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LASERS E APLICAES
Carlos Avelino De Jesus Gouveia
INESC Porto, R. Campo Alegre s/n, 4369-007, Porto, Portugal;
Centro de Competncias de Cincias Exactas e de Engenharia,
Universidade da Madeira, Campus da
Penteada, 9000-390 Funchal.
[email protected]
SUMRIO
O presente trabalho tem por objectivo expor os conceitos e
princpios que sustentam a teoria dos lasers. O texto esta
dividido em 8 seces, inicialmente uma introduo onde tambm feita
uma pequena abordagem histrica,
seguidamente so detalhadas as principais caractersticas da luz
laser. Posteriormente explicado o principio fsico que
esta por trs da tecnologia numa seco intitulada interao entre a
luz e a matria onde explicou-se a emisso
espontnea e estimulada. As seces 4-7 detalham conceitos tericos
nos quais se baseia a tecnologia, tais como ganho,
realimentao, cavidades pticas, frequncia e potencia de sada do
laser. Para finalizar so explicados os modos de
funcionamento do sistema laser.
Palavras chave: Laser, Maser, emisso estimulada, emisso
espontnea, absoro, cavidades ressonantes.
1. INTRODUO A palavra LASER abreviao inglesa para amplificao de
luz por emisso estimulada de radiao. Albert Einstein em
1916 descobriu que para haver equilbrio termodinmico entre a
matria e a radiao era um preciso um processo, que
at essa altura era desconhecido, a emisso estimulada. Essa
descoberta ficou guardada at que em 1954 Charles Townes
desenvolveu um amplificador de micro-ondas por radiao estimulada
(MASER - Microwave Amplification by
Stimulated Emission of Radiation). Posteriormente, em 1958
Arthur Schalow e Charles Townes sugeriram que o efeito
de emisso estimulada podia ser estendido a regio ptica do
espectro electromagntico, se o meio activo estivesse
dentro de uma cavidade Fabry-Perot. Em 1960 Theodore Maiman
desenvolveu o primeiro laser, baseado rubi e pouco
tempo depois Ali Javan presenteou o Laser de He-Ne. Hoje em dia
h uma enorme variedade de lasers a funcionar em
diversos cumprimentos de ondas para diversas aplicaes. A Figura
1 mostra os diversos materiais activos utilizados nos
diversos cumprimentos de ondas dos lasers.
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Figura 1 Comprimento de onda da luz em funo do material
utilizado no meio activo
Um sistema laser composto por quatro elementos chaves. A figura
2 ilustra estes elementos. O meio activo, que
formado por uma coleco de tomos ou de outra matria e serve como
amplificador de luz (figura 2.A). O meio activo
normalmente encontra-se dentro de uma cavidade ptica, desta
forma o processo de amplificao repete-se
continuamente (figura 2.B). A bombagem o elemento encarregado de
fornecer energia que permite a amplificao da
luz (figura 2.C). Por ultimo de modo a extrair uma poro da luz
amplificada uma das superfcies reflectoras deixa passar
parcialmente parte da luz (figura 2.D).
Figura 2 Elementos chave de um sistema laser Um sistema laser
esta sujeito as leis bsicas da fsica. Assim, em cada uma das fases
do funcionamento do laser existem
possibilidades de perdas de energia o que aumenta a entropia do
sistema. Um sistema laser bem construdo deve
equilibrar os ganhos e perdas. Dito de outra forma, o laser s
foi possvel depois de os fsicos perceberem como os
tomos podiam comportar-se como maquinas termodinmicas
eficientes.
O estudo do comportamento dos tomos dentro de uma cavidade
ptica, os tomos e a sua interaco com a luz factor
chave no funcionamento do laser. Um sinal fraco amplificado pelo
meio activo de forma continua, devido a
realimentao, este processo chega a um ponto em que a intensidade
do sinal poder alterar a capacidade de amplificao
MedioActivo(tomos)
MedioActivo(tomos)
A
B 1 2
34
MedioActivo(tomos)
C
Bombagem
D
-
do meio activo. Este facto sugere que deve-se estudar o meio
activo e o sinal ptico como um conjunto, e no
separadamente. A luz e os tomos dentro de uma cavidade laser
apresentam um comportamento altamente no linear. A
realimentao tambm implica que uma pequena instabilidade possa
ser magnificada. Isto quer dizer que um sistema
laser pode apresentar um comportamento catico, sendo este estudo
alvo de alguns investigadores. Mas para a maioria
deles os lasers so interessantes quando funcionam de forma
estvel com uma intensidade, frequncia e estrutura
espacial de feixe bem definido.
2. CARACTERISTICAS DA LUZ LASER 2.1 Monocromaticidade
Existem diversos tipos de fontes luminosas, sendo que nenhuma
perfeitamente monocromtica. existe sempre uma
largura espectral associada. define-se monocromaticidade de uma
fonte a razo entre largura espectral e o
cumprimento de onda central /. Quanto menor este valor mais
monocromtica a nossa fonte. Um laser
normalmente presenta uma largura espectral no ordem de algumas
centsimas de pico metros. A monocromaticidade
depende de dois factores, a cavidade ptica que actua como filtro
ptico e ainda mais importante o processo de emisso
estimulada.
2.2 Direccionalidade
A direccionalidade uma das caractersticas mais notveis de um
feixe laser. Ao contrario de uma fonte convencional
que emite em todas as direces, um feixe laser tem normalmente
uma divergncia prxima ao limite da difraco. Esta
propriedade deve-se em parte a cavidade ptica. Um foto antes de
sair da em media 50 voltas a cavidade, para ter sido
reflectido tantas vezes claro que o foto tem de propagar-se ao
longo do eixo da cavidade pelo que o sai com uma
pequena divergncia. Com tudo a razo mais fundamental tem a ver
com a coerncia espacial, conceito que ser
abordado nos em breve no texto.
2.3 Brilho espectral
O brilho espectral () pode ser definido como a intensidade
espectral por unidade de ngulo slido (). Sendo que a
intensidade espectral a potncia (P()) por unidade de rea a
dividir pela largura de banda. Assim ficamos com
Eq 2.1
2.4 Coerncia
A coerncia a principal caracterstica da luz laser, e implica uma
determinada correlao, isto , possvel determinar
um evento atravs de conhecimento passado. Se a luz de uma fonte
completamente coerente no espao e no tempo, h
ento uma correlao total entre as oscilaes de o campo elctrico
num ponto e em qualquer outro ponto. A coerncia
temporal esta associada a preservao da fase dos diversos fotes
enquanto que a coerncia espacial tipicamente
expressada atravs do facto de a sada termos um feixe muito
estreito limitado pela difraco. Como j foi referido o
feixe laser pode ser focalizado em pontos muito pequenos com
radincia muito elevada, sendo possvel concentrar a sua
energia a grandes distancias.
!" =P(")
A#"#$
-
3. INTERACO ENTRE A LUZ E A MATERIA Boa parte das fontes de luz
utilizadas hoje em dia, seja de lmpadas incandescentes ou
fluorescentes, gerada
espontaneamente quando tomos ou molculas perdem um excesso de
energia emitindo luz. Este tipo de luz gerada por
mudanas de energia dos nveis atmicos ou moleculares, que ocorrem
sem qualquer interveno externa. Entretanto,
existe um segundo processo em que a emisso de luz que ocorre
quando um tomo ou molcula retm o excesso de
energia at ser estimulado a emiti-lo na forma de luz. Os lasers
so capazes de produzir e amplificar esta forma de luz
estimulada, de forma a produzir feixes intensos e colimados. A
natureza especial deste tipo de radiao eletromagntica
tornou a tecnologia laser uma ferramenta vital em quase todos os
aspectos da vida diria, incluindo comunicaes,
monitorizao, diverso, fabricao, e medicina.
Em 1917 Albert Einstein deu o passo inicial no desenvolvimento
do laser ao demonstrar a existncia destes dois tipos de
emisso num artigo publicado em 1917. Sendo que por muitos anos,
os fsicos pensaram que a emisso espontnea fosse
o processo mais provvel e dominante, e que emisso estimulada
seria sempre muito mais fraca. S algumas dcadas
mais tarde que estudos demonstraram a possibilidade da
predominncia da emisso estimulada e fizesse a emisso de
um tomo ou molcula estimular muitos outros para produzir o
efeito de amplificao da luz.
