-
P2.- Para simular el comportamiento de fluencia de un plstico se
eligen los modelos de Maxwell y de Kelvin Voigt. Las constantes
elstica y viscosa del modelo de Kelvin-Voigt son 2 Gpa y 100x109
N.s/m2 , respectivamente, y la constante viscosa del modelo de
Maxwell es 200x109 N.s/m2 . Estimar un valor adecuado para la
constante elstica del modelo de Maxwell, suponiendo que ambos
modelos predicen la misma deformacin de fluencia despus de 50
segundos. R.- 15.15 Gpa.
==============================================================================
SOLUCIN
MODELO DE MAXWELL
0 0( )M t tE
Deformacin de fluencia
MODELO DE KELVIN-VOIGT
0 0 '( ) 1 1
'
E tt
KV t e eE E
Etiempo de retardo
Deformacin de fluencia
-
MODELO DE MAXWELL
EM = ????????? M = 200x10
9 N.s/m2 0 0( )MM M
t tE
MODELO DE KELVIN-VOIGT
EKV = 2 GPa = 2x109 Pa
KV = 100x109 N.s/m2
=(KV/ EKV) =100/2=50
0 '( ) 1t
KVKV
t eE
Ha de cumplirse que: (50) (50)M KV
luego: 50
0 0 0 '50 1M M KV
eE E
9 9 99
1 9 1 9 1
200 10 2 10 400 1015.14 10
1 50 200 10 1 50 2 10 200 1 100
M KVM
M KV
E x x x xE x
e E x e x x x e
de donde:
150 1 1
M M KV
e
E E
EM = 15.14x109 Pa (= 15.14 Gpa)
-
P7.- Un material plstico puede representarse mediante el modelo
de Zener con un valor del mdulo de relajacin de tensin no relajado
igual a GU = 1 GPa y un valor relajado GR = 0.5 GPa . Sabiendo que
la tensin en el material se reduce de 20 MPa a 15 MPa en un perodo
de 500 segundos cuando se aplica una deformacin constante,
determinar la constante viscosa del amortiguador. R.- = 1.44x1012
N.s/m2.
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SOLUCIN Relajacin de tensin (deformacin constante = 0)
1 02 1
1 2
( )tE
t E E eE E
0
( )( )
tG t
y como
12 1
1 2
( )tE
G t E E eE E
resulta
3
1 2E E
Tiempo de relajacin
MODELO DE ZENER
t=0, GU = E1 t= 1 2
1 2R
E EG
E E
-
00
( )( ) ( ) ( )
tG t t G t
12 1
1 2
( )tE
G t E E eE E
-
P21.- (a).- Un material polimerico se somete a ensayo de
fluencia a una tensin constante de 8 MPa, resultando la historia de
deformacin que se muestra en la figura. Probar que el
comportamiento del material puede ser descrito usando el modelo del
solido estandar lineal (Modelo de Zener) con las siguientes
constantes: E1 = 1.6x10
9 N/m2, E2 = 4.0x109 N/m2, = 2.0x1011 N.s/m2
(b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10
MPa durante 200 segundos, despus de lo cual la carga se elimina
completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformacin
en el material se reduzca al 50 % del valor que exista
inmediatamente antes de la eliminacin de la carga.
-
0 0 '
1 2
( ) 1t
t eE E
Como:
3
2
'E
Fluencia (tensin constante, 0 ).
