LISTA DE APLICAES DAS LEIS DO SENO E COSSENO - GABARITO 1) Um
tringulo tal que AB = 2 3 cm e AC = 6cm. Calcule a medida do lado
BC sabendo que os ngulos internos dos vrtices B e C so tais que B =
2C. Soluo. O lado AC est oposto ao ngulo B. O lado AB est oposto ao
ngulo C. Aplicando a lei
dos senos, temos:
6 2 3 . O termo sen2C pode ser desenvolvido como: 2senCcosC. =
sen2C senC
Voltando ao problema, temos:2 3 ( 2senC cos C ) 6 2 3 6 6 3 3 =
6 = 6 = 4 3 cos C cos C = = = . sen 2C senC senC 2 4 3 4 3 3
Logo C = 30
e B = 2C = 60. Esse resultado indica que o terceiro ngulo vale
90 e o tringulo retngulo. O lado BC oposto ao ngulo reto hipotenusa
e vale:a = 62 + 2 3
(
)
2
= 3 + 2 = 4 =4 3cm . 6 1 8
2) No tringulo da figura, x = 30, y = 15 e AC mede 15 2 .
Calcule o lado BC. Soluo. O ngulo B vale: 180 - (30 + 15) = 135.
Aplicando a lei dos senos, temos:15 2 BC 15 2 BC 15 2 BC = = = 1
senB senx sen135 sen30 2 2 2 15 2 . 1 2 = BC . BC = 15. 2 2
3) Considere um tringulo cujos lados medem 5cm, 6cm e 9cm. Qual
a rea de um quadrado cujo lado a mediana relativa ao maior lado do
tringulo considerado em centmetros quadrados? Soluo. Aplicando a
lei dos cossenos, temos: i)6 2 = 5 2 + 9 2 2(5)( 9) cos y cos y =
36 106 70 = 90 90
ii)
9 9 m 2 = 5 2 + 2(5)( ) cos y 2 2 . 81 70 2 2 2 m = 25 + 45( ) m
= 10,25cm 4 90
2
4) Calcule o cosseno do ngulo obtuso x do tringulo ABC. Soluo.
Aplicando a lei dos senos, temos:
3 4 3 4 1 = = 3senx = 4. 1 senx sen30 senx 2 2 2 2 3senx = 2
senx = . cos x = 1 3 3 cos x = 1 cos x = 4 5 5 = = 9 9 32
5 (obtuso negativo) 3
5) Calcule a soma dos lados AC e BC do tringulo. Soluo.
Aplicando a lei dos senos, temos:
i)
3 2 BC 3 2 4 3 2 = = 1 sen30 sen 45 2 2 2 2 32 . BC 2.3.2 = BC =
=6 2 2 2
( )
2
= BC .
1 2
ii) Aplicando a lei dos cossenos em relao ao lado AB, temos:
(3 2 ) 2 = BC 2 + AC 2 2( BC )( AC ) cos 30 12 = 36 + AC 2 2(6)(
AC ).2
3 2
12 3 AC AC 18 + 36 = 0 AC 2 6 AC + 18 = 0 AC 2 6 3 AC + 18 = 0
2
. Resolvendo:
AC =
( 6 3 ) 108 4(1)( +18 ) 6 3 36 6 3 6 = = = 3( 3 1) . Como o
ngulo oposto 2 2 2
ao lado AC obtuso, ele o maior lado. Logo AC = 3( 3 + 1). Logo a
soma pedida AC + BC ser o valorA C +C = + ( B 6 3 3 + ) ( 2,7 ) +
=4 ,2. 1 3 3 6 1
6) Calcule o valor de cos x no tringulo da figura. Soluo.
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
3R 2 2 2 2 2 = R + R 2( R )( R ) cos x 9 R = 8 R 8( R ) cos x 2
1 R 2 = 8( R 2 ) cos x cos x = 8
2
7) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapzio como
na figura. As bases WZ e XY do trapzio medem 9,4 km e 5,7 km,
respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Se o ngulo XYZ o dobro
do ngulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica margem do rio :
(A) 7,5. (B) 5,7. (C) 4,7. (D) 4,3. (E) 3,7. Soluo. Traando uma
paralela ao lado WX, construmos um tringulo issceles com os dois
ngulos iguais a b. Logo, o lado YZ possui a mesma medida de 3,7km
do outro lado.
8) Dois edifcios, X e Y, esto um em frente ao outro, num terreno
plano. Um observador, no p do edifcio X (ponto P), mede um ngulo em
relao ao topo do edifcio Y (ponto Q). Depois disso, no topo do
edifcio X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retngulo e QT
seja perpendicular a PT, esse observador mede um ngulo em relao ao
ponto Q no edifcio Y. Sabendo que a altura do edifcio X 10 m e que
3 tg = 4 tg , a altura h do edifcio Y, em metros, : (A)40/3 (B)50/4
(C) 30. (D) 40. (E) 50. 3tg = 4tg, temos: Soluo. Observando os
tringulos QPT e QRS, calculamos as tangentes de e :
tg =
QT QS h 10 h = = e tg = . Como PT PT RS PTh h 10 = 4. PT PT 3h =
4h 40 h = 40 m 3.
9) Calcule a rea do tringulo. Soluo. A rea do tringulo dada pelo
metade do produto da base pela altura: A =
b.h . A base x pode ser calculada 2
7 2 = 5 2 + x 2 2(5)( x) cos 60
pela lei dos cossenos:
1 49 = 25 + x 2 10 x x 2 5 x + 24 = 0 2 ( x 8)( x + 3) = 0 x =
8( positiva ) 3 (8).( 5). 2 40 3 = A= = 10 3 17 2 4
h Como = sen60 h = 5sen60 , a rea do tringulo ser: 5