Lezione 14 2015 - Roma Tre Universitydmf.matfis.uniroma3.it/corsi_files/70/Lezione_14_2015.pdfLezione_14_2015.ppt Author enzo branchini Created Date 5/25/2015 11:58:21 AM ...

L’universo ha un’eta’ finita. I segnali luminosi hanno percorso distanze finite. In un modello di Friedmann la luce non ha percorso distanze sufficientemente grandi da poter rendere conto del fatto che regioni causalmente sconnesse all’epoca della ricombinazione hanno temperature simili.

L’orizzonte comovente all’epoca del disaccoppiamento e’ molto minore della distanza comovente percorsa da un fotone tra l’epoca della ricombinazione e quella attuale

€

T = 2.73× (1±10−5)

€

dta(t)0

tdec

∫ <<dta(t)tdec

to

∫

Il valore sperimentale del parametro di densita’ all’epoca attuale e’ vicino ad 1. Nei modelli di Friedmann cio’ pone FORTI vincoli sul valore iniziale di Ω.

Se l’espansione e’ decelerata allora |Ω-1| dovrebbe crescere nel tempo (se non e’ 0)

Se all’epoca attuale |Ω-1| e’ circa 0 e assumiamo un universo di radiazione

€

˙ a a⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

=8π3

Gρ − Ka2 →Ω−1 =

Ka2H 2 =

K˙ a 2

€

a2H 2 ∝ t −1 →Ω−1 −1 ∝ t universo di materia

a2H 2 ∝ t −2 / 3 →Ω−1 −1 ∝ t 2 / 3 universo di radiazione

€

Ω−1 ≤10−5 al disaccoppiamento (t ~ 1013sec.)

Ω−1 ≤10−6 all'equivalenza (t ~ 1012sec.)

Ω−1 ≤10−30 alla transizione EW (t ~ 10-12sec.)

Ω−1 ≤10−60 al tempo di Planck (t ~ 10-43sec.)

1+10-60

1-10-60

La soluzione inflazionaria ai problemi della piattezza e dell’orizzonte e’ quella di ipotizzare che l’universo abbia attraversato (almeno) un BREVE periodo

espansione accelerata durante le sue fasi primordiali. Prima di questo periodo (detto Epoca Inflazionaria) e dopo di esso l’espansione dell’universo e’ avvenuta in

modo decelerato, come negli usuali modelli di Friedmann dominati da fluidi con parametro di Zel’dovich w>-1/3. Fatta salva la recente fase di espansione

accelerata indotta, forse, dalla costante cosmologica. L’ipotesi inflazionaria richiede quindi che:

Durante il periodo inflazionario, l’universo espande in modo accelerato, la pressione del fluido dominante e’ negativa e la lunghezza di Hubble comovente

DECRESCE nel tempo.

Il tipo di evoluzione a(t) dipende dal valore di ω. Se ω=-1 si ha il caso e’ analogo a quello di un universo di de Sitter dominato da una costante cosmologica, ovvero una espansione di tipo esponenziale.

€

˙ ̇ a > 0⇔d aH( )−1

dt< 0⇔ p < −

ρ3⇔ω < −

13

L’esistenza di un periodo di espansione acelerata risolve il problema dell’orizzonte poiche’ garantisce che l’orizzonte comovente all’epoca del disacoppiamento sia molto maggiore di quella percorsa da un fotone tra quell’epoca ed oggi.

In alternativa possiamo dire che, durante l’epoca inflazionaria, il raggio di Hubble comovente rH dimunuisce. Ne segue che due punti a distanza comovente l che sono precedentemente entrati in contatto causale, durante l’inflazione smettono di esserlo (ma NON escono dall’orizzonte delle particelle !). A inflazione conclusa, quando l’universo torna ad espandere in maniera decelarata i due punti possono rientrare in contatto causale.

€

dta(t)0

tdec

∫ >>dta(t)tdec

to

∫

L’esistenza di un periodo di espansione accelerata risolve anche il problema della piattezza poiche’ un periodo di espansione accelerata implica che il prodotto aH cresca col tempo. Ovvero durante l’epoca inflazionaria Ω tende all’unita’.

