Le Filtrage des Signaux Numériques - LAAS-CNRShomepages.laas.fr/adoncesc/SystemEmbed/Filtrage.pdf · • Analogique : se divisent en passives et actives en fonction de la partie

Le Filtrage des Signaux Numériques

Andrei Doncescu [email protected]

MASTER1-FILS UPB

Filtres Linéaires

Fonction de Transfert

Filtres Analogiques Passives 4 types de filtres - “Ideal”

Passe-bas lowpass Passe-haut highpass

Bande passante bandpass Filtre rejecteur bandstop

Le Cas Réel :

lowpass highpass

bandpass bandstop

Filtres Analogiques Passives

Systèmes linéaires

•  Les systèmes linéaires sont caractérisés complètement par leur réponse à une impulsion unité

Specification (anglais)

Frequency-Selection function Passing Stopping Pass-Band Low-Pass High-Pass Band-Pass Band-Stop Band-Reject

Passband ripple Ripple bandwidth

Filter Specification

Filtres •  Analogique : se divisent en

passives et actives en fonction de la partie hardware utilisé : RLC ou A.O.

•  Numériques : Implémentés en utilisant une structure numérique : DSP, microprocesseur permettant de calculer la convolution, la FFT

R C VI VO

+

_

+

_

1( ) 1

1( ) 1OV jw jwCV jw jwRCRi jwC

= =++

Low pass filter circuit

Filtre Passe-Bas Passif et Analogique

0 dB

1

ω

ω 0

1/RC

1/RC

Bode

Lineair

. -3 dB

x 0.707

Filtre Passe-Bas Passif et Analogique

C R Vi VO

+

_

+ _

( )1( ) 1

OV jw jwRCRV jw jwRCRi jwC

= =++

En anglais High Pass Filter

Filtre Passe-Haut Analogique Passif

High Pass Filter

0 dB

.

. -3 dB

0 ω

ω

1/RC

1/RC

1/RC

1 0.707

Bode

Lineair

x

Filtre Passe-Haut

C L

R Vi VO +

_

+ _

2

( )1( )

O

i

R sV s LRV s s sL LC

=+ +

Filtre Passe-Bande Passif

ω

ω 0

0 dB -3 dB

ωlo

ωhi

.

. .

. 1 0.707

Bode

Lineair

ωlo

ωhi

Filtre Passe-Bande Passif

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode D iagrams

-15

-10

-5

0From : U(1)

102 103 104-100

-50

0

50

100

To:

Y(1

)

-3 dB

-5 dB

Filtre Passif et Analogique

Filtre Passe-Bande

Exemple Matlab

N = 10; %order butterworth ordre 10 [ZB, PB, KB] = buttap(N); numzb = poly([ZB]); denpb = poly([PB]); wo = 600; bw = 200; % wo freq centrale % bw bandwidth

[numbbs,denbbs] = lp2bs(numzb,denpb,wo,bw); w = 1:1:1200; Hbbs = freqs(numbbs,denbbs,w); Hb = abs(Hbbs); plot(w,Hb) grid xlabel('Amplitude') ylabel('frequency (rad/sec)') title('10th order Butterworth filter')

Butterworth

Exemple

num = [1 0 300000]; den = [1 3100 300000]; w = 1 : 5 : 10000; Bode(num,den,w)

Filtre Rejecteur

Exemple

Bode

Matlab

Filtre Rejecteur

VinVO

C

Rfb

+

_

+

_

Rin

Filtre Passe-Bas Actif

RinC

Vin

Rfb

VO+

_

+

_

Filtre Passe-Haut Actif

Vin

R1

R1C1

C2

R2R2

Rfb

Ri

VO

+

+

_

_

Filtre Passe-Bande Actif

Vin

R1R1

C1

C2

R2 Ri

Rfb

VO

+

_

+

_

Filtre Rejecteur

La Transformée en z

Lien avec la Transformée de Laplace

•  Pour p=σ+2πjf, σ l’amortissement et f=fréquence

Tz x(n){ }= TL x(n){ }z=ept

= x(n) −npTeen∈Z∑ =

−nx(n)zn∈Z∑

0 σ

2πjf Plan de Laplace

Plan des {z}

Plan Transformée en Z

0 σ

2πjf Plan des {z}

fe/4

fe/2

-fe/2

-fe/4

Plan des p fe/2

-fe/2

0et )21(,)

21( <⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−∈ σ

eefkfkf

fjp 2πσ +=eTfjteez 2 πσ=

Représentation par la Transformée en z

•  Définition On appelle transformée en z bilatérale d’une suite {x(n)}, la

somme Xb(z) définie par :

