Legami momento-curvatura e duttilit di strutture in
Legami momento-curvatura e duttilit di strutture in
calcestruzzo armato con barre inox
Prof. N. Scibilia*, Ing. G. Campione**, Ing. M. Sacco***
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Universit
di Palermo
*Professore associato di Tecnica delle Costruzioni
**Ricercatore di Tecnica delle Costruzioni
***Dottorando di Ricerca in Ingegneria delle Strutture
1. Introduzione
Uno dei problemi di attualit nel campo della progettazione,
realizzazione e manutenzione delle costruzioni in calcestruzzo
armato riguarda la durabilit di unopera in relazione al periodo di
vita utile previsto. Per garantire tale requisito necessario
rispettare precise regole progettuali e di calcolo, in accordo con
i pi recenti codici normativi, in aggiunta ad una buona esecuzione
del manufatto e ad una dettagliata conoscenza della tecnologia del
calcestruzzo.
Come ben noto, una delle maggiori cause di degrado delle opere
in cemento armato la corrosione delle armature, sia per la
riduzione delle aree di acciaio che ne deriva, che per i processi
di danneggiamento del calcestruzzo stesso.
Le soluzioni correntemente proposte per aumentare la resistenza
alla corrosione delle armature sono, oltre alla previsione di
adeguato ricoprimento in relazione alle condizioni ambientali, luso
di rivestimenti protettivi, di barre in acciaio zincato o in
acciaio inox ed, ancora, di barre in materiale polimerico (fibre di
vetro o di carbonio).
Appare evidente che limpiego di tali soluzioni aumenta
sensibilmente il costo iniziale della struttura, ma tale incremento
pu risultare accettabile rispetto a quello costo totale, se viene
riguardato in funzione della vita utile dellopera (inglobando cio
anche i costi degli interventi di manutenzione).
Nel seguito si focalizza lattenzione sul comportamento delle
strutture in calcestruzzo armato con barre di acciaio inox,
evidenziando alcune problematiche significative e confrontandole
con quelle relative allimpiego di acciaio al carbonio.
2. Comportamento sperimentale e modelli analitici per lacciaio
darmatura
Lacciaio al carbonio ad aderenza migliorata, se sottoposto a
prova quasi statica di trazione, presenta comportamento iniziale
del tipo elastico lineare con rigidezza pari al modulo Es = 206000
MPa, seguito dallo snervamento in corrispondenza della tensione fy
e da una fase plastica (il materiale scorre a tensione praticamente
costante o lievemente crescente) che si manifesta con una diversa
caratterizzazione a seconda del tipo di acciaio.
Per gli acciai laminati a caldo (hot-treated), dopo lo
snervamento, si manifesta un ramo sub-orizzontale (plateau) seguito
da una successiva fase di incrudimento fino al raggiungimento della
tensione massima fu in corrispondenza della deformazione uniforme
s,u. Successivamente si manifesta la strizione della barra con
apparente riduzione della tensione fino alla rottura. Negli acciai
trafilati a freddo (cold-worked) ed in quelli legati (inox), lo
snervamento non pronunziato e, pertanto, si fa riferimento alla
tensione cui allo scarico corrisponde una deformazione residua
dello 0.2%.
e
s,y
e
s,h
e
s,u
f
y
f
u
1
-
Laminato a caldo
2
-
Trafilato a freddo
e
s,5
f
s
2
1
e
s,0.2
e
Figura 1 Legami tensione-deformazione per acciaio da cemento
armato
Per barre in acciaio legato o lavorate a freddo (cold-worked) un
modello in grado di cogliere gli aspetti salienti del comportamento
quello di Ramberg e Osgood avente il seguente legame
tensione-deformazione in trazione:
n
s
B
E
+
=
s
s
e
(1)
con
-
=
y
u
s
y
u
,
s
f
f
ln
002
.
0
E
f
ln
n
e
e
=
n
1
y
002
.
0
f
B
(2)
Per barre in acciaio al carbonio o laminate a caldo invece, il
legame elasto-plastico incrudente rilevato sperimentalmente viene
bene interpretato dalle seguenti leggi:
e
s
=
s
E
per < y(3)
y
f
=
s
per y ( ( sh(4)
(
)
-
-
+
=
-
k
y
u
y
sh
1
f
f
f
e
e
e
s
per sh ( ( su(5)
essendo
16
.
0
028
.
0
k
sh
su
sh
-
-
=
e
e
e
(6)
Indipendentemente dalle diverse trattazioni teoriche e dalla
forma che assumono i legami rappresentativi, sia nel caso di
acciaio trattato a freddo che laminato a caldo, i parametri
sperimentali atti a caratterizzare il tipo di legame costitutivo
sono in entrambi i casi, il modulo di elasticit iniziale Es, la
tensione di snervamento fy, quella di rottura fu e la deformazione
uniforme s,u.
Per la modellazione analitica del legame costitutivo il modello
pi adottato (D.M. 01/06/96) quello elasto-plastico mostrato in
Figura 2, per la cui definizione necessaria la conoscenza della
tensione di snervamento fy e della deformazione uniforme s,u.
e
s,y
e
s,u
f
y
elasto
-
plastico
elastico
-
incrudente
E
s
f
u
s
E
s
/100
e
Figura 2 Legami idealizzati per barre al carbonio
Unalternativa, mostrata sempre in Figura 2, rappresentata dal
legame elasto-plastico incrudente, che contrariamente al precedente
caso, tiene conto della ripresa di resistenza al di l dello
snervamento (incrudimento), manifestatesi con un valore del modulo
pari a circa Es/100.
Poich la valutazione della deformazione ultima profondamente
influenzata dal fenomeno della strizione, pi appropriato, oltre a
valutare la deformazione a rottura con riferimento ad una base di
misura di cinque diametri, come si fa nella maggior parte dei casi,
(tale deformazione indicata con il simbolo s,5), considerare anche
le deformazioni s,10 sulla base di dieci diametri a cavallo della
mezzeria della barra.
La valutazione delle deformazioni s,5 e s,10 contemplata sia dal
Model Code 90 che dallEurocodice 2. Poich allaumentare della base
di misura leffetto della strizione si distribuisce sempre di pi,
risulta s,5s,10s,u.
Un'altra importante propriet dellacciaio la duttilit intesa come
la capacit del materiale di subire elevate deformazioni con ridotte
perdite di resistenza sia sotto lazione di carichi monotonici che
ciclici.
