Leve e proporzioni - icmolinella.it · Stefania Pozio Leve e proporzioni Leve e proporzioni Stefania Pozio Nucleo: Relazioni e funzioni ATTIVITÁ Scheda di lavoro Leve e ... pratica

Stefania Pozio Leve e proporzioni

Leve e proporzioni

Stefania Pozio

Nucleo: Relazioni e funzioni

ATTIVITÁ

Leve e proporzioni

Scheda di lavoro 1

Costruiamo una leva

Scheda di lavoro 2

Costruiamo un’opera d’arte

VALUTAZIONE ATTIVITÁ

All’interno delle schede di lavoro

PREREQUISITI

conoscenza della legge fondamentale

delle proporzioni

conoscenza delle leve come macchine

semplici

Scheda per attività

di verifica

Risoluzione di problemi sulle leve

Scheda per attività

integrative

Costruzione di grafici con Excel


Introduzione

Tematica: Leve e proporzioni.

Finalità e obiettivi di apprendimento: in questa unità si prende spunto dalle leve per capire

meglio la proprietà fondamentale delle proporzioni e le sue applicazioni pratiche, la

rappresentazione sul piano cartesiano di relazioni e funzioni del tipo y=ax, y=a/x, i loro grafici

e il loro collegamento con il concetto di proporzionalità. Inoltre è utile per imparare a costruire

grafici con Excel e infine per lavorare sull’equiscomponibilità delle figure piane.

Metodologia: si tratta sempre di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi, dove

l’insegnante guida l’esplorazione, valorizza le ipotesi, coordina discussione e verifica, ponendo

domande stimolo e problemi. L’unità è divisa in due diverse attività, ma la prima attività

comprende due fasi distinte. La prima attività prevede una scheda studente con le istruzioni

necessarie per svolgere l’attività e una meta scheda per l’insegnante in cui è spiegato come far

svolgere agli studenti tale attività. Per la seconda attività, invece, è prevista solo una meta

scheda per l’insegnante in cui sono riportate tutte le istruzioni necessarie per spiegare agli

studenti come svolgere le diverse fasi del lavoro.


Descrizione dell’attività

Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività

Questa attività nasce dall’esigenza di far lavorare gli studenti su argomenti che coniughino la

matematica con le scienze. Troppo spesso nella scuola media, dove l’insegnante è peraltro

unico, si scindono le due materie come se non avessero niente in comune. Invece è importante

far vedere agli studenti quanto la matematica sia utile per risolvere problemi “scientifici” e

quanto la matematica è applicabile a problemi di vita quotidiana. Nelle Indicazioni per il

Curricolo si evidenzia come i tre filoni curricolari di cui è costituita l’area scientifico-

matematica-tecnologica, dal punto di vista didattico si debbano intendere collegati e

interagenti fra loro. Inoltre questa attività nasce anche dall’esigenza di far consolidare le

conoscenze teoriche acquisite dagli studenti sulla proporzionalità, attraverso attività

laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni.

Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività

Per tutte le attività è necessario che gli studenti abbiano già affrontato la legge fondamentale

delle proporzioni e conoscano la struttura di una leva.

Strumenti forniti agli allievi

Per quanto riguarda la Fase 1 dell’Attività 1 (Costruiamo una leva), agli allievi devono essere

date delle righe da 60 cm, spago, scotch, una dozzina di monete tutte uguali (o da 0,50 € o da

1 €) e una fotocopia della scheda studente (si possono, volendo, fotocopiare solo le pagine

della Fase 2 (Come funziona un leva).

Per l’Attività 2 (Costruiamo un’opera d’arte) sono necessari cartoncini colorati, forbici, scotch,

filo da cucire, ago, fogli di carta da riciclo di diverse dimensioni, righello o squadra, compasso.

Per l’Attività integrativa è necessario l’uso dei computer.

Organizzazione della classe e metodologia

Le attività sono svolte in gruppi di 2-3 persone, in modo da dare a tutti la possibilità di

svolgere l’attività pratica. L’insegnante deve spiegare passo passo le varie fasi del lavoro che

ciascun gruppo porta avanti autonomamente. Può girare tra i gruppi, cercando di guidare il

loro lavoro, di instradare gli studenti se sono in difficoltà, di stimolarli ad una osservazione più

attenta e puntuale, di farli riflettere se tendono ad essere troppo superficiali. Nella prima

attività, l’insegnante deve riportare su un’unica scheda, visibile a tutti gli studenti, i risultati

dei gruppi e deve fare in modo che si sviluppi una discussione tra i vari gruppi circa i risultati

ottenuti dall’attività pratica, evitando di creare un canale unico gruppo-insegnante.

