Costruzione di macchine 2 Lezione 15 – Lastre piane
Costruzione di macchine 2
Lezione 15 – Lastre piane
Lastre piane
2 Lastre e gusci (plates and shells)
Lo spessore è << delle altre dimensioni
Lastre = strutture piane
Gusci = hanno curvatura iniziale (semplice - es. recipiente cilindrico - o doppia – es. calotta sferica)
Lastre Gusci
Lastre piane
3 Lastre piane
Possono reagire a carichi trasversali mediante inflessione Sono l’analogo 2D delle travi, ma con differenze importanti
Lastre piane
4 Nei gusci sono invece prevalenti le azioni interne assiali (membranali)
Esempio: cilindro di piccolo spessore s e diametro medio D, soggetto ad una pressione interna p:
p
s s
Lastre piane
5 Una lastra può essere trattata come un gruppo di travi affiancate?
Immaginiamo che la lastra venga inflessa, per esempio per effetto di un carico verticale distribuito sulla superficie superiore
MX MX
Lastre piane
6 Risposta: NO
Sezione indeformata Sezione deformata
Per effetto delle contrazioni laterali si verificherebbero delle lacerazioni nella lastra
Lastre piane
7 In presenza di un momento flettente Mx, deve necessariamente nascere My, che ripristina la continuità
Sezione indeformata Sezione deformata della trave
Sezione deformata della porzione di lastra
MY MY
Lastre piane
8 Teoria di Kirchoff delle lastre piane sottili
Ipotesi: 1. Lx, Ly >> t 2. Contributo della deformazione a taglio (g) allo spostamento w
trascurabile 3. Un segmento rettilineo perpendicolare al piano medio nella
configurazione indeformata sarà ancora rettilineo e perpendicolare al piano medio deformato
x
y z
Lx
Ly
t
Piano medio
Lastre piane
9 Espressione delle deformazioni sulla base delle ipotesi cinematiche fatte
u = −z ∂w∂x
u = −z ∂w∂y
⇒
ε x =∂u∂x
= −z ∂2w∂x2
ε y =∂v∂y
= −z ∂2w∂y2
, γ xz = γ xz = 0, per ipotesi( )
Lastre piane
dx
dy
Spostamenti elastici visti da z
Lastre piane
11 Legame costitutivo elastico lineare
Piccolo spessore => hp. sz = 0 lungo tutto lo spessore => sforzo piano
N.B.: tzx e tyz ≠ 0 (con distribuzione parabolica) anche se γzx = γyz = 0
Lastre piane
12 Azioni interne
Le azioni interne si ottengono integrando gli sforzi lungo lo spessore (N.B. essendo riferite a dx o a dy, hanno la dimensione di Forza o Momento per unità di lunghezza)
Mx = σ xz dz− t 2
+ t 2
∫My = σ yz dz− t 2
+ t 2
∫Mxy = τ xyz dz− t 2
+ t 2
∫
Qx = τ xz dz− t 2
+ t 2
∫Qy = τ yz dz− t 2
+ t 2
∫
sforzi massimi in valore assoluto:
σ x,max = ±6Mx
t 2, σ y,max = ±
6My
t 2, τ xy,max = ±
6Mxy
t 2
Lastre piane
13 Legame momenti-curvature
Sostituendo ed integrando
Mx = σ xz dz = −D ∂2w∂x2
+ ν ∂2w∂y2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− t 2
+ t 2
∫
My = σ yz dz = −D ∂2w∂y2
+ ν ∂2w∂x2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− t 2
+ t 2
∫
Mxy = τ xyz dz = − 1−ν( )D ∂2w∂x∂y− t 2
+ t 2
∫
, con D =Et 3
12 1−ν 2( )
Lastre piane
14 Equazioni indefinite di equilibrio: equilibrio in direzione z
y x
z q
Lastre piane
15 Equazioni indefinite di equilibrio: equilibrio alla rotazione attorno a x
y x
z q
Qydxdy + Mydx − My +∂My
∂ydy
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟dx + Mxydy − Mxy +
∂Mxy
∂xdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟dy = 0
dà contributo al momento che è inf.mo di ordine superiore
dà contributo al momento che è inf.mo di ordine superiore
Qy −∂My
∂y−∂Mxy
∂x= 0
Lastre piane
16 Equazioni indefinite di equilibrio: equilibrio alla rotazione attorno a y
Mxy +∂Mxy
∂ydy
y x
z q
Qxdxdy + Mxdy − Mx +∂Mx
∂xdx⎛
⎝⎜⎞⎠⎟dy + Mxydx − Myx +
∂Mxy
∂ydy
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟dx = 0
Qx −∂Mx
∂x−∂Mxy
∂y= 0
dà contributo al momento che è inf.mo di ordine superiore
dà contributo al momento che è inf.mo di ordine superiore