A tal proposito risulta interessante la classificazione
dellacciaio con riferimento alla deformazione ultima s,u e al
rapporto fu / fy. Il Model Code 90 definisce le tre classi B, A, S
dotate di duttilit crescente e consiglia luso di acciaio tipo S in
zona sismica con la limitazione che il rapporto tra la tensione di
rottura e quella di snervamento non superi il valore di 1.3. In
Tabella 1 si forniscono i valori minimi suggeriti per garantire i
requisiti di duttilit dellacciaio.
LEurocodice 2 prevede, invece, due diverse categorie di acciaio
da cemento armato denominate rispettivamente ad alta duttilit (HD)
ed a normale duttilit (ND) le cui propriet vengono riportate in
Tabella 2. Restrizioni maggiori sono invece previste (come
evidenziato sempre in Tabella 2 relativamente alle classi DC-M DC-H
rispettivamente di media ed alta duttilit) dallEurocodice 8 per
costruzioni in cemento armato in zona sismica.
Tabella 1 Valori minimi di rapporti di resistenza e di
deformazione ultima secondo Model Code 90
CEB Model Code 90
Classe B
Classe A
Classe S
s,u
(2.5%
(5%
(6%
fu/fy
(1.05
(1.08
(1.15
Tabella 2 Valori minimi di rapporti di resistenza e di
deformazione ultima secondo EC2, EC8
Eurocodice 2
Eurocodice 8
ND
HD
DC-M
DC-H
s,u
(2.5%
(5%
(6%
(9%
fu/fy
(1.05
(1.08
(1.15
(1.20
Fermo restando quanto detto fino ad ora, occorre sottolineare
che unelevata duttilit del materiale non corrisponde sicuramente ad
unelevata duttilit della struttura, in quanto nel cemento armato
intervengono altri fenomeni legati al comportamento della sezione o
dellelemento strutturale e problemi specifici come linfragilimento
per azione tagliante o la perdita di aderenza in presenza di
insufficienti ancoraggi che possono penalizzare la duttilit.
La duttilit pu essere valutata anche mediante un parametro
definito parametro di acciaio equivalente, p,(Cosenza et al.,
1993), che rappresenta una misura della duttilit del materiale in
relazione alla struttura:
9
.
0
y
u
75
.
0
u
,
s
1
f
f
p
-
=
e
(7)
Valori del parametro p compresi fra 0.01 e 0.02 indicano secondo
Cosenza et al. (1993) buone caratteristiche di duttilit,
assicurando rotazioni plastiche fra 0.02 e 0.035.
3. Acciai al carbonio e inox: propriet, confronti e
normativa
Lacciaio da cemento armato ad aderenza migliorata, viene fornito
in barre, rotoli od in forma di reti elettrosaldate. Le barre hanno
diametri ammessi compresi tra 5 e 30 mm, mentre limpiego dei rotoli
ammesso per diametri ( < 12 mm.
Per laccertamento delle propriet meccaniche le norme di
riferimento sono le EN 10002/1 del marzo 1990, e le UNI 6407 del
marzo 1969.
In particolare si distinguono acciai formati a freddo (in barre
o in rotoli), e laminati a caldo. Per gli acciai formati a freddo
le propriet meccaniche vanno determinate su provette tenute per 30(
a 250C e successivamente raffreddate in aria. Per gli acciai
laminati a caldo tali prove vanno eseguite a temperatura ambiente.
Per gli acciai per i quali non facilmente identificabile il limite
di snervamento tale valore si assume pari alla tensione f(0.2),
corrispondente al valore per cui allo scarico permane una
deformazione residua dello 0.2%.
Le propriet meccaniche costituite dalla tensione di snervamento
fy, e di rottura fu e dallallungamento a rottura A5 (valutato su
una base di misura di 5 diametri) sono da intendersi come valori
caratteristici minimi (cio tali che esista una probabilit del 95%
che tali valori siano superati durante le prove) e, secondo le
norme, risultano quelli forniti in Tabella 3.
Tabella 3 Propriet meccaniche di barre ad aderenza migliorata
del tipo FeB 38K e Fe B 44K.
Tipo di acciaio
FeB 38K
FeB 44k
Tensione caratteristica di snervamento. fyk N/mm2
(375
(430
Tensione caratteristica di rottura... fuk N/mm2
(450
(540
Allungamento.A5 %
(14
(12
Si ricorda, inoltre, che per essere considerati conformi secondo
norma, gli acciai devono anche superare le prove di piegamento e
raddrizzamento, non presentando cricche o screpolature.
Le barre inox, le cui propriet meccaniche verranno discusse nel
seguito, vengono fornite in barre con diametri compresi tra 5 e 26
mm ed in rotoli con diametri compresi tra 5 e 12 mm.
Le propriet meccaniche degli acciai inossidabili austenitici
sono diverse da quelle degli acciai al carbonio e dipendono
essenzialmente dal tipo di struttura metallografica che ne pu fare
variare il modulo elastico da 160000 MPa a 210000 MPa. Come
rilevato da Siviero et al. (2002) anche lallungamento uniforme
influenzato dal particolare tipo di struttura e dal tipo di
trattamento subito dallacciaio inox ed in modo predominante dal
diametro della barra. Ad esempio, per barre di produzione italiana
lallungamento uniforme per diametri compresi tra 5 e 12 mm varia
tra il 2.5 ed il 5%, mentre per diametri compresi tra 16 e 26 mm
raggiunge valori maggiori del 10%.
In genere, il valore della tensione di snervamento risulta
superiore rispetto a quello delle barre tradizionali, come
superiore risulta anche la tensione a rottura, poich tali acciai
sono particolarmente sensibili al fenomeno dellincrudimento, con
valori medi fino a 600 MPa per barre a caldo e 1000 MPa per barre a
freddo, sempre con valori di allungamento a rottura
accettabili.
Recenti studi (Siviero et al, 2002) hanno messo in luce le
differenze in termini di duttilit rotazionale di sezioni inflesse
(intesa come rapporto tra curvatura nelle condizioni di collasso ed
al primo snervamento) al variare della percentuale di armatura
calcolata sia per acciai al carbonio che del tipo inox.
Comunque, la caratteristica pi vantaggiosa che gli acciai inox
presentano rispetto agli acciai tradizionali, rimane indubbiamente
una migliore resistenza al fuoco ed una minore sensibilit
allossidazione, che non produce fenomeni di rigonfiamento, e in
virt del contenuto processo di corrosione cui soggetto lacciaio
inox, esso consente la riduzione degli spessori del calcestruzzo di
ricoprimento.