Xb(z) = Tzb = x(n)n∈Z∑ z−n

Remarque : On peut considérer la transformée monolatérale:

Xb(z) = Tzb x(n){ }= x(n)n=0

∞

∑ z−n

Propriétés •  Linéarité

•  Shift (retard ou avance)

•  Inversion dans le temps

)()()()()()( zbYzaXzWnbynaxnw +=↔+=

)()( 0

0zXznnx n−↔−

)()( 1−↔− zXnx

Attention au domaine de convergence

Propriétés •  Multiplication par une exponentielle

•  Convolution

•  La transformée en z n’a pas de sens que si l’on précise le domaine de convergence

Le domaine de convergence d’un signal causal est un ????

)()( 1 zXnxn αα −↔

)()()()()()( zHzXzYnhnxny =↔∗=

Systèmes linéaires invariants

•  Définition

)()( )()( 00 kkykkLxkykLx −=−=

Signaux Déterministes

•  Dans un contexte de logique câblée ou programmée, il est immédiat de créer certains signaux déterministe:

•  Par contre il est moins facile de créer des signaux plus élaborés comme par exemple:

)()(

)()(

ntriangnx

nrectnx

N

N

=

=

) u(n)nTπf() (ααa y(n) ee 02cosexp=

Systèmes discrets

•  Un système est discret lorsque toutes les grandeurs variables du système sont des signaux discrets.

•  La réponse du système ne dépend pas uniquement des signaux discrets d’entrée mais aussi de l’état interne du système, donc nous avons une relation de récurrence

•  Si le système est linéaire et invariant dans le temps nous avons l’équation de type récurrence :

Systèmes discrets

∑∑==

−=−M

mm

N

nn mkxankyb

00)()(

Exemple (l’importance des conditions initiales)

)()(0 0)(

tukxkky

=<∀=

)(1

)(1)(

1)1(1)2(1)0()1()1(1)1()0()0(

1

2

kuaaky

aaayyaayxy

ayxy

k

+

−−=

+−=−=

−=−=

=−−=

+

Relation de récurrence et transformée en z monolatérale

•  Considérons la relation de récurrence:

•  La Transformée en z est :

0)2( )1( )(21

=−+−+ nybnybny b1 et b2 ctes

{ } { }zbzbybybybz zY 2

2

1

1

1

221

1 )1( )2( )1( )(

−−

−

+

++

−+−+−−=

35

La Transformée en z Inverse •  Basée sur l’intégrale de Cauchy •  Méthode d’identification par “inspection”

– Décomposition en fractions simples –  Identification de la série géométrique Exemple: Calculer la transformée z inverse de :

[ ] az az11nua 1

Zn >−

⎯⎯ →←−

( ) [ ] [ ]nu21nx

21z

z211

1zXn

1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=→>

−=

−

36

Transformée en z inverse •  Supposons que la TZ se présente sous la forme :

•  Développement en fractions simple :

•  Le premier terme existe si M>N

–  Br est obtenu par division longue •  Le deuxième terme représente le pôles simples •  Le troisième terme représente les pôles multiples •  Chaque terme permet d’obtenir le TZ inverse par identification

( )∑

∑

=

−

=

−

= N

0k

kk

M

0k

kk

za

zbzX

( )( )∑∑∑

=−

≠=−

−

=

−

−+

−+=

s

1mm1

i

mN

ik,1k1

k

kNM

0r

rr

zd1C

zd1AzBzX

37

Développement en Fraction

•  Coefficients sont :

•  Easier to understand with examples

( )( )∑∑∑

=−

≠=−

−

=

−

−+

−+=

s

1mm1

i

mN

ik,1k1

k

kNM

0r

rr

zd1C

zd1AzBzX

( ) ( )kdz

1kk zXzd1A

=

−−=

( ) ( )( ) ( )[ ]

1idw

1sims

ms

msi

m wXwd1dwd

d!ms1C

−=

−−

−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

=

38

Transformée z inverse d’un 2eme ordre

( )21z :ROC

z211z

411

1zX11

>

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−−

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−− 1

2

1

1

z211

A

z411

AzX

( ) 1

41

211

1zXz411A

1

41z

11 −=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

−=

− ( ) 2

21

411

1zXz211A

1

21z

12 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

−=

−

39

•  ROC extension

( )21z

z211

2

z411

1zX11

>

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

−−

[ ] [ ] [ ]nu41-nu

212nx

nn

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

Génération des signaux numériques

•  Relation de récurrence :

