-
LAPORAN II
PRAKTIKUM PENGANTAR ANALISIS NUMERIK
KELAS B
Yogyakarta, 20 Juni 2014
Disusun oleh :
Selvi Faristasari
12/334698/PA/14931
Matematika
Dosen Pengampu : Dr. Imam Solehudin, M. Si.
Asisten Praktikum : 1. Agustina Rahmawati
(11/316961/PA/14079)
2. Hasbiyallah Hasan (11/316291/PA/13777)
LABORATORIUM KOMPUTASI MATEMATIKA DAN STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2014
-
BAB I
DASAR TEORI
1.1 Pengenalan Software Scilab SciLab merupakan salah satu
perangkat lunak yang dikembangkan untuk
komputasi numerik dan visualisasi data. Kelebihan dari SciLab
yaitu freeware dan
tersedia untuk berbagai sistem operasi seperti Windows, Linux,
dll. Secara umum,
SciLab terdiri dari dua jendela utama, yaitu Console dan SciPad.
Console adalah jendela
untuk menjalankan perintah komputasi, sedangkan SciPad adalah
jendela untuk
menuliskan kode program serta fungsi-fungsi yang akan dijalankan
di console.
Cara mengoperasikan Software SciLab sebagai berikut :
1. Klik ganda pada ikon SciLab yang terdapat pada Desktop atau
SciLab dapat dijalankan dari
menu start > SciLab.X , dimana X adalah versi dari
Scilab.
2. Setelah dijalankan perintah tersebut maka akan muncul jendela
SciLab (console) seperti
gambar berikut :
(tanda - - > yang terdapat pada
jendela SciLab merupakan tanda
bahwa SciLab siap untuk
menerima suatu perintah yang
akan diberikan.)
3. Untuk menuliskan kode program serta fungsi-fungsi yang akan
dijalankan di Console, buka
jendela Scipad dalam hal ini adalah SciNotes dengan cara klik
icon atau pilih menu
applications > SciNotes. Berikut adalah gambar SciNotes
-
4. Dari langkah 3, simpan file dalam bentuk nama_fungsi.sci
5. Jalankan program pada jendela Console dengan cara mengetik
nama file yang telah disimpan
6. Untuk mengakhiri penggunaan SciLab , gunakan menu file >
Quit atau langsung klik tanda
silang pada bagian kanan atas dari jendela SciLab.
Variabel adalah nama yang digunakan untuk menyimpan nilai suatu
obyek. Nama
ini bersifat sensitif, penulisan huruf besar dan kecil dikenali
sebagai dua buah variabel
yang berbeda. Ekspresi matematika yang dituliskan akan
ditampilkan pada baris
selanjutnya, kecuali pada akhir ekspresi tersebut dituliskan
tanda titik koma (;) , jika
tidak cukup dituliskan dalam satu baris, maka dapat digunakan
tanda titik tiga (...) pada
akhir ekspresi. Untuk menambahkan komentar dapat digunakan tanda
garis miring (//).
Contoh :
-- > r = 5
r =
5.
-- > // r adalah jari-jari lingkaran
-- > K = 2*%pi*r //keliling lingkaran
K =
31.415927
SciLab menyediakan kontrol pemrograman yang dapat digunakan
untuk mengatur
jalannya eksekusi program dengan menggunakan statemen perulangan
dan kondisional.
1. Mendefinisikan nilai variabel dalam jendela Console
Contoh :
Ketikkan :
--> a=81
Lalu enter akan muncul :
a =
81.
2. Input data dalam jendela SciNotes
Contoh :
Misal akan didefinisikan variabel x, dengan nilai x dapat
diinput lewat jendela
Console , maka pada SciNotes dapat dituliskan :
x = input ( Masukkan variabel x : );
-
3. Mendefinisikan fungsi dalam jendela SciNotes
Contoh :
Ketikkan pada SciNotes
function y=f(x) ;
y = x^2 ;
endfunction ;
function kuadrat ;
x = input ( Masukkan nilai x : );
endfunction ;
untuk menjalankannya, panggil nama fungsinya pada Console sbb
:
-->kuadrat
Masukkan nilai x :
4. Menampilkan Tulisan
Untuk menampilkan tulisan ataupun hasil suatu variabel digunakan
syntax disp
Contoh :
-->disp(error)
error
5. Statemen Kondisional (if)
Kode if diikuti oleh then, elseif, dan end
Contoh :
Ketikkan pada SciNotes :
function n=nilai (abjad) //fungsi untuk konversi nilai dari
abjad mjd angka
if abjad==A
n=4 ;
else if abjad==B
n=3 ;
else n=0 ;
end ;
endfunction;
maka akan muncul output :
-->n1=nilai (E)
n1 =
0.