Tabella 4 Propriet meccaniche di reti e tralicci
Tensione caratteristica di snervamento... fyk (ovvero f(0.2)k
N/mm2
(390
Tensione caratteristica di rottura..... fuk N/mm2
(440
Allungamento...A10 %
(8
Rapporto fuk/fyk..
(1.1
Rapporto dei diametri dei fili dellordito..
(0.60
Con riferimento alle nuove costruzioni, limpiego dellacciaio
inox ammesso anche dalla normativa italiana, purch esso sia
equiparabile come propriet meccaniche allacciaio del tipo FeB
44k.
Con riferimento alle reti ed ai tralicci di acciaio
elettrosaldato con diametro compreso tra 5 e 12 mm si devono
soddisfare, secondo il D.M. 09/01/96 i requisiti minimi forniti in
Tabella 4, oltre che alcune prescrizioni circa la resistenza dei
nodi e il rispetto di limiti geometrici.
4. Prove sperimentali su barre di acciaio inox
Vengono presentati i risultati di prove di trazione su acciaio
in barre inox austenitico AISI 316 e si confrontano i risultati
sperimentali con le curve tensione-deformazione relative alle barre
al carbonio FeB 44k. Le barre inox provate sono in numero di tre
nei diametri 8, 12 e 16 mm e provengono per ogni diametro da una
stessa colata. In Figura 3 si mostra la foto delle barre provate
prodotte dalla Cogne e fornite dalla ditta Sud Ferro di
Palermo.
Figura 3 Barre inox fornite dalla Cogne tipo AISI 316
.
Figura 4 Prova di trazione con estensimetro
Per le prove di trazione si impiegata una macchina universale
Galdabini da 60 tonn. operante in controllo di spostamento,
inserendo la barra strumentata con trasduttore induttivo tra i
morsetti della macchina, e collegando la cella di carico da 150 kN,
ed il trasduttore ad una centrale di acquisizione dati
computerizzata (Figura 4) stato possibile rilevare in modo continuo
ed automatico le curve carico-allungamento.
Due barre per ogni diametro provato sono state ricavate da
ununica barra ed hanno lunghezza totale, secondo normativa, pari a
15 + 2 L essendo il diametro della barra ed L la zona in cui viene
misurata la deformazione dopo la rottura.
In Tabella 5 si riportano i valori, ricavati come media fra
quelli ottenuti dai due campioni, della tensione allo 0.2% assunta
come tensione di snervamento convenzionale, della tensione di
rottura ed il valore dellallungamento a rottura, assunto pari ad A5
per gli acciai laminati e ad A10 per quelli, come prescritto dalla
vigenti norme.
Tabella 5 Valori medi di resistenza e deformazione
Tipo acciaio
(mm)
fy
(MPa)
fu
(MPa)
A5
(%)
A10
(%)
Carbonio
8
622
737
/
13.00
Carbonio
16
490
614
23
/
Inox
8
834
913
/
10.90
Inox
12
785
898
/
10.88
Inox
16
546
742
44
/
In Figura 5 si riportano le curve tensione-deformazione di barre
da 16 mm e da 8 mm sottoposte alla prova di trazione per lacciaio
al carbonio ed inox.
0
200
400
600
800
1000
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
e
(%)
s
(MPa)
f
16
f
8
f
16
f
8
carbonio
inox
Figura 5 - Legami costitutivi ricavati sperimentalmente per
lacciaio al carbonio FeB 44k ed inox.
5. Metodi di verifica regolamentari delle sezioni
Ladozione di barre in acciaio inox nelle strutture in cemento
armato, verificate secondo il metodo delle tensioni ammissibili,
consentito dal D.M. 09/01/96, non dovrebbe comportare particolari
problemi. Assimilando gli acciai AISI 304 e 316 allacciaio al
carbonio FeB 44k, dovrebbero utilizzarsi barre ad aderenza
migliorata aventi diametro tra 5 e 26 mm. I suddetti acciai inox
soddisfano le limitazioni regolamentari sui valori delle tensioni
caratteristiche di snervamento e di rottura, nonch di allungamento
su 5 diametri.
Le differenze tra i due acciai riguardano:
il valore del modulo di elasticit longitudinale che, per
lacciaio inox pu assumersi compreso tra 190 e 200 kN/mm2, mentre
per lacciaio al carbonio pari a 206 kN/mm2;
il coefficiente di dilatazione termica che per lacciaio inox
pari a 1.610-5 C-1, mentre per lacciaio al carbonio pari a 110-5
C-1, pari a quello del calcestruzzo.
La prima differenza si ripercuoterebbe sul coefficiente di
omogeneizzazione n dipendente dal rapporto tra i moduli elastici
dellacciaio e del calcestruzzo. Essendo questultimo legato alla
resistenza caratteristica del calcestruzzo e dipendente dalla sua
viscosit, le norme prescrivono di fare riferimento ad un valore
convenzionale di 15, sul quale non si ritiene che la variazione di
Ea abbia incidenza effettiva.
La differenza tra il coefficiente di variazione termica
dellacciaio inox ed il calcestruzzo determina, in caso di
variazioni termiche uniformi, un regime di autotensioni assenti in
presenza di armatura al carbonio.
Con riferimento ad una trave di lunghezza L sottoposta ad una
variazione termica uniforme T > 0, in assenza di aderenza tra i
due materiali, si determinerebbe una variazione di lunghezza L = L
T. In virt delladerenza, nascono tensioni tangenziali tali da
indurre accorciamento nellacciaio e trazione nel calcestruzzo,
analogamente a quanto avviene a causa del ritiro.
Considerando la variazione termica regolamentare di 25, L =
0.610-5 L 25 = 0.15x10-3.
Con riferimento ai valori regolamentari dei coefficienti di
contrazione cs per il ritiro, si osserva che gli effetti indotti
dalle autotensioni sono valutabili in unaliquota compresa tra il
70% ed il 35% di quelli prodotti dal ritiro, rispettivamente in
condizioni ottimali ed avverse di stagionatura.
Pertanto, sarebbe prudenziale incrementare i coefficienti di
contrazione cs dei suddetti valori percentuali in relazione
allumidit relativa dellambiente di stagionatura ed alla dimensione
fittizia della sezione. Lincremento del coefficiente cs pu
determinare, per T > 0, una maggiore ampiezza della fessurazione
del calcestruzzo indotta dal ritiro , la quale non ha ripercussioni
sulla resistenza della struttura , valutata nellipotesi che il
calcestruzzo on resista a trazione, n sulla sua durabilit grazie
allinsensibilit delle barre inox alla corrosione.
