LEY DE COULOMB
PAGE 16Fsica IIIClase n 1
Gua de estudio Clase 1 U1Antes de la 2da clase de Fsica III, es
decir, durante la 1ra semana de clases, se recomienda:
1) Estudiar alguno de los siguientes captulos de los siguientes
libros:
a) Captulo 21 (Carga elctrica y campo elctrico) del volumen 2 de
Fsica Universitaria de Young, Freedman, Sears, Zemansky (El
Sears)
b) Captulo 25 (Carga elctrica y Ley de Coulomb) del volumen 2 de
Fsica de Resnick, Halliday, Krane (El Resnick)2) Resolver n > 2
problemas de la gua de la U1. Algunos problemas sern explicados en
la clase 1, otros estn explicados en el documento U1 Problemas 9 10
y 11 explicados que se puede encontrar en el websia. Cada alumno
debe intentar resolver por lo menos 3 problemas de la gua adems de
estos.3) Si el estudio de los captulos sugeridos en (1) resulta
demasiado extenso para una semana, en su lugar se puede:
a) Repasar completa la clase 1 de la U1
b) Estudiar el siguiente apunte sobre Ley de Coulomb
Por supuesto las actividades 1(a), 1 (b), 2, 3 (a) y 3(b) no son
excluyentes. Por ejemplo, se puede:
Estudiar el captulo 25 del Resnick
+ el apunte sobre Ley de Coulomb + resolver, por ejemplo, 6
problemas de la gua
La ley de Coulomb
El cientfico francs Charles Coulomb formul en 1878 la ley que
lleva su nombre. Coulomb investig la magnitud de la fuerza de
interaccin entre pequeas esferas cargadas elctricamente. En aquella
poca nada se saba acerca de la constitucin interna de los tomos y
para la mayora de los cientficos la existencia de los mismos era
slo una hiptesis. Pero lo que si se conoca era que en condiciones
especiales ciertos cuerpos experimentaban fuerzas de atraccin o de
repulsin sin necesidad de estar en contacto. Las otras fuerzas de
ese tipo que se conocan eran la gravedad que siempre es atractiva,
y las fuerzas entre imanes. Pero stas ltimas slo se ponan de
manifiesto entre cuerpos de ciertos materiales especiales,
fundamentalmente hierro y otros minerales que contenan hierro
(magnetita).
Pero las fuerzas elctricas se producan entre cuerpos de una gran
diversidad de materiales. En la poca de Coulomb, la investigacin
acerca de este tipo de fuerzas haba conducido a los cientficos a la
elaboracin de una sencilla teora que se basaba fundamentalmente en
las siguientes ideas fundamentales:
Existen dos tipos de carga elctrica: la positiva y la
negativa
Las cargas elctricas del mismo signo se repelen, y las cargas de
signos opuestos se atraen
La carga elctrica no puede ser creada ni destruida. Slo es
posible trasferirla de un cuerpo a otro. Esta idea se conoce como
Principio de conservacin de la carga elctrica y su enunciado formal
es el siguiente: En un sistema elctricamente aislado, la suma
algebraica de las cargas elctricas positivas y negativas es
constante. Respecto al comportamiento elctrico existen dos tipos de
materiales. Lo conductores en los que la carga elctrica se puede
mover con facilidad, puede fluir, es decir trasladarse por todo el
material. Los aislantes o dielctricos que se pueden cargar pero la
carga queda localizada en cierta regin del material. La carga no
puede fluir por ellos.
Este era el estado del conocimiento terico acerca de la
electricidad en la segunda mitad del siglo dieciocho. Debemos
aclarar tambin que las cargas elctricas, tanto la positiva como la
negativa eran consideradas como cierta clase fluidos.
Qu agreg Coulomb a todo este conocimiento? l descubri que las
fuerzas elctricas tanto de atraccin como de repulsin son
inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa
a los cuerpos cargados, si estos son esfricos o de pequeas
dimensiones comparados con la distancia que los separa. Adems la
direccin de dicha fuerza coincide con la de la recta que une a
ambos cuerpos.
Podemos apreciar en la figura, un esquema con tres situaciones
distintas con la misma pareja de cargas. En el primer caso las
cargas estn separadas cierta distancia d y se repelen con una
fuerza de intensidad F. Cuando las mismas cargas estn separadas el
doble de distancia la fuerza se reduce a la cuarta parte. Si las
mismas cargas se separan a una distancia 3d entonces ahora la
fuerza es F/9.
