LES FRACTALES - FLORIANE DELEGLISE · Les fractales, tout le monde a du en entendre parler au moins une fois dans sa vie, que ce soit par le biais de ces illustrations psychédéliques

LES FRACTALESUN OUTIL MULTI-ECHELLE AU SERVICE DE L'AMENAGEMENT

RAPPORT D'ETUDE // TROISIEME ANNEE DE LICENCE // ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARCHITECTURE DE LYON // FLORIANE DELEGLISE // SOUS LA DIRECTION DE PHILIPPE MARIN // ENSEIGNEMENT DE REFERENCE, MATHEMATIQUES // 30 MARS 2011

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Illustration de la couverture :

Image du réseau neuronal, chronique dutempsuniversel.typepad.fr

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SOMMAIRE

INTRODUCTION.......................................................................................................................................................p05

I. LES FRACTALES, DES MATHEMATIQUES ABSTRAITES A L'ENVIRONNEMENT REELp07

II. UNE UNIVERSALITE QUI S'EXPLIQUE..................................................................................................p17

III. DES PROPRIETES UTILES ET UTILISEES, QUELQU'EN SOIT L'ECHELLE......................p21

CONCLUSION...........................................................................................................................................................p36

BIBLIOGRAPHIE......................................................................................................................................................p37

BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE..........................................................................................................p37

FILMOGRAPHIE........................................................................................................................................................p37

TABLE DES FIGURES...........................................................................................................................................p38

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INTRODUCTION

Les fractales, tout le monde a du en entendre parler au moins une fois dans sa vie, que ce soit par le biais de ces illustrations psychédéliques que l'on peut trouver sur le net en tapant « fractales », ou bien lors des nombreux reportages diffusés lors du décès, le treize octobre dernier de Benoît Mandelbrot, célèbre mathématicien considéré comme le « père des fractales ».

Il mit à jour, dans son ouvrage, intitulé « Les Objets Fractals, Forme, Hasard et Dimension », paru en 1973, une méthode mathématique permettant de créer, par le biais de fonctions et d'itérations, des formes brisées, irrégulières, comme celles que l'on retrouve partout dans la nature. Les mathématiques, cette discipline scientifique des plus abstraites pourrait donc être l'outil le plus efficace dans la reproduction, et donc, la meilleure compréhension des formes dites « naturelles ». La découverte de la géométrie fractale aurait donc toute légitimité à revendiquer une place aussi importante que celle de la géométrie euclidienne, dans le sens où elle décrirait beaucoup plus efficacement les objets naturels. Prenons le cas d'un tronc d'arbre. A première vue, il pourrait être décrit comme un cylindre de révolution, un des objets de base de la géométrie euclidienne, dont nous avons tous eu vent sur les bancs de l'école. Mais si l'on se penche un peu plus sur ce tronc, son écorce forme tout un tas de creux et de bosses, tel les reliefs de la terre, ou les bords d'une cote maritime. Mais quel est le lien entre toutes ces entités ? Ici, intervient le plus important, elles n'ont pas des formes lisses, mais des formes que l'on peut, depuis Mandelbrot, qualifier de fractales. La géométrie euclidienne pouvant ne décrire de façon précise, que les construction humaines, pour la plupart, lisses et droites, la géométrie fractale, elle, vient s'attaquer à notre source d'inspiration des plus importantes qui soit, les formes naturelles.

La nature, et ce qu'elle fournit à l'architecture, ou plutôt, la manière dont la nature fournit une aide conceptuelle, est un questionnement qui me vient souvent à l'esprit. D'ailleurs, on dit que la nature est bien faite, alors pourquoi ne pas s'en servir ? Mais avant de s'en servir, faut-il encore la comprendre. C'est ici qu'interviennent les fractales. Oui, parce que plutôt que de se pencher sur tout un tas de concepts tirés de la nature, comme le nombre d'or, il valait mieux, de mon point de vue, se centrer sur un seul d'entre eux, et l'approfondir. Peut être que les fractales nous enverrons vers d'autres domaines liés à la nature, m'étais je dis. Et, comme vous le découvrirez dans la suite, elles m'ont amenées bien au delà de mes espérances, passant de la théorie du chaos, jusqu'au nombre d'or.

Le choix de la géométrie et des mathématIques fractales s'est fait naturellement, de par mes précédentes connaissances sur le sujet, et de par les liens qu'elles permettent de faire entre de nombreuses disciplines, telles que les mathématiques, la biologie, la physique, et jusqu'à des disciplines ayant beaucoup plus attrait à l'esthétisme, comme la peinture, ou même la musique. L'architecture et l'urbanisme ont eux aussi leur place, au sein de ces matières. Ce sont d'ailleurs celles que nous approfondiront. Nous tenterons ainsi de répondre à la problématique suivante:

Par quels moyens, l'outil mathématique et géométrique des fractales peut-il, grâce à ses propriétés universelles, comporter une aide aussi bien à la compréhension, à la conception, qu'à la réalisation, de l'échelle urbanistique, à celle des matériaux, en passant par l'architecture ?

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Avant de se pencher sur l'application de cette géométrie fractale, il va nous falloir passer par la tâche, assez délicate, de définir, exactement ce qu'est une fractale, sans omettre, la case des mathématiques. Dans un souci de rendre ce rapport abordable par le plus grand nombre, j'essayerai d'être claire et précise, en vous donnant, à la suite de cette explication scientifique et historique, le plus possible d'exemples concret et compréhensibles, ce qui n'est pas vraiment difficile, vu que l'on trouve des fractales un peu partout. Ainsi, cette première partie sera axée sur la définition des fractales, puis de leur forte présence dans la nature, allant même jusqu'à se « cacher » dans l'architecture vernaculaire. Mais pourquoi ces formes, que l'on peut maintenant décrire mathématiquement sont elles aussi présentes dans notre environnement, telles des envahisseur? C'est la question à laquelle nous allons tenter de répondre dans la deuxième partie de ce rapport, grâce auquel nous en sauront un peu plus sur les propriétés étonnantes de ces formes, et les phénomènes qui ont entrainés leur formation.C'est ainsi, que nous verrons, après avoir compris les propriétés des fractales, la manière dont l'homme use de ces formes pour résoudre des problèmes d'ordre urbanistique, architecturaux , ou même matériels. Les propriétés primordiales des fractales, étant souvent oubliées, ce paragraphe traitera aussi de l'oubli omniprésent de ces propriétés, pour n'aboutir qu'à des buts esthétiques.

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I. LES FRACTALES, DES MATHEMATIQUES ABSTRAITES A L'ENVIRONNEMENT REEL

Dans cette première partie, et afin de mieux comprendre la découverte de Benoît Mandelbrot, nous aborderons tout d'abord la description de certains des objets mathématiques longtemps mis de côté par la profession de par leur "inclassifiabilité", qui se sont finalement avérées être des fractales. De cette étude, découlera plus facilement la définition purement mathématique des fractales, telles que les avait décrites Benoît Mandelbrot. Ensuite, nous comparerons ces objets "difformes", avec certaines formes issues de la nature, et même de l'architecture vernaculaire, afin de mettre à jour un lien entre toutes ces entités, qui bouleversa l'univers scientifique dans les années soixante dix.

LES MONSTRUOSITES MATHEMATIQUES DU DEBUT DU XXeme SIECLE

"Le concept de dimension fractale fait partie d'une certaine mathématique qui a été crée entre 1875 et 1925. Plus généralement, un des buts du présent essai est de montrer que la collection que Vilenkin 1965 qualifie de "musée d'Art" mathématique, et d'autres de "galerie des Monstres", peut également être visitée en tant que "Palais de la Découverte". (…) Ces figures géométriques n'ont jamais eu de chance dans l'enseignement, ne passant de l'état d'épouvantail "moderne" qu'à celui d'exemple trop spécial pour mériter qu'on s'y arrête. (...) »[1]

Ces "monstres" dont parle Benoît Mandelbrot ont été, pour la plupart, découverts au début du XXeme siècle, puis laissées pour compte, jusqu'à ce qu'il leur découvre des liens étroit, et même une utilité. Nous aborderons deux de ces nombreuses figures.

La courbe de Von Koch

Elle a été inventée en 1901, par le mathématicien suédois, Helge Von Koch. Cette courbe peut être crée en partant d'un segment de droite, que l'on modifie, récursivement de la manière suivante :

– on divise ce segment en trois autres, de longueurs identiques

– on trace un triangle équilatéral qui a pour base le segment obtenu à la première étape (on obtient donc trois triangles après la division du segment primordial, en trois parties)

– on efface ce segment, qui constituait la base du triangle équilatéral.

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Figure 1: Génération de la courbe de Von Koch

La courbe obtenue possède certaines qualités qu'il est important de retenir. Tout d'abord, elle à une longueur infinie, car lorsque l'on applique les déformation citées ci-dessus, sa longueur totale augmente d'un tiers. Cependant, la surface délimitée par la courbe est considérée comme étant finie (elle ne dépassera jamais la contenance d'un demi-cercle, dont le diamètre est le segment initial). Aussi, si l'on s'amuse à zoomer sur une partie, (les cercles sur l'illustration ci-contre), on retrouve le même motif, initial, rétréci à chaque fois d'un tiers, de celui de la forme initiale. On appelle cela, l'autosimilarité, ou l'homotétie interne.

Cette courbe constitue une "monstruosité", dans le sens où elle est continue mais non dérivable, un concept difficilement admissible, encore aujourd'hui, car, ayant fait un bac scientifique, on m'a toujours appris que toute fonction continue admet une dérivée. Cette courbe nous démontre le contraire. La notion de courbe continue mais non dérivable me semble importante, car l'existence de fonctions sans dérivées était connue, mais elles étaient mal vues de nombreux mathématiciens qui n'étaient pas loin de les considérer comme des aberrations1.

La poussière de Cantor

Celle-ci est la plus vieille des figures fractales connues. En effet, elle date de 18722. Conçue par le mathématicien allemand Greg Cantor, elle est construite de manière itérative (comme la courbe de Von Koch), à partir, ici encore, d'un segment initial à partir duquel on enlève le tiers central. Ensuite, on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite (c'est cette répétition d'action exercée sur la courbe que l'on appelle une itération).