La verifica allo stato limite ultimo delle sezioni
pressoinflesse potrebbe condursi sulla base delle procedure
adottate per la verifica delle sezioni con armature al carbonio,
tenendo opportunamente conto della tensione di snervamento che si
ripercuote sulla posizione della retta di separazione dei campi di
rottura 3 e 4. Tuttavia, per cogliere con efficacia linfluenza
delladozione di tali nuovi acciai sulla sicurezza strutturale, si
ritenuto opportuno affrontare unanalisi non lineare di strutture in
calcestruzzo armato con barre inox.
Considerando le variazioni = 0.6 10-5 C-1 e rispettivamente fra
i coefficienti di dilatazione termica dellacciaio inox e del
calcestruzzo e di temperatura, si ottiene (T = 1.5(10-4 e
considerando per lacciaio un modulo elastico pari a Ea = 200000
MPa, si avr:
m
+
D
a
D
m
=
s
n
1
T
200000
c
[MPa]
m
+
D
a
D
=
s
n
1
T
200000
a
[MPa]
A titolo desempio, per una sezione rettangolare, con armatura
doppia e simmetrica, nella seguente tabella vengono riportati i
valori delle tensioni che si ottengono utilizzando le formule
summenzionate, al variare della percentuale di armatura (da 0.5% al
4%).
c [MPa]
a [MPa]
0.5%
0.14
28
2%
0.46
23
4%
0.75
19
Nella condizione pi sfavorevole per un pilastro con barre inox e
una percentuale di armatura pari a = 0.3%, sempre per (T =
1.5(10-4, si avrebbe:
MPa
10
6
.
8
10
3
.
0
15
1
10
5
.
1
10
3
.
0
200000
2
2
4
2
c
-
-
-
-
=
+
=
s
MPa
29
10
3
.
0
15
1
10
5
.
1
200000
2
4
c
=
+
=
s
-
-
Per = 2%, si ottiene:
MPa
46
.
0
10
2
15
1
10
5
.
1
10
2
200000
2
4
2
c
=
+
=
s
-
-
-
MPa
23
10
2
15
1
10
5
.
1
200000
2
4
a
=
+
=
s
-
-
Facendo riferimento ad una sezione armata con Af = Af = 1% ( =
2%), si determina una forza di trazione nel calcestruzzo e di
compressione nellacciaio (c = - 0.46 MPa; a = 23 MPa).
6. Necessit del calcolo non lineare per la valutazione della
sicurezza strutturale
Negli ultimi anni nellambito della progettazione antisismica si
affermata la tendenza, recepita da numerosi codici normativi, a
permettere alle strutture il superamento della fase elastica,
consentendo agli elementi strutturali ampie deformazioni in campo
plastico.
Lo studio del comportamento strutturale oltre il limite
elastico, finalizzato a valutare gli effettivi coefficienti di
sicurezza nei confronti del crollo, ha orientato la ricerca verso
lanalisi limite, in opposizione al calcolo lineare che rinuncia a
tale valutazione, accontentandosi di verificare che non vengano
superate le tensioni ammissibili.
Unanalisi corretta dovrebbe tener conto il pi fedelmente
possibile, di quei fenomeni che, comunque presenti anche per bassi
valori di sollecitazione, contribuiscono ad allontanare il
comportamento delle strutture da quello elastico, quali le non
linearit geometriche (effetti del secondo ordine caratteristici
delle strutture snelle) e le non linearit meccaniche (legami
costitutivi, fessurazione ed effetti viscosi) e, in fase plastica,
di quei fenomeni che avvengono dopo lo snervamento dellacciaio o la
plasticizzazione del calcestruzzo, quali il degrado progressivo
della resistenza e della rigidezza.
Da ci, risulta palese che una pi affidabile definizione del
livello di sicurezza deve necessariamente considerare leffettivo
comportamento strutturale basato sulla conoscenza dei veri legami
costitutivi dei materiali tramite unanalisi non lineare.
Uno studio non lineare richiede una doppia verifica: sulla
resistenza e sulla deformazione, controllando che le azioni di
calcolo Sd siano minori delle resistenze di calcolo Rd:
Sd < Rd (8)
e, nel contempo, che le deformazioni derivanti dalle azioni
esterne r (deformabilit richiesta) siano minori di quelle ultime
della struttura d (deformabilit disponibile):
r < d.(9)
Dividendo i valori delle deformazioni ultime per quelle al
limite elastico, si ottengono le duttilit ultime disponibili e
quelle richieste e la verifica diventa:
r < d.(10)
Riferendosi alla verifica sulle deformazioni ultime si parla di
progettazione basata sulla duttilit. In particolar modo, la
valutazione dei parametri di duttilit richiede unanalisi che, se
riferita al materiale va fatta in termini di deformazione, se
riferita alle sezioni pressoinflesse, si basa sul tracciamento dei
diagrammi momento-curvatura ed, infine, per linsieme strutturale
richiede unanalisi completa passo passo in modo da ottenere un
diagramma carico-spostamento.
7. Relazioni momento-curvatura
Per una sezione semplicemente inflessa, il diagramma momento
curvatura lineare nel tratto iniziale e la relazione tra il momento
M e la curvatura data dalla classica equazione elastica M = EI(,
dove EI la rigidezza a flessione della sezione. Con lincremento del
momento, la fessurazione del conglomerato riduce la rigidezza
flessionale e conseguentemente la pendenza del diagramma, fino allo
snervamento dellacciaio. Quando lacciaio si snerva, si nota un
elevato incremento di curvatura a momento flettente pressoch
costante. In sezioni fortemente armate lo snervamento dellacciaio
preceduto da elevate deformazioni anelastiche del calcestruzzo ed
il cedimento fragile, tranne nel caso in cui il nucleo non sia
confinato da adeguata staffatura.
Per assicurare un comportamento duttile, vengono usate per le
travi quantit di acciaio minori di quelle corrispondenti ad una
rottura bilanciata, in cui la crisi provocata contemporaneamente
dallo schiacciamento del calcestruzzo e dallo snervamento
dellacciaio teso.