Adems, ley de Coulomb, determina una manera de definir
cuantitativamente el concepto de carga elctrica. Suponiendo que los
dos cuerpos tengan la misma carga, midiendo la distancia entre
ellos y la fuerza con que se repelen se puede definir la carga
elctrica en funcin de estas dos magnitudes conocidas.
Vamos a plantear ahora la expresin matemtica de la ley de
Coulomb que incluye todos los aspectos mencionados hasta ahora:
En esta frmula q1 y q2 son los valores de las cargas de los dos
cuerpos que interactan elctricamente. La distancia de separacin
entre ellos se ha designado como r12. es la fuerza (magnitud
vectorial) que la carga q1 ejerce sobre la carga q2. Esta fuerza
tiene la direccin y el sentido representada por el versor (vector
unitario) . Estas magnitudes, incluidas en la frmula de la ley de
Coulomb, se muestran en la figura 5.
Qu significa la k que est multiplicando el segundo miembro de la
igualdad?
Si se eligen las unidades en que se deben expresar la distancia
de separacin entre las cargas y la fuerza entre ellas, se puede
definir la unidad de carga elctrica de manera que k = 1. Pero en el
sistema internacional de unidades la unidad de fuerza debe ser el
Newton y el metro como unidad de distancia. Tambin se elige como
unidad de carga el Coulomb y por lo tanto experimentalmente se
determina que k debe valer:
Ley de COULOMB: La fuerza de atraccin o de repulsin entre dos
cargas elctricas puntuales es directamente proporcional al producto
de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa. La direccin de dicha
fuerza coincide con la recta que pasa por los dos puntos de carga.
El sentido es de atraccin si ambas cargas son de diferente signo y
de repulsin cuando ambas cargas son del mismo tipo (igual
signo)
El valor de las cargas se designa con q y se expresa en la
unidad Coulomb que se abrevia C (En el sistema internacional S.I de
unidades. MKS). La distancia entre las dos cargas puntuales se
designa con r y se expresa en metros. La constante de
proporcionalidad tiene un valor que se determina experimentalmente
y deben ser las que correspondan para que la fuerza quede expresada
en Newton:
Para que quede claramente expresado el carcter vectorial de la
fuerza, conviene escribir la frmula incluyendo un versor (vector
unitario) que indique la direccin de la fuerza. Este versor se
puede representar como el cociente entre el vector, que tiene su
origen en una carga y su extremo en la otra, y el mdulo de dicho
vector. Este mdulo es simplemente la distancia entre los dos
puntos. Este cociente siempre tendr mdulo igual a 1 (sin
unidades)
Ejemplo explicado: Cmo se calcula la fuerza entre dos cargas
utilizando la ley de Coulomb?
Supongamos que una pequea esfera est ubicada en el origen de
coordenadas y su carga es q1 = 3(10-6 C. Otra pequea esfera est
ubicada en la posicin (0; 4 cm; 3 cm) y su carga es q2 = 7,2(10-6
C. Determinar la fuerza que q1 ejerce sobre q2
Comenzamos por hacer un buen esquema que represente a la
situacin que se describe en el enunciado.
Debemos tener en cuenta que la fuerza es una magnitud vectorial
y por lo tanto tenemos que determinar su mdulo, direccin y sentido.
Para realizar el clculo completo necesitamos expresar el versor que
figura en la ley de Coulomb en funcin de sus componentes
cartesianas.
Recordemos que un versor es un vector unitario que permite
definir una direccin y un sentido. Para ello debe cumplir con las
siguientes propiedades: a) Su mdulo debe ser 1 b) No debe tener
unidades.
En nuestro caso debe tener la direccin determinada por la recta
que pasa por las posiciones ocupadas por ambas cargas. Su sentido
debe estar orientado desde el origen (desde q1) hacia el punto (0;
4 cm; 3 cm) que es la posicin de q2.
Ya estamos en condiciones de aplicar la frmula correspondiente a
la ley de Coulomb:
Este resultado se puede interpretar de dos maneras
equivalentes:
La fuerza que q1 ejerce sobre q2 tiene dos componentes: Una
componente horizontal (paralela al eje y) cuyo valor es de 103,68 N
y una componente vertical (paralela al eje z) cuyo valor es de
77,76 N.