-->n2=nilai (A)
-
n2 =
4.
6. Statement Perulangan (for dan while)
Untuk melakukan perulangan terhadap suatu variabel i, dapat
digunakan syntax for
dan while yang selalu diakhiri dengan end.
Contoh :
i=1
function coba;
while icoba
1.
2.
3.
1.2 Integrasi Numerik merupakan suatu pendekatan untuk luasan
suatu daerah
Metode Trapesium
Diperhatikan
() = ()
Metode trapesium merupakan metode dengan mengganti kurva
lengkung dari fungsi f
dengan garis lurus.
Pada gambar, luasan bidang yang dibatasi kurva = () dengan akan
didekati ,() ke (, ()) , perhatikan bahwa luas trapesium =
() + ()
-
jadi () = () = () jika [,] dibagi dua subinterval sama panjang,
yaitu =
maka
() = () + () = () +
()
= 2 () + () + 2 () + () = 2 () + 2() + () = () , dengan = Syntax
untuk Metode Trapesium
Metode Simpson 1/3
syarat : interval selalu genap
Diperhatikan :
-
Pada metode Simpson 1/3 digunakan polinomial derajat dua
(persamaan parabola) untuk
mendekati fungsi yang diberikan , atau : () () = ()
Perhatikan bahwa untuk 1 buah partisi berbentuk parabola
dibutuhkan 2 subinterval.
Misalkan partisi parabola tersebut mempunyai persamaan :
= + + Kemudian substitusi ke 3 titik tersebut pada partisi
parabola, sehingga didapat : (,) = + (0,) = (,) = + +
Selanjutnya,
= () = + () jumlahkan () dan (), diperoleh : 2 + = 2 Padahal
luas parabolanya adalah :
( + + )
= 3 + 2 + = 3 (2 + 6) = 3 ( 2 + + 6) = 3 ( + 4 + ) = ()
Misalkan [, ] dibagi 4 subinterval sama panjang, yaitu =
maka :
()
= ()
+ ()
= ()
+ ()
-
= 3 (() + 4() + ()) + 3 (() + 4() + ()) = 3 (() + 4() + 2() +
4() + ())
Syntax untuk Metode Simpson 1/3
1.3 Diferensiasi Numerik
Diferensiasi numerik digunakan untuk mencari nilai pendekatan
untuk turunan
suatu fungsi pada titik tertentu.
Metode Beda Maju Dua Titik (Diferensiasi Maju)
Diberikan fungsi bernilai real satu variabel () dan diasumsikan
fungsi mempunyai turunan sampai orde-2, maka deret Taylor fungsi ()
disekitar = adalah
() = () + ( )() + () "() untuk suatu [, ] untuk = + dengan >
0, deret Taylor pada persamaan diatas menjadi : ( + ) = () + () +
"() untuk suatu , +
-
atau
() = ()() "() Jika 0, > 0, maka: () ( + ) () (()) ( + ) () ()
Syntax untuk Metode Beda Maju
Metode Beda Mundur Dua Titik (Diferensiasi Mundur)
Diberikan fungsi bernilai real satu variabel () dan diasumsikan
fungsi mempunyai turunan sampai orde-2, maka deret Taylor fungsi ()
disekitar = adalah
() = () + ( )() + () "() untuk suatu [, ] untuk = dengan > 0,
deret Taylor pada persamaan diatas menjadi : ( ) = () () + "()
untuk suatu [ , ] atau () = ()() "()
-
Jika 0, > 0, maka: () () ( ) (()) () ( ) () Syntax untuk
Metode Beda Mundur
Metode Beda Pusat
Dari persamaan (*) dan (**) , diperoleh :
() ( + ) ()
() () ( ) dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas, diperoleh
: 2() ( + ) ( ) atau
() ( + ) ( )2 (()) ( + ) ( )2
-
Syntax untuk Metode Beda Pusat
1.4 Masalah Nilai Awal
