Chapitre 2Nombres complexesObjectifs
Connatreunednitiondescomplexes,uneinterprtationgomtrique.Savoirfairedescalculssurlescomplexes
et rsoudre les quations du second degr. Connatre les notions de
conjugaison, de module et dargument dun complexe. Savoir calculer
les racines n-imes dun complexe. Connatre la fonction exponentielle
complexe. Connatre les applications gomtriques : afxes, distances,
angles, transformations (similitudes directes)...SommaireI)
Construction de lensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 11) Dnition . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12)
Oprations sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 13) Notation algbrique des complexes .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II)
Module dun nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 31) Conjugu dun nombre complexe. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32) Module
dun complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 33) quation du second degr . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3III) Nombres
complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 41) Le groupe unit . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42)
Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 43) Exponentielle dun imaginaire pur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54)
Formules dEuler et de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 6IV) Argument dun nombre complexe . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61)
Forme trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 62) Racines n-imes dun nombre complexe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7V)
Reprsentation gomtrique des complexes, applications. . . . . . . .
. . . . . . . . . . 81) Afxe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82)
Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 93) Angles orients. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94) Transformations du plan complexe. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 10VI) Annexe . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 111) Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112) Notion de corps .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 113) Morphisme de corps. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12VII) Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 12MPSI - COURS c _Fradin Patrick
http://mpsi.tuxfamily.org 1Construction de lensemble des complexes
Chapitre 2 : Nombres complexesI) Construction de lensemble des
complexes1) DnitionDFINITION 2.1Un nombre complexe est un couple de
rels. Lensemble des nombres complexes est donc lensembleE2. On peut
alors crire C =|(x, y) / x, y E|, ou encore, z C, x, y E, z = (x,
y), de plusles relsxet ysont uniques. Le rel xest appel partie
relle de z, not Re(z), et le rel yestappel partie imaginaire de z,
not Im(z).2) Oprations sur les complexesNous allons dnir dans C,
deux oprations (ou lois de composition internes), une addition et
unemultiplication. Soient z = (x, y) et z/ = (x/, y/) deux
complexes.On dnit la somme z +z/ en posant : z +z/ = (x + x/, y +
y/). On vrie que cette loi possde desproprits analogues celles de
laddition des rels, savoir :lassociativit : z, z/, z// C, (z +z/)
+z// = z + (z/ +z//).la commutativit : z, z/ C, z +z/ = z/ +z.il y
a un lment neutre qui est le complexe (0, 0) : z C, z + (0, 0) =
(0, 0) +z = z.tout complexe zpossde un oppos (not z) : z = (x, y)
C, z = (x, y) et z + (z) =(z) +z = (0, 0).On dnit le produit z z/
(ou plus simplement zz/), en posant z z/ = (x x/ y y/, x y/ + x/y).
Onvrie que cette loi possde des proprits analogues celles de la
multiplication des rels, savoir :lassociativit.la
commutativit.existence dun lment neutre, cest le complexe (1,
0).tout complexe z non nul (ie z ,= (0, 0)) admet un inverse (not
z1ou1z), et si z = (x, y), alors :z1= (xx2+ y2,yx2+ y2) et z z1=
z1z = (1, 0).distributivit sur laddition : z, z/, z// C, z (z/
+z//) = z z/ +z z//.On rsume lensemble des proprits de ces deux
lois, on disant que (C, +, ) est un corps commutatif.On remarquera
que (E, +, ) et (Q, +, ) sont galement deux corps commutatifs.3)
Notation algbrique des complexesPlongement de E dans C.THORME
2.1_La fonctionf : E C, dnie par x E, f (x) = (x, 0), est un
morphisme de corps.Preuve: Il nous faut montrer quef est un
morphisme de corps, cest dire : f (x + y) =f (x) + f ( y), f (x y)
=f (x) f ( y) etf (1) = (1, 0), ce qui ne prsente pas de difcults.