La fuerza que q1 ejerce sobre q2 tiene una intensidad (mdulo)
igual a 129,6 N y una direccin y sentido determinada por el versor
. Esto es lo mismo que decir que la direccin de dicha fuerza forma
con el eje y un ngulo determinado por . Es decir
El campo elctricoEl campo elctrico es una magnitud vectorial que
se utiliza para la descripcin matemtica de las interacciones
elctricas. La fuerza dada por la ley de Coulomb nos proporciona el
mdulo, la direccin y el sentido de dichas interacciones. Por qu es
necesario definir una nueva magnitud, el campo elctrico, que
aparentemente cumple la misma funcin que el concepto de fuerza?
En primer lugar debemos destacar que la fuerza electrosttica
entre cuerpos cargados es una interaccin a distancia. Esto quiere
decir que este tipo de fuerza no requiere que haya contacto entre
los cuerpos cargados que se atraen o se repelen y que tampoco es
necesario que exista un vnculo material entre ellos. La fuerza
gravitatoria tambin es una interaccin a distancia. Por ello tambin
existe el concepto de campo gravitatorio.
Vamos a definir el campo elctrico utilizando como ejemplo un
caso particular: El campo elctrico originado por una carga puntual.
Supongamos que en algn punto del espacio hay una pequea esfera
cargada. Elegimos el caso en que su carga Q es negativa.
En algn otro punto del espacio colocamos otra carga qo, que
denominaremos carga de prueba o carga exploradora, en este caso de
signo positivo. Estas dos cargas se atraen y por lo tanto existe
una fuerza que Q ejerce sobre la carga de prueba qo y tambin existe
otra fuerza, de igual mdulo, de igual direccin y sentido opuesto,
que la carga de prueba ejerce sobre Q.
A partir de ahora concentraremos nuestra atencin slo en la
primera de estas fuerzas. Se entiende que esta fuerza tiene
direccin radial, si tomamos como centro a la carga Q, y su sentido
apunta hacia Q, por ser sta negativa. El mdulo de dicha fuerza es
inversamente proporcional a la distancia entre Q y el punto donde
ubiquemos a la carga de prueba. En la figura se muestran los
vectores que representan a dichas fuerzas para distintas posiciones
de la carga de prueba indicada con(, mientras que la carga Q,
productora del campo est representada con una esfera gris
sombreada. Observemos que para iguales distancias el mdulo de la
fuerza es el mismo. Es decir:
Vamos a definir ahora el campo elctrico. Esta magnitud es
vectorial de igual direccin y sentido que la fuerza que acta sobre
la carga de prueba y cuyo mdulo es igual al cociente entre el mdulo
de la fuerza y el valor de la carga de prueba. En smbolos:
Prestemos atencin a lo siguiente. El campo elctrico se define
como el cociente entre una magnitud vectorial y una magnitud
escalar, entonces la direccin del vector es la misma que la del
vector . Pero como, por convencin se adopta que la carga de prueba
sea siempre positiva, el sentido del vector tambin ser el mismo que
el sentido del vector . El mdulo de ser el cociente entre el mdulo
de y el valor de la carga de prueba qo. Es decir:
Entonces el campo elctrico es una magnitud que resulta
independiente del valor de la carga de prueba. El campo ser funcin
del valor de la carga productora del campo Q y de las coordenadas
del punto del espacio. A la posicin donde est ubicada la carga
productora Q se la denomina punto fuente. A todo punto del espacio
donde exista , independientemente de la presencia en ese lugar de
una carga de prueba, se lo denomina punto campo.
Si quitamos la carga de prueba de todas las posiciones indicadas
en la figura anterior, la carga Q ya no puede estar ejerciendo
ninguna fuerza, pero sin embargo produce (o provoca) en cada uno de
los puntos del espacio la existencia de una magnitud fsica llamada
campo elctrico que se representa en la figura.
Esta figura y la figura anterior, donde estn graficadas las
fuerzas, son muy parecidas. Pero antes haba en ciertos puntos
cargas de prueba y sobre estas cargas actuaban fuerzas. Ahora las
cargas de prueba ya no estn y el esquema no muestra ninguna
fuerza.