A compreenso de alguns princpios fundamentais vital para o
entendimento de como a emisso estimulada
produzida e amplificada. So eles,
O laser um dispositivo inerentemente quntico, e na descrio
quntica, um tomo possui nveis discretos de
energia.
A emisso de luz espontnea e estimulada s ocorre se houver
transies entre nveis de energia.
necessria uma inverso de populao entre nveis de energia para que
ocorra a amplificao da emisso
estimulada de energia.
3.1 Emisses espontnea e estimulada
No trabalho apresentado, Einstein considerou um conjunto de dois
tomos com dois nveis de energia. Um nvel
fundamental com energia Ef e um nvel excitado com energia Ee.
Notar que o nvel fundamental representa estado de
mais baixa energia do tomo. Transies so possveis entre esses
dois nveis atravs da absoro ou emisso de um
foto de frequncia dada pela relao de Einstein,
Eq 3.1
Se um tomo ou molcula estiver no nvel fundamental pode absorver
um foto de energia de transio h e
simultaneamente passar para o estado excitado. Se um tomo ou
molcula estiver no nvel de energia excitado, ele pode
decair espontaneamente para um nvel de energia mais baixo sem
qualquer estmulo externo. Como resultado, temos a
liberao de um excesso de energia, igual diferena de energia dos
dois nveis, em forma de um foto. A frequncia do
foto emitido dada pela Eq 3.1. Os tomos e molculas excitados tm
um tempo caracterstico para emitir
!E = h"
-
espontaneamente, que o tempo mdio que eles permanecem no estado
excitado antes de decarem para um nvel de
energia mais baixo. O tempo de vida do estado excitado um factor
importante para que ocorra a emisso estimulada.
Se um tomo no nvel excitado iluminado por um foto que tem a
mesma energia de transio que ocorreria
espontaneamente, o tomo pode ser estimulado a voltar ao seu
estado fundamental e simultaneamente emitir um novo
foto com a mesma energia da transio e mesma direo do foto
incidente. Assim, um nico foto que interage com
um tomo excitado pode resultar ento em dois fotes. Se usarmos a
descrio ondulatria da luz, a emisso estimulada
ter a frequncia da luz incidente e estar em fase (coerente),
resultando em amplificao da intensidade da onda de luz
original. A Figura 3 ilustra a absoro (a), emisso espontnea (b)
e estimulada (c) com as duas ondas coerentes
resultantes.
Figura 3 Diversas maneiras em que a luz pode interagir com os
tomos. A) Absoro, B) Emisso espontnea e C) Emisso estimulada.
O problema principal para se conseguir a emisso estimulada que,
em condies normais de equilbrio termodinmico,
a populao, isto , o nmero de tomos ou molculas em cada nvel de
energia, no propicio a sua ocorrncia.
Devido tendncia dos tomos e molculas decarem espontaneamente
para os nveis de mais baixas energias, a
populao em cada nvel diminui com o aumento de energia. Em
condies normais, para uma energia de transio
correspondente a um comprimento de onda ptico (da ordem de 1eV),
a razo entre o nmero de tomos ou
molculas na energia mais alta ao nmero no estado fundamental de
cerca de 10-17. Em outras palavras,
virtualmente todos os tomos ou molculas estaro no estado
fundamental para uma transio com energia
correspondente ao comprimento de onda da luz visvel. Assim,
embora a luz emitida espontaneamente pudesse
facilmente estimular a emisso de outro tomo excitado, to poucos
esto disponveis que o foto emitido
encontrar primeiro um tomo no estado fundamental e ser absorvido
(Figura 3(A)). Em resumo, como o nmero
de tomos no estado excitado muito pequeno com relao ao do estado
fundamental, o foto emitido tem uma
probabilidade muito maior de ser reabsorvido, fazendo que, no
equilbrio termodinmico a emisso estimulada seja
insignificante quando comparada com a emisso espontnea.
A B C
-
O mecanismo pelo qual a emisso estimulada pode se tornar
dominante ter mais tomos no estado excitado que
no estado fundamental, de forma que os fotes emitidos tm maior
probabilidade de estimular a emisso do que
serem absorvidos. Como esta condio o inverso do que ocorre na
situao de equilbrio normal, ela
denominada de inverso de populao. Havendo mais tomos num estado
excitado que no fundamental, a emisso
estimulada pode dominar, resultando numa cascata de fotes. O
primeiro foto emitido estimular a emisso de
mais fotes, que estimularo a emisso de ainda mais fotes, e assim
por diante. A cascata resultante de fotes
cresce, produzindo a amplificao da luz emitida. Se a inverso de
populao termina (a populao do estado
fundamental domina), a emisso espontnea se tornar novamente o
processo favorecido.
Quando Einstein introduziu o conceito de emisso estimulada, a
maioria dos fsicos acreditava que qualquer condio
diferente da do equilbrio termodinmico seria instvel e no
poderia ser sustentada. S muito mais tarde que
desenvolveram mtodos para produzir as inverses de populao
necessrias para sustentar a emisso estimulada.
tomos e molculas podem ocupar muitos nveis de energia, uma
transio pode acontecer entre dois nveis de energia
quaisquer. A condio necessria para ocorrer a emisso estimulada e
amplificao, ou aco laser, que pelo menos um
nvel de energia mais alto tenha uma populao maior que um nvel
mais baixo.
No equilbrio termodinmico, a energia trmica no suficiente para
produzir uma inverso de populao porque o calor
s aumenta a energia mdia da populao, mas no aumenta o nmero de
espcies no estado excitado com relao ao
estado fundamental. A abordagem mais comum para se produzir uma
inverso de populao num meio laser fornecer
energia ao sistema para excitar tomos ou molculas para os nveis
de energia mais altos. Este processo denomina-se
bombagem.
Para produzir a inverso de populao necessria para a aco laser,
os tomos devem ser excitados a nveis de
energia especficos. A luz e a corrente eltrica so os mecanismos
de bombagem frequentemente utilizados na
maioria dos lasers. Existem tambm outras abordagens, bastante
mais complexas, que produzem lasers de bom
desempenho. Em geral se excita um tomo ou molcula a um nvel de
energia superior quele que participa da
emisso estimulada, aps o que ele decai para o nvel excitado de
interesse. Excitao indireta atravs das colises
entre dois tipos de gases misturados tambm pode ser aplicada
para produzir a inverso de populao. Em outras
palavras, excita-se um tipo de gs atravs da passagem de corrente
eltrica e este transfere, devido a colises, a
energia aos tomos ou molculas responsveis por produzir a aco de
laser.
Como j exposto, o tempo que um tomo ou molcula permanece no
estado excitado crtico para estabelecer se a
emisso ser estimulada ou espontnea. Em geral, o estado excitado
possui um tempo de vida tpico da ordem de
alguns nanosegundos antes da ocorrncia da emisso espontnea e
este perodo no suficientemente longo para
sofrer a provvel excitao por outro foto. Assim, uma exigncia
crtica para a aco laser que o estado excitado
tenha um tempo de vida longo. Estes estados existem em certos
materiais e so chamados de estados metastveis.
O tempo de vida de um estado metastvel varia tipicamente de
microssegundos a milissegundos, que um tempo
realmente longo na escala atmica. Com vidas to longas, tomos e
molculas excitados podem produzir
-
quantidades significantes de emisso estimulada. A aco laser s
possvel se a populao do nvel excitado se
mantiver superior do nvel fundamental. Quanto mais longo for o
tempo de decaimento da emisso espontnea,
mais adequado uma molcula ou tomo ser para a aco laser.
A aco maser demonstrada por Charles Townes foi importante porque
utilizou pela primeira vez a inverso de
populao, provando assim que, a inverso era possvel de ser
produzida. O maser desenvolvido baseava-se na
molcula de amnia, tendo apenas dois nveis que participam da aco
laser. Townes empregou uma aproximao
moderna para produzir a inverso de populao - uma tcnica de feixe
molecular que separava magneticamente as
molculas excitadas das molculas no estado fundamental. Estas
eram descartadas e as molculas excitadas
restantes possuam a inverso de populao desejada. Outras tcnicas
mais eficientes de inverso de populao
para masers e lasers prticos foram desenvolvidas, requerendo a
utilizao de trs, quatro, ou mais nveis de
energia. A Figura 4 mostra esquematicamente as referidas
tcnicas.
