, independencialineal y espacio generado que ya se tenían paraR

n pero en el contexto general de los espaciosvectoriales. Es de notar que en las definicionesdadas sólo se hacía referencia a suma devectores, multiplicación de un vector por unescalar, a combinación lineal y al vector cero.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular lasdefiniciones de dependencia lineal, independencialineal y espacio generado que ya se tenían paraR

n pero en el contexto general de los espaciosvectoriales. Es de notar que en las definicionesdadas sólo se hacía referencia a suma devectores, multiplicación de un vector por unescalar, a combinación lineal y al vector cero.Todo esto existe en el espacio vectorial engeneral.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 2/45

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular lasdefiniciones de dependencia lineal, independencialineal y espacio generado que ya se tenían paraR

n pero en el contexto general de los espaciosvectoriales. Es de notar que en las definicionesdadas sólo se hacía referencia a suma devectores, multiplicación de un vector por unescalar, a combinación lineal y al vector cero.Todo esto existe en el espacio vectorial engeneral.Las demostraciones de cada uno de los resultadosson idénticas a las correspondientes para R

n, porello no se incluirán.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 3/45

Espacio Generado

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk

vectores de V .

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 3/45

Espacio Generado

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk

vectores de V . El conjunto formado por todas lasposibles combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . ,vk se llama el espacio generado por v1,v2, . . . ,vk.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 3/45

Espacio Generado

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk

vectores de V . El conjunto formado por todas lasposibles combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . ,vk se llama el espacio generado por v1,v2, . . . ,vk. Este conjunto se representa por

Gen {v1,v2, . . . ,vk}

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 3/45

Espacio Generado

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk

vectores de V . El conjunto formado por todas lasposibles combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . ,vk se llama el espacio generado por v1,v2, . . . ,vk. Este conjunto se representa por

Gen {v1,v2, . . . ,vk}

Si V = Gen {v1,v2, . . . ,vk} diremos que{v1,v2, . . . ,vk} genera a V

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 3/45

Espacio Generado

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . . ,vk

vectores de V . El conjunto formado por todas lasposibles combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . ,vk se llama el espacio generado por v1,v2, . . . ,vk. Este conjunto se representa por

Gen {v1,v2, . . . ,vk}

Si V = Gen {v1,v2, . . . ,vk} diremos que{v1,v2, . . . ,vk} genera a V y que {v1,v2, . . . ,vk}es un conjunto generador de V .

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 4/45

Ejemplo

Indique si la matriz

A =

[

−1 0

0 −2

]

pertenece al espacio generado por las matrices:

A1 =

[

2 −2

−3 0

]

, A2 =

[

−4 4

6 0

]

y A3 =

[

2 1

0 −2

]

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 4/45

Ejemplo

Indique si la matriz

A =

[

−1 0

0 −2

]

pertenece al espacio generado por las matrices:

A1 =

[

2 −2

−3 0

]

, A2 =

[

−4 4

6 0

]

y A3 =

[

2 1

0 −2

]

Soluci onBuscamos saber si existen constantes c1, c2 y c3tales que:

A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 5/45

Es decir,[

−1 0

0 −2

]

= c1

[

2 −2

−3 0

]

+ c2

[

−4 4

6 0

]

+ c3

[

2 1

0 −2

]

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 5/45

Es decir,[

−1 0

0 −2

]

= c1

[

2 −2

−3 0

]

+ c2

[

−4 4

6 0

]

+ c3

[

2 1

0 −2

]

Si se efectua cada producto y se realiza la suma de lasmatrices en el lado izquierdo obtenemos:

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 5/45

Es decir,[

−1 0

0 −2

]

= c1

[

2 −2

−3 0

]

+ c2

[

−4 4

6 0

]

+ c3

[

2 1

0 −2

]

Si se efectua cada producto y se realiza la suma de lasmatrices en el lado izquierdo obtenemos:

[

−1 0

0 −2

]

=

[

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 −2 c1 + 4 c2 + 1 c3

−3 c1 + 6 c2 + 0 c3 0 c1 + 0 c2 − 2 c3

]

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 5/45

Es decir,[

−1 0

0 −2

]

= c1

[

2 −2

−3 0

]

+ c2

[

−4 4

6 0

]

+ c3

[

2 1

0 −2

]

Si se efectua cada producto y se realiza la suma de lasmatrices en el lado izquierdo obtenemos:

[

−1 0

0 −2

]

=

[

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 −2 c1 + 4 c2 + 1 c3

−3 c1 + 6 c2 + 0 c3 0 c1 + 0 c2 − 2 c3

]

Si se igualan elementos correspondientes de estas matricesse obtiene:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 6/45

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 = −1

−2 c1 + 4 c2 + 1 c3 = 0

−3 c1 + 6 c2 + 0 c3 = 0

0 c1 + 0 c2 − 2 c3 = −2

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 6/45

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 = −1

−2 c1 + 4 c2 + 1 c3 = 0

−3 c1 + 6 c2 + 0 c3 = 0

0 c1 + 0 c2 − 2 c3 = −2

Formando la matriz aumentada y aplicandoGauss-Jordan obtenemos:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 6/45

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 = −1

−2 c1 + 4 c2 + 1 c3 = 0

−3 c1 + 6 c2 + 0 c3 = 0

0 c1 + 0 c2 − 2 c3 = −2

Formando la matriz aumentada y aplicandoGauss-Jordan obtenemos:

2 −4 −2 −1

−2 4 1 0

−3 6 0 0

0 0 −2 −2

1 −2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 6/45

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 = −1

−2 c1 + 4 c2 + 1 c3 = 0

−3 c1 + 6 c2 + 0 c3 = 0

0 c1 + 0 c2 − 2 c3 = −2

Formando la matriz aumentada y aplicandoGauss-Jordan obtenemos:

2 −4 −2 −1

−2 4 1 0

−3 6 0 0

0 0 −2 −2

1 −2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

Debido al pivote en la columna de las constantes,el sistema es inconsistente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 7/45

Como el sistema es inconsistente, no existen c1, c2y c3 que cumplen:

A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 7/45

Como el sistema es inconsistente, no existen c1, c2y c3 que cumplen:

A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3

Por tanto, A no pertence al espacioGen{A1, A2, A3}�.

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 8/45

Observaci onEs importante observar la relación entre[

−1 0

0 −2

]

= c1

[

2 −2

−3 0

]

+ c2

[

−4 4

6 0

]

+ c3

[

2 1

0 −2

]

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 8/45

Observaci onEs importante observar la relación entre[

−1 0

0 −2

]

= c1

[

2 −2

−3 0

]

+ c2

[

−4 4

6 0

]

+ c3

[

2 1

0 −2

]

y la matriz aumentada:

2 −4 −2 −1

−2 4 1 0

−3 6 0 0

0 0 −2 −2

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 9/45

El efecto final es como si las matrices seconvirtieran en un vector columna.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 9/45

El efecto final es como si las matrices seconvirtieran en un vector columna. El proceso deconversión consiste en acomodar en una grancolumna todos y cada uno de los renglones.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 9/45

El efecto final es como si las matrices seconvirtieran en un vector columna. El proceso deconversión consiste en acomodar en una grancolumna todos y cada uno de los renglones. Estoconsiste en un proceso de zig-zag sobre losrenglones de la matriz.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 9/45

El efecto final es como si las matrices seconvirtieran en un vector columna. El proceso deconversión consiste en acomodar en una grancolumna todos y cada uno de los renglones. Estoconsiste en un proceso de zig-zag sobre losrenglones de la matriz. A este proceso deconvertir una matriz en un vector columna lollamaremos vectorización de una matriz.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 10/45

Ejemplo

Indique si el polinomio

p(x) = 1− 2 x− x2 − 19/4 x3

es una combinación lineal de los polinomios:

p1(x) = 1 + 2 x− 3 x2 + x3

p2(x) = −1 + x+ x2 + 3 x3

yp3(x) = −1 + 3 x− 3 x2 + 4 x3

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 11/45

Soluci onLa pregunta es si existen valores para c1, c2 y c3 de maneraque

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x)

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 11/45

Soluci onLa pregunta es si existen valores para c1, c2 y c3 de maneraque

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x)

Si sustuimos los polinomios, desarrollamos los productos porlas constantes, y agrupamos los términos respecto a x,obtenemos:

1− 2 x− x2 − 19/4 x3 = c1 − c2 − c3 + (2 c1 + c2 + 3 c3) x+

(−3 c1 + c2 − 3 c3) x2 + (c1 + 3 c2 + 4 c3) x

3

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 11/45

Soluci onLa pregunta es si existen valores para c1, c2 y c3 de maneraque

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x)

Si sustuimos los polinomios, desarrollamos los productos porlas constantes, y agrupamos los términos respecto a x,obtenemos:

1− 2 x− x2 − 19/4 x3 = c1 − c2 − c3 + (2 c1 + c2 + 3 c3) x+

(−3 c1 + c2 − 3 c3) x2 + (c1 + 3 c2 + 4 c3) x

3

Por consiguiente, para que lo anterior se cumpla se requiereque:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 12/45

c1 − c2 − c3 = 1

2 c1 + c2 + 3 c3 = −2

−3 c1 + c2 − 3 c3 = −1

c1 + 3 c2 + 4 c3 = −19/4

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 12/45

c1 − c2 − c3 = 1

2 c1 + c2 + 3 c3 = −2

−3 c1 + c2 − 3 c3 = −1

c1 + 3 c2 + 4 c3 = −19/4

Este sistema tiene como matriz aumentada quereducida queda:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 12/45

c1 − c2 − c3 = 1

2 c1 + c2 + 3 c3 = −2

−3 c1 + c2 − 3 c3 = −1

c1 + 3 c2 + 4 c3 = −19/4

Este sistema tiene como matriz aumentada quereducida queda:

1 −1 −1 1

2 1 3 −2

−3 1 −3 −1

1 3 4 −19/4

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 12/45

c1 − c2 − c3 = 1

2 c1 + c2 + 3 c3 = −2

−3 c1 + c2 − 3 c3 = −1

c1 + 3 c2 + 4 c3 = −19/4

Este sistema tiene como matriz aumentada quereducida queda:

1 −1 −1 1

2 1 3 −2

−3 1 −3 −1

1 3 4 −19/4

1 0 0 −1/2

0 1 0 −7/4

0 0 1 1/4

0 0 0 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 13/45

Vemos que el sistema tiene solución

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 13/45

Vemos que el sistema tiene solución (En esteejemplo tiene solución única, pero lo que importaes si tiene o no solución).

