BAB I PENDAHULUAN A. Metode Numerik Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh perhatikan integral berikut ini. L= ∫ 0 1 sin ( x) x dx Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi, filtering dan optimasi pola radiasi. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I
PENDAHULUAN
A. Metode Numerik
Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan
dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan
yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai
penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan
dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh
perhatikan integral berikut ini.
L=∫0
1sin ( x)
xdx
Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan
integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak
mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian,
hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa
memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama.
Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam
bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi,
filtering dan optimasi pola radiasi.
Gambar.Kurva y=sin(x)
1
Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu
yang dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metode
tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah
mendekati nilai yang diharapkan.
Pada persoalan lain, misalnya diketahui suatu kurva dari fungsi non-linier
y=x2+exp(x)sebagai berikut :
Gambar.Kurva y=x2+exp(x)
Perhatikan kurva y=x2+exp(x)memotong sumbu X di antara –1 dan –0.5, tetapi
untuk menentukan akar persamaan (titik potong dengan sumbu X) tersebut dengan
menggunakan metode manual dapat dikatakan tidak mungkin. Sehingga diperlukan
metode-metode pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan
benar. Metode tersebut adalah metode numerik, yaitu metode yang menggunakan
analisisanalisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.
Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik
yang dapat mewakili suatu data seperti berikut:
2
Gambar.Kurva Pendekatan
Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang
kecil (<20) masih bisa dilakukan, tetapi untuk jumlah data yang besar sulit sekali
dilakukan karena akan membutuhkan waktu yang sangat lama. Untuk itulah
digunakan perhitungan komputer, dan pemakaian metode numeric mejadi penting
artinya untuk menyelesaikan permasalahan ini.
Selain adanya persoalan-persoalan di atas, seiring dengan perkembangan
pemakaian komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persoalan, maka
pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang
dapat dimengerti oleh komputer. Sehingga metode numerik yang memang
berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam
menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Telah banyak yang
menawarkan program program numerik ini sebagai alat bantu perhitungan.
Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan
perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk
menghasilkan penyelesaian yang baik adalah :
1. Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema
analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan
tersebut, maka penyelesaian matematis (metode analitik) adalah
penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan
bagi pemakaian metode pendekatan.
2. Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara
matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat
digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.
3. Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas
tinggi,sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian
dengan baik,maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
Prinsip-prinsip Metode numerik
Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan
secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran
bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-
3
pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini
disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan
mudah.
Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan
analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar
pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah
merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa
algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan
maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasiyaitu pengulangan proses
perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah
perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh
hasil yang main mendekati nilai penyelesaian exact. Perhatikan salah bentuk
formulasi dalam metode numerik adalah:
xn=xn-1+δxn-1
Terlihat bahwa hasil iterasi ke n adalah hasil iterasi ke n-1 (sebelumnya) dengan
ditambah δxn-1yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa
semakain banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai
exact atau semakin baik hasil yang diperoleh.
Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentukan setiap nilai
hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa
metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahan dalam
pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar,
tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu
membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.
Persoalan-persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah
persoalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan
menggunakan metode analitik, antara lain:
Menyelesaikan persamaan non linier
Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variabel
Menyelesaikan differensial dan integral
Interpolasi dan Regresi
4
Menyelesaikan persamaan differensial
Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat
B. Komputasi Numerik
Adanya kemajuan teknologi komputer yang memungkinkan pelaksanaan
komputasi secara tepat dan cepat menjadikan berbagai metode penyelesaian
persoalan dengan pendekatan numerik sangata berguna, karena antara lain :
1) Pendekatan numerik yang mungkin merupakan salah satunya alternatif
penyelesaian dapat diperoleh secara efisien
2) Pendekatan numerik memungkinkan pengkajian parametrik dari berbagai
persoalan dari medan yang bersifat sembarang,yang tidak dapat dipecahkan
secara eksak.
