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MAB 503 Historia de la MatemticaProfesora: Dra. Mara Elena
Gavarrete VillaverdeEstudiante: Hazel Fernndez lvarez I Ciclo
2015
Inca MathematicsTomas E. Gilsdorf
Tomas E. Gilsdorf, escritor del artculo Inca Mathematics, naci
en St. Paul, Minnesota. Tiene una licenciatura en Matemticas de la
Universidad de Minnesota, una maestra en Matemticas de la
Universidad Estatal de Minnesota y un doctorado en Matemticas por
la Universidad Estatal de Washington.Se dedica al estudio de las
matemticas en el rea de espacios convexos, lo que origin su tesis,
la otra parte de su tiempo se dedica al estudio de las matemticas
culturales, cuyo inters surgi cuando fue estudiante universitario
cunado recibi cursos obligatorios de antropologa, la lingstica, la
lengua extranjera, y la msica de los afroamericanos, hasta que
aprendi sobre Etnomatemtica. Actualmente es docente en la
Universidad de Dakota del Norte (University of North Dakota).
Tomas E. Gilsdorf Imagen tomada de
https://0.academia-photos.com/4037621/ 1598152/10237813/s200
_thomas.gilsdorf.jpg
A continuacin se expone el anlisis realizado al artculo Incas
Mathematics, relacionado con las influencias de la matemtica en la
Cultura Inca.
1. La influencia de la matemtica en la geografa, el clima y la
economaLos incas constituyeron un poderoso imperio que logr la
expansin territorial en la poca en que Coln iniciaba su viaje hacia
lo desconocido. (Heil, 2014)El Imperio Inca abarc desde las sierras
de la actual Colombia hasta el norte de Chile y Argentina, y desde
la costa de Per y Ecuador hasta el este de los bosques del ro
Amazonas y las alturas bolivianas. (Miguel, 2006)
Los incas eran un pueblo originario de las sierras y desde all
dominaron, mediante la guerra de conquista, a los pueblos de las
otras zonas.
Establecieron la capital de su imperio en la ciudad de Cuzco,
que ocupa un valle situado a 3.400 metros sobre el nivel del
mar.Los templos y las construcciones militares ocuparon un lugar
importante en la ciudad, y cerca de sta zona se estableci sobre la
cspide de una montaa entre dos picos de los Andes, se encuentra
Machu Picchu, fortaleza andina construida con fines religiosos y
militares. (Miguel, 2006)Ubicacin de Imperio IncaImagen tomada de
http://www.monografias.com/
trabajos94/tarea-imperio-incas/image009.jpg
Cerro Machu PicchuImagen tomada de https://deaquiaalla.files.
wordpress.com/2008/05/machu-picchu-peru.jpg
Esta sociedad estaba organizada y gobernada por fuertes Estados
teocrticos, llamados as porque toda la autoridad resida en los
sacerdotes, ya que el jefe del Estado era considerado como un dios.
(Heil, 2014) Los templos eran edificios que tenan funciones
religiosas y tambin econmicas, dado que almacenaban y distribuan
los productos tributados por los campesinos.
Es importante rescatar que en varios lugares las condiciones
desrticas de las costeras son bastante extremas, y en la Cordillera
de los Andes se encuentran muchas reas inclinadas en las cuales
solamente se puede ingresar caminando.
Por otra parte, el clima de la regin Inca es muy inestable,
debido a los patrones geolgicos provocados por los terremotos, las
sequas, las inundaciones y los efectos producidos por el fenmeno
del Nio, estos aspectos geogrficos revelan las diferentes
necesidades del uso de las matemticas, es as como podemos realizar
una estrecha relacin con los inicios de la matemtica en el Antiguo
Egipto la cual fue utilizada por la necesidad de medir la tierra
despus de los efectos producidos por las inundaciones del Ro
Nilo.
En este caso, los incas, utilizan las matemticas para crear
eficaces sistemas de riego y acueductos, para mantener una
agricultura de montaa flexible para las partes ms altas de la
regin, en la construccin de puentes para cruzar los caones y las
partes ms difciles de las montaas y en la prediccin del clima.