Figura 4 Sistemas laser com diversos nveis de energia. (A)
sistema de dois nveis, (B) sistema de tres nveis e (C) sistema de
quatro nveis.
O sistema de dois nveis no permite a oscilao laser continua. A
bombagem de tomos no sistema por radiao
vai induzir a absoro (transio para o estado fundamental, 12) e a
emisso estimulada (transio 21) em
simultneo. De esta forma no possvel obter uma inverso da populao
positiva e estvel no tempo. No sistema
de trs nveis, a bombagem actua entre o nvel (13). O tomo pode
decair para o nvel um por causa da
bombagem mas a causa mais forte o decaimento para o nvel 2 por
emisso espontnea ou por coliso com outra
partcula. O decaimento de 32 muito rpido, o que origina a
saturao do nvel dois. Conseguindo assim a
inverso de populao desejada para aco laser entre os nveis
21.
O sistema de quatro nveis presenta algumas vantagens face ao de
trs, uma vez que o nvel 1 excitado e os
tomos decaem rapidamente para nvel 0 (estado fundamental), a
diminuio de tomos no nvel 1 resulta no
aumento da inverso de populao na transio laser.
3.2 Susceptibilidade Atmica
A suscetibilidade eltrica de um tomo clssico dada pela
expresso;
A B C
2
1
BombagemTransio
LaserBombagem Transio
Laser
Decaimento rpido
1
2
3
Bombagem
Decaimento rpido
Decaimento rpido
TransioLaser
3
2
1
0
-
Eq 3.2
Onde, na ultima passagem considera-se o caso para o qual a
frequncia da luz incidente est prxima da ressonncia
atmica (= 0). Introduzindo o tempo de relaxao T=2/b relacionando
potencia emitida pelo electro acelerado
podemos escrever explicitamente as partes real e imaginaria da
susceptibilidade como;
Eq 3.3
Eq 3.4
Que esto relacionadas respectivamente ao ndice de refraco e ao
coeficiente de absoro atravs das expresses
aproximadas n=1+1/2 e =1/2(/c). Sabe-se que o tomo clssico pode
assumir qualquer nvel de energia,
bastando apenas aumentar a amplitude de oscilao do electro.
Entretanto j foi relatado no texto que a aco laser
apenas pode ser descrita considerando o modelo do tomo quntico,
no qual este apenas admite nveis discretos de
energia. O calculo da susceptibilidade do tomo feita utilizando
tcnicas da mecnica quntica. Sendo este calculo
complexo e estando fora dos objectivos da seco de seguida sero
apresentadas as equaes que descrevem a
susceptibilidade.
No formalismo semi-clssico, onde o tomo considerado uma entidade
quntica e o campo eletromagntico como uma
varivel clssica, as partes real e imaginaria da susceptibilidade
atmica so dadas por;
Eq 3.5
Eq 3.6
Onde N0 a diferena de populao entre o estado fundamental e o
estado excitado e g(v) a forma de linha
normalizada, dada pela lorentziana;
Eq 3.7
Que possui uma largura v=(T2)-1, por outro lado;
!! = Ne
2
m"0 #0$# 2 $ j#b( )%
Ne2m"0 2#0 #0 $#( ) $ j#0b&' ()
!" =Ne2T2m#0$0
%&'
()*
#0 +#( )T1+ #0 +#( )2 T 2
!!" =Ne2T2m#0$0
%&'
()*
11+ #0 +#( )2 T 2
!" =2#N0T2h$0
%&'
()*
+0 ,+( )T21+ +0 ,+( )2 T22 + 4-2T2.
= ,2 +0 ,+( )T2
2 h$0#Ng(v)
!!" =2#N0T2h$0
%&'
()*
11+ +0 ,+( )2 T22 + 4-2T2.
= ,2
2 h$0#Ng(v)
g(v) = 2T21+ 4! 2 (v " v0 )2T22=
#v2!
$%&
'()
(v " v0 )2 +#v2
$%&
'()2
-
Eq 3.8
a diferena de populao entre os nveis excitado e fundamental na
presena de luz. A grandeza =E/2
denominada frequncia de Rabi e seu quadrado proporcional
intensidade. Uma consequncia da presena deste termo
nas Eq 3.5 e Eq 3.6 que tanto a suscetibilidade como a diferena
de populao diminuem conforme se aumenta a
intensidade de luz. Este fenmeno conhecido como saturao, se
torna bastante aparente quando 42T2>1+( )2T2.
Outra consequncia da saturao o alargamento da linha lorentziana
de um valor =(T2)-1 para
sat=(1+42T)1/2.
3.3 Coeficientes A e B de Einstein
Em 1917 Einstein publicou um artigo onde analisou a interao de
um conjunto de tomos idnticos com um
campo de radiao com energia variando suavemente nas vizinhanas
da frequncia de transio. O modelo supe
a existncia de dois processos estimulados, dependentes da
densidade de energia de acordo com,
Eq 3.9 a
Eq 3.9 b
onde Wij a taxa de transio (nmero de transies por unidade de
tempo) e Bij so constantes a determinar. Como
mostra a Figura 5, o tomo estar em equilbrio com o campo de
radiao (estado estacionrio) quando o nmero de
transies de 12 foi igual de 21. Assim,
Figura 5 Modelo do tomo de dois nveis
Eq 3.10
sendo A a taxa de transies espontneas e Ni a populao do nvel i.
Para determinarmos os coeficientes A e Bij supe-se
que o campo de radiao tem como origem a emisso de corpo negro,
cuja densidade de energia dada pela lei de
Planck,
!N = !N01+ " #"0( )2 T22
1+ " #"0( )2 T22 + 4$2T2%&
'(
)
*+
W21 =W21!(")
W12 =W12!(")
2
1
AW12 W21
N1B12!(") = N2 B21!(") + A( )
-
Eq 3.11
onde o primeiro termo representa a densidade de modos para a
radiao isotrpica de frequncia , e o segundo o
nmero de ocupao destes modos e o termo h a energia por modo. A
considerao deste tipo de radiao especfica no implica em quebra de
generalidade uma vez que de se esperar que os coeficientes A e Bij
dependam apenas do
tomo e no da radiao a que est exposto. Substituindo (Eq 3.11) em
(Eq 3.10) ficamos com,
Eq 3.12
Como os tomos esto em equilbrio trmico, a razo entre as populaes
dos nveis 1 e 2 dada pelo factor de
Boltzmann,
Eq 3.13
onde gi a degenerescncia do i-simo nvel. Substituindo esta razo
na Eq 3.12 e simplificando ficamos com,
Eq 3.14
Que valida para qualquer temperatura se s se,
Eq 3.15a
Eq 3.15b
Como num sistema atmico de dois nveis isolado a taxa de
decaimento de A o inverso do tempo de vida espontneo,
A=1/esp, utilizando =c/ ficamos com,
Eq 3.16
!(") = 8#n3" 2
c3$%&
'()eh"KT *1$
%&'()
*1
h"
N1B12h!8"n3! 2c3
#$%
&'(eh!KT )1#
$%&'(
)1
= N2 B21h!8"n3! 2c3
#$%
&'(eh!KT )1#
$%&'(
)1#
$%
&
'( + A
*
+,,
-
.//
N2N1
=g2g1e!
h"KT
g1g28!n3h" 3
c3 B12 # A =8!n3h" 3
c3 B21 # A$%&
'()e#
h"KT
AB21
=8!n3h" 3
c3
g1g2
=B21B12
B21 =g1g2B12 =
cn
!"#
$%&
'2
8(n2h)* esp
-
4. GANHO Os conceitos de ganho, realimentao e limiar so de
extrema importncia nos sistemas lasers. Fisicamente poderamos
definir um laser como uma coleco de tomos o molculas entre dois
espelhos, que atravs de um processo de
bombagem so promovidos para um estado excitado. Os tomos
excitados emitem fotes, este processo denomina-se
emisso espontnea. Os fotes emitidos espontaneamente estimulam a
emisso de novos fotes com a mesma direco e
frequncia. Quanto maior a emisso espontnea maior a taxa de
emisso estimulada, uma vez que esta ultima
proporcional ao fluxo de fotes no campo excitado.
