1. Lendutan pada balok Yang dimaksud dengan lendutan adalah jarak sumbu netral sebelum melendut ke garis netral terdeformasi. Perubahan kedudukan titik yang besesuaian sepanjang sumbu batang menentukan garis elestis batang tersebut.
PP
xx PP
y
Garis elastis
Hubungan antara lendutan (y) dan jarak (x) membentuk sebuah fungsi yang disebut fungsi garis elastis. Apablia pusat salib sumbu di A sedangkan sumbu vettikal adaalh sumbu y dan horizontal adalah x maka persamaan garis elastis dapat dituliskan sebagai y = f(x). Perhitungan lendutan sangat penting dalam perancangan sutruktur. Misalnya : lendutan maksimum yang diijinkan pada sebuah balok adalah 1/300 dari panjang balok. Hal ini perlu ditetapkan agar tidak terjadi beban psikologis pada pemakai konstruksi. Selain itu perhitungan lendutan juga sangat penting untuk menganalisis struktur statis tak tentu.
1.1. Mengapa lendutan perlu dipelajari? 1. Untuk mencegah retak pada elemen konstruksi yang bersifat getas.
2. Memastikan struktur tidak melendut terlalu besar dan terasa aman bagi pemakainya.
3. Membantu menyelesaiakn struktur statis tak tentu.
1
1.2. Cara-cara menghitung lendutan:
Metodemenghitung lendutan
MetodeIntegrasi Berganda
Metode EnergiMetodeGeometri
MetodeBalok Konyugasi
MetodeLuasan Momen
MetodeKerja virtual
MetodeCastigliano
Ada beberapa metode perhitungan lendutan balok antara lain :
o Integral berganda ( metode integrasi berganda) o Metode luasan momen (Moment-area method) o Metode Konyugasi o Metode energi o Metode fungsi tunggal
Pada bagian ini hanya dibahas dua metode pertama.
1.2.1. Metode integrasi berganda Hubungan antara beban, gaya lintang, momen, perputaran sudut dan lendutan dapat dirumuskan sebagai berikut :
4
4
3
3
2
2
''''
'''
''
'
lendutan
dxyd
dxdDy
EIq
dxyd
dxdMy
EID
dxyd
dxdy
EIM
dxdyy
y
===
===
===
===
2
1.3. Metode integrasi ganda Asumsi-asumsi :
1. lendutan akibat gaya geser diabaikan karena relatif kecil dibandingkan dengan lendutan akibat momen lentur.
2. lendutan yang terjadi sangat kecil dibandingkan dengan dimensi balok
3. semua bagian balok dianggap masih dalam rentang elastis
4. balok dianggap lurus sebelum dibabani. Syarat batas: Pada tumpuan jepit:
Y= 0 ( lendutan = nol) = 0 (sudut garis singgung = 0)
Tumpuan sendi : Y=0 M=0
Ujung bebas : M = 0 V = 0
Tumpuan Rol : M=0 Y=0
Prosedur umum perhitungan :
1. )('''' 44
xqdxydEIyEI ==
2. )(''' 10
3
3
xDCdxqyEIdxydEI
x
=+== 3. )('' 21
002
2
xMCxCdxqdxyEIdxydEI
xx
=++== 4. )(' 32
212
1
000
xCxCxCdxqdxdxyEIdxdyEI
xxx
=+++== 5. 43
222
1312
131
0000
CxCxCxCdxqdxdxdxyEIxxxx
++++=
3
dV wdx
=
d Mdx EI =
2
2
d M wdx
=
2
2
d Mdx EI
=
dV wdx
=
d Mdx EI =
2
2
d M wdx
=
2
2
d Mdx EI
=
V wdx= M dxEI
=
M wdx dx = M dx dxEI
=
V wdx= M dxEI
=
M wdx dx = M dx dxEI
=
Integrasi
Contoh 1:
Lx
x
y
P
PLP
PxPLM +=M
dxydEI =2
2
@ x PxPLdxydEI +=2
2
Integrasi pertama 12
2cxPPLx
dxdyEI ++=
@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 020000 11
2
=++== ccPPLEIdxdy
Integrasi kedua 232
62cxPPLxEIy ++=
@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 0600
