LycØe Sainte GeneviLve PT-PT* MATHMATIQUES 2020-2021 Chap 10 LES INTGRALES GNRALISES Objectifs : Savoir montrer l’existence d’une intØgrale gØnØralisØe. Savoir Øtudier l’intØgrabilitØ d’une fonction sur un intervalle. Savoir calculer une intØgrale gØnØralisØe une fois l’existence prouvØe. Savoir Øtudier des suites ou des fonctions dØnies par une intØgrale gØnØralisØe. Connatre et savoir utiliser les liens sØries-intØgrales. Table des matiLres 1 DØnition de la convergence des intØgrales gØnØralisØes 2 1.1 DØnition sur un intervalle de type [a; b[ ou ]a; b] ............................ 3 1.2 Quand b est une borne nie : IntØgrale faussement impropre ...................... 7 1.3 Quand b = + 1 : Divergence grossiLre .................................. 8 1.4 IntØgrales de rØfØrence ........................................... 10 1.5 DØnition sur un intervalle de type ]a; b[ ................................. 14 2 PropriØtØs des intØgrales gØnØralisØes 17 2.1 Structure algØbrique de l’ensemble des intØgrales convergentes ..................... 17 2.2 Relation de Chasles ............................................. 20 2.3 PropriØtØs liØes l’ordre .......................................... 21 3 La convergence en pratique : cas des fonctions positives 24 3.1 Lemme fondamental : thØorLme de la limite monotone ......................... 24 3.2 Les thØorLmes de comparaison ...................................... 25 3.3 Rappel sur le thØorLme de comparaison sØries-intØgrales ........................ 34 4 Fonctions intØgrables sur un intervalle I 34 4.1 DØnition .................................................. 35 4.2 PropriØtØs des fonctions intØgrables sur un intervalle I ......................... 35 4.3 tude pratique de l’intØgrabilitØ d’une fonction sur un intervalle I .................. 38 4.4 Fonctions de carrØ intØgrable sur un intervalle I ............................. 40 4.5 Un exemple d’intØgrale semi-convergente (Hors-Programme) ...................... 42 5 Calcul intØgral : procØdØs d’intØgration 44 5.1 Primitives usuelles et exemples classiques connatre : rappels de PTSI ............... 44 5.2 IntØgration par parties ........................................... 44 5.3 Changement de variables .......................................... 45 6 SynthLse : tableau rØcapitulatif 51 LycØe Sainte GeneviLve, PT-PT* Page 1/52 2020-2021
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Lycée Sainte GenevièvePT-PT*MATHÉMATIQUES
2020-2021Chap 10
LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Objectifs :
� Savoir montrer l'existence d'une intégrale généralisée.
� Savoir étudier l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle.
� Savoir calculer une intégrale généralisée une fois l'existence prouvée.
� Savoir étudier des suites ou des fonctions dé�nies par une intégrale généralisée.
� Connaître et savoir utiliser les liens séries-intégrales.
Dans tout le chapitre, les intervalles considérés sont non vide et non réduit à un singleton. De plus K est égal àR ou C.
Vous avez dé�ni, en PTSI, la notion d'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Il s'agit ici d'étendrecette notion à des fonctions continues sur un intervalle quelconque.
1 Dé�nition de la convergence des intégrales généralisées
Comme vous l'avez déjà vu l'année dernière, la notion d'intégrale est intimement liée à la notion d'aire. Ayanttoujours pour objectif de � mesurer �l'aire d'un domaine délimité par l'axe des abscisses et une courbe donnée,nous pouvons nous interroger sur la possibilité d'étendre les résultats vus en première année sur les fonctionscontinues sur un segment à deux autres cas :
� Cas d'un intervalle non borné : bien que le domaine ne soit pas borné, l'aire de ce domaine n'est pasnécessairement in�nie :
Exemple :
x
y
y = 1x2
y = 1x
Pour tout a > 1 :
?
Z a
1
dx
x= : : : : : : : : : et ainsi lim
a!+1
�Z a
1
dx
x
�= : : : : : : : : :
?
Z a
1
dx
x2= : : : : : : : : : et ainsi lim
a!+1
�Z a
1
dx
x2
�= : : : : : : : : :
� Cas d'une fonction non bornée sur un intervalle borné :
� Déterminer la nature et la valeur éventuelle de l'intégrale suivante :
1Z0
t ln (t)dt.