Os espelhos mantm os fotes dentro cavidade, de modo a estimular
a emisso de novos fotes. As superfcies
especificadas so parcialmente reflectoras, permitindo assim a
sada de alguns fotes, que constituem a sada do feixe
laser. A intensidade do feixe depende da taxa de produo de
tomos, directamente associada a bombagem, a
reflectividade dos espelhos e as propriedades do meio
activo.
4.1 Coeficiente de ganho
Considere a passagem de uma onda monocromtica de frequncia e
radincia I atravs de um conjunto de tomos com
densidades (tomos/m3) N1 e N2 nos nveis 1 e 2, respectivamente.
Desprezando a emisso espontnea, se tivermos um
nmero de transies 21 maior que 12 haver um aumento na potncia do
sinal ptico dado por,
Eq 4.1
Considerando Ivg()=(c/n)(), onde Ivg() a radincia efectiva
percebida pelo tomo, e usando as equaes Eq 3.9 e
Eq 3.16 obtemos,
Eq 4.2
Esta potencia acrescentada a onda incidente que aumenta de
acordo com,
Eq 4.3
Comparando as equaes Eq 4.2 e Eq 4.3 retiramos que o coeficiente
de ganho dado por,
Eq 4.4
aprecivel que o ganho positivo unicamente para,
Eq 4.5
PotnciaVolume = N2W21 ! N1W12( )h"
PotnciaVolume = N2 !
g2g1N1
"
#$
%
&'
(2
8)n2h*+ espg(*)I*
dI! (z)dz =
PotnciaVolume = " (!)I! (z)
! (") = N2 #g2g1N1
$%&
'()
*2
8+n2, espg(")
N2 >g2g1N1!" (#) > 0
-
Esta expresso permite-nos retirar a condio de inverso de
populao, para a qual, existem mais tomos disponveis
para amplificao do campo, por emisso estimulada do que atenua-lo
por absoro. Assim, conclui-se que, num sistema
laser o nico factor que distingue um meio de amplificao de um
meio de absoro o sinal da inverso de populao.
4.2 Alargamento homogneo e no homogneo
O termo alargamento utilizado para explicar a largura da linha
da resposta em frequncia de um conjunto de tomos
sujeito a um campo eletromagntico. So consideramos dois casos.
No alargamento homogneo, todos os tomos tem a
mesma frequncia de ressonncia 0=(E2-E1)/, neste caso a forma da
linha dada pela Eq 3.7 e a sua largura =(T2)-
1, e tem por origem um dos seguintes mecanismos;
i. Colises inelsticas com outros tomos (ou molculas) ou com
fones se o tomo estiver localizado numa
matriz slida;
ii. Transies radiativas ou no radiativas para a outros
nveis;
iii. Colises elsticas que destroem a fase do dipolo eltrico
induzido no tomo;
iv. Alargamento por potncia devido ao processo de saturao que
ocorre na interao do tomo com o campo de
radiao.
No caso do alargamento no homogneo, os tomos diferem entre si
por possurem frequncias de transio diferentes.
Os mecanismos que permitem esta situao so o efeito Doppler e as
flutuaes de campo cristalino aos que os diversos
tomos so sujeitos quando alojados numa matriz. Estas flutuaes tm
como origem deformaes, ou outros tipos de
imperfeies cristalinas, que fazem com que os tomos vejam
diferentes vizinhanas dependendo do lugar onde eles se
encontram, levando a diferentes frequncias de transio.
4.3 Realimentao
Como j foi visto no texto possvel amplificar a radiao
eletromagntica quando ela se propaga atravs de um meio
onde os nveis excitados possuem uma populao maior do que a do
nvel fundamental. Esta inverso de populao pode
ser conseguida atravs do fornecimento de energia ao meio ativo
atravs de algum agente externo (bombagem), que de
tal forma que ele passa a apresentar ganho
Assim podemos pensar num laser em forma de uma cavidade
cilndrica na qual esto presentes os tomos ou molculas
no nvel excitado e existem condies para a inverso de
populao.
Figura 6 Laser sem realimentao
-
Alguns fotes vo ser emitidos espontaneamente ao longo do eixo do
cilindro, estes por sua vez iro estimular a emisso
de novos fotes a partir de tomos no estado excitado que por sua
vez se propagam na mesma direo e com a mesma
frequncia. Enquanto o nmero de fotes que se propagam ao longo do
eixo aumentam, a taxa de emisso estimulada
aumenta permitindo a sada de cada uma das extremidades do
cilindro um feixe laser. A expresso apresentada na Eq 4.3
diz-nos que a amplificao proporcional ao comprimento da
cavidade, pois dela depende o n de fotes a sada do laser.
Uma forma de aumentar o comprimento da cavidade e
consequentemente aumentar o n de fotes sada colocar dois
espelhos nas extremidades do cilindro de modo a reflectir os
fotes diversas vezes no meio activo de modo a aumentar a
amplificao.
Entretanto, este um processo que exibe o fenmeno de saturao, ou
seja, ao ser amplificado o campo eletromagntico
aumenta de intensidade e, consequentemente, devido emisso
estimulada, ele produz decremento do numero de tomos
ou molculas no estado excitado, consequentemente induzindo tambm
o decrscimo da inverso de populao. Isto faz
com que o sistema atinja o estado estacionrio onde a amplificao
sofrida pelo feixe suficiente apenas para compensar
as perdas que ele sofre. Perdas que sero estudadas na seco
seguinte.
4.4 Limiar de ganho
O ganho do laser, como j foi explicado, no se resume ao
incremento de fotes dentro da cavidade devido a emisso
estimulada, necessrio contar tambm com as perdas induzidas pelo
espalhamento e absoro das superfcies
reflectoras. necessrio portanto garantir que a amplificao
estimulada suficiente para se sobrepor as perdas.
Introduzindo assim um valor mnimo de ganho necessrio para a
ocorrncia da aco laser. A Figura 7 mostra um verso
simplificada de uma cavidade laser onde existem duas superfcies
reflectoras separadas por uma distncia L. A
reflectividade do espelhos dada por r e s o valor associado as
perdas. Sendo que pela lei da conservao de energia o
somatrio deve ser igual a um.
Figura 8 Propagao de dois feixes opostos numa cavidade laser
(1) (2)
z= 0 z= L
(r1,s) (r2,s)
I+
I-
-
Ao dar uma volta completa na cavidade ptica, ser necessrio que o
feixe se reproduza com relao amplitude e fase.
Matematicamente, isto equivale a dizer que aps uma volta
completa,
Eq 4.6
Analisando o ganho em funo apenas a amplitude do campo eltrico,
dada pela Eq 4.6 temos,
Eq 4.7
De notar que o ganho apenas compensa as perdas. Tendo em conta a
Eq 4.4 e supondo que a frequncia do campo
eletromagntico esta no centro da linha, obtemos a inverso de
populao que satisfaz esta equao como,
Eq 4.8
onde retiramos que g(0) 1/. Esta a inverso de populao de limiar.
importante salientar que N devera fixar-se
neste valor, pois se for menor, o ganho gerado pela emisso
estimulada no ser suficiente para compensar as perdas e o
campo dentro da cavidade diminui at extinguir. Por outro lado,
se ele for maior, o campo eletromagntico tender a
aumentar, e como consequncia da emisso estimulada, reduzir a
populao do estado excitado, induzindo o decrscimo
da inverso de populao.
5. CAVIDADES RESONANTES DE UM LASER Como j foi exposto no texto,
necessria a presena de um foto para que ocorra a emisso estimulada
e
consequentemente, a aco laser. Do ponto de vista prtico, como j
fora referido na seco 4.2, isto obtido por meio
de uma cavidade ressonante, que basicamente um etalon de
Fabry-Prot. Alm de possibilitar o incremento de
intensidade da radiao eletromagntica, a cavidade tambm seleciona
certas frequncias para as quais a aco laser
ocorre. Para realizar o clculo de uma cavidade ptica, temos em
conta que o campo elctrico do feixe gaussiano dado
por;
Eq 5.1
Onde wo2=2zo/k d-nos o valor da cintura do feixe e
(z)=arctg(z/zo) e,
Eq 5.2
EfinalEinicial
= r1r2e j2n(! )kLe " (# )$ s[ ]L
! (") = s # 1L ln r1r2( )
!Nt =8"n2# 2$ esp!#
c2 s %1L ln r1r2( )
&'(
)*+
E(r, z) = E0w0w(z) e
!r2
w2 (z )"
#$%
&'e! j kz!((z )+ kr
2
2R(z )"
#$%
&'
w2 (z) = 2zok 1+zzo
!"#
$%&
2!