200 22
32 =++== ccPPLEIy
62
32 xPPLxEIy +=@ x = L y = ymax
EIPLyPLLPLPLEIy3662
3
max
332
max ==+=EIPL3
3
max =
Lx
x
y
P
PLP
PxPLM +=M
dxydEI =2
2
@ x PxPLdxydEI +=2
2
Integrasi pertama 12
2cxPPLx
dxdyEI ++=
@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 020000 11
2
=++== ccPPLEIdxdy
Integrasi kedua 232
62cxPPLxEIy ++=
@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 0600
200 22
32 =++== ccPPLEIy
62
32 xPPLxEIy +=@ x = L y = ymax
EIPLyPLLPLPLEIy3662
3
max
332
max ==+=EIPL3
3
max =
4
Contoh 2:
Lx
x
y
WL
( )22
xLWM =
MdxydEI =2
2
@ x ( )222
2xLW
dxydEI =
Integrasi pertama( )
1
3
32cxLW
dxdyEI +=
@ x = 0 ( ) ( )63
02
003
11
3 WLccLWEIdxdy =+==
W N per satuan panjang
2
2WL
( )66
33 WLxLW
dxdyEI =
Lx
x
y
WL
( )22
xLWM =
MdxydEI =2
2
@ x ( )222
2xLW
dxydEI =
Integrasi pertama( )
1
3
32cxLW
dxdyEI +=
@ x = 0 ( ) ( )63
02
003
11
3 WLccLWEIdxdy =+==
W N per satuan panjang
2
2WL
( )66
33 WLxLW
dxdyEI =
( )24624
434 WLxWLxLWEIy +=
Max. terjadi pada x = L
EIWLyWLWLLWEIy88246
4
max
444
max ==+=
EIWL8
4
max =
Integrasi kedua( )
2
34
646cxWLxLWEIy +=
Pada x = 0 ( ) ( ) ( )24
064
06
004
22
34 WLccWLLWEIy =+==
( )24624
434 WLxWLxLWEIy +=
Max. terjadi pada x = L
EIWLyWLWLLWEIy88246
4
max
444
max ==+=
EIWL8
4
max =
Integrasi kedua( )
2
34
646cxWLxLWEIy +=
Pada x = 0 ( ) ( ) ( )24
064
06
004
22
34 WLccWLLWEIy =+==
5
Lx
y x
2WL
2WL
22xWxxWLM =
22
2
2
2 xWxWLdxydEI =
Integrasi 132
3222cxWxWL
dxdyEI +=
Karena balok simetris 02
@ ==dxdyLx
( ) +
== 1
32
32
222
20
2@ c
LW
LWLEILx
24
3
1WLc =
2464
332 WLxWxWL
dxdyEI =
L
x
y
LL
x
y x
2WL
2WL
2WL
2WL
22xWxxWLM =
22
2
2
2 xWxWLdxydEI =
Integrasi 132
3222cxWxWL
dxdyEI +=
Karena balok simetris 02
@ ==dxdyLx
( ) +
== 1
32
32
222
20
2@ c
LW
LWLEILx
24
3
1WLc =
2464
332 WLxWxWL
dxdyEI =
Integrasi2
343
244634cxWLxWxWLEIy +=
@ x = 0 y = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2343
0244
063
04
0 cWLWWLEI += 02 = c
xWLxWxWLEIy242412
343 =
Max. terjadi @ x = L /2 384
5 4max
WLEIy =
EIWL
3845 4
max =
Integrasi2
343
244634cxWLxWxWLEIy +=
@ x = 0 y = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2343
0244
063
04
0 cWLWWLEI += 02 = c
xWLxWxWLEIy242412
343 =
Max. terjadi @ x = L /2 384
5 4max
WLEIy =
EIWL
3845 4
max =
6
1.4. Metode Luasan Momen (Momen Area Method) Teorema I Sudut diantara tangen arah di A dan di B adalah sama dengan luasan diagram momen lentur diantara kedua titik A dan B, dibagi dengan perkalian E da I.
= BA
dxEIM
A B
Tangen
t at B
d
d
xdx
dsAB
Tangen
t at B
d
d
xdx
ds
Teorema II Jarak vertikal titik B pada kurva lendutan ke garis singgung titik A pada kurva lendutan sama dengan besarnya momen terhadap grs vertikal melalui B dari luasan diagram momen diantara A dan B, dibagi EI.
dxEIMxB
A= ddsddsEIM ===
dx ds kecilsegmen untuk == dsEIMd
dxEIMddx
EIMd
B
A === menjadian integrasik
== BA
dxEIMxdx
EIMxxd
7
Prosedur perhitungan
1. Tentukan reaksi perletakan balok
2. gambarkan perkiraan garis elastis. Kurva ini harus konsisten dengan kondisi yang sudah diketahui pada perletakan, seperti tangen arah nol dan lendutan nol.