Guna menunjang komputasi ilmiah ada beberapa hal yang berkaitan dengan
teknik pemrograman dan penggunaan komputer yang perlu diketahui yaitu:
1. Bahasa pemrograman dan beberapa diantaranya yang banyak dipakai pada saat
ini adalah MATLAB,Turbo C++,Borland C++ ,Maple dll.
2. Sistem komputer yang menggunakan bahasa pemrograman tersebut
3. Cara men debug (melenyapkan kesalahan) dari program komputer dan
memastikan keabsahan hasil yang diperoleh
4. Cara menyusun prosedur komputasi
C Mengenal Bahasa Pemrograman MATLAB
MATLAB merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi yang berbasis
dengan matrik yang sering digunakan untuk tehnik komputasi numerik yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang malibatkan operasi
matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi, dll. MATLAB terdiri dari :
1. Window – window MATLAB
Ada beberapa macam window yang tersedia dalam MATLAB yaitu:
a. MATLAB Command window atau Editor
MATLAB Command window atau editor merupakan window yang
dibuka pertama kali MATLAB dijalankan, seperti terlihat dibawah ini :
5
Pada window diatas dapat dilakukan akses – akses ke command – command
MATLAB dengan mengetikkan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti
mengakses help window dan lain-lainnya.
b. MATLAB Editor atau Debugger (Editor M-File atau Pencarian
Kesalahan)
Window ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAB yang
berfungsi sebagai editor script MATLAB (M-File). Walaupun sebenarnya
script ini dalam pemrograman MATLAB dapat saja menggunakan editor
lain seperti Notepad, Wordpad, bahkan Word. Untuk mengakses M-File
dapat dilakukan dengan cara :
1. Memilih File lalu pilih New
2. Pilih M-File, maka MATLAB akan menampilkan editor window.
6
Selain cara di atas, untuk menampilkan editor M-File ini dapat juga dengan
mengetik >> edit.
c. Figure Windows
Window ini adalah hasil visualisasi script MATLAB. Namun
MATLAB juga memberi kemudahan untuk mengedit window ini
sekaligus memberikan program khusus untuk itu sehingga window ini
selain berfungsi sebagai visualisasi output daopt juga sekaligus menjadi
media input yang interaktif.
d. MATLAB Help Window
MATLAB menyediakan system help yang dapat diakses dengan
perintah help. Misalnya untuk memperoleh informasi mengenai fungsi
elfan, yaitu untuk fungsi trigonometri , eksponsila, kompleks, dan lain-
lain, yand dapt diakses dengan mengetik : >> help elfun, lalu tekan enter.
Maka dilayar akan muncul informasi dalam bentuk teks pada layar
MATLAB.
3. Bilangan dan Operator Matematika di MATLAB
Ada tiga tipe bilangan di dalam MATLAB yaitu :
Bilangan Bulat (integer),
Bilangan Real
Bilangan Kompleks
4. Komentar dan tanda Baca
7
Semua teks sesudah tanda % dianggap statement komentar, contoh :
Semester=8 % jumlah semester S I
Semester =
8
8
BAB II
METODE BAGI DUA (BISECTION)
A. Tujuan Praktikum
1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar
persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua.
2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan.
B. Dasar Teori
Metode bagi dua(bisection) ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi
kontinu,yaitu bahwa suatu selang[a,b] harus mengandung f(x)= 0,bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda misalnya f(a)>0 dan f(b)<0.Proses dilakukan dengan pengulangan
membagi selang [a,b] menjadi dua dalam setiap langkah diambil setengah selang
yang memenihi persyaratan tersebut.Proses ini didapatkan ketelitian yang sama
dengan interval[a,b] terakhir.
Dalam algoritma digunakan variable :
a sebagai batas bawah selang
b sebagai batas atas selang
T sebagai titik tengah
Bila f(a)>0 dan f(b)<0 maka perkalian keduanya menghasilkan bilangan yang
kecil dari 0 atau f(a)∙f(b)<0.ini berarti selang [a,b] terdapat paling sedikitnya satu
akar.
Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, a <
b ,yang harus memenuhi f(a),f(b) < 0 ; selang (a,b) mengandung satu akar. Mula-
mula ditentukan titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama
panjang,sebut titik Tengahnya T. Dua selang baru yang diperoleh yakni (a,T) dan
(T,b), salah satu diantaranya apsti mengandung akar.Proses diulangi dengan
membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang mana yang
9
mengandung akar. Pembagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang
ditinjau cukup kecil.
Gambar.Metode bagi dua
C. Algoritma
Masukan : f(x),a,b dan epsilon
Keluaran : Akar
Langkah-langkah :
1. bm := am : cm = bm
2. untuk iterasi =1,2,. . .,m
untuk i= m–1,m–2,...,1
bi= ai+
3. f(a).f(b)< 0
4. T :=a+b2
5. Jika f(a).f(T) < 0 berarti akar berada pada selang [a,T] maka b := T jika
tidak a:= T
6. Jika b–a≤ epsilonmaka estimasi akar:= T.Selesai
7. Ulangi kembali ke langkah 1
D. Flowchart
10Mulai
Variabel Xa,Xb,Xt
e = 0,0001
Xa = Input
Xb=Input
X t=Xa+ Xb
2
f(Xa) * f(Xr) < 0
f(Xa) * f(Xt) > 0
f(Xa) * f(Xt) = 0
Xb = Xt
Xa = Xt
Tidak
Ya
Ya
E. Listing Program
11
Selesai
MFILE 1
MFILE 2
Output Program Metode Bagi Dua
12
F. Kesimpulan
Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas
segmen nilai fungsi yang dicari.Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x)
untuk x = a dan x = b.Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a)x f(b)<
0.Apabila terpenuhi syarat tersebut,berarti terdapat akar fungsi dalam segmen
tinjauan.Jika tidak demikan,kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa
sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a)x f(b)< 0.
Dengan rumusan m = ( a + b ) / 2,diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10-6
( batas simpangan kesalahan ). Jika benar,nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika
tidak terpenuhi,ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila
f(a)*f(m)< 0,dan mengganti a = m bila f(a)* f(m)> 0,proses menemukan m baru
dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.
Metode bisection adalah salah satu kelas metode pengelompokan karena
prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan
kelompok akar.Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi
penentuan nilai x. Misalnya,tidak digunakannya ukuran relative f(a)dan f(b)karena
umumnya jika f(a)< f(b)dalam nilai mutlaknya,maka akar persamaan akan terletak
lebih dekat ke f(a). Salah satu cara efektif mendaptkan nilai m ini adalah
13
menghubungkan f(a)dan f(b)dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan
absis x merupakan nilai m.
BAB III
14
METODE NEWTON RAPHSON
A.Tujuan praktikum
1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya
menggunakan metode Newton Raphson.
2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan.
B.Dasar Teori
Gambar. Metode Newton-Raphson
Metode newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan
persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’.Metode ini
menggunakan suatu garis lurus sebagai ampiran fungsi pada selang.Garis tersebut
adalah garis singgung pada kurva.Dengan menggunakan suatu nilai awal xo dan
ditetapkan xi adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva fdititik
xo.maka :
tan∝=f ' ¿¿¿
Dalam setiap iterasi akan terbentuk xi secara berulang-ulang hingga
manghasilkan nilai X yang membuat f(x)=0.
15
Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah sama dengan kemiringan garis
singgung dititik tersebut.
f ' ( x i )=f (x0)x0−x1
⇔ x i+1=x i−f (xi)f ' (x i)
Dalam metode ini prinsip pengurangan akar tidak dipergunakan lagi, akibatnya
metode ini tidak dijamin lagi kekonvergenannya. Iterasi dihentikan apabila dua
iterasi yang beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama. Dalam rumus iterasi
pada penyebut terdapat duku f '( x1). Agar metode berhasil, maka selama iterasi