La relazione momento-curvatura in cui lacciaio teso giunge a
snervamento pu essere idealizzata con una trilatera (Figura
6a).
sufficientemente accurato idealizzare la curva con una bilatera
(Figura 6b). Infatti, lidealizzazione trilineare meglio rappresenta
leffettivo comportamento della sezione nel suo primo caricamento,
ma, una volta che la fessurazione si stabilizzata, la relazione M(
approssimativamente lineare fino allinizio dello snervamento.
Dunque, le relazioni bilineari sono idonee a rappresentare travi gi
fessurate.
Figura 6 - Idealizzazioni della relazione momento-curvatura
trilineare (a) e bilineare (b).
Qualora la sezione sia soggetta a sforzo normale eccentrico, il
legame momento-curvatura dipende soprattutto dal valore dello
sforzo normale. Allaumentare di tale valore le sollecitazioni di
compressione si incrementano, comportando un maggiore
coinvolgimento del calcestruzzo nel processo di rottura, fino a
quando il cedimento non avviene per schiacciamento del materiale,
con lacciaio tanto pi lontano dalla sua deformazione ultima quanto
pi elevata lintensit delle sollecitazioni di compressione.
Per sezioni che non hanno un comportamento fragile pu definirsi
una duttilit disponibile di rotazione uy, immediatamente ricavabile
dal diagramma momento-curvatura che possibile ricavare sulla base
dei soli legami costitutivi dei materiali.
Assegnato lo sforzo normale N, per la determinazione del
diagramma M(, si fissa la deformazione cm nella fibra estrema del
calcestruzzo compresso e per lipotesi di conservazione delle
sezioni piane, si ricava la posizione dellasse neutro kd (con d
altezza utile della sezione) che definisce il diagramma delle
deformazioni, cui corrisponde, attraverso i legami costitutivi, il
diagramma delle tensioni in equilibrio con lo sforzo normale.
Le equazioni di equilibrio risultano:
(11)
(12)
Per ogni valore di viene ricavata la profondit dellasse neutro
per tentativi in modo da soddisfare lequilibrio alla traslazione.
Ricavando, poi, il momento dalla (12), si ottiene un punto della
curva M(. Procedendo cos per valori crescenti di si ottiene il
diagramma completo.
Con riferimento alla Figura 7, la sezione viene divisa in un
determinato numero di strisce parallele alla direzione dellasse
neutro con altezza dipendente dalla precisione desiderata. Un
sistema di riferimento viene posto nel baricentro geometrico della
sezione, cosicch le strisce avranno quote positive o negative a
seconda che si trovino al di sopra o al di sotto del fissato asse x
.
Figura 7 - Divisione della sezione in strisce
Detta H laltezza della sezione ed n il numero delle strisce in
cui si divisa la sezione, laltezza di ogni striscia sar H/n. Gli
elementi alle quote (nd/H) e (-nd/H) rappresentano le armature
superiori e inferiori.
Se la deformazione per la fibra estrema di calcestruzzo cm e se
si indica con kd la posizione dellasse neutro, la generica
deformazione dellelemento i sar:
(
)
(
)
[
]
kd
n
H
5
.
0
n
H
i
kd
cm
i
+
=
(13)
Supponendo costante la tensione in ciascuna striscia, gli sforzi
nel calcestruzzo e nellacciaio sono ricavati dalle leggi
costitutive considerando la deformazione media della striscia. E
ricavando le forze, le equazioni di equilibrio permettono di
trovare iterativamente i diversi valori dei momenti, mentre il
campo di variabilit delle curvature si ricava direttamente dalle
deformazioni imposte come:
d
r
/
1
f
cm
e
e
c
+
=
=
14)
Tale procedura ha lunico svantaggio di essere lenta nel calcolo
delle tensioni corrispondenti a cm, poich per un solo valore della
deformazione il procedimento che fornisce le tensioni dalla legge
costitutiva deve essere ripetuto per tutte le strisce. Tale
modello, per, ha il vantaggio di potere tenere conto dei legami
ciclici dei materiali e di definire lampiezza delle cerniere
plastiche.
8. Duttilit di sezioni in c.a.
Nella progettazione sismica, la duttilit di una sezione inflessa
generalmente espressa come rapporto tra la curvatura ultima e la
curvatura di primo snervamento. Per una trave doppiamente armata
nel caso in cui lacciaio teso sia giunto a snervamento prima del
cedimento del calcestruzzo. La curvatura y al limite dello
snervamento pu essere ricavata dalla (6) o dalla relazione:
y = cm / kd = f / (1 k)d.
Trovata la profondit dellasse neutro, si determina lintensit
degli sforzi nellacciaio e nel calcestruzzo.
Figura 8 - Sezione doppiamente armata nella condizione di
snervamento: deformazioni (a) e tensioni (b).
Per il calcolo della curvatura ultima si faccia riferimento alla
Figura 9, in cui chiarito anche il significato di alcuni
simboli.
Figura 9 - Sezione nella condizione ultima: deformazioni (a) e
schematizzazione delle tensioni effettive (b).
Curvatura e momento ultimo possono essere trovati dalle seguenti
equazioni:
c
y
f
y
f
f
b
85
.
0
f
'
A
f
A
a
-
=
(15)
(
)
(
)
M
ab
f
d
a
A
f
d
d
u
c
f
y
=
-
+
-
0
85
2
.
/
'
'
(16)
a
/
c
/
c
c
u
b
e
e
c
=
=
(17)
Il rapporto che fornisce la duttilit u/y, che, in forma
esplicita, esprimendo u tramite la (10) e ricavando y tramite la
(7), fornisce:
(
)
(
)
b
e
e
b
e
c
c
/
a
k
1
d
E
/
f
k
1
d
/
a
f
y
c
f
c
y
u
-
=
-
=
(18)
Da questa espressione si rileva che:
un incremento dellacciaio teso provoca un decremento della
duttilit, poich k e a aumentano, la y aumenta e la u
diminuisce;
un incremento dellacciaio compresso provoca un incremento della
duttilit, perch k e a diminuiscono, la y diminuisce e la u
aumenta;
un incremento di fy provoca un decremento della duttilit, poich
fy e a diminuiscono, y diminuisce e u aumenta;
una resistenza maggiore del calcestruzzo fc contribuisce,
invece, ad incrementare la duttilit, poich k e a diminuiscono, y
diminuisce e u aumenta;
un incremento, infine, della deformabilit nella fibra estrema di
calcestruzzo allo stato ultimo incrementa la duttilit, poich u
aumenta.
