Le tenseur des contraintes de Cauchy - Guillaume Speurtguillaume.speurt.free.fr/telechargements/ENSMP/ENSMP - Le tenseur... · Il existe un champ de tenseurs du second ordre ... Le

Le tenseur des contraintes de Cauchy

Plan

1 Lois d’Euler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Lois d’Euler du mouvement

d

dt

∫Ωt

ρv dv = R

d

dt

∫Ωt

OP ∧ ρv dv = M 0

Lois d’Euler du mouvement 3/59

Lois d’Euler du mouvement

d

dt

∫Ωt

ρv dv =

∫Ωt

ρ(x , t)f (x , t) dv +

∫∂Ωt

t (x , ∂Ωt , t) ds

d

dt

∫Ωt

OP ∧ ρv dv =

∫Ωt

OP ∧ ρ(x , t)f (x , t) dv

+

∫∂Ωt

OP ∧ t (x , ∂Ωt , t) ds

• Elles s’appliquent a tout sous–domaine D ⊂ Ωt .

• On a besoin des deux equations!

• Referentiel non galileen : mettre les forces d’inertie dans f

Lois d’Euler du mouvement 4/59

Plan







La controverse des “elasticiens” du XIXeme siecle

Cote francais : Navier, Cauchy, Saint–Venant l’hypothese moleculaire

Cote anglais : Young, Green l’approche phenomenologique

Representation des efforts interieurs 6/59

Plan







Description des efforts interieurs

Ωt

D

∂D

• le vecteur–contrainte

R surf =

∫∂D

t (x , ∂D, t) ds



Ωt

D

∂D

n

t


R surf =

∫∂D

t (x , ∂D, t) ds

• le postulat de Cauchy :

t (x , ∂D, t) := t (x ,n , t)

normale sortante



ΩD1

∂D1

D2

∂D2

n

t


R surf =

∫∂D

t (x , ∂D, t) ds

• le postulat de Cauchy :

t (x , ∂D, t) = t (x ,n , t)

normale sortante

• une consequence

t (x , ∂D1, t) = t (x , ∂D2, t)


ΩD1

∂D1

D2

∂D2

n 1

n 2


Plan







L’argument du cachet d’aspirine

Ωt

S

Dε

n

n

xε

∂D

∂D

• S = S ∩ Dε

∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε

• f , a bornees

• t continu (pas d’efforts

surfaciques concentres)

• premiere loi d’Euler∫∂Dε

t (x ,n , t) ds =

∫Dε

ρ(x , t)(a − f ) dv



Ωt

S

Dε

n

n

xε

∂D

∂D

• S = S ∩ Dε

∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε

• f , a bornees



• premiere loi d’Euler∫∂Dε

t (x ,n , t) ds =

∫Dε

ρ(x , t)(a − f ) dv



Ωt

S

Dε

n

n

xε

∂D

∂D

• S = S ∩ Dε

∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε

• f , a bornees



• Lemme d’imparite

t (x ,−n , t) = −t (x ,n , t)

actio = reactio



Ωt

S

Dε

n

n

xε

∂D

∂D

• S = S ∩ Dε

∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε

• f , a bornees



• Lemme d’imparite

t (x ,−n , t) = −t (x ,n , t)

actio = reactio

• Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?


Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

t = −p n


Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

t = −p n


Une remarque...

• premiere loi d’Euler∫∂D

t (x ,n , t) ds =

∫D

ρ(x , t)(a − f ) dv

• Quelles sont les conditions sur t pour qu’une integrale devolume se reduise a une integrale de surface?


Le theoreme de la divergence et autres formes∫Ω

div v dv =

∫∂Ω

v .n ds


Le theoreme de la divergence et autres formes∫Ω

div v dv =

∫∂Ω

v .n ds

plus generalement, ∫Ω•,i dV =

∫∂Ω•ni ds∫

Ω∇f dv =

∫∂Ω

f n ds∫Ω

div v dv =

∫∂Ω

v .n ds∫Ω

div T∼ dv =

∫∂Ω

T∼ .n ds


Une remarque...

• premiere loi d’Euler∫∂D

t (x ,n , t) ds =

∫D

ρ(x , t)(a − f ) dv

• Quelles sont les conditions sur t pour que l’on puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux ⇐⇒ t lineaire en n ⇐⇒ t = •.n , alors lepassage surface–volume est possible.

La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.