Metode Euler
Dimisalkan
= , (), < < () = ,() Dengan syarat awal () = = + = + = +
2
= + Dari sini, maka dengan rumus Metode Beda Maju
() = ( + ) ()
diperoleh :
( + ) () = () ( + ) = () + () karena < < , maka rumus
diatas menjadi :
( + ) = () + () = () + ( ,())
-
atau bisa ditulis :
= + (,) Syntax untuk Metode Euler
Metode Runge-Kutta Order Dua
Diberikan masalah syarat awal
() = , (), dengan() = diperhatikan (Metode Trapesium)
() 2 () + ()
kemudian diambil = , = didapat : (, ()) 2 ( ,) + (, )
() 2 (,) + (, )
() () 2 (,) + (, ) misal () () = dan () () = didapat :
= 2 ( ,) + (, )
-
= + 2 ( ,) + (,) dengan metode euler untuk didapat :
= + 2 ( ,) + (, + ( ,)) = + 12 ( ,) + (, + ( ,)) = + (1 + 2)
dengan 1 = ( ,)dan 2 = , + (,)
Syntax untuk Metode Runge Kutta Order Dua
-
BAB II
RUMUSAN MASALAH
Kerjakan secara manual dan program
1. Kinerja sebuah reaktor batch nonisotermal dapat digambarkan
melalui dua persamaan
berikut :
= exp 10 + 273
= 1000 exp 10
+ 273 10( 20)
Dengan menyatakan konsentrasi reaktan (dalam gmol/L) dan T
menyatakan suhu di
dalam reaktor (dalam ) pada setiap saat t (dalam jam). Kondisi
awal sistem reaksi ini
(pada t=0) : = 1/ dan = 30 . Berapakah dan pada t = 1 jam dengan
h = 0,2 ?
Gunakan Metode Euler untuk menyelesaikan persamaan tersebut.
2. Persamaan van der Pol yang merupakan salah satu model
rangkaian listrik vacum tubes
dinyatakan sebagai :
= 1,5
Selesaikan PD tersebut dari t = 0 hingga t = 2, dengan y(0) = 1
menggunakan metode
Runge Kutta order dua. (Ambil h = 0,5).
3. Seorang ilmuwan mengadakan suatu penelitian untuk mengetahui
pertumbuhan populasi
bakteri di dalam Chemostat. Penelitian tersebut dilakukan mulai
dari hari ke 0.
Pertumbuhan populasi bakteri tersebut memenuhi persamaan sebagai
berikut :
() = + 2 + + 20 Tentukan jumlah populasi bakteri di dalam
Chemostat tersebut pada hari ke 6 dengan
menggunakan
a. Aturan Trapesium (subinterval 6) dan tentukan errornya
b. Aturan Simpson 1/3 (subinterval 6) dan tentukan errornya
Lalu, bandingkan hasil yang diperoleh dari perhitungan dengan
menggunakan aturan
Trapesium dan aturan Simpson 1/3
-
4. Seorang pengusaha Burjo, Budi, mengalami kesulitan karena
penghasilan yang diperoleh
tidak selalu sama tiap bulannya. Lalu, Budi pun meminta tolong
kepada seorang ahli
Matematikawan untuk merumuskan persamaan atas penghasilan yang
diperoleh tiap
bulannya. Ahli tersebut menemukan bahwa penghasilan yang
diperoleh tiap bulan ke x
memenuhi persamaan berikut :
() = 4 8 + 3 + 2 Tentukan (5) dengan menggunakan : (ambil =
0.5)
a. Diferensiasi maju
b. Diferensiasi mundur
c. Diferensiasi pusat
-
BAB III
PEMBAHASAN
1. Diketahui kinerja sebuah reaktor batch nonisotermal dapat
digambarkan melalui dua
persamaan berikut:
= exp 10 + 273
= 1000 exp 10
+ 273 10( 20) Keterangan :
: konsentrasi reaktan (gmol/L)
T : suhu di dalam reaktor () pada setiap saat t (jam).