Agricultura y Sistemas de riegoImagen tomada de
http://i.ytimg.com/vi/85UJ6zwLowY/maxresdefault.jpg
Otro factor, en el cual se encuentran presentes las matemticas,
corresponde al sistema econmico de esta cultura, pues en la economa
inca siempre ha estado presente el comercio, el cual est
constituido por un extenso sistema de tributacin, mediante el uso
de los quipus.
Es as como, las matemticas fueron necesarias para la geografa,
la agricultura, el clima y la economa de este grupo indgena de
Suramrica.
2. Los rituales, la decoracin, el tejido y otros
factoresAnteriormente, hablamos de la influencia de las matemticas
en el clima, en la geografa y en la economa, pero existen otras
influencias de la matemtica en cuanto a su desarrollo y a la
apreciacin de las matemticas como una sociedad.
Este tipo de conexiones entre las matemticas y la cultura son
parte del lugar nuevo campo: Las Etnomatemticas. Segn DAmbrosio
(1990), las etnomatemticas corresponden a una antropologa general
del pensamiento y la prctica matemtica, mientras que Ascher (1991),
la define como el estudio de los conceptos matemticos en pequea
escala de las culturas indgenas. En el caso de las Incas, existen
varias conexiones entre la matemtica y las decoraciones y los
rituales. En toda la ciudad de Cuzco, se encuentran restos de los
328 marcadores llamados huacas, a lo largo de las lneas imaginarias
llamadas ceques.
Las huacas, no slo poseen un significado social y cultural como
santuarios sagrados., si no que tenan ciertas conexiones con la
astronoma y las matemticas el sistema de ceques consista en 41
lneas imaginarias, las cuales partan desde el Coricancha y se
dirigan hacia cada huaca, haciendo un total de 328 huacas. Sin
embargo, estas lneas imaginarias slo eran conocidas por el cuerpo
de sacerdotes y la distancia entre cada una de las huacas era de
entre cinco a ocho kilmetros. (Daz, 2005)
Sistema de Ceques del CuzcoImagen tomada de Daz (2005)
Los 328 marcadores corresponde estrechamente con el ao sideral,
segn la Real Academia Espaola es el tiempo que transcurre entre dos
pasos consecutivos de la Tierra por el mismo punto de su rbita con
respecto a la posicin de las estrellas.
Por otra parte, en cuanto a la decoracin indgena, supongamos que
queremos hacer un patrn repitiendo la letra X, entonces el patrn
sera XXXXXXX, es como una cinta horizontal decorativa. Nos damos
cuenta que este patrn se mantiene sin cambios si lo reflejamos a
travs de una lnea vertical que se deslice hacia la izquierda o la
derecha, o si se refleja a travs de una lnea horizontal a travs del
centro del patrn, o incluso si la rotamos 180 grados utilizando la
mitad del patrn de una X sobre el que gire. Patrn de la letra
XImagen creacin propia
Por otro lado, si quisiramos un patrn de la letra P, entonces
obtendramos PPPPPPPPP, este patrn posee una simetra, pero no es
igual a las simetras encontradas en el patrn creado con la letra X,
generalmente, colecciones simetras de objetos geomtricos pueden ser
descritos por la estructura matemtica conocida como grupo.
Patrn IncaImagen tomada de H.Selin, Figura 1 p.191
En la figura anterior, se muestra un ejemplo de los patrones
utilizados por los incas, en el cual se puede observar que la
figura posee una simetra respecto reflejo a travs de una lnea
vertical que se deslice hacia la izquierda o la derecha, pero no
posee una simetra si se reflejar mediante una lnea horizontal y
tampoco tiene una simetra con respecto a la rotacin, pues si no
entonces aparecer al revs.
3. Las palabras de los nmeros Incas En un estudio de las
matemticas incas, hay dos aspectos que hay que tener en cuenta: las
palabras de los nmeros y los smbolos nmeros.
Para ello, primero debemos aclarar que el idioma utilizado por
los Incas es el Quechua, dialecto que se cree que se origin en
norte del centro de Per en los aos 60 se extendi debido a la
expansin Inca y ms tarde dividido en esencialmente dos
lenguas.(Mannheim, 1985;Mannheim, 1991; Stark, 1985; Urton, 1997 y
Weber, 1989)
Los Incas contaron con un sistema decimal y posicional, la
siguiente en una lista de las palabras de los nmeros en el idioma
Huallaga Quechua:
huk 1quanchis7
ishkay2pusaq8
kimsa3Isqon9
chuska4chunka10
pichqa5pachak100
soqta6waranqa1000
El formato de las palabras de los nmeros ms complejos es el
siguiente: [multiplicador] {ncleo} (sumador). El ncleo es siempre
una potencia de diez.
