Lenguaje algebraico. Polinomios.

Capítulo 4:

EXPRESIONESALGEBRAICAS

2º E.S.O.

4.1.- Lenguaje Algebraico

En Matemáticas, usamos el lenguaje algebraico para expresar enunciadosmatemáticos o de la vida cotidiana de forma sencilla, mediante el uso de números, letras y operaciones algebraicas.

Ejemplos:

Un número cualquiera -------------------------------->

El doble de un número -------------------------------->

La suma de tres números distintos ---------------->

Un número par y un número impar ---------------->

Tres números consecutivos ------------------------->

Múltiplos de 5 consecutivos ------------------------->

La mitad de la suma de dos números ------------>

El doble de la diferencia de dos números------------->

La sexta parte del cuadrado de un número impar ---->

x

2x

x+y+z

2x ; 2x+1

x , x+1, x+2

xy2

5x, 5x + 5, 5x + 10, 5x + 15, ...

2·(a - b)

2n12

6

La edad de un padre hace 15 años

Mi hermano cobra 200 € más que yo

X - 15

X + 200

Le congelaron el 8% de su sueldo 8x/100

El número de niñas que hay en una clase de 28 alumn@s enla que hay x niños.

28 - x

1 kilo de naranjas: x €

1 kilo de manzanas: y €

Tendrá que llevar:

4x + 5y

EJERCICIO: Elige la expresión adecuada

LA NOCHE ESTRELLADA (Vincent Van Gogh)

a

b

Área del cuadro:

Perímetro del cuadro:

Ejemplos Geométricos:

a·b

a + b + a + b = 2a + 2b

Área de cada triángulode la Trifuerza

h

b

Área del triángulo grande: b· h2

Área triángulos pequeños: b· h8

Volumen de un balón de fútbol de radio R

4 · ·R3

3

MUSEO LOUVRE (PARÍS)

Si a pirámide del Louvre es de base cuadrada: ¿Cuál es el volumen?

Lado base: x

Altura: y Volumen: x2 · y

3

4.2.- Valor numérico de una expresión algebraica

Es el valor que se obtiene al sustituir en la expresión las letras por númerosconcretos, y realizar las operaciones pertinentes.

Ejemplo: Sea la expresión algebraica:

x2 · y3

Calcula su valor numérico cuando x = 2 y = 6

8Su valor es:

Investiga: ¿Cual es el volumen de la pirámide del Louvre?

EJERCICIOS:

Repasemos lo que hemos visto hasta ahora:

4.3.- MONOMIOS

EJERCICIOS:

Empareja los cuadrados:

4.4.- OPERACIONES CON MONOMIOS

EJERCICIOS:

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

Ejemplo:

Queremos realizar la siguiente operación:

3x2 y−2xy5xy−7xy23x−8y−2x2 y7xy2−95x− xy

Reconocemos los monomios semejantes y los sumamos o restamos:

Luego nos quedará: x2 y2xy8x−8y−9

Esta expresión que hemos obtenido se llama polinomio, y será objetoDe estudio en el siguiente apartado.

EJERCICIOS:

4.5.- Polinomios

Ejemplos:

Px =−7x33x2−5x4

GRADO:Término Independiente:

Valor numérico en x = -1:

34

19

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Px , y =5x2− y22 x2 y2−xy5y−1

GRADO:Término Independiente:Valor numérico en x =2 y= -2

4-141

EJERCICIOS:

4.6.- OPERACIONES CON POLINOMIOSSUMA Y RESTA

Se aplican las mismas propiedades que con los monomios, solo podemosSumar o Restar aquellos términos que sean semejantes.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR UN NÚMERO

Basta con multiplicar cada término por dicho número.

−3 ·2x2−5x8=−6x215 x−24

EJERCICIOS

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS POR POLINOMIOS

Se multiplica cada término del polinomio por el monomio, teniendo en cuentalas propiedades de las potencias cuando tengamos que multiplicar las partes literales

MULTIPLICACIÓN POLINOMIO POR POLINOMIO

Se multiplica cada término del primero por cada término del segundo, y una vez hechoesto se suman los términos semejantes que nos queden.

EJERCICIOS:

POTENCIAS NATURALES DE POLINOMIOS

Para elevar un polinomio a una potencia tendremos que multiplicarlo por sí mismotantas veces como nos indique el exponente natural

3x53=3x5·3x5· 3x5

9x215x15x25·3x5

9x230x25· 3x5

27x345x290x2150x75x125

27x3135x2225x125

=

=

=

=

Cuando lo que tenemos son potencias de grado 2, y dentro un binomio, podemosrecurrir a las llamadas IDENTIDADES NOTABLES para hacer más sencilla la operación.

Pero antes de eso, EJERCICIO:

IDENTIDADES NOTABLES

Ejemplos:

EJERCICIOS:

Efectúa usando las identidades notables:

Calcula usando identidades notables:

4.7.- FACTOR COMÚNIDEA PREVIA: Fijémonos en los siguientes conjuntos:

¿QuéTienenen común?

TODOS TIENEN

- dos MEGUSTA- un OKAY- un LOL

“MEGUSTA”

“OKAY”

LOL

TROLL

Conjunto intersección (Elementos que pertenecen los tres conjuntos)

Podemos representar los conjuntos así:

Cuando se trata de los polinomios el juego es el mismo. Tenemos que observar cuáles sonlos factores comunes a cada uno de los términos del polinomio, y extraerlos fuera del mismo.

El número de letras que se están multiplicando viene dado por los exponentes de cada términoy si queremos extraer los coeficientes podemos descomponerlos en factores y aplicar el mismoMétodo. Veamos un ejemplo:

9 x2 y36x2 y−3xy

Factorizado queda:3xy ·3xy22x−1

Fijémonos que si efectuámos la multiplicación debemos obtener el polinomio original

EJERCICIOS:

Extráe factor común de los siguientes polinomios;

1.- a – a² = 2.- mn + m =3.- 3xy – 5x² =4.- m²n² – m² = 5.- 20a² + 15a² = 6.- 18ab + 24ª = 7.- 10m + 30n = 8.- 27xy – 72x = 9.- 10m + 6mx = 10.- mx – my =