Kondisi awal sistem reaksi ini (pada = 0) : = 1/ dan = 30 akan
dicari nilai dan pada = 1 dengan = 0,2 Manual
Diketahui (,) = = exp 10 + 273 (,) = = 1000 exp 10 + 273 10( 20)
pada = 0 (0) = = 1/ dan (0) = = 30 Iterasi 1
(0,2) = + (, ) = + exp
= 1 + 0,2 exp 1030 + 273 1 = 0,806492927
(0,2) = + (, ) = + 1000 exp 10
+ 273 10( 20) = 30 + 0,2 1000 exp 1030 + 273 1 10(30 20)
= 203,5070733
-
Iterasi 2
(0,4) = + (, ) = + exp
= 0,806492927 + 0,2 exp 10203,5070733 + 273 0,806492927 =
0,648544089 (0,4) = + (, ) = + 1000 exp 10
+ 273 10( 20) = 203,5070733 + 0,2 1000 exp 10203,5070733 + 273
0,806492927 10(203,5070733 20)
= 5,558235728 Iterasi 3
(0,6) = + (, ) = + exp
= 0,648544089 + 0,2 exp 105,558235728 + 273 0,648544089
= 0,523595701 (0,6) = + (, ) = + 1000 exp 10
+ 273 10( 20) = 5,558235728 + 0,2 1000 exp 10
5,558235728 + 273 0,648544089 10(5,558235728 20)
= 170,5066239 Iterasi 4
(0,8) = + (, ) = + exp
= 0,523595701 + 0,2 exp 10170,5066239 + 273 0,523595701 =
0,421211303
-
(0,8) = + (, ) = + 1000 exp 10
+ 273 10( 20) = 170,5066239 + 0,2 1000 exp 10170,5066239 + 273
0,523595701 10(170,5066239 20)
= 28,12222633 Iterasi 5
(1) = + (, ) = + exp
= 0,421211303 + 0,2 exp 1028,12222633 + 273 0,421211303
= 0,340339922 (1) = + (, ) = + 1000 exp 10
+ 273 10( 20) = 28,12222633 + 0,2 1000 exp 10
28,12222633 + 273 0,421211303 10(28,12222633 20)
= 148,9936073 Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode euler maju secara manual, pada
saat = 1 jam diperoleh konsentrasi reaktan () yang didekati oleh ,
yaitu sebesar 0,340339922 gmol/L dan suhu di dalam reaktor tersebut
() didekati oleh , yaitu sebesar 148,9936073 . Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
a. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Euler dan definisikan dua fungsi
berikut :
= (,) = exp
dan = (,) = 1000 exp
10( 20) dengan variabel mewakili dan variabel mewakili
-
b. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu Execute
file with echo seperti berikut :
-
c. Sehingga pada jendela Console muncul output :
d. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
eulermaju enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
titik awal , yaitu = 0 titik yang ingin dicari , yaitu = 1 lebar
langkah h, diambil = 0,2
syarat awal :
untuk adalah = 1,dan untuk adalah = 30
sehingga diperoleh output :
-
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode euler maju secara program, pada
saat = 1 jam diperoleh konsentrasi reaktan () adalah 0,3403399
gmol/L dan suhu di dalam reaktor tersebut () adalah 148,99361 .
2. Diketahui persamaan van der Pol :
= 1,5
akan dicari penyelesaian PD tersebut dari = 0 hingga = 2, dengan
(0) = 1 menggunakan metode Runge Kutta order dua dengan mengambil =
0,5 Manual
Diketahui
= 1,5 dan (0) = 1 , berarti = 0 dan = 1 , serta diambil =
0,5
Akan dicari nilai dari = 0 hingga = 2 , dengan kata lain akan
dicari nilai (2) Iterasi 1
(0,5) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (0; 1) = (0,5) (1,5) =
0,75 2 = (; + 1) = (0,5) 0,5; 1 + (0,75) = (0,5) (0,5; 0,25) =
(0,5) (0,3125) = 0,15625 sehingga diperoleh (0,5) = + (1 + 2)
= 1 + 12 (0,75 + (0,15625)) = 0,546875
Iterasi 2
(1) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (0,5; 0,546875) = (0,5)
(0,68359375) = 0,3418 2 = (; + 1) = (0,5) 1;0,15625 + (0,3418) =
(0,5) (1; 0,205078) = (0,5) (0,102539063) = 0,051269531 sehingga
diperoleh
(1) = + 12 (1 + 2)
-
= 0,15625 + 12 (0,3418 0,051269531) = 0,350341797 Iterasi 3
(1,5) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (1; 0,350341797) = (0,5)
(0,175170899) = 0,08759 2 = (; + 1) = (0,5) 1,5; 0,350341797 +
(0,08759) = (0,5) (1,5; 0,262756) = (0,5) (0,197067261) =
0,09853363 sehingga diperoleh
(1,5) = + 12 (1 + 2) = 0,350341797 + 12 (0,08759 + 0,09853363) =
0,355815888 Iterasi 4
(2) = + 12 (1 + 2) 1 = (; ) = (0,5) (1,5; 0,355815888) = (0,5)
(0,266861916) = 0,133431 2 = (; + 1) = (0,5) (2; 0,355815888 +
0,133431) = (0,5) (2; 0,489247) = (0,5) (1,223117115) = 0,611558558
sehingga diperoleh
(2) = + 12 (1 + 2) = 0,355815888 + 12 (0,133431 + 0,611558558) =
0,728310646 Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode Runge Kutta order dua secara
manual , diperoleh
= 0,5 (0,5) = 0,546875 = 1 (1) = 0,350341797 = 1,5 (1,5) =
0,355815888 = 2 (2) = 0,728310646 sehingga penyelesaian PD tersebut
dari t = 0 hingga t = 2 dengan mengambil =0,5adalah (2) yang
didekati oleh , yaitu sebesar 0,728310646.