Ici encore, on peut voir que lorsque l'on effectue un zoom, on retrouve le motif initial, à une échelle trois fois plus petite. C'est l'une des premières notions importantes qu'il est utile de comprendre, la notion d'"auto-similarité".

Mais qu'est-ce qui lie ces courbes étranges ?

1 D'ailleurs, Jean Perrin en parle de façon beaucoup plus claire, dans la préface de l'ouvrage "Les Atomes" , paru en 1913.2 Les mathématiques sont toujours très en avance sur leur temps.La preuve en est que Cantor et Van Koch ont publié

leurs « courbes monstrueuses » près d'un siècle avant la parution du livre de Benoît Mandelbrot.

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Figure 2: La poussière de Cantor

LES FRACTALES, UNE HISTOIRE D'ECHELLE ET DE DIMENSION

Nous allons maintenant voir, les propriétés primordiales des fractales, points communs à toutes ces « courbes étranges ». Nous ne citerons ici que les propriétés principales, sachant qu'il est délicat de définir clairement ce qu'est une fractale. La preuve en est, que même Benoît Mandelbrot se passait d'en donner une.

Homotétie interne et dimension non entière

C'est en 1975 qu'apparaît cet ouvrage, "Les Objets Fractals, Forme, Hasard et Dimension, écrit par Benoît Mandelbrot, qui mettra enfin un nom sur ces courbes étranges, aux propriétés fuies durant presque un siècle, les fractales, qui vient du latin fractus, fragmenté. Ce mot développe une première idée : les formes fractales seraient "fragmentées", irrégulières. On a vu, lors des exemples précédents, qu'une fractale est aussi auto-similaire. L'auto-similarité s'exprime mathématiquement grâce à la notion d'homothétie3. L'irrégularité, elle, va être mesurée à l'aide de la notion de dimension.

Tout d'abord, penchons nous sur ce concept de dimension. Pour cela, il nous faut commencer par les bases. En effet, tout le monde sait que notre monde est à trois dimensions (nous discuterons de la quatrième plus tard). Aussi, si l'on enlève la hauteur, on tombe sur une surface, de dimension 2, et ainsi de suite, une ligne sera de dimension 1, et un point, de dimension 0. Nous avons tous plus ou moins acquis cette notion que l'on peut aussi définir par le nombre de degrés de liberté, ou encore le nombre de coordonnées qu'il faut pour décrire tous les points d'un objet. Pour les fractales, on arrive à une chose très étrange, car leur dimension n'est pas un nombre entier. Je vais tenter de l'introduire à l'aide d'une figure euclidienne simple, les carrés. Considérons d'abord un petit carré. Si on l'agrandit trois fois, il faudra 9 petits carrés comme celui de départ, afin de remplir notre carré agrandit. De même, un agrandissement de 5 fois sa taille initiale demandera 25 carrés initiaux pour le remplir. Ce phénomène peut être réduit en une loi simple :

N(nombre de petits carrés dans le grand) = (agrandissement)dimension

Cette formule, en mettant communément en jeux l'agrandissement et la dimension vient lier ces deux principales propriétés des objets fractals. Afin de rendre plus claire cette idée, considérons maintenant la courbe de Van Koch, vue précédemment. Si on la dilate d'un facteur trois, il faudra N = 4 côtés de départ pour remplir le grand côté. La dimension d de la courbe vérifie donc 4= 3d. Or, aucun entier k ne peut vérifier 3k=4. La dimension de la courbe de Von Koch n'a donc pas une dimension entière. Afin de pouvoir la déterminer, il faut utiliser le logarithme : d = ln4/ln3 = 1,27 (approximativement).

C'est grâce à cette notion que nous allons pouvoir étudier les objets fractals. En effet, c'est cette dimension fractale, qui, liée par la formule, à la notion de dilatation (changement d'échelle, homothétie), nous permettra de comprendre et d'étudier la formation de certains objets fractals présents dans la nature. En effet, ces objets étant similaires quelque soit l'échelle à laquelle on les regarde, la taille n'a ici plus d'importance. C'est donc cette dimension fractale qui va nous permettre de les caractériser, et de les mesurer entre elles.

On sait maintenant comment « étudier » une forme fractale grâce à sa dimension et à son facteur de dillatation. Nous allons aborder les propriétés qui permettent de les « fabriquer ».

3 Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.

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L'itération, ou comment générer une fractale

« Il existe deux moyens principaux de générer une structure fractale : c'est de la faire augmenter de plus en plus de manièrer récursive à partir d'une unité de structure ou de réaliser des constructions de divisions en unités de plus en plus petites de la forme subdivisée de départ, comme le triangle de Sierpinski . »[2]

C'est à l'intérieur de l'ouvrage Mathématiques et Architecture, de James et Mark BURRY, que l'on comprend que ce sont des mécanismes plutôt simples qui permettent d'engendrer des fractales. En effet, la courbe de von Koch et les poussières de Kantor ont été générées par « ajout récursif », quand au triangle de Sierpinski, il a été généré par divisions successives d'une surface de base. Cette figure de base constitue la limite au sein de laquelle la figure se développe, infiniment. Cette notion d'ajout ou de soustraction, à partir d''une « base », est une notion qu'il est utile de comprendre, pour pouvoir aborder plus tard son utilisation dans divers domaines. Nous prendrons pour cela, l'exemple du triangle de sierpinski, que vous pouvez facilement visualiser sur la Figure 3.

Appellons le triangle le plus à gauche , le « triangle initial », symboliquement nomé T0. A ce triangle, nous appliquons une règle : « division du triangle en quatre autres, dont la superficie de chacun d'entre eux fera le quart de celle du triangle initial. Ensuite, le triangle situé au centre sera enlevé ». Après application de cette règle, on obtient le deuxième triangle, que l'on nomera T1. Nous appliquerons à nouveau la règle à chaque petit triangle de la figure T1, pour obtenir T2, et ainsi de suite, pour obtenir une forme de plus en plus complexe. En mathématiques, la règle, ici écrite littéralement que l'on applique entre chaque « phase », est une fonction. On appelle ce processus, qui consiste à appliquer la fonction « règle » à la forme « de base »1, à chaque étape, une itération. Ce principe est clairement expliqué dans l'ouvrage Mathématiques et Architecture.

« L'un des concepts les plus importants de la complexité est la récursion, une méthode de définition de fonctions dans laquelle la fonction qui a été définie est appliquée au sein de sa propre définition. Ainsi, dans une procédure, l'une des étapes consiste à exécuter à nouveau l'ensemble de la procédure; en d'autre termes, la sortie de l'application de la fonction devient l'entrée de l'itération suivante. La suite de Fibonacci en est un exemple mathématique bien connu, suite où un nombre est la somme des deux nombres précédents, et ainsi de suite ».[2]

1 La forme de base état le plus souvent, elle aussi décrite par une fonction.

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Figure 3: Génération du triangle de Sierpinski par division

Par exemple, le célèbre ensemble de Mandelbrot (Figure 4) répond à l'équation suitante :

zn+1 = zn2 + c

Zn est ici la forme initiale( l'équivalent de notre , T0) et zn+1 étant la forme obtenue après application de la règle (T1=T0+ règle ; T2=T1+ règle ... etc).Notons ici que si l'on zoome sur l'ensemble de Mandelbrot, les parties ne sont pas semblables au tout. En effet, cette propriété n'est pas tout le temps applicable, c'est pourquoi il est difficile de définir clairement les formes fractales. Ce qu'il faudrait principalement retenir, c'est qu'elles proviennent du mécanisme de la récursion. Une règle, le plus souvent assez simple répété et appliquée à chaque étape.

L'itération, est donc la base du processus de fabrication des formes fractales. Une règle simple est appliquée de façon récursive à un objet de départ qui en devient complexe1. Inès Moisset de Espanés confirme cette idée dans le journal « Quaderns ».

« Il est possible d'élaborer des formes d'une très grande complexité à partir de codes simples. »[3]

Les mathématiques sont donc capables de produire des formes complexes, qui ne semblent plus avoir de lien avec les formes que l'on aborde d'habitude en géométrie, tel les carrés ou les cercles. Ces figures complexes ne vous rappellent-elles pas certaines formes familières ?

1 On distinguera bien ici, le terme « complexe », de celui de « compliqué ». Un objet complexe est décrit par des règles simples, alors que celui qui est compliqué n'en comporte qu'une seule.

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Figure 4: Représentation graphique de l'ensemble de Mandelbrot

DES FRACTALES DANS LA NATURE, ET MEME DANS L'ARCHITECTURE

La nature en regorge

Les montagnes, les côtes maritimes, les arbres, les éponges de mer, le réseau neuronal . Tout comme les courbes étranges dont nous avons parlé au début de ce rapport, ces éléments naturels à première vue sans aucun liens entre eux on tous des formes que l'on peut qualifier de fractales.

Considérons, tout d'abord, l'exemple du poumon. En gros c’est une sorte de sac rempli d’air. D'ailleurs, on peut dire que sa contenance se rapproche de celle d'un petit sac plastique. La surface de sa membrane, découpée et étalée bien à plat, n'est pas très grande, une dizaine de décimètres carrés environ. On peut donc se dire que la surface du poumon doit être du même ordre de grandeur. Eh bien détrompez vous. Si l’on pouvait complètement l’étaler sans la déchirer, sa surface de contact avec l’air se révèlerait plus étendue qu’un court de tennis. Mais dans notre corps elle est tellement convolutée (et non pas repliée comme une feuille de papier car tous les points doivent être en contact avec l’air) qu’elle tient dans les quelques litres du poumon. C’est une surface certes, mais qui est davantage assimilable à un volume. Il est donc normal, que lorsque l'on calcule sa dimension, comme nous l'avons fait auparavant pour la courbe de Von Koch, on trouve une valeur comprise entre les entiers, 2 et 3. Nos poumons ont donc une dimension fractale, et si l'on effectue des zoom successifs, débutant de la trachée, jusqu'aux alvéoles pulmonaires, l'apparence de l'image est toujours identique.