Nelle sezioni pressoinflesse, il carico assiale influenza la
curvatura; pertanto, la sezione di un pilastro, a differenza della
trave, non pu essere caratterizzata da una sola curva M-
Linfluenza dello sforzo normale sulla duttilit rappresentata dai
domini di resistenza Nu-Mu e dalle curve Nu-o, in alternativa, dai
corrispondenti diagrammi adimensionalizzati (Nu/No)-(Mu/bd2fc) e
(Nu/No)-ud, in cui No (=fcbd) rappresenta il carico assiale
sopportabile dalla sezione in assenza di flessione.
Figura 10 - Diagrammi di interazione carico assiale( momento (a)
e carico assiale( curvatura (b).
Con riferimento alla Figura 10, si vede che i diagrammi Nu-Mu
sono caratterizzati da un tratto AB che rappresenta la rottura per
schiacciamento del calcestruzzo, prima che lacciaio teso abbia
potuto snervarsi e da un ramo BC nel quale, invece, si ha prima lo
snervamento dellarmatura; la curva (2), rappresenta, invece, lo
snervamento e manca pertanto della parte superiore del dominio,
poich dal punto B in poi il calcestruzzo giunge alla sua
deformazione limite prima che lacciaio possa giungere allo
snervamento.
evidente, dunque che un comportamento duttile in pressoflessione
si pu avere se il livello dello sforzo normale inferiore a NuB,
corrispondente al punto B per il quale si ha la rottura bilanciata
della sezione, vale a dire il collasso per contemporaneo
schiacciamento del calcestruzzo e snervamento dellarmatura a
trazione. In Figura 10a i tratti BC e BD sono molto ravvicinati a
testimoniare che, dopo lo snervamento dellacciaio teso, gli
incrementi di momento fino alla rottura, a parit di sforzo normale,
sono estremamente modesti per un comportamento
elastico-perfettamente plastico dellacciaio.
In Figura 10b si vede linfluenza dello sforzo normale sulle
curvature a rottura e allo snervamento. Nel diagramma (Nu/No)-d,
dopo il punto di rottura bilanciata, le due curve rimangono
separate e indicano la quantit di deformazione flettente anelastica
allo snervamento e a rottura. Il rapporto u/y, ottenuto da queste
due curve pu mostrare, ancora meglio, come varia la duttilit in
funzione di N/No.
Negli elementi pressoinflessi, in cui lo sforzo normale
significativo, come nei pilastri di primo piano, la rottura avviene
per schiacciamento del calcestruzzo; pertanto, non si sfruttano le
risorse di duttilit dellacciaio. Al fine di migliorare la risposta
strutturale (portare pi in alto il punto B), si pu intervenire
incrementando le prestazioni del calcestruzzo attraverso un
adeguato confinamento. Allo scopo si pu prevedere unarmatura
trasversale in forma di staffe circolari o rettangolari o di
spirali, in modo da confinare il calcestruzzo compresso, per
ottenere il duplice scopo di incrementare sia la duttilit sia lo
sforzo massimo sopportabile in compressione.
Un buon confinamento del nucleo necessario per dare al pilastro
unadeguata capacit rotazionale plastica al fine di mantenere lo
sforzo flessionale anche alle pi elevate curvature.
Diversi modelli analitici sono stati formulati per riprodurre il
legame costitutivo del calcestruzzo confinato (Kent e Park, 1971).
Uno tra i pi recenti quello di Mander (Mander et al., 1988(a)), il
quale riesce ad interpretare con buona approssimazione gli effetti
del confinamento sul comportamento in compressione di calcestruzzi
di normale resistenza. In particolare, il modello consente con
ununica espressione analitica di tenere conto dellincremento della
tensione di picco e della corrispondente deformazione nel caso di
elementi con sezione trasversale sia circolare che quadrata o
rettangolare, riferendosi ad una dettagliata definizione del nucleo
confinato che consente di valutare la pressione di confinamento in
maniera appropriata. Per questo motivo il modello quasi interamente
recepito dallEC8. Di seguito il legame di Mander stato usato per
ricavare la legge del calcestruzzo confinato a partire da quello
non confinato.
9. Modellazione delle leggi costitutive
Oltre alla suddivisione della sezione in strisce, la
modellazione ha richiesto la conoscenza delle leggi costitutive dei
materiali usati, includendo lo snervamento dellacciaio, la
deformazione incrudente, la fessurazione e la perdita di capacit
portante del calcestruzzo. Per non appesantire lonere
computazionale si ritenuto opportuno trascurare la presenza del
copriferro, dopo aver verificato che non viene commesso un
sensibile errore.
Le leggi costitutive dei materiali vengono modellate tramite
tratti lineari individuati dai valori delle deformazioni e delle
corrispondenti tensioni in alcuni punti rappresentativi della legge
stessa. I punti rappresentativi sono quelli che meglio consentono
di approssimare il reale comportamento dei materiali.
Per lacciaio FeB 44k sono stati sufficienti due soli punti:
1. il punto A (AA) ( (y , fy) individuato dalla tensione di
snervamento e dalla deformazione ad essa corrispondente;
2. il punto B (BB) ( (fu , fu) corrispondente alla deformazione
ultima dellacciaio e capace di tenere conto dellincrudimento del
materiale.
Figura 11 - Legge costitutiva assunta per lacciaio FeB 44k nella
modellazione con il DRAIN.
Per lacciaio inox si sono, invece presi in considerazione 4
punti:
1. il punto A (AA) che tiene conto del modulo elastico;
2. il punto B (BB) ( (fy(0.2) , fy(0.2)) corrispondente alla
tensione convenzionale assunta come snervamento e alla
corrispondente deformazione;
3. il punto C (CC) ( (fu , fu) corrispondente al raggiungimento
della tensione massima;
4. il punto D (DD) ( (ft , ft) corrispondente alla deformazione
ultima dellacciaio.
A
B
C
D
1.5
e
(%)
A
B
C
D
1.2
0.9
0.6
0.3
0.0
0.02
0.00
0.04
0.06
0.08
0.10
s
/
f
y
(0.2%)
sperimentale
modellazione
Figura 12 - Legge costitutiva assunta per lacciaio inox AISI 316
nella modellazione con il DRAIN.
Lutilizzo del modello costitutivo di Figura 12a rappresenta con
sufficiente attendibilit la curva ricavata sperimentalmente che
viene riportata in forma adimensionale, insieme alla modellazione
del legame costitutivo assunta per le analisi (Figura 12b).