Nella seconda attività, quella relativa alla costruzione dei “Mobili”, la discussione, invece, va

fatta all’interno di ciascun gruppo, perché ogni gruppo si troverà di fronte a situazioni diverse a

seconda del tipo di figure geometriche che ha preparato. L’insegnante deve seguire la

discussione e far riflettere gli studenti sul come trovare la soluzione (l’equilibrio della leva).


Fasi e tempi

L’unità comprende 2 diverse attività. La prima attività è divisa in due fasi, una di costruzione

dello strumento, l’altra di utilizzo dello strumento per effettuare una serie di misurazioni. Il

tempo previsto per la realizzazione completa di entrambe le fasi è di 3 ore. È prevista anche

una terza fase, inserita come attività integrativa, che si consiglia vivamente di svolgere. Il

tempo richiesto è di un paio di ore.

La seconda attività, invece, comprende un’unica fase di costruzione di “Mobili” per cui sono

previste 3 ore per il suo svolgimento. Ovviamente questo tempo potrebbe allungarsi nel caso si

decidesse di costruire più “Mobili” per uno stesso gruppo.

Tutta l’unità dovrebbe essere svolta nell’arco di due settimane, un’attività a settimana.


Attività 1

Costruiamo una leva

Tipologia: Attività laboratoriale con costruzione di un modello di leva.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di costruire una leva, verificarne la legge che

regola il suo funzionamento e, contemporaneamente, trovarsi di fronte a un’applicazione

pratica della proprietà fondamentale delle proporzioni.

Tempo: 1 ora (Fase 1), 2 ore (Fase 2), 2 ore (Fase 3)

Fase 1

Procuratevi una riga lunga 60 cm

(anche quella da 50 cm va bene

lo stesso). Appendetela ad uno

spago che passa esattamente per

la sua metà, come mostrato nella

Foto 1. Utilizzate un po’ di scotch

per fermare lo spago sulla metà

della riga.

La riga, tenuta per lo spago, deve

essere perfettamente orizzontale.

Ora procuratevi una dozzina

di monete tutte uguali (vanno

bene da 1 euro o da 50

centesimi) e dividetele in due

gruppi, uno di 3 monete,

l’altro di 9 monete, come

nella Foto 2. Mettetevi intorno

un po’ di scotch per tenerle

ferme e un po’ di spago per

poterle appendere.

Foto 1: riga appesa allo spago

Scotch

Foto 2: preparazione delle monete


Appendete ciascun gruppo di monete alla riga (Foto 3), uno a sinistra e l’altro a destra e

cominciate a fare un po’ di prove.

1) Mettete i due gruppi alla stessa distanza dal centro. Che cosa si osserva? Ovviamente la

riga pende dalla parte del gruppo di 9 monete.

2) Mettete il gruppo da 9 più vicino al centro e quello da 3 più lontano (Foto 4). Che cosa

si osserva? Incredibilmente, la riga pende dalla parte del gruppo di 3 monete.

Foto 3: i due gruppi di monete appesi alla riga

Foto 4: la riga pende dalla parte del gruppo

di 3 monete


Mettete il gruppo da 9 monete a 7 cm dal

centro e il gruppo da 3 monete a 21 cm dal

centro (Foto 5). La riga dovrebbe essere in

equilibrio.

Ripetete lo stesso procedimento, questa volta con

un gruppo da 4 monete e l’altro da 8 monete (Foto

6).

Fate diverse prove fino a che non trovate il perfetto

equilibrio.

Ora discutete con i vostri alunni come sia possibile che pesi minori possano risultare più

“pesanti” di pesi maggiori.

Foto 5: la riga in equilibrio

Foto 6: altri 2 gruppi di monete (da 4 e da 8)

Foto 7: riga in equilibrio


Fase 2: Come funziona una leva

Dividete gli studenti in gruppi di 2-3 persone. Date a ciascun gruppo una riga da 60 cm, un po’

di spago, scotch e 12 monete tutte uguali. Affidate, a ciascun gruppo, la preparazione di una

delle coppie di monete, come indicato nella tabella 1.

Ciascun gruppo deve fare un po’ di prove con la sua coppia di monete, spostando le monete a

diverse distanze dal fulcro e annotando di volta in volta che cosa succede. Suggerite ai vostri

studenti di spostare le monete su numeri interi di cm.

