Lectura 1
INTRODUCCION A LAS CADENAS MARKOVEl anlisis de Markov tuvo su
origen en los estudios de A.A.Markov(1906-1907) sobre la secuencia
de los experimentos conectados en cadena y los intentos de
descubrir matemticamente los fenmenos fsicos conocidos como
movimiento browiano. La teora general de los procesos de Markov se
desarrollo en las dcadas de 1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron,
W.Feller, W.Doeblin, P.Levy, J.L.Doob y otros.El anlisis de Markov
es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable, a
fin de pronosticar un movimiento futuro de la misma.Una cadena de
Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que
ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto,
las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo
evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros.
Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de
Markov de las series de eventos independientes, como tirar una
moneda al aire o un dado.En los negocios, las cadenas de Markov se
han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores
morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar
el remplazo de equipo.El anlisis de Markov, llamado as en honor de
un matemtico ruso que desarrollo el mtodo en 1907, permite
encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un
estado en particular en un momento dado. Algo ms importante an, es
que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades
de estado estable para cada estado. Con esta informacin se puede
predecir el comportamiento del sistema a travs del tiempo. La tarea
ms difcil es reconocer cundo puede aplicarse. La caracterstica ms
importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.Las
cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos
estocsticos. Dichos estudian el comportamiento de variables
aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen como una
coleccin de variables aleatorias {X(t,w), t I}, donde X (t,w) puede
representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la
semana t. El inters de los procesos estocsticos es describir el
comportamiento de un sistema e operacin durante algunos
periodos.Los procesos estocsticos se pueden clasificar atendiendo a
dos aspectos: si el espacio de estados posibles de la variable
aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los
valores del tiempo son discretos o continuos.Las cadenas de Markov
es un proceso estocstico en el que los valores del tiempo son
discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen
valores discretos, es decir, es una cadena estocstica de tiempo
discreto.Las cadenas de Markov, se clasifican, adems, dentro de los
procesos estocsticos de Markov, que son aquellos en el que el
estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados
y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las
probabilidades de transicin entre los estados para los tiempos k-1
y k solamente depende de los estados que la variable adquiere
dichos tiempos.Las cadenas de markov son modelos probabilsticos que
se usan para predecir la evolucin y el comportamiento a corto y a
largo plazo de determinados sistemas.Ejemplos: reparto del mercado
entre marcas; dinmica de las averas de mquinas para decidir poltica
de mantenimiento; evolucin de una enfermedad, entre otros.Como se
puede definir una cadena de Markov Una Cadena de Markov (CM) es: Un
proceso estocstico Con un nmero finito de estados (M) Con
probabilidades de transicin estacionarias Que tiene la propiedad
markovianaClasificacin de estados de una cadena de MarkovEstado
transitorioEs aqul tal que despus de que el proceso ha entrado ah,
nunca regresarEl estadoies transitorio si y slo si existe un
estadojque es accesible desdei, pero donde el estadoino es
accesible desdejAl no haber acceso al estadoidesdej, existe una
probabilidad positiva (incluso igual a 1) de que el proceso se
mueva al estadojy nunca regrese al estadoiEjemplo
En la siguiente matriz de transicin, el estado 2 es transitorio,
ya que de l es posible pasar directamente al estado 0, pero no de
regreso Por tanto existe la posibilidad de que el sistema pase del
estado 2 al 0 y no regrese nuevamente
El estado 2 es transitorio. Notamos que tiene una conexin
directa al estado 0, pero no de regresoEstado recurrenteEn la
siguiente matriz de transicin, todos los estados, excepto el 2, son
recurrentesEsto es porque desde los estados 0,1 y 3 se puede
acceder a cualquiera otro estado, y a su vez, los estados 0,1 y 3
son accesibles desde cualquier otro es
Los estados 1, 2 y 3 son recurrentes. Notamos que cada estado
que tiene una conexin directadesdeellos, tambin la
tienehaciaellosLas flechas coloreadas por pares indican las
conexiones desde y hacia el estado 1.