En identiant tout rel x avec son imagef (x) (ie (x, 0)), on peut
considrer que E est inclus dans C.On dit que lon a plong E dans C
et on dira dornavant que E est un sous - corps de C. Par exemple,
lecomplexe (1, 0) sera not simplement 1 car (1, 0) = f (1), de mme,
le complexe (0, 0) est not simplement0.MPSI - COURS c _Fradin
Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 2Module dun nombre complexe
Chapitre 2 : Nombres complexesDFINITION 2.2Les complexes de la
forme (0, y) sont appels imaginaires purs, en particulier, le
complexe (0, 1)est not i. On pose donc i = (0, 1). Lensemble des
imaginaires purs est not iE.THORME 2.2___On a lgalit remarquable
i2= 1. De plus tout complexe z scrit sous la forme z = x +i y o
xestla partie relle de z ety la partie imaginaire. Cest la notation
algbrique de z.Preuve: Soit xla partie relle de z ety sa partie
imaginaire, cela signie que z = (x, y), or (x, y) = (x, 0) + (0, y)
et(x, 0) = x. Dautre part, i y = (0, 1) ( y, 0) = (0, y). On a donc
bien z = x + i y. Quelques proprits :a) z = z/ _Re(z) = Re(z/)Im(z)
= Im(z/).b) z E Im(z) = 0.c) z iE Re(z) = 0.d) Re(z +z/) = Re(z)
+Re(z/) et Im(z +z/) = Im(z) +Im(z/).e) Si est un rel, alors Re(z)
= Re(z), et Im(z) = Im(z).f) Formule du binme de Newton1:z, z/ C, n
N, (z +z/)n=n
k=0_nk_zkz/nk=n
k=0_nk_znkz/k.II) Module dun nombre complexe1) Conjugu dun
nombre complexeDFINITION 2.3Soit z = x + i y un complexe, on
appelle conjugu de z, le complexe not z et dni par z = x i y.On a
donc Re(z) = Re(z) et Im(z) = Im(z).Proprits de la conjugaison
:THORME 2.3__Soient z, z/ C, on a : i) z +z/ = z +z/ii) zz/ =
zz/iii) z = z.Preuve: En exercice. retenir : z +z = 2Re(z);z z =
2iIm(z);z E z = z;z est un imaginaire pur ssi z = z.2) Module dun
complexeSoit z = x + i y un complexe, on a z z = x2+ y2et cette
quantit est un rel positif.1. NEWTON Isaac(1642 1727) :
mathmaticien et physicien anglais.MPSI - COURS c _Fradin Patrick
http://mpsi.tuxfamily.org 3Module dun nombre complexe Chapitre 2 :
Nombres complexesDFINITION 2.4Soit z C, on appelle module de z, le
rel positif not [z[ et dni par : [z[ =_zz.Proprits du module :a)
[z[ = 0 z = 0.b) [Re(z)[ [z[ et [Im(z)[ [z[.c) Si z est rel, alors
son module concide avec sa valeur absolue.d) [zz/[ = [z[[z/[, en
particulier, n N, [zn[ = [z[n(ceci reste valable pour n Z si z ,=
0).e) [z[ = [z[.f) [[z[ [z/[[ [z z/[ [z[ +[z/[ (ingalit
triangulaire).g) Pour mettre le complexezz/sous forme algbrique, il
suft de multiplier en haut et en bas par z/.THORME 2.4___Soient z
et z/ deux complexes non nuls, [z +z/[ = [z[ +[z/[ ssi il existe un
rel strictement positif tel que z = z/.Preuve:Sionaz=z/,alors [z +
z/[= [z/ + z/[=(1 + )[z/[= [z/[ + [z/[= [z/[ +
[z[.Rciproquement,si[z+z/[ = [z[+[z/[, alors [z+z/[2= ([z[+[z/[)2,
ce qui donne en dveloppant, [z[2+[z/[2+2Re(zz/) =
[z[2+[z/[2+2[z[[z/[,on en dduit que Re(zz/) = [zz/[ ce qui prouve
que zz/ est un rel positif. Il suft alors de prendre = zz//[z/[2,
cestbien un rel strictement positif, et on a la relation voulue. 3)
quation du second degrTHORME 2.5___Soit a C, lquation z2= a admet
dans C deux solutions opposes (toutes deux nulles lorsquea =
0).Preuve: Soit z0 une solution, alors lquation z2= a quivaut z2=
z20, cest dire (z z0)(z +z0) = 0, do z = iz0,il reste montrer
lexistence dune solution z0. Posons a = u + i v et z = x + i y,
lquation z2= a est quivalentex2 y2= u et 2x y=v. On doit avoir
galement [z[2= [a[, cest direx2+ y2= [a[, par consquent on a
:x2=u+[a[2, y2= [a[u2et 2x y = v. Une solution z0 = x0 + i y0
sobtient en prenant : x0 =_[a[+u2et y0 = _[a[u2avec= 1 si v , 0 et=
1 si v < 0, car on a 2x0y0 = [v[ = v. Exemples: Si a est un rel
strictement positif, alorsv = 0 et u > 0 do [a[ = u et doncx0 =
_a et y0 = 0, les deuxsolutions sont i_a, elles sont relles. Si a
est un rel strictement ngatif, alors v = 0 et u < 0 do [a[ = u
et donc x0 = 0 ety0 =_a, les deuxsolutions sont ii_a, ce sont des
imaginaires purs.THORME 2.6________Soient a, b, c C avec a , = 0,
lquation az2+ bz + c = 0 admet deux solutions complexes qui sontz1
= b+2aet z2 = b2aavec C tel que2= =b24ac(discriminant). De plus,
lorsqueles coefcients a, b, c sont rels et que le discriminant
b24ac est strictement ngatif, ces deuxsolutions sont complexes non
relles et conjugues.Preuve: Lquation est quivalente : (z
+b2a)2b24ac4a2= 0. Posons Z = z +b2aet = b24ac, on sait que
admetdeux racines carres dans C, soit lune delles (2= ), lquation
est quivalente : Z2=24a2, on en dduit queZ = i2aet donc z = bi2a.