Para pensar
Dos estudiantes, Matas y Florencia, que han estudiado el texto
El campo elctrico mantienen el siguiente dilogo:
M: Es evidente que el campo elctrico es inversamente
proporcional a la carga de prueba ya que est en el denominador de
la frmula.
F: Sin embargo, en el texto dice claramente que el valor del
campo elctrico no depende del valor de la carga de prueba.
M: No puede ser. Leste mal. La frmula est muy clara:
F: Yo no le mal. Dice exactamente as: Entonces el campo elctrico
es una magnitud que resulta independiente del valor de la carga de
prueba. El campo ser funcin del valor de la carga productora del
campo Q y de las coordenadas del punto del espacio
Cmo podras ayudar a Matas y a Florencia a salir de su
confusin?
Definicin de campo elctrico
Hemos definido una magnitud vectorial, como la fuerza, pero que
no depende de la presencia de una carga en el punto del espacio.
Supongamos que en una posicin del espacio hay una carga puntual Q.
A dicho punto que lo designamos con las coordenadas primadas lo
llamaremos punto fuente del campo elctrico. Con esto queremos decir
que la carga Q ubicada en ese punto produce o provoca la existencia
del campo elctrico.
Supongamos que en otro punto cualquiera del espacio , que
llamaremos punto campo, hay una carga puntual que llamaremos carga
de prueba o carga exploradora qo (por convencin positiva)
Utilizando la ley de Coulomb calculamos la fuerza que la carga Q
ejerce sobre la carga qo, que se puede expresar de diferentes
maneras, como vemos a continuacin:
La fuerza que la carga Q, productora del campo, ubicada en el
punto fuente, ejerce sobre la carga de prueba qo depende del valor
de ambas cargas, de las coordenadas del punto fuente y de las
coordenadas del punto campo . En esta figura estamos suponiendo que
la carga Q es positiva.Se define como campo elctrico a la magnitud
vectorial que resulta de dividir esta fuerza (magnitud vectorial)
por el valor de la carga de prueba positiva qo (magnitud escalar).
De este modo el campo elctrico resulta independiente del valor de
qo y es una funcin de las coordenadas del punto campo. Dicho de
otro modo es una propiedad del espacio. Es decir, el espacio se ve
afectado o modificado por la presencia de una carga Q
Si la carga Q se encuentra en el origen de coordenadas, podemos
ver con claridad que el campo elctrico en cualquier punto del
espacio es un vector cuyo mdulo es directamente proporcional al
valor de Q, inversamente proporcional a la distancia r entre el
punto campo y el origen, La direccin de dicho vector coincidir con
la del versor radial (en coordenadas esfricas) Su sentido depender
de si la carga Q es positiva o negativa.
Esta frmula expresa el vector campo elctrico en un punto del
espacio producido por una carga puntual ubicada en el origen de
coordenadas. Es el resultado de la combinacin de la ley de Coulomb
y de la definicin de campo elctrico.
Se puede expresar en coordenadas cartesianas, haciendo explcita
la dependencia de las coordenadas x, y, z:
Si la carga Q es positiva, el campo tiene el sentido indicado en
la figura. Si la carga Q es negativa, tiene el sentido opuesto.
Apunta hacia la carga Q.
La constante kPor razones que se explicaran ms adelante, es
usual que la constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb se
exprese en funcin de la constante universal o, conocida como
permitividad del vaco. Su valor es:
La constante k, se expresa habitualmente como:
La frmula del campo elctrico producido por una carga puntual
queda entonces de la siguiente manera:
No parece cmodo expresar la constante de una frmula en funcin de
otras tres constantes. Las ventajas de hacer esto as se vern ms
adelante. Por ahora slo diremos lo siguiente: si escribimos la
frmula as: se puede apreciar que el campo es proporcional a la
carga que lo produce Q e inversamente proporcional al rea de una
esfera, 4r2, centrada en dicha carga. Adems el mdulo del campo
tiene el mismo valor en todos los puntos ubicados sobre esa
superficie esfrica. Si tomamos una esfera mayor (es decir, nos
ubicamos a mayor distancia r de la carga Q) el mdulo del campo ser
menor.