•  Générer un signal sinusoïdal

)1( )( −= kxakx ⎪⎩

⎪⎨⎧ ≥

==resten 0

0k x(k)1)0( ak

x

)sin()sin()cos()cos()cos()sin()cos()cos()sin()sin()sin()sin()cos()cos()cos()sin()cos()cos()sin()sin(

bkbbkbbkbbkbbkbbkbbabababababa

−=+

+=+

−=+

+=+

(b)x(k)(b)y(k))y(k(b)y(k)(b)x(k))x(k

sincos1sincos1

−=++=+

⎩⎨⎧

==1)0(0)0(

yx

⎩⎨⎧

==

)cos()()sin()(

kbkykbkx

Modèle Linéaire Discrets

∑∑−

=

−

=−=−

1

0

1

0)()(

K

kk

L

ll knxalnyb

Soit, l’équation linéaire, aux différences finies

Est un modèle ARMA d’ordre (K,L)

Questions: 1.  Quel l’ordre minimal (K,L) qui permettre de représenter le signal de

façon convenable ? 2.  Comment déterminer les {ak} et les {bl} ? Ces coefficients restent-ils

invariants lorsque l’on considère différentes réalisation du signal ?

Filtres

•  Filtres récursifs

•  Filtres non-récursifs

RII-ARMA Entrée Xk

Sortie yk

Entrée Xk RIF-MA

Sortie yk

Stabilité des Modèles ARMA

•  La CNS pour qu’un système linéaire, de réponse impulsionnelle {h(n)} soit stable est que :

•  La stabilité d’un système AR ou ARMA exige que les pôles de la fonction de transfert H(z) soient à l’intérieur du cercle unité du plan {z}

ésommabilitnhn

)(0

∞<∑∞

=

Filtrage Numérique

MATLAB 3: signal sinusoïdal

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1chronogramme d'un signal en temps continu

axe des temps (secondes)

amplit

ude du

signal

•  Amplitude : 0.8 •  Durée : 0.03 seconde •  Période : 0.02 seconde •  Fréquence : 1/0.02 = 50Hz •  Signal analogique et (en temps) continu •  Expression : s(t)= 0.8*sin(2*π*t/0.02)

Page 46

script Matlab % créer et afficher le signal sinusoïdal précédent freq= 50; % en Hertz (Hz) ampl= 0.8; % ';' signifie ne pas afficher le résultat temps= [0:1:299]/10000; % définir vecteur temps(secondes) signal= ampl*sin(2*pi*freq*temps); % créer vecteur signal plot(temps, signal) % trace la courbe signal(temps) axis([0, temps(length(temps)), -1, 1]) % définir les axes grid % tracer la grille title('chronogramme d''un signal en temps continu') xlabel('axe des temps (secondes)') ylabel('amplitude du signal')

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1chronogramme d'un signal en temps continu

axe des temps (secondes)

amplit

ude du

signal

Page 47

signal discret, signal numérique.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1signal numérisé, B=3bits

axe des temps (secondes)si

gnal

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1chronogramme d‘‘un signal en temps discret

axe des temps (secondes)

ampl

itude

du

sign

al

000

•  période d’échantillonnage : Te= 0.001s •  fréquence d'échantillonnage fe =1000Hz •  20 Te par période •  Signal en temps discret et analogique

001

010

•  nombre de bits par échantillon : B = 3 •  8 niveaux de quantification •  pas de quantification : Q=0.25 •  erreur de quantification 0 < ε < 0.25 •  Signal numérique et en temps discret

Page 48

Composition fréquentielle.

50)2000cos(

18)1200cos(

2)400cos()( tttts πππ

++=

Le signal s(t) est composé des trois fréquences 200, 600 et 1000Hz

Le chronogramme ci-dessus a été tracé par Goldwave à partir de l’expression mathématique :

200Hz 600Hz 1000Hz

Page 49

MATLAB : spectre et spectrogramme du signal s(t)

spectrogramme = spectre(temps)

spectre calculé par l’algorithme de F.F.T. (Fast Fourier Transform)

fréquence

fréq

uenc

e

amplitude en dB

fe/2

fe/2

Gabarit d’un filtre •  Pour un filtre passe-bas, est conduit à introduire 3 régions

–  Bande passante, plage de fréquences où le gain prend des valeurs comprises entre (1-δp,1+ δp) où δp est le taux d’ondulation

–  Bande de transition, plage de fréquence où le gain s’atténue dans un rapport A.