Estado absorbente En la siguiente matriz de transicin, el estado
0 y el estado 2 son absorbentes, ya que una vez entrando en alguno
de ellos, el sistema no vuelve a salir Esto ocurre porque la
probabilidad de pasar al estado 0 dado que se encuentra en el
estado 0 es igual a 1 Anlogamente ocurre para el estado 2
Lectura 2
TEORIA DE COLAS
El origen de la Teora de Colas est en el esfuerzo de Agner Kraup
Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestin
de trfico telefnico con el objetivo de cumplir la demanda incierta
de servicios en el sistema telefnico de Copenhague. Sus
investigaciones acabaron en una nueva teora denominada teora de
colas o de lneas de espera. Esta teora es ahora una herramienta de
valor en negocios debido a que un gran nmero de problemas pueden
caracterizarse, como problemas de congestin llegada salida. En los
problemas de formacin de cola, a menudo se habla de clientes, tales
como personas que esperan la desocupacin de lneas telefnicas, la
espera de mquinas para ser reparadas y los aviones que esperan
aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un
restaurante, operarios en un taller de reparacin, pistas en un
aeropuerto, etc. Los problemas de formacin de colas a menudo
contienen una velocidad variable de llegada de clientes que
requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de
prestacin del servicio en la estacin de servicio.Cuando se habla de
lneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las
estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola
simplemente por que los medios existentes son inadecuados para
satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a
ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que
transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar
esperando por que los medios existentes son excesivos en relacin
con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de
servicio podran permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los
clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones
de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados
anteriormente estn siendo atendidos. Las estaciones de servicio
pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean
adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda
debido a un hecho temporal.Estos dos ltimos casos tipifican una
situacin equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio,
o una situacin estable. En la teora de la formacin de colas,
generalmente se llama sistema a un grupo de unidades fsicas,
integradas de tal modo que pueden operar al unsono con una serie de
operaciones organizadas. La teora de la formacin de colas busca una
solucin al problema de la espera prediciendo primero el
comportamiento del sistema. Pero una solucin al problema de la
espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes
pasan en el sistema, sino tambin en minimizar los costos totales de
aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.La teora
de colas incluye el estudio matemtico de las colas o lneas de
espera y provee un gran nmero de modelos matemticos para
describirlas. Se debe lograr un balance econmico entre el costo del
servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teora
de colas en s no resuelve este problema, slo proporciona informacin
para la toma de decisiones.En muchas ocasiones en la vida real, un
fenmeno muy comn es la formacin de colas o lneas de espera. Esto
suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a
la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de
esa situacin son: los cruces de dos vas de circulacin, los
semforos, el peaje de una autopista, los cajeros automticos, la
atencin a clientes en un establecimiento comercial, la avera de
electrodomsticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados
por un servicio tcnico, etc.Todava ms frecuentes, si cabe, son las
situaciones de espera en el contexto de la informtica, las
telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologas. As, por
ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecucin forman
colas de espera mientras no son atendidos, la informacin
solicitada, a travs de Internet, a un servidor Web puede recibirse
con demora debido a congestin en la red o en el servidor
propiamente dicho, podemos recibir la seal de lneas ocupadas si la
central de la que depende nuestro telfono mvil est colapsada en ese
momento, etc.Modelo de formacin de colasEn los problemas de
formacin de cola, a menudo se habla de clientes, tales como
personas que esperan ladesocupacin de lneas telefnicas, la espera
de mquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y
estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante,
operarios en un taller de reparacin, pistas en un aeropuerto, etc.
Los problemas de formacin de colas a menudo contienen una velocidad
variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de
servicio, y una velocidad variable de prestacin del servicio en la
estacin de servicio.Cuando se habla de lneas de espera, se refieren
a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los
clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios
existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio;
en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada
vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de
servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son
excesivos en relacin con la demanda de los clientes; en este caso,
las estaciones de servicio podran permanecer ociosas la mayor parte
del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque
las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes
llegados anteriormente estn siendo atendidos. Las estaciones de
servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones
sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda
debido a un hecho temporal. Estos dos ltimos casos tipifican una
situacin equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio,
o una situacin estable.En la teora de la formacin de colas,
generalmente se llama sistema a un grupo de unidades fsicas,
integradas de tal modo que pueden operar al unsono con una serie de
operaciones organizadas. La teora de la formacin de colas busca una
solucin al problema de la espera prediciendo primero el
comportamiento del sistema. Pero una solucin al problema de la
espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes
pasan en el sistema, sino tambin en minimizar los costos totales de
aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.La teora
de colas incluye el estudio matemtico de las colas o lneas de
espera y provee un gran nmero de modelos matemticos para
describirlas.Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del
men superiorSe debe lograr un balance econmico entre el costo del
servicio y el costo asociado a la espera por ese servicioLa teora
de colas en s no resuelve este problema, slo proporciona informacin
para la toma de decisionesObjetivos de la Teora de ColasLos
objetivos de la teora de colas consisten en:Identificar el nivel
ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del
mismo.Evaluar el impacto que las posibles alternativas de
modificacin de la capacidad del sistema tendran en el coste total
del mismo.Establecer un balance equilibrado ("ptimo") entre las
consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de
servicio.Hay que prestar atencin al tiempo de permanencia en el
sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del
tipo de servicio especfico considerado y eso puede hacer que un
cliente "abandone" el sistema.Elementos existentes en un modelo de
colasFuente de entrada o poblacin potencial:Es un conjunto de
individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a
solicitar el servicio en cuestin. Podemos considerarla finita o
infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, s permite
(por extrao que parezca) resolver de forma ms sencilla muchas
situaciones en las que, en realidad, la poblacin es finita pero muy
grande. Dicha suposicin de infinitud no resulta restrictiva cuando,
aun siendo finita la poblacin potencial, su nmero de elementos es
tan grande que el nmero de individuos que ya estn solicitando el
citado servicio prcticamente no afecta a la frecuencia con la que
la poblacin potencial genera nuevas peticiones de
servicio.Cliente:Es todo individuo de la poblacin potencial que
solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de
clientes consecutivos son 0