"#
$
%& = w02 1+
zzo
!"#
$%&
2!
"#
$
%&
-
Eq 5.3
A propagao de um feixe gaussiano no segue as leis da ptica
geomtrica, mas sim da ptica ondulatria. Assim, para
caracterizar o feixe devemos determinar como w(z) e R(z) variam
em funo da onda que se propaga. Isto feito atravs
da lei ABCD que ser descrita de mais adiante. Antes ser definido
um parmetro q(z)=k/Q(z), onde Q(z)=k/(z+qo)
Eq 5.4
De esta forma, sabendo que q(z) varia com z, a parte real de
1/q(z) dar 1/R(z), enquanto a parte imaginaria esta
associada a w(z). Considerando que um sistema ptico pode conter
componentes taus como lentes e outros elementos, a
variao do parmetro q dado pela lei ABCD;
Eq 5.5
Onde q1 e q2 referem a dois planos quaisquer perpendiculares ao
eixo ptico (z), enquanto que A,B,C e D so elementos
da matriz que caracteriza a propagao geomtrica de um feixe de
luz entre os planos 1 e 2.
5.1 lgebra das cavidades pticas
Na seguinte seco apenas sero descritas cavidades com espelhos
esfricos, como as mostradas na Figura 9. Notar que
um espelho plano um caso particular de superfcie esfrica onde o
raio infinito. Dada uma cavidade simples
consistindo de dois espelhos esfricos, queremos encontrar o
feixe gaussiano que satisfaa as condies de contorno
impostas pelos raios de curvatura dos espelhos. Comearemos por
plantear o problema de forma inversa, isto , dado um
feixe gaussiano determina-se a distancia a qual devem estar os
espelhos de modo a que os seus raios de curvatura
coincidam com os da frente de onda. Nesta situao, o feixe volta
sobre si mesmo e refaz o caminho anterior sem sofrer
modificaes em seu perfil transversal, resultando numa cavidade
estvel. Supondo que a superfcie R1 est esquerda e
R2 direita, e usando a Eq 5.3 temos:
Eq 5.6
Eq 5.7
De onde retira-se;
Eq 5.8
R(z) = z 1+ zzo!"#
$%&
2!
"#
$
%&
1q(z) =
Q(z)k =
1R(z) ! j
"#nw2 (z)
q2 =Aq1 + BCq1 + D
R1 = z1 +z02z1
R2 = z2 +z02z2
z1 =R12 +
12 R1
2 ! 4z02
-
Eq 5.9
z1,z2 so as posies onde os espelhos devem ser posicionados. Na
prtico, sabem-se os raios de curvatura dos espelhos e
a distncia entre eles, definida como L = z2-z1. Com estes dados,
podemos determinar o valor de z02 atravs de Eq 5.8 e
Eq 5.9;
Eq 5.10
Sendo de esta forma possvel caracterizar o feixe gaussiano.
Figura 9 Cavidades pticas formadas por dois espelhos
esfricos.
Uma vez conhecido z0 e consequentemente w0=(z0/n)1/2, segue-se
determinar o semi dimetro do feixe nas posies
dos espelhos utilizando a Eq 5.2 . Considerando uma cavidade
simtrica, onde R2=-R1=R, e substituindo na Eq 5.10
ficamos com;
Eq 5.11
Portanto;
Eq 5.12
Que quando substitudo na Eq 5.2 com z=L (cavidade simtrica)
resulta em;
z2 =R22 +
12 R2
2 ! 4z02
z02 =L L + R1( ) L ! R2( ) R2 ! R1 ! L( )
R2 ! R1 ! 2L( )2
z02 =2R ! L( )L
4
w0 =!z0"n =
!"n
L2
#$%
&'(
14 R ) L2#$%
&'(
14
-
Eq 5.13
Para o caso de R>>L , z0>>L;
Eq 5.14
O feixe esta praticamente colimado dentro da cavidade. Por outro
lado w1,2 ser mnimo para R=L e para esta situao
temos uma cavidade simtrica confocal, uma vez que f=R/2=L/2,
onde a cintura do feixe e os semidimetros no espelho
dados por;
Eq 5.15
Eq 5.16
Que quando substitudo na Eq 5.13 resulta em;
Eq 5.17
A Figura 10 a representao grfica da Eq 5.17 em funo de L/R.
Figura 10 Semidimetro nos espelhos de uma cavidade esfrica
simtrica
w1,2 =!L2"n
2R2
L R # L2$%&
'()
$
%
&&&
'
(
)))
14
w1,2 ! w0 ="#n
LR2
$%&
'()
14
w0( )conf =!L2"n
w1,2( )conf =!L"n = 2 w0( )conf
w1,2w1,2( )conf
=1
LR
!"#
$%& 2 '
LR
!"#
$%&
!
"
###
$
%
&&&
14
-
Notar que quando a distancia entre os espelhos se aproxima de 2R
ou quando R, o semidimetro no espelho diverge.
Nesta situao a cavidade instvel uma vez que a energia confinada
transborda pelas laterais do espelho.
A estabilidade da cavidade pode ser estudado de uma forma mais
geral usando o mtodo matricial (lei ABCD). Ao dar
uma volta completa na cavidade, expectvel que tanto o raio de
curvatura como o semidimetro do feixe se
reproduzam. Nestas condies, a lei ABCD descreve-se como;
Eq 5.18
Onde A,B,C e D so as matrizes dos elementos que conformam a
cavidade ptica. Resolvendo ficamos com;
Eq 5.19
Como as matrizes que descrevem os elementos so unitrias, AD-BC=1
e utilizando a Eq 5.4 a Eq 5.19 pode ser reescrita
como;
Eq 5.20
Assim, deve-se considerar apenas um dos sinais da raiz,
dependendo do sinal de B, de forma a obtermos;
Eq 5.21
Eq 5.22
Analisando esta equao mostra que s existe soluo real para;
Eq 5.23
Esta a condio de confinamento para uma cavidade genrica, que
garante a estabilidade da mesma. No caso particular
em que temos cavidades com espelhos de raios R1 e R2, e usando
que fi=Ri/2, consideramos a matriz do sistema como;
q = Aq + BCq + D
1q =
D ! A( ) D ! A( )2 + 4BC2B
1q =
D ! A( )2B j
1! D + A2"#$
%&'2
B =1R ! j
()w2n
R = 2BD ! A( )
w = !"n
B12
1# D + A2$%&
'()2$
%&'
()
14
$
%
&&&&&&
'
(
))))))
D + A2 ! 1
-
Eq 5.24
De onde retira-se que;
Eq 5.25
Manipulando algebricamente a expresso possvel chegar condio de
estabilidade para a cavidade esfrica simtrica;
Eq 5.26
A representao grfica de esta desigualdade presente na
permite-nos concluir que as cavidades plano paralelas e as
concntricas so instveis, enquanto que a cofocal estvel.
Figura 11 Diagrama de confinamento para cavidades pticas
esfricas
5.2 Perdas em cavidades pticas
cavidade ptica um dos elementos mais importantes da aco laser,
pois permite o confinamento e aumento da
radiao eletromagntica possibilitando assim a emisso estimulada.
No entanto, existem uma srie de factores que
M =1! 2L 2R1
+1R2
"#$
%&'+4L2R1R2
2L 1! LR2"#$
%&'
!2 1R1+1R2
+2LR1R2
"#$
%&'
1! 2LR2"#$
%&'
"
#
$$$$$
%
&
'''''
D + A2 = 1! 2L
1R1
+1R2
"#$
%&'+2L2R1R2
( 1
0 ! 1" LR1#$%
&'(1" LR2
#$%
&'(! 1
1-(L/R2)
1-(L/R1)
-
impedem que a energia armazenada aumente indefinidamente. As
reflexes imperfeitas, a absoro e espalhamento no
meio activo assim como a difraco so os mecanismos de perda mais
comum em cavidades pticas.