Alla fine, ogni gruppo deve compilare una tabella di questo tipo, dove, per ciascun gruppo di

monete, sia riportata:

a) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con più

monete;

b) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con meno

monete.

c) una distanza dal fulcro in modo che la riga sia in equilibrio.

Quando tutti i gruppi hanno completato la loro tabella, fate scambiare le coppie di monete tra i

gruppi (ad esempio, il gruppo 1 che ha lavorato con la coppia 1-11 prende la coppia 2-10 su

cui ha lavorato il gruppo 2, e il gruppo 2 prende la coppia 1-11). Con la nuova coppia di

monete, fate ripetere le misure effettuate in precedenza, riportandole su un nuovo schema.

Una volta che ciascun gruppo ha effettuato un paio di misure con due diverse coppie di

monete, riportate i risultati ottenuti da ciascun gruppo sulla tabella 1 (la coppia 3-9 è già stata

compilata come esempio).

Numero

di

monete

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende la

riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende

la riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende

la riga?

Coppia

n. …


TABELLA 1: Riepilogo delle misure

Numero

di

monete

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte

pende la

riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte

pende la

riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte

pende la

riga?

Coppia n. 1 1

11

Coppia n. 2 2

10

Coppia n. 3

3 10 cm 25 cm

Da

questa

parte

21 cm Equilibrio

9 10 cm

Da

questa

parte

5 cm 7 cm Equilibrio

Coppia n. 4 4

8

Coppia n. 5 5

7

Coppia n. 6 6

6

Ovviamente le distanze dal fulcro che fanno pendere la riga da una parte o dall’altra possono

variare da gruppo a gruppo, l’importante è trovare, alla fine, discutendone tutti insieme, un

intervallo di distanze oltre il quale la riga pende o da una parte o dall’altra. Ad esempio, nel

caso della coppia 3-9, una volta trovate le distanze (d) dal centro che permettono l’equilibrio

della riga, si ha:

Gruppo da 3: fermo a 21 cm dal fulcro

Gruppo da 9: se d > 7 cm dal fulcro, la riga pende dalla parte delle 9 monete

se d < 7 cm dal fulcro, la riga pende dalla parte delle 3 monete

OPPURE

Gruppo da 9: fermo a 7 cm dal fulcro

Gruppo da 3: se d > 21 cm dal fulcro la riga pende dalla parte delle 3 monete

se d < 21 cm dal fulcro la riga pende dalla parte delle 9 monete


È chiaro che, per ogni coppia di monete, può esistere più di una coppia di valori di numeri

interi di cm che portano all’equilibrio. Ad esempio, per la coppia 3-9, l’equilibrio si può avere

a:

Gruppo da 3 a: Gruppo da 9 a:

3 cm 1 cm

6 cm 2 cm

9 cm 3 cm

12 cm 4 cm

15 cm 5 cm

18 cm 6 cm

21 cm 7 cm

24 cm 8 cm

27 cm 9 cm

30 cm 10 cm

Fate verificare agli studenti che ogni coppia di distanze corrisponde effettivamente all’equilibrio

della riga-leva, facendo spostare i gruppi di monete lungo la riga.

Una volta compilata tutta la tabella, discutete con gli studenti sui risultati ottenuti. Chiedete

loro se notano qualche regolarità ogni volta che la riga-leva è in equilibrio.

Dovrebbe emergere la legge delle leve:

Chiedete agli studenti: “A proposito di che cosa abbiamo già trovato l’uguaglianza di due

prodotti?”. Oppure: “Che cosa vi fa venire in mente questa uguaglianza?”.

Gli studenti dovrebbero ricordarsi la proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto dei

medi è uguale al prodotto degli estremi.

Come possiamo trasformare questa uguaglianza tra due prodotti in un’uguaglianza tra due

rapporti?

Fateli ragionare fino a che non arrivino alla seguente proporzione (o forme equivalenti):

P x bp = R x br

P : br = R : bp


Fase 3: Questa fase fa parte dell’attività integrativa

Fate riflettere gli studenti sulle relazioni esistenti tra le quattro grandezze in gioco: potenza,

resistenza, braccio della potenza e braccio della resistenza. Per calcolare ciascuna grandezza è

necessario conoscere le altre tre. Fate quindi ricavare agli studenti le formule che permettono

di calcolare una delle quattro incognite, una volta note tre di esse.

Le formule sono le seguenti:

Fate riflettere gli studenti sui seguenti casi (sempre per l’equilibrio della leva).