–  Bande affaiblie, plage de fréquences où le gain prend des valeurs inférieurs à δs

B. affaiblie B. passante

f

H(f)

fe

- 3dB

fc

ripples

•  La partie du plan complexes où se trouvent les zéros correspond à la bande affaiblie. Plus les zéros sont proches du cercle unité, plus l’atténuation est grande. Plus le nombre de zéros est grand, plus les ondulations dans la bande affaiblie pourront être rendues faibles.

Im(z)

Re(z) x

x

x

x

zéros pôles

f=0

f=1/4

f=-1/4

• Le lien entre le gabarit et la position des pôles et des zéros.

– Le cercle unité est gradué en valeur de la fréquence qui varie entre –½et ½

– Si les pôles et les zéros sont complexes conjugués |H(jω)| est paire

– La partie du plan complexe où se trouvent les pôles correspond à la bande passante. Plus les pôles sont proches du cercle unité, plus les surtension sont grandes. Plus les pôles est grandes, plus les ondulations dans la bande passante pourront être rendues faibles.

Synthèse d’un filtre réel à temps continu

•  Problème : Comment réaliser en numérique un filtrage analogique ? –  Donc, si xa(t) et ya(t) sont les signaux d’entrée et de

sortie d’un filtre analogique: comment fabriquer les échantillons de ya(t) à partir de ceux de xa(t) ?

Solution : •  Soit le filtrage linéaire réel analogique défini par l’équation en

fréquence :

Si Xa(f)=0 pour |f|>B, alors Ya(f) est lui-même à bande limitée B. On prend Fe=1/Te>2B

•  L’expression des échantillons ye(n)=ya(nT) en fonction des échantillons x e(n)=xa(nTe) s’écrit

) () () ( fXfHfY aaa =

)e(H)e(X)e(Ynhtxny fjπe

fjπe

nfjeeee

n 2n 2 2 ~ )(~*)()( =⇔= π

Où est la périodisée de )e(H nfjπe

2~ B/febfrectfFeH bba =− où )( )( ),(

Conclusion

•  C’est donc un filtrage à temps discret dont la réponse en fréquence s’obtient par troncature de Ha à la bande (-B,B) suivie d’une division de l’axe des fréquences par Fe

Preuve

•  En utilisant la formule de Poisson:

Et en posant

∑∑∑

∈

∈∈

−−=

−==

Zkeaeae

Zkeae

fnj

Zne

fje

FfkXFfkHF

FfkYFnyY ee))(( ))((

))(( )( )( 22 ππ

: aon )( )()(~),( frectfFeHfH bbaa −=

∑∑∈∈

−−=Zk

eaZk

eaefj

e FfkHFfkXFY e ))((~))(( )( 2 π

ANALYSE DES FILTRES NON RECURSIFS OU RIF

Caractéristiques des RIF

•  Équations mathématiques :

y(n) = h(k)x(n− k)k=0

N−1

∑

H (z) = h(k)z−kk=0

N−1

∑

ΣΣ

z 1− z 1−x(n)

hk h1 h0

y(n)

1...

)()()(

1

10 zhzhhzXzYzH

N

N

−− +++==

Filtre à réponse impulsionelle finie (RIF)

Stabilité : un filtre RIF est stable Phase linéaire: si la réponse impulsionelle

vérifie

110 ... −−−++= LnLnn xhxhy

,N][L hh LN L 0 ∈∀= −

Remarque: conséquence directe de la symétrie de la réponse impulsionelle

Démonstration de la phase linéaire

•  N=7 •  h(n)=h(N-1-n) ou h(n)=-h(N-1-n)

)4()2( ; )5()1( ; )6()0( hhhhhh ===

∑=

−==6

0

)()()(k

Tjktj ekheHH ωωω

)))(2())(1())(0(()( 22333 TjTjTjTjTjTjTj eeheeheeheH ωωωωωωωω −−−− +++++=

Exemple

•  Considérons le filtre RIF, dont la réponse :

Sa réponse en fréquence est :

{ }3210 0 2 13 0 ,,,pour n et hh, hhh n ≠===

πf ))( hπf )( (hehehehhH

ee

jππ

fjfjfjfj

6cos3cos )(

1 03

63

42

210

2

−+−=+++=

−

−−− ππππ

Filtre Design

•  Spécifications du filtre •  Calcul des coefficients •  Réalisation •  Analyse de la quantification des coefficients du filtre •  Implémentation

Spécifications :

Soit un filtre passe-bas utilisé pour la réduction du bruit physiologique :

•  La bande passante 10Hz •  La bande d’arrêt < 20 Hz •  L’atténuation dans la bande d’arrêt < 30dB •  Les oscillation dans la bande passante « ripple » <0.026 dB

