Le Galassie - Osservatorio di Arcetrimarconi/Lezioni/Extragal10/Lezione04.pdf · 1o teorema di Gauss: una particella test all’interno di una “shell” sferica di materia non risente

Le GalassieLezione 4

AA 2009/2010 Astronomia Extragalattica

!2!("x) = 4#G$("x)

W = ! 18!G

!

V|""#|2d"x3 =

12

!

V$("x)#("x)d"x3

Il potenziale gravitazionaleDalla brillanza superficiale (con alcune assunzioni) si può determinare la densità di massa (a meno del fattore Υ, ovvero il rapporto M/L).

In generale, dalla densità di massa ρ(x) si può ottenere il potenziale gravitazionale risolvendo l’equazione di Poisson:

2

In generale, noto ϕ si può ricavare l’energia potenziale gravitazionale del sistema

Nel caso di simmetria sferica ρ=ρ(r) l’equazione si semplifica a

1r2

d

dr

!r2 d!(r)

dr

"= 4"G#(r)

!2!("x) = 4#G$("x)

1r2

d

dr

!r2 d!(r)

dr

"= 4"G#(r)

W = ! 18!G

!

V|""#|2d"x3 =

12

!

V$("x)#("x)d"x3


M(r) =! r

0!(r!)4"r!2dr!

Caso particolare: simmetria sferica

3

1o teorema di Gauss: una particella test all’interno di una “shell” sferica di materia non risente di alcuna forza gravitazionale.2o teorema di Gauss: la forza gravitazionale esercitata su un corpo fuori da una shell sferica è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della shell fosse concentrata nel centro della sfera.

Consideriamo una distribuzione di massa a simmetria sferica con ρ = ρ(r).La massa racchiusa nella sfera di raggio r è:

Consideriamo una particella test al raggio r:per il 1o teorema di Gauss la massa “esterna” M(r’>r) non esercita alcuna attrazione gravitazionale;per il 2o teorema di Gauss l’attrazione della massa “interna” M(r’<r) è la stessa di quella che si avrebbe se la massa fosse concentrata a r=0 per cui

!F (r) = !GM(r)mr2

!ur = !m!""(r) = !md"(r)

dr!ur

M(r) =! r

0!(r!)4"r!2dr!

!F (r) = !GM(r)mr2

!ur = !m!""(r) = !md"(r)

dr!ur


integrando membro a membro tra r e ∞, con ϕ(∞)=0 si ricava che

!(r !") # GMtot

r! 0

Caso particolare: simmetria sferica

4

d!(r)dr

=GM(r)

r2!F (r) = !GM(r)m

r2!ur = !m!""(r) = !m

d"(r)dr

!ur

!(r) = !GM(r)r

! 4"G

! !

r#(r")r"dr"

Quindi, nota ρ nel caso di simmetria sferica si può facilmente ricavare ϕ.

1r2

d

dr

!r2 d!(r)

dr

"= 4"G#(r)

Se viceversa è noto ϕ e si vuole ricavare ρ si usa l’equazione di Poisson che in simmetria sferica è

!F (r) = !GM(r)mr2

!ur = !m!""(r) = !md"(r)

dr!ur

d!(r)dr

=GM(r)

r2

!(r) = !GM(r)r

! 4"G

! !

r#(r")r"dr"

!(r !") # GMtot

r! 0

1r2

d

dr

!r2 d!(r)

dr

"= 4"G#(r)


Velocità circolare e di fugaNoto il potenziale ϕ(r) ci sono due quantità importanti che si possono ricavare: la velocità circolare e la velocità di fuga

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a(r) =Vc

2

r= !d!

dr= !GM(r)

r2

Vc =

!

r

""""d!

dr

""""

Vc =

!GM(r)

r

E =12mV 2 + m!(r)

La particella è “legata” se E<0, per cui la velocità di fuga si ha per E=0

Vf =!

2|!(r)| Vf =

!2GM(r)

r

a(r) =Vc

2

r= !d!

dr= !GM(r)

r2

Vc =

!

r

""""d!

dr

""""

Vc =

!GM(r)

r

E =12mV 2 + m!(r)

Vf =!

2|!(r)| Vf =

!2GM(r)

r


Alcuni semplici potenziali

6

!(r) = !GM

r

Vc =!

