Top Banner
53

Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

Feb 14, 2022

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

������� ����� ��� � �� ��� ��������� ��

������� �������� �

������ �� ��� ���

���� ��� � ���� � �� ������ ������ �� ������������� ��� �� �� ���

�� ����

Page 2: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

Page 3: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

��������

� ����� � �� �� � ���� �

��� ��������� ������ !���" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #��� ���"����� �� ������ ������ !���" � � � � � � � � � � � � � � ����$ ��������� �� ������ ������ !���" � � � � � � � � � � � � ��

� ����� ����� ���� �� ���� ���� ��

��� �� � %� ��� �� &���� � '�(�����" � � � � � � � � � � � � � � �$��� �� �("�� &���� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)��$ &���� � '�(�����" '�"������ ���� � '�� �(�����" � � � � � � $*

� ����� � �� �� ���� �� ���� ���� ��

$�� ������ ������ '�(�����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $)$�� +������ ������ &���� � '�(�����" � � � � � � � � � � � � � � � $�$�$ �(������ ������ &���� � '�(�����" � � � � � � � � � � � � � ,,$�, ��("������ ���� �� �-� ����� '�(�����" � � � � � � � � � ,�

$

Page 4: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

, ��������

�������

+-��� -� ���� ���� � �(����� �������� -�" ���.��� �-� �-���� �� ������������� ����" ��� �-� �-���� �� ����� � �(�����" � &� �-� /� � "��� �(��� �-� ������������ �� ��� �� ��- /��� ��� ��� �� ��0� ���1���� '����2+����� ������ ��� �� ��. ����� 2 .-��� ���1��� .� � ������ (�(���2���(� � ����� ��� �-� ���� �� ���- /��� 2 �-��3 �� ���1��� ��� ���������� .-� .� �� � �� �-� ������ �� +������ 0�.���� �-� �������� -�"� ���"�� �-�� �-� "�� ���� �������� -�" ���.��� �-� � �.� (��-�(���������� � +-� ���� .-�- �����. ��� �� "������� �������� �������� ��� �����- �� �-�(�&���� � �(�����" -��� � ������� �������� .-�- -� � ���" �1�� ��

�-��� �������� +-� (�3� �-�( �(���� �� "�������� ������� ����" � &�����2�-� ������� �� ������ ������� ����" �� �� ��������2 �" �� ����������4��������2 � � ��������� �� �� �-� ������� �� ����� � �(�����" � +-� ���� "������ � � �������� �� ��(� � )* ���� ��� �� ��� �� ���1���5 6 �������-2 7�*8� ���1��� ��� ��� �9"���� �-� ��������� �������� -�" ��� ����-�� -��� .� .-�� .� "�� ��� -� �� ��� �� �-�"��� ��+-� "��"� � �� �-� � ���� � �� �9"���� �-� �������� -�" ���.��� ������

������� ����" ��� ����� � �(�����" � +-� /� � �-�"��� "������ �� �����:������ �� �-� �-���� �� ������ ������� ����" � ��3� �-� ��(������ �� �-����� 2 �-� ����������� � �� �� (��� �("����� &� � �������� � �� �����:������ ����� +-� ��( � �� "������ �����- �� � ;���� �� �-� �-���� �� "������� �� � ��� �9"������ .�� �� .-�- �-� �-���� �� ������ ������� ����" ����;���� ��� ����(����� �-� ���� �� �-� ������� �� ����� � �(�����" � ��("��-�� �� �" �� ���� ����� �� ������ ������� ����" �� �� ����� ���-� ���3 �� ������2 7$8��-�"��� � "������ �.� �9�("�� �� �-� .�� �� .-�- ������ �������

����" �� "������ �� ��-� ���� �-� ������� �� ����� � �(�����" � +-� /� �� �-� �9"� ����� �� ���1���5 �-����( �� ������ �-� ������� �� �� �("������� � (����� �� �-��( �� �-��� ���-� ���� �� �(�����"� +-� ����� �������� �� ���� �-� ������� �� ����� � �(�����" .-�- ��� ����������� �-� �(�����" �� "� ����� ���(��� �� � ������ ������� ����" ����� �-�� �("���� �-�� �-� ������� �� �-� ���("����� � �� ��� ������� �� �-������ ������� �� �-� ������ ������� ����"��-�"��� $ ���� �� �-� ���� �� ����� � �(�����" .-�- ��(�� � �(�:

������ �������� �� �������� �� �-� ������� "������ ��������� +-� /� � ��������� �(� �� � �� ��� �� ������ ������� �(�����" ��� "�������� ������������ � �(�����" .-�- ��� �� ������ � �� �-��� �.� ���-� ��� � ���� ��� �-�

Page 5: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�������� )

����� ����� �+-� �� ��� �� �-� ���� ����� ��� � �������� ��� �� +� '<���� .-�

�� �-� (����� ��=*5 ������ ��� � ���" ����� � �� �-� ������� �� �������������� �(�����" 6 �� "�������� �� ������� ������� ����� � �(�����" � &� � �� ������ � �-�� �� .� �� �������� .��- -� ���� �������� �� ������� ������������ � �(�����" �-�� '<���� ��������� .-�� ��� ��. 3��.� � �:������������ � �(�����" � +-� ������� �-����( ��� �-� � ����� � �(�����" "��(�� � �� ���� � �("��� ����� �� �-� ������� �� ������� ������� �:������� ����� � �(�����" �-�� �-�� .-�- .� ��������� �� '<����� +-� ������� -�. �� � ���3��� �� -��� �-� ���" �������� -�" ���.��� ������������� ����" ��� ����� � �(�����" .-�- � �-� ��� �� �-� � ���� �+-� /��� �.� ����� �9"���� �� (��� ������ �-� ������� �� �(�������

������� ����� � �(�����" �� �.� �������� .-�- ��� �������� �� �-� �.� �������� �9�("�� �� �-�"��� �� ��� �-� ��(�2 .� ���� .��- �-�( �� �-��""� ��� ������ '����� $ ���� .��- �-� �������� �� .-�- �-� ���("����� ������� � ���� �� �-� ����� ������� �� � .�� .-�- � �������� �� .-��-�""�� �� '����� ��$� +-� /��� ����� ���� �-� ������� �� ��� �(��������������� �� �-� ����� ����� � �(�����"�&� -���� �� "������ ��� �-�� �� �1��� -� ���� (��� �� "������ �(:

"���� ������� �� �-� ��"� �� ������ �� �-� ���� � ��� "���� -��� �����(������ +-� � �-� � � .��- -��-��� ��-���� ����(��� �-����-��� ���� "������ �� '����� $�$ ��� $�,� &�����2 � �������� �� "���� ��� ����� ��'����� $�,� & >� � .��� �� "���� ��� �(� � "�� �� �-� ��������� ��������: -�" �-�� & �� ���.��� �-� � �.� ��������� (��-�(����� � ��( � �� �-� �(� ��3�� �� ����("� -� ���� (��� �� "������ � �("���� ���������"-��&� ����2 � ��. ���� (������� -��� ���� 4������ � � �-� � � .��- ������������� ����" 2 .-��� ������5 ���3 "������ �� �9��� ��� ���������"-�2 �-������� � �������� �� �-� ���3 �� 0����� 7)82 0�.�� 7=82 ��� �����- 7�*8 ���(��� �9��� ��� ������ �� "�"�� �� �(�����" �� ���- �� ��-�(����� %����. �� � �=� "�"�� ����� ����� ���* ��:

�������2 �� ��� .�� �� �-� ��-��2 "�������� ������� �(�����" � ?�. �� �-�( ��( �� �� ������� .��- �-� ��"� .-�- ��� ������ -���� &� �-� �� ��-� "�� �������� � ���� ������ ���2 & -�"�2 ������ ���� �� "��� �-��� & �-��3�-��� � ���� (�- �� ������ �� �9"���� -����+-� ���� .��� "��"���� ��� � ���� �� ������ ����� �� �-� ������ ��

������� �� �-� ������ ��� �� �� ���� +-� ���-�� �-��3 �-� ������2 ���� "������ ����� �� !� � '� !�(� 2 ��� �-��� -� "��������+-� "��� �� "�� �������� ��� �-� ������ ����� ��� /�� ������ (�����

������ �� �-� � ��"� ���� � �.� .��3 "������ �������2 �-��� � �� .�� ��.-�- ��� �� �-� (������� �������� -��� : ���� �-���- �� � 3��-�2 �� ���-� ��� � : ���� �� ������ �� ������ �� �- � ����� "����� �� ��(�� ���

Page 6: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

= ��������

�����- �� �-� (��� �� ��� �� �� ������ �� ���� � ;���� �� �-� (�������������� 2 �- � �-�� ���2 .��� -��� �� �� ���� ��� �-� ������ : @�� ���A2 ��4���� (� �-��� �"���� �� �� �� B� ����� .-� � ��2 (� -����� ��2 �� ��"�-� "-�� � ���� -� ������ .-��� �������� �� ����3��3 "���� �� "������������ �" �����2 � �� "��32 & -�"�2 �� ��� �2 �� ����� ��"�� ������ ����� ����-� � .-� ������ �-� � ������ �+-� ������� ������� �� "�� �������� .��� ��C

����� � �C &���������� �� ��������� ������ !���" C �-�"��� �6

����� � �C ������ ������ !���" C �-�"��� �6

����� � �C '�������� D9�("�� �� &���� � '�(�����" 6 �� �("�� &�:��� � ����� ��� &���� � '�(�����" '�"������ ���� � '�� �(�����"C�-�"��� �6

����� � �C &���������� �� ������ ������ '�(�����" ��� +������ ������ &���� � '�(�����" C �-�"��� $6

����� � �C �(������ ������� �� &���� � '�(�����" ��� '�(����:��� ������� �� �-� ����� '�(�����"C �-�"��� $�

Page 7: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

����� �

����� � �� �� � ����

��� � ��� � �� �� � ����

� �(�����" � � ��� �� �� ������� ������ �� � ������� ������ ������ �� �� �� ��(�� � "������ ����� � .-�- � �("������ .��- ���� ��� ���-�(����"������� C

� � � �("��� ��� � ��� ��� ��� �� � � ���

��� ��������� ������� �(�����" �(� .��- �� ������ "������ ���������+-� � �-� � �2 ��� �9�("��2 ��� �(�����" �� �� �� �� � ��� &� � �� ��-� � � .��- ��� ����� � �(�����" � ?�� �-�� �-� ������ ����� ���� ���/��� ��

� � � �� ��� ���� �� � E �� ��� �(� ���("����� � E �� � �

� �("������ .��- (����"�������� +-� "������ ����� �� �4���������� ����/��� ������ ��

� � � �� ��� ���� �� � E � ��� �(� E � � �6

�-� �������� -�" ���.��� � ��� � �-�� E ������ ��(�����"�� 7)827=8 -� -�.� �-�� � ������� �(�����" � � "�������� ������� �� �-� ������� "�����������

� � � �� ��� ���� �� � E �� E � ��� �(� ���("����� �� � �

�� ��� ���� �� � � � ������ ����� � �(�����"� 7���� � .� .��� �� �������.��- �������� .-��� �� ����� � �(�����" -� �� �("� �� "������ ����� � .��� � �-� ������� ���2 .� .��� ���� �� �� ������ - ���.��� �-� �.� ����� �

#

Page 8: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

� ����� �� ������ ����� ����

?�� �-� ��� ��2 .� -��� ���"� �-� ��������� �-��2 .-�� �-��� � � "� ��������� �(�������2 � ������ �-� �("� �� "������ ����� ��� � ������ �-� �����������8+-��� ��� ��-�� .�� �� ��/���� � �("������ "������ ����� �� � �������

�(�����"6 �� 7)827=8� &� ��� �� �-� � � � 2 �-� "������ ����� � ������� .-��� � � ����"� F� -��� -�.���� �� ������ ��� �� �������� .-�� �-� "����������� �� ����" ��� ��� �������6 ������ .-�� �-� ����" � � ������ ����� �-��("� �� "������ ������'�""� � ��. �-�� � � "�������� ������� ����"6 �-�� � �-� ����" �

"�������� ������� �� �� +-��2 �� �-� �9� ���� �� ����" ����� � 2 �("���:������ �("��� �-��

� � � �� ��� ���� �� � � ����

�� �4����������

� � � �� ��� ���� �� � � �����

+-�� � 2 �-� �� � �� ���(��� �9������ �-� �������� � �����(��� �-� "������������ +-� �� -� �-� �����.��� "��"����� C

G�H � � � ��(����� �� 6G��H �� E �� ��� ��- � � 6G���H � � �-� ���� ���������� ���(��� �� ��

��������� G�H �����. �� ��� ���( �("���������C �� � � � ��� � � � �-���� � ��� E � � �� ��������� G��H � ��(� � �((������ ��� ��- �� �-� �� �� ��� �� � �� ��� ��� �� �� � � C � �� .-��� G���H � � �� �4������ �-� �����.��� � ���� �� ��������

G��H � � � �� ��� ���� �� ��� � ���6

�-�� � 2 ����" ����� ��� � �� ����� ����:� �(��"-� ( � �-��2 �� "��������2� � � �� ��� ���� �� ��� � ��� ��!� '��� � � �("������ .��- (����"������� �� �-� ���-�2 � � � �� ������� �� ���� � �� +-��2 ��� � � �("������ .��- (����"������� �� �-� ����2

��� E �������� � ����� E ����

?�� G���H2 �""� � �-�� � � � �-�� � � � �("��� � E ��� � ���� 0������ � � �� ��� ���� �� ��� E �6 �-�� � 2 � E ���&� �����. ���( G���H �-�� �-� ���� �("������ "������ ����� �� � /����

����" � �-� ������� ���� &�����2 �� ���:�������� ���(��� �� � �� -���

Page 9: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���� � ����� ���� �

/���� ������ ?�� ��-��.� � � .���� -��� � ���:�������� ���������� ���(����+-� �-� ���� �� "�������� ������� ����" ���������� ���� � ���� �-� ��/������(���������� ���2 �""� � �-�� � � � �� �� �� � ����" .-�- -� �-� �-���

"��"�����

G�H � � � ��(����� �� 6G��H �� E �� ��� ��- � � 6G���H � � �-� ���� ���������� ���(��� �� ��

+-�� .� �� ��/�� � �������� � �� �� ������ � � � �� ��� ���� �� ���� ��� '��� �� E �� ��� ��- � � 2 �-� ��/������ � �4�������� �� � � ��� ��� ���� �� ���� � ��

� ������� ����� �� �� � �� �� ��� �� � �� � ����� � ���� ����� �� ����� G�H� G��H� G���H� ���� � � ������� ������ �� �� ����� � ���� E � � C � ���

� ��!� ?�� � � 2 ���� E � � � � �-�� � � �� ��9� � � � ��� � � ��("�� ���� ��� ���� � � � �-�� ���� � ���������� �� �� �� G���H �-� �("��� �-�� ���� E � � �-�� � E �� +-�� � 2 � � ���� �((����� +-����� ������� �� � �����. ��� � � � ��� � � � �("��� ����� ���� � � ��-��2 ��� � � � ��(�����2 ���� E ��������� � �� +-�� � � � ��'�""� � ��. �-�� � � � ��� ��� � � � +-�� G��H���� E �������� E