Lorsque les trois coefcients sont rels, le discriminant est lui
aussi un rel, sil eststrictement ngatif, alors on peut prendre = i_
et les solutions sont dans ce cas z = bii_2a, on voit que celles-
ci sont complexes non relles et conjugues.
Lasommeetleproduitdecesdeuxsolutions,sontdonnsparlesrelations:z1 +
z2=S= baetz1z2 = P =ca. De plus on a la factorisation : z C, az2+
bz + c = a(z z1)(z z2).MPSI - COURS c _Fradin Patrick
http://mpsi.tuxfamily.org 4Nombres complexes de module 1 Chapitre 2
: Nombres complexesIII) Nombres complexes de module 11) Le groupe
unitDFINITION 2.5On note U lensemble des complexes de module 1 : U
= |z C / [z[ = 1|, cest une partie de C.Il est facile de vrier que
lensemble U :est stable pour la multiplication : z, z/ U, zz/ U.est
stable pour le passage linverse : z U, z ,= 0 et z1 U.contient 1.De
plus, la multiplication dans U est associative (elle lest dans C),
on dit alors que (U, ) est un groupemultiplicatif. Comme la
multiplication est en plus commutative, on dit que (U, ) est un
groupe ablien(ou commutatif), ce groupe est parfois appel groupe
unit de C.2) Exponentielle complexeDFINITION 2.6Soit z =x + i yun
nombre complexe, on appelle exponentielle de z le complexe not
exp(z) etdni par : exp(z) = ex[cos( y) + i sin( y)].Remarques: Si z
est rel (iey = 0), alors lexponentielle de z correspond
lexponentielle relle de z. De mme, si z estimaginaire pur (x = 0),
alors exp(z) = exp(i y) = cos( y) + i sin( y). exp(0) = 1. exp(z)
=1exp(z). Re(exp(z)) = eRe(z)cos(Im(z)) et Im(exp(z)) =
eRe(z)sin(Im(z)). [ exp(z)[ = eRe(z)et Arg(exp(z)) = Im(z) (2).
exp(z) = exp(z).THORME 2.7______La fonction exp : C C est
2i-priodique, surjective, et vrie :z, z/ C, exp(z +z/) = exp(z)
exp(z/).Preuve: Il est clair daprs la dnition queexp(z) ne peut pas
tre nul, donc exp(z) C. Posons z=x + i y,exp(z +2i) = ex[cos( y +2)
+i sin( y +2)] = exp(z). Soit a un complexe non nul, lquation
exp(z) = a quivaut [a[ = exet Arg(a) = y(mod 2), donc les complexes
z = ln([a[)+i( y +2k) (o k parcourt Z) sont les antcdentsde a, en
particulier les solutions de lquation exp(z) = 1 sont les complexes
z = 2ik, k Z. Soit z/ = x/+i y/ un autrecomplexe, exp(z +z/) =
ex+x/[cos( y + y/)+i sin( y + y/)], et exp(z) exp(z/) = ex+x/[cos(
y) cos( y/)sin( y) sin( y/)] =ex+x/[cos( y + y/) + i sin( y + y/)].