3. Gambarkan diagram momen balok sehingga dapat diketahui diagram M/EI nya.
4. pilih titik A dan B, kemudian gambarkan garis singgung kedua titik ini. Dengan asumsi salah satu titik kondisi (lendutan, sudut) diketahui misalnya titik A.
5. Hitung lendutan titik B relatif terhadap titik A dengan teorema II. Contoh 1
P
PL L
P
A
B
= ?Tangent di A
Tangent di B
PLM
( )33
22
3PLLPLLEI =
=EI
PL3
3
=
( )PLLEI =2 EI
PL2
2
=
P
PL L
P
A
B
= ?
L
P
A
B
= ?Tangent di A
Tangent di B
PLM
( )33
22
3PLLPLLEI =
=EI
PL3
3
=
( )PLLEI =2 EI
PL2
2
=
8
Contoh 2.
WL2
2WL
Tangent A
L
A W N per satuan panjang
B = ?
2
2WL
xLWLA
231 2=
Lx43=
843
23
42 WLLLWLEI =
=
EIWL8
4
=
WL2
2WL
Tangent A
L
A W N per satuan panjang
B = ?
2
2WL2
2WL
xxLWLA
231 2=
Lx43=
843
23
42 WLLLWLEI =
=
EIWL8
4
=
Contoh 3
L
aP
aP
P P
aaL 2
Pa
Tangent A
A = ?
aPaaaaLaLPaEI32
2242+
+
= 3
22
32448aPaLaLaLPa +
+=
== 33332 43
2468 La
LaPLPaPaL
= 333 43
24 La
La
EIPL
9
1.5. Metode Balok Konyugasi Teorema I Sudut garis singgung kurva elastis pada suatu titik balok sebenarnya besarnya sama dengan gaya geser pada titik yang besesuai dengan titik tersebut pada balok konyugasi. Teorema II Penurunan (lendutan) suatu titik pada balok sebenarnya besarnya sama dengan momen pada titik yang bersesuaian dengan titik tersebut pada balok konyugasi.
10
Prosedur analisis balok konyugasi
1. Gambarkan balok konyugasi lengkap dengan kondisi batasnya.
2. Buat diagram momen, kemudian bebani balok konyugasi dengan M/EI. Apabila M/EI positif maka beban mengarah ke bawah dan sebaliknya keatas.
11
3. Tentukan reaksi perletakan, gaya lintang dan momen balok konyugasi.
4. Gaya lintang pada balok konyugasi merupakan putaran sudut pada balok sebenarnya, dan momen pada balok konyugasi merupakan lendutan pada balok sebenarnya.
Contoh 1
A
9 m
8 kN
B
x
3 m
2 kN 6 kN
A
9 m
8 kN
B
x
3 m
2 kN 6 kN
Lendutan Maximum terjadi pada titik pada
slope sama dg nol
8 kN
A Bx
18kNm
A Bx
18/EI
Balok Kunyugasi
Balok sebenarnya
45/EI 63/EI
Sesuai dengan gayageser sama dg nol
2 kN
6 kN
9 m 3 m
81/EI 27/EI
Lendutan Maximum terjadi pada titik pada
slope sama dg nol
8 kN
A Bx
18kNm
A Bx
18/EI
Balok Kunyugasi
Balok sebenarnya
45/EI 63/EI
Sesuai dengan gayageser sama dg nol
2 kN
6 kN
9 m 3 m
81/EI 27/EI
8 kN
A Bx
18kNm
A Bx
18/EI
Balok Kunyugasi
Balok sebenarnya
45/EI 63/EI
Sesuai dengan gayageser sama dg nol
2 kN
6 kN
9 m 3 m
81/EI 27/EI
12
A Bx
18/EI
45/EI 63/EI
x
A Bx
18/EI
45/EI 63/EI
x
13
1. Lendutan pada balok 1.1. Mengapa lendutan perlu dipelajari? 1.2. Cara-cara menghitung lendutan: 1.2.1. Metode integrasi berganda
1.3. Metode integrasi ganda 1.4. Metode Luasan Momen (Momen Area Method) 1.5. Metode Balok Konyugasi