Lastre piane
17 Sostituendo, dopo alcuni passaggi…
q + ∂Qx
∂x+∂Qy
∂y= 0
Qx −∂Mx
∂x−∂Mxy
∂y= 0
Qy −∂My
∂y−∂Mxy
∂x= 0
+
Mx = −D ∂2w∂x2
+ ν ∂2w∂y2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
My = −D ∂2w∂y2
+ ν ∂2w∂x2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Mxy = − 1−ν( )D ∂2w∂x∂y
⇒
⇒ q + ∂2Mx
∂x2+∂2Mxy
∂y∂x+∂2My
∂y2+∂2Mxy
∂x∂y= 0 ⇒
⇒ q − D ∂4w∂x4
+ ν ∂4w∂x2∂y2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− 1−ν( )D ∂4w
∂x2∂y2− D ∂4w
∂y4+ ν ∂4w
∂y2∂x2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− 1−ν( )D ∂4w
∂x2∂y2= 0 ⇒
⇒ D ∂4w∂x4
+ 2 ∂4w∂x2∂y2
+∂4w∂y4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= q
E’ l’analogo 2D dell’equazione EJ yIV = q, valida per le travi
Lastre piane
18 Differenza tra trave e lastra inflessa
Sezione indeformata Sezione deformata
MX MX
x z
d2w/ dy2 ≠ 0 My = 0
d2w/ dx2 ≠ 0 MX =-EJ d2w/ dx2
Lastre piane
19 Differenza tra trave e lastra inflessa
Se una lastra è forzata ad atteggiarsi secondo una superficie cilindrica:
Sezione indeformata Sezione deformata
MX MX
x z
d2w/ dy2 ≠ 0 My = 0
d2w/ dx2 ≠ 0
MX MX
y x z
Sezione indeformata Sezione deformata
MX =-EJ d2w/ dx2
N.B. inoltre per base della sezione unitaria EJ =E t3/12 per la trave, minore di D = Et3/[12(1-n)]
∂2w / ∂x2 ≠ 0 ∂2w / ∂y2 = 0
Lastre piane
20 Perché esiste anche un momento torcente MXY ?
Lastra quadrata incastrata ai bordi con carico uniforme:
se osserviamo la prima ed ultima riga di elementi, si osserva una rotazione relativa
prima riga
ultima riga
Se ci concentriamo su una fila di elementi…
N.B. modello di ¼ della lastra
Lastre piane
21 …è evidente la torsione
La torsione si ha perché c’è una rotazione relativa (attorno all’asse y) delle sezioni aventi la stessa coordinata x
x
z
y
Lastre piane
22 Condizioni al contorno
L’equazione q = D(…)…, una volta integrata, va completata con le condizioni al contorno, che possono essere date in termini di Spostamenti e rotazioni Momenti e forze
Poiché il bordo di una lastra può avere forma qualsiasi, si deve fare riferimento alle direzioni n, normale e t, tangente
x
y n t
Lastre piane
23 Osservazioni sulle reazioni vincolari ai bordi
Negli spigoli a si sommano i momenti torcenti, dando luogo ad una reazione P concentrata nello spigolo.
Mxy dx
Myx dx
dy dx
Myx dx
=
Myx
dx
Myx dx
=
Myx
dx
Mxy
Myx
dy dx
P = Mxy + Myx = 2 Mxy
Lastre piane
24 Reazioni vincolari ai bordi: forze di sostituzione
dx
Myx dx
=
Myx
dx
dx
Myx +∂Myx
∂xdx
Myx
Myx
Myx
Myx +∂Myx
∂xdx
Qy
Qy
il vincolo deve esercitare una forza:
Qy +∂Myx
∂x
Lastre piane
Legame tra Mx,My ed Mxy 25
σ n = σ x cos2α +σ y sin
2α
τ n = σ y − σ x( )sinα cosα⎧⎨⎪
⎩⎪
La costruzione del cerchio di Mohr
• Allo stesso modo possiamo evidenziare gli sforzi agenti ad una distanza z dal piano neutro di una ‘fetta’ di lastra: le relazioni che legano gli sforzi sulla faccia inclinata sono le stesse. • Gli sforzi però provengono dai momenti flettenti Mx ed My.
Lastre piane
Legame tra Mx,My ed Mxy 26
La costruzione del cerchio di Mohr sugli sforzi piani porta quindi, per le lastre, alla relazione:
• La costruzione del cerchio di Mohr lega quindi anche le componenti di momento flettente su un piano inclinato dell’angolo α rispetto alla direzione X. • Non si ha Mnt solo quando i due momenti flettenti Mx ed My sono uguali la lastra ha la stessa curvatura in tutte le direzioni.
Lastre piane
Lastra circolare con momento uniforme
I momenti flettenti Mx ed My sono legati alle curvature della lastra in due direzioni
27
Se Mx=My le due curvature sono uguali
Lastre piane
Lastra circolare con momento uniforme 28
La superficie della lastra
I momenti flettenti sono uguali in tutte le direzioni e pari ad M.