Otra manera de decir esto mismo: Para una carga puntual Q, el
producto del mdulo del campo elctrico en un punto de una superficie
esfrica centrada en la carga, por el rea de esa esfera es una
constante independiente del radio de la esfera pero proporcional al
valor de la carga ubicada en el centro. En efecto, vemos que:
Campo elctrico producido por un conjunto de cargas puntuales Si
queremos determinar el campo elctrico en un punto del espacio
producido por un conjunto de cargas puntuales, podemos recurrir al
principio de superposicin. Como la relacin entre el campo y la
carga que lo provoca es lineal, podemos calcular el campo que
produce una carga qi independientemente de la presencia de las dems
cargas. Luego podemos repetir el procedimiento para las dems cargas
y finalmente debemos realizar la superposicin, que en este caso es
la suma vectorial de los campos Ei calculados.
Para mayor claridad supongamos que tenemos 4 cargas ubicadas en
el plano xy y queremos calcular el campo en un punto de dicho
plano.
Aplicamos para cada carga en forma independiente de la presencia
de las otras la frmula del campo de una carga puntual.
El campo en el punto sealado por el vector posicin se obtiene
sumando vectorialmente los cuatro vectores.
En general, para este caso, o para cualquier otro con N cargas
ubicadas en el espacio:
El campo elctrico producido por dos cargas o ms
Si en un lugar de una sola carga productora de campo tenemos
varias, el campo elctrico en un punto del espacio ser la suma
vectorial de los campos que cada una de las cargas produce como si
la otra no estuviera. Este resultado es otra aplicacin del
principio de superposicin. Vamos a aclarar su significado
desarrollando un ejemplo explicado
Ejemplo explicado: Dos cargas Q1 = (5(10(12 C y Q2 = 5(10(12 C
estn fijas separadas por una distancia de 8 centmetros. Determinar
el campo elctrico en los puntos A, B y C
Comenzamos por determinar el campo en el punto B producido por
la carga Q1 . Para ello suponemos que en B colocamos una carga de
prueba qo de valor arbitrario y aplicamos la ley de Coulomb:
Por lo tanto el campo en B, producido por la carga Q1 , lo
obtenemos aplicando la definicin de campo elctrico:
Como ya sabemos el campo en el punto B, producido por la carga
Q1 , slo depende del valor de dicha carga y de las coordenadas del
punto B. Su valor es independiente del valor de la carga de prueba.
El mdulo del vector cuyo origen es la carga y cuyo extremo es el
punto B, lo obtenemos aplicando el teorema de Pitgoras:
Expresamos el versor (vector unitario que indica una direccin y
un sentido):
Ya tenemos todos los elemento necesarios para calcular el campo
en B, producido por la carga Q1 :
Este resultado se puede expresar de dos maneras.
El campo elctrico que la carga Q1 produce en el punto B tiene un
mdulo de 4.5 N/C y forma un ngulo con el eje x aproximadamente
igual a 143 o +217.
El campo elctrico que la carga Q1 produce en el punto B es un
vector que tiene una componente en x que vale 3.6 N/C y una
componente en y que vale 2.7 N/C
Ahora, en forma resumida, repetimos todo el procedimiento para
calcular el campo elctrico que en el punto B produce la carga
Q2.
Hemos calculado , el campo que Q1 produce en B sin tener en
cuenta la presencia de la carga Q2. Luego calculamos el campo que
Q2 produce en B, , sin tener en cuenta la presencia de la carga Q1.
El campo elctrico en B es la superposicin de estos dos campos. Como
se trata de magnitudes vectoriales lo que debemos hacer es la suma
vectorial de y :
La aplicacin del principio de superposicin se puede ilustrar
grficamente. Dibujamos el campo en B producido por Q1 y el campo en
B producido por Q2 y luego realizamos la suma vectorial
Dejamos como tarea para los estudiantes la determinacin del
campo elctrico en los puntos A y C.
Lneas de campo
Existe una forma muy til de representacin visual del campo
elctrico. Para ello se utilizan las lneas de campo, tambin llamadas
lneas de fuerza.
En el caso de una carga negativa puntual el mapa de lneas de
campo es el que se muestra en la figura. Las lneas de campo son
radiales. Nacen en el infinito y finalizan sobre la carga negativa.
El vector campo elctrico en cada punto del espacio tiene la misma
direccin y sentido que la lnea de campo que pasa por dicho
punto.
