, ( CAPíTULO 10 J , LEY DE I D uc elO N DE FARADAY 101 LA LEY DE FARADAY Esta ley establece que la f e m inducida E en un circUito es Igual al valor negativo de la rapidez de cambio del flUJO magnético a través del Circuito Esta expresada en voltiOS, 51 el ntmo de cambio de flujo esta expresado en Wb/s I Para una bobma de ·N" vueltas se tiene e", -N-'"-'-' e __ '('-.N_"'-"'L) 1 dI di 102 LEY DE LENZ 'L a f.e ,m y la COrriente Inducidas poseen un sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce" El signo negativo en la ley de Farad ay sug iere es ta oposición s N S N 285 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com
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( CAPíTULO 10 J ,
LEY DE I DucelON DE FARADAY
101 LA LEY DE FARADAY
Esta ley establece que la f e m inducida E en un circUito es Igual al valor negativo de la rapidez de cambio del flUJO magnético a través del Circuito Esta expresada en voltiOS, 51 el ntmo de cambio de flujo esta expresado en Wb/s
I(~-~ I Para una bobma de ·N" vueltas se tiene
e", -N-'"-'-' e __ '('-.N_"'-"'L) 1 dI di
102 LEY DE LENZ
'La f.e ,m y la COrriente Inducidas poseen un sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce" El signo negat ivo en la ley de Farad ay sug iere esta oposición
Luego una vuelta de esta espira tendrá un área de 0,795 m'-
La figura muestra una barra de cobre que se mueve sobre unas vías conductoras con una velocidad v paralela a un alambre recto , largo , que transport a una corriente I Calcu lar la f e m ¡: Inducida en la ba rra. supon iendo que v = 5,0 mIs 1= 100Aa=1,Ocm yb=20cm.
S oluc ión
--i b
r crl ,I i , ' 1:
l' d y
~;
Consideramos un diferencia l de barra dy, que avanza un diferencial de longitud horIZontal dx, entonces el campo a una distanCia y, debido a la comente I es
~ : I
'" B -~
"y este valor es uniforme para un desplazamiento dx hOrizontal
Luego, la f e m inducida en el diferencial de barra es
d, Pero - = v , entonces
dI
dI" B dA ~l oi(dY dX ) IV ) dt 2¡¡y dt
d,· lI ol _. - vdy . 2¡¡y
Fina lmente la fuerza electromotrrz en toda la ba rra es
Un alambre rlgldo doblado en forma de una semldrcunsferencla de radio R gira con una frecuenCia IJ en un campo uniforme B, tal como se muestra en la figura ¿Cuál es la f e m y comente Inducida máXima cuando la resIstencia Interna del medidor M es RM y el resto del ci rcuito t iene una resistencia que se puede ignorar?
Donde e es máximo cuando, Sen (2Itul ) = 1, es deci r a cero grados
luego
, • 'R'B.· ~.
1,., .. -
Rm Rm
la figura muestra una barra de cobre que se
mueve con una velocidad v paralela a un alambre recto largo que tansporta una comente 1. Calcu lar la f e m inducida en la barra, supon iendo que 11 = 5 mIs, I = 100A, a = 1cmy b =20 cm
Solución ,
, --.-.,------'l •
1
--r-¡ -r-t .-'1- -. ~ ........... . Segun la ley de Ampere tenemos que
o, 1 n-' ~ B a una distancia r del alambre es:
l.d:EJj Por la ley de Faraday, sabemos que la f e m Inducida es
1: '" Srll
pero eS1a 1.e m indUCida, varia segun la distancia r, por lo qu e:
Un freno electromagnét ico con · corriente de vértice" consiste en un disco de conduct iv idad (1 y espesor t que gi ra en torno a un eje que pasa, a través de su centro y un campo magné
ticoS perpendicular al plano del disco en una peque~a area a2 ( veáse la figura ), Si el área a2 se encuentra a una distancia r del eje, determinar la expresión aproximada de la torca que tiende a dism inUir la rotación del disco cuando su veloCidad angular instantánea es Igual a ro
Solución
,
~ a a f ,,) O ~
" " B En primer lugar determinamos el campo eléctrico
6 A lo largo del eje de una espira conductora se hace pasa r rápidamente un imán de barra. Hallar la corriente inducida y el ritmo de producción de energía térmica.
Solución
Por la ley de Faraday, sabemos que la f.e.m inducida es:
Pero: i = €IR
( 1)
..... (2)
Reemplazando (1) en (2) y haciendo el artificio de multiplicar y dividir por dx para obtener la velocidad en la expres ión anterior, obtenemos:
y
2 ]' p = : =; (d;s
7 El flujo magnético a través de la espira de la figura es perpendicular al plano de la espira, está dirigido hacia adentro de la página y varra de acuerdo con la relación .
<l>s = 612 + 71 + 1,
En donde (I)e está dado en miliweber ( 1 m Wb = 10.3 Wb) y t está en segundos.