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 13/45

Vemos que el sistema tiene solución (En esteejemplo tiene solución única, pero lo que importaes si tiene o no solución). Por tanto, si existen c1,c2 y c3 que satisfacen

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x)

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 13/45

Vemos que el sistema tiene solución (En esteejemplo tiene solución única, pero lo que importaes si tiene o no solución). Por tanto, si existen c1,c2 y c3 que satisfacen

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x)

Por consiguiente,

p(x) sí pertenece a Gen {p1(x), p2(x), p3(x)} �

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 14/45

Observaci onEs importante observar la relación entre

1− 2 x− x2 − 19/4 x3 = c1 (1 + 2 x− 3 x2 + x3)+

c2 (−1 + x+ x2 + 3 x3)+

c3 (−1 + 3 x− 3 x2 + 4 x3)

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 14/45

Observaci onEs importante observar la relación entre

1− 2 x− x2 − 19/4 x3 = c1 (1 + 2 x− 3 x2 + x3)+

c2 (−1 + x+ x2 + 3 x3)+

c3 (−1 + 3 x− 3 x2 + 4 x3)

y la matriz aumentada:

1 −1 −1 1

2 1 3 −2

−3 1 −3 −1

1 3 4 −19/4

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 15/45

El efecto final es como si los polinomios seconvirtieran en un vector columna.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 15/45

El efecto final es como si los polinomios seconvirtieran en un vector columna. El proceso deconversión consiste en tomar en orden , iniciandocon el término constante, solo los coeficientes delpolinomio y formar un vector columna.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 15/45

El efecto final es como si los polinomios seconvirtieran en un vector columna. El proceso deconversión consiste en tomar en orden , iniciandocon el término constante, solo los coeficientes delpolinomio y formar un vector columna. A esteproceso de convertir un polinomio en un vectorcolumna lo llamaremos vectorización de unpolinomio.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 16/45

NotaTambién es importante señalar que el procesopara verificar si un vector en R

n es combinaciónlineal de un conjunto de vectores,

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 16/45

NotaTambién es importante señalar que el procesopara verificar si un vector en R

n es combinaciónlineal de un conjunto de vectores, que consistíaen formar una matriz aumentada donde en laprimera parte entran los vectores del conjuntocomo columnas y en la parte aumentada entra elvector como columna,

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 16/45

NotaTambién es importante señalar que el procesopara verificar si un vector en R

n es combinaciónlineal de un conjunto de vectores, que consistíaen formar una matriz aumentada donde en laprimera parte entran los vectores del conjuntocomo columnas y en la parte aumentada entra elvector como columna, sigue siendo válido usandovectorizaci on en el caso de vectores que sonpolinomios o matrices.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 17/45

Ejemplo

Indique si

Gen

p1(x) = 1 + x+ x2

p2(x) = 1

p3(x) = −1− x2

p4(x) = x2

= P2

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 17/45

Ejemplo

Indique si

Gen

p1(x) = 1 + x+ x2

p2(x) = 1

p3(x) = −1− x2

p4(x) = x2

= P2

Soluci onDebemos ver si cualquier polinomiop(x) = a+ b x+ c x2 es siempre combinación linealde los polinomios dados.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 18/45

Es decir, debemos ver que sin importar los valoresde a, b y c existen c1, c2, c3 y c4 tales que:

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x) + c4 p4(x)

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 18/45

Es decir, debemos ver que sin importar los valoresde a, b y c existen c1, c2, c3 y c4 tales que:

p(x) = c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x) + c4 p4(x)

Por las notas anteriores, esto se convierte en lamatriz aumentada que escalonada queda:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 19/45

1 1 −1 0 a

1 0 0 0 b

1 0 −1 1 c

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 19/45

1 1 −1 0 a

1 0 0 0 b

1 0 −1 1 c

1 1 −1 0 a

0 −1 1 0 b− a

0 0 −1 1 c− b

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 19/45

1 1 −1 0 a

1 0 0 0 b

1 0 −1 1 c

1 1 −1 0 a

0 −1 1 0 b− a

0 0 −1 1 c− b

Puesto que los pivotes aparecen en la primeraparte de la matriz aumentada,

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 19/45

1 1 −1 0 a

1 0 0 0 b

1 0 −1 1 c

1 1 −1 0 a

0 −1 1 0 b− a

0 0 −1 1 c− b

Puesto que los pivotes aparecen en la primeraparte de la matriz aumentada, el sistema esconsistente independientemente de los valores dea, b, y c.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 19/45

1 1 −1 0 a

1 0 0 0 b

1 0 −1 1 c

1 1 −1 0 a

0 −1 1 0 b− a

0 0 −1 1 c− b

Puesto que los pivotes aparecen en la primeraparte de la matriz aumentada, el sistema esconsistente independientemente de los valores dea, b, y c. Por tanto, cualquier polinomio p(x) escombinación lineal de p1, p2, p3 y p4.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 19/45

1 1 −1 0 a

1 0 0 0 b

1 0 −1 1 c

1 1 −1 0 a

0 −1 1 0 b− a

0 0 −1 1 c− b

Puesto que los pivotes aparecen en la primeraparte de la matriz aumentada, el sistema esconsistente independientemente de los valores dea, b, y c. Por tanto, cualquier polinomio p(x) escombinación lineal de p1, p2, p3 y p4. Porconsiguiente, tal conjunto de vectores sí generaP2 �

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 20/45

Observaci onEs importante observar que la inclusión delpolinomio cualquiera p(x) = a+ b x+ c x2 no tieneun uso real cuando se pregunta si se genera todoel espacio.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 20/45

Observaci onEs importante observar que la inclusión delpolinomio cualquiera p(x) = a+ b x+ c x2 no tieneun uso real cuando se pregunta si se genera todoel espacio. También es de observar que este tipode preguntas se responden de igual manera queen el caso de vectores de R

n:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 20/45

Observaci onEs importante observar que la inclusión delpolinomio cualquiera p(x) = a+ b x+ c x2 no tieneun uso real cuando se pregunta si se genera todoel espacio. También es de observar que este tipode preguntas se responden de igual manera queen el caso de vectores de R

n: se forma unamatriz con los vectores, y se aplica gauss-jordan.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 20/45

Observaci onEs importante observar que la inclusión delpolinomio cualquiera p(x) = a+ b x+ c x2 no tieneun uso real cuando se pregunta si se genera todoel espacio. También es de observar que este tipode preguntas se responden de igual manera queen el caso de vectores de R

n: se forma unamatriz con los vectores, y se aplica gauss-jordan.Si cada renglón tiene un pivote, el conjuntosı genera al espacio vectorial completo.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 20/45

Observaci onEs importante observar que la inclusión delpolinomio cualquiera p(x) = a+ b x+ c x2 no tieneun uso real cuando se pregunta si se genera todoel espacio. También es de observar que este tipode preguntas se responden de igual manera queen el caso de vectores de R

n: se forma unamatriz con los vectores, y se aplica gauss-jordan.Si cada renglón tiene un pivote, el conjuntosı genera al espacio vectorial completo. Si existeun renglón sin pivote, el conjunto de vectores nogenera al espacio vectorial completo.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 20/45

Observaci onEs importante observar que la inclusión delpolinomio cualquiera p(x) = a+ b x+ c x2 no tieneun uso real cuando se pregunta si se genera todoel espacio. También es de observar que este tipode preguntas se responden de igual manera queen el caso de vectores de R

n: se forma unamatriz con los vectores, y se aplica gauss-jordan.Si cada renglón tiene un pivote, el conjuntosı genera al espacio vectorial completo. Si existeun renglón sin pivote, el conjunto de vectores nogenera al espacio vectorial completo. Pero losvectores, ya sean polinomios o matrices, debenvectorizarse.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 21/45

Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales

Es importante tener en mente los generadoresusuales de los espacios vectoriales quetrabajaremos.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 21/45

Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales

Es importante tener en mente los generadoresusuales de los espacios vectoriales quetrabajaremos.Ejemplos

Es cierto que:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 21/45

Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales

Es importante tener en mente los generadoresusuales de los espacios vectoriales quetrabajaremos.Ejemplos

Es cierto que:1. {e1, e2, . . . , en} genera a R

n.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 21/45

Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales

Es importante tener en mente los generadoresusuales de los espacios vectoriales quetrabajaremos.Ejemplos

Es cierto que:1. {e1, e2, . . . , en} genera a R

n.2. {1, x, x2, . . . , xn} genera a Pn.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 21/45

Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales

Es importante tener en mente los generadoresusuales de los espacios vectoriales quetrabajaremos.Ejemplos

Es cierto que:1. {e1, e2, . . . , en} genera a R

n.2. {1, x, x2, . . . , xn} genera a Pn.3. {1, x, x2, . . .} genera a P.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 21/45

Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales

Es importante tener en mente los generadoresusuales de los espacios vectoriales quetrabajaremos.Ejemplos

Es cierto que:1. {e1, e2, . . . , en} genera a R

n.2. {1, x, x2, . . . , xn} genera a Pn.3. {1, x, x2, . . .} genera a P.4. {E11,E12,E13, . . . ,Emn, } genera a Mm×n.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 22/45

Reducción del conjunto generador

En ciertas situaciones es importante determinarun conjunto de generadores reducido.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 22/45

Reducción del conjunto generador

En ciertas situaciones es importante determinarun conjunto de generadores reducido. Para ello,deberemos ser capaces de eliminar de unconjunto generador ciertos vectores que noaportan información al espacio generado.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 22/45

Reducción del conjunto generador

En ciertas situaciones es importante determinarun conjunto de generadores reducido. Para ello,deberemos ser capaces de eliminar de unconjunto generador ciertos vectores que noaportan información al espacio generado. Elsiguiente resultado indica cuáles vectores sepueden eliminar de un conjunto generador.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 22/45

Reducción del conjunto generador

En ciertas situaciones es importante determinarun conjunto de generadores reducido. Para ello,deberemos ser capaces de eliminar de unconjunto generador ciertos vectores que noaportan información al espacio generado. Elsiguiente resultado indica cuáles vectores sepueden eliminar de un conjunto generador.