A continuacin se muestran algunos ejemplos de la notacin
anterior:
isqon pachak: qanchis chunka pichqa: kimsa pachak chuska chunka
qanchis waranqa ishkay:
4. El QuipuComo se mencionaron anteriormente los Incas contaban
con un sistema decimal, adems tenan un gran territorio para
controlar y ser utilizado, mediante un sistema complicado de
tributacin, y le daban un seguimiento a esa informacin a travs de
un dispositivo de registros cuidadosamente planeado formado por
cuerdas anudadas, llamado Quipu, el cual sirve como un tipo de base
de datos, no como un dispositivo de contabilidad.
Primeramente, los Quipus estn en blanco, luego se van llenando
con informacin representada mediante nudos, el Quipu consta de
varios tipos de cuerdas, y siempre hay una cuerda principal, a la
cual se le atan otras cuerdas quedan colgando, las cuales se les
llama cuerdas subsidiarios, de tal forma que puede haber solo una
cuerda o hasta miles de ellas, adems los cables principales tienen
los totales de valores de las otras cuerdas como su valor.
El QuipuImagen tomada de
http://www.arqueologiadelperu.com/wp-content/uploads/2012/11/contador_amauta_tesorero_inca.jpg
Ascher (1983), nos explican cmo las paredes de piedra de la
arquitectura Inca fueron cuidadosamente planificadas y el estilo
geomtrico de las decoraciones de la cermica Inca indican tendencia
cultural que posean hacia el orden y la precisin, en particular,
seala que los diseos de los Quipus eran ordenados y su cuidadoso
arreglo de cuerdas y nudos, nos transmiten una imagen de una
sociedad metdica y precisa, pues este arreglo de nudos es ilustrado
por los Incas por la practicidad de las cuerdas y por el deseo de
llevar el dispositivo de registro de forma porttil.
Ahora vamos a examinar el aspecto matemtico de los Quipus, entre
ellos estn: Los nudos simples: Representan potencias de diez. Los
nudos largos: Estos estn hechos con varios nudos y representan
dgitos entre 2 y 9. La figura de ocho: Representan el nmero uno. El
espacio entre los nudos: Representa el valor posicional con
respecto a los nudos indicados, as es como de esta forma se
representa el sistema Inca es posicional. El color de las cuerdas:
Diferentes colores pueden representar varios tipos de datos, el
color es comparable a la utilizacin de la notacin matemtica, por
ejemplo, en lugar de denotar nmero real por medio de la variable
podramos simplemente distinguirlas esas cantidades por el color de
variable.
Ejemplo de los nudos del QuipuImagen tomada de
https://athahualpa.files.wordpress.com/2008/10/quipu2.jpg
En el siguiente ejemplo se muestra el uso de algunos conceptos
bsicos del uso del Quipu:Una persona que vende joyas persona tiene
12 brazaletes, 31 pares de aretes y 110 pequeos pasadores.
El Quipu se utiliza para grabar estas cantidades, por lo que
tendra cuatro cuerdas colgantes atadas al cable principal, las
cuerdas se podran describir por el uso de colores como el rojo,
azul, verde y morado de la siguiente manera:a. Los brazaletes: La
cuerda es de color rojo, con un nudo simple que significa 10 y un
nudo largo con dos giros para el nmero 2.b. Los aretes: La cuerda
es de color azul, con tres nudos simples para el nmero 30, una
figura de ocho que representa el nmero 1.c. Los pasadores: La
cuerda es de color verde, con un nudo simple en el lugar de las
centenas y otro nudo simple en el lugar decenas.d. El total: La
cuerda es de color morado, estos son los nudos que indican el
total: un nudo simple en el lugar de las centenas, cinco nudos
simples en el lugar de las decenas y un nudo largo con tres giros,
note cmo las posiciones de los nudos juegan un papel en los
valores.
Ejemplo del uso del QuipoImagen tomada de H.Selin, Figura 4
p.197
Aparte de utilizar un sistema de numeracin posicional, los Incas
conocan el concepto de cero. (Ascher, 1986 y Ascher, 1983), dejando
un espacio donde no haba datos que representar, los Quipus indican
que el Inca utiliz el concepto de cero como una posicin vacante que
contribuye al valor de un nmero.