GM

rVelocità “Kepleriana” V~r -1/2

periodo orbitale indipendente dal raggio (rotazione di corpo “rigido”, V~r)

T =2!r

Vc=

!3!

G"

Vc =!

4!

3G" r

1) Massa puntiforme M

2) Sfera omogenea densità costante ρ

!(r) = !GM

r

Vc =!

GM

r

Vc =!

4!

3G" r

T =2!r

Vc=

!3!

G"


Alcuni semplici potenziali3) Sfera isoterma (Singular isothermal sphere)

7

!(r) = V 2H ln(r/r0)

!(r) =!(r0)

(r/r0)2 V 2H = 4!Gr2

0"(r0)

Vc = VH = costante!

4) Potenziale dell’alone oscuro

!(r) =1

4"G

V 2H

r2 + a2H

!(r >> aH) ! 14"G

V 2H

r2

V 2(r) = V 2H [1! (aH/r) arctan(r/aH)] V 2(r >> aH) ! V 2

H

Vc = VH = costante!

!(r) =!(r0)

(r/r0)2

!(r) = V 2H ln(r/r0)

V 2H = 4!Gr2

0"(r0)

!(r) =1

4"G

V 2H

r2 + a2H

!(r >> aH) ! 14"G

V 2H

r2

V 2(r) = V 2H [1! (aH/r) arctan(r/aH)] V 2(r >> aH) ! V 2

H


!(r) =1

4"G

1r2

d

dr

!r2 d#

dr

"=

3a2

4"

M

(a2 + r2)5/2

I(R) =1

4!!

! +!

"!"(s)ds =

M

4!2!a2

(a2 + R2)2

Vc =

!GM(r)

r=

"GM

r (1 + a2/r2)3/2

Alcuni semplici potenziali5) Potenziale di Plummer

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!(r) = ! GM"a2 + r2

Massa totale? Ricordare che:

!(r !") # GMtot

r! 0

E’ possibile ottenere una formula analitica per la brillanza superficiale

log I(R)

log R

~ cost. (core)

~ R-4

a

!(r) = ! GM"a2 + r2

!(r !") # GMtot

r! 0

!(r) =1

4"G

1r2

d

dr

!r2 d#

dr

"=

3a2

4"

M

(a2 + r2)5/2

Vc =

!GM(r)

r=

"GM

r (1 + a2/r2)3/2

I(R) =1

4!!

! +!

"!"(s)ds =

M

4!2!a2

(a2 + R2)2


Proprietà di una galassiaE’ possibile ottenere spettri ed immagini di una galassia a tutte le lunghezze d’onda (dal radio ai raggi X).Si possono quindi avere due tipi di osservazioni complementari per misure quantitative:

Fotometria (da immagini)morfologia (→ braccia a spirale, barre, bulge → classificazione di Hubble; presenza di reddening, interazione con altre galassie ecc.)fotometria (→ profili di brillanza -> luminosità della galassia e delle sue componenti, raggi scala → SED spectral energy distributions)

Spettroscopia (da spettri)cinematica del gas e delle stelle (→curve di rotazione, dispersione di velocità, ecc.)condizioni fisiche del gas (→ meccanismo di ionizzazione → sorgente ionizzante)popolazioni stellari (→ storia di formazione stellare → evoluzione)

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Spettri di galassiaLo spettro di una galassia è il risultato della somma degli spettri dei singoli costituenti: stelle, nebulose digas ionizzato, eventuale “nucleo attivo”.In un tipico spettro ottico/infrarosso si possono distinguere:continuo (stelle, emissione AGN, polvere calda - oltre 2μm);righe di assorbimento (in genere stelle);righe di emissione (gas fotoionizzato).