As reflexes imperfeitas so produto da transmisso finita dos
espelhos, que necessria para que se retire da cavidade
a energia produzida pela aco laser. Alm disso, nenhum espelho
ideal e mesmo quando eles so feitos para reflectir a
maior quantidade de radiao, alguma absoro residual e
espalhamento reduzem a refletividade para um valor
ligeiramente abaixo dos 100%.
As transies de algum dos nveis atmicos populados durante o
processo de bombagem para nveis excitados mais altos
constituem um mecanismo de perda que ocorre no meio ativo. O
espalhamento por impurezas e imperfeies bastante
grave em meios ativos do tipo estado slido.
As perdas por difraco ocorrem para modos que se afastam
consideravelmente do eixo ptico, pois a dimenso finita
dos refletores faz com que alguma energia no seja interceptada
por eles sendo, portanto, perdida. Para um dado
conjunto de espelhos, esta perda ser maior para os modos
transversais de ordens mais altas porque neste caso a energia
est mais concentrada fora do eixo ptico. Este facto utilizado
para evitar a oscilao de modos de ordens altas.
Introduzindo-se uma abertura dentro da cavidade ptica, cujo
dimetro suficiente para permitir a passagem da maior
parte do modo fundamental, aumentando assim as perdas dos modos
de maior ordem.
Existem vrias formas de estimar a perda da cavidade ptica. Uma
delas atravs do tempo de vida, tc, do decaimento
da energia de um modo da cavidade, definido atravs da equao;
Eq 5.27
Onde representa a energia armazenada num modo. Outra forma
atravs das perdas por passagem, I , definida pela
equao;
Eq 5.28
Onde L o comprimento da cavidade cI/nL a fraco de perda por
unidade de tempo. Comparando temos;
Eq 5.29
Para o caso de uma cavidade com espelhos de reflectividades R1 e
R2, e um coeficiente de absoro medio, a perda
mdia por passagem I= L-ln(R1R2)1/2, tal que:
Eq 5.30
d!dt = "
!tc
d!dt = "
cInL !
tc =nLcI
tc =nL
c !L " ln R1R2( )
-
onde na ltima passagem usamos a hiptese que R1 e R2 so
aproximadamente 1. O factor de qualidade, Q, de uma
cavidade ressonante pode ser definido como;
Eq 5.31
Comparando as equaes Eq 5.31 e Eq 5.27 chegamos a;
Eq 5.32
Uma cavidade de elevado factor Q apresenta poucas perdas
enquanto que um baixo factor Q representa elevadas perdas.
O factor de qualidade tambm quem determina a largura da curva de
resposta lorentziana da cavidade como
1/2=/Q=1/2tc, de forma que, de acordo com a Eq 5.30;
Eq 5.33
6. FREQUENCIA 6.1 Frequncia de ressonncia
Como descreveu-se na seo anterior, para que exista confinamento,
e consequentemente estabilidade, necessrio que o
feixe se reproduza geometricamente (raio de curvatura e semi
dimetro) ao dar uma volta completa na cavidade. Por
outro lado, para que a cavidade seja ressonante, a fase do campo
eletromagntico deve presentar uma diferena de fase
mltipla de 2 de modo a haver interferncia construtiva para uma a
volta completa na cavidade. Para calcularmos as
frequncias ressonantes decorrentes deste incremento de fase,
vamos considerar o feixe gaussiano numa ordem qualquer.
Assim, podemos escrever o campo magntico como;
Eq 6.1
Onde Hm,n so os polinmios de Hermite de ordem m,n
respectivamente. Se o feixe adquire uma diferena de fase
mltipla de 2 ao dar uma volta completa a cavidade, a diferena de
fase ser mltipla de se ele realiza apenas meia
volta, isto , m,n(z2)m,n(z1)=q, onde q um inteiro qualquer e
m,n(z)=kz-(m+n+1)tg-1(z1/z0). Como consideramos
estamos apenas uma volta completa ao dividir por 2, os raios de
curvatura no aparecem. Considerando L=z2-z1 ficamos
com;
Eq 6.2
Q = ! "#d#dt
$%&
'()
Q =!tc
!"1/2 =c #L $ ln R1R2( )
2%nL
Em,n (x, y, z) = E0w0w(z)Hm 2
yw(z)
!"#
$%&Hn 2
yw(z)
!"#
$%&e
'x2 + y2w2 (z )
!
"#$
%&e' j kz'(m+n+1)((z )+
k x2 + y2( )2R(z )
!
"##
$
%&&
kqL ! m + n +1( ) arctgz2z0
"#$
%&'! arctg z1z0
"#$
%&'
"
#$%
&'= q(
-
Logo, a separao entre modos adjacentes dada por kq+1-kq=/L,
usando k=2n0/c, onde n0 o ndice de refrao do
meio, =q+1-q= c/2n0L. Esta diferena de frequncias corresponde ao
inverso do tempo em que o feixe completa uma
volta na cavidade e o modo q definido como modo longitudinal. Os
modos transversais tambm so separados em
frequncia e isto pode ser visto tomando-se dois conjuntos de
valores para m e n de forma que;
Eq 6.3
Eq 6.4
Subtraindo;
Eq 6.5
Substituindo (k1-k2)L=(1- 2)no/c=2noc,
Eq 6.6
6.2 Frequncia de oscilao
Tal e como foi feito na seco anterior, considerar-se- fase de um
feixe gaussiano que da meia volta na cavidade de
modo a estimar as frequncias de oscilao. Considerando apenas o
modo TEM00 e supondo que as reflexes nos
espelhos introduzem fases m1 e m2 podemos reescrever a equao Eq
6.2 como;
Eq 6.7
onde o factor 12 introduzido considerando apenas meia volta como
j fora feito na seco anterior. Entretanto, a
analise difere, dado a que neste caso considera-se meio ativo no
interior da cavidade e por tanto o seu ndice de refraco
alterando assim o vector de propagao, Neste caso ficamos;
Eq 6.8
Se considerarmos a cavidade vazia =0 obtemos;
k1L ! m + n +1( )1 arctgz2z0
"#$
%&'! arctg z1z0
"#$
%&'
"
#$%
&'= q(
k2L ! m + n +1( )2 arctgz2z0
"#$
%&'! arctg z1z0
"#$
%&'
"
#$%
&'= q(
k1 ! k2( )L = m + n +1( )1 ! m + n +1( )2( ) arctg z2z0"#$
%&'! arctg z1z0
"#$
%&'
"
#$%
&'
!" t =c
2#n0L!(m + n) arctg z2z0
$%&
'()* arctg z1z0
$%&
'()
$
%&'
()
kqL ! arctgz2z0
"#$
%&'! arctg z1z0
"#$
%&'
"
#$%
&'+
(m1 +(m22
"#$
%&'= q)
!qnLc 1+
" '(#)2n2
$%&
'()* arctg z2z0
$%&
'()* arctg z1z0
$%&
'()
$
%&'
()+
+m1 ++m22
$%&
'()= q,
-
Eq 6.9
Ao substituir na Eq 6.8 fica;
Eq 6.10
Conclui-se que a frequncia modificada pela presena da ressonncia
atmica. Esta equao muito importante, para a
resolver recorremos as equaes Eq 3.5 e Eq 3.6, assim ficamos
com;
Eq 6.11
Onde no ultimo passo considerou-se ()=k()/n2. Substituindo na Eq
6.10 e considerando que o ganho se estabiliza
no valor de limiar ficamos com;
Eq 6.12
Considerando muito prximo de q e utilizando a Eq 4.7;
Eq 6.13
Se a frequncia atmica 0 no coincidir com alguma frequncia de
ressonncia da cavidade passiva, a frequncia com
que a aco laser ocorrera ser afastada de q na direco de 0. Este
efeito denominado de frequency pulling.