Teorema

Si uno de los vectores v1, v2, . . . ,vk delespacio vectorial V es combinación lineal delos restantes, el generado permanece igualsi se elimina dicho vector.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 23/45

Ejemplo

Considere los vectores:

v1 = −5 + 4 x+ x3

v2 = 5− 2 x− x2 − 6 x3

v3 = 2− x+ 2 x2 + 6 x3

v4 = 6− 2 x− 6 x2 + 6 x3

v5 = 9− 4 x+ 3 x2 + 6 x3

y suponga que

W = Gen {v1,v2,v3,v4,v5}

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 24/45

Indique qué opciones contienen vectores que sepueden remover del generador y que el conjuntorestante puede seguir generando W1. v3,v4

2. v3,v5

3. v1,v5

4. v2

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 25/45

Soluci onFormamos [v1v2v5|v3v4] y reducimos:

−5 5 9 2 6

4 −2 −4 −1 −2

0 −1 3 2 −6

3 −6 6 6 6

1 0 0 0 0

0 1 0 −1/2 0

0 0 1 1/2 0

0 0 0 0 1

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 25/45

Soluci onFormamos [v1v2v5|v3v4] y reducimos:

−5 5 9 2 6

4 −2 −4 −1 −2

0 −1 3 2 −6

3 −6 6 6 6

1 0 0 0 0

0 1 0 −1/2 0

0 0 1 1/2 0

0 0 0 0 1

Concluimos que como queda un pivote en la parte derecha v3 y v4

no pueden ser removidos simult aneamente y seguir generando el

mismo espacio.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 26/45

Formamos [v1v2v4|v3v5] y reducimos:

−5 5 6 2 9

4 −2 −2 −1 −4

0 −1 −6 2 3

3 −6 6 6 6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 2

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 26/45

Formamos [v1v2v4|v3v5] y reducimos:

−5 5 6 2 9

4 −2 −2 −1 −4

0 −1 −6 2 3

3 −6 6 6 6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 2

Concluimos que como queda un pivote en la parte derecha v3 y v5

no pueden ser removidos simult aneamente y seguir generando el

mismo espacio.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 27/45

Formamos [v2v3v4|v1v5] y reducimos:

5 2 6 −5 9

−2 −1 −2 4 −4

−1 2 −6 0 3

−6 6 6 3 6

1 0 0 0 1

0 1 0 0 2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 27/45

Formamos [v2v3v4|v1v5] y reducimos:

5 2 6 −5 9

−2 −1 −2 4 −4

−1 2 −6 0 3

−6 6 6 3 6

1 0 0 0 1

0 1 0 0 2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

Concluimos que como queda un pivote en la parte derecha v1 y v5

no pueden ser removidos simult aneamente y seguir generando el

mismo espacio.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 28/45

Formamos [v1v3v4v5|v2] y reducimos:

−5 2 6 9 5

4 −1 −2 −4 −2

0 2 −6 3 −1

3 6 6 6 −6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 −2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 28/45

Formamos [v1v3v4v5|v2] y reducimos:

−5 2 6 9 5

4 −1 −2 −4 −2

0 2 −6 3 −1

3 6 6 6 −6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 −2

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

Concluimos que no como queda un pivote en la parte derecha v2

sí puede ser removido y seguir generando el mismo espacio �

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 29/45

Dependencia Lineal

Después de espacios generados, el siguienteconcepto en importancia en espacios vectorialeses el concepto de dependencia o independencialineal.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 29/45

Dependencia Lineal

Después de espacios generados, el siguienteconcepto en importancia en espacios vectorialeses el concepto de dependencia o independencialineal. Este concepto es el mismo que en R

n.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 29/45

Dependencia Lineal

Después de espacios generados, el siguienteconcepto en importancia en espacios vectorialeses el concepto de dependencia o independencialineal. Este concepto es el mismo que en R

n.Este concepto en R

n involucraba combinacioneslineales y el vector cero.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 29/45

Dependencia Lineal

Después de espacios generados, el siguienteconcepto en importancia en espacios vectorialeses el concepto de dependencia o independencialineal. Este concepto es el mismo que en R

n.Este concepto en R

n involucraba combinacioneslineales y el vector cero. Estos están presentes encualquier espacio vectorial.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 30/45

Se dice que un conjunto de vectores v1, v2, . . . ,vk

es linealmente dependiente

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 30/45

Se dice que un conjunto de vectores v1, v2, . . . ,vk

es linealmente dependiente si hay escalares c1, c2,. . . , ck no todos ceros tales que

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 30/45

Se dice que un conjunto de vectores v1, v2, . . . ,vk

es linealmente dependiente si hay escalares c1, c2,. . . , ck no todos ceros tales que

c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 30/45

Se dice que un conjunto de vectores v1, v2, . . . ,vk

es linealmente dependiente si hay escalares c1, c2,. . . , ck no todos ceros tales que

c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0

Se dice linealmente independiente si no eslinealmente dependiente;

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 30/45

Se dice que un conjunto de vectores v1, v2, . . . ,vk

es linealmente dependiente si hay escalares c1, c2,. . . , ck no todos ceros tales que

c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0

Se dice linealmente independiente si no eslinealmente dependiente; esto es, que la únicacombinación lineal que da el vector cero es la quetiene todos sus coeficientes cero.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 30/45

Se dice que un conjunto de vectores v1, v2, . . . ,vk

es linealmente dependiente si hay escalares c1, c2,. . . , ck no todos ceros tales que

c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0

Se dice linealmente independiente si no eslinealmente dependiente; esto es, que la únicacombinación lineal que da el vector cero es la quetiene todos sus coeficientes cero. Se dice que unconjunto de vectores infinito es linealmentedependiente si posee un conjunto de vectoresfinito que es linealmente dependiente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 31/45

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por las siguientesmatrices es linealmente dependiente oindependiente.