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Figure 5: Le flocon de Von Koch

Figure 8: Les ramifications de l'appareil respiratoire humain

Figure 6: Variation de la courbe de Von Koch

Figure 7: Un flocon de neige

Aussi, si l'on compare une image de nos poumons avec une des variantes de la courbe de Von Koch, on se rend bien compte de la similitude qu'elles entretiennent entre elles. Il en va de même lorsque l'on regarde, côte à côte, un flocon de neige, et le flocon de Von Koch1.

Ces courbes étranges, que Benoît Mandelbrot a appelées des fractales, recréent des formes naturelles. Elles en sont des modèles. On dit donc que la forme des poumons, et la forme des flocons de neige, tout comme celle des côtes maritimes, des éponges de mer, des fougères ...etc, sont fractales. Mais attention, car à l'image du paradoxe de la poule et de l'œuf, on en oublierait presque que c'est la nature qui a commencé à créer ces formes fractales, et que l'homme, qui leur a trouvé un modèle mathématique, leur a donc attribué le même nom.

L'homme s'en inspire

Il n'y a pas que dans la nature que l'on retrouve des formes fractales. Certaines créations humaines, bien avant la découverte de Benoît Mandelbrot, arboraient ces formes, "récursives et autosimilaires". Ainsi, la musique2, la peinture3, et de nombreux domaines artistiques en regorgent. Ici, nous nous interesseront principalement à l'architecture, et à plus grande échelle, au fonctionnement de certains villages. Seulement trois exemples, parmis les plus compréhensibles, seront cités. Il faut par contre savoir qu'il en existe des centaines, voir des milliers, de l'architecture vernaculaire africaine, aux temples indous, en passant par les cathédrales gothiques, le style baroque, ou même l'architecture de Franck Lloyd Wright.

L'afrique, berceau de l'humanité. C'est sur ce continent que l'on retrouve le plus de constructions fractales. Le village de Ba-ila, au Zambie, en est l'un des meilleurs exemples. Il est agencé selon un processus itératif. Le village est comme un anneau, lui même formé d'autres anneaux, les maisons familliales. Le pourtour de chaque maison familliale, est lui aussi composé d'autres anneaux. Les plus petits, près de la porte, sont utilisés pour le stockage. Puis, on trouve les maisons des enfants, jusqu'à celle du père, la plus grosse, située en face de la porte, détachée du cercle. Le motif initial, que l'on trouve à gauche, sur le schéma, est donc répété en plus petit, sur les segments qui le composent, et ainsi de suite. Ici, les fractales illustrent la hierachie qui gouverne ces villages.

1 Obtenue en partant d'un hexagone au lieu de partir d'un segment de base2 Bach en est l'un des précurseurs3 La peinture « La Vague » de Hokusaï, est « construite » à partir de fractales, comme le sont d'autres de ses tableaux

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Figure 9: Représentation schématique et photographie du village de Ba-ila, Zambie

Il en va de même pour le village de Logone-Birni, construit par le peuple Kotoko, au Cameroun. De nouvelles maisons, celles des enfants sont construites autour des anciennes. Elles partagent des murs avec les maisons de leurs parents. Cela reflète l'aspect patriarcal de la culture de ces peuples, car, suivant les moeurs, le père veut que son fils s'installe à côté de sa demeure. Les maisons sont donc collées entre elles, les plus récentes autour des plus anciennes, et ainsi de suite.

L'architecture religieuse a aussi été le support des formes fractales. Il y en a de nombreux exemples dans les cathédrales gothiques, mais nous nous pencherons plutôt sur l'architecture hindoue, où les fractales reflètent aussi la philosophie de cette religion. A Barnas, en Inde du Sud, existe un temple qui comporte des flèches auto-similaires dans lesquelles s'imbriquent d'autres flèches. Elles sont les unes dans les autres, formant toujours une unique flèche. Ces flèches dans les flèches, illustrent, d'une certaine manière, la pensée hindoue, qui, sans rentrer dans les détails, car j'en serait incapable, implique une ascension spirituelle vers un état de conscience avancée (l'éveil). On aurait une conscience « de base », qui évoluerait vers la conscience de la conscience, puis, vers la conscience de la conscience de la conscience, et ainsi de suite. Cette philosophie récursive se retrouve donc dans la forme du lieux de culte.

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Figure 10: Représentation schématique du mode de construction et photographies du village de Logone-Birni

Enfin, un exemple plus récent, occidental cette fois-ci, à travers l'œuvre de Franck Lloyd Wright, et plus particulièrement, celui de la Palmer House, à Ann Arbor. Dans cette maison, il a utilisé des triangles équilateraux de tailles différentes, pour construire le plan. Des formes fractales se nichent en deux points de la Palmer House : le hall d'entrée, et la cheminée, où les triangles ne se rencontrent pas, mais sont imbriqués les uns dans les autres. En effet, dans la cheminée, le foyer est constitué d'une cavité triangulaire, elle même formée par la rencontre de deux pierres triangulaires.

Sur tous les continents, on retrouve des modèles architecturaux fondés sur le principe fractal. Il s'agit principalement d'architecture vernaculaire, faite spontanément, au service d'une culture.

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Figure 12: Plan de la Palmer HouseFigure 13: Schéma des diverses tailles de triangles que l'on peut trouver dans la Palmer

House

Figure 11: Photographie du temple de Barnas, au sud de l'Inde

Les fractales sont des formes irrégulières, et à première vue compliquées. En fait, elles peuvent être qualifiées de complexes, car ce sont des mécanismes simples (récursion et itération de fonctions) qui permettent de les produire. Elles suivent le principe de l'autosimilarité d'échelle, comme une structure gigogne1, et peuvent être décrites grâce à leur dimension fractale. On peut ainsi arriver à mieux comprendre certaines formes de la nature, qui se retrouvent dans l'architecture vernaculaire. Après vous avoir initié, et fait, je l'espère, comprendre le principe « fractal », et son omniprésence dans l'environnement, il s'avère important de comprendre pourquoi elles sont si présentes autour de nous.

1 Les poupées russes en sont un des meilleurs exemples.

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II. UNE UNIVERSALITE QUI S'EXPLIQUE

De la forme des arbres, à celle d'une éponge de mer, les fractales sont partout. Même les hommes en ont construit, bien avant que la théorie mathématique des fractales ne soit mise à jour. Ce dernier, s'inspire beaucoup de la nature. il est donc presque normal de voir des formes fractales dans les constructions humaines. En ce qui concerne les formes naturelles, nous allons démontrer que c'est l'évolution, mais surtout, un « souci » d'optimisation qui leur ont permi d'exister.

L'INTERACTION ENTRE LES MILIEUX

Qu'on donc en commun les formes ci-dessous, à part leur ressemblance flagrante, et le fait qu'on peut toutes les caractériser grâce à une dimension fractale1 ? A première vue, rien du tout, car on passe d'une décharge électrique, sur la surface d'une plaque de verre, à la vascularisation de la rétine, en s'arrêtant sur l'injection d'eau dans du plâtre, et pour finir, la croissance d'une colonie bactérienne. C'est grâce au témoignage de Bernard Sapoval, dans son livre « Universalités et Fractales », que l'on peut commencer à répondre à cette question.

"Quoi de commun entre ces expériences ? Evidement, leur géométrie : cette géométrie a donc un caractère universel du troisième type, au sens où l'on retrouve les même formes dans des situations physiques (ou biologiques) très différentes.[...] Ici, universalité se traduira par "même dimension fractale[...] Les exposants possèdent éventuellement cette propriété "magique" de ne pas dépendre de l'ensemble des propriétés internes des systèmes qu'ils décrivent. C'est cette indépendance qui constitue la troisième universalité ».[4]

1 Ces formes suivent donc toutes le principe fractal

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Figure 14: Photographie d'une décharge électrique à la surface d'une plaque de verre

Figure 15: Injection de l'eau dans du plâtre.

Figure 16: Croissance d'une colonie bactérienne sur une plaque d'agar

Figure 17: Angiogramme par fluorescence de la vascularisation de la rétine humaine

Pour ce directeur de recherches au CNRS, le fait que ces formes peuvent toutes êtres qualifiées de fractales de par leur dimension 1, est un phénomène universel, qui ne dépend pas de la nature de ses composants. On peut donc le qualifier d'indépendant. Mais, dores et déjà, une autre question nous arrive en tête : Quel est ce phénomène indépendant, qui engendre les formes fractales.

Ce phénomène qui les régit, est en fait appellé « phénomène de diffusion »2. Il faut simplement retenir, que toutes ces formes sont présentes lorsqu'il y a une interaction entre des milieux différents, comme celle des vaisseaux sanguins avec la cornée, ou des bactéries dans leur environnement. Des réactions, qu'elles soient physiques, chimiques, ou biologiques, se déclenchent lorsque se produit cette rencontre. Par exemple, ce qui donne leur forme "fractale" aux montagnes, c'est l'érosion de l'eau (et du vent), tout comme ce qui donne leur caractère fractal aux côtes maritimes. De même, les poumons sont une zone d'échange gazeux entre l'air et le sang, tout comme l'arbre, qui, grâce à ses feuilles, récupère l'oxygène de l'air ambiant. Mais cela ne nous dit pas encore pourquoi tous ces objets prennent des formes irrégulières, et autosimilaires.

L'INTERVENTION DU HASARD

Les fractales apparaissent lors de phénomènes d'interaction. Mais pour mieux comprendre leur formation, il est important de comprendre plus précisément ce qu'il se passe entre ces milieux, de n'importe quelle catégorie qu'ils soient.

A l'échelle microscopique, les mollécules, les minéraux, sont en mouvement constant. Ce mouvement, pour simplifier, s'effectue au hazard des collisions des particules entre-elles et avec leur milieu. On l'appelle, le mouvement brownien. Lorsque l'on s'amuse, par exemple, à regarder la trajectoire d'une molécule de glucose dans le sang, et à relier chaque point, où elle opère un changement de direction, on obtient un motif, similaire à celui de la Figure 18. Bien que cette forme parraisse désordonné et, chaotique, elle est, d'une certaine façon, ordonnée. En effet, la trajectoire de cette mollécule suit une ligne brisée. Mais si l'on effectue un zoom, chacun des segments qui constituent la ligne brisée sont eux même des lignes brisées constituées de segments, et ainsi de suite. On retrouve donc une forme fractale, qui cette fois n'est pas déterminée par des fonctions, mais par le hazard. La règle diffère, mais le processus est le même.