donde es el tiempo de retardo
0
( )( )
tJ t
resulta: '
1 2
1 1( ) 1
t
J t eE E
Para t = 0 J(0) = JU = 1/E1
Para t = J(0) = JR = (1/E1)+ (1/E2)
De la grfica se deduce: JU = (0)/Tensin= 0.5x10
-2/ 8x106 =0.0625x10-8 =6.25x10-10 m2/N
JR = ()/Tensin= 2.5x10-2/ 8x106 =0.3125x10-8 =3.125x10-9
m2/N
JU = 1/E1, E1= 1/JU =1.6x109 N/m2 JR = (1/E1)+ (1/E2), (1/E2) =
JR - (1/E1) , E2 = 1.6x10
8 N/m2
t=700 s
Para determinar la constante del amortiguador, , se toma un
punto intermedio de la curva, por ejemplo t = 700 s, para el cual
la deformacin es del 2 %, entonces:
J(700) = (700)/Tensin= 2x10-2/ 8x106 =0.25x10-8 =2.5x10-9
m2/N
Tensin constante = 8 MPa,
-
'1 2
1 1( ) 1
t
J t eE E
De la expresin de la complianza de fluencia:
se deduce que:
700 7002' '
21 2 1
1 1(700) 1 , 1 (700)
EJ e e E J
E E E
7002'
21
1 (700) 1 1 0.25 0.25E
e E JE
Sustituyendo valores y operando
700' 505
(0.25)s
Ln
8 11 233 2
2
' , ' 505 4.0 10 2.02 10 . /E x x x N s mE
y como
-
Justamente antes de eliminar la carga (t = 200 s) se tiene un
deformacin dada por: 6
0 0( ) ( ) , (200) (200) 10 10 (200)t J t J x J
'
1 2
1 1( ) 1
t
J t eE E
E1=1.6x109 N/m2
E2=4.0x106 N/m2
= 505 s
2009505
1 2
1 1(200) 1 1.45 10J e x
E E
6 9(200) 10 10 1.45 10 0.0145x x x
Por tanto,
(200)0.00725 (0.725%)
2
Al eliminar la carga el muelle se recupera de forma instantnea:
i=0/E1=10
7/1.6x109=0.00625 y la deformacin que queda en ese instante
(t=200) es: c=(200)-0/E1=0.0145-0.00625= = 0.00825
(>0.00725)
(b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10
MPa durante 200 segundos, despus de lo cual la carga se elimina
completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformacin
en el material se reduzca al 50 % del valor que exista
inmediatamente antes de la eliminacin de la carga.
-
(200)0.00725 (0.725%)
2
Recuperacin de fluencia.
'( )t
ct e
'(200) 0.007252
t
ce
c = 0.00825
' 0.00725 0.8790.00825
' (0.879) 505 (0.879) 65.1
t
e
t Ln Ln s
-
P15 .- (a).-Un material polimrico se puede representar mediante
el modelo del slido lineal estandar o de Zener con una complianza
de fluencia no relajada JU = 2x10
-9 m2/N (Instante t = 0), una complianza de fluencia relajada JR
= 3x10
-9 m2/N ( Instante t = ) y un tiempo de retardo = 1000 s.
Determinar las constantes elsticas y la constante viscosa del
amortiguador del modelo que representa el comportamiento del
polmero. (b).- Con el polmero del apartado anterior se fabrica una
barra de longitud L = 100 mm y anchura T = 10 mm, la cual se somete
al historial de carga de la figura . Si el espesor de la barra es
de 5 mm, determinar su longitud despus de un periodo de tiempo de
1500 s. Si la extensin mxima permitida es de 6 mm, determinar el
espesor necesario que ha de tener la barra, para el mismo historial
de carga y el mismo periodo de tiempo.
-
P10/ P22 (JUNIO 2006)- Un material plstico se somete al
historial de carga que se muestra en la figura .
Se supone que el comportamiento del material se puede
representar mediante el modelo de Maxwell con
los siguientes parmetros : constante elstica 20 GN/m2 y
constante viscosa del amortiguador = 1000 GN.s/m2. Determinar la
deformacin del material en los siguientes instantes : (a).- t1 =
150 segundos ,
(b).- t2 = 250 segundos , (c).- t3 = 350 segundos y (d).- t4 =
450 segundos .
Representar grficamente la respuesta de la deformacin.
.
-
E = 20 GN/m2
= 1000 GN.s/m2
-
P16 (JUNIO 2003).- (a).-Un material polimrico se puede
representar mediante el modelo del slido lineal estandar o de Zener
con las constantes elsticas E1 = 3 GPa , E2 = 1 GPa y una
constante viscosa del amortiguador =2x1011 N.s/m2 . El material
se carga linealmente desde 0 hasta 30 Mpa en un perodo de tiempo de
50 segundos, momento en el cual la carga se reduce
de forma instantnea a un valor de 20 MPa, que se mantiene
constante. Determinar el valor de la deformacin 75 segundos despus
de la aplicacin inicial de la rampa de carga?. R.- 1.21 %