Per il calcestruzzo, nel tentativo di riprodurre nel modo pi
fedele possibile lestrema variabilit del comportamento del
materiale prima e dopo la tensione di picco, sono stati utilizzati
5 punti che si traducono in una legge costituita da cinque tratti
lineari.
Figura 13 - Legge costitutiva assunta per il calcestruzzo nella
modellazione con il DRAIN
1. Il primo punto A (AA) stato scelto in modo da rispettare il
modulo di Young del calcestruzzo Ec e, quindi, per evitare di
commettere un errore rilevante nelle rigidezze iniziali.
2. Il secondo punto B (BB) ha permesso di non allontanarsi
troppo dalla curva nel tratto prima della tensione di picco,
soprattutto quando questultima abbastanza elevata come nel caso di
alta resistenza o di forte armatura di confinamento.
3. Il punto C (cc) ( (o , fc) rappresenta la tensione di picco e
la sua deformazione.
4. Il punto D (DD) ( (cu , 0.85 fc) corrisponde ad un
abbattimento della tensione di picco del 15 %, in cui si fissata la
deformazione ultima permessa al calcestruzzo.
5. Lultimo punto E (EE ), non essendo pi in alcun modo
rappresentativo, viene fornito con una tensione bassissima (E ( 0,
per simulare la completa perdita di portanza del materiale) e con
una deformazione corrispondente molto prossima alla cu (per
ottenere un tratto pressoch verticale.
Lelemento che viene adottato per modellare sia comportamenti in
sola flessione che in pressoflessione di tipo elasto-plastico a
plasticit diffusa, in grado di tenere conto della diffusione della
plasticit sia allinterno della sezione sia lungo la lunghezza
dellelemento strutturale, tramite la tecnica delle strisce e di
rappresentare correttamente linterazione M-N.
La discretizzazione in strisce della sezione consente di
ricavare i diagrammi M-
Ai fini del presente studio, il confronto fra i due tipi di
acciaio (al carbonio FeB 44k e inossidabile incrudito AISI 316)
stato operato ricavando i diagrammi momento curvatura per una
sezione quadrata in calcestruzzo armato (Rck = 30 MPa), al variare
del rapporto tra le armature compresse e tese ( = Af /Af = 0.25;
0.50; 0.75; 1.0) e dello sforzo normale ( = 0.0; 0.15; 0.25; 0.50).
I legami adottati sono mostrati nelle precedenti Figure 1113 e i
relativi diagrammi momento-curvatura, con i valori tabellati di
curvatura ultima, curvatura a snervamento e duttilit che sono stati
ricavati, vengono riportati in Figura 14, per i quattro diversi
rapporti fra armature compresse e tese che sono stati presi in
considerazione.
(a)
0.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0
2
4
6
8
10
a = 0.25
m=33.0
m=30.6
m=20.7
m=10.4
m=15.6
m=15.3
m=10.7
m=7.5
O
O
O
O
O
*
crisi acciaio
crisi cls
[n=0.50]
[n=0.0]
[n=0.15]
[n=0.25]
FeB 44K
AISI 316
Fe B 44 k
AISI 316
u (mm-1)
y (mm-1)
u (mm-1)
y (mm-1)
= 0.0
3.1610-3
0.9610-4
33.00
3.1610-3
2.0310-4
15.6
= 0.15
3.5210-3
1.200-4
30.60
3.5310-3
2.3110-4
15.3
= 0.25
2.7410-3
1.3010-4
20.76
2.7210-3
2.5010-4
10.8
= 0.50
1.7310-3
1.7010-4
10.36
1.8910-3
2.5010-4
7.5
(b)
0.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0
2
4
6
8
10
a = 0.50
m=32.8
m=30.4
m=24.4
m=11.6
m=15.4
m=15.1
m=12.4
m=5.9
O
O
O
O
O
crisi acciaio
*
crisi cls
[n=0.50]
[n=0.25]
[n=0.15]
[n=0.0]
Fe B 44 k
AISI 316
u (mm-1)
y (mm-1)
u (mm-1)
y (mm-1)
= 0.0
3.0210-3
0.9210-4
32.8
3.0610-3
2.0010-4
15.4
= 0.15
3.4010-3
1.1010-4
30.4
3.3810-3
2.2010-4
15.1
= 0.25
3.0710-3
1.310-4
24.4
3.1110-3
2.5010-4
12.4
= 0.50
1.8410-3
1.610-4
11.6
1.8110-3
2.3110-4
5.9
(c)
0.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0
2
4
6
8
10
a = 0.75
O
crisi acciaio
*
crisi cls
O
*
m=32.8
m=12.8
m=29.3
m=30.2
m=6.6
m=14.6
m=14.8
m=15.5
[n=0.50]
[n=0.25]
[n=0.15]
[n=0.0]
Fe B 44 k
AISI 316
u (mm-1)
y (mm-1)
u (mm-1)
y (mm-1)
= 0.0
3.0210-3
0.9210-4
32.8
3.0310-3
2.0010-4
15.46
= 0.15
3.2910-3
1.1010-4
30.2
3.2510-3
2.1910-4
14.84
= 0.25
3.5210-3
1.2010-4
29.3
3.5010-3
2.4010-4
14.58
= 0.50
1.9910-3
1.6010-4
12.8
1.9710-3
3.0010-4
6.63
(d)
0.00
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
0
2
4
6
8
10
a = 1.0
O
crisi acciaio
*
crisi cls
O
*
m=33.2
m=14.5
m=27.7
m=25.9
m=7.7
m=14.5
m=14.8
m=15.7
[n=0.50]
[n=0.25]
[n=0.15]
[n=0.0]
Fe B 44 k
AISI 316
u (mm-1)
y (mm-1)
u (mm-1)
y (mm-1)
= 0.0
3.0110-3
0.9110-4
33.2
3.0310-3
1.9010-4
15.7
= 0.15
3.1810-3
1.2010-4
25.9
3.1610-3
2.1010-4
14.8
= 0.25
3.4110-3
1.2010-4
27.7
3.3310-3
2.3010-4
14.5
= 0.50
2.1610-3
1.5010-4
14.5
2.2010-3
2.9010-4
7.7
Figura 14 Confronto fra i diagrammi momento curvatura ottenuti
per lacciaio FeB 44k ed inox.