•  La fréquence d’échantillonnage 256 Hz

Gabarit d’un filtre –  Bande passante, plage de fréquences où le gain prend des valeurs

comprises entre (1-δp,1+ δp) où δp est le taux d’ondulation –  Bande de transition, plage de fréquence où le gain s’atténue dans

un rapport A. –  Bande affaiblie, plage de fréquences où le gain prend des valeurs

inférieurs à δs

f fe fc

B. affaiblie B. passante

H(f) - 3dB

ripples

Synthèse RIF passe-bas par la méthode de la fenêtre

•  On veut construire un filtre numérique idéal réel de bande b∈(0,1/2) définie par :

•  Donc

•  La meilleure approximation de longueur 2N+1 est :

) () (),(

2 frecteHbb

fj

−=π

πππ

nbndfh

b

b

fjn

n e)2sin( 2

== ∫−

{ sinon 0} [N,...,Nsi nhg n

n∈=

Remarque: cette troncature introduit des lobes dans la réponse en fréquence

cOfh 2=

Fenêtre de pondération

•  Le fait de ne conserver de la suite infinie h(n) qu’un nombre fini de termes revient à la multiplier par une fonction rectangle de largeur N et donc à convoluer H(f) par la fonction :

Wr = e− jω n

n=0

N−1

∑ =1− e− jNω

1- e− jω=

sin(Nπ f )sin(π f)

e− jπ (N−1) f

Algorithme 1.  On se donne le gain complexe H(f) à réaliser et le nombre N de

coefficients du filtre 2.  On détermine les coefficients h(n) par la formule précédente en

limitant le calcul à N valeurs réparties de façon symétrique autour de n

3.  On multiplie terme à terme la suite obtenue par une suite w(n) appelée fenêtre de pondération

Synthèse RIF passe-bande à partir d’un RIF passe-bas

•  Soit hn la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas de bande B. •  Considérons le filtre de réponse impulsionnelle:

•  Par TFtd on en déduit que l’expression du gain complexe de gn:

•  Conclusion : Si hn est filtre passe-Bas de bande B, gn est un passe-bande centré autour de f0 de bande 2B

ehehnfhg nfjn

nfjnnn

00 220 ) 2cos(2 πππ −+==

)()()( )(2)(22 00 eee ffjffjfj HHG −+ += πππ

Fenêtre de pondération

•  Sont des fenêtres qui présentent des lobes secondaires de moindre amplitudes.

•  Conséquence: l’élargissement de la bande de transition. •  Exemple: Hamming

•  Remarque: la pondération utilisée conserve la symétrie de la fenêtre et donc la propriété de phase linéaire

wH (n) = 0.54+ 0.46cos(2πn/N) où n ∈ −N / 2,..., N / 2{ }gn = hn ×wn

Relation pour la fenêtre de Hamming

B. affaiblie B. passante

H(f) - 3dB

ripples

fΔ

Nf 3.3=Δ

atténuation maximum est 53 dB

Les oscillations dans la bande passante minimum 0.0194 dB

Hamming

Différentes fenêtres Fenêtre Ltransition Ripple Lobe

principal Attenuation dans la bande stop

Function

Rectang. 0.9/N 0.7416 13 21 1

Hanning 3.1/N 0.0546 31 44

Hamming 3.9/N 0.0194 41 53

Blackman 5.5/N 0.0017 57 75

Kaiser

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Nnπ2cos5.05.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Nnπ2cos46.054.0

Signification physique des coefficients bi

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

==

0n si 00n si 1

)(nx

Considérons une impulsion :

Et la relation de récurrence :

...)2()1()()(210

+−+−+= nxanxanxany0)3(0)2(

)1()0(

0)1(

1

0

=

=

=

=

=−

yy

ayay

y

0...21

32

10

===

==

aa

aa

Remarques

•  On peut dire que la suite a0 ,a1, … constitue la réponse du filtre à une impulsion

•  Le milieu de la réponse a pour abscisse :

•  On peut estimer que le filtre introduit un retard et que la réponse impulsionnelle est symétrique par rapport à ce point.

2eT

=τ

Exemple •  Supposons que l'on veuille faire un filtre passe-bas de fréquence de

coupure fc,

On peut prendre •  Réponse de ce filtre :

•  On a donc une réponse fréquentielle du type :

Réponse en amplitude Réponse en phase

121

21

−+= nnn ees

zzEzEzS 1 )( 21 )(

21)( −+=

zzEzSzH 1

21

21

)()( )( −+==

eeeeeTej

eTejT ejT ej

T ej TjH 2222

2cos)(

21

21

21)(

ωωωωω ω

ω−−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=+=

L' équation de récurrence • Ex: y(n)=x(n)-x(n-1) dérivateur mais avec • des résultats très moyens sauf pour les basses fréquence.