1 Il est l'exposant dont parle Bernard SAPOVAL dans la citation. Se reporter à la première partie du rapport2 SAPOVAL Bernard, 1997, Universalités et Fractales, Flammarion Universalités et Fractales

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Figure 18: Un exemple de trajectoire de mouvement Brownien dessiné pas Jean Perrin

En parlant de mouvement Brownien, nous nous écartons un peu du sujet, mais il est quand même étonnant que les formes fractales se retrouvent même dans des processus définis par le hazard. Cette piste n'est pas encore résolue, mais fait l'objet de nombreuses recherches. Revenons en au mouvement aléatoire de notre molécule de glucose. Bernard Sapoval nous donne une explication de l'utilité des formes fractales par rapport à ce mouvement aléatoire, en imaginant que la mollécule est un homme ivre qui marche aléatoirement dans la rue2.

« En fait, une molécule de glucose fait des pas tout petits. Leur taille est d'environ 1 angström (10 -8 centimètre ou un centième de millionième de centimètre) et le temps entre chaque pas est très court, de l'ordre de 10-11 seconde, soit un centième de milliardième de seconde. Pour faire un centième de millimètre- ou 10-3 centimètre- si la marche n'était pas aléatoire, il faudrait donc 105 pas. Mais comme la marche est aléatoire, il faut un nombre de pas qui est dans le carré de ce nombre,soit 1010 pas. En fait, on marche dans les six directions de l'espace (en avant, en arrière, à droite...). Il faut donc un temps de l'ordre de 6 1010x10-11 seconde = 0,6 seconde à une molécule, ici marcheur aléatoire, pour parcourir cette distance. Pour parcourir 10 centimètres au lieu de 10-3centimètres, il faut non pas dix mille(10)4 fois plus de temps mais (104 au carré)=108 fois plus, soit environ trois ans. On voit qu'il est nécessaire que les vaisseaux sanguins irriguent de très près les cellules, pour avoir quelque efficacité. (...) Il est donc nécessaire de savoir si les substances apportées par le sang se distribuent suffisamment vite et où. Ici s'insère une remarque importante. Il n'y a pas "une" molécule active et ivre, mais il y en a des milliards de milliards. Autrement dit, l'effet global ne sera pas dû au fait qu'une molécule donnée se retrouve ici ou là, mais au fait qu'une fraction suffisante de ces molécules atteigne l'organe cible. »[4]

Les particules, de natures complètement différentes, (molécule de glucose dans le sang, minéraux dans l'eau, atome d'oxygène dans l'air ...etc), se comportent de façon identiques, en se déplaçant aléatoirement. D'après la citation de Bernard Sapoval, la probabilité qu'une cellule capte, par exemple, les mollécules de glucose qui « se promènent » aléatoirement dans le sang, dépend donc de la façon dont ces mollécules sont ammenées à cette cellule. C'est ici, comme nous allons le voir, qu'interviennent les formes fractales, qui doivent leur géométrie, en partie à cause des mouvement aléatoires.

2 On préfere un homme ivre à un homme sobre, car ses pas, beaucoup moins controlés, seront d'autant plus dus au hazard

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LES FRACTALES, FORMES OPTIMALES ACQUISES AU FIL DE L'EVOLUTION

« L'importance des géométries fractales est évidente dans le cas des systèmes faits de matière et d'énergie. De tels systèmes (comme les systèmes vivants à toutes échelles d'observation) fonctionnent par des flux d'énergie à travers des interfaces. Une biomasse est un volume généré par des surfaces. Si en grandissant, un organisme vivant ne changeait pas de forme, le rapport des surfaces aux volumes deviendrait vite insuffisant : il est nécessaire que les surfaces augmentent plus vite que proportionnellement au carré des dimensions linéaires. Cela justifie la génération d'une géométrie fractale au cours de toute croissance (exemple : croissance d'un arbre par ramification tant de ses branches que de ses racines, afin d'assurer un contact suffisant avec l'atmosphère et le sol), et également l'utilisation d'une géométrie fractale de l'environnement (fragmentation du sol; turbulence hydrodynamique renouvelant les surfaces de contact, etc..). »[5]

C'est ici qu'intervient un point essentiel. En effet, lors d'échanges de matière et d'énergie,entre des milieux de différentes natures, on retrouve des fractales. Ces formes, rugueuses, comme « repliées sur elles mêmes », permettent donc d'optimiser les transferts de particules, et donc, quelque part, de rendre leurs « hôtes », plus performants. On peut donc en déduire que les formes fractales sont issues de l'évolution. Elles sont apparues au gré des mutations (au hasard) de l'ADN, ou des « chocs entres milieux de différentes natures ,. Elles doivent leur apparition au hasard, mais ce n'est donc pas un hasard si on les retrouve partout. Par exemple, les ramifications des bronches, et leur disposition amènent l'oxygène au plus près du réseau sanguin. Quand aux ramifications des branches, elles permettent aux feuilles de capter un maximum de lumière, sans laquelle la photosynthèse, vitale pour les plantes, serait impossible.

Ces formes qui nous entourent sont crées à partir de codes et règles simples comme la transcription de l'ADN, qui permettent de générer des interfaces ultra performantes, sans lesquelles, notre capacité de capter de l'air, ou de réfléchir1 serait surement amoindrie. Peut être doit-on la vie aux fractales, mais en attendant d'avoir assez d'informations pour répondre à cette question, nous allons voir comment cette géométrie, et la grande capacité d'échanges qu'elle permet, à de multiples échelles trouve sont utilité dans bien des domaines, concernant l'aménagement, allant de l'urbanisme, à la fabrication de matériaux ultra performants.

1 Le réseau neuronal est considéré comme fractal

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III. DES PROPRIETES UTILES ET UTILISEES, QUELQU'EN SOIT L'ECHELLE

Depuis la « découverte » de Benoît Mandelbrot, dans les années soixante-dix, les formes fractales, mais surtout leur modèle mathématique, ont vu leur utilité croître dans bien des domaines. Nous allons voir, que la dimension fractale permet de mieux comprendre les villes, allant jusqu'à nous permettre de mieux les planifier, de concevoir des matériaux performants, et s'avère être un outil de réflexion et de conception intéressant du point de vue architectural. Nous ne suivront pas la linéarité des échelles, et laisseront le domaine de l'architecture pour la fin, après avoir traité les échèles macro et microscopiques, car c'est une matière dans laquelle l'usage des fractales n'est pas forcément limpide.

DES FRACTALES POUR L'URBANISME

Attardons nous maintenant, sur la forme des villes. Certaines, datant pour la plupart du moyen âge, étaient de forme relativement simple, souvent des cercles ou des carrés. Ensuite, avec la disparition des remparts et murailles, on a vu la ville commencer à s'étaler, principalement le long des axes de transport. Ainsi, la ville "industrielle", est devenue moins compacte avec certains espaces "non bâtis" en son sein. D'ailleurs, si l'on prend comme exemple la ville de Paris, on voit bien que sa forme est tentaculaire et fragmentée , comme toutes les zones métropolitaines que l'on peut trouver dans le monde.

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Figure 20: Image satellite de l'agglomération de Tokyo, au Japon

Figure 19: Image satellite de l'agglomération de Paris, en France

Figure 21: Image satellite de l'agglomération de Lagos, au Nigeria

Aussi, pour comprendre cette forme, et pouvoir analyser complètement l'agglomération urbaine, il faut en regarder son fonctionnement. L'espace vécu de ses habitants est très vaste, et l'on distingue souvent une ville "centre" et des villes périphériques, à caractères plus résidentiels, comportant de multiples zones de loisir comme des espaces verts, des équipements sportifs, ...etc. Ainsi, les flux pendulaires vers la ville centre, vers les villes périphériques, et entre ces villes, reflètent le fonctionnement multi-échelle d'un tel espace. Des espaces verts, des zones commerciales, et des zones résidentielles s'articulent au sein de ces zones métropolitaines. Les limites entre ville et campagne deviennent difficiles à définir clairement. Nous allons voir que ces formes complexes, que l'on peut mettre en lien avec les illustrations du début de la deuxième partie, peuvent être définies comme fractales, et résultent de ce fonctionnement multi-échelle. Elles nous permettent donc de mieux comprendre le fonctionnement des viles par une caractérisation de dimension fractale, donnant plus d'information que la surface usuelle en mètres carrés. Aussi, l'utilisation des fractales, devient une aide, et permet la création de modèles en vue d'une planification urbaine, pour optimiser les accès aux diverses zones de loisirs, et diminuer le temps de transport. Ces modèles deviennent une alternative aux modèles linéaires ou monocentriques. De plus, et en relation avec les propriétés d'interface discutées auparavant, et sachant que la circulation des piétons et des voitures est totalement aléatoire1, comme le sont les molécules, il devient logique que la géométrie fractale soit efficace pour canaliser, et distribuer les flux urbains.

« Les mesures spatiales utilisées sont toujours basées sur la notion de densité. Or la densité décrit une occupation moyenne du sol. Elle est donc constante pour une répartition homogène des éléments dans l'espace. Avec la géométrie fractale on dispose d'une approche différente qui n'est plus basée sur la notion d'homogénéité de l'espace et qui permet de développer des modèles spatiaux de référence plus complexes (MANDELBROT, 1983 ;FRANKHAUSER, 1994).La propriété principale des objets fractals est leur organisation hiérarchique interne. Ceci fournit la possibilité de construire des réseaux qui se pénètrent mutuellement tels que nous les avons rencontrées dans différents modèles d’urbanistes comme dans le plan de HILBERSEIMER8 ou dans les réflexions de SCHÖFL sur l'organisation des réseaux et des bordures des zones résidentielles. Ainsi on peut réfléchir si de telles formes sont susceptibles de servir de référence pour trouver un compromis entre divers objectifs : minimiser les distances sur un réseau de transport et respecter les désirs complémentaires des agents par rapport à leur choix résidentiel. Ceci pourrait aboutir à une notion d'optimisation multi-échelle. »[6]

Cet extrait sur l'étude de l'approche fractale de l'urbanisme, qui a été menée, principalement par P. Frankhauser, prouve bien l'utilité que peuvent apporter une approche différente, ici fractale, du fonctionnement des villes. Nous classerons cette approche en deux parties. La première, qui présente les modèles fondés sur des principes fractals, et la deuxième, qui nous présente une nouvelle démarche du dimensionnenment de l'urbain.