On peut dduire de cette proprit le calcul suivant :exp(z) = exp(z/)
exp(z)exp(z/) = 1exp(z) exp(z/) = 1exp(z z/) = 1k Z, z = z/
+2ik.MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org
5Nombres complexes de module 1 Chapitre 2 : Nombres complexesLa
proprit fondamentale de lexponentielle complexe : exp(z +z/) =
exp(z) exp(z/), est la mme quecelle de lexponentielle relle. Par
analogie, exp(z) sera not ez. La proprit scrit alors :ez+z/=
ezez/et on peut crire dsormais ei y= cos( y) + i sin( y).3)
Exponentielle dun imaginaire purPour tout rel x, on a ei x= cos(x)
+ i sin(x), et les proprits suivantes : x E, ei x= cos(x) + i
sin(x) = cos(x) i sin(x) = ei x. x E, [ei x[ =_cos(x)2+sin(x)2= 1,
donc ei x U. x, y E, ei xei y= ei(x+y).Soit z = x + i y un complexe
de module 1, on a x2+ y2= 1, donc il existe un rel (unique 2prs)
tel que x = cos() ety = sin(), cest dire z = ei.Soit x, y E, ei x=
ei y_cos(x) = cos( y)sin(x) = sin( y) x = y (2).On peut donc noncer
le thorme suivant :THORME 2.8_____La fonctionf : E U, dnie par x E,
f (x) = ei x, est une application surjective qui vrie pourtous rels
xety:f (x + y) =f (x) f ( y). De plus, f (x) =f ( y) x =y (2), en
particulierf (x) = 1 x 2Z.Ce thorme permet de retrouver les
formules trigonomtriques.Exemples: cos(x + y) = Re(ei(x+y)) = Re(ei
xei y) = cos(x) cos( y) sin(x) sin( y). sin(x + y) = Im(ei(x+y)) =
Im(ei xei y) = cos(x) sin( y) +sin(x) cos( y).En posant a =x + y2et
b =x y2on obtient : cos(x) +cos( y) = cos(a + b) +cos(a b) =
2cos(a) cos(b) = 2cos(x+y2) cos(xy2). cos(x) cos( y) = cos(a + b)
cos(a b) = 2sin(a) sin(b) = 2sin(x+y2) sin(xy2). sin(x) +sin( y) =
sin(a + b) +sin(a b) = 2sin(a) cos(b) = 2sin(x+y2) cos(xy2)...etc4)
Formules dEuler et de MoivreFormule de Moivre2: n Z, x E, einx= [ei
x]n= [cos(x) + i sin(x)]n. On en dduit que :cos(nx) = Re([cos(x) +
i sin(x)]n) etsin(nx) = Im([cos(x) + i sin(x)]n). laide du binme de
Newton ces formules permettent dexprimer cos(nx) et sin(nx) sous
forme dunpolynme en cos(x) et sin(x).Exemples: cos(4x) =
Re([cos(x)+i sin(x)]4) = cos(x)46cos(x)2sin(x)2+sin(x)4. En
remplaant sin(x)2par 1cos(x)2,on pourrait obtenir cos(4x) en
fonction de cos(x) uniquement. sin(4x) = Im([cos(x) + i sin(x)]4) =
4cos(x)3sin(x) 4cos(x) sin(x)3.Formules dEuler3: x E : cos(x) =ei
x+ei x2etsin(x) =ei xei x2i.Ces formules permettent la linarisation
de cos(x)net sin(x)n.Exemples: cos(x)3=(ei x+ei x)38=ei3x+3ei2xei
x+3ei xei2x+ei3x8=cos(3x)+3cos(x)4. sin(x)3=(ei xei
x)38i=ei3x3ei2xei x+3ei xei2xei3x8i=3sin(x)sin(3x)4.2. MOIVRE
Abraham DE (1667 1754) : mathmaticien franais, il sexpatria Londres
lage de dix-huit ans.3. EULER Lonhard (1707 1783) : grand
mathmaticien suisse.MPSI - COURS c _Fradin Patrick
http://mpsi.tuxfamily.org 6Argument dun nombre complexe Chapitre 2
: Nombres complexesIV) Argument dun nombre complexe1) Forme
trigonomtriqueSoit z U, on sait quil existe un rel(unique 2 prs)
tel que z = ei. Si maintenant z est uncomplexe non nul quelconque
alorsz[z[ U et donc il existe un rel (unique 2 prs) tel quez[z[ =
ei,cest dire z = [z[ei.DFINITION 2.7Soit z un complexe non nul, on
appelle argument de z tout rel tel que z = [z[ei, cette galitest
appele forme trigonomtrique de z. Lensemble des arguments de z est
not arg(z), on a doncarg(z)=| E/ z = [z[ei|, et si 0 est un
argument de z, alors arg(z)=|0 +2k/ k Z |.0 1 2
10121A(z)B(z[z[)DFINITION 2.8Soit z C, z possde un unique argument
dans lintervalle ] ; ], par dnition cet argumentest appel argument
principal de z et not Arg(z).Exemples: Arg(i) =2, Arg( ) =23 . si x
E+alors Arg(x) = 0 et si x E alors Arg(x) = . Si z = ei x+ ei y,
alors :z = eix+y2[eixy2+ eixy2] = 2cos(x y2)eix+y2do [z[ = 2[
cos(xy2)[ et Arg(z) =x+y2().Proprits : Soient z, z/ C avec = Arg(z)
