Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 6 Pagina 1 Lez.6 Il modello circuitale
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Lez.6 Il modello circuitale
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Legge di Kirchhoff
Legge di Kirchhoff delle correnti per gli insiemi di taglio:
“In ogni rete, in ogni istante, è uguale a zero la somma algebrica
(pesata) delle correnti dei lati che costituiscono un insieme di taglio”
Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC):
“In ogni rete, in ogni istante, e per ogni morsetto, è uguale a zero la
somma algebrica (pesata) delle correnti dei lati che interessano quel
morsetto”
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LKC - regole di scrittura
fissare il riferimento di corrente di ogni lato;
scegliere il morsetto e la superficie chiusa associata;
orientare la superficie chiusa con il versore entrante o uscente;
individuare le correnti nel morsetto;
classificare le correnti in due gruppi in base all’orientamento;
“pesare” con un segno tutte le correnti di un gruppo e con segno
opposto tutte le correnti appartenenti all’altro gruppo;
Uguagliare a zero la somma “pesata”.
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LKC - esempio
Morsetto F
+i1 - i7 + i6= 0
-i1 + i7 - i6 = 0
+i1 +i6= + i7
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In ogni rete, in ogni istante, per ogni morsetto, la somma delle correnti
il cui riferimento è concorde con l’orientamento della superficie chiusa
associata al morsetto è uguale alla somma delle correnti il cui
riferimento è discorde con l’orientamento di tale superficie.
La LKC non dipende dalla tipologia dei bipoli ma esclusivamente da come
essi sono collegati.
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La legge di Kirchhoff alle correnti per il morsetto D è:
+ i4(t) + i9(t) + i5(t)= 0
Ricordando il significato di intensità di corrente elettrica, possiamo
affermare che in ogni istante la carica netta entrante nella superficie
chiusa associata al morsetto è nulla, cioè: la carica contenuta nella
superficie chiusa non può variare nel tempo.
4 9
5
D
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Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT):
“In ogni rete, in ogni istante, è uguale a zero la somma algebrica
(pesata) delle tensioni dei lati di una maglia”
LKT - esempio
Maglia M1286
+ v1 - v6 – v8 + v2 = 0
- v1 + v6 + v8 - v2 = 0
+ v1 v6 + v2 = v6+v8
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LKT - regole di scrittura
fissare il riferimento di tensione di ogni lato;
scegliere la maglia;
orientare la maglia ( riferimento orario o antiorario);
individuare le tensioni nei lati della maglia;
classificare le tensioni in due gruppi in base all’orientamento;
“pesare” con un segno tutte le tensioni di un gruppo e con segno
opposto tutte le tensioni appartenenti all’altro gruppo;
Uguagliare a zero la somma “pesata”.
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In ogni rete, in ogni istante, per ogni maglia, la somma delle tensioni di
lato il cui riferimento è concorde con l’orientamento della maglia è
uguale alla somma delle tensioni di lato il cui riferimento è discorde con
l’orientamento della maglia.
La LKC non dipende dalla tipologia dei bipoli ma esclusivamente da come
essi sono collegati.
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La legge di Kirchhoff alle tensioni per l’anello A678 di figura è:
+ v6 + v7 + v8 = 0
Ricordando il significato di tensione elettrica, possiamo affermare che
in ogni istante è nullo il lavoro elettrico sulla carica unitaria lungo una
linea chiusa, ossia: il lavoro elettrico tra due punti è indipendente dal
percorso che li congiunge e può essere espresso come d.d.p.
8
7
6 E F
B
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Circuiti e reti elettriche
Le equazioni LKC e LKC insieme con le caratteristiche dei bipoli
costituiscono il modello circuitale.
Tramite il modello circuitale è possibile risolvere una rete, cioè
conoscere le 2L incognite (tensioni e correnti sui lati della rete).
Le equazioni di Kirchhoff sono lineari, algebriche, a coefficienti
costanti, omogenee.
Le caratteristiche dei bipoli sono, in generale, non lineari, differenziali,
non omogenee.
La tipologia del sistema dipende quindi dal tipo di bipoli connessi.
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Il sistema di equazioni risultante è un sistema ben posto?
Il sistema si dice ben posto se la soluzione esiste ed è unica.