1 SAPOVAL Bernard, 1997, Universalités et Fractales, Flammarion Universalités et Fractales

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Des modèles efficaces

Certains urbanistes ont tenté de concevoir de nouveaux modèles, comme EBERSTADT, MÖHRING et PETERSEN, avec leur modèle pour Berlin en 1910, et HILBERSEIMER, en 1963 pour Chicago. Avec le premier, on peut dores et déjà voir la volonté d'amener des « couloirs verts », qui pénètrent dans l'urbain, ce qui crée une double pénétration de la ville dans la campagne et inversement, mais le système monocentrique présentait quelques inconvénients, comme celui de ne pas réduire les distance entre villes périphériques et ville centre. Le deuxième est construit suivant une hiérarchie des réseaux. Chaque immeuble est relié au réseau urbain, mais aussi à un réseau interconnecté de zones vertes. Ici, le problème est, au contraire, le manque de centralité, et donc l'isolation relative des divers systèmes.On peut en voir le plan ci-dessous (Figure 22).

Plus récemment, certaines études, réalisées par P. FRANKAHAUSER on mit en évidence les particularités d'un réseau fractal, en le comparant aux deux types d'organisations urbaines les plus connues, que sont la structure compacte et la structure linéaire. On peut, en effet, positionner la forme fractale entre la forme compacte et la forme linéaire. Celle-ci s'organise de façon centralisée, à la manière d'une forme compacte, et, en même temps, suit des axes périphériques, comme le font les modèles de ville linéaire. La figure 23 nous montre les résultats de étude réalisée en 1998, par P. Frankhauser, et C Genre-Grandpierre, visant à évaluer la capacité d'irrigation d'un réseau « fractal ». On peut remarquer que la ville fractale se situe toujours entre les deux autres alternatives.

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Figure 22: Le plan de la reconstruction de Chicago, proposé par HILBERSEIMER à gauche et son analyse fractale, à droite.

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Figure 23: Un exemple de modélisation de réseau fractal (La figure a montre les premières étapes d’itération de la fractale et sur la figure b est représentée la troisième

étape d’itération. On observe l’ordre hiérarchique des points d’intersection des branches).

Figure 24: Une seule branche de la quatrième étape d’itération sur laquelle sont indiqués les centres

De nouvelles méthodes de mesure

« L'intérêt de la géométrie fractale ne se borne pas à l'aspect conceptuel que nous avons discuté. Elle sert aussi de base de réflexion pour la mise au point de mesures morphologiques qui paraissent complémentaires des mesures traditionnelles.(...) »

Les mesures fractales caractérisent un remplissage inégal. C'est en cela que celles-ci s’opposent à la densité. Il existe plusieurs méthodes d'analyse fractale, que nous présenterons brièvement. Cependant, celles-ci se basent sur la même logique. L'itération connue lors de la construction des fractales théoriques est ici, remplacée, en couvrant la structure de la ville par des éléments-tests, comme des disques ou des carrés de taille ε . Ensuite sont déterminés le nombre maximum d'éléments N(ε) utiles afin de couvrir la structure. On répète cette procédure pour des tailles de ε différentes . Au final, on obtient la relation suivante : log N(ε) = const + D.ε La relation linéaire entre N(ε) et ε forme une pente qui nous indique la dimension fractale. D'ailleurs, tout changement dans l'organisation spatiale, ou déviation de la loi fractale, peuvent se lire dans la courbe, qui se déformera, ou comportera des ruptures.

On distingue cinq types d'analyses. La première, l'analyse de la dilatation , qui indique la proximité entre le bâti. Ensuite vient l'analyse radiale, qui permet une étude de la déserte en fonction de l'éloignement au centre. L'analyse du quadrillage,, caractérise la desserte dans une zone plus précise (intra-urbaine). Quant à L'analyse de la tortuosité, elle permet, grâce à la dimension fractale, de caractériser la rugosité, et la dendricité des bordures. Enfin, l'indice d'allongement du trajet induit par la configuration du réseau, permet de caractériser la qualité d'accessibilité assurée par le réseau.

Les fractales, permettent de voir l'agglomération urbaine sous un autre angle. En y effectuant de nouveaux types de mesure, et en établissant des modèles peut-être plus proches de la volonté des habitants, cette géométrie non euclidienne a ouvert de nouvelles portes que certains chercheurs, se sont empressés d'ouvrir. L'aménagement, à l'échelle « macroscopique » peut donc bénéficier de cette géométrie fractale. Mais en est-il de même pour l'échelle microscopique, et l'étude des materiaux ?

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Figure 25: Tableau de comparaison du réseau fractal (ci-dessus) et de réseaux non-fractals

L'OBTENTION DE MATERIAUX TRES PERFORMANTS

L'étude des fractales a permi l'élaboration de materiaux très performants, principalement dans les domaines de la thermique et de l'accoustique.

Des fractales contre le bruit

Bernard Sapoval, en association avec Colas, société spécialisée dans la circulation automobile a conçu, en 2004, un mur antibruit, avec l'aide des fractales. Ce mur comporte des irrégularités géométriques de formes similaires. Il absorbe les ondes sonores de basses fréquences, caractéristiques d'un bruit de circulation, ce qu'aucun mur ne faisait auparavant. Effectivement, l'équipe de Bernard Sapoval a pu démontrer que les tambours et les cavités acoustiques de forme fractale peuvent présenter un amortissement bien plus important que ceux qui ont une géométrie plus "lisse".

L'aérogel de silice

Cette sorte de mousse de verre, transparente et légère est peu connue et peu utilisée, mais présente des propriétés remarquables. Elle détient d'ailleurs une quinzaine de records du monde, dont ceux du meilleur isolant et du solide le plus léger. Elle est quasi transparente et contient 99% d'air. Il est aussi important, de savoir qu'il ne s'agit pas d'un gel, comme le dit son nom, mais qu'il est seulement préparé à partir d’un gel dont est extraite la partie liquide pour être remplacée par de l’air. Cet aérogel est donc une surface siliceuse extrêmement fine. Des microparticules de verres sphériques de 2 à 5 nanomètres1 sont fusionnées pour former une structure très poreuse (de l’ordre de 100 nanomètres). On peut sans conteste la qualifier de fractale. Certains aérogels à base de carbone vont jusqu’à 600 mètres carrés par gramme, de meilleure contenance qu'un poumon !

« Micro et macro » sont tous deux concernés par l'usage des fractales. Un usage par exemple, qui permet, aussi bien, d'optimiser la circulation urbaine, que la capacité d'absorption d'un mur anti-bruit. Deux domaines si différents, mais liés par le même phénomène. Mais qu'en est-il de l'architecture ?

1 un nanomètre vaut un milliardième de mètre ou un millionième de millimètre

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Figure 27: zoom sur cet échantillon

Figure 28: Photographie d'un échantillon d'aérogel de silice

Figure 26: Un échantillon test de mur "fractal" antibruit

DANS L'ARCHITECTURE …

« L'interêt pour les sciences de la complexité et la géométrie fractale en architecture remonte à la traduction anglaise de l'essai de Mandelbrot Les Objets fractales : forme hasard et dimensions (1975) et à l'ouvrage qui a suivit La Géométrie fractale de la nature (97), dans lesquels il a combiné des descriptions métaphoriques intuitives avec un texte très mathématique. »[2]

C'est en effet, comme nous le raconte l'ouvrage « Mathématiques et Architecture » après avoir pris connaissance des travaux de Benoît Mandelbrot, que certains architectes comme Peter Eisenman ont commencé à prendre en compte les fractales dans leur conception. Celles-ci ont surtout servi les acteurs de l'architecture, qu'ils soient architectes ou ingénieurs, à materialiser des idées conceptuelles, issues de certaines philosophies, comme celle de Derida, où de Deleuze, ou bien répondant à un courant, comme celui des métabolistes. Cela rejoint d'ailleurs leur l'usage, constaté au début de ce rapport, dans le domaine de l'architecture vernaculaire.On constate déjà que lorsque l'on parle de fractales en architecture, cela devient tout de suite plus délicat, car, à cette échelle, de nouvelles questions, de type culturelles et conceptuelles se posent. Elles sont beaucoup moins prégnantes en urbanisme où en génie des matériaux, qui s'axent peut-être plus sur la fonctionnalité et l'économie, que sur la théorie.Nous allons donc prendre quelques exemples, parmis les architectes, et groupes d'architectes, qui ont utilisé les fractales. Ce sont des exemples parmis tant d'autres, qui nous permettrons de voir qu'en fonction de la société, et de son évolution , l'utilisation des fractales en architecture a été, et est toujours changeante, allant d'un courant de pensée à un autre, perdant parfois de vue, son utilité en tant qu'interface.

Peter Eisenman

Eisenman est l'architecte qui a intégré le plus récemment la théorie de la complexité et de la géométrie fractales directement dans la production de systèmes. [...]L'architecte Peter Eisenman a adopté l'idée de la géométrie fractale de façon métaphorique et symbolique dans son projet Biocenter de l'université J.W.Goethe de Francfort. Alors que, à l'évidence, il n'y a pas d'esthétique fractale ou de lecture extrinsèque, le bâtiment fait référence à une idée abstraite des fractales dans son processus de conception.[2]

Notre premier exemple, sera donc celui de Peter Eisenman, et de son projet pour le Biocenter, de l'université J.W Goethe de Francfort. Il faut aussi savoir qu' Eisenman, a réalisé d'autres travaux basés sur les fractales, comme House II. Dans lequel, il a principalement utilisé les fractales, dans le sens du courant déconstructiviste, né de la philosophie de Derida.Revenons maintenant sur le Biocentre, qui, lui prend plutôt exemple sur l'ADN. Il a été conçu sur la base de trois critères, définit comme ceci par Eisenman :

Produire le maximum d'interaction entre les aires fonctionnelles et leurs utilisateurs.Rendre possible un agrandissement futur, et permettre le changementMaintenir la présence du végétal sur le site, du mieux que possible.