-
Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
a. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Runge Kutta order dua dan
definisikan fungsi :
= 1,5 = 1,5 , seperti berikut :
b. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu Execute
file with echo seperti berikut :
-
c. Sehingga pada jendela Console muncul output :
d. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
rungekutta enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
titik awal , yaitu = 0 titik yang ingin dicari , yaitu = 2 lebar
langkah h, diambil = 0,5 syarat awal , yaitu = 1 sehingga diperoleh
output :
-
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode Runge Kutta order dua secara
program , diperoleh
penyelesaian PD tersebut dari t = 0 hingga t = 2 adalah (2) yang
didekati oleh , yaitu sebesar 0,7283106.
3. Diketahui pertumbuhan populasi bakteri di dalam Chemostat
memenuhi persamaan
sebagai berikut :
() = + 2 + + 20 penelitian tersebut dilakukan mulai dari hari
ke-0. Akan dicari jumlah populasi bakteri di dalam Chemostat
tersebut pada hari ke 6,
Secara eksak, jumlah populasi bakteri di dalam Chemostat
tersebut adalah :
()
= ( + 2 + + 20)
= 14 + 23 + 12 + 20 = 14 (6) + 23 (6) + 12 (6) + 20(6) 0 =
606
Selanjutnya, dengan menggunakan :
a. Aturan Trapesium (subinterval 6)
Manual
diketahui = 0, = 6, = 6 =
=
= 1 sehingga diperoleh :
() ()
= () + 2() + 2() + 2() + 2() + 2() + ()
= 12 (0) + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) + (6) = 12 (20 + 2
24 + 2 38 + 2 68 + 2 120 + 2 200 + 314) = 617
-
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan aturan trapesium secara manual
diperoleh jumlah populasi
bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati oleh 617.
Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Trapesium dan definisikan fungsi
:
= ^3 + 2^2 + + 20 , seperti berikut :
2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu Execute
file with echo seperti berikut :
-
3. Sehingga pada jendela Console muncul output :
4. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
trapesium enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
batas bawah interval integral, yaitu = 0 batas atas interval
integral, yaitu = 6 jumlah subinterval, yaitu = 6 sehingga
diperoleh output :
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan aturan trapesium secara program
diperoleh jumlah populasi
bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati oleh
617,00000. Dari sini, maka diperoleh nilai error nya adalah :
error = | nilai eksak nilai pendekatan | = |606 617| 11
b. Aturan Simpson 1/3 (subinterval 6)
Manual
diketahui
= 0, = 6, = 6 =
= 6 06 = 1
-
sehingga diperoleh :
() ()
= () + 4() + 2() + 4() + 2() + 4() + ()
= 13 (0) + 4(1) + 2(2) + 4(3) + 2(4) + 4(5) + (6) = 13 (20 + 4
24 + 2 38 + 4 68 + 2 120 + 4 200 + 314) = 18183 = 606 Interpretasi
:
Jadi, dengan menggunakan aturan simpson 1/3 secara manual
diperoleh jumlah
populasi bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati
oleh 606. Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Simpson 1/3 dan definisikan fungsi
:
= ^3 + 2^2 + + 20 , seperti berikut :
2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu
Execute file with echo seperti berikut :
-
3. Sehingga pada jendela Console muncul output :
4. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
trapesium enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
batas bawah interval integral, yaitu = 0 batas atas interval
integral, yaitu = 6 jumlah subinterval, yaitu = 6
-
sehingga diperoleh output :
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan aturan simpson 1/3 secara program
diperoleh jumlah
populasi bakteri di dalam Chemostat pada hari keenam didekati
oleh 606,00000. Dari sini, maka diperoleh nilai error nya adalah
:
error = | nilai eksak nilai pendekatan | = |606 606,00000|
0,00000 Perhatikan bahwa error pada perhitungan menggunakan aturan
trapesium, yaitu
11 lebih besar dari error pada perhitungan menggunakan aturan
simpson 1/3, yaitu 0 sehingga dapat disimpulkan bahwa perhitungan
menggunakan aturan simpson 1/3 lebih
akurat karena nilai errornya kecil sehingga akan lebih dekat
dengan nilai eksaknya.
