LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Prof Giovanni Ianne
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
ELEMENTARI
Prof Giovanni Ianne
DEFINIZIONE
Equazione goniometrica
Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione
goniometrica dell’incognita.
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
1. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
2x cos – 1 = 0 non è un’equazione goniometrica perché non contiene
funzioni goniometriche dell’incognita x.
L’espressione cos , che compare nell’equazione, è una quantità
costante.
ESEMPIO
2 cos x – 1 = 0 è un’equazione goniometrica perché contiene la funzione
cos x.
2. L’EQUAZIONE sen x = a
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
ESEMPIO
Risolviamo .
Percorrendo la circonferenza goniometrica,
.
E, in generale: ,
troviamo:
,
.
ESEMPIO
Risolviamo .
ESEMPIO
Risolviamo .
: l’equazione non ha soluzione .
3. L’EQUAZIONE cos x = b
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
ESEMPIO
Risolviamo .
.
E, in generale: ,
Percorrendo la circonferenza goniometrica,
troviamo:
,
.
ESEMPIO
Risolviamo .
: l’equazione non ha soluzione .
4. L’EQUAZIONE tg x = c
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
ESEMPIO
Risolviamo .
.
E, in generale: .
Percorrendo la circonferenza goniometrica,
troviamo:
,
cos x = b
–1 ≤ b ≤ 1
L’equazione è
determinata.
sen x = a
–1 ≤ a ≤ 1
L’equazione è
determinata.
tg x = c
L’equazione è
determinata.
5. LE EQUAZIONI ELEMENTARI IN SINTESI
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Due serie di
soluzioni distinte.
Periodicità: 2p.
a < –1 o a > 1
L’equazione è
impossibile.
Due serie di
soluzioni distinte.
Periodicità: 2p.
b < –1 o b > 1
L’equazione è
impossibile.
Una serie di
soluzioni distinte.
Periodicità: p.
L’equazione sen a = sen a'
6. EQUAZIONI PARTICOLARI
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione .
a = a' + 2kp .
a + a' = p + 2kp .
sen a = – sen a'
Si riconduce a
sen b = sen b'
ponendo
b = a e b' = –a' .
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
sen a = cos a'
Equivale a
sen a = sen
e si riconduce a
sen b = sen b'
ponendo
b = a e b' = .
sen a = – cos a'
Equivale a
sen a = – sen
e si riconduce a
sen b = sen b'
ponendo
b = a e b' = – .
6. EQUAZIONI PARTICOLARI
L’equazione cos a = cos a'
6. EQUAZIONI PARTICOLARI
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
L’equazione cos a = –cos a'
Si riconduce a
cos b = cos b'
ponendo
b = a e b' = p – a' .
6. EQUAZIONI PARTICOLARI
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
tg a = tg a'
All’interno di un singolo giro, due angoli
hanno la stessa tangente.
La loro differenza è p .
In generale:
a' = a + kp .
tg a = tg –a'
Si riconduce a
tg b = tg b'
ponendo
b = a e b' = –a' .
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
7. ESERCIZI: L’EQUAZIONE sen x = a
Risolvi le seguenti equazioni in .
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE cos x = b
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
9. ESERCIZI: L’EQUAZIONE tg x = c