A1 =

2 2

1 1

, A2 =

2 2

2 0

, A3 =

1 2

0 2

, A4 =

8 1

5 5

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 31/45

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por las siguientesmatrices es linealmente dependiente oindependiente.

A1 =

2 2

1 1

, A2 =

2 2

2 0

, A3 =

1 2

0 2

, A4 =

8 1

5 5

Soluci onLo que debemos determinar es cómo deben serlas constantes c1, c2, c3 y c4 para que se cumpla:

c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 31/45

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por las siguientesmatrices es linealmente dependiente oindependiente.

A1 =

2 2

1 1

, A2 =

2 2

2 0

, A3 =

1 2

0 2

, A4 =

8 1

5 5

Soluci onLo que debemos determinar es cómo deben serlas constantes c1, c2, c3 y c4 para que se cumpla:

c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0

Siguiendo las observaciones hechas conanterioridad, esto se convierte en la matrizaumentada que se reduce en:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 32/45

2 2 1 8 0

2 2 2 1 0

1 2 0 5 0

1 0 2 5 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 32/45

2 2 1 8 0

2 2 2 1 0

1 2 0 5 0

1 0 2 5 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 32/45

2 2 1 8 0

2 2 2 1 0

1 2 0 5 0

1 0 2 5 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

Puesto que el sistema tiene solución única, losúnicos valores que cumplen la anterior igualdadson:

c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0, c4 = 0.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 32/45

2 2 1 8 0

2 2 2 1 0

1 2 0 5 0

1 0 2 5 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

Puesto que el sistema tiene solución única, losúnicos valores que cumplen la anterior igualdadson:

c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0, c4 = 0.

Por lo tanto, el conjunto formado con esasmatrices es linealmente independiente �

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 33/45

Si el sistema hubiera tenido una columna sinpivote en la parte de la matriz de coeficientes,

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 33/45

Si el sistema hubiera tenido una columna sinpivote en la parte de la matriz de coeficientes, elsistema hubiera tenido una variable libre,

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 33/45

Si el sistema hubiera tenido una columna sinpivote en la parte de la matriz de coeficientes, elsistema hubiera tenido una variable libre, y portanto el sistema hubiera tenido infinitas soluciones,

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 33/45

Si el sistema hubiera tenido una columna sinpivote en la parte de la matriz de coeficientes, elsistema hubiera tenido una variable libre, y portanto el sistema hubiera tenido infinitas soluciones,y por tanto, el conjunto en ese caso hubiera sidolinealmente dependiente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 34/45

Observaci onEs importante observar que incluir la matriz deceros no tiene un uso real cuando se pregunta siun conjunto es dependiente o independiente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 34/45

Observaci onEs importante observar que incluir la matriz deceros no tiene un uso real cuando se pregunta siun conjunto es dependiente o independiente.También es de observar que este tipo depreguntas se responden de igual manera que en elcaso de vectores de R

n:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 34/45

Observaci onEs importante observar que incluir la matriz deceros no tiene un uso real cuando se pregunta siun conjunto es dependiente o independiente.También es de observar que este tipo depreguntas se responden de igual manera que en elcaso de vectores de R

n: se forma una matriz conlos vectores, y se aplica gauss-jordan.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 34/45

Observaci onEs importante observar que incluir la matriz deceros no tiene un uso real cuando se pregunta siun conjunto es dependiente o independiente.También es de observar que este tipo depreguntas se responden de igual manera que en elcaso de vectores de R

n: se forma una matriz conlos vectores, y se aplica gauss-jordan. Si cadacolumna tiene un pivote, el conjunto sı eslinealmente independiente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 34/45

Observaci onEs importante observar que incluir la matriz deceros no tiene un uso real cuando se pregunta siun conjunto es dependiente o independiente.También es de observar que este tipo depreguntas se responden de igual manera que en elcaso de vectores de R

n: se forma una matriz conlos vectores, y se aplica gauss-jordan. Si cadacolumna tiene un pivote, el conjunto sı eslinealmente independiente. Si existe una columnasin pivote, el conjunto de vectores es lineamentedependiente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 34/45

Observaci onEs importante observar que incluir la matriz deceros no tiene un uso real cuando se pregunta siun conjunto es dependiente o independiente.También es de observar que este tipo depreguntas se responden de igual manera que en elcaso de vectores de R

n: se forma una matriz conlos vectores, y se aplica gauss-jordan. Si cadacolumna tiene un pivote, el conjunto sı eslinealmente independiente. Si existe una columnasin pivote, el conjunto de vectores es lineamentedependiente. Pero los vectores, ya seanpolinomios o matrices, deben vectorizarse.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 35/45

Pruebas de dependencia lineal

Como se ha visto, para determinar si un conjuntoes linealmente dependiente o independiente ha deaplicarse el proceso de Gauss-Jordan.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 35/45

Pruebas de dependencia lineal

Como se ha visto, para determinar si un conjuntoes linealmente dependiente o independiente ha deaplicarse el proceso de Gauss-Jordan. Sinembargo, a veces se pueden revisar a simple vistaciertas pruebas y concluir sin necesidad deGauss-Jordan.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 35/45