et / = Arg(z/) :a) z = z/ _ [z[ = [z/[ = / (2).b) z E = 0 ().c) z =
[z[eidonc Arg(z) = (2).d) z = [z[ei(+)donc Arg(z) = + (2).e) zz/ =
[zz/[ei(+/)donc Arg(zz/) = +/ (2).f)zz/= [z[[z/[ei(/)donc Arg( zz/)
= / (2).g) n Z, zn= [zn[eindonc Arg(zn) = n(2).Remarque: Soient a,b
deux rels non tous deux nuls et soit x E, en posant z = a + i b =
[z[eion obtient :a cos(x) + b sin(x) = Re(zei x) = [z[ cos(x )
=_a2+ b2cos(x ).MPSI - COURS c _Fradin Patrick
http://mpsi.tuxfamily.org 7Reprsentation gomtrique des complexes,
applications Chapitre 2 : Nombres complexes2) Racines n-imes dun
nombre complexeDFINITION 2.9Soit a, z0 deux complexes et n N, on
dit que z0 est une racine n-ime de a lorsque zn0 = a.Rsolution de
lquation zn= a :THORME 2.9_________Soit n un entier suprieur ou gal
2, et a un complexe non nul. Lensemble des racines n-imes dea (que
lon note Rn(a)) est un ensemble ni de cardinal n, et pour tout
argument de a on a :Rn(a) =_n_[a[ei+2kn/ 0 k n 1_.Preuve: Posons
pour k _ 0n 1, zk =n_[a[ei+2kn, il est clair que zk est une racine
n-ime de a. Si zk = zk/ alors +2k = +2k/ (2n), do k k/ nZ, or k et
k/ sont dans lintervalle_ 0n 1 ce qui entrane k = k/, ceciprouve
que a possde au moins n racines n-imes : z0, , zn1.Soit z une
racine n-ime de a, lgalit zn= a entrane que [z[n= [a[ et nArg(z) =
(2), do [z[ =n_[a[ etArg(z) =+2kn, k Z. Effectuons la division
euclidienne de k par n, il existe deux entiers q et r tels que k =
nq + ravec 0 r n 1, on a donc Arg(z) =+2rn(2) et par consquent z =
zr, ceci prouve que les seules racinesn-imes de a sont z0, , zn1.
Cas particuliers des racines n-imes de lunit :DFINITION 2.10Soit n
un entier suprieur ou gal deux, on note Un lensemble des racines
n-imes de lunit, on adonc :Un = |z U / zn= 1| =_e2ik/n/ 0 k n
1_M1M2M3M4M5M6M01 111Mk est le point dafxe e2ik/n(n = 7).Soit a un
complexe non nul et soit z0 une racine n-ime de a. Lquation zn= a
quivaut zn= zn0, ouencore_ zz0_n= 1. On est ainsi ramen aux racines
n-imes de lunit, on en dduit que z = z0ei2k/navec0 k n 1.V)
Reprsentation gomtrique des complexes, applicationsLe plan complexe
est un plan muni dun repre orthonorm direct % = (O,u,v).MPSI -
COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 8Reprsentation
gomtrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres
complexes1) AfxeChaque point Mdu plan complexe est repr par ses
coordonnes : une abscisse xet une ordonney, cest dire par le couple
de rels (x, y). Autant dire que Mest repr par le complexe z = x + i
y. Pardnition, ce complexe est lafxe du point M.OM(x,
y)uvxyRciproquement, tout complexe z est lafxe dun point Mdu plan
que lon appelle image de z. Lesaxes (O,u) et (O,v) sont appels
respectivement axes des rels et axe des imaginaires.Par exemple,
limage de z est le symtrique de limage de z par la rexion daxe
(O,u).De la mme faon, chaque vecteur du plan a des coordonnes dans
la base (u,v). Si w a pourcoordonnes (x, y), cela signie que w= xu
+ yv, l encore le vecteur wpeut tre reprsent par lecomplexe x +i y,
ce complexe est appel afxe du vecteur w. Rciproquement, tout
complexe z est lafxedun vecteur du plan. On remarquera que lafxe
dun point Mnest autre que lafxe du vecteur OM.) Lafxe de la somme
de deux vecteurs est la somme des afxes. Si E et siwest le vecteur
dafxez, alors lafxe du vecteur west z.) Soit Mdafxe z et M/ dafxe
z/, lafxe du vecteur MM/est z/z.2) DistancesLe module dun complexe
z reprsente dans le plan complexe la distance de lorigine O au
point Mdafxe z, cest dire [z[ = OM = |OM |.Si west un vecteur dafxe
z, alors la norme de west |w | = [z[.Soit Mdafxe z et M/ dafxe z/,
la distance de M M/ est MM/ = |MM/ | = [z/z[.DFINITION 2.11Soit a C
et R > 0, on dnit dans le plan complexe :le disque ferm de
centre a et de rayon R : |M / [z a[ R|.le disque ouvert de centre a