Méthode lorsque le point à problème est un point FINI :
Étude d'une éventuelle fausse impropretéCalculer la limite de la fonction en ce point pour étudier un éventuel prolongement par continuité.
� Poser clairement la fonction f et calculer Df .
� Justi�er la continuité de f sur l'intervalle considéré et identi�er le point à problème (FINI ici).
� Étudier la limite de f au point à problème.Si la limite existe et est �nie, poser ~f le prolongement par continuité de f .
� Conclure : l'intégrale généralisée converge, c'est une intégrale faussement impropre.
1.3 Quand b = +1 : Divergence grossière
On peut noter un parallèle entre l'étude des intégrales généralisées sur un intervalle [a;+1[ et celle des sériesnumériques. Dans ce parallèle, l'analogue du terme général de la série est la fonction f et l'analogue des sommes
partielles est la fonction : x 7!xZ
a
f .
D'après le chapitre sur les séries numériques, siXn�0
On dé�nit la fonction f continue sur R+ dont le graphe est :
x
y
|1
|n
n
� �n� 1
n2n n+ 1n2n
2n2n
An =1
2n
Montrer que l'intégraleZ +1
0f converge.
Condition su�sante de divergence : Cas où f admet une limite non nulle en +1Par contre, si la fonction f admet une limite en +1, alors on a le résultat suivant de divergence grossière :Soit f : [a;+1[! R continue.
Les exemples suivants sont à connaître par coeur, les intégrales en question sont quali�ées d'intégrales de réfé-rence. En e�et, comme pour les séries, ces exemples de référence permettront, par les théorèmes de comparaison,de déterminer la nature de nombreuses autres intégrales.
�1f converge, il ne su�t PAS de calculer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple :
x
y
y = t3
On a, par imparité de t 7! t3,
� pour tout x 2 R :Z x
�xt3dt = : : : : : : puis
limx!+1
�Z x
�xt3dt
�= : : : : : :
� alors que :Z x
0t3dt = : : : : : : et donc
limx!+1
�Z x
0t3dt
�= : : : : : :
d'où la divergence de . . .. . .
2 Propriétés des intégrales généralisées
Par souci de simplicité, nous travaillerons par la suite uniquement sur des intervalles de la forme [a; b[ avec a < bet b 2 R ou b = +1. Le même type d'énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a; b], sur ]a; b[.
Les propriétés suivantes sont des propriétés connues pour des intégrales de fonctions continues sur un segment,propriétés vues en PTSI. On les étend ici aux intégrales généralisées.
2.1 Structure algébrique de l'ensemble des intégrales convergentes
Linéarité de l'intégrale
Propriété 7. Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b[ à valeurs dans K.
� Y penser dès que l'on veut montrer qu'une expression avec une intégrale est positive :Étude du signe d'une intégrale = étude du signe de la fonction à l'intérieur.� Application classique : monotonie de suite dé�nie par une intégrale :Étude du signe de In+1 � In.
Croissance
Propriété 11. L'intégrale-dans-le-bon-sens conserve les inégalités :8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:
3 La convergence en pratique : cas des fonctions positives
Par souci de simplicité, nous travaillerons par la suite uniquement sur des intervalles de la forme [a; b[ avec a < bet b 2 R ou b = +1. Le même type d'énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a; b], sur ]a; b[.
On ne peut pas toujours calculerZ x
af(t)dt explicitement, le calcul explicite d'une primitive étant rarement pos-
sible. Mais, lorsque f est positive, certaines règles permettent d'étudier la nature de l'intégrale. Si f est négative,on travaillera avec �f . De plus, quitte à utiliser comme ci-dessus une borne c quelconque dans [a; b[, on peut seramener à une étude locale au voisinage de b. Ainsi tous les théorèmes de comparaison qui suivent s'appliquent
pour f de signe constant au voisinage de b.
L'étude deZ b
af est semblable à celle des séries du type
Xn�0
un avec un � 0.
3.1 Lemme fondamental : théorème de la limite monotone
Soit f : [a;+1[! R une fonction continue sur [a;+1[.