Por ejemplo, con un nudo simple en el lugar de las centenas y un
nudo lardo de siete nudos, distinguimos entre 107 y 117 observando
si hay un nudo en el lugar de las decenas adems, saban que "nada"
por s mismo puede ser considerado como un nmero.
Los Quipucamayocs eran los expertos en la construccin e
interpretacin de los Quipus, ellos posean el conocimiento matemtico
ms importante y tenan que ser capaces de explicar la informacin
proveniente del Quipus a la realeza Inca., aqu se ve un claro
ejemplo de que los matemticos tenan un alto estatus social.
Existen varias maneras que hacer a los Quipu ser ms complejos,
una de ellas corresponde a los grupos de colores, mientras que otra
manera consiste en asociar grupos de cuerdas por medio del
espaciado. La combinacin de estas dos maneras es posible.
Por ejemplo:(1). Si se quiere combinar cuatro colores
repitindolos tres veces, en este caso se pueden expresar los
valores de las cuerdas de la siguiente forma, cada cuerda es un
elemento, son los grupos y son los colores, que podemos escribir
simblicamente como con y
(2). Si quisiramos incluir ms colores y agruparlos en ms
conjuntos de colores, el Quipu puede organizado en ms niveles, por
ejemplo, con sesenta cuerdas que tiene cinco conjuntos de doce y
cada uno de esos conjuntos organizados en tres grupos de cuatro
colores, que se pueden escribir simblicamente como con , y
Otra manera de organizar un Quipu, es la utilizacin del concepto
matemtico conocido como estructura de rbol, en este caso, los
niveles van aumentado de acuerdo con el aumento la informacin y
pueden obtenerse uniendo ms niveles de cuerdas subsidiarias a las
cuerdas colgantes y as continuando este proceso para adquirir
tantos niveles como desee.
Supongamos, que estamos considerando la jerarqua de un sistema
de gobierno que est organizada por distritos, asuma que cada
distrito tiene la misma estructura y que cada distrito tiene un
cargo ejecutivo y este posee dos posiciones gerenciales y , luego
tiene cuatro subordinados y tiene tres subordinados; y la siguiente
suposicin es que se debe registrar el nmero de horas trabajadas en
siete distritos en un lapso de cinco aos, como se representa en la
siguiente estructura de rbol.Estructura de rbolImagen tomada de
H.Selin, Figura 6 p.198
Cmo podemos representar esta informacin en el Quipu?
Primero, observamos que hay 7 rboles repitindose 5 veces para un
total de 35 rboles.
Luego, podemos denotar a cada rbol como con y , as podemos
agrupar las cuerdas en cinco grupos de siete, ahora para cada rbol
cmo organizamos las cuerdas?Por la estructura del rbol dado, cada
rbol tendra una cuerda para la posicin y dos cuerdas subordinadas
paras las posiciones y . En la habra cuatro subsidiarias ms y en la
habra tres subsidiarias ms.
Quipu que simboliza la situacin anteriosImagen tomada de
http://blogsdelagente.com/paylakew/?doing_wp_cron
Bibliografa de Base
H. Sein (ed.), Mathematics Across Cultures: The history of
Non-Western Mathematics, 189-203.
Referencias Bibliogrficas
Daz, I. (2005). El Sistema Ceques del Cuzco. Recuperado de
http://www.monografias.com/trabajos32/sistema-ceques/sistema-ceques.shtml
Heil, M. (2014). Historia de los Incas, Aztecas y los Mayas
conquista espaola Pizarro. Recuperado de
http://historiaybiografias.com/incas/
Miguel, A. (2006). Las Culturas Precolombinas de Amrica. Revista
de la Consejera de Educacin en Reino Unido e Irlanda. Recuperado de
http://www.mecd.
gob.es/dctm/ministerio/educacion/actividad-internacional/consejerias/reino-unido/t
ecla/2006/c-10-03-06.pdf?documentId=0901e72b80b61a43
University of North Dakota. (s.f.). Thomas E. GilsdorfResearch
Interests. Recuperado de
http://www.und.edu/instruct/gilsdorf/webpages/research.html