Condizione necessaria affinché il sistema sia ben posto è che le
equazioni indipendenti siano tante quante sono le incognite (2L, nel caso
specifico) (i.e. la matrice dei coefficienti delle incognite ha rango
massimo). Inoltre non deve mai accadere che le equazioni siano tra loro
incompatibili (es. 𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑥 + 𝑦 = 5)
Le caratteristiche dei bipoli sono indipendenti e compatibili tra loro
(hanno sempre 2 incognite in esclusiva). E le LKC e LKT lo sono?
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Problema della topologia
Scrivere in modo intelligente le equazioni LKC e LKT (in modo da
ottenere un sistema di equazioni indipendenti e compatibili)
E’ possibile dimostrare che:
Il numero massimo di equazioni LKC indipendenti è (N-1)
Il numero massimo di equazioni LKT indipendenti è [L-(N-1)]
Le equazioni sono compatibili (Ad eccezione di alcuni casi patologici)
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Il numero massimo di equazioni LKC indipendenti è (N-1)
Perché?. Come trovarle?
Proviamo questa affermazione e rispondiamo alle domande utilizzando
il nostro circuito generico già sopra rappresentato e considerandone il
grafo:
{
𝐴) 𝑖1 − 𝑖2 = 0𝐵) +𝑖2 + 𝑖3 − 𝑖7 + 𝑖8 + 𝑖9 = 0
𝐶) −𝑖3 + 𝑖4 = 0𝐷) −𝑖4 − 𝑖5 − 𝑖9 = 0𝐸) +𝑖5 + 𝑖6 − 𝑖8 = 0𝐹) −𝑖1 − 𝑖6 + 𝑖7 = 0
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Per un grafo orientato possiamo scrivere N equazioni ai nodi.
Supponiamo di scriverle avendo l’accortezza di scegliere sempre lo
stesso criterio per “pesare” le correnti in un nodo.
In particolare, pesiamo con il segno “+” le intensità di corrente con
verso uscente dal morsetto e con il segno “-” quelle calcolate con verso
di riferimento entrante.
Otteniamo il sistema di equazioni sopra riportato:
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In questo modo la corrente in un generico lato, che collega due
morsetti, apparirà solo in due equazioni LKC distinte (quelle relative ai
suoi morsetti): una volta con il segno “+” ed una volta con il segno “-“.
Sommiamo a questo punto tutti i primi membri delle equazioni scritte e
tutti i secondi membri. Per quanto detto otterremo l’identità
00
Tale risultato ci suggerisce che almeno una delle N equazioni scritte
può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre e, pertanto,
l’informazione in essa contenuta è ridondante.
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E’ possibile mostrare che, invece, (N-1) equazioni LKC sono
indipendenti.
Per farlo basta scegliere un albero particolare della rete, avente la
proprietà di non avere più di due lati che confluiscono in un singolo nodo.
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Partiamo dal primo nodo A e scriviamo le LKC progressivamente,
seguendo l’albero (A – B – F –E –D – C)
Ci accorgiamo che, di volta in volta, nello scrivere le equazioni, possiamo
ricavare l’incognita corrente di un ramo di albero in funzione delle
correnti di rami di coalbero (non appartenenti all’albero). Ad es.
nel nodo A la corrente i2 (di albero) può essere ricavata dalla i1 (di
coalbero);
nel nodo B, la corrente i7 può essere ricavata dalle correnti i3, i9, i8
(di coalbero) e dalla corrente i2, la quale in precedenza era stata
ricavata dalla i1 di coalbero ecc.
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L’operazione può essere ripetuta per tutte le (N-1) correnti di albero.
In questo modo abbiamo ottenuto un sistema di (N-1) equazioni in cui
in ogni equazione esiste un’incognita in esclusiva (la corrente di albero),
espressa in funzione delle correnti di coalbero.
Tale condizione è sufficiente per affermare che il sistema di equazioni
è formato da (N-1) equazioni indipendenti.
Lo stesso discorso può essere ripetuto per qualsiasi altro albero della
rete avente le caratteristiche suindicate.
Concludiamo pertanto che per le LKC: E’ sufficiente scrivere (N-1)
equazioni ai morsetti scartandone uno a piacere.
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Il numero massimo di equazioni LKT indipendenti è [L-(N-1)]
Perché?, Come trovarle?
Innanzitutto notiamo che, per scrivere correttamente le LKT, è
necessario fissare il verso di riferimento per le tensioni su ogni lato.