Lastre piane
Soluzioni per serie 29
Consideriamo una lastra rettangolare appoggiata soggetta al carico
q = fo sinmπ xa
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟nπ yb
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
La soluzione è un’equazione:
w =fo
π 4D
sin mπ xa
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ sin
nπ yb
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
m / a( )2 + n / b( )2⎡⎣ ⎤⎦2
introducendo:
wm,n =sin mπ x
a⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ sin
nπ yb
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
m / a( )2 + n / b( )2⎡⎣ ⎤⎦2
scriviamo:
w =1
π 4Dfowm,n
Lastre piane
Soluzioni per serie 30
Se scriviamo q = Fm,n
n=1
N
∑m=1
M
∑ sin mπ xa
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟sin nπ y
b⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Fm,n =4ab
qsin mπ xa
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟sin nπ y
b⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
b
∫0
a
∫ dxdydove
la soluzione è:
w =1
π 4DFm,n
n=1
N
∑m=1
M
∑ wm,n
Lastre piane
Soluzioni per serie – carico uniforme 31
Fm,n =16qoπ 2
1m ⋅n
m=n=1,3,5,..
Lastre piane
Soluzioni per serie 32
Lastre piane
Soluzioni per serie 33
Lastre piane
Soluzioni per serie 34
Lastre piane
Soluzioni per serie 35
Lastre piane
Lastre circolari 36
Consideriamo delle lastre piane in un riferimento polare, i vari termini che abbiamo utilizzato cambiano espressione :
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−
∂∂∂−−=
∂∂∂−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂+
∂∂+
∂∂−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂−=
ϑϑνν
νϑ
ν
ϑνν
ϑ
ϑ
wrr
wr
DyxwDM
rww
rrw
rD
xw
ywDM
wrr
wrr
wDyw
xwDM
r
r
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
1111
11
11
Lastre piane
Lastre circolari 37
( )
( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
∂∂+
∂∂=∇
∇∂∂−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂
∂∂−=
∇∂∂−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂
∂∂−=
2
2
2
22
22
2
2
2
22
2
2
2
yx
wy
Dyw
xw
yDQ
wx
Dyw
xw
xDQ
y
x
( )
( )wDQ
wr
DQr
2
2
∇∂∂−=
∇∂∂−=
ϑϑ
Lastre piane
Lastre circolari 38
2
2
2
22
yx ∂∂+
∂∂=∇ 2
2
22
22 11
ϑ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ w
rrw
rrww
∇4w =∂2
∂r2+1r∂∂r
+1r2
∂2
∂ϑ 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∂2w∂r2
+1r∂w∂r
+1r2
∂2w∂ϑ 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=qD
L’equazione biarmonica diventa
Il laplaciano:
Lastre piane
Lastre con carichi assialsimmetrici 39
Mr = −D d 2wdr2
+νrdwdr
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Mϑ = −D 1rdwdr
+ ν d2wdr2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Qr = −D ddr
d 2wdr2
+1rdwdr
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Se i carichi/spost. dipendono solo da r
∇4w =d 2
dr2+1rddr
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟d 2wdr2
+1rdwdr
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=qD
Lastre piane
Lastre assialsimmetriche 40
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=∇
drdwr
drd
rdrdwrdr
wdw 112
22
1rddr
r ddr
1rddr
r dwdr
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=qD
Se consideriamo che:
L’equazione differenziale diventa :
∫ ∫ ∫∫= drdrdrdrDrp
rr
rw 11che può essere semplicemente
integrata:
Lastre piane
Lastre assialsimmetriche
E’ interessante vedere come possiamo arrivare a questa equazione risolvente anche in altro modo (e ci fa vedere come ottenere delle soluzioni analitiche). Consideriamo una porzione a-b-c-d di una lastra sottesa da un angolo dθ
41
trascurando gli infinitesimi di ordine superiore
introducendo le espressioni di Mr ed Mt
Lastre piane
Lastre assialsimmetriche 42
derivando rispetto ad r e dividendo per r
esprimendo il legame tra Q e q
L’equazione differenziale può essere riscritta come:
d
dr
�1
r
d
dr
�rdw
dr
��=
1
r ·D
� r
0q · rdr
Lastre piane
Soluzioni 43
w =po64D
a2 − r2( )2
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]22
22
31116
3116
rapM
rapM
o
or
νν
νν
ϑ +−+=
+−+=
2
2max, 436
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−==tap
tM or
rσ
Lastre piane
Lastra appoggiata con carico uniforme
La lastra appoggiata con carico uniforme può essere semplicemente ottenuta dalla soluzione precedente sovrapponendo un momento radiale di estremità uguale e contrario a quello d’incastro (ottenendo così un bordo semplicemente appoggiato).
44
il punto più sollecitato è al centro
Lastre piane
Altre soluzioni
Per la lastra appoggiata all’estremità con un carico P concentrato al centro, l’equazione della superficie risulta:
45
La soluzione è stata ottenuta immaginando che P sia ripartito su una infinitesima area circolare di raggio c, la soluzione è valida quindi per r>c .
Lastre piane
Quaderno
1) Ricavare la distribuzione dei momenti flettenti in una lastra incastrata soggetta a carico concentrato P al centro della lastra, utilizzando la soluzione della lastra appoggiata + quella della lastra circolare soggetta a momento radiale di estremità.
2) Dato un acciaio con Rp0,2=240 MPa ed un carico P=1000 [N], calcolare lo spessore t minimo per una lastra di raggio 500 mm che sopporti il carico e ricavare la freccia massima.
46