1) Potenza e resistenza costanti. Vario il braccio della potenza e vedo come varia il braccio

della resistenza (formula 4).

2) Potenza e resistenza costanti. Vario il braccio della resistenza e vedo come varia il

braccio della potenza (formula 3).

3) Potenza e braccio della potenza costanti. Vario la resistenza e vedo come varia il braccio

della resistenza (formula 4).

4) Potenza e braccio della potenza costanti. Vario il braccio della resistenza e vedo come

varia la resistenza (formula 2).

5) Resistenza e braccio della resistenza costanti. Vario la potenza e vedo come varia il

braccio della potenza (formula 3).

6) Resistenza e braccio della resistenza costanti. Vario il braccio della potenza e vedo

come varia la potenza (formula 1).

Dalle riflessioni degli studenti dovrebbe emergere il concetto di proporzionalità diretta o

inversa. La variazione delle grandezze può essere visualizzata utilizzando dei grafici.

A questo punto fate costruire, su carta millimetrata o con Excel, a ciascun gruppo, i grafici

corrispondenti alla coppia di monete a loro assegnata. Ad esempio:

Gruppo 1 – Coppia di monete 1 -11

Per la costruzione di questo grafico, la potenza e la resistenza sono costanti (quindi siamo nel

caso 1 o 2).

P = 1 moneta

R = 11 monete

mentre faccio variare come voglio il braccio della resistenza e mi calcolo il braccio della

potenza (vedi tabella), o viceversa.

Formula da applicare Tabella

P

bRb r

p

br (cm) bp (cm)

0 0

1 11

2 22

3 ?

…..

p

r

b

bRP

R

bPb

p

r

P

bRb r

p

r

p

b

bPR

1) 2) 3) 4)


Grafico

Nelle pagine seguenti ci sono le istruzioni per costruire i grafici utilizzando Excel. Fotocopiatele

e datele agli studenti (Scheda attività integrativa).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5

Serie1

Lineare (Serie1)


Per produrre il grafico con Excel:

1) aprite un file Excel

2) riportate sul foglio Excel i dati della prima colonna della tabella

3) scrivete, nella II colonna del foglio Excel,

la formula che vi permette di calcolare il

valore della II colonna della tabella

(=11*A2/1).

4) Posizionati con il cursore sull’angolino in

basso a destra e, tenendo premuto il

tasto sinistro del mouse, trascina il

mouse verso il basso. Rilascia il tasto del

mouse e ti appariranno i valori.

5) Seleziona i dati, andandoci sopra

tenendo premuto il tasto sinistro del

mouse, clicca su Inserisci e poi su

Grafico.

6) Seleziona il grafico Dispersione e poi

clicca su Avanti, finché non arrivi a

questa pagina dove puoi dare il titolo al

grafico e agli assi.

Istruzioni 2 e 3

Istruzione 4

Istruzione 5

Istruzione 6


7) Clicca ancora su Avanti finché non ti appare il grafico.

8) Posizionati con il mouse su uno

dei punti del grafico, clicca sul

tasto destro del mouse e poi su

Aggiungi linea di tendenza. Clicca

su Lineare e poi su OK.

9) Ti apparirà il grafico.

Che tipo di relazione indica questo

grafico?

È una relazione di proporzionalità

diretta.


Se volete far costruire agli studenti un grafico di proporzionalità inversa, fate applicare un’altra

formula. Ad esempio, tenete costanti la potenza e il braccio della potenza, fate variare il

braccio della resistenza e calcolate di volta in volta la Resistenza.

P = 4 monete

bp= 20 cm (scegliete voi il valore che volete; questo viene fornito come esempio)

Formula da applicare Tabella

r

p

b

bPR

Costruite il grafico con Excel, seguendo le stesse istruzioni del grafico precedente. Ricordati di

cambiare ovviamente la formula (=20*4/A2).

Quando arrivi a Aggiungi linea di tendenza (Istruzione 8), clicca su Potenza (e non su Lineare).

Ti apparirà questo grafico:

Che tipo di relazione indica

questo grafico?

È una relazione di proporzionalità

inversa.

Su questo sito, potete trovare un gioco interattivo sull’equilibrio di una leva.

http://www.walter-fendt.de/ph14i/lever_i.htm

br (cm) R (monete)

2 40

4 20

8 10

10 8

…..

http://www.walter-fendt.de/ph14i/lever_i.htm


Scheda per lo studente

Cognome

Nome Data

Attività 1

Costruiamo una leva

Fase 1

Appendete la riga lunga 60 cm

ad uno spago che passa

esattamente per la sua metà,

come mostrato nella Foto 1.