.) ¿Cuál es la fe.m inducida en la , , , , espira después de t = 2s? , , , ,
') ¿Cuál es el sentido de la corriente , , , , a través de R? , , ,
Solución R
a) Por la ley de Faraday, la f.e.In inducida en la espira es:
Recordar que el signo ( - ) indica el sent ido de la f. e.m
(1 )
(Wb)
b) El sentido de la corriente Inducida, según la ley de Lenz es de izquierda a derecha en R
8 La barra conductora de la figura hace contacto con dos riel es metálicos AD y Be sepa rados 50cm en un campo magnético uniforme de 1,0 T perpendicular al plano de la página . La
resistencia total del circuito ASCO es de 0,4 n
t 50 cm
t
, , , , , ,
A , , D '
, , , , , ,
( supuesta constante l· x x B X X e x
al ¿Cuál es la mag nitud y el sentido de la te.m inducida en la ba rra cu ando se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 8,0 mis?
b) ¿Qué fuerza se necesita para mantener a la ba rra en movi miento?
" c) Comparar el ritmo con el cua l la fu erza F realiza trabajo mecán ico con el ritmo de aumento de la energ ra térm ica en el circuito.
Solución
a) Tenemos que la f. e.m inducida es:
E: = B f v (1 )
Reemplazando· B = 1T; l = 0,5 m; v = 8 mIs; en (1) ten dremos que:
1 ' = 4V 1
Por la ley de LENZ, tenemos que el sentido es de 8 hacia A en la figura.
b) La fuerza req uerida pa ra mantener la barra en movimiento está dad o por:
e) La rapidez con que la fuerza F desarrolla t rabajo mecánico es:
W F = F.v = (5) ( 8) ==:> I W F = 40 J/s I
La rap idez con que se produce calor en el circuito es'
(4)'
0,4 => I WJ = 40J/SI
Podemos ver que W F = W J , lo cual venfica la conservación de la energía.
al ¿Cuál sería la corriente in ducida en la espira rectangular de la fig ura , si la corr iente en el alambre dism inuye uniformemente de 30A a cero en 1,Os? Suponer que no exist ía una corriente inicial en la esp ira y que la resistencia de la misma es de 0,02 Q
b) ¿Cuánta energ ía se transfiere a la espira en el intervalo de 1,05? Suponer que a = 1,0 cm, b = 8,0 cm y l = 30cm.
Soluc ión
--,¡- -..u--a y 111 d y
b
a) El campo debido a la corr iente i, a una distancia . y" es'
B=llo i ,
',y
i 1
1
tom ando un diferencia l de área donde este campo es un iforme' dA = ( dy, el flujo infinrtesimal es' d([1 = BdA" entonces:
dtll ::: ~ (F dy) ,,' Luego, integ rando: ...
_I-l o i ' f _dy '11 ::: 2:n: • y
P iI [O+b) ( 1) = -"- " --" ,
Luego, determinamos los f lujos pa ra los dos valores de corriente:
W := POI t = (i2 R)( 1) ~ 1 W := 7,22 10-10JI B.a.(Wblm2)
O'L Perpendicularmente a una espira CIrcular de una vuelta de alambre cuya resis tencia es Ignorable hay un campo magnéllco B que cambia con el tiempo, según la grafica de la figura La espira tiene un radio r ( 10 cm ) y esta conectada a un res lstor R ( 10 Q )_
al Representar gráficamente la f e m a través del resistor 1 2
b) Representar en una gráfica la corriente I a través del reslstor R
3 Jo. (s)
c) Representar en forma gráfica el ritmo de producción de energia térmica en el reslstor
Solución
al En el pnmer lugar, determinamos la ecuación del campo magnético en función del tiempo
, b) Sabemos que: e = iR, enlonces. i = €IR, luego:
, Para O ~ " => " i1 = --
2R
Para 1 ~ 2, => i2 == O 2R
Para 2 ~ 3, =>
, " i3=-
1 ¡}----'---":---,30-,... I(S)
2R
2R
e) El rilmo de producción de energra térmica
es: P = ¡2.R, entonces:
-. 3 t es) ,
11 la figura muestra a dos espiras de alambre de una sola vuelta que t ienen el mismo eje. La espira pequeña está por encima de la grande a una distancia x que es grande comparada con el radio R de la espira mayor. Por lo tanto, con la corriente i ind icada en la espira grande, el campo mag nético producido por ésta es practica mente constante en la región delimitada por la superficie plana m 2 en la espira pequeña. Cons idérese el caso en el que x no es constante, sino que cambia con un rilmo constante dxldt :: v ( con x aumentando ).
a) Determinar el fluJo magnético ve como
la función de x a través del área delimita-. da por la espira pequeña.