€

Ω−1 =K

a2H 2INFLAZIONE⎯ → ⎯ ⎯ ⎯

dΩ−1dt

=ddt

Ka2H 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = −

2 | K |˙ a 2

d ˙ a dt

< 0

€

˙ ̇ a > 0 ⇔d(H −1 /a)

dt< 0 ⇔

p < −ρ3

Ovviamente il problema della piattezza e’ risolto in modo tanto piu’ efficace quanto maggiore e’ il grado di piattezza raggiunto durante l’epoca inflazionaria. Come abbiamo visto, in un universo alla Friedmann il grado di piattezza richiesto nelle condizioni iniziali (diciamo all’epoca di Planck) e’ molto grande. Si richiede quindi che un simile grado di piattezza sia ottenuto dall’inflazione. Assumendo per semplicita’ ω=-1 e sapendo che in questo caso H e’ costante abbiamo che Ω-1 decresce come a2. La condizione che si richiede per avere una inflazione efficace nel risolvere il paradosso della piattezza e’ quindi la seguente:

Questo numero di MINIMO di e-folding e’ altresi’ quello minimo necesario a risolvere il problema dell’orizzonte. Un tale aumento del fattore di scala risolve

ANCHE il problema dell’orizzonte cosmologico. €

Ω−1∝ a−2

Ω−1 fine <<10−60⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ →

af2

ai2 >>1060 → af >>1030ai

Sia Φ il valore di aspettazione di un campo scalare con Lagrangiana

A tale campo sono associate una densita’ di energia ed una pressione

Il fluido associato a questo campo non e’ descritto da una equazione di stato ρ(p). Lo e’ se il termine cinetico e’ trascurabile rispetto a quello potenziale (o vicevers):

Quando l’universo diventa dominato da φ (ρφ), l’evoluzione del sistema e’ regolata dalle seguenti equazioni :

€

LΦ =12

˙ Φ 2 −V (Φ,T)

€

ρΦ =12

˙ Φ 2 +V (Φ,T), pΦ =12

˙ Φ 2 −V (Φ,T)

€

H 2 =8πG

3V (Φ) +

12

˙ Φ 2⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ I Eq. Friedmann.

˙ ̇ a = 8πG3

V (Φ) − 12

˙ Φ 2⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ a II Eq. Friedmann.

˙ ̇ Φ + 3H ˙ Φ = −∂V∂Φ

≡ ʹ′ V Adiabaticita' Espansione €

˙ a 2 + Kc 2 = a2 8π3

Gρ

€

˙ ̇ a = − 4π3

G ρ + 3 pc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ a

€

˙ ρ + 3˙ a aρ +

pc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0

Condizione per avere inflazione:

Le equazioni, quindi, si semplificano. Inoltre V deve avere un minimo in cui l’inflazione termina

€

˙ ̇ Φ = 0

€

˙ ̇ a > 0⇔ p < −ρ3⇔ ˙ Φ 2 < V (Φ,T)

€

H 2 =8πG

3V (Φ)[ ] I Eq. Friedmann.

˙ ̇ a = 8πG3

V (Φ)[ ]a II Eq. Friedmann.

˙ ̇ Φ + 3H ˙ Φ = −∂V∂Φ

≡ ʹ′ V Adiabaticita' Espansione

Per risolverle facciamo l’ulteriore approssimazione di slow-roll, ovvero la presenza di un minimo piatto che consenta una lenta evoluzione di Φ:

Le equazioni si semplificano ulteriormente:

Definendo i parametri di slow roll come:

La condizione ε<<1, |η|<<1 e’ necessaria ma non sufficiente per avere slow-roll

€

H 2 ≅8πG

3V I equazione di Friedmann

3H ˙ φ ≅ − ʹ′ V Equazione di continuita'

€

ε =1

16πG ʹ′ V

V⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

, η =1

16πGʹ′ ʹ′ V

V

Manipoliamo ora la condizione per l’inflazione:

Dove nell’ultimo passaggio si e’ utilizzata la condizione di slow-roll.

Ne consegue che Slow-Roll ! Inflazione

L’inverso non e’ sempre valido anche se, in pratica: Inflazione ! ε<1   Inflazione Prolungata ! η<1

Quando φ si avvicina al minimo, comincia ad oscillare e la densita’ di energia del campo viene convertita in materia convenzionale (le particelle acquistano massa). Questo e’ il fenomeno del Reheating

€

˙ ̇ a a

= ˙ H + H 2 > 0⇔−˙ H

H 2 <1⇔ 116πG

ʹ′ V V⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

≡ ε <1

Durante l’inflazione:

L’inflazione estende su scala cosmologica le fluttuazioni quantistiche, creando cosi’ i presupposti per la crescita delle strutture cosmiche.

€

N = lnaf

ai

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = Hdt ≅ −8πG V

ʹ′ V Φ i

Φe

∫ti

t f

∫ dΦ > 70

Inizio: ~300 MeV Fine: ~130 MeV

Pioni annichilano/decadono

Confinamento Quarks Fotoni, Leptoni, Gluoni, Antileptoni, quarks, antiquarks

Pioni (dominanti), protoni, antiprotoni, neutroni, antineutroni, fotoni leptoni carichi e loro neutrini

Fotoni, leptoni + neutrini, barioni (n+p)

Il rapponto numero neutroni/protoni all’equilibrio e’ dato da ([µn-µp]/T∼0) :

Per T>>Tpn=mn-mp=1.3 MeV il numero di neutroni e’ sostanzialmente identico a quello dei protoni.