Utilizzate un po’ di scotch per

fermare lo spago sulla metà della

riga.

La riga, tenuta per lo spago, deve

essere perfettamente orizzontale.

Dividete le monete che la vostra

insegnante vi ha dato in due

gruppi, come lei vi ha indicato

(Foto 2). Mettetevi intorno un po’

di scotch per tenerle ferme e un

po’ di spago per poterle

appendere.

Foto 1: riga appesa allo spago

Scotch

Foto 2: Preparazione delle monete

Foto 2: preparazione delle monete


Appendete ciascun gruppo di monete alla riga (Foto 3), uno a sinistra e l’altro a destra e

cominciate a fare un po’ di prove.

1) Mettete i due gruppi alla stessa distanza dal centro. Che cosa osservate?

2) Mettete il gruppo con più monete più vicino al centro e quello con meno monete più

lontano (Foto 4). Che cosa osservate?

Foto 3: i due gruppi di monete appesi alla riga

Foto 4


Spostate i due gruppi di monete lungo la riga, finché la riga non è in equilibrio (Foto 5).

Foto 5: la riga in equilibrio



Cognome

Nome Data

Attività 1

Costruiamo una leva

Fase 2: Come funziona una leva

Spostate le monete su numeri interi di cm.

Completate la seguente tabella scrivendo, per ciascun gruppo di monete:

a) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con più

monete;

b) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con meno

monete;

c) una distanza dal fulcro in modo che la riga sia in equilibrio.

Completate la seguente tabella con le misure che avete trovato:

Ripetete lo stesso procedimento, con un altro gruppo di monete che vi verrà dato dalla vostra

insegnante. Completate la seguente tabella:

Numero

di

monete

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende la

riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende

la riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende

la riga?

Coppia

n. …

Numero

di

monete

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende la

riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende

la riga?

Distanza

dal fulcro

Da quale

parte pende

la riga?

Coppia

n. …



Cognome

Nome Data

Attività 1

Costruiamo una leva

Scrivi che cosa hai imparato da questa attività

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

C’è qualcosa che non hai capito? (Barra una sola delle caselle)

□ No, mi è tutto chiaro

□ Sì, non ho capito ________________ (scrivi quello che ancora non ti è chiaro).

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Come ti è sembrata questa attività?

□ Difficile

□ Difficile all’inizio, ma poi abbastanza facile

□ Impegnativa, ma non difficile

□ Abbastanza facile

□ Facile


Attività 2

Costruiamo un’opera d’arte

Tipologia: Attività laboratoriale con costruzione di un “Mobile” simile a quelli dell’artista

Calder.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di costruire un’imitazione delle opere di

Calder utilizzando la proprietà delle leve e di rinforzare il concetto di equiscomponibilità delle

figure piane.

Tempo: 3 ore

Le fotografie qui riportate mostrano due

opere dello scultore statunitense Alexander

Calder che Marcel Duchamp ha denominato

Mobili. Si tratta di strutture che fluttuano

nell’aria e si muovono al minimo soffio.

Come si può vedere, si tratta di una serie di

leve il cui equilibrio dipende da come sono

disposti i diversi elementi che si appendono.

La seguente attività ha lo scopo di

costruire imitazioni di questi “Mobili” per

rafforzare la conoscenza delle leve.


Date a ciascun alunno un foglio di carta (anche da riciclo) e fatelo arrotolare molto stretto,

partendo da un angolo, come mostrato nelle seguenti fotografie.

Fermate con un pezzetto di scotch la punta del foglio. Ottenete così una bacchetta come quella

mostrata in fotografia. A seconda della grandezza del foglio, otterrete bacchette più o meno

lunghe.

Le bacchette costituiranno la struttura portante del “Mobile”. Ora bisogna costruire le cose da

appendere. Si suggerisce di costruire figure geometriche note (triangoli, rettangoli, trapezi

ecc.) perché in questo modo si può sfruttare questa attività per rinforzare sia le conoscenze

degli alunni sulla equiscomponibilità delle figure piane, sia la comprensione di alcune formule

della geometria piana sul calcolo delle aree.


Fate costruire agli studenti, su un cartoncino, un

trapezio e un triangolo equivalente ad esso.