En la figura mostramos las lneas de campo para el caso de una
carga puntual positiva. El mapa es anlogo al que corresponde a una
carga puntual negativa, pero en este caso las lneas nacen en la
carga positiva y no tienen fin. Es decir se dirigen hacia el
infinito.
En las figuras siguientes mostramos otros casos ms complicados
donde las lneas de campo no son rectas. A la derecha podemos
observar el caso de dos cargas de igual valor absoluto separadas
por una distancia (dipolo elctrico). El mapa nos muestra lneas de
campo que salen de la carga positiva y terminan sobre la carga
negativa. A la izquierda podemos apreciar el mapa de lneas de campo
de dos cargas de igual signo.
En la prxima figura vemos otros mapas de lneas de campo para
conjuntos de dos cargas de distinto valor y/o de distinto signo.
Como se puede apreciar estos mapas ya no tienen la simetra de los
de la figura anterior.
Hasta aqu hemos mostrado lneas de campo para distintas
configuraciones de carga. Qu es lo que nos muestran estas lneas?
Por qu tambin se las denomina lneas de fuerza?
La propiedad fundamental que define a estas lneas es la
siguiente:
El vector campo elctrico en un punto del espacio tiene siempre
direccin tangente a la lnea de campo que pasa por dicho punto. El
sentido del vector campo elctrico es el mismo que el de la lnea
correspondiente.
En base a esta definicin se pueden deducir todas las propiedades
de las lneas de campo:
Una lnea de campo comienza en una carga positiva o no tiene
comienzo (viene desde el infinito). Las cargas positivas son
fuentes de lneas de campo.
Una lnea de campo termina en una carga negativa o no tiene fin
(se dirige hacia el infinito). Las cargas negativas son sumideros
de lneas de campo.
Si una carga puntual se coloca en un punto del espacio donde
existe campo elctrico, sobre dicha carga acta una fuerza que es
tangente a la lnea de campo. Su sentido coincide con la de la lnea
si la carga puntual es positiva. El sentido de la fuerza es opuesto
al de la lnea si la carga es negativa.
Las lneas de campo son continuas en las regiones donde no hay
cargas. Slo son discontinuas en los puntos donde hay cargas.
Las lneas de campo no se pueden cruzar.
La densidad de lneas en una regin del espacio es proporcional a
la intensidad (mdulo) del campo elctrico en dicha regin.
Para aprender ms sobre lneas de campo, experimentando en forma
virtual, te recomendamos visitar los siguientes sitios:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo/intro.htmhttp://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.htmlCampo
elctrico uniforme
Un caso especial por su sencillez y por sus aplicaciones
prcticas es el de un campo elctrico que tiene el mismo mdulo, la
misma direccin y el mismo sentido en todos los puntos de una regin
determinada. En este caso las lneas de campo deben ser paralelas ya
que el campo debe tener la misma direccin en todos los puntos.
Adems deben estar igualmente espaciadas ya que la densidad de lneas
debe ser uniforme para representar que el mdulo del campo no cambia
de un punto a otro.
La realizacin prctica de un campo con estas caractersticas se
puede lograr, en forma aproximada, cargando dos superficies planas
enfrentadas con cargas iguales y de signo opuesto uniformemente
distribuidas. Si una partcula cargada se encuentra dentro de una
regin donde hay un campo elctrico uniforme experimenta una fuerza
que se mantendr constante mientras la partcula permanezca en dicha
regin. Si la partcula tiene carga positiva la fuerza sobre ella
originada por las placas cargadas tiene la misma direccin y sentido
que el campo. Si la carga es negativa la fuerza tendr sentido
opuesto.
En el primer caso el campo tender a llevar la partcula hacia la
placa negativa. En el segundo caso el campo intentar arrastrar a la
partcula hacia la placa positiva.
Campo elctrico producido por una distribucin continua de
cargasSi tenemos que calcular el campo elctrico en un punto del
espacio provocado por un cuerpo cargado, en principio, podramos
proceder del siguiente modo. Dividimos a todo el cuerpo en una gran
cantidad N de pedacitos. Cada uno de ellos tendr una pequea parte
de la carga total del cuerpo. Calculamos el campo producido por
cada pedacito como si fuera una carga puntual. Esto lo hacemos para
cada uno de esos elementos de carga. Es decir N veces. Luego
sumamos vectorialmente estos N vectores E y obtenemos el campo que
buscamos usando la frmula que ya vimos:
Bueno, esto es fcil de decir pero seguramente resultar demasiado
laborioso para hacer.