Per operare un confronto sulla duttilit strutturale si prende in
considerazione una mensola di altezza 3.2 m, avente una delle
sezioni trasversali sopra caratterizzate, soggetta in sommit ad una
forza verticale costante e ad una forza orizzontale crescente sino
al collasso. La discretizzazione in elementi elasto-plastici a
plasticit diffusa consente di ricavare i diagrammi F-e le lunghezze
delle cerniere plastiche. La forza verticale si assunta in modo da
indurre sforzi normali pari a = 0.0; 0.15 e 0.25. I risultati
ottenuti sono diagrammati nelle figure seguenti in cui vengono
anche tabellati, per tutti i casi esaminati, i risultati di
interesse ottenuti (carico F a collasso, spostamento in sommit a
snervamento e a collasso, duttilit di spostamento e lunghezza della
cerniera plastica). Vengono, inoltre, riportati i diagrammi di
distribuzione della curvatura lungo laltezza della mensola al
momento del collasso.
0
100
200
300
400
(mm)
0
20
40
60
80
100
120
F
(
k
N
)
a = 0.25
d
n = 0.0
n = 0.15
n = 0.25
m = 11.4
m = 4.60
m = 7.1
m =3.92
m = 5.4
m = 3.75
FeB 44K
_ _ _
____
AISI 316
0.00
0.04
0.08
0.12
0
80
160
240
320
c
h
H (cm)
Fe B 44 k
AISI 316
F(kN)
u(mm)
y(mm)
lp(cm)
F(kN)
u (mm)
y (mm)
lp(cm)
= 0.0
18
300
26.3
11.4
68
18
107.
23.3
4.60
63
= 0.15
41
160
22.5
7.1
48
41
80.0
20.4
3.92
35
= 0.25
56
140
25.8
5.4
53
56
90.0
24.0
3.75
35
(a)
0
100
200
300
400
(mm)
0
20
40
60
80
100
120
F
(
k
N
)
a = 1.0
d
n = 0.0
n = 0.15
n = 0.25
m = 9.2
m = 2.34
m = 7.2
m = 6.1
m = 2.56
m = 2.46
0.00
0.04
0.08
0.12
0
80
160
240
320
c
h
H (cm)
(b)
Fe B 44 k
AISI 316
F(kN)
u(mm)
y(mm)
lp(cm)
F(kN)
u (mm)
y (mm)
lp(cm)
= 0.0
65
307
33.5
9.2
67
67
84
45.7
1.84
63
= 0.15
87
254
35.5
7.2
64
89
97
47.2
2.06
53
= 0.25
100
230
37.7
6.1
62
102
110
48.6
2.26
46
Figura 15 - Legami forza orizzontale - spostamento in testa per
una mensola armata con acciaio FeB 44k
ed AISI 316 per i rapporti Af /Af = 0.25 (a) e 1.0 (b).
Conclusioni
Lo studio svolto ha confermato la possibilit di utilizzare barre
di acciaio inox per le strutture in c.a.. in particolare, si sono
confrontati gli acciai AISI 316, caratterizzati da una tensione
f(0,2) > 450 MPa con lacciaio FeB 44 k, avente tensione fy >
430 MPa.
Operando secondo il metodo delle tensioni ammissibili sarebbe
possibile attribuire allacciaio inox la stessa tensione di 255 MPa
adottata per lacciaio FeB 44k.
Nelle verifiche allo stato limite ultimo pu farsi riferimento
alla tensione di calcolo fyd = f(0,2) / 1.15.
Le indagini numeriche svolte per valutare la possibilit di
applicazione dellacciaio inox nelle strutture intelaiate in zona
sismica, caratterizzate da un elevato fattore di struttura, hanno
evidenziato una minore duttilit di spostamento rispetto al analoghe
strutture armate con barre di acciaio al carbonio.
Tale riduzione connessa alla minore pendenza del ramo incrudente
del diagramma che si ripercuote su una lunghezza di cerniera
plastica pi ridotta. Detta caratteristica, gi evidenziata in
ricerche precedenti, dovrebbe essere approfondita in modo da
definire valori diversi del fattore di struttura q (EC8) o del
coefficiente di struttura (D.M. 16/01/96) rispetto a quelli
utilizzati per lacciaio al carbonio.
Ringraziamenti
Si ringrazia il laboratorio GEOLAB s.r.l. di Palermo ed il Sig.
Marcinn Giacomo per lesecuzione delle prove di laboratorio e la
Ditta Sud Ferro nella persona del Dott. Angelo Di Liberto per aver
organizzato la giornata di studio ed aver messo a disposizione il
materiale di prova.
Bibliografia
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metallurgiche degli acciai inossidabili per cemento armato,
Giornata di studio Lacciaio inossidabile nelle opere civili, 20
giugno 2002, Politecnico di Milano.
Bertolini L., (2002), Propriet delle armature in acciaio
inossidabile per il calcestruzzo, ENCO Journal n.19, 2002,
pp.17.19.
Decreto ministeriale D.M. 9/1/96, Norme tecniche per lesecuzione
delle opere in cemento armato e precompresso e per le strutture
metalliche.
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y u y u
(a)
A : (A, A) = (0.0018; 360 MPa)
B : (B, B) = (fy, fy(0.2)) = (0.005; 450MPa)
C : (C, C) = (fu, fu) = (0.01; 550 MPa)
D : (D, D) = (ft, ft) = (0.09; 551 MPa)
A
B
A : (A, A) = (y, fy) = (0.0021; 440 MPa)
B : (B, B) = (fu, fu) = (0.09; 540 MPa)
NuB
Nu/No
curva (2)
curva (1)
B
A
snervamento
rottura
curva (1)
Mu,y /bd2fc
D
C
curva (2)
(a)
u,y d
MMu/bd2fc
(b)
f > fy/Ef
M
fy
b
Af
f
A
.
d
+
c
+0.85f
a
c
MPa
(b)
MPa
u
H
cm
(b)
(a)
(b)
(a)
b
y
kd
cm
fc
y
fy
M
H
A f
Af
i
y
x
cm
d
H
kd
f
striscia i-esima
i( H/n - 0.5 H/n
Mu
Mu
My
My
M
M
(a) (b)
primo snervamento
prima fessurazione
B
E
D
Legame calcestruzzo
A: (A, A)
B: (B, B)
C: (c, c)= (o, fc)
D: (D, D)= (cu, 0.85 fc)
E: (E, E)= (( cu, ( 0)
A
B
C
MPa
MPa
_1096976158.unknown
_1097047639.unknown
_1097414614.unknown
_1097420903.unknown
_1097476154.unknown
_1097420923.unknown
_1097420877.unknown
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