Fate sovrapporre il triangolo al trapezio e fate

osservare l’equiscomponibilità delle due figure. Fate

riflettere i vostri studenti sulla formula per il calcolo

dell’area del trapezio (il trapezio è equivalente ad un

triangolo che ha per base la somma delle basi del

trapezio e per altezza la stessa altezza. Ecco perché si

calcola

2

hbB

).

Se le due figure sono equivalenti, vuol dire che ho utilizzato la stessa quantità di cartoncino

per costruirle, quindi avranno lo stesso peso. Che cosa mi aspetto che accada se le appendo

alla bacchetta? Fate riflettere gli studenti. Ovviamente, se li metto alla stessa distanza dal

fulcro, la bacchetta sarà in equilibrio.

Innanzitutto fate appendere la bacchetta ad un filo

da cucito, fate trovare il perfetto equilibrio e, una

volta trovato, fate fermare con un pezzetto di scotch

il filo alla bacchetta.

Ora fate appendere alla bacchetta il triangolo e il

trapezio.

Metà lato obliquo

1

2

Uguale alla base minore


Il modo migliore per appendere le figure geometriche è quello illustrato dalla seguente

sequenza di foto. Con un ago, fate passare del filo da cucire in un punto della figura, sfilate

l’ago e chiudete il filo con un nodo. Fate passare la figura in mezzo al filo e tirate. In questo

modo la figura è appesa in modo più stabile.

Fate appendere le due figure alla bacchetta in modo che quest’ultimo sia in perfetto equilibrio.

Con un righello fate misurare la distanza delle due figure dal fulcro e discutete dei risultati con

i vostri studenti.


Ora fate costruire due rettangoli uguali. Da uno di

questi rettangoli, ricavate un rombo (come illustrato

nella foto) e 4 triangoli rettangoli.

Legate tra loro i 4 triangoli rettangoli.

Appendete alla bacchetta il rombo

da una parte e i triangoli dall’altra.

A quale distanza devono stare dal

fulcro per avere l’equilibrio?

Ora appendete il rettangolo da una parte e il

rombo dall’altra. A quale distanza devono stare

dal fulcro per avere l’equilibrio? Ovviamente il

rettangolo deve stare ad una distanza che è la

metà di quella del rombo. Che conclusioni si

possono trarre? Che il cartoncino usato per

costruire il rettangolo è il doppio di quello usato

per costruire il rombo. Ecco perché l’area del

rombo si calcola 2

dD

.


Ora potete far costruire un altro rettangolo equivalente al precedente

e lo fate appendere con i triangoli. Che cosa si può osservare? I

triangoli sono equivalenti al rombo. Quindi abbiamo un’altra

dimostrazione del perché l’area del rombo si calcoli 2

dD

.

Ora appendete ad una bacchetta le due bacchette

precedenti. E infine…

ECCO L’OPERA D’ARTE!


Alcuni consigli

I Mobili vanno costruiti partendo dalle bacchette più in basso e aggiungendo via via quelle più

in alto.

Ovviamente non è necessario appendere tutto per il centro della bacchetta. In realtà quando si

costruiscono gli oggetti, si possono prima appendere gli oggetti e poi cercare il punto dove

appendere la stanghetta in modo che sia in equilibrio. Discutete con i vostri studenti come fare

per trovare il punto di equilibrio della bacchetta.

Fate costruire anche altre figure geometriche in modo da poter fare una “Mostra di Mobili”.

Potrebbe essere interessante, per esempio, costruire cerchi con raggi uno multiplo dell’altro.

Ad esempio, un cerchio con raggio 4 cm viene appeso su una bacchetta insieme ad un cerchio

con raggio 8 cm. Quanto mi aspetto che il cerchio grande sia più pesante di quello piccolo? Il

doppio? Il quadruplo? In quale punto devo appendere la mia bacchetta affinché sia in

equilibrio?

Fate giocare (e ragionare) i vostri studenti con i Mobili. Sfruttate questa attività per rinforzare

le conoscenze delle relazioni tra aree di diverse figure piane.



Cognome

Nome Data

Attività integrativa

Costruiamo grafici con Excel

I dati che vi siete ricavati sulla leva che avete costruito (lunghezza del braccio della potenza

rispetto alla lunghezza del braccio della resistenza per avere la leva in equilibrio) possono

essere riportati su un grafico che vi permette di visualizzare la relazione tra le diverse

grandezze in gioco.

Qui di seguito viene riportato un esempio di costruzione di un grafico riferito al gruppo 1.

Cambiate voi stessi i dati a seconda del gruppo a cui appartenete.