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Par conséquent, notre architecte a opté pour une nouvelle méthode, de conception, permettant eventuellement au bâtiment de « croître ». Le Biocentre a donc été l'occasion d'un rapprochement entre architecture et biologie. Eisenman a décidé de répéter le processus génétique de la synthèse des protéines, pour concevoir son bâtiment. Le concept biologique de l'ADN est ici, interprété architecturallement, comme un processus géométrique qui guide toute la conception. Même si elle paraît abstraite, la géométrie fractale se cache derrière l'utilisation de l'ADN. En effet, aux « grandes bases », s'accrochent des bases plus petites. On retrouve donc une certaine forme d'itération. On a des bases de départ qui codent pour d'autres, plus petites. De plus, l'ADN étant un code, qui permet de générer beaucoup de formes du vivant considéré comme fractales, l'annalogie se fait, même si concrètement, on ne retrouve pas réellement de fractales dans ce projet.

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Figure 31: Photographie de la maquette du biocentrum

Figure 29: Schéma du concept d'assemblage des bases de l'ADN

Figure 30: Vue axonométrique du Biocentrum

Kisho Kurokawa

"Mais Kurokawa a en plus assimilé la géométrie des fractales, [...] significative de l'étude du vivant. Cette notion que chaque partie est de la même essence que le tout et que des formes en apparence désordonnées sont engendrées par des équations rigoureuses séduit Kurokawa."1

La "Capsule Tower", de Kisho Kurokawa peut être considéré comme un espace fractal. Elle est un des meilleurs exemples d'une architecture « métabolique », qui croît, en écho avec l'environnement. Cette notion a guidé toutes les étapes de la construction de sa tour. Ce bâtiment, de treize étages, tout en métal et en béton, est constitué d'un ensemble de capsules, construites en dehors du chantier, et assemblées sur place, à une âme en béton. Chaque capsule est en fait un studio, qui peut être assemblé à d'autres capsules, afin de former un appartement plus grand. Ces modules sont interchangeables. On peut donc les remplacer et les déplacer en fonction des demandes de logement.

Dans cet exemple, on retrouve « l'esprit fractal » principalement dans la conception. On a en effet une structure et un module de base, telles les équations initiales que l'on itèrera pour construire des fractales. Ensuite intervient le hasard. Combien d'habitants, célibataires, en couple, avec des enfants ? Toutes ces solutions sont possibles, et amèneront l'irrégularité imprévisible de cette tour dont les fondements conceptuels sont tout de même très rationnels. La complexité, que nous avons trouvé dans l'évolution urbaine se retrouve à une échelle inférieure, l'échelle architecturale.

1 nezumi.dumousseau.free.fr/japon/kurokawa.htm

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Figure 32: Photographies, plan et coupes de la "Capsule Tower"

Cecil Balmond et Daniel Liebeskind

Le projet d'extention du Victoria and Albert Museum de Londre, imaginé par Daniel Libeskind, et Cecil Balmond, respectivement, architecte et ingénieur est en plusieurs points interessant. La première idée génératrice de ce projet, est celle de la spirale, accidenté, qui s'enroule et se déroule autour d'un axe décentré. Celle-ci imiterai le mouvement de l'histoire, linéaire, mais soumis à des « chocs ». La volonté, ici, c'est que la spirale contienne l'extention, et soit en même temps porteuse. Aussi, sa structure ne recquiert aucun élément de support, c'est une bande de béton de 500m, enroulée sur elle même, et autoportante. Le processus de construction de cette spirale génère la forme finale. C'est ici que les fractales interviennent.

A l'aide du travail du mathématicien Robert Amman, sur les motifs, et leur imbrication, Cecil Balmond a pu générer un motif fait de trois principaux composants standards, mais qui pourtant ne se répètent jamais. Ce motif vient composer le revêtement interieur, ainsi que l'enveloppe exterieure, faite de plaques de faïence. Mais ce motif, agrandi, vient aussi faire la structure de la toiture. On retrouve donc bien cette notion d'imbrication multi échelle propre aux fractales. Ces trois formes sont, au départ, générées par le non moins célèbre nombre d'or. Chacune d'entre elle, peut être fabriqué à partir de l'addition d'elle même à une échelle deux fois plus petite, et de l'une des deux autres formes. On peut répéter cette génération à des échelles plus grandes, ou plus petites, ce qui donne un motif irrégulier, obtenu au fil des itérations. Trois formes simples pour aboutir à un motif complexe.

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Figure 33: La forme dans la forme, on retrouve une génération de nature fractale.

Figure 37: Des exemples du motif généré

Figure 35: Composition d'une forme par les autres

Figure 34: Les trois formes de base

Figure 36: Schéma de la structure du toît

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Figure 38: On retrouve les trois motifs de base dans la « mosaïque » qui compose l'enveloppe

Figure 39: Le ruban déplié, avec les motifs qui viennent l'habiller

Figure 40: Vue du toîtFigure 41: Image de synthèse du projet d'extension du Victoria and Albert museum

Dans son ouvrage « Composition, Non Composition », Jacques Lucan cite le point de vue de Cecil Balmond.

« Balmond, lui, parle aussi d' »improbabilité dynamique ». Une telle approche ne pourrait-elle pas se situer aux antipodes du « rationalisme » de l'art concret, par exemple? N'est-elle pas aussi antithétique à toute problématique d'assemblage et de montage ? Elle semble par contre renouer avec des problématiques de croissance. Elle suppose en tout cas qu'avec le développement d'un algorithme « très vite vous avez une complexité, une condition hybride, une juxtaposition, d'une façon étrange et imprédictible », réponse nouvelle à la question maintes fois posée et que Balmond se risque à poser encore : « Comment cassez-vous la boîte, la cage ? […] Balmond donne pour ce faire une définition contemporaine d'informal, nouvelle tentative de subversion des problématiques compositionnelles : si formal est « rigide, hiérarchique », s'il correspond à un « idéal platonicien réduit à une série de règles », informal produit par contre « l'inattendu » et correspond à « une conception aux caractéristiques non-linéaires ».[7]

C'est bien, encore ici, une certaine phylosophie, un point de vue conceptuel sur ce qu'il nomme l'informel, qui induit un usage des fractales. Cette géométrie, au contraire de la géométrie euclidienne permet d'apporter cette caractéristique « non linéaire » tant recherchée par Balmond. Cet exemple montre un usage plus clair des fractales, car elles interviennent complètement dans la génération du motif, et dans sa composition. Par ailleurs, ce ne sont pas les fractales qui aident à générer la forme globale, ce qui a pourtant été fait par de plus jeunes architectes.

Architectures Non Standards

« L'auto-organisation soulève la question du contrôle. Où se situe le concepteur, d'un système d'auto-organisation ? C'est bien sûr le généticien. En bricolant le système, en le concevant au moyen d'une modification itérative de l'algorithme génétique (le composant de la procédure), il façonne le processus plutôt que d'en déterminer directement les résultats, ce qui soulève des questions concernant la discrimination. Si le concepteur conçoit le processus de conception elle-même, comment établit-il une discrimination entre les différents résultats issus du processus ? »

C'est ce non contrôle du « produit finit » qui en freine peut-être certains. Si on laisse la fonction « faire », la forme du résultat final n'est pas totalement maitrisée. Des codes la génèrent, mais, de la même façon que deux jumeaux homozygotes auront un ADN commun, mais beaucoup de différences de personnalité, on ne sait pas quelle forme sera engendré. Cela effraie certains concepteurs, mais d'autres en on fait leur parti. A travers deux exemples, dont l'un est tiré de l'exposition « Architectures Non Standards », qui a eu lieu en 2003 au Centre Georges Pompidou, nous verrons comment ces concepteurs procèdent, et quelle pensée les anime.

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OBJECTILE

C'est le nom de l'atelier de design et d'architecture basé à Paris, où travaillent conjointement, Bernard Cache, et Patrick Beaucé. Leur travail s'axe sur la production industrielle de formes variables à toutes échelles, allant du mobilier, au paysage. Ils conçoivent des séries d'objets similaires (et non pas identiques), mais différents, telles des dunes dans le désert. Rien ne pourrait se faire sans l'aide des ordinateurs qui calculent et contribuent pleinement à la production industrielle. Leur réflexion s'axe principalement sur la philosophie de Gliies Deleuze. En effet, celui-ci parle, dans son ouvrage intitulé « Le Pli » (1988), d'objectile, comme d'un objet non standard.

« L'objet ne se définit plus par une forme essentielle, mais atteint à une fonctionnalité pure, comme déclinant une famille de courbes encadrée par des paramètres, inséparable d'une série de déclinaisons possibles ou d'une surface à courbure variable qu'il décrit lui-même. Appelons Objectile ce nouvel objet.» [8]

Pour ce groupe, chaque forme peut donner lieu à des variations illimités. Il n'y a pas un objet unique, il y a une infinité d'objets possibles. Ainsi, Objectile a développé un module d'écriture de programme d'usinage qui permet de fabriquer industriellement, des séries d'objets, similaires, mais tous différents. Ce groupe se base principalement sur le second oeuvre et a par exemple, produit une table « nénuphar ». Ces motifs sont tous différents et générés par ordinateur. Tout provient donc d'un algorythme de base, grâce auxquel on conçoit une série, infinie de formes. C'est ici que l'on peut faire un lien avec les fractales, car, même si elles ne sont pas citées, on peut en déceler la trace rien qu'avec le terme algorythme. En effet, avec une fonction que l'on itère, on peut générer des formes fractales, tout comme objectile conçoit ses tables, à partir d'un algorythme. La nature de cet algorythme peut varier suivant les projet, et les fractales peuvent en faire partie.

BIOTHING

Ce groupe a été fondé en 2001 par Alisa Andrasek. Ses recherches sont basées sur le potentiel autocréatif et évolutif des algorythmes. Des séquences de codes sont développées, puis soumises à des contraintes spécifiques et variables de production, permettant ainsi de générer des modèles complexes de comportement. Les objets générés peuvent, malgré leur formes « non standards » être produits à l'échelle industrielle, grâce aux machines à commandes, controlés via des ordinateurs.