Per semplicità, anche se non necessario, fissiamo su ogni lato la
convenzione dell’utilizzatore. In questo modo, fissata la stessa
convenzione su ogni lato, tutte le tensioni sono automaticamente
orientate: basterà seguire il verso di orientamento scelto per le
intensità di corrente di lato.
Le LKT potranno perciò essere scritte utilizzando solo l’orientazione
dei lati.
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Usiamo ora un albero della rete per scrivere le LKT. Vediamo come.
Ricordiamo che i lati del coalbero sono [L-(N-1)].
Partiamo dal generico albero della rete in figura.
{
𝑀127) +𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣7 = 0
𝑀678) −𝑣6 − 𝑣7 − 𝑣8 = 0
𝑀5679) +𝑣5 − 𝑣6 − 𝑣7 − 𝑣9 = 0
𝑀34567) −𝑣3 − 𝑣4 + 𝑣5 − 𝑣6 − 𝑣7 = 0
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Aggiungiamo di volta in volta ad esso un lato del coalbero. Per
definizione, ogni volta che aggiungiamo tale lato di coalbero, otteniamo
un percorso chiuso, ossia una maglia della rete.
Per ognuna di queste maglie ottenute scriviamo la corrispondente LKT.
Otterremo il sistema sopra riportato.
In esso esisterà sempre una tensione incognita in esclusiva, data dalla
tensione sull’unico lato di coalbero aggiunto, la quale è scritta in
funzione delle tensioni sui lati di albero.
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Ad esempio:
aggiungiamo il ramo 1 e otteniamo la maglia M127; la tensione v1 di
coalbero è scritta in funzione delle tensioni di albero v2 e v7;
aggiungiamo il ramo8 otteniamo la maglia M678 ecc. La tensione v8 di
coalbero è scritta in funzione delle tensioni di albero v2 e v7;
Si ottiene in questo modo un insieme di [L-(N-1)] maglie che
chiameremo maglie fondamentali.
Questa condizione è sufficiente per affermare che le [L-(N-1)]
equazioni scritte sono indipendenti.
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Inoltre, ogni altra maglia può essere ottenuta come “unione” di maglie
fondamentali, il che implica che qualsiasi altra LKT dipende linearmente
da quelle già scritte.
Infatti, proviamo a scrivere la LKT per la maglia M1268, ottenuta come
“unione” delle maglie M127 e M678, ove per operazione di “unione” tra due
maglie si intende l’operazione per la quale si elidono i lati comuni (in
questo caso il lato 7) e si lasciano tutti gli altri lati (in questo caso
1268).
Supponiamo di aver fatto la convenzione dell’utilizzatore su tutti i
bipoli e scriviamo le LKT per le maglie M127 e M678 avendo cura di
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“pesare” le tensioni utilizzando lo stesso criterio e lo stesso verso di
percorrenza delle maglie.
0
;0
768
721
678
127
vvv
vvv
M
M
Ci accorgiamo che, sommando le equazioni membro a membro, otteniamo
una nuova equazione in cui scompare la tensione sul lato comune 7 e in
cui appare la LKT per la maglia M1268.
;086211268 vvvvM
Concludiamo pertanto che per le LKT: E’ sufficiente scrivere [L-(N-1)]
equazioni alle maglie fondamentali.
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Se la rete è piana è possibile scegliere l’albero tale che la maglie
ottenute siano anelli ed è possibile scrivere per essi [L-(N-1)] equazioni
LKT indipendenti.
Attenzione: non sempre tutti gli anelli costituiscono un insieme di
maglie fondamentali. Ciò accade, ad esempio, se esiste almeno un anello
tutto interno ad una rete, il quale non possiede lati in esclusiva.
5
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Conclusione
BIPOLI CAR L
LKT 1-N-L
LKC 1N
Sistema ben posto di 2L equazioni in 2L incognite
Se i bipoli sono adinamici, il sistema di equazioni è algebrico, lineare, a
coefficienti costanti. A meno di casi patologici (es. generatore di
tensione in parallelo a cto cto) esso ammette soluzione unica.
Ricordiamo che tra i metodi di risoluzione possiamo elencare la regola
di Cramer o anche con il metodo di eliminazione di Gauss.