Vamos a tratar de mejorar este mtodo. En primer lugar hacemos
que el nmero de elementos de carga sea muy grande. Es decir que N (
(. Por lo tanto cada pedacito ahora se convierte en una porcin
infinitesimal de carga dq. La suma finita se transforma en una suma
infinita. Es decir, en una integral. La posicin de cada uno de los
elementos infinitesimales (puntuales) de carga la indicamos con un
vector posicin variable . Las coordenadas x`, y` y z` deben
recorrer toda la distribucin de carga. Son los infinitos puntos
fuente. El punto donde queremos calcular el campo es fijo y est
indicado por el vector posicin: , donde x, y y z son las
coordenadas de dicho punto campo. Entonces:
Si la carga est distribuida en un volumen definimos la densidad
volumtrica de carga en Coulomb/m3: , por lo tanto y
(Integral de volumen)Si la carga est distribuida en una
superficie (dos dimensiones), definimos la densidad superficial, en
Coulomb/m2, de carga , por lo tanto y entonces
(Integral de superficie)Si la distribucin de carga es
unidimensional (lnea de carga), definimos la densidad longitudinal
de carga, carga por unidad de longitud, en Coulomb/m, ; por lo
tanto cada elemento infinitesimal de carga se expresar como: ,
entonces
(Integral de lnea o curvilnea)
Estas integrales pueden resolverse en coordenadas cartesianas,
cilndricas o esfricas. En cada caso habr que expresar los elementos
infinitesimales en las coordenadas correspondientes.
EJEMPLO: Campo elctrico de un disco plano cargado
superficialmente con densidad de carga uniformeSupongamos que un
disco plano, de radio R y de espesor despreciable est cargado
uniformemente con una carga Q. En este caso la densidad superficial
de carga ser uniforme
El disco est ubicado en el plano yz con su centro coincidente
con el origen de coordenadas. Vamos a determinar la expresin del
campo elctrico en un punto del eje x que en este caso es el eje de
simetra de la distribucin de carga (simetra cilndrica). El elemento
de superficie es un rectngulo con dos lados rectos que son
porciones radiales dr` y dos lados curvos que son arcos de
circunferencia rd(. Las coordenadas primadas se refieren a la
posicin de los elementos de la distribucin de carga. Es decir, a
los puntos fuente. El campo ser calculado en un punto cuyo vector
posicin es
El vector posicin de un elemento infinitesimal de carga es
En este caso ( es uniforme. No depende de las coordenadas. Su
valor es constante en toda la superficie del disco, por lo tanto no
es afectada por la integral. Importante: x tambin es una constante
ya que la integral est extendida a toda el rea del disco y x es la
coordenada del punto campo.
Solucin de la integral
Esta expresin nos da el vector campo elctrico para todo punto
del eje x (eje de simetra perpendicular al disco) en funcin de la
coordenada x. Podemos apreciar que el resultado no tiene
componentes en las direcciones y ni z. Hubiramos podido predecir
esto sin necesidad de resolver la integrales.Cada elemento
infinitesimal de carga considerado como una carga puntual (punto
fuente) provoca en un punto del eje x (punto campo) un vector campo
que tiene una componente en la direccin del eje x y otra componente
perpendicular al eje x. Cuando sumamos las infinitas contribuciones
de todos los elementos infinitesimales del disco cargado, todas las
componentes transversales al eje x tienen otra componente de igual
mdulo y sentido opuesto. Esto se debe a la simetra cilndrica de la
distribucin.
Vamos a analizar la frmula del campo hallada para puntos del eje
x muy alejados del disco. Con muy alejados queremos decir puntos en
los cuales x >>> R.
Con la condicin x >>> R obtenemos una expresin
equivalente a la del campo producido por una carga puntual ubicada
en el origen. Es decir, desde un punto del eje x ubicado a gran
distancia del origen (mucho mayor que el radio del disco) el disco
se ve como un punto cargado.
En forma anloga podemos averiguar cul es la expresin aproximada
para puntos del eje x muy prximos al disco. Es decir, para x