et de rayon R : |M / [z a[ < R|.le cercle de centre a et de
rayon R : |M / [z a[ = R|.Exemples: La reprsentation gomtrique du
groupe unit U =|z C / [z[ = 1| est le cercle de centre O et de
rayon 1 :le cercle trigonomtrique. Les points dafxe les racines
n-imes de lunit (n , 2) sont les sommets dun polygone rgulier
inscrit dans lecercle unit. La longueur du cot est 2sin(n), et la
longueur du centre au milieu dun cot (lapothme) estcos(n).3) Angles
orientsSoit z un complexe non nul et Mle point du plan dafxe z,
largument principal de z est une mesurede langle orient (u,OM ), ce
que lon crit (u,OM ) = Arg(z) (2).MPSI - COURS c _Fradin Patrick
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applications Chapitre 2 : Nombres complexesOM(x, y)uvxyx + i y =
reiavecr =_x2+ y2= OMr=OMSoient wet w/deux vecteurs non nuls dafxes
respectifs z et z/. Dsignons par Met M/ les pointsdafxes respectifs
z et z/, langle orient entre les deux vecteurs wet w/est :(w ,w/ )
= (OM,OM/ )= (OM,u) + (u,OM/ )= (u,OM ) + (u,OM/ )= Arg(z) +Arg(z/)
(2)= Arg(z/z ) (2)Consquence : Soient A, B et C trois points
distincts dafxes respectifs ZA, ZB et ZC. Lafxe du vecteur ABest ZB
ZA et celui du vecteur AC est ZC ZA, par consquent langle (AB ,AC )
est donn par :(AB ,AC ) = Arg(ZC ZAZB ZA) (2).Rappels :Produit
scalaire : soient z = x + i y = reiet z/ = x/ + i y/ = r/ei/deux
complexes non nuls, soientwet w/deux vecteurs dafxes respectives z
et z/, alors le produit scalaire entre ces deux vecteursest :w w/=
x x/ + y y/ = Re(zz/) = Re(zz/) = r r/cos(/).Ce produit scalaire
est nul ssi / =2(mod ) ce qui revient dire que (w ,w/ ) =2(mod )ou
encore : les deux vecteurs sont orthogonaux.Dterminant : soient z =
x + i y = reiet z/ = x/ + i y/ = r/ei/deux complexes non nuls,
soient wet w/deux vecteurs dafxes respectives z et z/, alors le
dterminant entre ces deux vecteurs est :det(w ,w/ ) = x y/ x/y =
Im(zz/) = r r/sin(/).Ce dterminant est nul ssi / = 0 (mod ) ce qui
revient dire que (w ,w/ ) = 0 (mod ) ouencore : les deux vecteurs
sont colinaires.4) Transformations du plan complexeLimage du point
M(z) par la translation de vecteur V(z0) a pour afxe z/ = z
+z0.Limage du pointM(z) par lhomothtie de centre C(z0) et de
rapport Ea pour afxe z/ =(z z0) +z0.Limage de M(z) par la rotation
de centre C(z0) et dangle a pour afxe z/ = ei(z z0) +z0.Quelques
transformations de dans :MPSI - COURS c _Fradin Patrick
http://mpsi.tuxfamily.org 10Annexe Chapitre 2 : Nombres
complexesLapplicationf : M(z) M/(z) est lidentit du plan, note id
.Lapplicationf : M(z) M/(z) est la rexion (ou symtrie orthogonale)
par rapport laxe rel.Cest une involution.Soient a C, b C, etf :
M(z) M/(az + b) :Lorsque a = 1f est la translation de vecteur w
(b).Lorsque a ,= 1,f est la similitude directe de centre C(z0) avec
z0 =b1a(point xe def ), dangleArg(a) et de rapport [a[, cest dire
:CM/ = [a[CM, et (CM,CM/ ) = Arg(a) (mod 2).Commeaz + b=a(z z0) +
z0, cettetransformationestlacompose(commutative)entrelhomothtie de
centre C(z0), de rapport [a[ et la rotation de centre C(z0), dangle
Arg(a). Cestune bijection et sa rciproque est la similitude directe
de centre C(z0), de rapport1[a[et dangleArg(a).VI) Annexe1) Notion
de groupeUn groupe est un ensemble non vide G muni dune opration
(ou loi de composition) qui vrie lesproprits suivantes :elle doit
tre interne : x, y G, x y G.elle doit tre associative : x, y, z G,
x ( y z) = (x y) z.elle doit possder un lment neutre : e G, x G, e
x = x e = x. Si la loi est une additionllment neutre sera not 0G et
on parlera de groupe additif. Si la loi est une multiplication,
llmentneutre sera not 1G et on parlera de groupe multiplicatif.
Dans le cas gnral llment neutre estsouvent not eG.tout lment
deGdoit avoir un symtrique dansG: x G, x/ G, x x/=x/ x=eG.