« L’usage de l’algorithme est aussi l’occasion d’infiltrer un principe d’indétermination dans cette architecture « computationnelle », car si l’architecte contrôle la nature des différents composants et contraintes (matériaux, structures, esthétique, fabrication, assemblage), c’est le jeu génétique qui gère à lui seul l’émergence de formes. Laissant entrevoir ainsi des constellations de projets, capables de s’adapter aux contraintes d’un design écologique et durable, les recherches de biothing s’attachent autant à l’architecture et l’urbanisme qu’au design. »1

C'est dans ce processus algorythmique, et presque génétique, que cette forme de conception devient interessante. Des règles donnent une forme. Cette dernière est donc

1 Http://www.frac-centre.fr

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controlée, mais on laisse une place au hasard. En quelque sorte, le processus d'Eisenman est repris, mais grâce à l'ordinateur, et à l'énorme puissance de calcul qu'il a atteint ces dernières années, on est capable d'aller bien plus loin. Je présenterai, pour clore ce paragraphe, un projet d'Aliza Andrasek, dans lequel, on retrouve la célèbre courbe de Von Koch.

« Conçu pour l’exposition du FRAC Centre, a_maze est développé par biothing comme un ensemble mobilier qui se déploie selon le principe fractal de la courbe de Koch. Une forme simple, matérialisée par une bande de matériau, se subdivise par elle-même de façon répétée et à différentes échelles afin de produire par pliage une forme gigogne composée.

Le principe de génération est programmé et conditionné par certaines contraintes : l’espace pour lequel est prévu la structure, des asymétries et des accélérations ou décélérations du pliage. Cette multitude de variables pesant sur l’objet empêche les réponses formelles standardisées et préétablies. Qualifié de « complexe », le système prend alors des formes non prévisibles et « non standard ».Plusieurs types de matériaux peuvent être utilisés pour l’exécution de cette structure réalisée à partir de machines à commandes numériques. La version produite pour le FRAC Centre a été réalisée en lamelles de plastique translucide blanc. Des espaces y sont ménagés pour accueillir les maquettes des projets exposés ; des bandes translucides accumulées dans certaines zones et éclairées de l’intérieur créent des puits de lumières. L’utilisation locale d’un film de diffraction de la lumière produit quant à lui des effets arc-en-ciel. » 1

1 http://www.biothing.org

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Figure 43: Photographie de l'installation Figure 42: Photographie de l'installation vue de dessus

Figure 45: Génération des formes composant l'installation

Figure 44: Les courbes générées, superposées

Dans ce projet, et dans beaucoup d'autres, de ce groupe, on observe la prise en compte de contraintes extérieures, dans la génération des formes. Prise en compte qui se rapproche du fonctionnement des organismes vivants, qui interagissent avec leur environnement. C'est sous ces onditions que l'on retrouve la plupart des formes fractales (arbres, éponge de mer...).

Se basant souvent sur une certaine philosophie et sur la culture de leur époque, les architectes ont utilisés les fractales surtout comme un processus conceptuel, puis, avec le développement des outils informatiques, on voit naître, de plus en plus de groupes qui basent leur conception sur la génération d'algorythmes, dont peuvent faire partie les fractales. Ils laissent « la fonction faire » ce qui est parfois frustrant dans un processus creatif.

En urbanisme, tout comme en génie des matériaux, les fractales s'avèrent très utiles. Elles aident à comprendre et à plannifier les villes, de façon plus efficace que les systèmes linéaires ou monocentriques utilisés habituellement. Ces formes, permettent aussi de concevoir des « super-materiaux », très efficaces en matière d'absorbtion .Dans ces deux cas, la forme fractale agit en tant qu'interface, agissant entre des milieux différents, comme par exemple les zones de loisir, et les zones d'habitation pour l'urbain. Au niveau des materiaux, elles viennent jouer sur l'interface entre le dedans et le dehors, où entre l'autoroute et les zones d'habitation. On retrouve donc bien la notion d'interaction entre les milieux, dont nous avions parlé dans la deuxième partie. Au niveau architectural, cela est plus ambigu, car beaucoup de domaines s'y croisent. Ainsi, les fractales sont le support d'idées, de concepts, plus que de véritable forme où elles trouveraient une utilité, même si de jeunes architectes commencent à mettre en lien les formes issues d'algorythmes, avec des contraintes extérieures.

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CONCLUSION

Les mathématiques nous donnent des outils, comme les fractales, afin de nous permettre de décrire et comprendre notre environnement. Ainsi, ces formes irrégulières, que nous retrouvons partout, ne présentent pas simplement qu'un caractère esthétique. Elles ont une fonction, celle de permettre des échanges énergétiques et matériels entre les milieux, mais surtout, d'optimiser ces échanges, à n'importe quelle échelle que ce soit.

C'est grâce à Benoît Mandelbrot, mais aussi à la puissance de calcul des ordinateurs que nous sommes capables de concevoir et d'analyser des formes fractales, en urbanisme, afin d'optimiser les transports, mais aussi pour la conception et la fabrication de matériaux très efficaces, en terme d'absorption et de transmission. Dans le domaine de l'architecture, les fractales interviennent sur le mode de pensée du concepteur, qui voit la partie dans le tout, de façon homogène, mais aussi sur la morphogénèse et la fabrication de volumes impossibles à réaliser sans l'aide d'ordinateurs.

Aussi, comme nous l'avons vu, à l'échelle macroscopique( l'urbain) ainsi qu'à l'échelle microscopique (la composition du matériaux), les fractales s'avèrent être des outils d'aide à la génération d'interfaces. Par ailleurs, au niveau de l'architecture, les fractales viennent surtout pour illustrer un mode de pensée différent, comme nous l'avons vu avec Eisenman et Liebeskind, qui veulent créer une architecture dynamique, croissante, en mouvement … etc. Ils veulent dépasser le modèle de l'architecture « statique » et les fractales sont un des moyens d'illustrer cette pensée, même si leur usage en devient parfois abstrait. Bien sûr, celles-ci servent à générer des formes organiques de façon simple grâce aux itérations de fonction, mais il est regrettable que l'intérêt primordial des fractales, qui est de pouvoir générer une interface efficace, passe plus ou moins à la trappe. D'ailleurs, certains mathématiciens, comme Nikos. A.Salingaros, dénoncent l'utilisation de concepts, comme les fractales, lorqu'elles n'agissent qu'en simple ornement, et perdent leurs interessantes propriétés. Dans le domaine de l'architecture, les fractales ne sont donc pas pleinement utilisées, elles sont « détournées » même si l'on constate le travail de certains groupes comme Biothing, qui tente de générer des algorythmes en interaction avec leur environnement. L'idée que les fractales pourraient agir en tant qu'interface, entre les diverses activités qui s'y déroulent, entre le bâtiments et son environnement est encore en train de murir. Cette géométrie pourra peut être mieux faire ses preuves, dans le contexte environnemental actuel, car, elle permettrait au bâtiment d'acquérir des formes spécifiques, afin que les échanges de celui-ci avec son environnement, et des diverses activités se déroulant en son sein soient optimisées.

Ce travail mériterait d'être plus amplement approfondi, surtout, en ce qui concerne les exemples architecturaux. En effet, j''aurai aimé pouvoir mieux prendre en compte la pensée des architectes, et notament, les mettre plus en lien avec certaines philosophies, afin de mieux comprendre comment les fractales interviennent dans leur démarches. Neanmoins, dans un souci de comprendre correctement le principe des fractales, et ensuite d'arriver à comprendre leur interêt (car c'était là ma plus grande interrogation), j'ai préféré passer du temps sur les deux premières parties. Se pencher de cette manière sur les mathématiques, la biologie, la physique et la philosophie était un peu délicat, mais cela a permi d'enrichir mon vocabulaire scientifique.

Je ne regrette donc pas de m'être principalement centré sur les fractales, qui m'ont porté bien au delàs des mathématiques théoriques. Aussi, il serait interessant, après avoir abordé ce premier pan des mathématiques, d'ouvrir réellement la page sur les liens qu'ils tissent avec l'architecture, dans l'optique, éventuellement, d'un futur mémoire.

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BIBLIOGRAPHIE1. MANDELBROT Benoît, 1975, Les Objets Fractals Forme, Hasard et Dimension, Flammarion, ISBN : 978-2-0812-4617-1

2. BURRY James, BURRY Mark , 2010, Mathématiques et Architecture, Actes Sud, ISBN : 9782742792863

3. MOISSET DE ESPANES Inés , Complexité, Fractales, Architecture, Quaderns

4. SAPOVAL Bernard, 1997, Universalités et Fractales, Flammarion, ISBN : 2-08-081466-4

5. LUCAS J., BENNETT Elena, 2006, Resilience and Pluralism : Ecosystems and Society in a Great Transition, GTI Paper Series n°14

6. , , Approche Fractales de l'Urbanisation, ,

7. LUCAN Jacques 2009, Composition Non Compisition, Architectures et Théories XIXe-XXe siècle, PPUR, ISBN : 2880747899

8. Gilles Deleuze, 1998, Le Pli, Leibnitz et le baroque, Minuit, ISBN : 978-2-88074-789-3

BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE A LESA Gabrielle, MERLINI Danilo, NONNENMACHER Theo F., Ewald R Weibel, 1998.Fractals in biology and medecine Volume III, Birkhäuser Verlag AG

BOVILL Carl, 1996. Fractal geometry in architecture and design, Birkhäuser, design science collection, ISBN : 978-0817637958

FRANKHAUSER Pierre, GENRE-GRANDPIERRE Cyrille, 1998.La géométrie Fractale, Un Nouvel Outil Pour Evaluer le Rôle de la Morphologie des Reseaux de Transport Public dans l'Organisation Spatiale des Agglomérations, , Les Cahiers Scientifiques du Transport N°33-Pages 41-78

JENCKS Charles, 2003. The New Paradigm in Architecture, Hunch August Berlage Institute Report 6-7

JOYE Yannick, 2007. Fractal Architecture Could Be Good for You, Nexus Network Journal, Vol 9 No. 2

OSTWALD Michael J, 2001."Fractal Architecture" Late Twentieth Century Connections Between Architecture and Fracal Geometry,, Nexus Network Journal Vol 3, No. 1

SALINGAROS Nikos, 2007. Anti architecture et déconstruction, Isi Distributed Titles