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Spettri di Galassie

righe di emissione

continuo

righe di assorbimento

emissione delle stelle

continuo AGN

continuo stelle

righe di emissione


Cinematica del gasL’andamento con λ di una riga di emissione è, in genere, ben descritto da una o più funzioni gaussiane:

Fline(λ) = A+B exp[ -1/2 ( (λ-λ0)/σ )2 ]

λ0 è la lunghezza d’onda media da cui la velocità media del gas è (effetto Doppler):

v = (λ0-λrest)/λrest c

σ è legata alla dispersione di velocità del gas σV (velocità quadratica media) da:

σV = σ/λ0 c

L’integrale sotto la curva gaussiana è il “flusso” della riga:

Fline = (2π)1/2 B σ

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B

A

λ0

2σ


Per misurare le proprietà delle righe di assorbimento è necessario utilizzare lo spettro di una stella di tipo opportuno, il “template” T(λ), e lo spettro della galassia si può scrivere come: Fgal(λ) = T(λ) ⊗ ϕ(λ)

ϕ(λ) è la distribuzione della velocità delle stelle (λ→v) lungo la linea di vista ed è in genere ben descrivibile con una gaussiana. Da ϕ(λ) si ottengono v e σ (dispersione di velocità).Per le righe delle stelle non si parla di flusso (negativo!) ma di larghezza equivalente (Equivalent Width)W = flusso/continuo [ (erg cm-2 s-1) / (erg cm-2 s-1 Å-1) = Å ]

Cinematica delle stelle

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Spettro di una stella G0V (Template)

Spettro della Galassia

v Template ⊗ ϕ(λ)


Per ogni galassia possiamo misurare i parametri strutturali come:luminosità totale, luminosità del bulge e del disco (spirale);raggio scala del bulge e del disco (spirale), raggio efficace;V media → redshift della galassia;σ (dispersione di velocità media nel raggio efficace)Ma anche cinematica risolta spazialmente ovvero V, σ in varie punti della galassia.Nel caso delle galassie a spirale dove c’è rotazione del disco si può determinare V(r)ovvero la curva di rotazione.

Parametri strutturali

13


!v = Vsys!n + V (R)!! sin"!i + cos "!j

"

!n = sin i!j + cos i!k

Vobs = !v · !n = Vsys + V (R) sin i cos "

Le curve di rotazioneConsideriamo un disco in rotazione circolare con V = V(R). I moti non circolari sono piccoli rispetto a V(R).Per ottenere V(R) dalle osservazioni dobbiamo correggere per gli effetti di proiezione geometrica.

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i

z

x

yR

V(R)

n

ϕ

(linea di vista)

Adesso è necessario esprimere R e cosϕ in funzione delle coordinate sul piano del cielo che sono quelle effettivamente misurate.

!n = sin i!j + cos i!k

Vobs = !v · !n = Vsys + V (R) sin i cos "


Possiamo quindi ottenere R e cosϕ dalle coordinate x′,y′ sul piano del cielo

R2 = x2 + y2 = x!2 +!

y!

cos i

"2

Le curve di rotazione

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cos ! =x

R=

x!

R

y′

x′P (x′, y′)•Proiezione di xy

sul piano del cielo

i

y′

z

Vista lungo x

y

i

La proiezione di xy sul piano del cielo definisce il riferimento x′y′ e risulta:

i

z

x

yR

V(R)

n

ϕ•

P (x, y)

cos ! =x

R=

x!

R

R2 = x2 + y2 = x!2 +!

y!

cos i

"2

y! = y cos ix! = x


Le curve di rotazione

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4!G"H(r) =V 2

H

a2H + r2

V 2(r) = V 2H

!1! aH

rarctan

"r

aH

#$

Esempio: potenziale di alone oscuro

“Spider diagram”:contorni di iso-velocità osservati ovvero contorni di V(R)cosϕ costante per disco con i=30° (unità di VHsin30°)

Velocità osservate lungo le direzioni → → (fenditure lunghe dello spettrografo)

4!G"H(r) =V 2

H

a2H + r2

V 2(r) = V 2H

!1! aH

rarctan

"r

aH

#$


Rotazione delle galassie a spiraliE’ facile ottenere la curva di rotazione di una galassia esterna simile alla Via Lattea (“spirale”) utilizzando le righe di emissione del gas ottiche (per esempio Hα 6563 Å) o radio (HI a 21 cm).

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NGC 6946

Ottico Radio (HI 21cm)


Curve di rotazione delle spirali

18

Radio (HI)Ottico

corpo rigido (V~R) velocità costante (V~V0)


La rotazione della Via Lattea

Determinare la curva di rotazione della Via Lattea è più difficile che nel caso delle galassie esterne.

La curva di rotazione nei dintorni del Sole può essere determinata col metodo delle costanti di Oort (→corso di Astronomia).