Plan







L’argument du tetraedre de Cauchy

n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre ∆h = MP1P2P3

passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

surfaces S1,S2,S3,S

∫∆h

ρ(x , t)(a − f ) dv =

∫∂∆h

t (x ,n , t) ds



n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T



surfaces S1,S2,S3,S

t1(M,n ) = t1(M,

3∑i=1

nie i ) =3∑

i=1

ni t1(M, e i )



n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T



surfaces S1,S2,S3,S

t1(M,n ) = t1(M,

3∑i=1

nie i ) =3∑

i=1

ni t1(M, e i )

t2(M,n ) = t2(M,

3∑i=1

nie i ) =3∑

i=1

ni t2(M, e i )

t3(M,n ) = t3(M,

3∑i=1

nie i ) =3∑

i=1

ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/59


n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T



surfaces S1,S2,S3,S

ti (M,n ) =3∑

j=1

nj ti (M, e j)

ti = σijnj , σij(M) := ti (M, e j)


Le theoreme de Cauchy

Il existe un champ de tenseurs du second ordre σ∼(x , t) tel que, entout point regulier de Ωt (t continu, f , a finis),

t = σ∼ .n t1t2t3

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

n1

n2

n3


Le tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortss’exercant sur les elements de surface en M :

t ds = σ∼ .n ds = σ∼ .ds

n

t

σn

τ

x3

x1

x2

σ33

σ23

σ13

σ32

σ22

σ12

σ31

σ11

σ21


Plan







Plan







Premiere loi de Cauchy

• Efforts surfaciques∫∂D

t (x ,n , t) ds =

∫∂D

σ∼(x , t).n ds

∫∂D

ti (x ,n , t) ds =

∫∂D

σij(x , t)nj ds

Equations locales de la dynamique 32/59



t (x ,n , t) ds =

∫∂D

σ∼(x , t).n ds∫∂D

ti (x ,n , t) ds =

∫∂D

σij(x , t)nj ds =

∫D

∂σij

∂xjdv

(theoreme de la divergence)




t (x ,n , t) ds =

∫∂D

σ∼(x , t).n ds∫∂D

ti (x ,n , t) ds =

∫∂D

σij(x , t)nj ds =

∫D

∂σij

∂xjdv

(theoreme de la divergence)

• Application a la premiere loi d’Euler∫D

(ρ(ai − fi )−

∂σij

∂xj

)dv = 0

• En tout point regulier

∂σij

∂xj+ ρfi = ρai

div σ∼ + ρ(f − a ) = 0


Plan







Seconde loi de Cauchy

• Seconde loi d’Euler∫D

(x − x 0) ∧ ρ(a − f ) dv =

∫∂D

(x − x 0) ∧ (σ∼ .n ) ds

Dans une base cartesienne orthonormee directe d’origine x 0,la premiere composante vaut∫D

(x2ρ(a3 − f3)− x3ρ(a2 − f2)) dv =

∫∂D

(x2σ3j − x3σ2j)nj ds




(x − x 0) ∧ ρ(a − f ) dv =

∫∂D

(x − x 0) ∧ (σ∼ .n ) ds


(x2ρ(a3 − f3)− x3ρ(a2 − f2)) dv =

∫∂D


=

∫D

(x2∂σ3j

∂xj− x3

∂σ2j

∂xj+ δ2jσ3j − δ3jσ2j) dv




(x − x 0) ∧ ρ(a − f ) dv =

∫∂D

(x − x 0) ∧ (σ∼ .n ) ds


(x2ρ(a3 − f3)− x3ρ(a2 − f2)) dv =

∫∂D


=

∫D

(x2∂σ3j

∂xj− x3

∂σ2j

∂xj+ δ2jσ3j − δ3jσ2j) dv

• Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires)∫D

(σ32 − σ23) dv = 0

σ23 − σ32 = 0

σ31 − σ13 = 0

σ12 − σ21 = 0Equations locales de la dynamique 38/59

Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d’ordre 2symetrique : c’est une forme bilineaire symetrique...

n 1.σ∼ .n 2 = n 2.σ∼ .n 1

... ou un endomorphisme auto–adjoint

σ∼T = σ∼ , σij = σji

n .σ∼ = σ∼ .n

Consequence?


Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d’ordre 2symetrique : c’est une forme bilineaire symetrique...

n 1.σ∼ .n 2 = n 2.σ∼ .n 1

... ou un endomorphisme auto–adjoint

σ∼T = σ∼ , σij = σji

n .σ∼ = σ∼ .n

Consequence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dansune base orthonormee et ses valeurs propres sont reelles

σ∼ =3∑

i=1

σi n i ⊗ n i , avec σ∼ .n i = σi n i (no sum)

σi : contraintes principalesn i : directions principales des contraintes


Plan







Surface de discontinuite mobile

cas de champs continus par morceaux

S

∂D

∂D

D

D

D

wnn

• vitesse de propagation

w = lim∆t→0

MtMt+∆t

∆t= wn n

vitesse relative de lamatiere / S

U = v .n − wn

• saut de f a travers S

[[f ]] := f + − f −

• conservation de la masse

[[ρU]] = 0

• cas S materielle

Equations aux discontinuites 42/59

Premiere loi d’Euler avec discontinuites

S

∂D

∂D

D

D

D

wnn

d

dt

∫D

ρv dv =

∫D

ρ(x , t)f (x , t) dv +

∫∂D

t (x ,n , t) ds


Premiere loi d’Euler avec discontinuites

S

∂D

∂D

D

D

D

wnn

un theoreme de transport

d

dt

∫D

ρv dv =

∫D

ρa dv +

∫S[[v ]]ρU ds


Equations aux discontinuitesn

x

S

∂D

∂D

s

domaine S ⊂ D,S ⊂ S∫D

ρa dv +

∫S[[v ]]ρU ds =

∫D

ρ(x , t)f (x , t) dv +

∫∂D

t (x ,n , t) ds


Equations aux discontinuitesn

x

S

∂D

∂D

s

domaine S ⊂ D,S ⊂ S∫D

ρa dv +

∫S[[v ]]ρU ds =

∫D

ρ(x , t)f (x , t) dv +

∫∂D

t (x ,n , t) ds

a la limite D → S , ∫S[[v ]]ρU ds =

∫S[[σ∼ ]].n ds


Equations aux discontinuites

• cas general[[σ∼ ]].n − ρU[[v ]] = 0

ondes de choc

• cas d’une surface de discontinuite S materielle (ou casstatique)

[[σ∼ ]].n = 0

le vecteur–contrainte est continu au travers de toute surfacematerielle

le tenseur des contraintes n’est pas necessairement continu!


Plan







Bilan : cas general

t = σ∼ .n vecteur–contrainte

Equations de champ :

div σ∼ + ρf = ρa quantite de mouvement (Cauchy 1)

σ∼T = σ∼ moment cinetique (Cauchy 2)

Equations aux discontinuites :

[[ρU]] = 0

[[σ∼ ]].n − ρU[[v ]] = 0

Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus49/59

Bilan : cas statique

t = σ∼ .n vecteur–contrainte

div σ∼ + ρf = 0 quantite de mouvement

σ∼T = σ∼ moment cinetique

[[σ∼ ]].n = 0 continuite du vecteur–contrainte

Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus50/59

Plan







Traction simple

σ∼ = σ d ⊗ d

[σ∼ ] =

σ 0 00 0 00 0 0

(e 1=d ,e 2,e 3)

2

1

σσ

machine de traction hydraulique(capacite 10t)

Etats de contraintes remarquables 52/59

Etat de contraintes biaxialσ∼ = σ1 d 1 ⊗ d 1 + σ2 d 2 ⊗ d 2

avec d 1.d 2 = 0

[σ∼ ] =

σ1 0 00 σ2 00 0 0

(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)

contraintes planes

2

1

σ1σ1

σ2

σ2

machine de traction biaxialepour eprouvettes cruciformes(laboratoire 3S-INPG)


Etat de contraintes triaxial

[σ∼ ] =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

mecanique des roches et des

sols

machine de compression plane souspression de confinement (baind’huile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG)



[σ∼ ] =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

mecanique des roches et des sols

machine triaxiale, echantillon

cubique (150x150x150mm3)

(bain d’huile, 2-60MPa, verins

10t, laboratoire 3S-INPG)



[σ∼ ] =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

machine triaxiale, LMT-Cachan


Essai de cisaillement


Etat de cisaillement simple

σ∼ = τ (d 1 ⊗ d 2 + d 2 ⊗ d 1)

[σ∼ ] =

0 τ 0τ 0 00 0 0

(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)

2

1

τ

τ

τ

τ

τ

ττ

τ

avec d 1.d 2 = 0


Champ de contraintes non homogene

Essais sur structures : flexion 4 et 3 points


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