2004. Les Fractales, Art, Nature et Modélisation, Archimède, Bibliothèque Tangente HS n°18, ISBN : 978-2848840147

FILMOGRAPHIE- Hunting the hidden dimension , Michel Schwarz et Bill Jersey, NOVA / WGBH Educational Foundation / The Catticus Corporation, 2008, USA

-African Fractals , une conférence de Ron Eglash, enregistrée en Juin 2007, à Arusha, Tanzanie

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TABLE DES FIGURES

Figure 1 : Génération de la courbe de Von Koch, Floriane DELEGLISE

Figure 2 : La poussière de Cantor, Floriane DELEGLISE

Figure 3 : Génération du triangle de Sierpinski par division, Floriane DELEGLISE

Figure 4 : Représentation graphique de l'ensemble de Mandelbrot, http://www.xgouchet.fr

Figure 5: Le flocon de Von Koch, Bernard Sapoval, Universalités et fractales

Figure 6 :Variation de la courbe de Von Koch, Bernard Sapoval, Universalités et fractales

Figure 7 :Les ramifications de l'appareil respiratoire humain, http://www.mathcurve.com

Figure 8 :Un flocon de neige, http://www.mathcurve.com

Figure 9 :Représentation schématique et photographie du village de Ba-ila, Zambie, pour la science N°256, février 1999

Figure 10 :Représentation schématique de l'itération et photographies du village de Logone-Birni, http://csdt.rpi.edu/african/archi/afractal/afarch.htm

Figure 11 :Photographie du temple de Barnas, au sud de l'Inde http://liberalarts.iupui.edu

Figure 12 : Plan de la Palmer House, http://www.emis.de

Figure 13: Schéma des diverses tailles de triangles que l'on peut trouver dans la Palmer House, http://www.emis.de

Figure 14 :Photographie d'une décharge électrique à la surface d'une plaque de verre, Bernard Sapoval, Universalités et fractales

Figure 15 :Injection de l'eau dans du plâtre, Bernard Sapoval, Universalités et fractales

Figure 16 :Angiogramme par fluorescence de la vascularisation de la rétine humaine, Bernard Sapoval, Universalités et fractales

Figure 17 :Croissance d'une colonie bactérienne sur une plaque d'agar, Bernard Sapoval, Universalités et fractales

Figure 18 :Un exemple de trajectoire de mouvement Brownien dessiné pas Jean Perrin, http://perso.numericable.fr/cricordeau41/quatuor/Math21.htm

Figure 19 :Image satellite de l'agglomération de Paris, en France, Moteur de recherches Bing

Figure 20 :Image satellite de l'agglomération de Tokyo, au Japon, Moteur de recherches Bing

Figure 21 :Image satellite de l'agglomération de Lagos, au Nigeria, Moteur de recherches Bing

Figure 22 :Le plan de la reconstruction de Chicago, proposé par HILBERSEIMER à gauche et son analyse fractale, à droite, Approche fractale de l’urbanisation, Méthodes d'analyse d’accessibilité et simulations multi-échelles, Pierre Frankhauser, Cécile Tannier, Gilles Vuidel, Hélène Houot

Figure 23 :Un exemple de modélisation de réseau fractal (La figure a montre les premières étapes d’itération de la fractale et sur la figure b est représentée la troisième étape d’itération. On observe l’ordre hiérarchique des points d’intersection des branches), Approche fractale de l’urbanisation, Méthodes d'analyse d’accessibilité et simulations multi-échelles, Pierre Frankhauser, Cécile Tannier, Gilles Vuidel, Hélène Houot

Figure 24 :Une seule branche de la quatrième étape d’itération sur laquelle sont indiqués les centres, Approche fractale de l’urbanisation, Méthodes d'analyse d’accessibilité et simulations multi-échelles, Pierre Frankhauser, Cécile Tannier, Gilles Vuidel, Hélène Houot

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Figure 25 :Tableau de comparaison du réseau fractal (ci-dessus) et de réseaux non-fractals, Approche fractale de l’urbanisation, Méthodes d'analyse d’accessibilité et simulations multi-échelles, Pierre Frankhauser, Cécile Tannier, Gilles Vuidel, Hélène Houot

Figure 26 :Un échantillon test de mur "fractal" antibruit, http://www.fractalesland.free.fr

Figure 27 :Zoom sur cet échantillon, http://www.fractalesland.free.fr

Figure 28 :Photographie d'un échantillon d'aérogel de silice, http://www.design-global.net

Figure 29 :Photographie de la maquette du biocentrum, http://www.WordPress.com

Figure 30 :Schéma du concept d'assemblage des bases de l'ADN, Exploring Design Shapes with Geometry, Golnaz Mohammadi

Figure 31 :Vue axonométrique du Biocentrum, Exploring Design Shapes with Geometry, Golnaz Mohammadi

Figure 32 :Photographies, plan et coupes de la "Capsule Tower", http://agraphiablog.blogspot.com

Figure 33 :Image de synthèse du projet d'extension du Victoria and Albert museum, http://www.regulatedlines.com

Figure 34 :La forme dans la forme, on retrouve une génération de nature fractale, Informal, Cecil BALMOND

Figure 35 :Des exemples du motif généré, http://www.joepawlina.blogspot.com

Figure 36 :Les trois formes de base, http://www.joepawlina.blogspot.com

Figure 37 :Composition d'une forme par les autres, http://www.joepawlina.blogspot.com

Figure 38 :Le ruban déplié, avec les motifs qui viennent l'habiller, Informal, Cecil BALMOND

Figure 39 :On retrouve les trois motifs de base dans la « mosaïque » qui compose l'enveloppe, Informal, Cecil BALMOND

Figure 40 :Schéma de la structure du toît, Floriane DELEGLISE

Figure 41 :Vue du toît, http://www.joepawlina.blogspot.com

Figure 42 :Photographie de l'installation vue de dessus , http://www.biothing.org

Figure 43 :Photographie de l'installation, http://www.biothing.org

Figure 44 :Les courbes générées, superposées, http://www.biothing.org

Figure 45:Génération des formes composant l'installation, http://www.biothing.org

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TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION........................................................................................................................................................ p05

I.LES FRACTALES, DES MATHEMATIQUES ABSTRAITES A L'ENVIRONNEMENT REEL..p07

LES MONSTRUOSITES MATHEMATIQUES DU DEBUT DU XXeme SIECLE................................p07

La courbe de Von Koch............................................................................................................................................p07

La poussière de Cantor............................................................................................................................................p08

LES FRACTALES, UNE HISTOIRE D'ECHELLE ET DE DIMENSION................................................p09

Homothétie interne et dimension non entière.............................................................................................p09

L'itération, ou comment générer une fractale...............................................................................................p10

DES FRACTALES DANS LA NATURE, ET MEME DANS L'ARCHITECTURE................................p12

La nature en regorge..................................................................................................................................................p12

L'homme s'en inspire.................................................................................................................................................p13

II.UNE UNIVERSALITE QUI S'EXPLIQUE....................................................................................................p17

L'INTERACTION ENTRE LES MILIEUX............................................................................................................p17

L'INTERVENTION DU HASARD...........................................................................................................................p18

LES FRACTALES, FORMES OPTIMALES.......................................................................................................p20

III.DES PROPRIETES UTILES ET UTILISEES, QUELQU'EN SOIT L'ECHELLE........................p21

DES FRACTALES POUR L'URBANISME........................................................................................................p21

Des modèles efficaces..............................................................................................................................................p23

De nouvelles méthodes de mesure...................................................................................................................p25

L'OBTENTION DE MATERIAUX TRES PERFORMANTS.........................................................................p26

Des fractales contre le bruit...................................................................................................................................p26

L'aérogel de silice........................................................................................................................................................p26

DANS L'ARCHITECTURE........................................................................................................................................p27

Peter Eisenman.............................................................................................................................................................p27

Kisho Kurokawa............................................................................................................................................................p29

Cecil Balmond et Daniel Liebeskind..................................................................................................................p30

Architectures Non Standards................................................................................................................................p32

CONCLUSION............................................................................................................................................................ p36

BIBLIOGRAPHIE....................................................................................................................................................... p37

BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE...........................................................................................................p37

FILMOGRAPHIE........................................................................................................................................................ p37

TABLE DES FIGURES............................................................................................................................................ p38

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Les fractales, ce sont ces formes étranges qui s'illustrent surtout par des images de synthèse, souvent colorées. Pourtant, on les trouve dans bien d'autres domaines que celui du simple esthétisme.Ces formes sont en effet, présentes partout, de la ramification des arbres, à la bordure des côtes maritimes. L'architecture vernaculaire s'en est d'ailleurs inspirée.Mais depuis leur caractérisation mathématique dans les années soixante-dix, par Benoît Mandelbrot, et grâce à l'essor de l'informatique, on a commencé à comprendre la vraie fonction des fractales, qui s'avèrent d'ailleurs très utiles, en aménagement, et ce, de l'échelle urbanistique, à celle des materiaux, en passant par l'architecture.Ce rapport se veut comme étant une brève introduction à la mathématique et aux caractéristiques des fractales, afin de mieux comprendre leur utilisation dans de nombreux domaines. Des exemples concrets sont donnés, à l'échelle urbanistique, materielle, et architecturale, mais ne sont que des clefs, pour qui veut se familiariser avec l'usage des fractales.

Fractals are those strange shapes illustrated mostly by vibrantly colored synthetic images. Yet they are found in many fields other than the simple aesthetics.In fact, these shapes are present everywhere; as in the branching of trees or the edge of a coastline. They also inspired vernacular architecture. However we only began to understand the true function of fractals since their mathematical characterization by Benoit Mandelbrot in the 1970's, thanks to the rise of computers. They now exist as a very useful tool in urban planning as well as material production and architectural design. This work is indented to be a brief introduction to the mathematical characteristics of fractals aimed at providing a better understanding of their use in various areas. Real world examples are given in urban, architectural and material scales as starting points for those who want familiarize themselves with the use of fractals.

MATHEMATIQUES-BIOLOGIE-GEOMETRIE-MORPHOLOGIE-URBANISMEMATHEMATICS-BIOLOGY-GEOMETRY-MORPHOLOGY-URBANISM

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