4. Diketahui penghasilan Budi yang diperoleh tiap bulan ke x
memenuhi persamaan
berikut:
() = 4 8 + 3 + 2 Secara eksak kita dapat memperoleh nilai (5),
dengan cara sebagai berikut : () = 4 8 + 3 + 2 () = 16 16 + 3 (5) =
16(5) 16(5) + 3 (5) = 1923 Dengan mengambil = 0,5 akan dicari (5)
menggunakan metode diferensiasi numerik Perhatikan tabel berikut
:
4,5 5 5,5 () 1493,75 2317 3436,75
sehingga dengan menggunakan :
a. Diferensiasi maju
Manual
() = ( + ) ()
-
, (5) = (5 + 0,5) (5)0,5
= (5,5) (5)0,5 = 3436,75 23170,5 2239,5 Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju secara manual,
dimana =0,5diperoleh nilai (5) 2239,5 Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Diferensiasi Maju dan definisikan
fungsi :
= 4 ^4 8 ^2 + 3 + 2 dan eksak = 16 0^3 16 0 + 3 seperti berikut
:
2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu
Execute file with echo seperti berikut :
-
3. Sehingga pada jendela Console muncul output :
4. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
bedamaju enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
diambil maksimum iterasinya adalah 50 nilai 0 adalah nilai
turunan yang akan dicari, yaitu 5 nilai diambil 0,5
-
karena pada soal tidak ditentukan nilai toleransinya, maka
diambil nilai toleransinya
adalah 0,01 sehingga diperoleh output :
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju secara
program, dimana
= 0,5 diperoleh nilai (5) = 1923,002960 b. Diferensiasi
mundur
Manual
() = () ( )
, (5) = (5) (5 0,5)0,5 = (5) (4,5)0,5 = 2317 1493,750,5 1646,5
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi mundur secara
manual, dimana = 0,5 diperoleh nilai (5) = 1646,5 Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Diferensiasi Mundur dan
definisikan fungsi :
= 4 ^4 8 ^2 + 3 + 2 dan eksak = 16 0^3 16 0 + 3
-
seperti berikut :
2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu
Execute file with echo seperti berikut :
-
3. Sehingga pada jendela Console muncul output :
4. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
bedamundur enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
diambil maksimum iterasinya adalah 50 nilai 0 adalah nilai
turunan yang akan dicari, yaitu 5 nilai diambil 0,5 karena pada
soal tidak ditentukan nilai toleransinya, maka diambil nilai
toleransinya
adalah 0,01 sehingga diperoleh output :
-
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju secara
program, dimana
= 0,5 diperoleh nilai (5) = 1922,997040 c. Diferensiasi
pusat
Manual
() = ( + ) ( )2
, (5) = (5 + 0,5) (5 0,5)2 0,5
= (5,5) (4,5)1 = 3436,75 1493,75 1943 Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi pusat secara
manual, dimana = 0,5 diperoleh nilai (5) = 1943 Program
Dengan menggunakan program Scilab lakukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Buka Program Scilab, akan muncul jendela Console, lalu klik
icon (Launch
SciNotes), akan muncul jendela SciNotes. Selanjutnya, ketikkan
kode Scilab pada
Jendela SciNotes untuk Metode Diferensiasi Maju dan definisikan
fungsi :
= 4 ^4 8 ^2 + 3 + 2 dan eksak = 16 0^3 16 0 + 3 seperti berikut
:
-
2. Simpan file dengan memilih menu File Save As. Selanjutnya,
pilih menu
Execute file with echo seperti berikut :