Per R < R0 (distanza del Sole dal centro galattico) si possono sfruttare le nubi di gas che emettono HI a 21 cm.

Per R > R0 la situazione è più complessa e si deve ricorrere a sorgenti di cui è possibile determinare la distanza.

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Il metodo delle costanti di OortStella con velocità radiale vr e trasversale vt rispetto al Sole. La velocità angolare di rotazione circolare attorno al centro galattico a distanza R è esprimibile come Ω(R) = V(R)/R. Si dimostra che:vr = ( Ω(R) - Ω0 ) R0 sinℓvt = ( Ω(R) - Ω0 ) R0 cosℓ- Ω(R) d

Espandendo in serie di Taylor al primo ordine Ω(R)si arriva infine a scrivere:vr = A d sin 2ℓ vt = A d cos 2ℓ+ B d

A e B sono costanti che dipendono da V(R0), R0 e (dΩ/dR)0 e sono dette costanti di OortMisurando vr, vt, d e ℓda stelle vicino al Sole

A = 14.4 ± 1.2 km/s/kpc B = -12.0 ± 2.8 km/s/kpccioè si conosce V(R) ma solo per R ~ R0 ed il metodoè valido solo in prossimità del Sole.

20


Il profilo della riga HI in una determinata direzione verso il disco galattico mostra variecomponenti che corrispondono a nubi poste a varie distanze dal centro. La nube alla minima distanza dal centro avrà la velocità massima perché V(Rmin) è più grande in modulo e la sua proiezione lungo la linea di vista è massima: d = R0 cos ℓ V(Rmin) = Vmax

In questo modo è possibile determinare la curva di rotazione della Galassia ma solo per distanze R < R0.Per andare oltre è necessario conoscere d (Cefeidi ...) ed utilizzare relazioni generali per vr e vt viste prima.

Rotazione dalle nubi HI

21

VMax

VMax


La curva di rotazione

22

Rotazione di corpo rigido (solid body): V ~ r

Velocità costante: V ~ V0


Significato fisico della rotazione

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Nelle parti di rotazione di corpo rigido, V~r → densità costante ρ(r)~ρ0

Nelle parti a velocità costante, V~V0 → sfera isoterma ρ(r)~r-2

Ma la densità di stelle del disco decresce in modo esponenziale.

Le curve di rotazione delle galassie a spirale (a disco) implicano l’esistenza di materia che non è spiegabile con le stelle ed è “visibile” solo attraverso i suoi effetti gravitazionali:

Materia Oscura


La curva di rotazione

24

M(<R0) = 8.8 ×1010 M☉

Rotazione di corpo rigido (solid body): V ~ r

Velocità costante: V ~ V0

Questa sarebbe la curva di rotazione (V~r -0.5) se non ci fosse altra massa oltre il Sole.La massa in stelle oltre il Sole è trascurabile rispetto a M(<R0).


L’alone di materia oscura ha un andamento del tipo:

Per la Via Lattea:

Questo andamento deve avere un “taglio” a grandi r altrimenti MTOT→∞ !

Una galassia come la Via Lattea ha una massa “visibile” (stelle+gas): Mvis ~ 1.1× 1011 M☉(Vrot~220 km/s a r~10 kpc)

Mtot ~ 5.6× 1011 M☉

(Vrot~220 km/s a r~50 kpc)

La proporzione di materia oscura ricavata dalle curve di rotazione varia da ~50% nelle Sa-Sb fino a 80%-90% nelle Sd-Sm.

La materia oscura

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!(r) =!0

1 +!

ra

"2

!0 ! 5.9" 107 M! kpc"3

a ! 2.8 kpc

Mtot/Mvis ~ 5

!0 ! 5.9" 107 M! kpc"3

a ! 2.8 kpc

!(r) =!0

1 +!

ra

"2


Natura della Materia Oscura

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Materia Oscura

Barionicamateria ordinaria fatta di protoni e neutroni

Non Barionica

Resti di stelle(stelle neutroni,

buchi neri)Nane Brune

MACHOS (Massive Astrophysical Compact Halo Objects)

~15%

Cold Dark Matter (CDM)

particelle con v≪c

Hot Dark Matter (HDM)

particelle con v≈c

?? WIMPS (Weakly Interacting Massive Particles)

Neutrini (ν) + ??

Ciò che resta < 3%

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