lectura_de_conicas.pps

Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Lectura de Cnicas

Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP

Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Sabs cules son las cnicas y por qu se llaman as?Las cnicas son curvas que se obtienen como interseccin de un cono y un plano:Las cnicas son entonces curvas planas.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Seguramente muchas veces dibujaste una circunferencia. Con qu elementos?

S, claro fijando un punto que ser su centro y una medida positiva que ser su radio (ya sea que la hayas dibujado con un comps o con otros objetos ms caseros)Los puntos de la circunferencia son los que estn a distancia r de un punto fijo llamado centro.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*El punto (4,6) est en la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4?

Qu te parece?, cmo haras para poder responder a esta pregunta? alcanza con que dibujes con un comps la circunferencia?, si no lo hiciste, haceloel punto (4,6) est en la circunferencia?, que respondiste?, que s?............ te quedan dudas?, cmo podras hacer para resolver esta situacin y que no queden dudas?Este es un gran momento!!: graficar una situacin no siempre resuelve las situaciones que se nos plantean, por ello, como en este caso, es necesario trabajar con la definicin de circunferencia para obtener una herramienta que permita resolver esta situacin


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Cmo se establece una condicin que satisfacen todos los puntos de esa circunferencia y slo ellos?La circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 es el conjunto de todos los puntos del plano que estn a distancia 1,4 del punto (3,5). As que podemos decir, sin lugar a dudas que:El punto (x,y) es un punto de la circunferencia mencionada si y slo si:Distancia((x,y), (3,5)) = 1,4 Y por la definicin de distancia entre dos puntos, esta ecuacin es equivalente a las siguientes:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*As, ahora es fcil resolver nuestro problema (el punto (4,6) est en la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4?) Cmo?, verificando si las coordenadas del punto (4,6) satisfacen la ecuacin que obtuvimos:

Pero est claro que esta ecuacin no se satisface, ya que el miembro de la izquierda es 2. Podemos ahora responder sin dudas que el punto (4,6) no es un punto de la circunferencia dada.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*As, la ecuacin de la circunferencia con centro en el punto (a,b) y de radio r es:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Si te doy las siguientes ecuaciones cuadrticas en x e y, podras decirme en cada caso si se trata de la ecuacin de una circunferencia?


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Voy a hacer los dos primeros casos y el ltimo te lo dejo a vos (pods consultar con tu tutor)Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuacin dada es equivalente a las siguientes:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuacin dada es equivalente a las siguientes: Y es claro que esta ecuacin NO CORRESPONDE a una circunferencia!! pods expresar con claridad por qu???


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Hasta aqu, tens que tener en claro que la circunferencia: Es una curva plana que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano (perpendicular al eje del cono) y tiene propiedades geomtricas que la definen y permiten su trazado con elementos comunes (Un clavo un pioln y un lpiz, un comps, etc..)

Todos y slo los puntos de una circunferencia, pueden caracterizarse a travs de ecuaciones cuadrticas en x e y. La ecuacin estndar de una circunferencia muestra con claridad cul es el centro y el radio de la misma.

Las ecuaciones de las cnicas son tiles para reconocerlas, resolver situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.

La completacin de cuadrados y el reconocimiento de la ecuacin estndar de una circunferencias son fundamentales a la hora de decidir si una ecuacin cuadrtica en x e y es la ecuacin de una circunferencia.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La ParbolaElementos distintivos de una parbola:La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parbola. El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vrtice. El vrtice es el nico punto de la parbola que pertenece a ese eje.

Por ejemplo, si tomamos como foco el punto F(0,p) (donde p es un nmero positivo) y como directriz, la recta y = -p, la parbola es la que aparece a la derecha. Parbola es el conjunto de todos los puntos que estn a igual distancia de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*No es tan conocido cmo graficar una parbola, por eso ah va la receta:

Para trazar una parbola necesits:una regla, una escuadra, un lpiz, un pioln que tenga la medida exacta de un cateto de la escuadra. El pioln se sujeta al extremo del cateto que corresponde al ngulo agudo y Un clavo o tachuela, que se clavar en el foco de la parbola y que sujetar el otro extremo del pioln.

Mir la figura e intentlo!!!!


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La ecuacin que corresponde a una parbola con directriz paralela al eje x y vrtice en el origen (le los detalles en el apndice) es:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Tambin pods ver en detalles que:La ecuacin que corresponde a una parbola con directriz paralela al eje x y vrtice en el punto (a,b) es:La ecuacin que corresponde a una parbola con directriz paralela al eje y y vrtice en el punto (a,b) es:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Ejercicio: Trazar la grfica y hallar la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en ( 2, 4) y foco en el punto ( 2, 3). Grficamente:

Dado que el vrtice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parbola es vertical y tiene ecuacin x = 2 , adems abre hacia abajo ya que p = 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuacin y = 5. La ecuacin normal o cannica de la curva dada es y 4 = 1/4 (x + 2)2.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La elipse, cmo puedo trazar una?Una elipse es el conjunto de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro. Para visualizar la definicin de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lpiz que tensa esa cuerda, su trazo ir dibujando una elipse, como se muestra en la siguiente figura:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La ecuacin de la elipse con centro en el origen: Not que a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor respectivamente


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La ecuacin de la elipse con centro en el punto (x0, y0):Si los focos estn sobre una recta paralela al eje X

Si los focos estn sobre una recta paralela al eje y


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Ejercicio: hallar una ecuacin de la elipse de la figura y determinar si el punto (- 5/2,2) est en dicha elipse? Est claro en el dibujo que:El centro de la elipse es el punto (-2,4)Los semiejes mayor y menor miden 3 y 1 respectivamente El eje mayor es paralelo al eje y Entonces, la ecuacin es:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La HiprbolaHiprbola es el conjunto de puntos del plano para los que que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro. La Ecuacin de la hiprbola de la figura (con centro en el origen y focos sobre el eje x), es:

Notar que a y a son las absisas de los puntos de la hiprbola sobre el eje x, que c es la distancia de los focos al centro y que b2 = c2 - a2.


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*La ecuacin de la hiprbola con centro en el punto (x0, y0) es:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Ejercicio: hallar una ecuacin de la hiprbola de la figura y determinar si el punto (2,2) est en dicha hiprbola?Est claro en el dibujo que:El centro de la hiprbola es el punto (4,0)Los focos estn en el eje X = 4 a = 1, c = 2, b2 = 22-12 = 3 Entonces, la ecuacin es:


Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniera - UNLP*Conclusiones: Las cnicas son curvas planas que se obtienen al cortar un cono circular recto con planos.

Tienen propiedades geomtricas que las definen y permiten su trazado con elementos comunes (clavos, piolines,)

Todos y slo los puntos de cada una de estas curvas, pueden caracterizarse a travs de ecuaciones.

Las ecuaciones de las cnicas son tiles para reconocerlas, resolver situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.


************************

lectura_de_conicas.pps

Documents