3. Sehingga pada jendela Console muncul output :
-
4. Panggil program dengan mengetikkan nama fungsi pada jendela
console, yaitu
bedapusat enter. Selanjutnya, isikan nilai-nilai berikut :
diambil maksimum iterasinya adalah 50 nilai 0 adalah nilai
turunan yang akan dicari, yaitu 5 nilai diambil 0,5 karena pada
soal tidak ditentukan nilai toleransinya, maka diambil nilai
toleransinya
adalah 0,01 sehingga diperoleh output :
Interpretasi :
Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju secara
program, dimana
= 0,5 diperoleh nilai (5) = 1923,002000
-
BAB IV
KESIMPULAN
Soal pada nomor 1 dapat diselesaikan dengan menggunakan metode
euler maju. Jadi,
dengan mengambil = 0,2 dan kondisi awal pada saat = 0 ,
konsentrasi reaktan = 1 gmol/L serta suhu dalam reaktor = 30 , maka
pada saat = 1 jam diperoleh konsentrasi reaktan () sebesar , gmol/L
(secara manual) atau , gmol/L (dengan program SciLab) dan suhu di
dalam reaktor tersebut () adalah
, (secara manual) atau , (dengan program SciLab).
Dengan menggunakan metode Runge Kutta Order Dua pada soal nomor
2, dimana
(0) = 1 dan diambil = 0,5 maka diperoleh penyelesaian PD
= 1,5dari = 0 hingga = 2 adalah , (secara manual) atau , (dengan
menggunakan program SciLab).
Permasalahan pada soal nomor 3 merupakan masalah Integrasi
Numerik. Sehingga
diperoleh nilai eksak dari jumlah populasi bakteri di dalam
Chemostat pada hari ke 6
(perhitungan dengan kalkulus) adalah sebanyak . Jadi, dengan
menggunakan metode
trapesium dimana diambil 6subinterval, diperoleh nilai
pendekatan jumlah populasi bakteri baik secara manual maupun
program adalah , sehingga errornya .
Selanjutnya dengan menggunakan metode simpson 1/3 dimana diambil
6 subinterval juga,
maka diperoleh nilai pendekatan jumlah populasi bakteri baik
secara manual maupun
program adalah , sehingga errornya ,. Dari sini, jelas bahwa
metode simpson memiliki nilai error yang lebih kecil dari metode
trapesium, sehingga dapat disimpulkan
bahwa metode simpson lebih akurat / lebih mendekati nilai eksak
dalam menentukan
pendekatan integrasi numerik.
Pada soal nomor 4 dengan mengambil = 0,5, diperoleh nilai eksak
dari (5) adalah . Jadi, dengan menggunakan metode diferensiasi maju
diperoleh nilai pendekatan
dari (5) adalah ,(secara manual) dan , (dengan program SciLab).
Sedangkan dengan menggunakan metode diferensiasi mundur diperoleh
nilai
pendekatan dari (5) adalah , (secara manual) dan , (dengan
program SciLab). Selanjutnya, dengan menggunakan metode
diferensiasi pusat
diperoleh nilai pendekatan (5) adalah (secara manual) dan ,
(dengan program SciLab).
-
BAB V
KRITIK SARAN
Sejauh ini proses kegiatan praktikum sudah cukup baik, hanya
saja kadang saya merasa
asisten terlalu cepat dalam menerangkan dan ada beberapa bagian
yang kurang jelas. Saran
saya, asisten memberi bahan latihan soal yang berbentuk soal
cerita, agar saat mengerjakan
laporan, kami lebih ada gambaran. Terimakasih.
BAB VI
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, K., Elementary Numerical Analysis, John Wiley &
Sons, 1994, New York.
Ertiningsih, Dwi, Modul PraktikumPengantar Analisis Numerik,
2014, FMIPA UGM, Yogyakarta.
Aryati, Lina, Diktat Kuliah Pengantar Analisis Numerik, 2012,
FMIPA UGM, Yogyakarta.