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Esempi di situazioni “patologiche”
Vi sono casi in cui il sistema di equazioni non è ben posto perché
formato da equazioni non compatibili. Ad esempio quando:
1) Esistono una o più maglie formate da soli generatori di tensione e
cortocircuiti
2) Esistono uno o più insiemi di taglio formati da soli generatori di
corrente e circuiti aperti.
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In generale, per la scrittura del sistema fondamentale possiamo anche
rifarci al teorema fondamentale dei grafi:
Dato un grafo G connesso, con l lati e n nodi, e un qualsiasi albero A:
1) Esistono (n-1) lati di albero e [l-(n-1)] lati di coalbero;
2) Aggiungendo un lato di coalbero all’albero si ottengono [l-(n-1)]
maglie fondamentali per le quali scrivere le LKT indipendenti
3) Ad ogni lato di albero si possono aggiungere lati di coalbero
individuando (n-1) insiemi di taglio fondamentali per le quali
scrivere le LKC indipendenti
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Esercizio 1
Risolvere la rete adinamica lineare di figura:
R
i (t)1
1
E
+
R2
R3R4
i (t)2
R5
i (t)3
i (t)4
i (t)5
v 1
v 2
v 5
v 4
v 3
A
B
C
D
i (t)e
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1 2 3 4 5100 ; 5 ; 3 ; 6 ; 4 ; 4 ;E V R R R R R
Scriviamo le equazioni nelle sole incognite correnti
Innanzitutto disegniamo il grafo orientato:
i (t)1
E
i (t)2
i (t)3
i (t)4
i (t)5
v 1
v 2
v 5
v 4
v 3
A
B
C
Di (t)E
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1 2
1 5 4
4 3
1 1 2 2 5 5
4 4 5 5 3 3
2 2 3 3
0
0
0
0
0
e
e
i i i
i i i
i i i
R i R i R i
R i R i R i
R i R i E
Risultati:
1 2 3 4 59.9 ; 12.9 ; 10.2 ; 12.6 ; 2.7 ; 22.8 ;ei A i A i A i A i A i A
Valutiamo le potenze assorbite dai resistori e la potenza erogata da E
1 2 3
4 5
491 ; 500.2 ; 625.5 ;
636.3 ; 29.2 ; 2282.2 ;E
P W P W P W
P W P W P W
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Esistono metodi alternativi per la risoluzione delle reti adinamiche
lineari.
Tra questi, possiamo segnalare il metodo che fa uso delle sole incognite
corrente o delle sole incognite tensione, il metodo della equivalenza tra
bipoli, della connessione elementare “serie”, connessione elementare
“parallelo”, del partitore di corrente, del partitore di tensione, del
principio di sovrapposizione degli effetti.
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Esercizio 2
Risolviamo il circuito di figura avendo cura di:
a) Utilizzare un’unica corrente incognita in bipoli serie (I1 in fig.)
b) Utilizzare un’unica tensione incognita in bipoli parallelo (V4 in fig.)
c) Scrivere le LKT sostituendo direttamente le caratteristiche
{
𝑉1 = 𝐸 = 70 𝑉𝐼4 = 𝐽 = 2𝐴𝑅2 = 10 Ω𝑅3 = 5 Ω
A
V2
V4
I1
I3
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Scriviamo la LKC al nodo A e la LKT all’anello sinistro
(1)(2)
{𝐼1 + 𝐼4 − 𝐼3 = 0
𝑉1 − 𝑅2𝐼1 − 𝑅3𝐼3 = 0
Sostituendo la (1) nella (2)
{𝐼3 = 𝐼1 + 𝐽
𝐸 − 𝑅2𝐼1 − 𝑅3𝐼1 − 𝑅3𝐽 = 0
{
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐽 = 6 𝐴𝐸 − 𝑅3𝐽
(𝑅2 + 𝑅3)= 𝐼1 = 4 𝐴
𝑉2 = 𝑅2𝐼1 = 40 𝑉𝑉3 = 𝑅3𝐼3 = 30 𝑉
{
𝑃𝐸 = 𝑉1𝐼1 = 70 ∙ 4 = 280 𝑊𝑃𝐽 = 𝑉4𝐼4 = 60 𝑊
𝑃𝐽 + 𝑃𝐸 = 340 𝑊 {
𝑃2 = 𝑉2𝐼2 = 160 𝑊𝑃3 = 𝑉3𝐼3 = 180 𝑊𝑃2 + 𝑃3 = 340 𝑊