Gruppo 1 – Coppia di monete 1-11

La Potenza e la Resistenza sono costanti

P = 1 moneta

R = 11 monete

mentre il braccio della resistenza lo faccio variare come voglio e mi calcolo il braccio della

potenza (vedi tabella).

Formula da applicare: ricavala dalla legge delle leve

Una volta trovata la formula, costruisci una tabella come la seguente:

Tabella

br (cm) bp (cm)

0 ?

1 ?

2 ?

3 ?

…..


Una volta completata la tabella, i dati possono essere riportati su un grafico. Il grafico può

essere disegnato su carta a quadretti o millimetrata, oppure può essere costruito con un

programma che si chiama Excel.

Grafico costruito con Excel.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5

Serie1

Lineare (Serie1)


Segui le seguenti istruzioni per costruire il grafico con Excel.

1) Apri un file Excel, se non lo sai fare, chiedi alla tua insegnante.

2) Riporta sul foglio Excel i dati della prima colonna della tabella.

3) Scrivi, nella II colonna del foglio Excel,

la formula che ti permette di calcolare il

valore della II colonna della tabella

(=11*A2/1).

4) Posizionati con il cursore sull’angolino in

basso a destra e, tenendo premuto il

tasto sinistro del mouse, trascina il

mouse verso il basso. Rilascia il tasto del

mouse e ti appariranno i valori.

5) Seleziona i dati, andandoci sopra

tenendo premuto il tasto sinistro del

mouse, clicca su Inserisci e poi su

Grafico.

6) Seleziona il grafico Dispersione e poi

clicca su Avanti, finché non arrivi a

questa pagina dove puoi dare il titolo al

grafico e agli assi.

Istruzioni 2 e 3

Istruzione 4

Istruzione 5

Istruzione 6


7) Clicca ancora su Avanti finché non ti appare il grafico.

8) Posizionati con il mouse su uno

dei punti del grafico, clicca sul

tasto destro del mouse e poi su

Aggiungi linea di tendenza. Clicca

su Lineare e poi su OK.

9) Ti apparirà il grafico.

Che tipo di relazione indica questo

grafico?


Ora, costruiamo un altro tipo di grafico.

Questa volta mantieni costanti la potenza e il braccio della potenza, e fai variare il braccio della

resistenza e calcola di volta in volta il valore Resistenza. Qui di seguito ti viene fornito un

esempio. Puoi variare i numeri come vuoi.

P = 4 monete

bp= 20 cm (scegli tu il valore che vuoi; questo viene fornito come esempio)

Formula da applicare: ricavala dalla legge delle leve

Una volta trovata la formula, costruisci una tabella come la seguente:

Tabella

Costruisci il grafico con Excel, seguendo le stesse istruzioni del grafico precedente. Ricordati di

cambiare ovviamente la formula (=20*4/A2).

Quando arrivi a Aggiungi linea di tendenza (Istruzione 8), clicca su Potenza (e non su Lineare).

Ti apparirà questo grafico:

Che tipo di relazione indica

questo grafico?

br (cm) R (monete)

2

4

8

10

…..


Attività di verifica

Costruiamo una leva

Risolviamo questi problemi:

Sono al parco con il mio papà. Lui pesa 80 kg, mentre io

peso 40 kg. Ci mettiamo seduti su un’altalena come quella

che vedi nella figura qui al lato. L’altalena è lunga 2,80 m.

Mio papà dice che, poiché lui è più pesante, sicuramente

sarà lui che solleverà me e non viceversa. Tuo papà ha

ragione?

Trova un modo per riuscire tu stesso a sollevare lui.

È chiaro che, poiché il bambino ha un peso che è la metà di quello del padre, deve posizionarsi

ad una distanza dal fulcro lunga più del doppio di quella del padre. Si può partire, per risolvere

questo problema, prima dal calcolo della distanza alla quale l’altalena è in equilibrio,

successivamente si calcola la distanza alla quale il figlio può sollevare il padre.

Ad esempio: l’equilibrio si ha quando il figlio è seduto a 1,20 cm dal fulcro e il padre a 60 cm

perché 80 x 60 = 40 x 120. Quindi se il figlio si allontana dal fulcro o il padre si avvicina al

fulcro, il figlio riuscirà a sollevare il padre.

ATTENZIONE: poiché tutta l’altalena è lunga 2,80 m, ciascun braccio non può essere più lungo

di 140 cm!


Qui accanto c’è la fotografia di una carriola. Anche

la carriola è una leva. Spiega perché.