Para O ..... 1s ~
Para 1 ~ 2, =>
Para 2 ---> 3s =
, . , , Pj =--
4R
P2 = O
" , , P3 =--
4R
b) Calcular la f.e m E generada en la espira pequeña en el instante en el que x = NR.
c) Determinar la dirección de la corriente inducida en la espira pequei'la si v > O.
a) SI eXiste un campo magnético uniforme ( espacialmente B que apunta en la
dirección x, ¿cuál es la magnitud de la f.e m inducida en el alambre cuando B aumenta con un ritmo de 3,0. 10.3 T/s?
b) ¿Cuál es el sentido de la corriente en el segmento bc?
Solución
a) Primeramente, hallaremos el fluJo magnético que pasa a través de la espira, considerando que si proyectamos la espira sobre el plano yz, solamente existirá flujo en el cuadrante c • o - b, entonces
$e= 8A = 8(nr2/4)
Derivando esta expresión , tenemos
Reemplazando datos:
d41a nr2
dB --= ~ -
dt " dt
~ '" n(O,1)2 .(3 10-3) dI 4
d4>a '" 2 35 10· 5 V dt
y esto no es otra cosa que la f e.m inducida E.
b) Por la ley de LENZ, sabemos que la corriente inducida ' crea ' un campo magnético propio que se opone al cambio de flujo, luego para que ocurra esto, la corriente indUCida debe ir de c hacia b.
Sabemos por la ley de Faraday, que para campos magnéticos que var fan con el tiempo. se cumple:
<!IE .d i = _ d<fl B
dI
de aquí. para una región circular de radio r, se obt iene que:
E = _.2. r [d8] 2 dI
También, sabemos que'
FR == m.a
e.E = m.a ~
Reemplazando (1) en (2) tenemos:
a == e.E/m
a =- ;~ ( :~J Luego. para los puntos ' 8' y ' c' tenemos que:
( - 1,6 10-" )(0,05)(0,01) a = -
2( 9, 11.10- 31 )
la = 4,4.107 m/s2 I
(1)
(2)
De la ley de LENZ, deducimos que la corriente in ducida tiene el sentido de las manecill as del reloJ: por lo que la aceleración en el punto "a' es hacia la izqu ierda y en ' c' hacia la derecha.
Para el punto "b", E = O por lo que la aceleración es CERO.
" 14. El campo magnético uniforme B llena el volu-men de un ci li ndro de rad io R. Dentro del campo, y en la forma mostrada en la fig ura, se coloca una barra metálica de longitud l. Si B cambia con el t iempo a un ritmo dB/dt , demostrar que el campo magnét ico cambiante produce una f.e.m entre los extremos de la barra, que está determ inada por·
15 Un alambre cuadrado de longitud " m asa m y resistencia R resbala Sin fricción a lo la rgo de do!) : ¡eles paralelos de resistencia ¡gnorable, tal como se muestra en la figura Los ricl~s están conectados en Sll extremo final mediante una tira conductora paralela al ala mbre y Sin resistencia, de tal ("rma que el alambre y los rieles forman una espira rectangular conductora El plano ce los neles forman un ángulo O con la hOrizontal y a
¡ravé !:; de esta regl6n existe un campo magnético un iforme B
al Demostrar que el alambre adqui(!l8 una rapidez constante cuya magnitud E:S B
mgRSenO
82
t2 Cos2 a
b) Demostrar que este resul tado concuerda eOIl el prinCipiO de la conservación de la energia ¿Qué cambios, si es que existen, -t-- --- O se producirian si B estuviera dirigido hacia abajO en vez de estarlo haCia arriba?
Solución
a) Hacemos un Del del alambre"
~ ..... O ... F,
e¡ y Debido a la gravedad, el alambre lenderá a acelerar, pero por eslar dentro de un campo magnético, sufrirá una fuerza magnética, por lo que el alambre baja rá con una velocidad reslringid~ y constante que lo deduciremos asl"
O Primero calculamos el flujo que alravieza la
-_.-'._'-''--'~x superficie de la espira formada po r el alambre, los rieles, y la tira '
Al comenzar a resbalar el alambre, se producirá una variaci ón del fl ujo <1I s ' por lo
que se genera una f.e.m dado por:
d$ dx 10 = _ _ _ 8 = - 8 ( Cos e -
d! dI
10 = - 8 , CosO v
Al inducirse una corriente i, tendremos por la segunda ley de Ki rchhoff que:
L f.e.m. = L iR
= iR = B I. Cos O.v
De donde: i = ~B_r~,~C~o~,:.::.9 (1 ) R
Por otro lado, sabemos que al inducirse una corriente, obrará una fuerza opuesta a la velocidad creciente, desde cero hasta un valor que iguale al del peso en el eje x, dado por mg e Así tenemos que:
De donde"
F = F , o
mg Sen O = i_ 1 B Cas O
mgSenO
( BCose (2)
Luego, como se trata de la misma corriente, igualamos (1) con (2):
B '. v.cose mg Sen9
f. BCose R
mgRSenO-
8 2 , 2 Ces2 El
b) Para que se cumpla la conservación de la energía, el ritmo de desgaste del t rabajo mecánico realizado por el peso, debe ser igual al ritmo de creación de energ ía térm ica, por lo que: v = constante.