Pruebas de dependencia lineal

Como se ha visto, para determinar si un conjuntoes linealmente dependiente o independiente ha deaplicarse el proceso de Gauss-Jordan. Sinembargo, a veces se pueden revisar a simple vistaciertas pruebas y concluir sin necesidad deGauss-Jordan. Las pruebas pueden sumarizarseen el siguiente resultado.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 36/45

TeoremaSea S un conjunto de vectores del espaciovectorial V , S es linealmente dependiente si

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 36/45

TeoremaSea S un conjunto de vectores del espaciovectorial V , S es linealmente dependiente si■ teniendo un solo vector el vector es el vector

cero, o

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 36/45

TeoremaSea S un conjunto de vectores del espaciovectorial V , S es linealmente dependiente si■ teniendo un solo vector el vector es el vector

cero, o■ tiene al vector cero como elemento, o

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 36/45

TeoremaSea S un conjunto de vectores del espaciovectorial V , S es linealmente dependiente si■ teniendo un solo vector el vector es el vector

cero, o■ tiene al vector cero como elemento, o■ teniendo dos vectores uno es un múltiplo escalar

del otro, o

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 36/45

TeoremaSea S un conjunto de vectores del espaciovectorial V , S es linealmente dependiente si■ teniendo un solo vector el vector es el vector

cero, o■ tiene al vector cero como elemento, o■ teniendo dos vectores uno es un múltiplo escalar

del otro, o■ contiene un subconjunto de vectores que es

linealmente dependiente, o

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 36/45

TeoremaSea S un conjunto de vectores del espaciovectorial V , S es linealmente dependiente si■ teniendo un solo vector el vector es el vector

cero, o■ tiene al vector cero como elemento, o■ teniendo dos vectores uno es un múltiplo escalar

del otro, o■ contiene un subconjunto de vectores que es

linealmente dependiente, o■ hay un vector de S que es combinación de los

vectores restantes en S.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 37/45

Unicidad de la combinación lineal

Teorema

Sea S = {v1,v2, . . . ,vk} un conjunto devectores del espacio vectorial V que eslinealmente independiente. Entonces

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 37/45

Unicidad de la combinación lineal

Teorema

Sea S = {v1,v2, . . . ,vk} un conjunto devectores del espacio vectorial V que eslinealmente independiente. Entonces1. Si v es un vector que pertenece al

generado por S, entonces v se escribe deforma única como combinación lineal deS. Esto es, si

v = a1 v1+a2 v2+· · · ak vk = b1 v1+b2 v2+· · · bk vk

entonces a1 = b1, a2 = b2,. . . , ak = bk.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 37/45

Unicidad de la combinación lineal

Teorema

Sea S = {v1,v2, . . . ,vk} un conjunto devectores del espacio vectorial V que eslinealmente independiente. Entonces1. Si v es un vector que pertenece al

generado por S, entonces v se escribe deforma única como combinación lineal deS. Esto es, si

v = a1 v1+a2 v2+· · · ak vk = b1 v1+b2 v2+· · · bk vk

entonces a1 = b1, a2 = b2,. . . , ak = bk.2. Si v es un vector que no pertenece al

generado por S, entonces{v1,v2, . . . ,vk,v} es linealmenteindependiente.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 38/45

Base

El concepto de base es uno de las másimportantes en los espacios vectoriales.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 38/45

Base

El concepto de base es uno de las másimportantes en los espacios vectoriales. Esteconcepto tiene que ver con conjuntos degeneradores minimales.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 38/45

Base

El concepto de base es uno de las másimportantes en los espacios vectoriales. Esteconcepto tiene que ver con conjuntos degeneradores minimales. Es decir, con conjuntosgeneradores donde cada vector aportainformación que los vectores restantes en el conjuntono poseen .

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 38/45

Base

El concepto de base es uno de las másimportantes en los espacios vectoriales. Esteconcepto tiene que ver con conjuntos degeneradores minimales. Es decir, con conjuntosgeneradores donde cada vector aportainformación que los vectores restantes en el conjuntono poseen .Sea B un conjunto no vacío de vectores delespacio vectorial V distinto de cero, B es una basepara V si:

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 38/45

Base

El concepto de base es uno de las másimportantes en los espacios vectoriales. Esteconcepto tiene que ver con conjuntos degeneradores minimales. Es decir, con conjuntosgeneradores donde cada vector aportainformación que los vectores restantes en el conjuntono poseen .Sea B un conjunto no vacío de vectores delespacio vectorial V distinto de cero, B es una basepara V si:1. B es linealmente independiente, y

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 38/45

Base

El concepto de base es uno de las másimportantes en los espacios vectoriales. Esteconcepto tiene que ver con conjuntos degeneradores minimales. Es decir, con conjuntosgeneradores donde cada vector aportainformación que los vectores restantes en el conjuntono poseen .Sea B un conjunto no vacío de vectores delespacio vectorial V distinto de cero, B es una basepara V si:1. B es linealmente independiente, y2. B genera a V .