Exemple

•  Déterminer les coefficients d’un filtre RIF passe-bas avec les fréquences suivantes pour la bande passante et la bande d’arrêt 1kH et 4.3 kHz. Utiliser une fenêtre de Hamming et considérer la fréquence d’échantillonnage de 10kHz.

Solution

fN

Δ≈

3.3

Conclusion

•  Il existe des méthodes de conception de filtre RIF simple à mettre en œuvre

•  Phase linéaire, donc pas de dispersion •  Stabilité •  Cher en réalisation •  Le retard entre l’entrée et la sortie peut être relativement

longue •  Implémentation possible sur tous les DSP

ANALYSE DES FILTRES RECURSIFS OU RII

Synthèse des filtres numériques RII

•  Caractérisés par l’équation récurrente :

•  La fonction de transfert est :

∑∑ ∑=

∞

= =

−+−=−=M

kk

k

N

kk

knyaknxbknxkhny10 0

)()()()()(

∑

∑

=

−

=

−

+= M

k

k

k

N

k

k

k

za

zbzH

1

0

1)(

Réponse impulsionnelle

21

1

81.0)16/cos(8.115.01)(

−−

−

+−

+=

zzzzH

π

Filtrage

Synthèse des filtres numériques par transformation de H(p) en H(z)

•  Transposer la fonction de transfert H(p) de son homologue analogique du plan p dans le plan z par une règle reliant p à z

Transformation d’Euler ou équivalence de la dérivation

ekkk Txxydt

dxty 1 )( −−=→=

p H(p)ppXpY =⇒= )()(

[ ] )(1)()(1)(1

1 zXTzXzXTzYeezz−

− −=−=

eTp z 11 −

−→

Synthèse d’un filtre numérique passe-bas du 1er ordre

•  Soit la fonction de transfert :

•  La réponse impulsionnelle :

•  La réponse indicielle :

RC 1

1)( =+

= ττ p

pH

)( 1)(t

tueRC

th RC−

=

)(1)( tuets RCt

ind ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−

•  En utilisant la transformation précédente :

•  L’équation aux différence est :

11

1)(−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

zTT

zH

ee

ττ

k

e

k

e

e

kx

T

y

T

Tyττ

τ

++

+=

−

1

1

11

Application

)1Ck 1( 1 µτ === Rms

sTe

µ100=Équation ????* Réponse impulsionnelle x1=1 xk=0 k>1 Réponse indicielle xk=1 k>=1 Conditions initiales y0=1

RII versus RIF

•  La complexité d'un filtre RII est moindre que celle d'un filtre RIF du même ordre. Cette propriété peut être utile sur les plateformes limitées en puissance de calcul

•  Généralement, les filtres RIF sont moins sensibles aux erreurs de quantification que les filtres RII. L'absence de récursivité empêche les erreurs cumulatives.

•  Un filtre RIF est moins sélectif qu'un filtre RII du même ordre. C'est-à-dire que la transition entre la bande passante et la bande rejetée est moins rapide que dans le cas du filtre RII.

•  Contrairement à un RII, un filtre RIF peut avoir une réponse impulsionnelle symétrique et introduire un retard sur le signal mais aucun déphasage.

Le choix du filtre RIF/RII

•  RIF peuvent avoir une phase linéaire : Applications transmission de données, audio, traitement d’images

•  RII la phase est non-linéaire •  RIF toujours stable •  L’effet de la limitation du nombre de bits est moins sévère

pour les RIF que pour les RII •  RIF nécessitent un nombre de coefficient supérieure au RII •  Les filtres analogiques peuvent être transformés facilement

en RII

Quand RII/RIF ?

•  RII pour des filtres avec une bande de transition faible

•  RII pour des gains importants •  RIF quand le nombre de coefficients est réduit :

les DSP conçus pour RIF

Les banc de filtres

Traitement Multicadence •  Un système multicadence est caractérisé par le fait que des cadences

de traitement différentes sont présentes simultanément en divers points de la chaîne de calcul

•  Exemple: les opérations de sur et de sous-échantillonnage •  Avantage: gain en termes d’efficacité de calcul

Applications du traitement du signal

« multicadence »

•  Filtrage bande étroite : Audio numérique

•  Le codage en sous-bandes

•  La conversion analogique/digitale (Σ-Δ)

•  Transmultiplexeurs (OFDM)

•  MPEG audio/vidéo

•  ………

Problématique Les systèmes de communications mobiles (GSM) ou interactifs sur câbles sont des systèmes où divers utilisateurs sont autorisés à communiquer simultanément.