���� � � � �-�� �� � ��� ?���-�� G��H���� E �������� � ����� E �

��� �� E ��� 0��� � � �("������ .��- �� "�� �� (����"��������?������2 � � � �� ��� ���� �� � E ���� � � � �-�� �-� "���� � �("������+-� ��(����� � � ����� �-� � �� �� �-� "������ ����� �� +-� "������

����� � �����(��� �-� ��� � ��� �-� ��� � �����(��� � ���2 ����� �2 � ���� ��� �����(��� �-� ����" .-�- � ����� "�������� ��������+� �� �-� 2 �""� � �-�� � � �-� ��� �� � "������ ����� �� � ����" 2

��� ��� � �� ��� ���:������� ����"� +-�� .� �� ��/�� � "������ ����� ���� ��

G �� ��H � G �� ��H �� ��� ���� �� � � � ��� �� E ���

&� � �� � �� �� �-�� �-� ��� �� �-� "������ ����� � �G � �H C � �� E� � ��� .-�- � �� � �-� ��� �� �-� "�������� ������� ������" � ����&� � �������2 �-�������2 �� .��� �� -�������I� �-� ������" �� ����������� �� '��� � � ���������� ��� ����� ����2 �-� ������" � ���4���������(����2 �" �� � �(��"-� (2 �� �� ���� �-��2 ��� �� E �� �����- � � �2 �� � � � �("��� �� � �� � �� E �� � �� � �-�� �

���� ��5 ��������C �� ��� E ��� ��� �� � � ��

Page 10: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�* ����� �� ������ ����� ����

?�� �-� �3� �� �("������ 2 ��� ���� � �� ���� � � (���� ��� �(������ �� ������� 2 .� ������� �-� �� ������� �� �-� ����" �� 4������� ��� ���������� �(�����" .-�- ���� ��5 ��������6 �-� "���� � �(������?�� � �� ���2 ���� �-�� �-��� � � ���� ����" �� ��� �(�����" � +-�� � 2

����� ��� �(�����" � �-��� � � ����" G�H ��� � -�(�(��"-� ( � C � �G�H .��- �-� �����.��� "��"����C ����� ��� -�(�(��"-� ( � C � � 2.��- � ����"2 �-��� � � ���4�� -�(�(��"-� ( � C G�H � �- �-��� E ��� +-�� � 2 � ���4�� ����" -�(�(��"-� ( G�H � .-�- (�3� �-� ������(

G�H

�������

�������

�((���� &� �������2 ���� .-�� � � ����������2 � � ��� ���:��:��� ���2�� �������2 � � ��� ����� 0�.����2 �� � ���� �� � ������� �� /�����

"��� �� ����� �� � �� � ���������� � � � � ����� � � ���� �� �� ����� E � ���� � � �� �� ��� ���� ������ � G�H ��� �� ���� ��� � �� ���� �� �� � � ��

�� � � � �� ���� � � �� ��� ��

G�� �H � G�� �H � ��� ��� � ���� �!� �� � � � ���� �� �� E ��� �� E ��

� �� �"�������� ���� � � � � �� ��� � �� �"�������� ����� � �����G�� �H �� 7�� �8� ���� � � �� � ��� ��� � �� �� ����� �� ����� ���� �

7�� �87�� �8 E 7��� ��8 ����� �� E ���

��� �� �� � � � ���� G�H �� � ���� �� �� E 7�� �8� #� �� ����� �� �� �� ���� � �� ����� ���� ������ � � �� � ���� ����� ����� ���� ������ � G�H ��� �� � �� ���� �� �� � � ��

�� ��� ����� �� � �� � ���������� ���� � � � � �� �� � #�� � ����� �� � � �� ��� �� E ��� ���� ������ � �� ����� �� �������� �� ���� �� � �� ������ �� � � ��

� ��!� ��� � �� �-� -�(�(��"-� ( G�H � ������ �� �-� ���� ���� � +-�� G�H� � �-� ������" ��������� �� �� 0���2 ��� ��-���(��� �� G�H -� �-� ���( ���� .��- �� � � �2 �-� �(� � ���� �� �-� ������"��

Page 11: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���� � ����� ���� ��

� ������� ����� �� �� � ������� ������ �� ��� ���� � � ���� ������� �� �������� �� � � ��� ��� � � ��� � ���� � � �� � ����� � ���� �

� ��!� '�""� � �-�� � ��� � -��� � �((�� �""�� ����� � �� � +-��� � � � �-�� � � � ��� � � � � � E ���� � �� +-� � E ���� � ���������� ���2 ��� �� E �� ��� ��- � � �2 � ���� ��5 ��������

��� � ��- ���(��� � �� ��� -� �-� ���( ���� .��- �� � � �� +-��� E ���� � ��� E � ��� � � � � �-�� � ��� � -��� � �((�� �""�� ������� ��

"��� �� ����� �� �� � ������� ������ �� ��� ���� �� � �� ��� ����"������$

G�H E ���6

G��H � � ���� � � � � ��� � ���� � � �� � ����� %� ���& � ��� � '

G���H � � ���� ��� �� � � � � ��� � ���� � � �� � ����� %� ���& � ��� ��

� ��!� +-� �4�������� �� G�H ��� G��H ��� �""�� ����� � �((������ ���(�-� "������ "��"� ������ ��� �� � ���� �-�� G���H �("��� G��H ��� �""������� � �""� � �-�� G��H -��� ��� �""�� ����� ���� �� � � � �� G��H2 ���� ��� � -��� � �((�� �""�� ����� � � 6

� � ����� � � �� +-�� �� � � ��� �� � � � G���H -��� �'�""� � ��. �-�� G��H -��� ��� �""�� ����� ��� ��� � � � +-�� ���

��� � -��� �� �((�� �""�� ����� � � 6 � � ���� �� ��� �-�� ��� � ���� ��� � � ���� � ����� ��� � �� ����� ����:� �(��"-� (� +-� ��- ��G��H ��� G���H � �4�������� �� �� ����� ���� ��� �-� �� ��� �����. ��+-� ��� �-�� ����� ��� � �� ����� ����:� �(��"-� ( .-��� (����"�������

� �� ����� � �(��"-� ( � ���� � ���� .-�� ������� .��- "�������� �����������" � '�2 �� ��� �-� �����2 .� ���� ������ �� �� � ������ (��� �������'�""� � �-�� � � � �("������ "������ ����� �� � �(�����" �� +-��

.� ������ � ��. �("������ "������ ����� ���� ������ � �� � �� ��� ���� ��� � �� � ��� � �� � >� � �-� � ��� ����� ���� �� �� ��� .-�� � � ������� � �(�����" .� �� � ������ � �("������ "������ �������� �� �� ������

� �� � �� ��� ���� �� ��� � ����

F� �� � ������ � �("������ "������� "������ �������� ����� /� � ���(��� ��

��� �-�� �""����� ����� ��� � �-��

� ��� � �� ��� ���� �� ��� � ����

Page 12: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�� ����� �� ������ ����� ����

F� �� �����"��� �-� � "������ �������� �� ���( �� �� ����� �� �-� J�������� ����" ����� �� �-� �� �� �("������ "������ �������� �� �� +-� ��-����� -� �� � �� ���� (�(��� 6 �� -� ��� (�(��� �� ��� ���� �� �-� "�������������� � �������� &� � � � ����" �-�� ��� ������ .��- � � �-��2 ���� � � �������2 �-� ����� -� �.� (�(��� 6 �-� �� ��� �� �� � ������� F-��� � �-� ������� "������ ����� �� �� ����� � �(�����" � �-�� � ������ .��- �� � �-��2 .-�� � � ��� ������� �-� ����� -� ����� �.�� � �-���-�� -���2 �� � � ����� � � � ��1����� ���( ��� ���� �-� ���("����� ������������ �������� &�����2 �� �������2 .-�� � � ����� � ��� � ��� � ����" ��� �(������� ��- ����� -� ����� �����

��� � ��� ��� �! ����� � �� �� � ����

+-� ��� �-�� ����� ��� � �� ����� ����:����(��"-� ( .-��� (����"�������� �� ����� ����(��"-� ( (��� �-�� ������ ������� ����" ��(�� � ��������� �� ����� �((����� &� "�������� .� -��� �-� �����.��� � ���� �� ��� �

� ������� ����� �� �� � ������� ������ �� �� ��� ���� �� ���� � � � ���� � ��� � ���� � ���� ����� � ��� � � � � � ��� ���� ��� ���� � ������ � ��� � ��� � � �' �� ����� � ��� ��� � ��� ������ ���� � ���� ����� � ���� #������

� � � E �G� � �H��� � � � E �G� � �H���� � � E G��� � ���H�� � � � E G��� � ���H���

(����� � � ����� � �

G� � �H E � � � G� � �H E � � � G� � �H E � � � G� � �H E � � � �

� ��!� '�""� � �-�� � � � �9� � � +-�� � � �� � �("��� ����� � ����� E � ��� � � � �("��� ��� � ��� ��� �(������ ����� � �� +-� ����� � � � � � �-�� ��� � ���G� � �H���6 �-�� � � � �G� � �H���� � �-� ��-�� -���2�G� � �H��� � G� � �HG� � �H��� E � ��� �G� � �H��� � �G� � �H��G� � �H E ��0��� �G� � �H��� � �-� ������ � ��.�� ����� � � � �� � ��� �� '�(������2� � � E �G� � �H����+-� ��-�� �� ��� �� �-� /� � ���3 �����. ���� � ����� ��� � �� �����

����:� �(��"-� ( .-��� �-� � �� �-� ���� �����. ���( �-�( ���� � (����:"������� � �� ����� � �(��"-� (��

�� ��� ����� ��� � �� ��� ��� �"������ � � � ������� ������ �� ���

Page 13: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ �� ������ ����� ���� �$

G�H � � ��������� ����� �'

G��H � � ��������� ����� �'

G���H � � � �!�� � � ���� � � '

G��H � � � �!�� � � ���� � � '

G�H � � � �!�� � � ���� �� � � �'

G��H � � � �!�� � � ���� �� � � �'

G���H � � ���� �� � � � ���� �!�� � � � ���� �� �� ��� E ���

&� ��� /� ��� G�-� ���H �� �-� �������� �� �-� ��������� .� �� �-�� � � ���� ������ �� �� �� � ����� �� �� �

"��� �� ����� �� �� � ���� ������ �� �� ����� � ����� ���� ���� � � ������� ���� ����� ��

� ��!� +� �� �-�� � � �� ��������� ������ (��� �-��2 ��� �� �� � � 2�� G�� �H E G�� �H� G�� �H ��2 �4����������2 �� G�� �H E G�� �H� G�� �H ��-�� ��- �� �-� ������ �"������� �� ������� ���� �-� ��-��� +� "���� �-�� � � �� ��������� ������ .� -��� � � ����(��5 -�������I�����C � ������� �� ��������� �� ��� ���� ��2 ��� �� �� � � 2

� � � E � � � ��� � � � E � � � �����-�� �("�� � E ��

?��2 �""� � �-�� �-� � �.� �4������ -���� +-��

G� � �H E �G� � �H���

E �G� � �H��������

E G� � �H����

E G� � �H����

.-��� ���� E � ��� � � E �� 0��� � � �� ��������� ��������#$����� ��� �� �-� ����" �� "� ����� �������� ��(��� ����� (����"��:����� ��� ��� � �� �-� (����"������� �(�����" �� "� ����� ������� �����(����"�������� +-�� �-� ���� "������ "������ ����� �� � ����� ��

� � � �� ��� ���� �� � E �� ��� �(� "� ����� ������� ��

&� "��������2 �� � �-� "������ ����� � � >� � ���� �������� ?�� �� � � �2� � � E ��G�� �H .-��� � � � E �(G�� �H� +-� ���(���

� � � E �G� � �H���

Page 14: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�, ����� �� ������ ����� ����

�-�� ���(� �-� � ��� ���(���

�(G�� �H ��G�� �H E ���

&� � �(���� �� -���2 ���� �� �-� ����" �� ���:I��� �������� ������� ����� /��� � ����� (����"������� ��� ��� � �� �-� �� �� (��� "�����(��� �+-�� �-� ���� "������ "������ ����� �� � � ����� ��

� � �� ��� ���� �� � E ��� �(� � ��

+-� ������" ��������� �� � �� � � �� �-� �������� ������� .��-(��� ��(������ ��� ����(������� &� � ������ ������� ��� �� � �-��4������ � � E G � �H��� ���(� � E �(G� �H ��G� �H�&� �����. ���( �-� � �9�("�� �-�� �-� � ��� ������I����� �-����( ��� ��:

����� ��� "�����(��� �� �� �����"����� �� ���( �� ������ ������� ����" �+-� "��(� �� ���������� "�����(��� ��� ���-������ �� �-� �� � �� �-������.��� ��/�������

%�&���� ����� �� ������� �� � � � ���� ������ �� �� ��� ��� �� �� � ��� � � � � E ��

��-������ ���(��� ��� ���� �((�� �� ������ ������� ����" ��� "���� ����� ���� �� �-� �-���� �� �- ����" � +-� ��9� "��"� ����� �� � ���(��� �� �-��� �� � "��"����� �

� ������� ����� �� �� � ���� ������ �� �� ��� �� �� �� � � �

G�H � � � � E � ��� �� E ��'

G��H � � � � E � ��� � � � ��� � � �� E � � �'

G���H G� � �H � G��� � �H E �' � � ��� E G� � �HG��� � �H'

G��H G� � �H� E �� � �' G� � �H� E �� � �'

G�H �� � � ����� � � ��

� ��!� G�H +-� �����. �((�������� ���( �-� ���(��� � � � E �G� � �H������ �-� ��� �-�� �-� � �"������� � �((�������� ?��2 �� � � � E � .� �-��-��� �� E � � � E � � � E ���

Page 15: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ �� ������ ����� ���� �)

G��H '��� � � � E �2

� � � E G� � �HG� � �H

E �G� � �H � �G� � �H

E �G� � �H � �� � ��

E �G� � �H � �� � �� ��� ���-������ ���(��� �((���

E �G� � � � �H � ��

E � � �� ��� � � � E � ��� � � � �("�� � � � � � E ��

G���H '�""� � �-�� � � � � G� � �H � G��� � �H� +-�� � � � � � ����� � �� � � � � �� �� � �� �� ��� �-�� �G�� �H E ��� � � �� � �("��� � � �� 0��� � E � ��� � G� � �H � G��� � �H E ����9� G�����H�� E G���H� G�����H E � ��� � � �� ��������� ������

����� �� +-� � � ��� � � � �-�� � � G� � ���H�� E � � ���� 0���2 ����-� >��� �� ���-������ ���(��� � �-��� "�����2

G� � �HG��� � �H E G� � �H � G��� � �H

E G� � ���H � � E � � ����

G��H ?��( G��H2 �� �����. �� � ��� �������� �-�� �� ��� E � �-�� ����� E� ��� ��� ��� � *� 0��� G� � �H� � G��� � �H� E � ��� ��- � � ��� ������ � *� '��� G� � �H� � �� � � ��� G��� � �H� � ��� � �2 �� �����. �-��

� E G�� � �H � G��� � �H E G�� � ���H � �

� �-�� �� � ��� � � .-���2 �� ����� ���2 ��� � �� � �� &� .� (����"�� ���� �-� ���� ���� � � � �� � � ��� ��� ��� � *�F� ��. � � �������� �� "���� �-�� G� � �H� E �� � �� +-� � � � E � �

������ � �""� � �-�� G� � �H� E �� � � ��� �� ����

G� � �H��� E G� � �H�G� � �H

E G�� � �HG� � �H

E ���� � �� � � � �

E G���� � �H � G�� � �H � G� � �H

E G���� � �H

���( �-� "������ "������"-�G�H ?������2 �""� � �-�� �� � �� +-��

�� E �� � � E G�� � �H � G���� � �H E �� � ���� � � E �� � ���� E ����G� � �H

��� �� � �� +-� � E � � � � ���

Page 16: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�= ����� �� ������ ����� ����

�� ��� ����' �� �� � ���� ������ �� ��� ���� � �� � ���� '�� �� ��� � ������� � �� �����

� ��!� '�""� � �� E � �-�� �� � � ��� ��� � �� +-� � � � ��� ��� � �2�-�� � � � �� 0��� � E ���F� -��� "����2 ����� ���2 �-�� �� � � ��� ��� ���� ������� ����" �-��

�� �� ������ �������� &����� �� �� ������� �������� ?�� �-� 2 .� -������� �-� �����.��� ��((��

���� ����� �� � �� � � �� � � �� � ���� ������ �� �� � #� � � �� �� � � ��� ��� � ���� �� � ���� C � � *� � ����� C � � *� � � � �� � �

� ��!� '�""� � ���� +-��2 ��� ���� C � � *� � ��� � ��� �-��� �9� � � E ��� � ���� C � � *� �- �-�� G���H�� � ���� C � � *�6 �-�� � G���H�� E ��� ��� �(� � � � 2 � � *� +-� ������ E ��� E ��� ��� �������� E �� � � � '�(������2 ��� ����� C � � *� � ��� � ���2 �-��� �9� ��� � � * � �-�� ���� � � � 0��� ���- ������������ ��� ����������� �������� � ��� �2 ���� � � � � ���2 G�K �HG� K �H E *� +-� �� ��� � ��� ��� K �� � K � � I���� '�� � K � E *6 �-�� � E � E * � �� E � ��� �-� 2���� � � � � ���2 � E � E �� +-� �������� ��� E ���

"��� �� ����( �� �� �� ������ �� ��� ���� ��� �� ���� ������% ���� ������& � ��� ��� � � �� � �����

� ��!� &� � �� � �� �� �-�� �-� ����� �� ��� -��� �� ��� �� � �� ���� ���� 0���2 �� L���5 ��((�2 ��- ��� �� � �������� �� � (�9�(����� � � &� � � ��� �-� ��� �� � ������� ������� ����" �-�� �-��� �9� � � � �- �-�� � �� � � ���� ��� �-�� ��((� ����#2 -�. �-�� �-���� � ������ ��� .-�- ������ G�9����H ��� �� �� ���� +-� �������� �-�(�9�(����� �� � � 0��� � � �-� ��� �� � ����� ����� �� �����"� ����� ����) -�. �-�� �� � � �("��� � � � �� ��� ������ �������

����" � 0��� �-� � ���� �� ��� �� ��� ����� ����� �� ������ ����� G������� ����� H �� � ?�� �- ����� 2 � ������-���� ��� ��� �� ��((� ����#-��� �

���� ����) �� � �� � � �� � �� ������ �� �� ���� �� �� � � ������ E * � � � � � #� � �� � ��� ����� C � � *� � � � �� ���� � ���� ���

�� � ��

� ��!� � ������2 �� ����� �� -�. �-�� ����� C � � *� � � ���2 �� �M� �� "���� �-�� ���� ��� G����H�� � ����� C � � *� �����-�� �("��

Page 17: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ �� ������ ����� ���� �#

���� E �� ��� G����H�� � ����� C � � *� �("��� ����� E ���� ��� �(�� � ��� � *� +-� ���� ���� � � .-�-2 ��� � �� � �("��� � K � E *.-��� � E * ��� �2 ��� � � � ���2 � E �� +-� ����� C � � *� � ���� �� ��

"��� �� �����* �� �� �� ������ �� ��� ���� � � ������ ����� ����� � � �� ������ � � �� ����� � ��� ��� � �� � � ����� � � ��

� ��!� F� -��� ��� �-�� �� � � �-� ����� ����� �� ����� ����� �-�� �� � ��("��� � � �� '� .� ��������� �� �-� ����� ����� � �� � ��� �� ��� ������ �� � �-� ����� ����� �� ��� ���

�� ����� ����� �� .-�- ������ �� &� � E �2 ��� � � ���� ����((� �����2 � E ����� C � � *� � � ��� ��������� � ��� ���� ��L���5 ��((�2 � � �������� �� � (�9�(�� ��� �� � � �� �-� "������ +-����( �����2 � �-� ��� �� � ����� ����� �� .-�- ������ ��0��� � � 2 ��� � � �� ��� �-�� � ��� ��� ��� ���- �� .-�- �("��� � E � ��� �������� �-� ��� �-�� � �� �� 0��� � E ���

�� ��� ������ �� �� � ���� ������ ������ �� ��� ���� � � �������� � � �� ����� � �� ���� � � ������� �� ��� � ���� ������ ������ �� ����

� ��!� +-� /� � � ������ � �((������ ��� ������ ������� ����" ������ � � �("��� � � ��?�� �-� ����2 ��� ���C � � !� �� �-� �� �� ����� �������� �� .-�-

������ � .��- �� C � � !� �-� ���� "������ ������� ������� ����" � +-���-� �������� (�" � C � N�� C � � !� ��/��� ��

�� E G� � � � ��� � � � H

.��- �� E � � �� ��� ��� �� �� � ����" ��� ������ � �(��"-� ( �� ����N�� C � � !���+-� �� ��� .-�- .� -��� >� � ����� .��3 ����� ��� ������� ����" ��:

�� � ���� C � � *� � ����(������� � ���(�� �� �(�����" ��� ��- � � .-�� � � � ��� �� � &� � ��� ������� �-� � �� ������ �-� � �� &� �� � ��� �-��2 ���� � � � � ���(�� ��(����� �� 2 ���� C � � *� � � ��(����� ��� �� ���� ��� �� ���(��� +-� (��� �-�� ��� -� �� ����.��- �-� ��(����� ��������� �� � ��� ��>����� �� � �� ���� �� >� � ��� ��� �� 0�.���� ������ �� �-� �-����( .-�- .� -��� ����� �� -���: �-���- �-�� ��� (��� �("������ : ��� "��(�� ��� �� -�������I� ���������� ����" .-�- �� �� ������� �������� +-� ������ �� �� ����� �� �-����3 �� ������ 7$8��� ?�- 7,86 �� �� � 7�8 � &� "��������2

Page 18: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�� ����� �� ������ ����� ����

"��� �� ������ �� �� �� ���� �� �� �G"H � � � ������ �� "��� ��� �� ���� �������

+-� "���� �� �-� �-����(2 .-�- .� -��� ��� ����2 � ������ ����� &���"��� �� �(� �("������ "��"����� �� ������ ���� �� ���� ����" ��� ������ ���� ������-� �� �-� �� � �� ���2 .-�- �� ������ -� �-� ��:

������ ��� ���:������� ������ ������� ����" ���( �-� ������� � � � �-������.����

"��� �� ������ �� E �G"H �� �� ���� �� �� � � � ������ �� "����� ����� ���� ������ � � � �� �������

� ��!� &� � ��� ������� ������� �-�� �� (� � ������ ���:�������� ���(��� �� � .��- � � � E �� ��� �-�� � ��� � �((���� '��� � � ���� ����"2�-� �("��� �-�� ��- �� � ��� � � � "�.�� �� � �((�� ���(��� �6 � E ��2� E �� .��- � � �� '��� � � ������ ������� ����"2 �� E � # � �("��� � # � ��� -��� �� � � � �� ��� �-�� � $ � � �� � .-�- �������� �-� ����-�� � ��� � ��� ���-��������F-�� .� ��� ������� .��- ��� ������� ����" 2 �� ���� �� ������ �� �-�

� � �-�� ����� ������ �������� � �� ����� ����� �� ����� �������� � 0�.������ �� �� -�.� �-�� ����� ������ �������� � �-� ����� ����� �� ���-� ����� �

%�&���� ������ �� �� � �� �� � �� ���� � � �� �� � ������� ���-� ����� � � � � � ������ �� ��� ������� ��

+-� ����(��� -�.� �� �-� ��������� �� �-� ��� � -�. �-�� ��������-� �("������ "������ �������� �� � ����" � �����(���� �� �-� ��%� E � � C � �� >� � � �� �-� � � �� �.� ���� �("���������� +-� �-� ��� �� � ���-� ������� ����" � >� � � ��(����� � �� �- �-��� � ��� E ��� ��� E � � ����#$����� ��� �� �-� ����" �� �� � ���� (����� �� �-� ���(

�� *� �

.��- � # *� +-�� �-� �� �� � �� �-� � (����� .��- � � � � �-� ��� ��� ���-� �������� .-�- � ��� ���� �("������ ��� �-������� ��� ��� ���� ���� � ������� ������� ����"�&� � � �-� ��� �� � ���-� ������� ����" �� � �((������ �-�� �-�

"����"�� ���� ����� ��2 � � � 2 �� � ���( � -��� ����� ���� ��� ����� E �� � � C � � ��� ��� �-� �(� � �� � ���� ��� "����"�� ���-� ����� �?��2 ��� �� � � � � +-�� ���-�� ��� � ��� �� ��� ��� � ��� � � � ����� �����

Page 19: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���������� �� ������ ����� ���� ��

�� �-� �� � '�""� �2 ��� �9�("��2 ��� � ���� +-�� ���� � ���� E � ��-�� ���� � � � F-��� � � �� �F� -��� ��� �-� -�"��� �� ������ ������� ����" �� �� ������ �-�

�������� �� �-� � ��>�� � ������ ����� �-� -�.����2 ��� �-� �3� ���("������ 2 .� .��� ���� 0������5 �("������ ��"�� �������� �-����( ��������� ������� ����" � &� ����� �� �� �-� 2 .� ���� �� ���� � (��� ���� ������� ��� ������� ������ ������� ����" ���� " �� � ������� ������� �� ��� ��� �� �-� ����" �� ��� ����� � �(��:

"-� ( �� " ���� "� +-�� ���(� � "�������� ������� ����" �� .� �� � �� ��� ���� �� � � � ��� ��- � � "� ?�� � � ��/�� � ��

�G � H E � � �

��� ��- � � "� +-�� � � � �("��� �G � H � �G � H � �-�� � � �����"�� ������� ��� � � "� +-�� � E � E �� ��� �(� �� �� � "� '��� " � ������� ������� � � �� �� �� � �� '�""� �2 ��� �9�("��2 �-�� � � �� +-��� E � � �� ��� � � �� E � � �-�� � E � � � � 0��� � � �����'�""� � ��. �-�� �G � H E ��G � H .-��� � � ��� +-�� � � �� ���

� � �� � &� �� � �� �-�� � � �� � �� ��� �G � H E ��G � H �("��� � E �� .-���2 ��� � ��� �� ���2 � E ��� '�(������2 �� � �� �("��� � E ��� 0��� � � �� � ���:��:��� ��� � � � � &� �����. �-�� � � ������ ������� ����"��

"��� �� ������ �� �� � ���� ������ �� ��� ���� � � � ���� � ����� �� ��� � ������� � �� �� �� � ���� � � ������ � � �����

��� ���� ������ �� ����� � �� �� � ����

%�&���� ����� � � � � ����� � � � ���� ������ �� �� � ����� ������ �� �� � � �� ��� � � ����� � � ������� � ��� �' �� ��

G� � �H� E �� � �� ��� G� � �H� E �� � ��

� � ��� �� � � �

'��� �� � E G���� � �H� ��� �� � E G��� � ���H�� �� � �� � �� �� �-�� �����" -�(�(��"-� ( � � �� � :-�(�(��"-� ( �� ��� ���� �� G���H� E ������� ��- � � �+-� 3����� & �� �� � :-�(�(��"-� ( � ������ �� �� ����� � ��� � ���2

�� ��������2 �� � � ���! �� �-� �� � �-�� � � � � � .��- �� � � & �("��� � � & � +-� ���� "������ ��������

� � � �� ��� ���� �� ���� � & �� ��� ���� �� �� E ��

� �-� � �������� �� �-� ������ �� � &�����

Page 20: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�* ����� �� ������ ����� ����

���� ����� �� � �� � � ���! ������� �� � � ���� ������ �� �� ����� �� ���� � � �� ��� ��

� � � � ��� ��� � ���� � �

� � � �������� � �� ���� ���� � � ������ �� ��� ������� ��) ��������� � ' � � � �������� � �� ���� ���� � � ������ ��

��� ������� � ��� �� '������ � � ����� � � � � ���! ������� �� � ��� G�� �H � ' � ��� ��� � ���� � ��

� ��!� '��� �-� "���� � �����-� ���.��� �� � �(�������&� �����. �-�� �-� ����9 � : ������" �� ���( � �("���� ������ � �:

(��"-� �� �-� ������ �� ���-� �("������ ������ �������� �� � +-������� � � �������� �� �-� ������ �� ������ �������� �� � &� � ������ �-�� �-� �� �� ���-� �("������ ������ �������� �� � �� �� ���������� ����� � +-�� �� � �� �� ����� >��� �����. ���� � �-� >��� �� ���-��("������ ������ �������� � �-� ���� ����� �� ��� �� �-��� ������ +-� � �-��� >��� � ������ �������� � +-� ���� "������ � �� � ����� ��� ���-��("������ �������� �� ��� ������ ������� �(�����"�

"��� �� ����� �� ( �� � ����� ���� �� ���� � � ��������� � ( ���������

� ��!� '�""� � �-�� '� )� * ��� �������� �� (� +-�� ' � G) � *H �G' � )H � G' � *H � .� ���� ���� ������ �-� ����� �� '�""� � �-��������-�� G�� �H � ' � G) � *H� +-�� �-��� �9� � � E ��� � � � � �� E � �- �-��G��� ����H � ) � * 2 * � � $ �� '�� �� E G� � �H � G�� � G� � �HH ��� * � � $ ��+-�� ��� * � � $ �2

G��� � � G�� � �HH � ' �-�� � G��� �H � '