7. POTENCIA Esta seco pretende calcular a potencia de sada de um
sistema laser em funo de uma determinada bombagem
externa. Como j foi explicado no texto, na seco 3.1 necessrio
que o sistema possua mais do que dois nveis
discretos de energia. Desta forma vamos considerar o modelo mais
comum que consiste num sistema de quatro nveis,
como mostra a Figura 12(B). Dado a que o decaimento do nvel 3
para o nvel 2 muito rpido, podemos considerar o
modelo simplificado mostrado na Figura 12 (A).
A transio laser ocorre entre os nveis 2 e 1, sendo as taxas de
bombagem para eles dadas por B1 e B2. O tempo de vida
do nvel 2, t2, determinado pela emisso espontnea, esp, por
transies no radiativas entre 2 e 1, e transies no
radiativas para outros nveis que produzem sua depopulao,
enquanto que a populao do nvel 1 decai principalmente
por transies no radiativas. A densidade de tomos nos nveis 1 e 2
so respectivamente N1 e N2, e sua degenerescncia
dada por g1 e g2.
vq =qc2nL +
c2!nL arctg
z2z0
"#$
%&'( arctg z1z0
"#$
%&'(
)m1 +)m22
"#$
%&'
"
#$%
&'
vq = v 1+! '(")2n2
#$%
&'(
!" #( ) = 2 #0 $#( )%#
!!" #( ) = 2n2 #0 $#( )k%# & #( )
vq = 1+!0 "!( )# 1 !( )
k$!%&'
()*v
v ! vq " vq " v0( ) c2#n$v s "1L ln r1r2( )
%&'
()*
-
Figura 12 Sistema de 3 (A) e 4 (B) niveis.
Considerando que as transies induzidas pelo campo eletromagntico
no caso de alargamento homogneo so dadas
por;
Eq 7.1
Eq 7.2
possvel escrever as equaes das taxas que descrevem as populaes
dos nveis 1 e 2 como;
Eq 7.3
Eq 7.4
No regime estacionrio podemos considerar as populaes como sendo
constantes, assim das Eq 7.3 e Eq 7.4 chegamos
a;
Eq 7.5
Eq 7.6
Onde;
Eq 7.7
Subtraindo Eq 7.6 e Eq 7.5, e possvel determinar a diferena de
populao dos nveis 1 e 2 como;
A B
Bombagem TransioLaser
Decaimento rpido
1
2
3
Bombagem
Decaimento rpido
Decaimento rpido
TransioLaser
3
2
1
0
W21 =Wi v( ) =!2g v( )
8"n2hv# esp
W12 =g2g1Wi v( )
dN2dt = B2 !
N2t2
! N2 !g2g1N1
"#$
%&'Wi v( )
dN1dt = B1 !
N1t1
! N2 !g2g1N1
"#$
%&'Wi v( ) +
N2t22
N2 = t2 B2 ! "NWi v( )( )
g2g1N1 =
g2g1t1 B1 + !NWi v( ) 1"
t2t21
#$%
&'(+ B2
t2t21
)
*+
,
-.
!N = N2 "g2g1N1
#$%
&'(
-
Eq 7.8
Onde = t2/t21 . Na ausncia de campo (Wi=0) a inverso de populao
no saturada dada por;
Eq 7.9
Que depende de parmetros externos ao sistema atmico. A inverso
de populao pode ser descrita como;
Eq 7.10
Onde =[1+(1)(t1g2/t2g1)] depende apenas de parmetros do sistema
atmico. Na prtica, os lasers apresentam
t1g2
-
Conhecida a taxa de transies induzidas, possvel encontrar a
potencia gerada dentro da cavidade utilizando a mesma
analise da seco 4.3. para deduzir a potencia gerada dentro da
cavidade. Partindo da Eq 4.1 escrevemos;
Eq 7.16
Onde Vm o volume medio na cavidade. Supondo que a frequncia do
campo eletromagntico esta no centro da linha
homognea e substituindo Eq 7.11 e Eq 7.15 ficamos com;
Eq 7.17
Definindo o factor de perdas no interior da cavidade como sendo
Li=sL, o ganho no saturado por passagem como
g0=0L, a brea media do modo como sendo A=Vm/L, e supondo que os
espelhos tem reflectividades prximas de 1, tal
que ln(r1r2)=1-(R1R2)1/2=1-R=T, chegamos a;
Eq 7.18
Assim obtemos a potencia que gerada no interior da cavidade. Mas
o objectivo conhecer a potencia til que pode
emitir o laser. Tendo em conta as perdas derivadas da absoro por
passagem, sabida que a outra parte sai pelo espelho,
assim chegamos a potencia til dada pela fraco
Ptil=Pcav[T/(T+Li)], obtemos a expresso;
Eq 7.19
Um factor que permite alterar a potencia til de emisso do laser
a transmisso do espelho de sada. Como mostra a
Figura 13 onde observvel a existncia de uma transmisso ptima que
permite maximizar a energia retirada do laser.
Para encontrar esse valor deriva-se Ptil e igualamos a 0, o que
nos leva a;
Eq 7.20
Substituindo Eq 7.20 em Eq 7.19 ficamos com;
Eq 7.21
Onde Is a intensidade de saturao da linha homognea.
PCAV = !NWi v( )hvVm
PCAV =8!n2hc " espt2
#$%
&'(
) 3g v0( )VmL
#$%
&'(sL * ln r1r2( )( ) + 0LsL * ln r1r2( ) *1
#
$%&
'(
PCAV =8!n2hc tespt2
"#$
%&'
( 3g v0( )A Li + T( ) g0Li + T( )
)1"#$
%
&'
Ptil =8!n2hc tespt2
"#$
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( 3g v0( )A g0Li + T( )
)1"#$
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&'T
Topt = !Li + g0Li
Popt =8!n2hc tespt2
"#$
%&'
( 3g v0( )A g0 ) Li( )2 = 2IsA g0 ) Li( )2
-
Figura 13 Potencia til em funo da transmisso para diferentes
ganhos no saturados
8. MODOS DE FUNCIONAMENTO LASER Foi estudado na seco 5 que uma
cavidade ptica passiva, portanto sem o meio ativo, possui
frequncias de ressonncia
dadas pela Eq 6.2 ou Eq 6.9. Tambm explicou-se na seco 4, que um
meio activo possui um coeficiente de ganho cuja
distribuio espectral depende do tipo de alargamento, homogneo ou
no homogneo. No primeiro caso, teremos uma
linha com perfil lorentziano, enquanto que no segundo, a linha
possuir um perfil gaussiano. Finalmente, os dois
conceitos foram unificados nas seces 6 e 7, onde deduziram-se as
frequncias de ressonncia e a potncia de sada de
um laser. Nesta seco pretende-se expor um pouco melhor a
distribuio espectral da luz emitida pelo laser e a sua
influencia no regime temporal.
8.1 Q-Switching
O Q-Switching um meio de obter um laser de radiao pulsada, cujos
impulsos so curtos e de elevada potncia. Este
efeito origina uma mudana abrupta das perdas na cavidade, ou
seja, ocorre a mudana de um valor baixo do factor de
qualidade para um valor elevado originando uma reduo abrupta das
perdas na cavidade. Diminuindo as perdas para o
um valor mnimo que ainda permita a oscilao laser, o ganho de
pequenos sinais passa a ser muito maior que o ganho
limiar da oscilao. Nesta situao acontece um rpido crescimento da
intensidade dentro da cavidade. No pico de
intensidade h uma elevada taxa de emisso estimulada e, portanto,
uma rpida extrao de energia para fora da mesma.