Ennotation additive, le symtrique de x est appel oppos de x et not
x, en notation multiplicativeon lappelle inverse de x et on le note
x1.Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit (G, ) est un
groupe. Si en plus la loi est commuta-tive (x, y G, x y = y x),
alors on dit que (G, ) est un groupe ablien (ou groupe
commutatif).Exemples: (Z, +), (Q, +), (E, +), (C, +), (Q, ), (E, ),
(C, ) sont des groupes abliens. (N, +) et (Z, ) ne sont pas des
groupes. Si (E, +, ) est un corps, alors (E, +) est un groupe
ablien et (E, ) est un groupe (ablien si le corps estcommutatif).
Dans E = E\ |1| on dnit une opration en posant x, y E, x y = x + y
x y. On vrie que (E, ) est ungroupe.Quelques proprits : Soit (G, )
un groupe :a) Soient x, y G, le symtrique de x y est : (x y)/ = y/
x/.b) Soient a, b G, lquation a x = b admet comme unique solution
dans G, x = a/ b.2) Notion de corpsUn corps est un ensemble E muni
de deux oprations (ou deux lois de composition), une addition etune
multiplication. Ces deux oprations doivent vrier les proprits
suivantes :Pour laddition :elle doit tre interne : x, y E, x + y E
(on parle alors de loi de composition interne).elle doit tre
associative : x, y, z E, (x + y) +z = x + ( y +z).elle doit tre
commutative : x, y E, x + y = y + x.elle doit possder un lment
neutre : e E, x E, e + x=x + e =x. Cet lment est engnral not 0E et
appel zro de E.MPSI - COURS c _Fradin Patrick
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complexestout lment de E doit avoir un oppos : x E, x/ E, x + x/ =
x/ + x = 0E. Loppos de x esten gnral not x.Pour la multiplication
:elle doit tre interne : x, y E, x y E.elle doit tre associative :
x, y, z E, (x y)z = x( yz).elle doit possder un lment neutre : e E,
x E, ex = xe = x. Cet lment est en gnralnot 1E et appel un de
E.tout lment non nul de E doit avoir un inverse : x E\|0E|, x/ E, x
x/ = x/x = 1E. Linversede x est en gnral not x1.elle doit tre
distributive sur laddition : x, y, z E, x( y +z) = x y + xz et ( y
+z)x = y x +zx.Lorsque toutes ces proprits sont vries, on dit (E,
+, ) est un corps. Si de plus la multiplication estcommutative (x,
y E, x y = y x) alors on dit que (E, +, ) est un corps
commutatif.Par exemple, (E, +, ), (Q, +, ), (C, +, ) sont des corps
commutatifs, mais (Z, +, ) nest pas uncorps.Quelques proprits : Si
(E, +, ) est un corps :a) x E, 0Ex = x0E = 0E.b) x, y E, x y = 0E =
x = 0E ouy = 0E.3) Morphisme de corpsSoient (E, +, ) et (F, +, )
deux corps commutatifs, et soitf : E Fune application. On dit quef
estun morphisme de corps lorsque : x, y E, f (x + y) = f (x) + f (
y) etf (x y) = f (x) f ( y). f (1E) = 1F.Exemples: La conjugaison
dans C est un morphisme de corps. La fonction g de E vers C dnie
par g(x) = x est un morphisme de corps. La fonction h : E E dnie
par h(x) = x2nest pas un morphisme de corps.Quelques proprits :
Soitf : E Fest un morphisme de corps :a) f (0E) = 0F.b) x E, f (x)
= f (x).c) x E, f (x1) = f (x)1.VII) ExercicesExercice 2.1Soitf : C
C dnie par : z C, f (z) =z+izi. Montrer quef induit une bijection
de C\ |i| surC\ |1|, dterminer la bijection rciproque. Dterminer la
forme algbrique def (z), en dduirelimage rciproque de E et de
U.Exercice 2.2Dterminer les complexes z tels que :a) z, 1zet 1 z
aient le mme module.b) (z i)(z 1) E.c) (z i)(z 1) iE.Exercice 2.3a)
Soient u et v deux nombres complexes, montrer que [u[ +[v[ [u + v[
+[u v[.b) Soientu etvdeux nombres complexes, montrer que [u + v[2+
[u v[2= 2_[u[2+[v[2_(formule de paralllogramme).c) Soient x, y, z,
t des complexes, montrer que [x y[ [z t[ [x z[ [ y t[ +[x t[ [z
y[(ingalit de Ptolme).MPSI - COURS c _Fradin Patrick
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complexesExercice 2.4Dterminer le module et largument des complexes
suivants :_1 + i_31 i_20et1 + ei1 eiExercice 2.5Soit x, y, z trois
rels tels que ei x+ ei y+ eiz= 0. Montrer que ei2x+ ei2y+ ei2z=
0.Exercice 2.6Soient a, b, c trois complexes de module 1 distincts
deux deux, montrer queab(cb)2(ca)2 E+.Exercice 2.7Linariser sin3(x)
cos(x).Exercice 2.8Rsoudre cos(3x) 2cos(2x) = 0.Exercice 2.9Soient
a, b, c, d quatre complexes tels que a +c = b +d et a +i b = c +id.