€

n↔ p + e− + ν

ν + n↔ p + e− e+ + n↔ p + ν

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

µn + µν = µe + µp

€

np(n ) ∝mp(n )T

2π⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 / 2

exp −mp(n ) −µp(n )

T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

nnnp

≅mn

mp

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

3 / 2

exp −mn −mp

T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Inizio: ~130 MeV Fine: ~0.5 MeV

Annichilazione e+ e-

Decadimento Pioni

I muoni si annichinano I neutrini si disaccoppiano

Fotoni, leptoni (e,µ), neutrini, barioni (n,p)

Nel corso dell’era Leptonica il peso statistico effettivo cambia:

Fotoni, leptoni, barioni, neutrini disaccoppiati

All’inizio dell’era tutte le componenti hanno τcoll<<τH e sono quindi in equilibrio. Quasi subito i muoni si annichilano. Mentre l’annichilazione delle coppie elettrone-positrone segna la fine dell’era Leptonica

€

Inizio : ˆ g = (elettroni, muoni, neutrini e fotoni) =

= 2× 2× 2×7 /8 + Nν × 2×7 /8 + 2 ≅ 14.25Fine : ˆ g = ( fotoni) = 2

Durante l’evoluzione dell’universo si assume che l’entropia sia conservata per le componenti in equilibrio termodinamico.

Se si verifica un’annichilazione di coppie al tempo t allora il pero statistico cambia:

All’entropia in un volume V contribuiscono essenzialmente solo le componenti relativistiche

Dal momento che le coppie particella-antiparticella, annichilando, escono dal bilancio termico:

Dove (+) e (-) indicano tempi posteriori (anteriori) all’epoca dell’annichilazione.

Ovvero il fluido di particelle accoppiate si riscalda. L’andamento di T per t>tPlanck e’ descritto dalla legge:

€

S =(ρ + p)V

T=

43ρVT

=43

ˆ g σT 3V2

€

S(− ) = ˆ g (− )2σT(− )

3 V3

= ˆ g (+)2σT(+)

3 V3

= S(+)

€

ˆ g (− ) > ˆ g (+) ⇒ T(+) = T(− )

ˆ g (− )

ˆ g (+)

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 3

> T(−)

€

T = TPa(tP )a(t)

ˆ g (TP )ˆ g (T)

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 3

Prima dell’annichilazione dei µ a T~130 MeV i neutrini sono in equilibrio grazie a reazioni di scattering del tipo:

I valori di τH e di τcoll sono uguali alla temperatura

Quando T diventa inferiore a Tνd i neutrini si disaccoppiano. In quest’epoca le coppie muone-anti muone sono gia’ annichilate, mentre le coppie elettrone-positrone annichilano piu’ tardi quando

I cui tempi scala sono dettati dalla sezione d’urto σWK, delle interazioni deboli.

€

ν e + µ− ↔ν µ + e−,ν µ + µ+ ↔ν e + e+,......

€

τ H =a˙ a ≅ 2t ≅ 2 3

32πGρ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 2

, τ coll ≅1

nLσWKc

nL ≅ 0.1gLkBT!c

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3

, ρ ≅ ˆ g σT 4

2

€

Tνd = 3×1010K

€

Te +e − = 5 ×109K (= 511 KeV )

Quando si disaccoppiano i neutrini hanno la stessa temperatura delle altre specie in equilibrio termodinamico. A quel punto i neutrini relativistici espandono adiabaticamente con legge:

Dopo di che il gas di fotoni/barioni espande adiabaticamente:

La stessa legge e’ seguita dal gas di fotoni, elettroni e positroni fino all’epoca dell’annichilazione elettroni-positroni. Quando çio’ avviene il peso statistico effettivo cambia (da 2+2x2x7/8=11/2 a 2) e la temperatura dei fotoni aumenta, dovendo l’entropia rimanere costante:

Ovvero i fotoni hanno una temperatura 1.4 volte superiore a quella dei neutrini.

€

Tν = Tdν adν /a

€

Tγ =114

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 1/ 3

T(−) ≅1.4T(− ) ≅1.4Tν

€

Tγ = Te +e −ae +e − /a

€

T0ν =4

11⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 3

T0γ ≅1.9 K

n0ν = Nν × 2 × gν ×3ζ(3)4π 2

kBT0ν

!c⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3

≅ Nν ×108 cm-3, n0γ ≅ 3.7Nν−1n0ν

ρ0ν = Nν × 2 × gν ×78σT 4

2c 2 ≅ Nν ×10−34 gcm-3, ρ0γ ≅ 4.8Nν−1 ρ0ν