Resulta assim num impulso curto e muito intenso, designado por
impulso gigante. Os mecanismos para realizar o Q-
Switching so;
i. O mecanismo dos espelhos rotatrios, onde um dos espelhos da
cavidade rotatrio originando perdas elevadas
excepto no perodo de tempo em que os espelhos esto
aproximadamente paralelos. O Q-Switching
relativamente lento mesmo para velocidades na ordem das 10.000
rpm.
ii. As clulas electro-opticas, so um mtodo activo, baseado na
birrefringncia induzida num meio quando sujeito
a uma tenso. Esta, por sua vez, controla a cavidade Q. Pode ser
usado o efeito Kerr, no qual o grau de
birrefringncia directamente proporcional ao quadrado da tenso
aplicada ou o efeito Pockels, no qual a
birrefringncia linearmente proporcional a tenso. A clula de Kerr
previne o feedback fazendo com que a
-
cavidade tenha perdas muito pequenas. Desligando a tenso que
passa pela celula, esta deixa de ser
birrefringente. Assim, a cavidade Q aumenta repentinamente,
desenvolvendo um impulso gigante.
iii. Os absorvedores saturados, so um mtodo passivo e consta de
colocar na cavidade laser uma clula de um
material absorvente cujo coeficiente de saturao pode ser
saturado por radiao laser. Assim as perdas da
cavidade so elevadas devido a clula absorvente, para permitir a
oscilao laser. Quando o ganho passa a ser
superior as perdas, a intensidade na cavidade aumenta
rapidamente. Isto permite a saturao rpida da clula
originando uma diminuio abrupta das perdas na cavidade e
consequentemente um impulso gigante.
8.2 Mode Locking
Este processo consta em ligar as fases de todos os modos
longitudinais na cavidade, do qual se obtm impulsos
ultracurtos de elevada potencia. Quanto maior for o n de modos
phase-locked, maior ser a amplitude e menor a
durao de cada impulso. Os impulsos esto separados no tempo por
2L/cN, onde N o numero de modos e L o
comprimento da cavidade). Por outras palavras, o mode-locking
pode ser visto como a gerao de um nico impulso
com durao de 2L/cN que se desloca sem parar entre os espelhos da
cavidade. O principio fsico que esta por trs de
este mtodo a modulao de fase.
A modulao de fase de uma onda portadora (sinal laser
monocromtico continuo, 0) com um sinal sinusoidal (m) tal
que o campo elctrico;
Eq 8.1
Onde sin(mt), a fase a ser modulada, origina um n infinito de
componentes laterais. O contedo espectral aumenta
com o aumento da amplitude de modulao de fase porque surgem
novas componentes e, por outro lado, a amplitude da
onda portadora reduzida. O alargamento espectral condio
necessria para a gerao de impulsos a partir de um sinal
continuo.
Apesar do alargamento espectral a intensidade do sinal mantem-se
invariante no tempo por causa da relao de fase entre
as diversas componentes, pois existe uma relao de lock entre as
mesmas, o que garante a continuidade da intensidade
no tempo. Os tipos de mode locking so;
i. AM mode-locking
Considera-se que o campo eltrico de um modo longitudinal tem uma
amplitude modulada periodicamente na
forma:
Eq 8.2
Onde a frequncia de modulao. A modulao de amplitude do campo (m)
gera no espectro bandas
laterais de frequncia (m),
E t( ) = E0e j !0 t+" sin !mt( )( )
Em t( ) = E0 1+ E cos !t( )( )
-
Num laser, a amplitude dos modos (Em) determinada pela condio de
que ganho perdas. Sendo o ganho (ou
as perdas) modulado periodicamente (), o campo (Em) dos vrios
modos sero modulados em amplitude
(AM) com a frequncia ()
No caso em que a frequncia de modulao seja igual distancia
espectral (m+1-m) de cada modo, as
bandas laterais de cada modo coincidem com as frequncias dos
modos adjacentes, tendncia para que os
modos sejam phase-locked. Isto AM mode-locking.
ii. FM Mode locking
Neste caso considera-se que a fase do campo modulada
periodicamente;
Eq 8.3
A modulao de fase origina pares de bandas laterais no espectro
das frequncias. A modulao de frequncia
origina que as bandas laterais de cada modo estejam em
ressonncia com as frequncias portadoras dos modos.
Resulta no forte acoplamento destes modos e a tendncia de se
ligarem e produzir trens de impulsos mode-
locked, isto , FM mode locking.
Os mtodos de mode-locking so;
i. Modulao por perdas acsticas
Este mtodo baseia-se na difraco da luz por ondas acsticas, isto
, por espalhamento de Brillouin. Uma onda
sonora actua como uma rede de difraco da luz. A onda sonora num
meio material representada por uma
variao do ndice de refraco que contem uma modulao peridica
espacial sin(kx) e oscilao temporal
frequncia (s). Este processo permite AM mode locking. As perdas
por difraco associadas onda acstica
no interior da cavidade, oscilam frequncia 2s . Se 2s=c/L, as
perdas na cavidade so moduladas pela
separao espectral entre modos, condio para obter mode
locking.
ii. Modulao electro-ptica de fase.
Este mtodo baseado no efeito electro-ptico. Supe-se que o meio
do tipo clula de Pockels no qual o
ndice de refraco varia linearmente com o campo eltrico aplicado.
Aps uma certa distncia de propagao
L, o campo dentro da cavidade teria uma fase proporcional a
tenso aplicada. O laser pode ser FM mode locked,
variando sinusoidalmente a tenso aplicada separao espectral
entre modos
iii. Absorvedores saturveis
Tal como no Q-Switching, este processo permite obter AM mode
locking passivo. Um absorvedor saturvel
dentro de cavidade, resulta na modulao das perdas da cavidade
separao espectral entre os modos
originando mode locking.
Em z,t( ) = Em sin kmz( )sin !mt + "m + # cos $t( )( )
-
8.3 Comparativa: Mode locking - Q-Switching
O mode-locking e o Q-switching so mtodos recorrentemente
utilizados para a gerao de trens de impulsos laser. O
seguinte quadro pretende sumarizar comparativamente as
principais caractersticas de cada um destes mecanismos.
Mode locking Q-Switching
Impulsos mais estreitos
Maior taxa de repetio (
-
emisso estimulada; um sistema de bombagem encarregado de
fornecer energia ao sistema e finalmente uma forma de
extraco da luz, que consta normalmente no facto de um dos
espelhos da cavidade ser parcialmente reflector deixando
sair parte da radiao.
Em 1917 Albert Einstein presentou um trabalho onde demonstrou os
conceitos de emisso espontnea e estimulada. que
significou o primeiro passo no desenvolvimento da tecnologia
laser. Na primeira a radiao gerada espontaneamente
quando tomos ou molculas perdem um excesso de energia emitindo
luz. Este tipo de luz gerada por mudanas de
energia dos nveis atmicos ou moleculares, que ocorrem sem
qualquer interveno externa. Na segundo processo a
emisso de luz que ocorre quando um tomo ou molcula retm o
excesso de energia at ser estimulado a emiti-lo na
forma de luz. Inicialmente considerou-se que o primeiro efeito
seria dominante sobre o segundo no sendo possvel o
sistema laser. At que em 1954 Charles Townes desenvolveu um
amplificador de micro-ondas por radiao estimulada
(MASER) e Posteriormente, em 1958 Arthur Schalow e Charles
Townes sugeriram que o efeito de emisso estimulada
podia ser estendido a regio ptica do espectro electromagntico,
se o meio activo estivesse dentro de uma cavidade
Fabry-Perot.
Algumas concluses e princpios fundamentais so vitais para o
entendimento de como a emisso estimulada produzida
e amplificada, i.e. para o funcionamento de um laser, so
elas:
i. O ganho tem de ser superior as perdas, o ganho limiar, define
o valor mnimo do ganho para o qual acontece
oscilao laser.
ii. O laser um dispositivo inerentemente quntico, e na descrio
quntica, um tomo possui nveis discretos de
energia.
iii. A emisso de luz espontnea e estimulada s ocorre se houver
transies entre nveis de energia.
iv. necessria uma inverso de populao entre nveis de energia para
que ocorra a amplificao da emisso
estimulada de energia.
v. Em sistemas de dois nveis no possvel garantir a inverso de
populao. Os sistemas laser so baseados em
sistemas de 3 ou 4 niveis.
vi. Uma vez definida as caractersticas da cavidade com relao ao
tipo de meio ativo e ao ngulo de divergncia,
necessrio ter em conta os espelhos adequados e para isso vemos
se satisfazem as condies de estabilidade.
vii. A cavidade tambm seleciona certas frequncias para as quais
a aco laser ocorre.
viii. Para se ter a maior potncia de sada necessrio escolher o
espelho com a transmisso adequada.
REFERENCIAS
[1] Lasers, P. W. Milonni, Wiley-Interscience,
978-0471627319
[2] Optica Moderna Fundamentos e aplicaes, S.C. Zilio,
9788588533424