Que dire du quadrilatreform par les quatre points dafxes
respectives a, b, c et d ?Exercice 2.10Soit z un complexe de module
1. Montrer que [1 +z[ , 1 ou [1 +z2[ , 1.Exercice 2.11Rsoudre dans
C les quations suivantes :a)z+3z+i= 1 + i b) (1 + i)z + (z i)z =
2ic) z(z i) =1+i1id) z2= z2e) 8z2= z f) 8z2= z 1g) z2(2 + i)z + i+2
= 0 h) z43iz2+4 = 0i) z4= 24i 7 j) z6=1+i_31i_3k) z4=1i1+i_3l) z =
zn+1m) z4z3+z2z +1 = 0Exercice 2.12Rsoudre dans C les quations
suivantes :a) 1 +2z +2z2+ +2zn1+zn= 0b)_Arg(z) =Arg(z +1) (2)[z[ =
1c) 2Arg(z + i) = Arg(z) +Arg(i) (2)d) (z + i)n= (z i)n.Exercice
2.13a) Rsoudre dans C lquation (1 z)2n= (1 + z)2net calculer le
produit des solutions nonnulles.b) Soient a E et n N, rsoudre
lquation (z +1)n= e2ina.Exercice 2.14a) Dmontrer quen
k=1kik1=inin(n+1)in+12.b) En dduire une simplication des sommes
relles :S1 = 1 3 +5 7 + + (1)p(2p +1) et S2 = 2 4 +6 8 + +
(1)p+12pMPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org
13Exercices Chapitre 2 : Nombres complexesExercice 2.15Soit u =
e2i7, S = u +u2+u4et T = u3+u5+u6.a) Montrer que S et Tsont
conjugus et que la partie imaginaire de S est positive.b) Calculer
S + Tet ST. En dduire S et T.Exercice 2.16a) Calculer la somme puis
le produit des racines n-imes de lunit.b) Soitune racine n-ime de
lunit, simplier la somme :n
k=1kk1.Exercice 2.17Simplier les sommes suivantes :a)n
k=0Ckncos(x + ky) etn
k=0Cknsin(x + ky) pour x ety rels.b)n
k=0cos(kx)cos(x)ketn
k=0sin(kx)cos(x)kpour x rel et cos(x) ,= 0.c)n
k=112k cos(k3).d)n
k=0cos2(kx) etn
k=0sin2(kx)Exercice 2.18Dterminer dans le plan lensemble des
points M(z) tels que les trois points A(1), M(z) et B(1 +z2)soient
aligns.Exercice 2.19Soient A, B et C trois points du plan dafxes
respectives a, b et c. Montrer que le triangle (A, B, C)est
quilatral direct ssi a + b + c 2= 0.Exercice 2.20a) Soit ABCD un
carr dans le plan complexe. Montrer que si A et B ont des
coordonnes entires,alors il en va de mme pour C et D.b) Peut-on
trouver un triangle quilatral dont les trois sommets ont des
coordonnes entires ?Exercice 2.21Soient z = e2i/5.a) Montrer que z
vrie z4+z3+z2+z +1 = 0.b) Soit u = z +1z, Montrer que u vrie une
quation du second degr ( prciser).c) En dduire cos(25 ) et sin(25
), puis cos(5) et sin(5).Exercice 2.22Soient a, b deux rels.a)
Montrer que sin2(a) +sin2(b) +sin2(a + b) = 2 2cos(a) cos(b) cos(a
+ b).b) Soit ABCun triangle, on note langle (AB ,AC ) = a, et par
permutation circulaireb etc.Montrer que ce triangle est rectangle
si et seulement si sin2(a) +sin2(b) +sin2(c) = 2.Exercice
2.23Soient a, b, c, dquatre complexes de module 1 et de somme
nulle. On note A, B, C, D les pointsdafxes respectives a, b, c, d
et on suppose que le quadrilatre (A, B, C, D) est non crois.a)
Montrer que ce quadrilatre est un paralllogramme (et mme un
rectangle). Que dire alorsdes complexes a, b, c, d ?b) Application
: trouver tous les complexes a, b, c de module 1 vriant :_a + b + c
= 1abc = 1MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org
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