8>>><>>>:
f est positive au voisinage de +1� > 1
limx!+1
x�f(x) = 0
=)
8>>><>>>:
f est positive au voisinage de +1� < 1
limx!+1
x�f(x) = +1=)
Preuve :
� Y penser lorsque f(x) n'admet pas apparement d'équivalent simple.En particulier y penser lorsque f(x) comporte des produits, quotients de termes de type (ln (x)) , x� , ex
�
...
� On pourra mixer d'abord un équivalent a�n de simpli�er l'expression de f puis la règle des x�f(x).
� Très souvent le calcul de la limite de x�f(x) fait intervenir des croissances comparées.
Exemples :
� Déterminer la nature de l'intégraleZ +1
0e�t
2
dt (Méthode 2)
� Intégrales de Bertrand : (à connaître mais à refaire à chaque fois) soit (�; �) 2 R2, � 6= 1 (pour l'instant).
La notion de convergence absolue est intéressante uniquement pour les fonctions à valeurs complexes et pourles fonctions à valeurs réelles qui changent sans cesse de signe au voisinage du point à problème, par exemplepour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Étudier l'intégrabilité de f sur un intervalle I revient donc à étudier une intégrale classique sur un segmentou bien à étudier la convergence absolue d'une intégrale généralisée.
Comment démontrer l'intégrabilité d'une fonction f sur un intervalle I :
� Cas 1 : une fonction continue sur un segment I = [a; b] (PTSI) :La fonction f est alors intégrable sur I = [a; b].
� Cas 2 : une fonction continue sur un intervalle I avec f réelle de signe constant (ou constant localement auvoisinage des points d'impropreté) :
f intégrable sur I () l'intégrale généraliséeZI
f converge.
� Cas 3 : une fonction continue sur un intervalle I avec f complexe non réelle ou réelle de signe non constant(ou non constant localement au voisinage des points d'impropreté) :
f est intégrable sur I () l'intégrale généraliséeZI
jf j converge.
4.2 Propriétés des fonctions intégrables sur un intervalle I
Application de l'inégalité triangulaire et du théorème de croissance au calcul d'une limite et/ou d'un équi-valent d'une suite (In)n2N dé�nie par une intégrale :
� On conjecture la limite (ou l'équivalent) qui est, le plus souvent, l'intégrale de la limite (ou de l'équivalent)lorsque n tend vers +1 de la fonction à l'intérieur.
� On calcule la valeur absolue ou le module de la di�érence.
� Par l'inégalité triangulaire, un théorème de croissance puis un théorème des gendarmes, on véri�e quecette di�érence tend bien vers 0.
Exemple : Déterminer la limite de In =
Z +1
1
nx+ 1
nx3 + 1dx lorsque l'entier n tend vers +1.
Structure algébrique de l'ensemble des fonctions continues intégrables sur un intervalle
Propriété 17. L1(I;K), ensemble des fonctions continues et intégrable sur l'intervalle I, est . . . . . . . . . . .
� Justi�er la continuité de f sur l'intervalle considéré et identi�er le(s) point(s) à problème.
� Faire une étude en chaque point à problème.Si la fonction est complexe non réelle ou non de signe constant au voisinage des points à problème,étudier l'intégrabilité de la fonction en utilisant un des théorèmes de comparaison.
� Conclure
Exemples :
� Déterminer la nature de l'intégraleZ +1
1
cos (t)
t2dt :
� Déterminer la nature de l'intégraleZ +1
0
eitpch(t)
dt :
4.4 Fonctions de carré intégrable sur un intervalle I
Dé�nition
Dé�nition 5. Soit f : I ! K une fonction continue sur l'intervalle I.
On dit que f est de carré intégrable sur I lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque : Dans le cas d'une bijection strictement décroissante, la formule s'écrit :
Ainsi, peu importe la monotonie de ' du moment où l'on prend garde à bien respecter l'ordre des bornes lors descalculs.
Exemples :
� Un changement de variable peut transformer une intégrale impropre en une intégrale sur un segment etréciproquement et permet ainsi parfois de démontrer une convergence et/ou de calculer une valeur :
Déterminer l'existence et la valeur de I =
Z �
2
0
sin (x)
sin (x) + cos (x)dx. On pourra poser le changement de variable