L'accès multiple est classiquement résolu en ayant recours au multiplexage temporel des signaux (GSM) où l'attribution de codes différents (code division multiple acces). Pour les réseaux CATV interactifs, il a récemment été proposé d'attribuer à chaque utilisateur une forme d'onde qui est en fait une fonction de base d'une transformation de Fourier discrète. Cette technique a été baptisée OFDMA (orthogonal frequency division multipleacces).

Solution: •  Structures en bancs de filtres (systèmes sous-bandes) , qui sont plus

généraux que les systèmes à transformation orthogonale.

Introduction Un banc de filtre est un ensemble de filtres numériques travaillant en

parallèle et découpant la bande de fréquence en K sous bandes.

Le traitement du signal numérique traditionnel utilise des blocs comme: l’additionneur, multiplicateurs et des le retard. Dans les systèmes banc de filtres, nous avons deux nouveaux bloc Décimateur

Expandeur

M↓

L↑

Sur-échantillonnage •  Consiste à effectuer une interpolation sur une suite x(n) en calculant

M-1 valeurs intermédiaires entre deux points consécutifs

Sous-échantillonnage •  Consiste à calculer, à partir d’une suite échantillonnée à fe, les valeurs

de la même suite qui aurait été échantillonnée à fe/M

M Décimateur M décimation:

M↓x y

)()( Mnxny =

( ) MjM

k

kM eWWzXM

zY /21

0

/1 ,1)( π−−

=

== ∑

( )∑−

=

−=1

0

/)2(1)(M

k

Mkjj eXM

eY πωωωjez =

Dans l’intervalle (-1/2,1/2), Y(f) est la somme algébrique de M contributions décalées de 1/M

Échelle temps Séquence

n

)(nx

1 21− 3 4 5 6 70

n

)(ny

1 21− 3 40

t

)(tx

T T2T− T3 T4 T5 T6 T70

t

)(ty

T2 T4 T60

Temps physique

Échelle fréquence

ω

)( ωjeY

π π20

ω

)( ωjeX

π π20

1

21

Ω

)( ΩjX

Tπ

Tπ20

1

Ω

)( ΩjY

Tπ

Tπ20

21

Fréquence physique Fréquence normalisée

L Expandeur

L-expandeur:

L↑x y

⎩⎨⎧=

de multiple un estresten ,0

),/()( LnLnxny

)()( LzXzY = ωjez = )()( Ljj eXeY ωω =

On retrouve le spectre de x(n) répliqué L fois

Filtre Décimateur )(zH M↓

x y

Filtre Décimateur Décimateur

u

)()()( zHzXzU =

∑

∑−

=

−

=

=

=

1

0

/1/1

1

0

/1

)()(1

)(1)(

M

k

kMkM

M

k

kM

WzHWzXM

WzUM

zY

∑∞

−∞=

−=k

knhkxnu )()()(

∑∞

−∞=

−=

=

k

kMnhkx

Mnuny

)()(

)()(

Filtre Interpolateur L↑

x y)(zHu

filtre interpolateur

expandeur

)()( LzXzU =

)()()()()(zHzXzHzUzY

L=

=

( )⎩⎨⎧= rest en

de multiple ,0

,/)( LnLnxnu

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

k

k

kLnhkx

knhkuny

)()(

)()()(

Connexion des éléments d’un schéma bloque

≡ M↓ cx yM↓c yx

M↓1x

2x

yM↓

y

2x

M↓

1x≡

M↓1x

2x

yM↓

y

2x

M↓

1x≡

Décimateur-Expandeur en cascades

M↓ L↑

M↓L↑x

x

0u

1u

0y

1y

( ) premiéres si seulement et si , 10 LMyy =

Simplification Identité 1: Identité 2:

≡ M↓ )(zHx y)( MzH M↓

x y

≡L↑ )( LzHx y )(zH L↑

x y

Filtres Spéciaux

Filtre banc d’ordre M: Représentation fréquentielle:

czE =)(0

∑−

=

=1

0

)(M

k

k MczWH

)(zH )(zWH )( 2zWH )( 1−MzWH

π20ω

Banc de Filtres Numériques

)(0 zH

)(1 zH

)(1 zHM −

x0x

1x

1−Mx

)(0 zF

)(1 zF

)(1 zFM −

0y

1y

1−My y

Analyse Synthèse

Conclusions:

)(0 zH

)(1 zH

)(1 zHM −

x 0x

1x

1−Mx

)(0 zF

)(1 zF

)(1 zFM −

0u

1u

1−Mu x̂

M↓ M↑

M↑

M↑

M↓

M↓

0v

1v

1−Mv

M-banc de filtres:

)()(ˆ),()(ˆ 00 nncxnxzXczzX n −== −

La reconstruction exacte est:

M=2 :

2↓)(0 zG

)(1 zG )(1 zH2↑2↓

2↑ )(0 zH0x

1x

0y

1y

x

2/)]()()()()[()(

2/)]()()()()[()(

1111

0000

zXzGzXzGzHzY

zXzGzXzGzHzY

−−+=

−−+=

La reconstruction parfaite est assurée lorsque

)()(ˆ zXzzX r−=

•  QMF: G1(z)=G0(-z)

•  CQF: G1(z)=(-z) -N G0(-z -1)

0)()()()(

2)()()()(

1100

1100

=−+−

=+ −

zHzGzHzG

zzHzGzHzG r

Transmission Numérique

Types de transmission

•  Transmission en bande de base: les signaux sont transmis tels qu’ils sortent de la source

•  Transmission par modulation: transposer le signal en autre contenant la même information, mais avec une modification en fréquence du signal –  Permet le multiplexage fréquentiel –  Adaptation aux condition d’un milieu de transmission

Quantité d’information •  La quantité d’information I contenue dans un caractère est :

•  Quantité d’information moyenne d’une source Entropie Soit une source ayant émis un message de m caractère issus d’un alphabet de n caractère alors

)(log2 ixpI −=

)(log)()( 21

in

ii xpxpXH ∑

=

−=

Message numérique en bande de base

•  Le message numérique est une suite {dk} de v.a. à valeurs dans {0,1}

•  Le modulateur associe de façon bijective à chacun de 2k message possible un signal à temps continue x(t)

•  Exemple: le signal numérique est engendré à partir d’une impulsion h(t) décalée et modulée par dk

•  Où Tb est l’intervalle de temps entre l’émission de 2 bits

∑=

−=K

kbk kTthdtx

1)( )(

bb TD 1=

Transmission binaire •  On considère un alphabet fini à M symboles

•  On choisit un codage qui associe à toute suite de m bits du message numérique un symbole ak de l’alphabet A

•  Le modulateur fournit le signal numérique:

•  Donc

2mM=

bk

k mTkT) où Th(tax(t) =−=∑

baud log1

2(M)D

TRb==

Codage de Gray 100  -7 101 -5 111 -3 110 -1 010 1 011 3 001 5 000 7

Modulation sur fréquence porteuse

•  On associe à un symbole dans l’intervalle de temps (kT,(k+1)T) le signal: x(t)=A cos(2πf0t+Φk)

L’enveloppe complexe de x(t) a pour expression

∑ =−=k

kkTkb )(jφkT) a(trectaAt)x exp(

Introduction •  Lors de transmission sont émis, soit des signaux analogique numérisés

soit des données purement et initialement numérique

•  La suite des valeurs binaires obtenues est transformée en une série d’impulsion destinée à être transmises c’est la transmission PCM

•  En modulation numérique différentielle dite DPCM sont transmis des différences en amplitude des échantillons successifs

Modulation PCM •  Supposons que le signal analogique à transmettre ait quantifié en

amplitude sur q niveaux représentés par des nombres binaires de n bits : q=2n Donc, il faut transmettre n impulsions binaires pour chaque échantillons soit nFe impulsion par seconde.

•  Le débit de moments est donc :

•  La bande passante nécessaire à la transmission PCM d’un signal analogique dont le spectre est borné par par valeur supérieure à fmax=Fe/2 est :

(Bd) nFeM=

max22 nfFnMB e===

Modulation delta

Principe •  C’est fondamentalement une quantification à un seul bit. Cette variable

est égale à la différence entre l’amplitude xe[n] de l’échantillon informatif et une amplitude xΣ(n) reconstitué par extrapolation successives d’ordre zéro.

•  Pour cette reconstitution on utilise un pas de quantification Δ •  xΣ est calculé à la fois par l’émetteur pour la modulation et par le

récepteur.

Bande passante •  Le débit de moments est donc M=Fe (Bd). •  Les erreurs de traînage c’est à dire la possibilité que l’écart entre x(t) et

xΣ(t) ne soit supérieure à Δ qui impose :

max

)(dttdx

Te≥Δ

max

)( 1 dttdxfe

Δ≥

Condition plus exigeante que le théorème de Shannon