Inserisci, al posto dei puntini, i termini:

FULCRO, POTENZA, RESISTENZA

Trova che differenza c’è tra la leva-riga e la leva

carriola.

La differenza tra la carriola e la riga è che il fulcro nella carriola non sta al centro, ma di lato. Il

braccio della resistenza è più corto, quindi è possibile vincere una resistenza maggiore con una

potenza minore.

Il calcolo matematico è molto semplice:

R = 27 kg

br = 30 cm

bp = 81 cm

P =

81

302710 kg

Per l’equilibrio occorrono 10 kg, quindi per sollevare la carriola con il sacco di cemento è

sufficiente una potenza di poco superiore a 10 kg. Poiché Luigi riesce a sollevare fino a 20 kg,

riuscirà a trasportare il sacco di cemento nella carriola.

Questa carriola ha le seguenti dimensioni:

Lunghezza dei manici: 50 cm

Distanza impugnatura – ruota: 81 cm

Distanza ruota – centro vasca rossa: 30 cm

Carico massimo: 30 kg

Questo sacco di cemento pesa 27 kg. Luigi riesce

a sollevare al massimo 20 kg. Dimostra, con

calcoli matematici, che Luigi è in grado di

trasportare questo sacco con la carriola, dopo che il papà lo ha aiutato a caricarcelo sopra.

………………..

………………..

………………..


Osserva questo carrello:

Dimensioni (Larghezza x Profondità x Altezza) mm 490x530x1250

Pala di carico mm 320x200

Portata Kg 200

Peso Kg 12

Ideale per casse e cassette come quelle della frutta

Per risolvere questo problema, gli studenti devono innanzitutto leggere bene i dati. L’altezza

del carrello rappresenta, all’incirca, il braccio della potenza; la profondità rappresenta il braccio

della resistenza. Quindi il calcolo è il seguente:

R = 50 kg

br = 50 cm circa

bp = 125 cm circa

P =

125

505020 kg

Il carrello permette di trasportare carichi molto pesanti perché ha un braccio della potenza

molto lungo. Fate ragionare a lungo gli studenti sulla legge della leva. Se il prodotto della

resistenza per il suo braccio è uguale al prodotto della potenza per il suo braccio, se il braccio

della potenza è molto lungo, e quello della resistenza molto corto, sarà sufficiente una potenza

molto piccola per vincere una resistenza molto grande.

Con questo carrello devo

trasportare queste cassette di frutta che

pesano 10 kg ciascuna. Spiega, con calcoli matematici, come è

possibile che una persona che solleva al massimo 25

kg, sia in grado di trasportarle. Spiega perché questo

carrello permette di trasportare carichi molto

pesanti.



Cognome

Nome Data

Attività di verifica

Costruiamo una leva

Risolviamo questi problemi:

Sono al parco con il mio papà. Lui pesa 80 kg, mentre io

peso 40 kg. Ci mettiamo seduti su un’altalena come quella

che vedi nella figura qui al lato. L’altalena è lunga 2,80 m.

Mio papà dice che, poiché lui è più pesante, sicuramente

sarà lui che solleverà me e non viceversa. Tuo papà ha

ragione?

Trova un modo per riuscire tu stesso a sollevare lui.


Qui accanto c’è la fotografia di una carriola. Anche la

carriola è una leva. Spiega perché.

Inserisci, al posto dei puntini, i termini:

FULCRO, POTENZA, RESISTENZA

Trova che differenza c’è tra la leva-riga e la leva

carriola.

Questa carriola ha le seguenti dimensioni:

Lunghezza dei manici: 50 cm

Distanza impugnatura – ruota: 81 cm

Distanza ruota – centro vasca rossa: 30 cm

Carico massimo: 30 kg

Questo sacco di cemento pesa 27 kg. Luigi riesce

a sollevare al massimo 20 kg. Dimostra, con

calcoli matematici, che Luigi è in grado di

trasportare questo sacco con la carriola, dopo che il papà lo ha aiutato a caricarcelo sopra.

………………..

………………..

………………..


Osserva questo carrello:

Dimensioni (Larghezza x Profondità x Altezza) mm 490x530x1250

Pala di carico mm 320x200

Portata Kg 200

Peso Kg 12

Ideale per casse e cassette come quelle della frutta

Con questo carrello devo

trasportare queste cassette

di frutta che pesano 10 kg

ciascuna. Spiega, con calcoli

matematici, come è possibile

che una persona che solleva

al massimo 25 kg, sia in

grado di trasportarle.

Spiega perché questo

carrello permette di

trasportare carichi molto

pesanti.

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