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 39/45

EjemploIndique en cuáles opciones el conjunto dado es base para M22 :

1. B1 =

1 5

0 5

,

−5 −6

−1 2

,

3 3

−4 −5

,

4 −4

−6 6

2. B2 =

−4 −2

−5 −1

,

−3 5

−2 −2

,

6 2

−5 6

,

−5 −4

−1 3

,

0 0

−2 4

3. B3 =

4 6

−5 −6

,

0 −2

1 1

,

−6 −6

2 1

,

0 2

−5 0

4. B4 =

0 0

−5 4

,

−4 −4

−1 −16

,

1 1

4 1

,

−2 −2

−33 18

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 40/45

Soluci onVeamos si B1 es base : Formemos la matriz cuyas columnas sonlos elementos de B1 vectorizados y reduzcamos:

1 −5 3 4

5 −6 3 −4

0 −1 −4 −6

5 2 −5 6

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 40/45

Soluci onVeamos si B1 es base : Formemos la matriz cuyas columnas sonlos elementos de B1 vectorizados y reduzcamos:

1 −5 3 4

5 −6 3 −4

0 −1 −4 −6

5 2 −5 6

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Como en cada renglón hay pivote, B1 genera a M22. Como encada columna hay pivote, B1 es linealmente independiente.Como B1 genera a M22 y es linealmente independiente, B1 esbase para M22.

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 41/45

Veamos si B2 es base : Formemos la matriz cuyas columnas sonlos elementos de B2 vectorizados y reduzcamos:

−4 −3 6 −5 0

−2 5 2 −4 0

−5 −2 −5 −1 −2

−1 −2 6 3 4

1 0 0 0 −392/1893

0 1 0 0 364/1893

0 0 1 0 794/1893

0 0 0 1 1048/1893

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 41/45

Veamos si B2 es base : Formemos la matriz cuyas columnas sonlos elementos de B2 vectorizados y reduzcamos:

−4 −3 6 −5 0

−2 5 2 −4 0

−5 −2 −5 −1 −2

−1 −2 6 3 4

1 0 0 0 −392/1893

0 1 0 0 364/1893

0 0 1 0 794/1893

0 0 0 1 1048/1893

Como en cada renglón hay pivote, B2 genera a M22. Comohay una columna sin pivote, B2 es linealmente dependiente.Como B2 es linealmente dependiente, B2 no es base paraM22.

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 42/45

Veamos si B4 es base : Formemos la matriz cuyas columnas sonlos elementos de B4 vectorizados y reduzcamos:

0 −4 1 −2

0 −4 1 −2

−5 −1 4 −33

4 −16 1 18

1 0 −3/4 13/2

0 1 −1/4 1/2

0 0 0 0

0 0 0 0

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Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 42/45

Veamos si B4 es base : Formemos la matriz cuyas columnas sonlos elementos de B4 vectorizados y reduzcamos:

0 −4 1 −2

0 −4 1 −2

−5 −1 4 −33

4 −16 1 18

1 0 −3/4 13/2

0 1 −1/4 1/2

0 0 0 0

0 0 0 0

Como hay al menos un renglón sin pivote, B4 no genera aM22. Con eso basta para decir que B4 no es base para M22.Como hay una columna sin pivote, B4 es linealmentedependiente. Con eso también bastaba para afirmar que B4

no es base para M22 �

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 43/45

Todo espacio tiene base

Una de las necesidades más grandes en espaciosvectoriales es la de determinar una base para unespacio vectorial.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 43/45

Todo espacio tiene base

Una de las necesidades más grandes en espaciosvectoriales es la de determinar una base para unespacio vectorial. El siguiente resultado es de tipoteórico y da la garantía de bases siempre existen.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 43/45

Todo espacio tiene base

Una de las necesidades más grandes en espaciosvectoriales es la de determinar una base para unespacio vectorial. El siguiente resultado es de tipoteórico y da la garantía de bases siempre existen.

Teorema

Cualquier espacio vectorial tiene una base.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 44/45

Unicidad de la representación

El siguiente resultado ayudará a definir el conceptovector de coordenadas de un vector respecto auna base dada.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 44/45

Unicidad de la representación

El siguiente resultado ayudará a definir el conceptovector de coordenadas de un vector respecto auna base dada. Desde un punto de vista teórico,caracteriza en forma precisa lo que es una base.

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 44/45

Unicidad de la representación

El siguiente resultado ayudará a definir el conceptovector de coordenadas de un vector respecto auna base dada. Desde un punto de vista teórico,caracteriza en forma precisa lo que es una base.

Teorema

Un subconjunto B = {v1,v2, . . . ,vk} de unespacio vectorial V es una base para V si ysólo si para cada vector v en V existenescalares c1, c2,. . . ,ck unicos tales que

v = c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk

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IntroduccionEsapcio GeneradoEjemplo 1Ejemplo 2Nota 2Nota 3Ejemplo 3GeneradoresConocidosReduccion delGeneradorEjemplo 4IntroDependenciaLinealEjemplo 5Nota 4PruebasUnicidadBaseResultadoUnicidad 2

Espacios generados, dependencia lineal y bases Álgebra Lineal - p. 45/45

Demostraci onSea v un elemento cualquiera de V . Como Bgenera a V entonces existen c1, c2,. . . ,ck escalarestales que

v = c1 v1 + · · ·+ ckvk

Esto prueba la existencia de los coeficientes ci.Veamos ahora que los coeficientes son únicos.Supongamos que existan a1, a2,. . . ,ak escalarestales que

v = a1 v1 + · · ·+ akvk

si restamos las anteriores igualdades se tiene:

0 = (c1 − a1)v1 + · · ·+ (ck − ak)vk

como el conjunto B es linealmente independiente,entonces los coeficientes de la anteriorcombinación lineal deben todos ser cero:

c − a = 0, ∀i = 1, . . . , k