� �-�� G��� ����H � '� ��� �� � G��� ����H � ) � * ��� G��� ����H � ) � * �����- �� )� * � � ������ ��������� 0��� G��� ����H � G' � )H � G' � *H ����-������� G��� ��H � G' � )H � G' � *H� ?������

�� E G� � �H � G� � G� � �HH E G� � �H � � E �

�� E G� � �H � G� � G� � �HH E G� � �H � � E �

� �-�� G�� �H � G' � )H � G' � *H� 0��� ' � G) � *H E G' � )H � G' � *H ��� � �-� ������ �� �������� � �� �����������

�� ��� ����� ��� ���� � ��� ��������� � � ���� ������ �� �� ��������� ��� ���� � � ���! ������� ��� � � ���� ������ �� �� ���������

Page 21: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���������� �� ������ ����� ���� ��

�� ��� ����� ��� ���� � ��� � ������ ���� � ��������� � � ����� ������ ����� �� � ��������

� �� �""������� �� �-� �� ��� �� �������� .� ���� ��� ��� ��� �M���� �������� ��� � ������ ������� ����" �� �� � �(��"-� �� �-� �����"����� �� ������ ������� ����" �

"��� �� ����' �� �� � ���� ������ �� �� ��� �� � ��� + �� � ���!������� ��� � ���� �� � �+ E �����+ E � ����

G�H ���� � ��+ � � ����'

G��H � � �+'

G���H + � �� ��"�� � ���! ������� �� ( ���� �� � �( E ��� ��� �( E�

� ��!� G�H ��� �� � �� "� ����� ���(��� �� ��+ �� "�������� +-��2 �����- �� ��+ � ����92 � � � � � �+ E ��� � �-�� � � � E �� &� �����. �-�� �� � �((���� ��9�2 ��� ��- �� ��+ � �� � : ������"2 ��+ ������������ �� �-��� "� ����� ���(��� ��� � ��- ���(��� �� � �((��� .��- ��- ���(��� �� + ��� -���2 ��� E �+2 � ��� + ��� ���(�� ������" �� �G��H '��� � ��� + ��� ���(�� ������" 2 �-� (�" � C � ��+ �����

�� �� E G�� �H .-��� � E �� � � ����" -�(�(��"-� (� ?���-�� �� � ��("��� � � ��� � �-�� � � � � ��� � �� F-���2 ��� ��+ ��� ����9� : ������" 2 ����� � ��+ E ��� � �-�� ��� � �� +-�� � � � �� '�(������� � �� 0��� � E �� � � �� ��� ���� �� �� E G�� �H � G�� �H �� � �+� 0���� � �� � �� ����� � �(��"-� (�G���H +-� ���4���� �� + � �((������ ��� �-� ������ �� � : ������" �

�� �����������

Page 22: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�� ����� �� ������ ����� ����

Page 23: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

����� �

����� ����� ���� ��

���� ����

&� �-� -�"��� .� -��� ���� �9�("�� �� �(� �������� .-��� ������ �����������" �� �� � �� �� �� ���� �� � �� ����� � �(�����" � &� -���� ��"������ ��� �-�� �-� ������� �������� �""�� �� (��� ������� ������ �-���-� � .-�- .� .��� �� ����� +-�� � 2 �-�� �� ��� ��"��� �� �� � ������.�� �� �-� ��� �-�� �-� �� ������� � � ������ ������� ����" � 0�.�����-� �� ������� ��� ������ ��� (��� ���� "����� �� .� � �(� �-�� .� ���������� .��- ������ ������� ����" �

��� +�� ,������ �� ���� �� ���� ����

%���� �-�� !����5 �������� ��� ��/��� �� � �(�����" � � �����. C

��� �� ��� ���� �� ��� E ������ �� ��� ���� �� ��� E ���

�� � �� ��� ���� �� ����� E �����

��� �� ��� ���� �� ��� ��� ������ �� ��� ���� �� �� � ��

.-��� �� ������ � �� � -� �� �������� ��� �� E � � ���2 .-��� � �� ��3��-� ��������2 ��-��.� �� &� � �� �("������ �� ��� �� !���� �-�� ��� E ���.-�- ���� � �� �� �� �4�������� ��������� &� � � � /���� �(�����" �-��� E � -�.����2 .-�� � � ��/����2 �-� ���� ��� �� �-� � ��D�- �� !����5 �������� 2 �9�"� � ��/�� � 4�� �:����� �� �� ?�� �9:

�("�� �� � ��/��� ��

� �� � �� ��� ���� �� � � ��� ��2 �4����������2 ��� ����

�$

Page 24: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�, ����� �� ����������� ������ ��������

������� �� � �("������ .��- (����"������� �� �-� ���-� ��� �� ���� ����� �("������ .��- (����"������� �� �-� ����� �� � � �� .-�- �� � �� ��("������ .��- (����"������� �� �-� ���� � .-�� �-� �(�����" � � ���(���� �-� �� � �-�� �� E �� ��� ��- � � � ��� �-�� � E � E � E � E ��#$����� ��� �� � "�������� ������� ����"� +-�� ��- �� !����5 ����:���� �� � � � �("������ "������ ����� .-�- ������ .��- �-� �""� ����� �-� "������ ����� � �� ��+-� (�9�(�� ������" �� � �(�����" � ��� "��� ��� �-� �:�� � �� �

.-�- ������ ���("����� � �� �("������ �� ��� �� !����5 -�. �-�� ����.� (�9�(�� ������" �� �-� �(� �:�� �� � ��� ��������� � �(��"-��+-� �-� (�9�(�� ������" ������ ������ ����� �� �-� �:�� � �� ��

%�&���� ����� � ����� �� � � ��� �� �"������ � ��� � � ������ ����� ����

&� � � �������2 �� �-� �� � ����.2 �-�� � � �"������ �� ��� ���� �� � � ��������

%�&���� ����� � ����� �� � � ������� � ��� ��� �� � � ���� � � ����� �!�� � � � ���� �� � E ���� #� �� ���� �� E ��� � � � �� � �� ��� � �"�� �� � E ���� � E ���� ��� ������ �� � ������ �� ����� �� � � � � ��� �� ����� �� � ��� �� �� ����� � �(�����" � ���������� � � ��� � ��"�� ������ � �' � �� ����� �� ��"�� ������ � �� ��� �� �� ����

+-� ��9� "��"� ����� ���� �(� �� � "��"����� �� ������� ��� ����� � �(�����" 6 ������ �� �� ����� �� 7)82 7=8 �� 7�*8� F� -��� ������" ��-���� ��� ����� � .� ���� �-�(�

� ������� ����� �� � �� � ����� ��� ����

G�H � � ������� � ��� ��� � ���� ������� *���� �������+ � � � ���� ������ ��'

G��H � � ������ � ��� ��� � ���� ������� *���� �������+ � � � ���� ���"�� ���� ��'

G���H � � ������ � ��� ��� � � ������� ��� �� ���� ��� � ����'

G��H � � � ������ ��� G��H�� E ������ � � ���� �� � � �'

G�H � � � ������ ��� ����� � ���� �� � � ���� �� E �� � � ��

Page 25: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ����� � ������ ������� �)

!����5 �������� �� �� ����� � �(�����" ��3� �� � ���� �("�� ���(�

� ������� ����� �� � �� �� ������ ����� ��� ����

� �� � � ��� ��� � ���� � ����

� �� � � ��� ��� � ���� � ����� �� � � ��� ��� � ���� �!�� � � � �� ���� E ����� ���� � ����

� �� � � ��� ��� � ���� � ���� ��� ���� � ������� � ��� ��� � ���� �!�� � � � ���� �� ���� E ����� ���� E �����

&� �����. �-�� �� ����� � �(�����" !����5 �������� ��� �����(���� ���-��� ��-����� �� �-� ���("����� 6 �-� � �� � ���� �� ������� �(�����" ���2 �� ������ ��2 �� /���� �(�����" �

�� ��� ����� �� � �� �� ������ ����� �� ��� �� �� �� ���� ���� �� ����

� �� � ��� ��� � � � � �� � ��� ��� � � � � �� � ��� ��� � ���� �!�� � � � �� ���� E �� ���� � �� � ��� ��� � ���� �!�� � � � ���� �� ���� E �� ���� E �

'�""� � ��. �-�� � ��� ��� �((����� ���("����� �� � �(�����" ��+-�� � E � � ���("����� ��� �� E �� � � ��� �� E ���� � 0����-� �� �� "����"�� ���� ��� ���-� ����� 2 ��2 �4����������2 �-� �� �� � ���� �� � �� �� ����� � �(�����" ���( �(������� ����� ���� ���� +-� 2���-���- ����� � �(�����" ��� ���� ��1����� ���( ���������� �(�����" ��3� �-� ��� �� ������ ������� ����" 2 �-�� -��� � "������ �� �((��.-�- .� -��� �9"���� �� �-� -�"���

��� +����� ���� �� -�����

%�&���� ����� � ����� �� � � �� �("�� � � ���� � � ����� �������� #� �� ����� � � ���� � � ����� � ������ �� �����

� ������� ����� �� � �� � ������ ������ � � � ��� ��� � �� % ����� �� �������� �� � �' ��� % E �� � � C ���� E ��� ���� % � ���� ���������� � � � ���� � � ���� �� � � % ���� �!�� � � � ���� ��%� � %� E %�� (������ � � ���� � � �� %�� � %�� E %���

Page 26: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�= ����� �� ����������� ������ ��������

� ��!� ��� � � %�2 .-��� �� � � %� +-�� �������� � � ��� � �-� ��-��-���2 � E �� .��- � � � �("��� � E �����2 ��� � E ������ ��� �-�������G����H�� E �������� E ���� E � � �-�� ���� � % ��� � � %�� +-�� � 2��� �� � � %2 � � %� �� ��� ���� �� � � ������ �� � � %� '��� � � �� �("��2 �-��� �9� � , � % �- �-�� ,���������6

�-� ,��, E ��������� ��� �-�� , E ,��������� E �� .-��� � E ,��������+-��

���� E ,�������������,��

E ,��������,�� ��� ����� ���� ��� ���("����� ��� � �((���

E ,�,��,�,�� E ,,�� E �

� �-�� � � %� 0��� , � %� ��� �(������ , � %�� ������ ���2 �� � �%� � %�2 �-�� � E ����� E ����� � �-�� � E ���������� 0��� � ���������� E �,� ���2 �� �-� /� � "������"-2 ��� �� , � %2 �-� (��� �-��� � %,� 0��� %� � %� E %,��

�� ��� ����� �� � �� �� ���� �� ������ ������ � � � ��� ��� ��� % �� ��� �� �������� �� � �� ���� % � � ��� ��������������� �� �����

� � � � ��� ��� � %� %��

+-��� � ����-�� .�� �� .-�- �-� �������� -�" ���.��� �-� ��� �������� ������� ����" ��� �-� ������ ������� ����" �-�( ���� � ��;������ �-� �������� -�" ���.��� �-� ���-� ���� �� �(�����" �� �� �("�� ����� �(����� ��� �-� ������� �� �� �("�� ����� � (����� �?�� �2 ��� � ����� �-� �� ������� �� �-� ����" �� 4������� �� � ��:

�������� �(�����" .-�- .� �� ������ �� �-� /� � �����6 +-����( ���� &��-� � � .-�� � � �-� ��� �� � ������ ������� ����" �-� �� ������� ���� (��� �� �������� (��� "��� � �-�� �� �-� ������� ������� ?��2 �� �-� � �2 , E �� E �� �("���

, E �G� � �H E �G� � �H���� E �G� � �H�

.-��� � � � E G� � �H��� � �2 � �-�� � E �G� � �H� '�(������2 � E �G� � �H

.-��� G� � �H��� E � � � � �� +-�

G�� �H � G�� �H �� ��� ���� �� �-��� �9� � � � � .��- �G� � �H� E �G� � �H��� ��� ���� �� G� � �H� E G� � �H�

Page 27: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ����� � ������ ������� �#

?���-��2 ��� �� E �� �� ��� ���� �� � E �G���H� � E �G���H ��� �(� � � �2

7�� �87�� �8 E 7�G� � �H�� �G� � �H�8 E 7G� � �H�� G� � �H�8�

� ��� �2 �-� ���(��� "��(�� � �� ��/�� � ������ �"������� �� � ��

G�� �HG�� �H E GG� � �H�� G� � �H�H�

F-�� �-� � ���� � � 2 �� ���2 � ���������+-� ���(��� ��� (����"������� ��"��� ���� �� �-� ��� �-�� �-� (�����

- E � -� �-� "��"���� �-��2 ��� ��- �� � � - 2 �-��� �9� � � � � � - .��--� � -� E - G� � �H� ?�� �-�� .� �� ��/�� � � � � - �� G� � �H� E � � �� ���� �2 ���� � � �������2 � � � � ��� ���4���� �����(���� ���2 ���� ������ � �2 � � � � ��� ���4���� �����(���� ���� - � ���-� �����������0�.����2 .� -���C

� ������� ����� �� % �� � ��� ���������� ����� �� � ����

G�H � � ����'

G��H � � ���� �� � � % ���� �!�� � � � � % ���� �� %� � %� E %G� � �H�

���� %�% � � ����� �� ����� �� ������� �

G�� �HG�� �H E GG� � �H�� G� � �H�H�

��� ����� �� �G%H � �� ���� �� ������ ������ � � � �� ��� ���������� �� � � ���� %�

� ��!� �� �� ������ ������� �-�� %�% � � �(�����" ����� �-� �������"������� �� ����� ������ ��� �� � �("��� ��� ������ �� � � � ��"�� ��:������ �� �� � ��� ���:��:��� "������ ���� ���(����� �� ������ �-� �� ���� +��-� ���2 ��� ��- G�� �H � % � % ��/�� '7�� �8 C %� � %� �� ��'7�� �8 E ����� ��- � � %� '��� % � ���-� ���������� �-� � � ���:��:��� "���������� ���(����� �� %� ���� %�� ?���-�� '7�� �8�� E '7�� �8 � �-�� �-� �� ��"������ (�" � �� �� ����� ��3��� �� ����� � �?��( �-� �.� �������� �� �-� ����(��� �� �-� "��"� �����2 ����� �� � � %

�-��� � � ���4�� ���(��� �� � � % .��- %��%� E %G�� �H� +-� ��(��� ��'7�� �8'7�� �8 �

G%� � %�H'7�� �8�� E G%� � %�H'7�� �8 E %G� � �H'7�� �8 E %G� � �H�

Page 28: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

�� ����� �� ����������� ������ ��������

��� �� ����� � ����� ��

�G� � �H�'7�� �8'7�� �8 E �G� � �H�'7�� �8

E �G� � �H'7�� �8

E �G� � �H�'7�� �8

E �G� � �H��

+-� '7�� �8'7�� �8 E '7G� � �H�� G� � �H�8 � �-�� �-� (�" ���( �� ����� � �� �(�����" �� �-� �(�����" �� ���:��:��� "������ ���� ���(����� �� %�'��� � � ������� �� %2 �-� (�" G�� �H � '7�� �8 � � ��>����� ���( % � %���� �-� �� �� (�" ��� � %�% ���(� �� ����� � �(�����" ����� �-�(����"������� ��/��� �� �-� ����(��� �� �-� "��"� ������+-� ���("����� ��� �-� "��� G�� �H .��- � � %� ?���-��2 ��� �� � � % .�

-��� G�� �HG�� �H�� E G�� �H ��� G�� �H��G�� �H E G�� �H � �-�� G�� �H�G�� �H�G�� �H�+-� ��� �.� ���("����� ��� � �������� 0��� �G%H � �� �("�� ��� -� ���-� ���� �� �(�����" �G�� �H C � � %� � �(��"-� �� %�?������2 ��� �-� ���("����� G�� �H ��� �� ����2 �� � �� � �� �� �-�� �

� ������� �� �G%H���" �� � �(��"-� (2 �G%H � �-� ���4�� �� �("�� ����� � (����� .��- ���-�

���� �� �(�����" � �(��"-� �� %� +� �� �-� 2 �""� � �-�� � � � �� �("������� � (����� .��- ���-� ���� �� �(�����" % ��� ��� � � �� +-��2 ���� �� � �� �("��2 �-��� �9� � � � % �- �-�� ���6 �-�� � ���� E �� ���� E �������� � E ����� +-�� ���� E �������� E �������� E � ��� ���� E �����+-� � � % ��� � E ����� E ����� &� �����. �-�� �-� (�" �G%H� � .-�- ��� G�� �H �� ���� � ���� ��� �� � �� � �� �� �-�� �� "�� ���� (����"���������� � ���:��:���� 0��� �G%H � ��� �(���� �� ��� -��� ���� �� % � ��� � �������� ���� �-�� ��� % � ���-�

����������2 ��� �� ��� ���� �� � E �� ��� �(� ���� � � %� &� �-� (���������� � � �-� �����.��� �� ��� -��� �

"��� �� ����� %)�, �� *-+& �� % �� � ��� ���������� ����� �� ����� �� ������ � � ������� ��� ����� � ���� �������� ( � ������ � � % ��. ������� � � � � % ���� �� %G� � �H E %� � %�' ��� �����!� ��"�� � � �� � � � � % ���� �� G� � �H� E � � � E G� � �H��

��� ���� � � � %�% �� ��� ��

G�� �H � G�� �H � ��� ��� � � E ��� � E �� � � � �� �� � � %

� �� �"�������� ���� � � % � %� ��� �� �G%H � �"�������� �������7�� �8 � � ������ ������ � � � ����� �� ������� �

7�� �87�� �8 E 7G� � �H�� G� � �H��

Page 29: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ����� � ������ ������� ��

/� � � ������ �G%H � �� ��"�� ������ ������ � � � �� ����� �������� �� � � ���� %�

+-� ���-� ���� �� �(�����" �� � (����� � ����(������� ���-� ������:���� ��� �� ���� ��� �� ����������� +-� ��9� "��"� ����� ���� � .-�� �-����-� ���� �� �(�����" �� � �� �("�� ����� � (����� � �����������

%�&���� ����' �� � �� �� ������ ����� ��� ���� � � �:������� ���� ��� � �� E � E �� ����� �� E ��

� ������� ����� �� % �� �� ��� �� �������� �� � � ������ ������� � � � �� ���� % � ���������� � ��� ��� � � � ��������

� ��!� '�""� � �-�� � � D:������� ��� �-�� �� E �� .��- �� �� � � %�+-��2 ��� ���� E �2 � E ����� � �-�� ���� E �������� ��� �-� 2 ���� � �:�������2 ����2 � ���("������ +-� 2 �� ����2 �("��� �-�� ���������� � ���("����� ��� �2 ����� ���� � � � �:�������2 ���� � ���("������ +-�

� E ��������� E �������������� E ����

.-��� � E ����� � � �� �-� ������� "������ ����� �� �� ������ � � � ��-�� � E �������� ���2 �� % � ����������2 �""� � �-�� �� E � E �� �� �� +-��2

���� � � � �� �("��2 � E ���� ��� � E ���� ��� �(� �� �� � � %� +-��� E ����� E �������� � �-�� ��� E ����������� E �������� +-� ���� E�������� E ���� .-�- ���� �� E ��� '��� ���("����� �((���2 �-� ���� ������ E ������ ��� � � E � ��� E ����������� ��� E ������� �(� � � % � .� -��� ����� E ����� ��� �-� �� E ��� ��� % � ���������� .-��� � E � ��� � � E ���� E ���� � ���("������ +-�� � 2 �� �:���������

�� ��� ����( �� % �� � � � � ��� % � �� ��� �� �������� �� ��� ���� �� ������� ������ ������ � � � � ��� ��� � % � �� � ��� � � ��� ��������� ������ �� �� � #� �� ���� �G%H E �G�� �H C�� � � �� ����� �� ����� ���� �

G�� �HG�� �H E GG� � �H����� G� � �H����H

����� �� ������� � � ������ � � �

� � "���� � � �� �-� �� �������2 .� -��� �-� � ��� ��"�� ���������� �-� ����� �(�����" . � � �(�����" �� "��� G�� �H �� ������� .��-�� � � * ��� ������ �"�������

G�� �HG�� �H E GG� � �H� �K �� G� � �H� �K �H

.-�- ��� � ���( ��3��� % �� �� �-� ���:�������� ������� ��� E ��

Page 30: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

$* ����� �� ����������� ������ ��������

��� ���� �� ���� ���� ��� ��� ��� ��./

���� ���

&� % � �-� ���-� ���� �� �(�����" �� � �� �("�� ����� � (����� � �-��2 � .� �. �� �-� �� � �����2 �-� ���("����� �� � -��� �-� ���( ���� .��-� � %� ?���-��2 ��� �� � � %2

�� � �� E ����� � ����� E ����� E ��

��� �(� � � %� &� �-� � � .-�� % � ������� �-� "� ����� ��� �� � ������������� ����"2 �-� ���� ���� �� �-� ��������

�������� E G� � �H��G� � �H�

&� �-� �����2 .� �� ���� ����� � �(�����" ��������� �� �-� "� �������� � �� � ������ ������� ����" ��>�� �� �-� ��4����(��� �-��2 ��� ����� � � �2

�������� E G� � �H��G� � �H ��� �������� E G� � �HG� � �H���

%�&���� ����� �� � �� �� � ��� � �� � � ���� ������ �� �� ����� �� ������ � � � - � ��� �� �"������ ���� � � � ���������� � �� �� ������ ����� �� ��� � � ��� �� � � ��

�������� E G� � �H��G� � �H ��� �������� E G� � �HG� � �H���

&� � � ������� �-� "� ����� ��� �� � ������� ������� ����" �-�� �� � �� ��� �� �-�� ��� ����� � �(�����" ��������� �� � � ������� �"������ ��������� � �� ��� ����� � �(�����"� +-�� �-��� � � ���� ����� � �(�����"

!G�H ���� �� +-� �(�����" -� �-� �����.��� "��"����� C�-��� � � -�(�(��"-� ( � C � � !G�H �- �-��2 ��� ��- -�(�(��"-� (

� C � � - �� � ���� �� ����� � �(�����" - 2 �-��� � � ���4�� -�(�(��"-� (/ C !G�H� - G�� ����� � �(�����" H .-�- (�3� �-� ������(

!G�H

�������

/

-

�������

Page 31: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ �������� ����������� ����������$�

�((���� +-� �9� ���� �� !G�H �����. ���( ������� ��������� ����(��� ���� "��-�" �-� �� �� � .�� �� �� �-� �9� ���� �� !G�H � �� (�3� � � ���-� ���� ����� � �(�����" �!G�H �� �-� �� ��?�� ��� � ������ �-� ���� �(�����" �� �� +-�� � �� �� �������� �

�-� �� �(�����" �� �!G�H ��������� �� �-� ���(��� �� C � � ��� +-� �-��� � � -�(�(��"-� ( 0 C � � �� !G�H � �-� 4������� �� �!G�H (������-� �������� 1 �� �!G�H ��������� �� 0 � 0��� ���� �-��2 ��� 0 � 0�� 1� G� �� H2 �-��� � � -�(�(��"-� ( � C � � !G�H �- �-�� 0� E 1� .-���1� � �-� ������� -�(�(��"-� ( � G�H� � G�H�1 E !G�H�+-� ����� � �(�����"�G�H � �-� 4������� �� !G�H ��>�� �� �-� ��������

�������� E G� � �H��G� � �H ��� �������� E G� � �HG� � �H��

��� ��� �� � � �� &� � �-� ���� ����� � �(�����" �"������ ���� �� +-� �� �� �-� "� ����� ��� �� � ������� ������� ����" O ������2 �� �-� "����"�� ������� ���-� ����� �� � ���( � -��� ����� ���� ��� O !G�H E �G�H�

���� ����� �� � �� �� � ��� � �� � � ���� ������ �� ��� �������� ������ � �G�H ��� �� ���� � �� � �� ����� �� �� �� � � � ���� � � � ��

� ��!� ?�� �2 ��� � � �2 � E ������ ��� ��- -��� �-� �""��"����� ���(� '� �""� � �-�� � � � � � ��� �� ����

������� E G��H�G��H��G��H����������

E G��HG�� � �H��G�� � �H�����

��� � � �� ��. �� � � E �� .��- � � � �

������� E ����������������

E ����������� ��� ���("����� �((���

E ��G��H�����

?���-�� �� E �� � � � �� ���2 ��� � � �2 �� � ��� 0��� ������� -� �-������ ���( ��� ��- � � ����9�

��������� E ����������� .-��� � E �� .��- � � � ��� � � �

E ������������������

E ���G� � �HG� � �H�������

E ��������������� .-��� � � � E ��

E ����������� ��� ���("����� �((���

E �G���H����

Page 32: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

$� ����� �� ����������� ������ ��������

0��� ��� � � ��� ��� E �G� � �H � �� E � � �� +-� 2 ����� �-� "�����-� �-� ��4����� ���(�'�(������ �-� �� �� .��� �� �-� ���( ����� .��- � � �� � � �� �� �����

(����"������� �� �-� ���-� �� ���(��� �� � ��� �-��� ����� � � 0��� ��-���(��� �� �G�H -� �-� ��4����� ���(����((� ��$�� ���� � ����������� ��� �G�H ��� �� �� ���-��� ����� �-�

���4���� �� �-� ������������ +� "���� �-�� �-� ����������� � ���4�� ����� �� ���� -�. �-�� �-� ���(��� (����"�� .� ���� �� ����-�� .�� �� .-�-������ ������� ����" (�3� � ������� �""������ �� �-� �-���� �� ����� � �(�����" ���� �� � ��.� ������� "�������� ������� ��2 ! �� ����� ��� �� �(�:

������ �� ��� ��� �� � ����" .-�- �� �� ����� ����(��"-� ( �� �� �-� ���� �� �- � .�� �-�� E �! � +-�� �-� �� � G� �!H E�G�� H � ! � C ���� � !� � �� �:������� ����� � �(�����" ����� �-�(����"�������

G�� HG�� �H E G� � �� �H�

������ ���2 ����� �:������� ����� � �(�����" � � �(��"-� �� ��� �� �-� ���(�'�(�����" �� ������ �� �-� .�� ��� ����� � : �(�����" �

���� ����� �� � G� �!H �� � � ������ ��� ����

G�H G�� H�� E G ���� ��H'

G��H G�� HG�� H�� E G�� �H ��� G�� H��G�� H E G ���� �H6

G���H � G� �!H ��� ������� � ���� ��� � � ���� !�

+-� ��((� ����. !����5 �������� �� �� �������� �� ��� �� � G� �!H�&� "��������

G�� �H�G�� �H �� ��� ���� �� �-��� �9� � � �- �-�� � E ��

+-� � G� �!H � �� �("�� �� ��� ���� �� �� ���� ������� �� �#$����� ��� � �� �-� "� ����� ��� �� � ������ ������� ����" � +-�� �� �� �� ��� �� �-� ���� �� (����"�������C �� E � ��� ��� E 2! E �� +-��2 ����� �-� ����� � �� �-� � ��� ��������2 � � G��.�H������� "�������� ������� �� .��- ! � �� ����� ����� ��� �� �(��������+-�� G�� H � � �� ��� ���� �� �� � E ���� � � �� ��� ���� �� � � � ��� E ���� .��- � � �� +-� �(�����" � � �� �("�� ����� � (����� .��- ���-����� �� �(�����" �G�� �H C � � �� � ��

Page 33: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ �������� ����������� ����������$$

&� E � � �-� ����" �� ������� G����� ��������H �-�� �-� �(�����" ��������� �� �-� .�� � >� � �-� ����� �(�����" . E ��� � C �� E �� .��-� E G*� �H ��� � E G����H�+-��� ��� ��� �� ��-�� .�� �� .-�- .� �� � � �-� ������ ������� ����"

�� �� ���� � : �(�����" �#$����� ��� � E � �� �-� "� ����� ��� �� � ������ ������� ����" �+-� �� �� �-� �� �� ��� �������� 7�� �8 E �� � C � � � � �� �� �7�� �8 E 7 �� �8� � � ��.� ������� "�������� ������� �� �����

7�� �8 � 7�� �8 �� ��� ���� �� 7�� �8 � 7�� �8�

+-� �� ! �� �������� 7�� �8 .��- � � � � � � �� ����� ����� ��� �� �(�������.��-

7�� �8 � 7�� �8 E 7� � �� � � �8�

� G� �!H �� � � �� �-� "��� G7�� �8� H �- �-��

G�H � � � � �G��H ��� � � � ���

�-�� � � � �� � �� &� � �� ��� ��� �-�� �-� (�" � C � � � G� �!H ������� �� E G7�� �8� �H � ���:��:��� ���2 ���

G7�� �8� �HG7�� �8� �H E G7�� �8 � �7�� �8� ��H E G7�� �8 � 7�� ��8� ��H E G7�� ��8� ��H

� -�(�(��"-� ( �� � ���� � G� �!H�

"��� �� ����� 0� �� � � � �� ��� � G� �!H � �G�H�

� ��!� ?�� �2 .� -�. �-�� � G� �!H � �"������ ���� �� � �� ?���� � � �

G��������H� E G7�� �8� �HG7�� �8� �H

E G7�� �8 � 7�� �8� �H E G7�� � � �8� �H

E G� � �HG� � �H���

��� �(������2 G��������H� E G� � �H��G� � �H��&� �����. 2 ���( �-� ������ �� "��"���� �� �G�H �-�� � �9���� �� � -�:

(�(��"-� ( �� �G�H ���� � G� �!H6 .� -��� �� � ������ �-� �� �� ?��(��((� ��$��2 ��- ���(��� �� �G�H -� �-� ���( ����� .��- � � �� �� +-��

G�����H� E G7�� �8� �HG7�� �8� �H��G7�� �8� �H

E G7�� �8� �HG7���� �8� ���HG7�� �8� �H

E G7�� �8 � 7����� �8 � 7����� �����8� �����H

E G7����� �8� �����H

Page 34: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

$, ����� �� ����������� ������ ��������

��� � � � � � �("��� ���� � �� ����� � �� 0��� G�����H� E G����,H��("��� � E �� ���� E ����� ����� E ����, ��� �2 �� ����2 � E �� � E �� , E�� +-� � � ���:��:���� +� �("���� �-� "����2 .� ���� ���� -�. �-�� � � �����'�""� � �-�� �-�� G7�� �8� H � � G� �!H ��� �� � E �� � E ����� � E

��� � +-�� � � � �("��� ��� � � � � � � ��� � � �� �� �2 ��� � � 2� E ��� � � �-� � � � ���2 ��� � � 2 � E ���� � ��� E �� 0���G7�� �8� H E G�����H� � �G�H���

�� ��� ����� #� �G�H� ���� ���� �� � � �� � �� �������� ���� � � �� ��� ���� ��� � �� � ������� ���� ���� � ���� � � ��

� ��!� +-� ���("����� �� �G�H ��� � �(��"-� �� �-� � �� � G� �!H�+-�� � �-�� ��� � �(��"-� �� ! E �7���� �8 C �� � � �� .-���

7���� �8 � 7���� �8 �� ��� ���� �� 7���� �8 � 7���� �8�� ��� ���� �� ��� � ���� � � ��� ��� ���� �� � � �� � � ��

0��� ! � � � � ����� �-� ����� � �� �-� � ��� "����� ��������� '��� �� �-� "� ����� ��� �� � ������ ������� ����"2 � � � �� ��������� ������ ����-������� � � ! ��

�� ��� ����' ��� ���� � � ���� % �� ������ �& ������ � � � ��� �������� ���� � ���� ����

�� ��� ����� �G�H � � ������� �� ��� � ������ ������ � � ���

� ��!� ��/�� �� C � G� �!H � � G�� �H .-��� �� �� �� ��� �� ����(����"�������C

G7���� �8� H�� E G�� H�

+-� ���(��� �(�����" � �� �("�� .��- ���-� ���� �� �(�����" � �(��"-��� �-� ����:���-� ���� ��� �� ����3�.� � �� C � G� �!H � � G�� �H .-��� �� �� �� ��� �� �� E

� �� ����� ��

G7���� �8� H�� E G�� H

� �� � � -�(�(��"-� ( � �-�� �-� (�" �� � �� � �� � �(��"-� ( ��� G� �!H ���� � ������� "����� �� �-� �.� �� �("�� ����� � (����� ��

Page 35: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

����� �

����� � �� �� ���� ��

���� ����

��� ����� � �� �� ���� ����

&� �-� -�"��� .� ������ �� �-� ���� �� ������ ������� �(�����" � � .� -��� ���2 �-� ���� �� ������ ������� ����" ���������� ���� �� ��/��������" � �� /� � �� ��� -�. �-�� �-��� � �� �������� �� ��� ��� ������������� �(�����" �

� ������� ����� �� � �� � ���� ������ ����� ��� ���� ����� � ������ ����� �� � � �� � �����

� ��!� '�""� � �-�� � � � /���� ������" �� �6 �� � E ���� � � � � ����+-�� � E �� � � � � � �� -� �-� "��"���� �-��

��� E ���� � � � � � ���� E �

��� (����"������� �� �� "��(��� �-� ���(��� �� �� ��3�.� � ��� E � ���� E �� � � � � � ��� ��� �-��

�� E �G�� � � � � � ��H E ��� � � � � � ��� E � � � � � � � E �

E G�� � � � � � ��H� E ��� � � � � � ��� E � � � � � � � E �

� �-�� � E �� ��� �-��2 ��� � � �� � � ��� � � � � �2 .� ��� � E �� E ���� ��- � E �� � � � � �� 0��� � � ���������

�� ��� ����� ��� �� ���� ������ ����� �� � ���� ���

F-�� .� �� ���� ������ ������� ����� � �(�����" .� �� ������ ��������� ��� � +-� ��9� ��((� � �(�.-�� ��-����2 ��� � �����

$)

Page 36: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

$= ����� �� ������ ����� ������ ��������

���� ����� �� � �� � ���������� ������ ����� �� ��� ���� �� ���� E �� � � � �� � � �� ���� � � ���

� ��!� ��� � E ����� +-�� �� E �� E �� � �� ��. �� � E ������� +-��

�� E �� � � � ���� � ����� E � � ���� E �

��� �� � � �("��� ����� � ����� ���

� E � � ���� E �G���� � ���H � ��

��� � E �� � � E G� � ����H� E �� � ��� +-� ��� ��� �2 ��� � � �� ���("�����2 � E ���� � ���� � �� ��� �-�� ���� � � � �� .-�-�("��� ��� � ���� � ����� E ��� E �� ��� �� � ���("������ 0����� E ��� � ��� � ����� E �� ��� � ��� E �� ��� � E �� E ��� +-� �� E � � �� � ���

"��� �� ����� �� � �� � ���� ������ ������ ����� ��� ���� ����� �� �������� �� � � � ���� ������ � ���� ����

� ��!� '�""� � �-�� � � �� ���(��� �� � �� /���� ������ +-��2 �� ���"� �:���� $����2 �� E ���� ��� �(� � � �� &� � � ��� ���("����� �-�� � # � ���� E ���� E �� � � E �� E �� E ��� +-� 2 ���( ��((� $���$ ��� �� ���������2 � � �� � �� +-� �������� �-� ��� �-�� � � ��� �� ���("������0��� � (� � �� �� ���("�������

�� ��� ����� �� � �� � ���� ������ ������ ����� ��� ���� � �����1�!�� � �� ����� �� �� � � ����� �� � �� ����� � � �� �� ����� ��� � ��

� ��!� &� �� � � �-�� G��H� E �G��H�� E �G��H� E G��H�� 0��� �� � ���("�������

�� ��� ����' �� � �� � ���� ������ ������ ����� ��� ���� ��������� � � ���� ��� � � � � ������� � ��

� ��!� ��� �� � � ��� �� � E �� � +-�� �� E G��HG��H E ���� E��� 0��� � � ���("������ '�(������ � � � �� ���("������� �� �� ���� �� ����������� "���� �� �-� ��������� &�����2 �-� ����:

"������ �� ��� -��� ��� �(�������� ����� � �(�����" �

� ������� ����� �� � �� � ���������� *����������+ ������ ������ ��� ���� �� �� � � ���� ��� � � ���������� � ��

Page 37: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ ����� �������� $#

� ��!� ��� � E � � � +-�� �� E � � � E � � � E �� ��� �(������� E �� &� �����. 2 �� ��3��� ����� � 2 �-�� � ��� �� � �((��� .��- ���

��� �-�������2 ���� � (����"������� �((��� ���� �2 �-�� � �((��� .��- ���� +-� (��� �-�� � ������ �� � ������" �� �� ��� �� E �� ��� �2 ��� � � �� � �����"2 � E ����&� � � ��� �(�����" �-�� �� � �� � �� �� �-�� �-� ����� ����� �� ��:

�������� �������� �� � � ����� � ���������� ��������� 0��� �-��� � � ��� � ���������� �������� �� ��� �(�����"� +-� (��� 2 �� "��������2�-�� �-��� � � ��� � ����" �������� �� ��� ����� � �(�����"� +-� ��:������ ) -� ���� ��� �� �-� (� � � ���� ���� �� �-� ���� �� �-� ���� ������� � �(�����" � &� � �� � � ���� .-�� .� ���� "�������� ������� ����� � �(�����" �+-� �������� ) � ��/��� ��

G�� �H � ) �� ��� ���� �� �� E �� ��� �(� �� E � � ��

&� ���( �� �-� ������� "������ ����� � �� �2

G�� �H � ) �� ��� ���� �� �-��� �9� � � � � �- �-�� � � �� ��

+-� 2 ���( �-� "���� �� ���. �� �-� ������� "������ �����2 �-� ):�� � ����-� ������� �("����� �� �-� ���"- �� � �� ������ � � "�������� ������� ���?�� ����� � �2 .� ����� �(� �� ��� �� �-� �������� -�" ���.��� ) ���

�-� �("� �� "������ ����� �� � "�������� ������� ����� � �(�����"�

"��� �� ����( �� � �� � ������� ������ ������ ����� ��� ���� E��) � � ������� ������ �� �� ����� �� ����� ���� �� ��� ��

" � 2 � ��� ��� � � � � � � � �� � � "� � � 2 �

��� ��� ���� ��� )� C � � � � ��� #� � � � ���������� ������ �� * � � ���������� ����� ��+ ��� � � ���� ������ �� �� ���)� ��������� �� ������� ���� ��

G� � �H)� E �)� � �)� *G� � �H)� E �)� � �)�+

� ��!� ?�� �2 .� -�. �-�� �-� �������� � � � "������ ����� �� !�'�""� � �-�� " � 2� 2 � 3� +-�� �-��� �9� � � � "� ���� � 2� , � 3

�- �-�� � � ��� �� � ,� '��� ��� �� � 2 �-��� �9� � � E �� � � .��-��� E ��� � �-�� �� � ��� E ��� � �, ��� ����-��2 ���( �-� ��/������ �� )2�� � "2 �, � 3� +-� " � 3�

Page 38: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

$� ����� �� ������ ����� ������ ��������

��9�2 �� " � 2 ��� 2 � "2 �-��� �9� � ��� �� � "2 ��� �� � 2 .��-�� � ��� �� � ��� '��� ��� �� � "2 ��� �� � 2 �-��� �9� � �

� E �2 � E �- �-�� ��� E ���2 �� E ��� +-�� ��� � ��� E ��� � ��� .-�-2 ������("����� �((���2 ����

��� � ��� E ��� � ��� E ���

� �-�� ��� E ��� ��� � " E 2 �F� ��. -�. �-�� � � "�������� ������� ����" ����� �-� "������ ������

&� "� � 2�� "� � 2� �-�� �-��� �9� � �� � "�� �� � 2� �- �-�� �� ���� � E �� �� +-�� ���� � ���� � �-�� "�"� � 2�2�� +-� E ��) � �"�������� ������� ����" ��� �� � )� C � � � �� � ����� G����� "�� ������H-�(�(��"-� (���9� �""� � �-�� � � � �: �(�������� �(�����" ��� ��� "�2 � .��-

� � "� � � 2 � +-�� �� � � � � � �("��� "�2 � G� � �H)�� � �-� ��-��-��� "�2 � 3 �("��� �� � ,�� �� � ,� ��� �(� �� � "� �� � 2� ,�� ,� � 3�+-�� �,� E �,� ��� �(� ���("����� � � �-�� ��� � ��� � �,�� ��� �� E���� �� E ��� ��� �(� ���("����� �� �� +-� ���� E ����� ������� E ����� � �-��

���G� � �H E ���G�� � ��H E ����� � ����� � ���, � 3�

0��� G� � �H)� � 3 ��� � � � �(������� ����� � ��� )� � � �: �(������� -�(�(��"-� ( � .��� � � �(�����" -�(�(��"-� (� &� ����-�������. �-��

�)�G�)� � �)�H E �)�G� � �H)�

E G�G� � �HH)�

E G�� � ��H)�

E �)��)� � �)��)�

�-�� � 4G. � 5H E 4. �45 ��� �(������ G. � 5H4 E .4 � 54� ?������2 ��� � �� �� ��/��� �� ���( �� � �� "�������� ������� ����" 2 � � ������������� ����"��

��� "���� � �� �� ���� �� ���� ����

&� �-� ����� .� �� ���� �� ��� 2 � �������� ��� �� +� '<����2 �� �-� ���:���� �� ������� ������� ����� � �(�����" � � �� "������ ����� 2 .� .���"��(����� �� ���� ��� ��������� �� �:������� ����� � �(�����" ���-���-

Page 39: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���� � ����� ������ �������� $�

'<���� -� �� � �����I�� ������� ������� ����� � �(�����" .-�- ��� ��� �:�������� &� � ������ ���� �� ���� �-�� �-� ���"�2 �-���- ��� �-� ��(�2 ���:������� ����� � �(�����" .� ��������� �� '<���� �� -� ���� �� �������������� ����� � �(�����" �

� ������� ����� �� � �� � ���� ������ ������ ����� ��� ����� ������ �� ������ ����� ���� � �� �� � � ���� ��� � � � � ����� ����

� ��!� ��� �� � � �� ���("����� �� � ��� �""� � �-�� � � � � ����� �-�������� "������ �����6 �-�� � 2 E � E � ��� � E �� E ��� +-��2 .��-����� �� ���������� .� (�� �""� � �-�� � � �� �-� �("� �� ��������� +-������ �.� "� �������� 2 ��� � � ������� �������C %& � � � ��� %& � � ��&� � � G�H2 .� -��� E � � � E �� � � E � 0��� E � ���

� �� &� � � G��H2 � E ��� � � E ��� � �� E �� 0��� � E � ���� � � +-� (��� �-�� � � � ���� ����� �-� ������� �����������. �""� � �-�� �-��� �9� � ���("����� �� � � �- �-�� � E � E ���

+-��2 ��� �9�("��2 � � � � �("��� � � � � �� � �-�� � E �� 0���� ����� ������ � "�������� ������� �� �� � �(��"-� ��

������

�����

+-�� � � � � ������ ���������"� ����� $���� ������� -�. �-�� � �(������� �� �� ������� �������

���� �� �� � � ������ ����� +-� ����� � � �� � ����� +-�� � 2 ��� ������ ������ �� ������ ���� � ������� ������� �(�������� ������ ������� �� �-� "������ �-� �� ��� .� -��� -�������I� �:������� ����� � �(�����" .-�- ����� ������� ��������

���� ����� �� � �� �� ������� ������ ����� ��� ���� G�� �H � ) ���� ��� � ����� E ������

� ��!� '�""� � ����� E ������ +-�� �� E �� ��� �� E � E ��������

� �-�� G�� �H � )� ������ ���2 �""� � G�� �H � )� +-�� G���� ���H � )��� � ���� E ���� ��� �(� ���("����� �� +-� �("��� ����� E ����� � ���("����� ��� �2 ���� � � � �:�������2 ���� � ���("������ &� �����. �-�� ���� E G����HG����H�� E �������� ��� �

����� E ���������� E ���������� E �����

���� � ���("����� �((��� �� ���

Page 40: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

,* ����� �� ������ ����� ������ ��������

�� ��� ����� �� � �� �� ������ ����� ��� ���� � � ������� � ��� ��� � � � ) E P �� �"���� ���� ��

� ��!� '�""� � �-�� � � �:������� ��� �-�� G�� �H � � � )� +-�� ���� E���� ��� � �� �-� ��((�2 � E �� ������ ���2 �""� � �-�� �� E � ��� �(����("����� �� +-�� G�� ����H � � � ) � � E ���� � ���("�������

� ������� ����� �� � �� � ���� ������ ������� ������ ����� �������� � � �� � � ��

� � � � ��� ��� � �)� $ �)� � G�� �H � ) ��� ���� � �����

� ��!� ��/�� � "������ ����� � �� � � �� G�� H � G� �H �� ��� ���� �� $ � �� E � ��� � � � +-��2 ��� ��� � ��� ������� �������2 �� � �� � �� �� �-�� � � � ����� ������ ?���-��2 ���( ��������� $���$2 �-� (�"� "� G����� �)�H � � ��>����� �� � ���� �G����� �)�H C � � ��� ������ �-������ � �� �-� ��>����� �� /� F� -�. �-�� / � ����� "�� ������� +-��2 ��� ��- �� � ��� �G����� �)�H C � � �� � ������� �������2 �-� (�3� / ������� � �(��"-� ( ��� �2 �� �2

� � � �� ��� ���� �� �)� $ �)� �� �)� E �)� ��� ���� � �����

'�""� � �)� $ �)� �-��2 ��� )� � ����� "�� ������2 � � �� 0���2 ���� � ������� �������2 � $ �� ��. �""� � �-�� �)� E �)� ��� ���� � �����+-��2 ���� � � � �:�������2 ����� E ����� .-�- �("���

� E ����� � ����� E ����� � ����� E ��

0��� / � ����� "�� ������ � ��4�������

�� ��� ����� �� � �� � ���� ������ ������� ������ ����� ��� #�G�� �H � ) ��� ���� � ���� � ��� ��� � ���� � �����

D���� �:������� ����� � �(�����" � � � �(��"-� �� � � : �(�����"� G� �!H .-��� � ��) ��� ! � � �(��"-� �� �-� �(������� � �����("����� �� �� &� � � ������� ������� �-�� � � ������� ������� ����"��� ! � � ������� ������� �(������� O �-� � ������ ����� '��� E !��� � ��.� �������2 �� �����. �-�� � � �����

"��� �� ����' �� �� � ���� ������ �� �� ���� � � ��� ��� ��! �� �� ���� � ���� � � ����� ��� ��� ���� � ���� �� E !�2��� �� ������ �� ! � � ���� ������ �������� ���� � G� �!H �� ���� ������ ������� ������ ����� �� �����

G�� H � G�� �H � ��� ��� � $ � � E � ��� � � �

� ��� ��� �� � � �� � � !� � ���� �� �� � � !� � � � � ��� ��� � � � ��

Page 41: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���� � ����� ������ �������� ,�

� ��!� '�""� � �-�� � E � G� �!H � ������� ������� ����� �� +-��2��� �� � � !2 � �- �-�� �� � � ! 2 � E G�� ��H2 � E G�� ��H � ��'��� G�� �H � )2 ���� � ���� �� ��� ���� �� ���� � ����� +-�� � 2 � � � ����� ���� �� � � � � �-� �("��������� �������� �� �-� ����(��� �� �-��-����( -��� ������� ���2 �""� � �-�� �-� �("��������� �������� -��� � +-��2 ���

� � ������ � ����� ����� �� �-� �� � �� � ���� ��� ��� �� "���� �-��� � �("������ .��- (����"�������� &�����2 ��� $ � �("��� � $ ����� � $ ��2 .� ���� ���� -�. �-�� � � � ��� G�� H2 G�� H � � �("��� G�� HG�� �H � G�� HG�� �H ��� G�� �HG�� H � G�� �HG�� H ��� ��- G�� �H � ��+-�� � 2 .� ���� ���� -�. �-�� � � � � � � � ��� � � �� � � � ������ G�� H2 G�� H � � ��� � � � �("��� ���2 ��� � ! ��� � ��� �

���� F-���2 ��� � � � �(�������� �(�����" ����� �2 ��� � � � ���� � .��- ���- ���� � ��� ��� � � � !� +-� ��� �� �2 � � � � ! 2 ��� � � � ��� � � �("��� � � � E G ��� � �H � G ��� � �H E � � ����3�.� �2 G�� �H � � �("��� ���� � ! ��� �2 ��� � � �2 ���� � � �

���� � �� ��� �-��2 ��� � � ��2 � � �� � ! 2 .� �� � -���

� � �� E �G���� � �H � �G���� � �H E � � ���

0��� � � � ������� ������� ����� � �(�����" ����� � � ��4�������+-� ��9� "��"� ����� ���� � (��-�� ��� ������� � ������ ���� ���� �

������� ������� �(�������� F� ������� >� � ��� (��-��� '<���� �� � � �-�������� ��������� ?��-��(��� .� ���� �� �����(�� ����(���2 �� �� �� �-����"- �� �-� ����2 ���-�� �-�� �-� ���� ������ �� �-� "�����

� ������� ����� �� � �� � ������� ��� � ��� �� ���� ������ ���� ��� � � � � ����� ����

� ��!� F� -��� ������� ��� �-�� � ������� ������� �(������� � � ���������� � �""� � �-�� � � � ������ �����+-� /� � ��" � �� � ��� �� ����� �� �-� ����-� �� �-� ����� %����

�-�� �� ���(��� � � � ����- "���� �� �-��� �9� � �� � � � .��- �� �� � �� ������� � E ��� +-�� � ������ �� ��� ����- �� � ��� � ������ �� �-� ��-�������������� � ��� �-� ����- ��(��� * �� ��� ����- �� � ��� � �� �-� ��-��: �� ��� �� ��� ����- ��� ��� �� �-� ��-�����. ��/�� � �� � � �����. C

� � �� ��� ���� ��

�������

�� � � �� ����-�� � ��� � � ����- "������ � � � ����- "���� ��� � �� �-� ���-� ����- �� ��� � � ����- "���� ��� � � �� �-� ���� ����- �� � �� � �� ��� � ��� � � �� �-� ���� ����- �� � �

Page 42: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

,� ����� �� ������ ����� ������ ��������

+-��2 �� ���3��� �� �-� ���"- �� �2 ��� �� �� �-�� � � � ����� ����� ����'�""� � �-�� � � ��� ��� � �� &� � � �-�� � � ��� ����� � �

� �-�� �� -�. �("��������� �� (����"������� .��- � .� ���� ���� �� �����-� ��-�� �-��� � � �&� ��- �� �-� � � � 2 �� � � 2 �-�� � E � �-�� � � � 0���

.� (�� � �(� � � � ��� ���� �-� ���� � �6 � � � ����- "����� +-�� � �� ���-�� �-� ���� �� �-� ���-� ����- �� �� &� � �� �-� ���� ����- �� ��-�� � E � E � �-�� � � � F-��� �� � �� �-� ���-� ����-2 � E ���� � �� � �� �-� ���-� ����- �� �� +-� ����� � � � +-� ��9� � �.-��� � � ����- "����2 � �(�����?������ �� ���� �-�� � � .-��� � �� ��� �� '��� � � ���-�� � ��

�-� ���� ����- �� � �� � �� �-� ���-� ����- �� � � &� �-� /� � � �2 � � �� �-� ���� ����- .-��� E � � �-�� ���( �-� ��/������ �� �2 � � �&� �-� ���� � �2 � E � .-��� � �� �-� ���-� ����- �� � � ������ � � 0��� (����"������� � �("������ .��- ���&� � �� �� � (����� �� �� �-�� �-� ���("����� �� �-� ���� (�������

����� � �(�����" �� ��� ���( � ����� ?�� �9�("��2 ����� � ���� ����������� � ���� �� �-� ���� ����� � �(�����" �� ��� ��� ����-�� �� ����� ����������� � �("������ �� �-� ������� "������ ������ &� �����. �-�� �-� �(�� ���� ��� �-� ���� ����� � �(�����" �� ��� ���:�("�� ��� 0��� �� ��������� � �(�����" �� �� ������� �������� +-� ��1�� ���( �-� �������� .��-���� ����" � D���� ���� ����" �� �� ������� ������� ��� �� ���� ����" ��(�� � ������ �������� .-�- � ��� � ����� ��������� �� ���� ����� � �(�����"�� �� ������� ������� ��� �-� ���� (������� ����� � �(�����" ��(�� ������� ���������

"��� �� ����( �� �� � ���� ������ �� ��� �� �� �� �� � ���������� 7�� �8 �� � � � � ��� �� ! E �7�� �8 C � � � � ��� ���� �� � �� ������ ������� ������ �� ����� � ������ �� ! �� �� ������� ����������� (������ ��� � �� ��� ������� � � ���� ���� �� E !� ��� ������� ������ ����� �� � G� �!H � � ���� ������ ����� �� �����

G7�� �8� H � G7�� �8� �H � ��� ��� � $ � � E � ��� 7�� �8 � 7�� �8�

� ��!� ?�� G7�� �8� H2 G7�� �8� H � � 2

G7�� �8� H � G7�� �8� H E G7� � �� � � �8� H

G7�� �8� H � G7�� �8� H E G7� � �� � � �8� H�

Page 43: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ���� � ����� ������ �������� ,$

'��� ���(��� �� � .��- �� ���� ���� ��������� ��� �("������2 �� "�����-�� � � � ������ ������� �(�����" .� ���� ���� "���� �-�� �-� �4������ ����� ��� �("������ .��- (����"����������� G7�� �8� �H � � � +-��

G7�� �8� �HG7�� �8� H E G7�� �8 � �7�� �8� � H E G7� � ��� � � ��8� � H�

+-� � � �("������ .��- ���� (����"������� �� ��� ���� ��

7� � ��� � � ��8 � 7� � ��� � � ��8 E 7� � �G� � �H� � � �G� � �H8�

���2 ��� � � -��� G�-� � �� ��������� ������H ��� (����"������� � ������� ����(��"-� (2

G� � ��H � G� � ��H E � � G�� � ��H E � � �G� � �H

��� G� � ��H � G� � ��H E � � �G� � �H���3�.� � � � �("������ .��- ���� (����"������� �� ��� ���� ��

7� � ��� � � ��8 � 7� � ��� � � ��8 E 7� � �G� � �H� � � �G� � �H8�

'��� G�� ��H� G�� ��H E �� �G�� �H ��� G� � ��H� G� � ��H E � � �G�� �H�-� �4������ ����� -��� � +-� �("��������� �� ���� (����"������� -��� �� ��� ���-� (����"�������2 .� ���� �� -�3 �-��

G7�� �8 � 7�� �8H � G7�� �8 � 7�� �8H E 7� � �� � � �8 � 7�� �8

G7�� �8 � 7�� �8H � G7�� �8 � 7�� �8H E 7� � �� � � �8 � 7�� �8�

+-� /� � �� �-� � �

7� � �� � � �8 � 7� � �� � � �8 E 7G� � �H � �� G� � �H � �8�

+-�� �

7G� � �H � G� � �H� G� � �H � G� � �H8 E 7G� � �H � �� G� � �H � �8�

'��� � � ������2 �-� � �((������� � ��� �-� ����2 �� � �4�������� ��

7� � �� � � �8 � 7� � �� � � �8 E 7G� � �H � �� G� � �H � �8

.-�-2 ��� � � �� ��������� ������2 � �� � ����� 0��� � � � ������������� �(�����"��

Page 44: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

,, ����� �� ������ ����� ������ ��������

�� ��� ����) �� � E � �� �� � ��� � �� � � � ������ ���� ������ �� ��� ���� �G�H E !G�H ��� �� ���� ������ �� ���� �� ���� �������

� ��!� &� �-� ���(������� �� �-� +-����(2 �G�H � � G� �!H � �� �� �������� �������� � �-� ��-�� -���2 �� ���("����� ��� � �� ��������� ���������� ��� � -���� 0��� �� ����� �� ������� ���������

�� ��� �����* �� � �� �� ���� ������ � � � � �� ������ � � ���� � � ���� ������ ������ ����� �� ����� �� ����� ������ ���� ��

������ � ������ � ��� ��� �

����� � K 6� � $ �K 7 � � � � K 6� � E �K 7 � �� 6 � 7� � � ��

��� 0���.� � �� �� ���� �� ���� ����

F-�� .� .��� ������� �� �("�� ����� � (����� ��� ����� � (����� �":������ ���� � �� �(�����" .� �. �-�� �-� �����.��� �������� "����� �������� ����

G�H ���� � ���� E G� � �H��G� � �HG��H ���� � ���� E G� � �HG� � �H��

+-� � �������� ��;�� �-� �������� ���.��� �-� ������� "������ ����� �� �-����("����� �� �-� ����� � �(�����" ��� �-� "������ ����� �� �-� � ������������ ������� ����"� &� � ������� �� �� ���� �-� � �������� ��� �� �-�����9� �� ������ ������� ����� � �(�����" �

%�&���� ����� � ������� ������ ������ ����� �� � � ���� �(������������� � � � � ����� ���� � ����� # � ��������� ������� � � � ����� � � �

���� ����� �� � �� � �������� ������ ������ ����� ��� ���� ������� ���� � �� ���� ��� � ����� �� �� ������ ����� �����

� ��!� '�""� � � � � +-�� � � � � �� 0���2 ��� � � ����������������2 � � � � � ��� � � E � � +-�� � � � ��&� � � ����� �(�.-�� ��M��� �� -�3 .-��-�� �� ��� � "�������� �������

����� � �(�����" � � ������ ������� �(�����"� � ��� �2 �� (� � �� ������� �� �-� � �� -�""��� ��� �� ������� �-� � ��� �����- �� ����������-�� � "�������� ������� ����� � �(�����" � � ������ ������� �(�����"���-���- �� � �����- ��� ����" � &����� � �: �(�������� �(�����" �� ��� ������ .��-��� ����� � ������ ������� �(�����"� 0�.����

Page 45: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ � ����� ������ �������� ,)

"��� �� ����� �� � �� � ���������� ������ ����� ��� ���� � � ����������� ��� �������� ������ � ��� ��� �� � � ���� �� � � �� � � �G�� �H�#� �� ����� � � � ���� ������ ������ ����� �� ��� � � ���� �� � � ��

G� � �H��G� � �H E ���� � ����

G� � �H��G� � �H E ���� � �����

(�����

� � � E G��� � ���H�������� E �G� � �H��� � �G� � �H����

�� ��� ����� �� � �� �� ������� ���������� ������ ����� ���#� � � ��� �������� ��� �������� ������ ��� � � � ������� �����

� ��!� '�""� � �-�� ��� E ��� ��� ��� E ���� +-�� G���H)� E G���H)�

��� G� � �H)� E G� � �H)�� F-���2 ��� ) � � ������ -�(�(��"-� ( ��� E ��) � � ������ ������� ����"2 G�� �H � )���9� � � � E � � � ��� � � � E � � � �("��

���� � ���� E G� � �H��G� � �H E G� � �H��G� � �H E ���� � ����

���� � ���� E G� � �H��G� � �H E G� � �H��G� � �H E ���� � �����

0���2 ��� �-� ���("����� ���( � �� ��������� ������2 ���� E ����6 �-�� � ���� ��� �-�� G�� �H � ) � � ��� �2 ���� � � � �:�������2 � E �� +-� �� � �� ��������� ��������

F� -��� ��� �-�� �-� (���(�( ����" �������� ) �� �� ����� � �(�:����" -� �� �("������ ���� �� "��� �� �-� ���� �� ������� ������� ����� � �(�����" � .��� � �� �-� ���� �� ����� � �(�����" �� �������� +-���� �� ��-�� �("������ �������� �� �� ��������� ����� � �(�����"� +-� � �-� (�9�(�( ���("����� �"������� �������� 8 .-�- � ��/��� ��

G�� �H � 8 �� ��� ���� �� ����� E ����� ��� ��- ���("����� ��

D4����������2 G�� �H � 8 �� ��� ���� �� ����� ��� ��- ���("����� �� +-� �������� �� � ��� � ��������� .-�� ��� �� ���� ���� �(������ �(�������������� ����� � �(�����" �

���� ����� �� � �� � ���������� ������ ����� �� � ���� ��������� E G���H��G���H � � ���� �� � � �� ���� 8 � � ��������� � �������� � �� �� ���� �� � ����� �� � ���������

Page 46: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

,= ����� �� ������ ����� ������ ��������

� ��!� F� -�. �-�� G�� �H � 8 �("��� G�� �� �� �H � 8 ��� ��- � � �� ���� � �� +-��

G� � �H���G� � �H E 7�G� � �H8��7�G� � �H8

E G�� � ��H��G�� � ��H

E G��H��G��H � G��H��G��H

E G��H��G��H � G��H��G��H ��� G�� �H � 8

E G� � �H���G� � �H�

+-� G� � �H8G� � �H ��� � 8 � � �: �(������� ����������

� ������� ����' �� � �� � ���������� ������ ����� �� � �������� � ���� E G� � �H��G� � �H � � ���� �� � � �� ���� ��8 � ���������������� ����� �� � ���� 4��4 � .��. E G4 � .H��G4 � .H � � ����4�. � ��8'

4 � . � ��� ��� � ����� � �����

� � � �� *���+ � � 4� � � . ��� ��� � � ��

� ��!� ?��( ��((� $�$�)2 ��8 � � �: �(�������� ��� 4�.�5 � ��8 .��-� � 4� � � .� � � 5� +-��

4G. � 5H E �8�G� � �H8� E 7�G� � �H88� E G�� � ��H8� E ��8� � ��8� E 4. � 45

��� 8 � ���- � �(�����" ��� �(������� ��������� 0��� ��8 � ��: �(�������� �(�����" ��� ������ ���� �-� �(��������� ���������?������2 4 � . �� ��� ���� �� 4 E 4 �.� +-�� � �� ��� ���� ��2 ��� �(�

7���8 � � 4� � � .2 G�� � � �H � 8� +-� �� ��� ���� ��

����� E G� � �H���G� � �H E G�� � ��H��G�� � ��H E ����� � �����

�4���������� ����� � ����� ��� ��� � � ���&� � � � � ��� ���� ���� �(������ ��� �� � ���-� �(������ (�- �������

�� ��� -����

���� ����� �� � �� � ��� �������� ������� ������ ������ ����� ����� ���� �� �� � � � ����� ���� ���� ���� � �����

� ��!� '��� � � � �� �����. �-�� ���� � ���� E ���� ��� �-� G����H��G����H ������ +-�� � �������� � ���� ���( .-�- �������� � ���� �� �-� �(:"��������� �� (����"�������� ��� �� � � � � �("��� ���� � ���� .-�- ���� ���� E ���� � �������� � �-�� ���� � �������� � ������

Page 47: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������ � ����� ������ �������� ,#

"��� �� ����( �� � �� � ���������� ������ ����� �� � ���� ��������� E G���H��G���H � � ���� �� � � �� #� � � ������ ��� �������� ��������� � � � ������� � �� ����

� ��!� '�""� � ��� �-�� ���� E ���� � �-�� ��G� � �H� 0���2 �� �-���((�2 G� � �HG� � �H�� � ����� ��� � � � �("��� ���� � G� � �HG� � �H��

��� � � ���-� �(������� +-� ��G� � �H ��� �(������ ��G� � �H� 0������� '��� � � ����� �2 �� �����. �-�� � � � �(������� �� ����" ��

�� ��� ����) �� � �� � ���� ������ ������ ����� ��� #� � � �������� ������ ��� � � � ������� � �� ����

&� � � ��������� ��� �(������ ������� ��� � �: �(�������� �-�� � � ��� ��������� ������ �� ������ ������� ����" � &� ������� �� �� �� ������� ���( �� -�(�(��"-� ( ���.��� �-� ������ ������� ����" � &� � �(������ �-� ������� �� �(������� �� ����" .-�- .� �� ����� �� ���1����0�.����2 �� �-� � � �.� ��(���� �� -�(�(��"-� ( ��� ������ O ��� ���� ���� �-� (����"�������2 �-� ��-�� �� �����(��� �-� ����� ��� �� �� ����-�� �� � � ������ ��������� +-� ������ ��" ��4���� � ������� ����� � �� �-� ������� �� �-� ������ ������� ����" .-�- ��� �������� ���2 �� "��������2�� � � �-� ��� �-�� �-� ����9 � : ������" �� � ������ ������� ����" ���(� �� ��������� ������6 ��������� ��$�, ��� +-����( ��$�=�

"��� �� �����* �� � �� � ������� ���� ���� � � ���� � � �� ��� �� � ���� ������ �� ��� �� ���� �� �� /�� C � � � ������ C � � � �� �� �� ������ ������ � ���� �� �� � � � ���������� ��

G�H ���/�� E �� �� ���� � � � � � �'

G��H 3��/���� � 3��/���� E �� � � � � ���� �� � �'

G���H � � �� � � �� ������

�����

/����

���

���������

����������

����

�����

/����

� ������

Page 48: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

,� ����� �� ������ ����� ������ ��������

���� � E��� C � � �� � �� �������� ��� �������� ���� ������

������ ����� �� ����� �� �� ���

� � � E �/�����/���� � � � � �� � � �

��� ��

� � � � ��� ��� � � � ��� � � �/�� ����� � � �� � � � �

) ��������� ���� �������� ��� �������� ����� ������ ������ ������ �� � � � ���� �� � �� � ���

+-� �������� �� �-� ����(��� �� �-� �-����( ��� 4���� �("�������+-�� �("���� �� �������� �� �-� � � .-�� � � �:�������� ?�� �-�� �-����3��� -�(�(��"-� ( /�� ��� ���:��:��� ���2 �� G�H ����� 0��� �-����� ������ ����" � �(��"-� ( ��� �-� ��(��� ��� � �-� ��(��� �� ����� �� �(��"-� ( � &� �-� � �2 .� ���

� ������� ������ �� � �� � ������� ������ ������ ����� ���� ������ � �� ��� � �� �� ��� �"������$

G�H � � � � ���� �� ���� �� ��� � � ������� ���� ��� ����� ������ �� ��'

G��H � � � �������� ��� �������� ���� ������ ������� ������ ������ ��'

G���H � � � �������� ��� �������� ������ ���� ������ ������ ����� ��� ���� �� ���� 7���� � G� � ����H8� E ���� � G� � ����H � ����

?������2 �""� � �-�� � � � ��������� ������� ���� �(������ �: �(������������� � �(�����"� +-�� .� �. �������2 ���"� ����� $�$�=2 �-�� �-� (�9�(�(���("����� �"������� �������� 8 ���� ��8 ���� � �����(����� ���������������� ���� �(������ �: �(�������� ����� � �(�����"� +-� 3����� �� �-� �������� � �-� �������I�� 5G�H E �� � � C �� E �� ��� ��� ���("����� � ���� &� � �� � �� �� �-�� 5G�H � �������� � .��� � �� ����� � �� �(�����"�� �� &� ��-���� �-� "��"���� �� ����� ��������� ��� ���� �(������ ����������( �� '��� 5G�H � � �(������� �� ����" �� � �-� �(������ ������� � �-�� �� ������� � ����� �� +-����( $�$��*� � �-� ��-�� -���2 ��8� � �(��"-� �� � ������ ������� ����� � �� �(�����" �� �-� �(�����"-� �� � �(��"-� ( ���.��� "����"�� ����� �� �-� �(������� � .-��� ����� / � -�2

� � / �� ��� ���� �� G���H� � G���H/ ��� ��- � � �

.-���2 ��� �9�("��2 �� ������ �-� ������ � ���(��� �� �-� ��(��� �� ��

Page 49: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

���� ������� � ���� �� ��� ����� �� ������� ,�

��� �����.�� � �� � �� ��� +� ��� ���/

� ���

&� �-� -��� �����2 .� �� ���� �-� �(������� �������� �� �-� ����� �(�����"6 �� "���� ��� ������ �� +-����( $�$��2 .� ����� �9"�� �-� ��� �� �(������ �������� �

� ������� ����� �� � �� � �������� ���� � �� ������ ����� ��. E ��� � C �� E ��� ���� �� � �� � �� ��� � �� ������� �!���������� �� � ��� � .$

G�H � # � ��� �� # �'

G��H � $ � ��� �� # �'

G���H � # � ��� �� $ �6

G��H � $ � ��� �� $ ��

� ��!� '�""� � �-�� . � �: �(�������� ��� ��� � E ���� +-�� � �((��� .��- � ��� �2 ���( �-� ���( �� (����"������� �� .2 � E �� ��� �(� ����3�.� �2 � � � E �� ��� �(� � � *� ��� �-��

��� E �G� � �H E �� � � E � � � E ��

.-�- �("��� � E *� � E � �� � E �� � E *� 0��� ���-�� � � � E � ��� � � E �� +-� � # � �� � $ ����. �� ���� ����� +-�� �G����H E ����� E �� 0���2 �� ���"� �����

$���#2 ��� � E � � �� ���("����� .��- �� E �� +-� �("��� � E � �� � E ���+-� ���-�� �� $ � �� �� # ���+-� ����� �(�����" � �:������� � �-� ����� �������� �� . �� ��

�� ����� � ��� �-� �� ��� �� '����� $��� +-��� ��� ���� �� �-�(C

"��� �� ����� �� . E ��� � C �� E �� �� �� ������ ����� ��� ���� .���� �!���� � �� �� �������$

G�H ���� � ���� � ��� ��� � �� � $ � � � � �� � E � � � ��� � � �'

G��H ���� � ���� � ��� ��� � �� � # � � � � �� � E � � � ��� � � �'

G���H ���� � ���� � ��� ��� � �� Q� # � � � � �� � E � � � ��� � � �'

G��H ���� � ���� � ��� ��� � �� � $ � � � � �� � E � � � ��� � � ��

Page 50: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

)* ����� �� ������ ����� ������ ��������

&� �� �� -�.� �-�� �-� � ���� ����� �������� ��� �-� ���� ������ �����:��� �� .� '�2 �� �-� �� �2 �-� ����� �(�����" � (��� ��3� � ���� ����"�-�� � �-� ���� ����� � (����� �� ��� ���������� 0�.����2 �-��� ��� (���(��� �(������� �������� �

"��� �� ����� �� . E ��� � C �� E �� �� �� ������ ����� ��� �������� ��� � �� ���� � �� ������ � ������� ������� � .� 3�������� � ���� �!���� �� �� ������' ���� ��� �� ��� ���� ������� � .�

�� �� � ��

���� � ���� � ��� ��� � �� � $ �� � � �� � E � E � ��� � � �'

��� � � �� � �� � �� �� ��������( � ���� � � *� �� �� �� �� ��� ��

���� �� ���� � ��� ��� � � � �K G� � �H ��� G�� �H� � ��K �G�� �H� � ����

���� . � � ���������� ������ ����� �� � ���� � # � ��� �� # ��3��� ������� ������ � . � � �4���� � � �!���� �� � ��

��� ��� ������ ��

���� �� ���� � ��� ��� � � � �K G� � �H ��� � � �

� ��� ��������' � �� ��� ��� �������� ��������� ������ � .�

?������2 �-� �������� �� �-� � ��(���� .��- �� # � ��� �: �(��������������� 6 �-� � .��- �� $ � ��� �: �(������� �������� �

Page 51: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

+.��� ��

7�8 �� ������2 @������ +-����2A �(��� ��-� '�� �����4���( �����:����� 2 R��� �)2 ���������2 %�&�2 ��,��

7�8 � �� � ����2 � ����� � ������� ����� ���2 �(����� B� ��-��� G��)$H2 ),�:))=

7$8 �� �� ����� 2 @+-���� �� ������ ������ !���" A2 ���� ��33��&��2 ��. S��32 ��S�2 ���)

7,8 �� �����2 @��������� ������ �������� '� ��( 2A �����(��2 9����2��=$

7)8 �� �� �������2 @+�-��4�� �� '�(�����" +-����2A 9���� ������ ������ 2 ����

7=8 �� �� �����2 @?����(����� �� '�(�����" +-����2A ������ ��-�:(����� '����� ������"- 2 ��. '���� ��2 9����2 ���=

7#8 �� �� �� �����2 #������ 2���� ��� 2������� ��� � 2������� ��2+��� � �(����� ��-� '�� �(� G��#$H2 �):��#

7�8 �� �� �� ������ �������� ������� #������ 2���� ���2 B������ ���������2 =) G���*H2 ���:�,=

7�8 �� �� �� �����2 ) ������ ������ � �� 5����� 2���� ��2��((�������� �� ������� G�� �""��� ?��� ����H

7�*8 �� �������2 @&���� � '�(�����" A2 B�-� F���� &���� ����2 ��. S��3���,

7��8 !��� "���!�2 6� ��� ������� #������ 2���� ���2 ���/ B� ��-�2 �)G��=)H2 =,�:===

7��8 !��� "���!�2 ������� #������ 2���� ���2 +��� � �(����� ��-� '����� G��#�H2 ��:�$�

)�

Page 52: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

)� ��� ������

7�$8 !��� "���!�2 7 (��� #������ 2���� �� � ���������2 ���� B�"������2 )* G��#,H2 �$#:�$�

Page 53: Lattice Ordered Groups and the Structure of Inverse Semigroups

����$

�"������2 �,

����� �(�����"2 ,������� ����2 $��� �("��2 �)����- "����2 ,�

�("������ .��- (����"�������2 #���2 �����92 ��

�������� (�"2 �#�� ��������� ������2 �$

DG'H2 $�D:��;�9���2 $=D:�������2 ��

���� ����" �� � �(�����"2 �*���� ����� � �(�����"2 $����� ����� � �(�����" ����2 $*���� �(�����"2 $�

!����5 �������� 2 �$

����� �2 �,����� � �(�����"2 �,� �����2 $�

J���� ���� ����"2 ��

�:-�(�(��"-� (2 �������� ������� ����"2 �$������� ����"2 �$��� � ����" ��������2 $#���� �(������ �������2 ,,

���� ����-2 ,�

(�9�(�( ���("����� �"������� ��:������2 ,)

������� "������ �����2 #��������� �������2 ,,

���-������2 �,

�: �(�����"2 $�"�������� �������2 #"�������� ������� �(�����"2 #

�������2 �,���-� �����2 ��

�"������ ����2 $*

��� ��� ����2 �=

)$